O NÚMERO E O NÚMERO DE OURO: curiosidades, propriedades matemáticas e propostas de atividades didáticas

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1 Uiversidade Federal de Juiz de Fora Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal PROFMAT Leadro de Oliveira Sodré O NÚMERO 4857 E O NÚMERO DE OURO: curiosidades, propriedades matemáticas e propostas de atividades didáticas Juiz de Fora 03

2 Leadro de Oliveira Sodré O NÚMERO 4857 E O NÚMERO DE OURO: curiosidades, propriedades matemáticas e propostas de atividades didáticas Dissertação apresetada ao Programa de Pós-graduação PROFMAT (Mestrado Profissioal em Matemática em rede acioal) a Uiversidade Federal de Juiz de Fora, como requisito parcial para obteção do grau de Mestre, a área de Matemática. Orietador: Prof. Dr. Sadro Rodrigues Mazorche Juiz de Fora 03

3 Sodré, Leadro de Oliveira. O úmero 4857 e o úmero de ouro: curiosidades, propriedades matemáticas e propostas de atividades didáticas / Leadro de Oliveira Sodré f. : il. Dissertação (Mestrado Profissioal em Matemática em Rede Nacioal - PROFMAT) Uiversidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, 03.. Matemática Estudo e esio.. Matemática recreativa. I. Título. CDU 5:37.0

4 Leadro de Oliveira Sodré O NÚMERO 4857 E O NÚMERO DE OURO: curiosidades, propriedades matemáticas e propostas de atividades didáticas Dissertação aprovada pela Comissão Examiadora abaixo como requisito parcial para a obteção do título de Mestre em Matemática pelo Mestrado Profissioal em Matemática em rede acioal a Uiversidade Federal de Juiz de Fora. Prof. Dr. Sadro Rodrigues Mazorche (orietador) Mestrado Profissioal em Matemática (PROFMAT) UFJF Prof. Dr. Sergio Guilherme de Assis Vascocelos Mestrado Profissioal em Matemática (PROFMAT) UFJF Prof. Dr. Fraciildo Nobre Ferreira Mestrado Profissioal em Matemática (PROFMAT) UFSJ Juiz de Fora, 09 de março de 03.

5 AGRADECIMENTOS Primeiramete, a Deus, fiel amigo, pela vida da miha filha, Amada, e por ter me dado codições de cocluir este trabalho. A miha esposa, Raquel, que tem me apoiado em miha carreira e compreedido miha ausêcia. A meus pais, irmãos, familiares e amigos, por grade icetivo e apoio. A meus irmãos em Cristo, pelas costates orações. Ao meu grade amigo Alexadre J. Rodrigues, por me idicar o PROFMAT. Aos amigos do PROFMAT, pela amizade e compaheirismo. Aos colegas de trabalho, pela colaboração, paciêcia e icetivo. Ao meu orietador professor Dr. Sadro, pelo material de apoio e sugestões. A CAPES, pelas Bolsas de Estudo que recebi.

6 RESUMO Neste trabalho são apresetadas curiosidades, propriedades matemáticas, aplicações além do campo puramete matemático e um pouco da história de dois úmeros: o úmero 4857 e o Número de Ouro. Além disso, são propostas algumas atividades didáticas para o estudo desses úmeros em aulas de Matemática. O úmero 4857 é chamado de cíclico porque 4857x = 8574, 4857x3 = 4857, 4857x4 = 5748, 4857x5 = 7485 e 4857x6 = 8574 e o Número de Ouro tem aplicações a Botâica, Zoologia, Artes, Egeharia de Materiais e tem muitas relações com a sequêcia de Fiboacci. Palavras-chaves: úmeros cíclicos, Número de Ouro, sequêcia de Fiboacci, atividades didáticas, curiosidades matemáticas.

7 ABSTRACT This work presets curiosities, mathematical properties, applicatios beyod the purely mathematical field ad some of the history of two umbers: the umber 4857 ad the golde umber. I additio, some educatioal activities for the study of these umbers i mathematics classes are proposed. The umber 4857 is called of cyclic because 4857x = 8574, 4857x3 = 4857, 4857x4 = 5748, 4857x5 = 7485 e 4857x6 = 8574 ad the golde umber is applied i botay, zoology, art, materials egieerig ad has may relatioships with the Fiboacci sequece. Keywords: cyclic umbers, golde umber, Fiboacci sequece, educatioal activities, mathematical curiosities.

