10ª Conferência Internacional da LARES

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1 10ª Coferêcia Iteracioal da LARES Setembro 15-17, 2010 São Paulo, Brasil A polêmica da capitalização de juros a Tabela Price: uma abordagem matemática Beveho, Agaldo Calvi 1 1 Autôomo, Rua Maestro Fco. Fortuato, 786, cjto. 84, Presidete Prudete, SP, Brasil, abeveho@terra.com.br RESUMO O sistema de amortização fracês, cohecido o Brasil como Tabela Price, é um dos pricipais métodos para cálculo de prestações de dívidas, amplamete utilizada o Sistema Fiaceiro Imobiliário (SFI). Tem havido grade polêmica relativa à ocorrêcia de capitalização de juros a Tabela Price, eveto proibido o ordeameto legal brasileiro. Isto tem gerado questioametos, sobretudo o campo jurídico, resultado em milhares de ações judiciais. Muitos destes questioametos são desprovidos de qualquer fudameto matemático. Neste artigo, apresetamos um tratameto aalítico do modelo matemático da Tabela Price, buscado trazer uma cotribuição técica ao tema. Palavras-chave: Tabela Price, capitalização de juros.

2 10ª Coferêcia Iteracioal da LARES Setembro 15-17, 2010 São Paulo, Brasil Tabela Price s iterest capitalizatio polemic: a mathematical approach ABSTRACT Frech amortizatio scheduler, kow i Brazil as Tabela Price, is oe of the most used methods for amortizatio schedule, ad is widely used o Brazilia real estate fiacial system. There has bee occurrig much polemic regardig the existece of iterest capitalizatio i Tabela Price, which is forbidde i Brazilia legal system. This polemic leads to may questioig, specially i legal area, resultig i thousads of civil suits. May of these questioigs have o mathematical basis. I this paper, we preset a aalytical approach of Tabela Price mathematical model, tryig to brig a techical cotributio o the theme. Key-words: Tabela Price, iterest capitalizatio.

3 1 1. INTRODUÇÃO O sistema fracês de amortização, cohecido o Brasil como Tabela Price, de acordo com Rezede (2009) é o sistema de amortização mais utilizado o mudo. No Brasil, ão é diferete, sedo ele largamete difudido em operações de crédito. Também é o mais polêmico. Tem havido grade úmero de ações e trabalhos questioado sua legalidade. A pricipal alegação é a ocorrêcia da capitalização de juros, eveto restrito o ordeameto jurídico brasileiro. O grade volume de capital direcioado às operações de crédito, que a área de fiaciameto imobiliário gira em toro de 30 bilhões de reais, e de fiaciameto de veículos chega à mota de 80 bilhões, de acordo com estatísticas do Baco Cetral, acaba ressaltado a importâcia dos sistemas de amortização e, sobretudo, da Tabela Price. No etato, muitas alegações sobre a capitalização de juros a Tabela Price pecam pela falta de embasameto matemático, o que tora grade parte das cotestações mero exercício de semâtica. Como será visto, a estrutura matemática da Tabela Price, a priori, parece icorporar a capitalização de juros. Etretato, uma aálise mais detalhada mostra que isto ão ocorre. Outro poto importate é a cofusão etre os termos capitalização de juros e cotagem de juros sobre juros. Neste trabalho, partiremos da premissa que o sigificado de ambos é o mesmo, embora em setido estrito, ão sejam. 2. TABELA PRICE De acordo com Del Mar (2001), um sistema de amortização é o plao segudo o qual se pagará uma dívida. Aida segudo aquele, a Tabela Price cosiste em um plao de amortização de uma dívida em prestações periódicas, iguais e sucessivas, ode o valor de cada prestação é composto por duas subparcelas distitas: uma de juros e outra de amortização do capital. A mesma foi idealizada pelo teólogo iglês Richard Price ( ) para cálculo do valor de aposetadorias e pesões, tedo sido empregada a amortização de empréstimos a Fraça do século XIX (daí o ome Sistema de Amortização Fracês). Matematicamete, temos que, para uma determiada dívida P, a ser paga em parcelas A, iguais, sucessivas, compostas por juros do empréstimo e amortização do capital, sedo i o juro sobre a dívida, podemos calcular a parcela A pela Eq. 1. A = P i( 1+ ( (1) Além disso, cosiderado C j como a parcela relativa a amortização do capital o período j e J j a parcela relativa aos juros, a Eq. 2 exprime a relação etre as mesmas e a parcela de pagameto A: A = C j + J j (2) A Tabela Price é largamete utilizada as operações de crédito e as trasações a prazo, sobretudo, segudo Souza e Clemete (2000), por apresetar parcelas iguais. Outra grade vatagem, apotada por Aragão (2006), especialmete as operações do Sistema Fiaceiro da Habitação, é de que a mesma apreseta parcelas iiciais iferiores em relação a outros sistemas de amortização, implicado um meor comprometimeto iicial de reda, torado as operações mais atraetes.

