Pontos de dicotomização para a obtenção do coeficiente de correlação tetracórico

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1 Ponos de dicoomização para a obenção do coeficiene de correlação eracórico Sachiko Araki Lira Insiuo Paranaense de Desenvolvimeno Econômico e Social IPARDES CEP Sana Cândida Curiiba PR sachiko@onda.com.br Anselmo Chaves Neo Universidade Federal do Paraná -PPGMNE/DEST-UFPR Cenro Poliécnico CEP Curiiba PR anselmo@es.ufpr.br (Recebido: 7 de dezembro de 004) Resumo: Exisem siuações em que a caracerísica de ineresse, raada como variável, não é medida direamene embora seja possível observar o seu efeio. Essas caracerísicas são raadas como variáveis laenes. Assim, uma pessoa pode ser considerada ineligene ou não, ou ainda ser ansiosa ou não, por exemplo. O Coeficiene de Correlação Teracórico é um esimador do grau de associação enre duas variáveis laenes X L e Y L, subjacenes às variáveis dicoômicas X e Y efeivamene observadas. Uma das suposições para a uilização do Coeficiene de Correlação Teracórico é a de que os ponos de dicoomização das variáveis medidas X e Y esejam o mais próximo possível das respecivas medianas (percenil 50). Foram geradas amosras aravés de simulações e uilizados o percenil 5 ( P 5 ), percenil 50 ( P50 = mediana) e percenil 75 ( P 75 ) como ponos de dicoomização das variáveis X e Y. Se obeve os desvios absoluos médios, comparando-se os Coeficienes de Correlação Teracórico e Linear de Pearson. Os resulados comprovam que as esimaivas dos coeficienes são melhores, quando se adoa a mediana como ponos de dicoomização. Palabras-chave: correlação eracórico, correlação de Pearson, coeficiene de correlação. Absrac: There are siuaions in which he ineres characerisic, reaed as a variable, is no direcly measured, alhough i is possibly o observe is effec. These characerisics are reaed as laen variables. To exemplify, a person can be consideraed inelligen or no, or even be anxious or no. The Terachoric Correlaion Coefficien is an esimaive measure of Pearson Linear Coefficien regarding he laen variables X and Y (boh coninuous and L L

2 Revisa Ciências Exaas e Naurais, Vol. 7, n, Jul/Dez 005 normal), underlying he dichoomic variables X and Y really observed. One of he assumpions for using he Terachoric Correlaion Coefficien is ha he dichoomizaion poins of he measured variables X and Y be as close as possible of heir respecive medians (percenile 50). Samples were generaed by simulaions and used percenile 5 ( P 5 ), percenile 50 ( P 50 = median) and percenile 75 ( P 75 ) as X and Y variables dichoomizaion poins. The average absolue deviaions were obained by comparing he Terachoric Correlaion Coefficien o he Pearson Linear Coefficien. The resuls showed ha he coeficien esimaes are beer when he median is used as dichoomy poins. Key-words: erachoric correlaion, Pearson coefficien, correlaion coefficien. Inrodução O méodo usualmene conhecido para esimar a correlação enre duas variáveis é o Coeficiene de Correlação Linear de Pearson, ambém conhecido como Coeficiene de Correlação do Produo-Momeno. Ese esimador da correlação, foi esudado por Francis Galon e seu aluno Karl Pearson, em (SCHULTZ e SCHULTZ, 99). Uma das suposições para a uilização dese esimador é a de que as variáveis envolvidas na análise sejam medidas na escala inervalar, além de que o veor aleaório das variáveis, [ X,Y], enha disribuição normal bivariada com parâmero de correlação ρ. Enreano, em muias caracerísicas psicológicas, educacionais ou sociológicas, a caracerísica raada como variável não é medida direamene, embora ela possa ser facilmene observada indireamene, por isso são chamadas de variáveis laenes. Assim, em-se a ineligência, a ansiedade, a saisfação do consumidor, o nível de compreensão de exo, o conhecimeno em maemáica, enre ouras, como exemplos. Para medi-las é necessário criar uma escala de medida nominal que indica a presença ou ausência da caracerísica. Karl Pearson inroduziu o Coeficiene de Correlação Teracórico (FACHEL, 986). Esse coeficiene é uilizado, segundo Downie e Heah (959), McNemar (969) e Bunchaf e Kellner (999), para esimar o grau de associação exisene enre as variáveis X L e Y L conínuas, mas dicoomizadas (ao serem medidas) pelo pesquisador, por alguma razão. A esimaiva obida com o Coeficiene de Correlação Teracórico pode ser considerada como uma esimaiva do Coeficiene de Correlação Linear de Pearson considerando as variáveis laenes X L e Y L (ambas conínuas e normais), subjacenes às variáveis dicoômicas X e Y efeivamene observadas com a 8 Esa informação foi obida no sie: 96