8 LISTA DE FIGURAS Figura : Esquema cíclico para Figura : Esquema cíclico para Figura 3: Poto C dividido um segmeto AB em média e extrema razão Figura 4: Petágoo regular e Petagrama Figura 5: Retâgulos áureos o dodecaedro e o icosaedro regulares... 3 Figura 6: Petágoo regular Figura 7: Triâgulo formado por duas diagoais e um lado de um petágoo regular.. 33 Figura 8: Como costruir um segmeto de medida igual a ϕ vezes a medida de outro segmeto Figura 9: Divisão de um segmeto em Razão Áurea. 35 Figura 0: Espiral logarítmica Figura : Espiral equiagular Figura : Retâgulo áureo Figura 3: (pseudo) Espiral áurea... 4 Figura 4: Pólo de uma (pseudo) espiral áurea.. 4 Figura 5: Espiral de Fiboacci Figura 6: Triâgulos áureos o petágoo regular Figura 7: (pseudo) Espiral áurea associada a triâgulos áureos Figura 8: O Homem Vitruviao Figura 9: Triâgulo retâgulo associado a um segmeto dividido em Razão Áurea Figura 0: Tilig de Kepler Figura : O Modulor. 48 Figura : Seta e Pipa de Perose.. 50 Figura 3: Paralelogramos de Perose Figura 4: Efeito fractal o petágoo regular... 5 Figura 5: Girassol. 54 Figura 6: Cocha de um Náutilo Figura 7: Cocha do mar associada à divisão de um segmeto em Razão Áurea Figura 8: Imagem de uma galáxia

9 SUMÁRIO. INTRODUÇÃO 0. O INTRIGANTE NÚMERO DEMONSTRAÇÃO DE QUE NÃO EXISTE NÚMERO DE 6 ALGARISMOS, DIFERENTE DE 4857, QUE SEJA CÍCLICO DEMONSTRAÇÃO DE QUE O PERÍODO DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES QUE TEM ALGARISMOS, E CUJA GERATRIZ É A FRAÇÃO /, É CÍCLICO ATIVIDADES DIDÁTICAS ϕ : O NÚMERO DE OURO APLICAÇÕES DE ϕ OUTRAS PROPRIEDADES E CURIOSIDADES DE ϕ Potêcias de ϕ Uma iteressate relação etre, ϕ ϕ e ϕ Duas maeiras de se obter ϕ A sequêcia áurea O úmero de acestrais, por geração, de um zagão ATIVIDADES DIDÁTICAS CONCLUSÕES 7 5. APÊNDICE PROVA DE QUE ϕ É IRRACIONAL PROVA DE QUE MÚLTIPLOS DISTINTOS DO ÂNGULO ÁUREO NÃO

10 SERÃO CONGRUENTES ENTRE SI REPRESENTAÇÃO DE ϕ COM 000 CASAS DECIMAIS REFERÊNCIAS 77

11 0. INTRODUÇÃO Os úmeros fazem parte da rotia do ser humao há muitos aos e, desde etão, são objetos de estudo. Para se ter ideia, a tábua matemática chamada Plimpto 3, escrita aproximadamete etre 900 e 600 a.c, cotém 5 lihas divididas em 3 coluas uméricas, uma das quais serve apeas para umerar as lihas; as outras duas coluas apresetam, com uma úica exceção ão justificável, pares de úmeros iteiros que são as medidas das hipoteusas e de um dos catetos de triâgulos retâgulos (EVES, 004, p. 64). Além disso, em O Livro Chiês das Permutações, escrito mais de 000 aos ates de Cristo, já existe uma distição clara etre úmeros pares e ímpares (HOGBEN, 958, p. 49). Os úmeros aturais, em virtude da ecessidade de se cotar objetos e aimais, foram os primeiros a serem icorporados à rotia humaa. Com o estudo de medidas e de comparações etre elas, os racioais positivos surgiram. Os úmeros egativos foram recohecidos por Diofato o século III d.c e usados por Brahmagupta por volta de 630 (BOYER, 996, p. 50). Esses úmeros começaram a ser um pouco mais familiares a ós a partir de 5, quado Fiboacci (75 a 50) iterpretou a raiz egativa de uma equação, que surgiu de um problema fiaceiro, como uma perda e ão como um gaho. Outro avaço em direção ao recohecimeto desses úmeros se deu quado Rafael Bombelli (56 a 57) iterpretou os úmeros como comprimetos de uma liha e as operações elemetares como movimetos ao logo dessa liha. Por fim, apeas quado a subtração foi iterpretada como o iverso da adição é que os úmeros egativos foram aceitos defiitivamete como úmeros (MAOR, 006, p. 4 e 5). Os úmeros irracioais possivelmete foram descobertos a era de Pitágoras (c. 569 a.c a 475 a.c), o século V a.c., e essa descoberta pode estar relacioada à Razão Áurea, como será visto o item 3. Já os úmeros complexos começaram a ser estudados o século XVI, a mesma época em que Girolao Cardao (50 a 576) publicou métodos de resoluções para as equações cúbicas e quárticas, o livro Ars Maga (BOYER, 996, p. 93; MAOR, 006, p. 5). Algus úmeros possuem propriedades particulares que, por vezes, despertam curiosidade em quem os estuda. São exemplos desses úmeros os irracioais π, e e ϕ, os racioais que são dízimas periódicas e os úmeros primos. Nessa dissertação, o item há um estudo das propriedades do úmero 4857, mostrado que ele é um úmero cíclico, ou seja, é um úmero cujos produtos das