4 2 De acordo com Berardes (2009), a Tabela Price é utilizada em todo o mudo. Acrescetamos que ela ão é cohecida por este ome o exterior, mas simplesmete por Sistema de Amortização. Isto pode ser comprovado por uma busca o Google ( pelos termos Amortizatio Schedule ou Amortizatio Calculator Formula, ode emerge o modelo matemático da Tabela Price. Mesmo diate de suas vatages, tem havido polêmicas sobre a legalidade da Tabela Price. No ordeameto legal brasileiro, a capitalização de juros, utilizada como siôimo a cotagem de juros sobre juros e aatocismo, é restrita. E existem várias alegações de que a Tabela Price iclui a capitalização de juros em sua estrutura. Provavelmete, o fator expoecial existete o umerador da fórmula matemática da Tabela Price, e que é equivalete ao modelo de juros compostos, teha levado a esta cofusão. Autores como Campos Filho et al (2004) afirmam que a mesma é costruída sobre a teoria dos juros compostos. 3. CAPITALIZAÇÃO A ocorrêcia de capitalização a Tabela Price é o pricipal deflagrador das polêmicas que recaem sobre ela. No etato, a cofusão sobre o termo e as iterpretações resultates da cofusão acabam criado questioametos baseados apeas em argumetações semâticas. Diate disso, é ecessário estabelecer o sigificado do termo capitalização, de modo a que as aálises relativas à mesma o âmbito da Tabela Price sejam válidas. Trata-se da questão da demarcação, que em setido mais amplo é resposável por distiguir a ciêcia da metafísica, mas este caso busca delimitar os aspectos cietíficos do problema (capitalização a Tabela Price) de argumetações desprovidas de caráter cietífico. Muito embora Popper (2007) combata a sigificação como pricípio de demarcação cietífica, a mesma é suportada por Wittgestei (2001) e suficiete a ossos propósitos. Capitalização é uma forma de acumulação de riqueza. O termo é defiido por Nues (1999) como o ato de coverter em capital, adicioar os lucros ao capital para auferir ovos redimetos. Para Silva (1998), sigifica a coversão dos redimetos ou dos frutos de um capital em capital. Logo, capitalização de juros é a soma dos juros ao capital origial, com objetivo de cotar ovos juros. A capitalização, por si própria, ão pode ser proibida, pois se assim fosse, a acumulação de riquezas seria vedada. De acordo com Caçado e Lima (1999), o que é defeso o ordeameto legal é a capitalização de juros o setido de somar os mesmos ao capital iicial para reder ovos juros, em período iferior a um ao, a ão ser para algumas operações fiaceiras específicas, reguladas por legislação própria. A proibição da capitalização em períodos iferiores a um ao tem origem o Decreto º , de 7 de abril de 1933, também cohecido como Lei da Usura, que em seu artigo 4º dispõe: É proibido cotar juros dos juros; esta proibição ão compreede a acumulação de juros vecidos aos saldos líquidos em cota correte de ao a ao. Da errôea iterpretação deste artigo da lei surgiu a Súmula º 121 do Supremo Tribual Federal, cujo verbete determia: É vedada a capitalização de juros, aida que expressamete covecioada. Parece claro que a súmula em questão proíbe a capitalização de juros o setido de cotar ovos juros. Também parece claro que esta proibição restrige-se a períodos iferiores a um ao. A iterpretação literal da súmula levaria a uma coclusão absurda: que os juros proveietes de um empréstimo uca poderiam ser icorporados ao capital do credor.