3 S. A. Lira e A. Chaves Neo dicoomização (LORD e NOVICK, 967), (FERGUSON, 976) e (WHERRY, 984). Algumas resrições são apresenadas quano à uilização desse coeficiene. A primeira delas se, refere à exisência das variáveis laenes XL e Y L, normalmene disribuídas, subjacenes às variáveis observadas X e Y. A segunda é que as variáveis observadas, ao serem medidas, devem ser dicoomizadas o mais próximo possível da mediana. Ese rabalho em por objeivo mosrar por meio de simulações, os desvios enre os coeficienes de Correlação Linear de Pearson e Teracórico esimados, uilizando os percenis 5, 50 e 75, como ponos de dicoomização para a obenção dese úlimo coeficiene. Meodologia. Coeficiene de correlação linear de Pearson e seu erro padrão X, é um parâmero da disribuição normal bivariada cuja função densidade de probabilidade é dada por: O coeficiene de correlação ρ, enre as componenes do veor aleaório [,Y] X µ X X µ fx,y(x,y) = exp ρ πσσ ρ ( ρ ) σx σx X Y X Y µ σy Y Y µ + σy Y () onde ρ é o parâmero de correlação e µ X, µ Y, σ X e σ Y são os ouros parâmeros do modelo. Como é bem conhecido, ρ é definido por COV(X,Y) σx,y ρ = ρx,y = = () σ σ σ σ X Y X Y O esimador desse coeficiene é mais conhecido como Coeficiene de Correlação Linear de Pearson ou do Produo-Momeno e é idênico ao Esimador de Máxima Verossimilhança cuja expressão é a seguine: n ( X)( Y) X i Y i i= ρˆ = (3) X,Y n n ( X) ( Y) X i i= Y i i= Em que: ρˆ é o coeficiene de correlação linear esimado; X é a média amosral da variável X; Y é a média amosral da variável Y. 97

4 Revisa Ciências Exaas e Naurais, Vol. 7, n, Jul/Dez 005 Quando ρ = 0, o erro padrão do esimador pode ser obido pela expressão: σ ˆ = (4) ρ n Para esar a hipóese nula H 0 : ρ = 0 conra a alernaiva H : ρ 0, usa-se a esaísica (5) que é obida com base em uma amosra aleaória de amanho n. A esaísica, como se sabe, em uma disribuição com n - graus de liberdade, ou seja: ρˆ n = ~ n (5) ρˆ. Esimador do coeficiene de correlação eracórico e seu erro padrão A equação eracórica, conforme apresenada em ELDERTON (953, p. 75), é dada por: ad bc zz 3 =ρˆ +ρˆ +ρˆ yyn 4 4 ( z )( z ) zz ( 3)( z 3) 5 ( z 6z + 3)( z 6z + 3) +ρˆ +ρˆ ( z 0z + 5) z ( z 0z + 5) 7( z 5z + 45z 5)( z 5z + 45z + 5) + ˆ z + ˆ ρ ρ 70 Em que: a,b,c,d são as freqüências da abela de coningência x, conforme apresenada adiane; n = a+ b+ c+ d é o oal de observações da amosra z é o escore normal padronizado correspondene à área menor ou igual a p. Por exemplo, se p = 0, 50, enão em-se que z= 0 (abela de áreas sob a curva normal); z é o escore normal padrão correspondene à área menor ou igual a p. Se p = 0,50, enão em-se que z = 0 ; y é o valor da ordenada no pono p da função e exemplo ciado, se z = 0, enão y= f (0) = = 0, π curva normal); 0 e y= f(z) = Z π (6) z R. Para o (abela de ordenadas da 98