12 multiplicações dele pelos aturais de a 6 são úmeros formados pelos mesmos seis algarismos de 4857 e que esses algarismos preservam um ordem relativa etre eles; o item. mostra-se que ão existe outro úmero de seis algarismos que teha essa mesma propriedade; o item. prova-se que se / gera uma dízima periódica simples que tem algarismos o período, esse período é um úmero cíclico; o item.3 cotém propostas de atividades didáticas relacioadas ao estudo das propriedades do úmero O item 3 cotém uma sítese da história do Número de Ouro, que esse texto é represetado pela letra ϕ, e a demostração de algus resultados relacioados a ele; os ites 3. são apresetadas algumas aplicações do Número de Ouro a Aatomia, a Odotologia, a Botâica, a Zoologia e a Astroomia; o item 3. aborda outras propriedades e curiosidades de ϕ; e o item 3.3 atividades didáticas relacioadas ao estudo do Número de Ouro são propostas. No item 4 são apresetadas as coclusões e o item 5 prova-se a irracioalidade de ϕ e que múltiplos distitos do âgulo áureo ão serão cogruetes etre si e é feita uma represetação do úmero de ouro com 000 casas decimais. Os objetivos deste trabalho são: apresetar curiosidades, propriedades matemáticas, aplicações além do campo puramete matemático e um pouco da história dos úmeros e Matemática. 5, e propor atividades didáticas para o estudo desses úmeros em aulas de

13 . O INTRIGANTE NÚMERO 4857 Nesse item faremos um estudo do úmero 4857 e de suas propriedades. Esse úmero é o período da dízima periódica simples gerada ao dividir por 7. Ele tem uma propriedade muito curiosa: ao ser multiplicado por, 3, 4, 5 e 6, os produtos são, respectivamete, 8574, 4857, 5748, 7485 e Não é difícil perceber que esses produtos são formados pelos mesmos algarismos que formam o 4857 e, o mais curioso, que esses algarismos preservam uma ordem circular relativa etre si, ou seja, os produtos são um tipo especial de permutação dos algarismos do úmero Para eteder melhor essa última afirmação, observe a figura a seguir, ode os úmeros assialados os vértices do hexágoo, seguido o setido horário, formam o úmero 4857 e os seus produtos por, 3, 4, 5 e 6, quado se escolhem, respetivamete os úmeros,, 4, 5, 7 e 8 para começar o percurso FIGURA : Esquema cíclico para 4857 Para facilitar a comuicação, vamos defiir o que é uma permutação rígida positiva de um úmero. Defiição: Dado um úmero, uma permutação rígida positiva dele é um outro úmero, formado pelos mesmos algarismos do úmero dado e que preserva a ordem circular relativa etre os algarismos, o setido horário. Para facilitar o etedimeto da defiição, as permutações rígidas positivas de 35, por exemplo, são os úmeros 35, 53 e 53. Além dessa defiição, se os produtos das multiplicações de um úmero de algarismos pelos úmeros aturais de a forem as permutações rígidas positivas dele, etão esse úmero será chamado de cíclico. Assim, 4857 é um exemplo de úmero cíclico.