5 3 Outro poto fudametal é estabelecer que, coceitualmete, existem difereças etre sistemas de capitalização, que tem como objetivo acumulação de capital e sistemas de amortização, cujo objetivo é retorar capital. Tal difereciação é apresetada em Chaves (2002). O próximo passo é aalisar a forma como os juros são adicioados ao capital. Vieira Sobriho (2000) iforma que há dois regimes possíveis: a capitalização simples, ode os juros são calculados apeas sobre o capital iicial e a capitalização composta, o qual os juros são adicioados ao capital do período aterior para rederem ovos juros. Surgem assim os coceitos de juros simples e juros compostos. Potes de Mirada (1984) explica que juros simples são aqueles que ão produzem juros e compostos aqueles que fluem dos juros. Matematicamete, cosiderado um capital iicial C, emprestado a uma taxa de juros i por um período, se trasformará em diferetes capitais fiais, Cs e Cc, expressos pelas Eqs. 3 e 4, coforme a utilização do regime de juros simples ou compostos. Cs = C(1 + (3) Cc = C(1 + (4) Como visto acima, a capitalização pode ser feita de forma simples ou composta. A proibição quato à capitalização de juros que se depreede do ordeameto legal é a capitalização composta, ou seja, o juro composto. Logo, detro deste trabalho, serão usados os termos capitalização e cotagem de juros sobre juros como siôimos. Embora em estritamete há difereças, em setido lato a igualdade dos termos pode ser adotada. A Eq. 4 é base de um dos argumetos favoráveis a tese da capitalização da Tabela Price. Segudo Scavoe Jr. (2003), os juros são calculados de forma composta, com a utilização da expressão expoecial, o que comprova a capitalização. Ela também é base para a argumetação de que a Tabela Price é baseada a teoria de juros compostos, decorredo daí a capitalização. Um outro termo, costatemete associado à argumetação quato a ilegalidade da Tabela Price, é o aatocismo. De acordo com Silva (1998), aatocismo é a cotagem ou cobraça de juros sobre juros. Defiição similar é ecotrada em Nues (1999). Logo, o coceito de capitalização abarcará também o termo aatocismo. Muito embora ão haja meção ao mesmo as ormas legais, ele é bastate dissemiado o jargão jurídico. 4. DEDUÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO DA TABELA PRICE 4.1 Formulação do Problema Modelo é uma estrutura que descreve, de forma aproximada, um feômeo qualquer. Modelo matemático é um sistema axiomático cosistido de termos idefiidos que são obtidos pela abstração e qualificação de idéias do mudo real. Usualmete, um modelo matemático é expresso por uma equação ou cojuto de equações, embora um cojuto de regras possa ser um modelo, como, por exemplo, em Russell (2007), a estrutura de geração de úmeros iteiros. O modelo matemático da Tabela Price é expresso pelas Eqs. 1 e 2. A Eq. 1 expressa como é calculada a parcela através deste sistema de amortização, ao passo que a Eq. 2 exprime uma restrição o feômeo modelado. Esta restrição, embora seja dispesável o cálculo da parcela de pagameto da dívida, é fudametal para a derivação do modelo, bem como os dá iformações relativas à sua estrutura itera.

6 4 A dedução de um modelo matemático muitas vezes é ligada a ecessidade de iterpretação de um feômeo ou de solução de um problema. Modelos podem ser deduzidos através do uso de regras estabelecidas ou derivados de dados experimetais. No caso da Tabela Price, buscou-se a dedução de um sistema de pagametos relativos a uma divida iicial, a qual existiam as seguites codições: O capital iicial seria emprestado o istate 0, ou seja, aquele istate, o saldo devedor seria igual ao capital iicial; As parcelas de pagameto teriam de ser iguais ao logo de todos os pagametos; Cada parcela deveria coter um compoete relativo ao pagameto do capital iicial e outro relativo ao pagameto dos juros; As parcelas deveriam ser pagas ao fial de cada período; O saldo devedor o período seria calculado através da dedução do saldo devedor aterior pelo compoete resposável pela amortização, a parcela; Os juros ao logo de todo o período devem ser calculados sobre o saldo devedor. 4.2 Derivação do Modelo Através das restrições acima, mostraremos a dedução da expressão matemática da Tabela Price, cosiderado que será emprestado um capital P, a uma taxa de juros i, a ser pago em parcelas iguais A, sedo que cada uma delas cotemple uma parte da amortização do capital e outra relativa ao pagameto de juros. A partir dos dados apresetados e das codições impostas, pode se costruir uma expressão matemática para o saldo devedor p() em qualquer período como fução de P, i, A e. Pela defiição, o saldo devedor o período t = 0 é igual ao capital emprestado, ou. p(0) = P Ao fim do período 1, de acordo com as defiições apresetadas, icidirá uma taxa de juros i e será paga uma parcela A, ficado o saldo a seguir p(1) = P A Seguido o mesmo pricípio, para os períodos 2 e 3 teremos. p(2) = p(1) A = [P A] A = P 2 A A p(3) = P 3 A 2 A A A partir daí, podemos geeralizar a fução para um período, através da Eq. 5. p() = P A -1 A A A (5) Como queremos que o saldo devedor o período seja zero, igualamos a Eq. 5 a zero. P = A -1 A A A Cosiderado que P, i e são dados, é ecessário calcular A que satisfaça a codição acima. Cosiderado os termos da direita da igualdade como uma progressão geométrica com primeiro termo 1 e razão, podemos determiar a soma dos t termos da mesma.