5 S. A. Lira e A. Chaves Neo y é o valor da ordenada no pono p da função e y = f (z ) = Z π z R. Tabela. Dicoomização das variáveis X e Y Variável X 0 Toal Variável a b a+b Y 0 c d c+d Toal a+c b+d n Guilford (950) apresena uma solução aproximada para o cálculo do Coeficiene de Correlação Teracórico, ignorando os ermos de grau superior a, na expressão (6): z z ad bc zz = ρˆ ˆ + ρ yy n Em que: ˆρ é o Coeficiene de Correlação Teracórico esimado; a,b,c,d são as freqüências da abela x; z é o escore normal padrão correspondene à área menor ou igual a p ; z é o escore normal padrão correspondene à área menor ou igual a p ; y é o valor da ordenada no pono p ; y é o valor da ordenada no pono p ; n = a+ b+ c+ d é o oal de observações da amosra. Chamando o primeiro ermo da expressão (7) de c; o coeficiene de de a, pode-se formar a equação do.º grau: = aρ ˆ + bˆ ρ + c 0 (8) que é resolvida em b ± b 4ac ρ ˆ = (9) a (7) ˆρ de b ; e Uma oura solução é apresenada em Guilford (950), uilizando o cosseno 9 : 9 Conforme demonsrado em Wonnaco e Wonnaco (978), exise uma relação enre o Coeficiene de Correlação ρˆ e o cos θ, ρˆ = cosθ e cosθ +. 99

6 Revisa Ciências Exaas e Naurais, Vol. 7, n, Jul/Dez bc ρˆ = cos (0) ad + bc o Quando o produo bc é igual a ad, o ângulo é 90 e o cosseno é igual a zero, conseqüenemene ρ ˆ = 0. O erro padrão aproximado desse esimador (Teracórico) é dado por: p q p q sen ˆ ρ ˆ σ ˆ ρ = ( ˆ ρ ) () o y y n 90 Em que: Teracórico; σ ˆ ρ ˆ é o erro padrão do esimador do Coeficiene de Correlação ˆρ é o Coeficiene de Correlação Teracórico esimado; sen ρ ˆ é o arco seno de ˆρ ; n = a+ b+ c+ d é o oal de observações da amosra. Para esar a hipóese de que ρ = 0, é possível uilizar a esaísica ρˆ σˆ =. O erro padrão poderá ser calculado considerando apenas a primeira pare da expressão (), como apresena McNemar (969): ρˆ σˆ ρˆ p q p q = () y y n.3 Suposições básicas para a uilização do coeficiene de correlação eracórico As suposições básicas para a uilização do esimador do Coeficiene de Correlação Teracórico são as de que as variáveis X L e Y L (laenes) devam ser conínuas, normalmene disribuídas, relacionadas linearmene e, ainda, X e Y Y devem ser dicoomizadas (ao serem medidas) o mais próximo possível à mediana. O Coeficiene de Correlação Teracórico é menos confiável (possui erro padrão maior) do que o de Pearson, sendo que sua variabilidade é cerca de 50% maior (GUILFORD, 950), quando ρ = 0. Para ober a mesma confiabilidade 0 para 0 A confiabilidade, aqui, é usada como sinônimo de erro padrão. 00