14 3 É apresetada a seguir uma maeira de descobrir quais são os respectivos úmeros que começam os produtos das multiplicações de 4857 por, 3, 4, 5 e FIGURA : Esquema cíclico para 4857 É fácil ver que x 4857 é um úmero que termia em 4. Observado o polígoo do esquema e respeitado o setido horário, o úmero que termiar em 4 deverá começar com. Assim, a permutação rígida positiva de 4857 que começa com o algarismo (ou o que termia em 4) é Esse é, de fato, o produto x O produto 3 x 4857 tem que termiar em e, cosequetemete, pelo esquema, começar com 4. Portato, o resultado será Já o resultado de 4 x 4857 tem que termiar em 8. Assim, pelo esquema, obtém-se que 4 x 4857 começa com 5 e é igual a Quado multiplicamos 4857 por 5, o resultado tem que termiar em 5. Observado o esquema, coclui-se que 5 x 4857 = Por fim, o produto 6 x 4857 termia em, e, portato, é igual a 8574, resultado que pode ser facilmete obtido através do polígoo do esquema. Claro que ão é ecessário o esquema apresetado para se descobrirem os produtos sem fazer as multiplicações completas. Pode-se pesar, simplesmete, que as permutações rígidas positivas de 4857, em ordem crescete, são 8574, 4857, 5748, 7485 e 8574, ou que os algarismos que compõem 4857, em ordem crescete, são,, 4, 5, 7 e 8, mas o esquema pode ser usado pelo professor quado propuser atividades didáticas a seus aluos (veja item.3). As propriedades desse úmero foram miuciosamete estudadas por Fourrey, E. Lucas, Rouse Ball, Guersey e Legedre, sedo que Fourrey, em seu livro Récréatios Arithmétiques, apreseta o produto 4857 x 3645, que tem a propriedade de as coluas

15 4 dos produtos parciais serem formadas por algarismos iguais, a seguite ordem: (SOUZA, 009, p. 7) x Os produtos de 4857 pelos úmeros x7, x7, 3x7, 4x7, 5x7, 6x7, 7x7, 8x7, 9x7 e 0x7 são, respectivamete, , , , , , , , , e , que apresetam um padrão de formação bem curioso também. Após esses cometários, as seguites pergutas parecem bem aturais: i) Existem outros úmeros cíclicos? ii) Por que 4857 é cíclico? Pode-se mostrar (como feito o item.) que ão existe outro úmero de 6 algarismos que seja cíclico. No etato, ao multiplicar 4857 por úmeros iteiros etre 7 e 70 (com exceções de algus, como o 7, 4, 7 e 3), os produtos terão 7 algarismos e serão iguais a permutações rígidas positivas de 4857 com uma pequea alteração (essa alteração está descrita a págia de curiosidades do sitio Dessa forma, as permutações rígidas positivas de 4857 podem ser chamadas de úmeros quase cíclicos, pois, ao multiplicá-las por algus úmeros iteiros, os produtos serão quase permutações rígidas positivas de 4857 (ou de suas permutações rígidas positivas). Existe um iteressate padrão de formação para os produtos de 4857 pelos úmeros aturais maiores que 7 (veja o livro Aritmética recreativa de Yakov Perelma).

16 5 Souza (009, p. 8) afirma que existem outros úmeros que são, de fato, cíclicos e cita como exemplos os períodos das dízimas obtidas as divisões de por 7 e de por 3. Coforme Garder (985, p. 94), os valores de, meores que 00, para os quais os períodos das dízimas geradas pela fração / sejam cíclicos são: 7, 7, 9, 3, 9, 47, 59, 6 e 97. O mesmo Garder (985, p.94) afirma que William Shaks (8 a 88), o primeiro a calcular corretamete as primeiras 57 casas decimais de π, descobriu que o período de /7389 também é cíclico e calculou corretamete os 7388 algarismos dele. A tabela a seguir mostra os resultados das multiplicações de (período de 7) pelos aturais de a De forma geral, sempre que a fração / gerar uma dízima periódica simples cujo período tiver algarismos, o período da dízima será cíclico (demostrado o item.). Assim, 4857 é cíclico porque ele tem 6 algarismos e é o período da dízima gerada pela fração /7.

17 6.. DEMONSTRAÇÃO DE QUE NÃO EXISTE NÚMERO DE 6 ALGARISMOS, DIFERENTE DE 4857, QUE SEJA CÍCLICO Supoha x um úmero de 6 algarismos que teha a referida propriedade. Pode-se represetar x da seguite forma: x = abcdef. Como x tem 6 algarismos, ecessariamete x < Como 6x tem que ser uma permutação rígida positiva de x, é ecessário que 6x teha 6 algarismos, ou seja, que 6x < Assim sedo, tem-se que < x < 66666, Logo, a represetação de x, tem-se que a =, ou seja, x = bcdef. Além disso, x < Para que as permutações rígidas positivas de x sejam os produtos das multiplicações de x pelos aturais de a 6, ehum dos algarismos de x pode ser igual a zero (para que ehuma das permutações rígidas positivas comece com zero). As permutações rígidas positivas de x são: ) bcdef ) cdefb 3) defbc 4) efbcd 5) fbcde Serão aalisadas as possibilidades de x ser igual a cada uma dessas permutações. Caso Supoha x = bcdef. Imediatamete pode-se perceber que isso é um absurdo, visto que x é par e bcdef é ímpar, pois termia em. Caso Supoha x = cdefb Temos o seguite algoritmo: bcdef x cdefb