7 5-1 t = 0 t = K = -1 Resultado a Eq. 6, que é similar a Eq. 1, expressão da Tabela Price. -1 P (1 = A + i -1 (6) 4.3 Coseqüêcias da Dedução Matemática A partir da dedução do modelo, podemos extrair iformações relevates para uma aálise formal da Tabela Price. Iicialmete, percebe-se que em ehum mometo foi utilizada a teoria dos juros compostos. É fácil ver que em cada etapa da derivação do modelo foi empregado o juro simples, icidido apeas sobre o saldo devedor. Desta primeira coclusão surgem dois questioametos importates. O primeiro é relativo à afirmação de Price (1771), de que a tabela em questão é baseada em juros compostos. Não se olvida que Richard Price etedia ser sua tabela derivada da aplicação de juros compostos. No etato, a idéia do formulador origial e a correta iterpretação ão são ecessariamete coicidetes. Além disso, a hipótese deve testada, de acordo com Popper (2007), e somete será válida se resistir ao falseameto empírico. Como vimos, ão é isso o que ocorre. Além disso, modelos matemáticos podem ter iterpretações diversas. Um caso famoso é a equação da oda de Schrödiger, deduzida pelo físico de mesmo ome. Segudo Popper (1973), Schrödiger estava equivocado a respeito do problema que resolveu através da fução de oda, pois pesava que as odas possuíam desidade de carga mutável. Mais tarde, o físico alemão Max Bor deu uma explicação estatística da amplitude das odas, iterpretação esta que desagradou Schrödiger equato viveu, mas que redeu a Bor um Prêmio Nobel de Física. Outro exemplo famoso é a reformulação da Teoria da Relatividade Especial por Herma Mikowski, pela qual, segudo Simose (1994), o próprio Albert Eistei afirmou que agora era ele quem ão etedia a teoria da relatividade. O segudo poto se relacioa ao termo P, que é similar à equação dos juros compostos (Eq. 4). Neste caso, a utilização da forma expoecial tem a simples fialidade de geeralização. Tato é que, como veremos a próxima seção, este termo pode ser elimiado sem alterar a estrutura do modelo. Além disso, se buscássemos explicar o modelo matemático através da teoria do juro composto, chegaríamos a coclusão que houve capitalização também das parcelas de pagameto, que são depreedidas dos termos A -1, A -2 e seguites da Eq. 5. E tal situação ão faz setido, haja vista que as parcelas já foram pagas. De qualquer forma, é possível a iterpretação da Tabela Price através da teoria dos juros compostos, a qual, também ão implica em capitalização de juros. A expressão matemática (Eq. 1) tem o umerador o termo. Este termo pode ser etedido como o fator de capitalização composto. Por outro lado, em seu deomiador ecotra-se o termo 1. Este termo é o fator de descoto. Na literatura fiaceira (Gitma, 2002), pode-se costatar que a operação descoto é a iversa da capitalização. Deste modo, percebe-se que sobre o termo Pi da equação matemática da Tabela Price são aplicadas simultaeamete as operações capitalização e descoto, com o mesmo período e mesma taxa de juros, sedo que a operação descoto o valor 1 correspode a uma defasagem temporal.