7 S. A. Lira e A. Chaves Neo o Coeficiene de Correlação Teracórico que a obida no Coeficiene de Correlação de Pearson, é necessário o dobro do amanho da amosra. É possível ober maiores dealhes sobre o Coeficiene de Correlação Teracórico em Lira (004)..4 Desvios absoluos A comparação enre as esimaivas dos Coeficienes de Correlação Linear de Pearson e o Teracórico foi feia uilizando-se diferenes ponos de dicoomização e calculando os desvios absoluos apresenados a seguir: DAP = n ˆ 5 5 ρˆ i i i= ρ (3) Em que: DAP 5 é o desvio absoluo enre o Coeficiene Linear de Pearson e o Teracórico uilizando o percenil 5 como pono de dicoomização; ˆρ 5 i é o Coeficiene Teracórico esimado uilizando o percenil 5 como pono de dicoomização da i-ésima amosra, i=,,..., n ; ˆρ é o Coeficiene Linear de Pearson esimado da i-ésima amosra, i i=,,..., n. n DAP50 = ρˆ 50 ρˆ i= i i (4) Em que: DAP 50 é o desvio absoluo enre o Coeficiene Linear de Pearson e o Teracórico uilizando o percenil 50 como pono de dicoomização; ˆρ 50 i é o Coeficiene Teracórico esimado uilizando o percenil 50 como pono de dicoomização da i-ésima amosra, i=,,..., n ; i=,,..., n. ˆρ i é o Coeficiene Linear de Pearson esimado da i-ésima amosra, n DAP75 = ρˆ 75 ρˆ i= i i Em que: DAP 75 é o desvio absoluo enre o Coeficiene Linear de Pearson e o Teracórico uilizando o percenil 75 como pono de dicoomização; ˆρ 75 i é o Coeficiene Teracórico esimado uilizando o percenil 75 como pono de dicoomização da i-ésima amosra, i=,,..., n ; (5) 0

8 Revisa Ciências Exaas e Naurais, Vol. 7, n, Jul/Dez 005 ˆρ i é o Coeficiene Linear de Pearson esimado da i-ésima amosra, i=,,..., n..5 Simulação Mone Carlo Foram geradas amosras das variáveis X e Y, normalmene disribuídas, uilizando-se o programa disponibilizado pelo Saisical Analysis Sofware (SAS), que se enconra no apêndice. Apresena-se a seguir o algorimo adoado para o desenvolvimeno do programa. Sejam U e V, variáveis aleaórias independenes com disribuição normal padrão, ou seja, U ~ N(0, ) e V ~ N(0, ) e os seguines parâmeros: µ X, µ, Y σ, X σ Y e ρ. As variáveis aleaórias X e Y são definidas por: X= µ + U (6) X σ X Y σy = µ Y + ρ ( X µ X) + σy( ρ )V (7) σx + Em que: µ X e µ Y R ; σ X e σ Y R ; ρ Enão em-se que disribuição conjuna de ( X,Y) em disribuição normal σ, σ e ρ. bivariada com parâmeros µ X, µ Y, X Y 3 Resulados e Discussão Foram geradas amosras aleaórias normais bivariadas com coeficienes de correlação ρ (parâmero) variando enre 0,90 e +0,90, sendo um oal de 60 amosras composas de.000 pares de observações [ X,Y]. Uilizou-se como ponos de dicoomização para o cálculo do Coeficiene Teracórico os percenis 5 ( P5 ), 50 (mediana) e 75 ( P75 ). Os gráficos a seguir mosram os coeficienes de Correlação Linear de Pearson e os coeficienes de Correlação Teracórico, com diferenes ponos de dicoomização. O gráfico, adiane, apresena a comparação enre os coeficienes Linear de Pearson e o Teracórico uilizando a mediana ( P 50 ), como pono de dicoomização. 0

9 S. A. Lira e A. Chaves Neo Fone: Os auores O gráfico apresena os coeficienes de Correlação Linear de Pearson e Teracórico, endo o percenil 5 ( P 5 ) como pono de dicoomização. Fone: Os auores 03

10 Revisa Ciências Exaas e Naurais, Vol. 7, n, Jul/Dez 005 Finalmene, o gráfico 3 apresena os mesmos coeficienes, porém uilizando o percenil 75 ( P75 ) como pono de dicoomização para o cálculo do Coeficiene de Correlação Teracórico. Fone: Os auores O gráfico indica que os coeficienes de Correlação Teracóricos obidos, endo como os ponos de dicoomização a mediana, se aproximam mais do Coeficiene de Correlação de Pearson. Os ponos esão mais concenrados em orno do Coeficiene de Pearson. Já, os gráficos e 3 indicam que, principalmene para valores dos coeficienes negaivamene alos (próximos de 0,90), os coeficienes Teracóricos se aproximam de,0, indicando que ano o percenil 5 quano percenil 75 superesimam o Coeficiene Linear de Pearson. As abelas, a seguir, apresenam os desvios absoluos médios dos coeficienes Teracóricos com diferenes ponos de dicoomização, percenil 5, mediana e percenil 75 em relação ao Coeficiene Linear de Pearson. 04

