Departamento de Matemática, Física, Química e Engenharia de Alimentos Projeto Calcule! Profª: Rosimara Fachin Pela Profª: Vanda Domingos Vieira

Transcrição

1 Deprtmeto de Mtemátic, Físic, Químic e Egehri de Alimetos Projeto Clcule! Profª Rosimr Fchi Pel Profª Vd Domigos Vieir PARTE CONJUNTOS NUMÉRICOS E NUMEROS REAIS Um umero rel e qulquer umero que pode ser escrito form deciml O cojuto dos úmeros reis cotem sucojutos importtes -Cojutos dos úmeros turis IN={,,,} -Cojuto dos úmeros iteiros Z = {, -, -, -,,,,,} -Cojuto dos úmeros rciois Q -Cojuto dos úmeros irrciois I, Q Assim podemos represetr o cojuto dos úmeros reis IR = Q I p, p, q Z, q =,,,,,,,,,, q =,,, e,,,,, OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS I NÚMEROS INTEIROS ADIÇÃO Dizemos que dicior ou somr é operção pel qul ssocimos dois úmeros ou mis úmeros, em um úico úmero, deomido som ou totl + = 9 ª prcel ª prcel Som ou totl SUBTRAÇÃO A sutrção é um operção que cosiste em tirr, dimiuir, sutrir um qutidde d outr miuedo - = sutredo difereç ou resto totl

2 Regrs de sil Pr efetur dição e sutrção vmos oedecer s seguites regrs - Os úmeros possuem o mesmo sil coserv o sil e som os úmeros E + = = - - Os úmeros possuem sil cotrrio coserv o sil do mior e sutri os úmeros E - + = - - = MULTIPLICAÇÃO A multiplicção é dição de um qutidde fiit de úmeros iguis, ou sej, multiplicção é pes um form reduzid de se escrever dição = = Ou = produto multiplicdo multiplicdor DIVISÃO A divisão é operção ritmétic que determi qutidde de vezes que um umero est cotido detro do outro dividedo resto - divisor quociete Assim temos que Dividedo(D = divvisor(d quociete(q + resto(r D = d q + r, ou

3 Regrs de sil D d q r d Pr efetur multiplicção e divisão vmos oedecer s seguites regrs - Os dois úmeros tem o mesmo sil, o resultdo é positivo E (- (- = + (+ (+ = + c d - Os dois úmeros possuem siis diferetes, o resultdo é um umero egtivo E (- (+ = - (+ (- = - c d Oservções ( Um umero ão ulo multiplicdo por zero é sempre igul zero E = = N divisão o divisor deverá ser sempre diferete de zero E ( ão eiste II NÚMEROS FRACIONARIOS Os devemos lemrr que s regrs de siis s operções com úmeros iteiros são vlids pr frcioários, já que umerdores e deomidores são formdos por úmeros iteiros Adição e sutrção Frções com deomidores iguis, coserv-se o deomidor e somm-se os umerdores E diferetes, devemos reduzi-ls o mesmo deomidor e etão somr os umerdores Pr reduzir s frções o mesmo deomidor

4 ecotr-se o MMC dos deomidores ds frções, que será o deomidor comum procurdo divide-se esse MMC pelos deomidores de cd frção, e o quociete otido é multiplicdo respectivmete pelos umerdores de cd frção E 9 7 Clculo MMC(,, MMC(, = = Multiplicção O produto de dus frções é um frção cujo umerdor é o produto dos umerdores e cujo deomidor é o produto dos deomidores ds frções dds E 7 7 Divisão Pr dividir um frção por outr, multiplic-se primeir frção pel segud frção ivertid E 7 7 III - POTENCIAÇÃO A potecição é o resultdo d multiplicção sucessiv de um umero por ele mesmo, ou sej, ode IN vezes * se epoete Os, e e Todo úmero positivo elevdo qulquer epoete (pr ou ímpr result um úmero positivo E ( ou ( Todo úmero egtivo elevdo um epoete pr result um úmero positivo E ( ( ( ( ( Todo úmero egtivo elevdo um epoete ímpr result um úmero egtivo E ( ( ( (