8 6 Decorredo daí, a operação capitalização é aulada pela operação descoto, ão ocorredo à composição de juros, o que é coerete com as demostrações apresetada. Outra iformação que pode ser depreedida da dedução apresetada é a forma como são calculados os juros a Tabela Price. É ítido que os mesmos icidem apeas sobre o saldo devedor, ou seja, a parcela que já foi amortizada o período aterior. Decorre daí que os juros ão são adicioados ao capital para cotagem de ovos juros. Por fim, uma coclusão de fudametal importâcia é de que a estrutura do modelo matemático da Tabela Price, com seus termos expoeciais, é devida a codição restritiva a qual todas as parcelas do plao do pagameto são iguais. 5. ANÁLISE MATEMÁTICA DA CONTAGEM DE JUROS NA TABELA PRICE 5.1 Um Exemplo Numérico Várias obras apresetam exemplos uméricos sobre como evoluem o saldo devedor, os juros e a amortização em operações simuladas com a parcela de pagameto através da Tabela Price. Vemos os mesmos em Chaves (2002), Del Mar (2001) e Rezede (2009), detre outros. Tais exemplos uméricos, embora percam geeralidade, são exceletes para eteder como evoluem as quatias em um fiaciameto da Tabela Price. Também são úteis, o caso deste trabalho, para dar suporte a demostração matemática apresetada a seção aterior. Na Tab. 1, apresetamos uma simulação umérica para uma operação com as seguites características: o valor emprestado é de R$ 1.000,00, a taxa de juros é de 2% ao mês e o período de pagameto é de 10 meses. Tab. 1: Simulação de uma operação através da Tabela Price Mês Saldo Devedor Taxa Juros Juros Amortização Parcela ,00 2,00% 0,00 0,00 0, ,67 2,00% 20,00 91,33 111, ,51 2,00% 18,17 93,16 111, ,49 2,00% 16,31 95,02 111, ,57 2,00% 14,41 96,92 111, ,72 2,00% 12,47 98,86 111, ,88 2,00% 10,49 100,84 111, ,03 2,00% 8,48 102,85 111, ,12 2,00% 6,42 104,91 111, ,15 2,00% 4,32 107,01 111, ,00 2,00% 2,18 109,15 111,33 Observado a colua juros, percebemos que os mesmos sempre são calculados sobre o saldo devedor do período aterior. Por exemplo, o juro do período 1 é de R$ 20,00, correspodete a R$ 1.000,00 x 0,02. Sedo a parcela de R$ 111,13, o compoete amortização será de R$ 91,33, que é a difereça etre a parcela e o compoete juro, acarretado que o saldo devedor o período 1 será de R$ 908,67.

9 7 Repetido a sistemática, o juro o período 2 será de R$ 18,17, o que é igual a R$ 908,67 x 0,02 (salvo por arredodametos), decorredo que o compoete amortização será de R$ 93,16 e o saldo devedor, R$ 815,51. Este exemplo evidecia a ão existêcia da acumulação de juros sobre o saldo devedor do próximo período, acarretado aí a ão capitalização de juros. 5.2 Um Método Empírico para o Cálculo da Parcela de Pagameto Neste item, mostraremos o cálculo da parcela de pagameto de uma dívida sem utilizar o modelo matemático da Tabela Price, mas com as mesmas codições e restrições daquele, e que apreseta o mesmo resultado. Cosideremos que um emprestador quer calcular as parcelas de amortização de um empréstimo, de R$ 100,00, com taxa de juro de 1% ao mês e período de 3 meses (estamos utilizado o período curto para facilitar os cálculos). Supomos que ele ão coheça a Tabela Price. Também supomos que o emprestador queira que o plao de pagameto teha as seguites características: (1) O empréstimo se daria o istate 0, ode o saldo devedor será igual ao capital iicialmete emprestado este período; (2) As três parcelas de pagameto seriam iguais; (3) Cada parcela possui um compoete relativo aos juros do empréstimo e outro relativo à amortização do capital iicial; (4) As parcelas seriam pagas ao fial de cada período; (5) O saldo devedor de um período é calculado como a subtração do saldo devedor do período aterior pelo compoete de amortização; (6) Os juros icidiriam apeas sobre o saldo devedor. As codições acima são as mesmas utilizadas a dedução do modelo matemático da Tabela Price (vide seção 4). Para este exemplo vamos cosiderar