11 S. A. Lira e A. Chaves Neo Tabela. Coeficienes Linear de Pearson e Teracórico, Número de Amosras e Desvios Absoluos Segundo Valores Médio, Máximo e Mínimo. Valores Coef. Linear de Pearson 5 Coeficiene Teracorico Pono de Dicoomização Número de Amosras Desvio absoluo P 5 Desvio absoluo P 50 Desvio absoluo P 75 P P 50 P 75 Médio -0,8999-0,9843-0,8958-0, ,097 0,03 0,098 Máximo -0,884-0,87-0,8443-0,87 Mínimo -0,903-0,9990-0,95-0,9990 Médio -0,8003-0,847-0,797-0, ,053 0,08 0,0638 Máximo -0,7687-0,7088-0,707-0,7088 Mínimo -0,890-0,9990-0,8477-0,9990 Médio -0,6995-0,7046-0,6965-0, ,04 0,06 0,034 Máximo 0,6340-0,57-0,679-0,57 Mínimo -0,770-0,87-0,784-0,7847 Médio -0,6006-0,6036-0,5965-0, ,0406 0,064 0,0346 Máximo -0,5537-0,5004-0,544-0,4478 Mínimo -0,6306-0,7309-0,6800-0,6884 Médio -0,500-0,4984-0,493-0, ,0436 0,048 0,040 Máximo -0,443-0,3977-0,458-0,45 Mínimo -0,5394-0,677-0,587-0,634 Médio -0,407-0,3978-0,3948-0, ,038 0,077 0,0397 Máximo -0,350-0,93-0,800-0,343 Mínimo -0,4407-0,4869-0,488-0,578 Médio -0,3008-0,999-0,967-0, ,0378 0,07 0,0384 Máximo -0,48-0,94-0,936-0,3 Mínimo -0,345-0,400-0,3856-0,4350 Médio -0,0-0,039-0,944-0, ,0355 0,060 0,036 Máximo -0,504-0,0858-0,094-0,69 Mínimo -0,465-0,308-0,548-0,3495 Médio -0,07-0,09-0,0947-0, ,0404 0,044 0,0379 Máximo -0,0446 0,0538 0,0063-0,0050 Mínimo -0,50-0,94-0,688-0,35 Médio 0,096 0,008 0,09 0, ,0377 0,09 0,043 Máximo 0,447 0,385 0,936 0,09 Mínimo 0,07-0,049 0,0063-0,