5 Todo úmero diferete de zero elevdo um epoete egtivo é igul um frção, em que o umerdor é sempre uidde, e o deomidor é o mesmo úmero elevdo um epoete que é o simétrico( mesmo úmero de sil trocdo do epoete iicil E ( ( 9 ou Proprieddes d potecição 9 e, e ( ( e ( ( e, e m m m m m m IV - RADICIAÇÂO Um riz d mis é que um operção ivers à potecição, sedo ssim, el é utilizd pr represetr, de meir diferete, um potêci com epoete frcioário Assim m m E Os IR Pr I e E Proprieddes d rdicição e e e p p p p p p rdicl ídice rdicdo

6 Operções com Rdicis Simplificção de Rdicis Pr simplificr um riz qudrd decompomos o úmero em seu ftores primos E escrevemos qudo possível cd ftor d decomposição com epoete ou múltiplo de Se for um riz cúic, escrevemos qudo possível cd ftor d decomposição com epoete ou múltiplo de Escrevemos o úmero ftordo como um produto de ftores primos e plicmos s proprieddes Simplificmos em seguid cd riz qudrd ou cúic E Decompodo o úmero em seus ftores primos = = c Decompodo o úmero em seus ftores primos = 9 d Decompodo o umero em seus ftores primos = = e Decompodo 9 em ftores primos temos

7 7 Adição de rdicis Decompomos cd úmero em seus ftores primos simplificmos os rdicis som-se rdicis com mesmo ídice Eemplos decompõe-se os úmeros e em seus ftores primos, decompõe-se os úmeros e 9 em seus ftores primos, c decompõe-se os úmeros 7 e em seus ftores primos e ecotrmos = = Rciolizção Rciolizr é multiplicr o umerdor e o deomidor de um úmero irrciol frcioário por um úmero irrciol, elimido o rdicl do umerdor ou deomidor Eemplos pr elimir o rdicl do deomidor, multiplicmos o umerdor e o deomidor por e plicmos s proprieddes dos rdicis = pr elimir o rdicl do umerdor multiplicmos o umerdor e o deomidor por Multiplicção pel epressão cojugd Se temos epressão temos como epressão cojugd Eemplos pr elimir os rdicis do deomidor multiplicmos, o umerdor e o deomidor pel epressão cojugd do deomidor que é Os o deomidor é o produto otável

8 pr elimir o rdicl do umerdor, multiplicmos o umerdor e o deomidor por que é epressão cojugd do umerdor Eercicios Pr resolver epressões mtemátics devemos seguir seguite ordem ºPotecis e rízes ºmultiplicções e divisões ºdições e sutrções Os Qudo precem prêteses (, colchetes[ ] e chves{ }, resolvemos s operções cotids os prêteses, depois s cotids os colchetes e filmete, s cotids s chves oedecedo s ordes teriores - Resolv s seguites epressões umérics - + (+ + (- + ( (-7 (+ (+9 + (+ R -7 c- ( ( R - d-[ + ( (9 ] R - e [ ( + 7] [( + ] R f- [( (-7 + 9] [( + ] R - g{ [( 7 + ]} R h {- [7 ( + + 7] + } + R - i{ - ( + [ ( 7] + } R j-[( ] R k-[ ( - 7] R - l [ + (-] (- R - m[( + (- + ] (- R / { [-( + + ( + ]} R o-(- + (- [ (- (- ] R p(- + { - + [7 (- 7]} R q R r R s R

9 9 t R u R v R R 7 y R w R z R 7 Clcule o vlor ds epressões 7 f ( - (- e d 7 c 7-9 Aplicdo proprieddes de potêcis, simplifique s epressões d ( c

10 Efetue s operções, plicdo s proprieddes d potecição - q p - -9 m q p g f e d c Clcule o vlor ds epressões e d c 7 7 g f m k j i h

11 o - R - p R 7 Efetue c d 9-7 Clculr , 7-9 -,,,,7 Simplifique os rdicis k y z yz 7 l c m c c d e y 9 y o f p g q 7 h r 9 i y y s j t 7