uma expressão para o saldo devedor em fução do período, idêtica a Eq. 5. Da codição (1), teremos o saldo devedor o período 0. p(0) = 100 Da codição (2), temos que a parcela será igual para todos os períodos. Deomiaremos a mesma de A. Da codição (3), temos a Eq. 7. A = J t + C t (7) Aida da codição (3), cosideraremos que os compoetes de Juros (J t ) e da amortização (C t ) ão sejam iguais. Veremos que esta codição é verdadeira. Logo, para os três períodos ode ocorrerá o pagameto das parcelas, teremos compoetes dispostos a Tab. 2. Tab. 2: Compoetes relativos a juros e a amortização para pagameto da dívida Período Parcela Juro Amortização 1 A J 1 C 1 2 A J 2 C 2 3 A J 3 C 3

10 8 Agora, passamos a calcular os pagametos e a evolução do saldo devedor. No período 1, decorredo da codição (5) e usado a Eq. 7, temos: p(1) = p(0) A = 100 x (1,01) A Derivado da Tab. 1, vem: p(1) = 100 x 1,01 J 1 C 1 Mas, decorrete da codição (6), temos: J = p(-1) x i Desta implicação, chegamos a o juro o período 1. J 1 = p(0) x i = 100 x 0,01 = 1 Assim, teremos que o saldo devedor o período 1 será: p(1) = 100 C 1 Seguido a mesma sistemática, os saldos devedores os períodos 2 e 3 serão: p(2) = 100 C 1 C 2 e p(3) = 100 C 1 C 2 C 3 Como estamos lidado com um sistema de amortização, sabemos que o saldo devedor deverá ser zero o fial do período 3. Logo, igualado o saldo devedor a 0, temos a Eq. 8. C 1 + C 2 + C 3 = 100 (8) No etato, sabemos que a parcela de pagameto A é a soma dos compoetes de juros e de amortização em cada período, de acordo com a Eq. 7, o que equivale a: A = J 1 + C 1 = J 2 + C 2 = J 2 + C 2 A Eq. 7 os permite escrever J 1, J 2 e J 3 em fução dos saldos devedores. Os compoetes de amortização C 1, C 2 e C 3 podem ser escritos em fução da parcela A: C 1 = A 1, C 2 = 1,01A 1,01 e C 3 = 1,0201A 1,0201 Substituido os três termos a Eq. 8, determia-se a parcela A, objetivo deste cálculo, A = 34,00221, que é exatamete igual àquele obtido através do modelo matemático da Tabela Price. Perceba-se que em ehum mometo foi utilizada a composição de juros. 5.3 O Coeficiete o Modelo Matemático da Tabela Price Os exemplos apresetados as subseções 5.1 e 5.2 esclarecem a iexistêcia de capitalização a Tabela Price. Etretato, é alegado, que o coeficiete expoecial, pelos que defedem a tese de existêcia de capitalização a Tabela Price, como evidêcia do uso dos juros compostos.

11 9 Após a dedução do modelo, a seção 4, explicamos que o mesmo trata-se apeas de uma forma de geeralização, ão implicado a icidêcia de juros compostos. Isto pode ser comprovado o cálculo da parcela de amortização exibido em 5.2. Vamos mostrar, matematicamete, que é possível reduzir o coeficiete a um coeficiete, de juros simples, sem alterar a estrutura matemática da Tabela Price. Tomemos a Eq. 5 igualada a zero, resultado a expressão: P A -1 A A A = 0 O primeiro passo é cofirmar que existe uma solução A tal que a igualdade exposta a Eq. 5 seja verdadeira. Se admitirmos que P > A, sempre haverá soluções para a expressão. Esta premissa é verdadeira, pois a parcela de pagameto sempre será iferior ao total da dívida. Na seqüêcia, é ecessário impor a codição 0. Isso equivale dizer que i -1. Com efeito, em aplicações para casos reais, i será sempre maior que 0 (i > 0), pois é a taxa de juros a ser cobrada pelo empréstimo. Logo, esta codição é verdadeira. Obedecedo estas duas codições, é possível dividir ambos os lados da igualdade por -1 sem alterar o sigificado, a seguir P - A - A -K- A 0 = Efetuado os cálculos, chegamos a Eq. 9, ode o termo P é multiplicado por, ou seja, juros simples. Perceba-se que a igualdade da equação permaece verdadeira. A A A P - A - - -K- 2-2 Resolvedo esta equação em A, chegaremos a uma fórmula alterativa para o modelo matemático da Tabela Price, expressa pela Eq A A - -1 = 0-1 (9) A = 1- Pi ( 1+ - (10) 5.4 Aálise dos Limites da Fução Matemática da Tabela Price Os resultados