12 Revisa Ciências Exaas e Naurais, Vol. 7, n, Jul/Dez 005 Tabela. Coeficienes Linear de Pearson e Teracórico, Número de Amosras e Desvios Absoluos Segundo Valores Médio, Máximo e Mínimo. Valores Coef. Linear de Pearson Coeficiene Teracorico Pono de Dicoomização P 5 P 50 P 75 Número de Amosras Desvio absoluo P 5 Desvio absoluo P 50 Desvio absoluo P 75 Médio 0,964 0,003 0,055 0, ,0379 0,0300 0,0373 Máximo 0,459 0,34 0,350 0,80 Mínimo 0,448 0,0730 0,9 0,0634 Médio 0,97 0,306 0,3049 0, ,0353 0,088 0,0366 Máximo 0,348 0,445 0,4087 0,3739 Mínimo 0,459 0,849 0,8 0,849 Médio 0,397 0,3990 0,405 0, ,035 0,09 0,034 Máximo 0,443 0,5053 0,497 0,4906 Mínimo 0,3483 0,99 0,309 0,99 Médio 0,4975 0,4979 0,509 0, ,098 0,047 0,097 Máximo 0,5400 0,5966 0,5673 0,565 Mínimo 0,450 0,3739 0,409 0,4060 Médio 0,5977 0,603 0,608 0, ,069 0,046 0,094 Máximo 0,6375 0,6735 0,6779 0,66 Mínimo 0,5447 0,4756 0,5036 0,56 Médio 0,698 0,707 0,6945 0, ,053 0,037 0,03 Máximo 0,789 0,7590 0,7584 0,7483 Mínimo 0,658 0,630 0,6079 0,6033 Médio 0,7987 0,7999 0,8000 0, ,09 0,087 0,003 Máximo 0,89 0,8539 0,8990 0,84 Mínimo 0,7665 0,705 0,735 0,7373 Médio 0,8994 0,897 0,8990 0, ,08 0,0097 0,064 Máximo 0,9093 0,988 0,97 0,937 Mínimo 0,8834 0,8580 0,8733 0,897 Fone: Os auores 4 Conclusão Por meio da análise efeuada, foi possível concluir que, de fao, obém-se a melhor esimaiva do Coeficiene Linear de Pearson, aravés do Coeficiene de Correlação Teracórico, quando se uiliza a mediana como pono de dicoomização das variáveis normais bivariadas. Conforme apresenados na abela, os desvios 06

13 S. A. Lira e A. Chaves Neo médios dos coeficienes Teracórico uilizando a mediana como pono de dicoomização (desvio P 50 ) são sempre menores quando comparados aos desvios P 5 e P 75. Ainda, é possível observar que para valores alos dos coeficienes linear de Pearson, sejam negaivos ou posiivos (± 0,90), os desvios médios são menores. Conclui-se, pelos resulados das simulações, que a uilização da mediana, como de pono de dicoomização para o cálculo do Coeficiene Teracórico, resula em melhores esimaivas do Coeficiene Linear de Pearson. 5 Referências BUNCHAFT, Guenia; KELLNER, Sheilah R.O. Esaísica sem misérios..ed. Perópolis: Vozes, 999. v., 303p. DOWNIE, N. M.; HEATH, R. W. Basic saisical mehods. New York: Harper & Brohers, p. ELDERTON, William P. Frequency curves and correlaion. 4.ed. Washingon: Harren Press, p. FACHEL, Jandyra M. G. The C-ype disribuion as an underlying model for caegorical daa and is use in facor analysis. London, p. Tese (Douorado). FERGUSON, G. A. Saisical analysis in psycology and educaion. Tokyo: McGraw-Hill Kogagusha, 976. GUILFORD, J. P. Fundamenal saisics in psychology and educaion. 4.ed. New York: McGraw-hill Book, p. LIRA, Sachiko A. Análise de correlação: abordagem eórica e de consrução dos coeficienes com aplicações. Curiiba, p. Disseração (mesrado). Seores de Ciências Exaas e de Tecnologia, UFPR. LORD, F. e NOVICK, M. R. Saisical heories of menal es scores. Reading: Addison- Wesley, p. McNEMAR, Quinn. Psychological saisics. 4. ed. New York: J. Wiley & Sons, p. SCHULTZ, Duane P.; SCHULTZ, Sydney Ellen. Hisória da psicologia moderna. 6. ed. São Paulo: Culrix, p. WHERRY, R. J. Conribuions o correlaional analysis. Orlando: Academic Press, p. WONNACOTT, Ronald J.; WONNACOTT, Thomas H. Economeria.. ed. São Paulo: Livros Técnicos e Cieníficos, p. 07

14 Revisa Ciências Exaas e Naurais, Vol. 7, n, Jul/Dez 005 Apêndice Programa para gerar as variáveis normais X e Y O programa que deu origem a ese, foi obido no sie: and suppor_>echnical suppor_ daa arq; keep x y; m=30; m=80; v=5; v=35; ro=0.90; do i= o 000; /* amanho da amosra */ x=m+sqr(v)*rannor(765); y=(m+ro*(sqr(v)/sqr(v))*(x-m))+ sqr(v*(-ro**))*rannor(3); oupu; end; run; 08