18 7 Comparado as dezeas de x e de x, têm-se as possibilidades: e =, e =, e + = ou e + =. As três primeiras possibilidades são absurdas, visto que e é par e e 0. Se e + =, etão e = 5. Assim, comparado as uidades de milhar tem-se que c + = 5 (c = ) ou c + = 5 (c = 7). Como x < , c = 7 é um absurdo. Cosiderado e = 5 e c =, tem-se x = bd5f e x = d5fb, e é ecessário que f = 0 + b (*), d + = 0 + f (**) e b = d (***). Assim, b = 4, f = 7 e d = 4. Portato x = Caso 3 Supoha x = defbc Temos o seguite algoritmo: bcdef x defbc Comparado as ceteas de x e de x, têm-se as possibilidades: d =, d =, d + = ou d + =. Todas elas são absurdas, visto que d é par, d 0 e d < 4 (x < ). Caso 4 Supoha x = efbcd. Temos o seguite esquema: bcdef x efbcd Comparado as uidades de milhar de x e de x, têm-se as possibilidades: c =, c =, c + = e c + =. As três primeiras são absurdas, visto que c é par e c 0.

19 8 Se c + = (c = 5), é ecessário que f = 0 + d. Tem-se, etão, que e + = 5 (e = ) ou e + = 5 (e = 7). Como a seguda possibilidade é absurda, porque x < , tem-se que c = 5, f = 0 + d e e =. Substituido esses valores o algoritmo: b5df x fb5d Assim, é ecessário, aida, que d = 0 + b e b + = f. Dessa forma, Ter-se-ia 7f = 59, o que é um absurdo porque f é algarismo. Caso 5 Supoha x = fbcde. Temos o seguite esquema: bcdef x fbcde Comparado as dezeas de milhar, têm-se as possibilidades: b =, b =, b + = e b + =. As três primeiras são absurdas, porque b é par e b 0. Se b + = (b = 5), comparado as ceteas de milhar, tem-se que f = 3. Assim e = 6, d = e c = 5. Logo, ter-se-ia x = 5563 e x = Mas como.5563 = , tem-se um absurdo! Mostrou-se, assim, que o úico úmero de 6 algarismos cujo produto da multiplicação dele por é igual a uma de suas permutações rígidas positivas é o Dessa forma, sabedo que ele é um úmero cíclico, ele é o úico úmero de 6 algarismos que é cíclico.

20 9.. DEMONSTRAÇÃO DE QUE O PERÍODO DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES QUE TEM ALGARISMOS, E CUJA GERATRIZ É A FRAÇÃO /, É CÍCLICO. Ates de mostrar a propriedade euciada, serão demostrados dois Lemas. LEMA : Para que o período de / teha algarismos, é ecessário que os restos parciais da divisão de por percorram todos os aturais de a. Demostração: Na divisão de por, ão se pode ter um resto parcial igual a zero, pois / ão é decimal exato. Além disso, como tem que ser um valor maior que, o primeiro resto parcial (r 0 ) será igual a, e o primeiro algarismo a compor o quociete será 0. Supoha o seguite algoritmo para a divisão de por : 0,q q q 3 q 4...q - r r r 3 r 4... r r Assim, tem-se que: * r i, para i {0,,,..., };

21 0 i * Qi+ 0 ri =, ode Q i = 0,q q q 3 q 4...q i para i {,,..., }; e * q i + r i = 0r i, para i {,,..., }. Supoha r i = r j, para i < j (veremos que isso implicaria q i + q i+... q j ser um período da dízima). Se r i = r j, etão, q i + + r i + = 0r i e q j + + r j + = 0r j = 0r i. Como o quociete e o resto em uma divisão são úicos (imagie 0r i sedo dividido por ), segue que q i + = q j + e r i + = r j +. Com mesmo raciocíio, mostra-se que q i + k = q j + k e r i + k = r j + k, para k {, 3,..., j i } (como i é qualquer, sempre que dois restos parciais forem iguais, os próximos algarismos a comporem o quociete serão iguais, e os ovos restos também serão iguais). Assim, como r j = r i + j i = r j + j i = r j i, tem-se que q j = q j i e r j = r j i. Logo, q j + = q j i + e r j+ = r j i +, e ter-se-ia o seguite algoritmo: 0,q q q 3...q i q i+...q j- q j q i+...q j- q j... r... r i r i+... r j- r i... r j- r i... Assim, q i+...q j- q j é o período da dízima 0,q q q 3 q 4...q - q q q 3 q 4...q -...