apresetados até agora são demostrações formais da hipótese de ão ocorrêcia de capitalização de juros a Tabela Price e, apesar de mostrarem uma abordagem diferete, apresetam muito pouca ovidade o que já foi escrito. Nesta subseção, apresetaremos uma visão ova, utilizado o cálculo diferecial para mostrar que o modelo matemático da Tabela Price apreseta um comportameto liear em relação ao juro do empréstimo e que, para empréstimos de logo prazo, o devedor paga apeas os juros, que são suficietes para amortizar o empréstimo. Quado se deseja estudar o comportameto de fuções complexas, é usual calcular os seus limites, em relação a 0 e ao ifiito (etedido como um úmero muito grade). Segudo Guidorizzi (1997), o limite de uma fução em relação a um determiado úmero é valor que esta assumiria quado calculada em relação àquele. Matematicamete, temos a Eq. 11. lim f(x) = f(g) x g (11)

12 10 No caso da Tabela Price, o cálculo do limite tededo a zero ão faz setido, pois ão existem empréstimos com zero prestações. No etato, o cálculo do limite da fução tededo a ifiito é sigificativo, vez que empréstimos tedem a apresetar grade úmero de parcelas, coeretes com a oção de ifiito como um úmero muito grade, segudo Russell (2007). Assim, calculamos o limite da equação da Tabela Price com o úmero de parcelas tededo ao ifiito, mostrado a seguir. Pi Pi lim = = -1-1 Que é uma idetermiação. Para este caso, segudo Guidorizzi (1997), pode ser empregada a regra de L Hospital, ode o limite da divisão de duas fuções idetermiadas pode ser calculado como a divisão das derivadas de cada uma das fuções, de acordo com Eq. 12. lim x f() g() = lim x f ' () g ' () = f ' (x) g ' (x) (12) Operado as derivadas do deomiador e do umerador, e calculado o limite com tededo ao ifiito, teremos: -1 Pi Pi lim = lim -1-1 = Pi Um resultado bastate importate emerge deste cálculo. Para empréstimos com um grade úmero de parcelas, a equação matemática da Tabela Price apreseta comportameto liear, acarretado iexistêcia de capitalização. Tal resultado ão é surpreedete, pois em outros tópicos deste trabalho, esta coclusão já havia sido obtida. Em empréstimos com grade úmero de parcelas, que é o usual, a parcela da Tabela Price tede ao juro. Em outras palavras, o devedor que faça operações lastreadas a Tabela Price ão precisa pagar a amortização, pois os próprios juros se ecarregam de quitar o pricipal. Para ilustrar as coclusões, apresetamos a Fig. 1, costituída de um gráfico que descreve o comportameto da prestação calculada pela Tabela Price, para um empréstimo de R$ 100,00, em fução do úmero de parcelas, para diferetes taxas de juro. Fig. 1 : Parcelas calculadas pela Tabela Price para diferetes períodos e taxas de juro PARCELA PARCELAS NA TABELA PRICE 12,00 11,00 10,00 9,00 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0, MESES 1% 2% 3% 4% 5%

13 11 Pelo gráfico observamos que as parcelas da Tabela Price, que evolvem juros e amortização, a partir aproximadamete de 250 prestações, covergem para o valor Pi. Isto sigifica que um devedor que tome empréstimos com parcelas calculadas pela Tabela Price ão precisará pagar o pricipal, pois o valor dos juros será suficiete para pagar a dívida. Também fica claro que as parcelas são proporcioais a Pi, ou seja, ao juro da dívida, o que evidecia a ão cotagem de juros sobre juros, ou capitalização de juros, em empréstimos calculados através da Tabela Price. 