22 Logo q q q 3 q 4...q - = q q q 3...q i = q i+...q j- q j. Mas como i <, tem-se um absurdo. Portato r i r j, i < j. Com um raciocíio aálogo, verifica-se que r i, para i {,,... } e que r =. Portato, os restos parciais (r i, i {0,,,..., }) da divisão de por são os úmeros aturais que pertecem ao cojuto {,,.., }, pois de r 0 a r tem-se úmeros diferetes. LEMA : Se / gera uma dízima periódica simples cujo período tem algarismos, etão é primo. Demostração Supoha = pxq com p primo e q >. Assim sedo, pelo que acabou de ser provado, p deve aparecer como resto parcial a divisão de por. Cosidere o algoritmo: = pxq 0,q q q 3 q 4...q - r r r 3 r 4... r i Assim, = Q.p.q+ 0 r, para i {,,..., }, ode Q i = 0, q q q 3 q 4...q i. i i Supoha, etão, r i = p para algum i {,,..., }. Tem-se, etão:

23 i = Q.p.q + 0 p 0 i = Q i.0 i.p.q + p 0 i = p(0 i.q i.q + ) p 0 i p = ou i p = 5 = x.5 y é decimal exato (/ é uma fração decimal). Mas isso é uma cotradição, visto que / gera uma dízima periódica simples. Assim, ão pode ser escrito como produto de um primo por um atural maior que, ou seja, é primo. Com esses dois resultados, podemos fazer a demostração proposta, ou seja, podemos mostrar que, se um úmero de algarismos é o período de uma dízima periódica simples cuja fração geratriz é /, etão esse úmero é cíclico. Uma forma de imagiar esse resultado é pesar que, em algum mometo da divisão de por, faz-se a divisão de r i (r i < ) por e, desse mometo em diate, a divisão de por, pode-se pesar que a operação é a divisão de r i por. Dessa forma r i / é uma dízima cujo período é uma permutação rígida positiva do período de /. Porém, com argumetos mais formais, a demostração é feita a seguir. Cosidere o algoritmo: 0,q q q 3 q 4...q - q q... r r r 3 r 4... r r r... e seja Q i = 0,q q q 3 q 4...q i, com i {,,... }.

24 3 Tem-se, pelo algoritmo da divisão, que = Q.+ 0 r. Assim: i i i i r = Q + i i 0 i 0 i r = 0 Q + i i r i i = 0 Qi. Como = 0, qq...qiqi+...q qq...qi q i..., tem-se: ri i = 0 [(0,qq...q iqi+...q qq...qi q i...) (0,qq...q i )]= ( i q q...qi,qi+...q qq...q i qi...) (qq...q ) = 0,qi +...q qq...qi q iqi+... ri Assim: 0 = qi+...q qq...q i q i,qi+... e r (Q i 0 ) = r (q q i...q ) = ri 0 = 0 ri ri = (q i+...q i q i,q i+...q i q i...) (0,q i+...q i q i...) = q i+...q i q i q i Portato, ri (0 Q ) é uma permutação rígida de 0 Q. Como ri percorre todos os aturais de a, o resultado segue..3. ATIVIDADES DIDÁTICAS A seguir, é proposta uma sequêcia de atividades didáticas que têm como foco o estudo das propriedades/curiosidades do úmero 4857 em sala de aula. O professor ão deve utilizar mais do que três aulas para realizar todas as atividades e, o público alvo delas são aluos do 7º ou 8º aos que estejam estudado úmeros racioais, em especial, as dízimas periódicas. As atividades estão descritas de forma idireta, como orietações ao professor, que, para aplicá-las em sala de aula, pode seguir as seguites etapas:

25 4 ) Pedir aos aluos para dividirem por 7 e pergutar qual a represetação decimal da fração /7. OBSERVAÇÕES: ) O professor pode pedir simplesmete para os aluos obterem a represetação decimal de /7. ) O professor pode optar por pedir aos aluos que utilizem a calculadora, pergutar se aquele resultado é preciso e gerar uma discussão sobre a limitação da calculadora, iclusive mostrado que se eles multiplicarem o resultado por 7 a resposta ão será igual a um. ) Pergutar aos aluos se /7 é um decimal exato, dízima periódica simples ou dízima periódica composta. 3) Após ouvir as respostas e mostrar que é uma dízima periódica simples, pergutar qual é o período e quatos algarismos ele tem. 4) Pedir para os aluos calcularem o dobro de 4857 e, após mostrar que esse valor é 8574, pergutar se existe alguma semelhaça etre o úmero 4857 e o dobro dele. OBSERVAÇÕES: ) A semelhaça está descrita a págia. ) Nessa etapa, o professor pode usar a figura do hexágoo, iscrito a circuferêcia, cujos vértices represetam os algarismos de 4857, para mostrar essa semelhaça (veja págia ). 5) Pedir para os aluos escreverem um úmero que termie em e que teha a mesma semelhaça com 4857 que tem esse úmero e o seu dobro. OBSERVAÇÃO: Esse úmero é 4857 (veja págia ).

26 5 6) Pedir para os aluos calcularem o algarismo das uidades do triplo de ) Pergutar aos aluos se eles acham que a resposta da etapa 5 é o triplo de 4857 e pedir para eles justificarem as respostas e questioar essas respostas. 8) O professor pode, etão, dizer: - Para tirarmos a prova dos ove, vamos calcular 3x4857. OBSERVAÇÃO: Neste mometo, o professor pode explicar o que sigifica a expressão tirar/fazer a prova dos ove e mostrar o sigificado matemático dela. 9) Após mostrar que, de fato, a resposta da etapa 5 é o triplo de 4857, o professor perguta: - Supoha que o resultado de 4x4857, do quádruplo de 4857, também seja semelhate a 4857 da mesma maeira como o dobro e o triplo de 4857 são semelhates a ele. Multiplicado apeas um algarismo por outro, qual seria o resultado de 4x4857? OBSERVAÇÃO: A figura do hexágoo pode ajudar os aluos essa etapa. etapa aterior. 0) Calcular, juto com os aluos, 4x4857 e comparar com o valor sugerido a OBSERVAÇÃO: Nessa etapa, o professor pode defiir para os aluos o que é uma permutação rígida positiva de um úmero, sem mostrar todas as permutações rígidas positivas de 4857, para ão facilitar muito a resposta da etapa seguite. ) Fazer a seguite perguta aos aluos: - Se cotiuarmos multiplicado 4857 pelos úmeros aturais, em sequêcia, ou seja, multiplicarmos 4857 por 5, 6, 7, 8, etc., e se os produtos cotiuarem respeitado a regra válida para os produtos por, 3 e 4, existiria um limite, ou poderemos ir multiplicado idefiidamete?

27 6 OBSERVAÇÃO: Se os aluos tiverem dificuldades para respoder corretamete, o professor pode pergutar quatas permutações rígidas positivas tem 4857 e pedir para os aluos associarem esse úmero com a perguta aterior. ) Após cocluírem que o valor limite é 6, pois 4857 tem 6 algarismos, o professor pode mostrar que 5x4857 e 6x4857 são, de fato, permutações rígidas positivas de ) Falar que, devido a essa propriedade, o úmero 4857 é chamado de úmero cíclico, e pergutar aos aluos se eles acham que existem outros úmeros com essa propriedade. 4) Cometar que, de 6 algarismos, esse é o úico úmero cíclico e que ele é cíclico porque ele tem 6 algarismos e é o período da dízima periódica gerada pela fração /7. 5) Falar que, sempre que / gerar uma dízima periódica simples com algarismos o período, esse período é um úmero cíclico e que sempre é um úmero primo. OBSERVAÇÃO: Depededo da turma e da receptividade dos aluos em relação à atividade, o professor pode fazer a demostração formal dessa proposição (veja item.). 6) Fazer com os aluos a divisão de por 7 para mostrar que o período da dízima tem 6 algarismos e que, portato, é um úmero cíclico. OBSERVAÇÕES: ) Para que os aluos verifiquem, parcialmete, que o período de /7 é cíclico, o professor pode pedir aos aluos para escolherem quaisquer dois úmeros aturais etre e 6 (iclusive qualquer um dos dois) e fazer as multiplicações juto com os aluos (veja tabela a págia 5). ) O professor pode modificar essa etapa pedido aos aluos para tetarem ecotrar um outro úmero cíclico.