6. CONCLUSÃO Muita polêmica foi suscitada pela utilização da Tabela Price, que, apesar de suas vatages, se torou a ovelha egra dos sistemas de amortização. Algumas críticas, apesar de icorretas, tiham validade cietífica, uma vez que eram baseadas em pressupostos. Etretato, muitas outras eram absolutamete desprovidas de qualquer fudametação. Um dos pomos da discórdia é a existêcia do fator expoecial, o que levou muitos a acreditar que a Tabela Price icorporava a teoria dos juros compostos, ou cotemplava a capitalização em sua estrutura. Como visto, a partir de aálise matemática um pouco mais rigorosa, percebemos que retromecioado fator ão faz parte de sua estrutura, tampouco é utilizada a teoria dos juros compostos para chegar à sua formulação. É possível obter os resultados da Tabela Price sem utilizar qualquer cosideração sobre juros compostos, aplicado o juro apeas ao saldo devedor o período. Neste poto, o trabalho ão iova, pois vários autores já chegaram à mesma coclusão, apeas apreseta uma solução aalítica, o que, formalmete é mais coveiete. A alegação de que, pelo fato do próprio Richard Price afirmar que a tabela era derivada de juros compostos, como prova da ocorrêcia de capitalização ão pode ser cosiderada, uma vez que cofrota com os resultados das aálises matemáticas. Também vimos ser possível a iterpretação pela teoria do juro composto sem cocluir pela ocorrêcia de capitalização, muito embora a mesma seja desacoselhada, uma vez que o pricípio da Tabela Price são as prestações iguais (a Tabela Price também é cohecida como Série de Pagametos Uiformes, o que os parece ser a deomiação mais coveiete). A utilização do cálculo diferecial comprova a iocorrêcia de capitalização em parcelas calculadas através da Tabela Price. Além disso, percebe-se que para empréstimos de logo prazo, como tem sido praxe as operações de crédito, acabam por covergir as parcelas para o termo de juros, aulado a parcela de amortização, desoerado o devedor deste compromisso. A tedêcia legal brasileira é a de liberar a capitalização de juros em períodos iferiores a um ao, bem como a Tabela Price. A Medida Provisória º 2.170, em sua 36ª edição, de 23 de agosto de 2001 autoriza expressamete o pacto de capitalização em períodos iferiores a um ao. Além disso, a Lei Federal º , de 07 de julho de 2009 autoriza a capitalização mesal e o uso da Tabela Price em operações do Sistema Fiaceiro Imobiliário. 7. BIBLIOGRAFIA ARAGÃO, José Maria. Sistema fiaceiro da habitação. Curitiba: Ed. Juruá, 2006; BERNARDES, Cláudio. Tabela Price. O sistema de amortização utilizado o mudo todo. Revista Egeharia. São Paulo: Istituto de Egeharia, Edição 534, 1999;

14 12 CAMPOS FILHO, Ademar et all. Declaração em defesa de uma ciêcia matemática e fiaceira, Dispoível em < CANÇADO, Romualdo W. e Orlei C. de Lima. Juros. Correção moetária. Daos fiaceiros irreparáveis: uma abordagem jurídico-ecoômica. Belo Horizote: Ed. Del Rey, 1999; CHAVES, Oziel. Há aatocismo a Tabela Price? Jus Navigadi, 2002, dispoível em < DEL MAR, Carlos Pito. Aspectos jurídicos da Tabela Price. Ed. Jurídica Brasileira, 2001; GITMAN, Lawrece. Pricípios de admiistração fiaceira. São Paulo: Ed. Harba, 2002; GUIDORIZZI, Hamilto L. Um curso de cálculo. São Paulo: Ed. LTC, 1997, Vol. 1; NUNES, Pedro. Dicioário de tecologia jurídica. Rio de Jaeiro: Ed. Reovar, 1999; PONTES DE MIRANDA, Fracisco Cavalcati. Tratado de Direito Privado. São Paulo: Ed. Revista dos Tribuais, 1984, Vol. 24; POPPER, Karl. Cohecimeto objetivo. Belo Horizote: Ed. Itatiaia, 1973; POPPER, Karl. A lógica da pesquisa cietífica. São Paulo: Ed. Cultrix, 2007; PRICE, Richard. Observatios o reversioary paymets. Lodres: T. Cardell, 1771; REZENDE, Teotôio C. A Tabela Price e a polêmica dos juros. Revista Sistema de Fiaciameto Imobiliário. No. 29 (Outubro, 2009), pg , dispoível em < RUSSELL, Bertrad. Itrodução a filosofia matemática. Rio de Jaeiro: Jorge Zahar Ed., 2007; SCAVONE JR. Luiz Atoio. Juros o Direito Brasileiro. São Paulo: Ed. Revista dos Tribuais, 2009; SILVA, De Plácido e. Vocabulário jurídico. Rio de Jaeiro: Ed. Forese, 1998; SIMONSEN, Mário Herique. Esaios aalíticos. Rio de Jaeiro: Ed. Fudação Getúlio Vargas, 1994; SOUZA, Alceu e Ademir Clemete. Matemática fiaceira. São Paulo: Ed. Atlas, 2000; VIEIRA SOBRINHO, José D. Matemática fiaceira. São Paulo: Ed. Atlas, 2000; WITTGENSTEIN, Ludwig. Tratactus Logico-Philosophicus. São Paulo: EDUSP, 2001.