28 7 7) Cometar que /7389 é uma dízima periódica simples cujo período tem 7388 algarismos, ou seja, cujo período pode ser multiplicado por, 3, 4, 5, 6,..., 7388 e os produtos serão permutações rígidas positivas dele. Após cumprir essas etapas em sala de aula, o professor estará proporcioado aos aluos a oportuidade de utilizarem a calculadora em sala de aula e descobrirem que ela é limitada, aprederem sobre as dízimas periódicas, praticarem divisões e multiplicações como etapas de costruções de resultados, e ão como objetivo fial, cohecerem as propriedades/curiosidades do úmero 4857 e de estarem estimularem o raciocíio lógico/dedutivo e a capacidade de abstrair. Além disso, é possível (e espera-se) que algus aluos teham o iteresse pela Matemática despertado ou aumetado.

29 8 3. ϕ : O NÚMERO DE OURO Neste item faremos um estudo de outro úmero que também desperta muita curiosidade, surpresa e ecatameto, e que possui propriedades sigulares: é o úmero + 5. Esse úmero está cercado de mistérios e mitos e é cohecido como Número de Ouro, úmero áureo, Razão Áurea e seção ou secção áurea. Em virtude de seu ecatameto por esse úmero, o italiao Luca Pacioli (445 a 57) o chamou de Divia Proporção e usou esse termo como título de um cojuto de três livros que ele publicou em 509. Esse úmero, que este texto será represetado pela letra grega ϕ (fi), é um úmero irracioal (provado o item 5.) cuja represetação até a 30ª casa decimal é, Em 996, foram calculadas 0 milhões de casas decimais de ϕ (LIVIO, 0, p.99), e uma represetação dele, com 000 casas decimais, é apresetada o item 5.3. O primeiro registro histórico relacioado, diretamete, ao Número de Ouro foi feito por Euclides de Alexadria, a coleção Os Elemetos, por volta de 300 a.c (LIVIO, 0, p. 3). Euclides defiiu que um segmeto AB é dividido em média e extrema razão por um AB AC poto C quado =. AC CB A C B FIGURA 3: Poto C dividido um segmeto AB em média e extrema razão Idepedete da medida de AB, a proporção Se AB = a e CB = x, etão, AC = a x. a a x Seja r= =. a x x a Uma maeira de reescrever a igualdade r= é a x AB AC = é igual a ϕ. De fato: AC CB

30 9 a x+ x x r = = + = + a x a x r Assim, tem-se a equação r r = 0, cuja raiz positiva é + 5 ϕ =. A professora e escritora Maria Salett Biembegut, em seu livro Número de Ouro e Secção Áurea: cosiderações e sugestões para sala de aula, chama esse úmero de Número 5 de Ouro, e o seu iverso, =, de secção áurea (pp. 6); o artigo em que Paulo Domigos ϕ Cordaro publicou a Revista do Professor de Matemática (RPM) 43/ cometado esse livro de Biembegut, ele também usa essa omeclatura (esse artigo está dispoível em RPM43/RPM43_.PDF). A maioria dos autores usa os dois termos como siôimos. Além da divergêcia em relação à omeclatura dos úmeros, existem divergêcias em relação à otação que represeta o Número de Ouro. Algus autores (Biembegut, Queiroz, Maor e Livio) usam a letra grega maiúscula fi (φ ) para represetar o Número de Ouro, e outros autores (Souza, Zah e Garcia) usam a mesma letra, só que miúscula (ϕ ), para represetar o mesmo úmero. Lauro usa φ para represetar o Número de Ouro e ϕ para represetar seu iverso. Até o iício do século XX, usava-se, habitualmete, a letra grega tau (τ), que em grego sigifica o corte, para represetar o Número de Ouro (LIVIO, 0, p. 6; EVES, 99, p. 4). Como fi são as primeiras letras do ome Fídias (um escultor e arquiteto grego que viveu aproximadamete etre 490 e 460 a.c e que cotribuiu para a costrução do Parteo, em Ateas), o matemático americao Mark Barr, o iício do século XX, começou a utilizar a letra fi para represetar o Número de Ouro, em homeagem a Fídias (LIVIO, 0, p. 6; LAURO, 005, p. 4). Essa homeagem deve-se ao fato de a fachada do Parteo ser cosiderada iscritível em um retâgulo áureo, ou seja, iscritível em um retâgulo ode a razão etre o comprimeto e a altura é igual ao Número de Ouro (BIEMBENGUT, 996, p. 9; LAURO, 005, p. 4). A afirmação de que a fachada é iscritível em um retâgulo áureo é muito questioada (LIVIO, 0, p. 9). Segudo Markowsky, o adjetivo áureo só começou a ser associado a ϕ recetemete, o século XIX; até etão era comum chamá-lo de razão extrema e média e de divia