12 9 Rciolize os deomidores ds frções d 7 g - e 9 h c f i PARTE Fução Defiição Sejm A e B cojutos reis Chm-se fução de A e B qulquer relção de A em B ode todo elemeto de A possui um úico correspodete em B Notção f A B y f ( Ode A domíio de f D(f B cotrdomíio de f C elemeto do domíio - vriável idepedete y imgem do elemeto D(f vriável depedete Cojuto imgem cojuto de todos os vlores de y, que são imges de pel fução f Im( f { y f (, D( f } Gráficos Gr( f {(, f (, D( f } Im(f y y= f( D(f Eemplo Sej f ],] IR, defiid por f ( Determie D(f O domiio d fução é o cojuto de vlores de que será possivel efetur s operções d lei de formção d fução Neste eemplo lei de formção d fução é posssivel pr qulquer vlor de ms o domíio já foi especificdo como o itervlo ]-, ], ssim

13 D( f ],] { IR, } ou represetção geométric D(f CD(f - O cotrdomíio d fução é o cojuto ode estão os correspodetes otidos pel lei de formção d fução, este eemplo e em todos os ossos eemplos defiiremos o cotrdomíio como sedo o cojuto dos úmeros reis, ou sej CD(f = IR c f( Se D( f e este cso sim,clculremos f( trocdo lei de formção d fução pelo vlor, ou sej f ( pr = temos f (, ssim f( = d Qul é o elemeto do domíio que tem como imgem Estmos procurdo qul o vlor de D( f tl que f( =, ssim f ( ms D( f, logo ão eiste D( f tl que f( = egráfico de f O gráfico d fução é como um fotogrfi d fução, ou sej, mostr cd correspodêci d fução Pr isso motremos um tel com vlores do domíio e sus respectivs imges y= f( Formremos com cd correspodêci um pr ordedo (, ; (,; (, ; (, ; (, e (, O grfico é o cojuto de pres ordedos com todos os vlores do domíio e sus respectivs imges, ms como temos ifiitos vlores o domíio tomremos pes lgus e represetremos os outros y - Como D( f ],] o gráfico d fução será um segmeto de ret que começ em = - e termi pr =, ms como = D( f o pr ordedo (-, ão fz prte do gráfico d fução, ssim represetremos o pr com um ol ert

14 f Im(f O cojuto imgem é o cojuto dos correspodetes do domíio, pr determi-lo devemos projetr o gráfico o eio y o itervlo determido pelo projeção ser o cojuto imgem, ssim Im(f= ], ] = { y IR, y } ou represetção geométric Im(f Eemplo Sej f (, determie Domiio de f A lei de formção d fução preset operções possíveis pr qulquer vlor de rel, ssim D(f = IR Cotrdomíio de f CD(f = IR co gráfico de f Vmos oter pres ordedos com lgus vlores do domiio - - y=f( dcojuto imgem de f Projetdo o gráfico o eio y otemos o itervlo Im(f = [, + [ = { y IR, y } ou represetção geométric Im(f Eemplo Determie o domíio ds seguites fuções f ( Como s operções que precem lei de formção estão defiids pr todos vlores de, temos que D(f = IR

15 f ( Como riz qudrd de umero egtivo ão eiste em IR pr que operção sej verddeir devemos ter, ssim D(f = { IR, } =[-,+ [ ou represetção geométric c f ( Im(f - Como divisão em IR ão est defiid qudo o deomidor (divisor e ulo devemos ter, ssim D(f = IR {- = { IR, } Eercícios Sej f IR IR defiid por f( = + Clcule f( R f( R- c f(- R Sej f IR IR defiid por f( = + Clcule f( R7- f R c f( R d f(p R p P + Sej f IR IR defiid por f( = Clcule f( R f( R c f(- R/9 Sej f IR - {} IR defiid por f ( Clcule f( + f( R / o vlor de m, tl que f(m = - R/ Sej f IR IR defiid por R /9 ( f Qul é o elemeto do domíio que tem como imgem? 7 Quis são os vlores do domíio d fução rel defiid por f( = + 9 que produzem imgem igul? R ou 7 Sej f IR - {} IR defiid por f( R f ( Determie f(+ R Determie o domíio de cd um ds seguites fuções reis f ( ch( - fh( - 7 IR IR -{} IR g( - 7 df( g f ( IR { IR, -} { IR, - e } Esoce o gráfico ds seguites fuções, determido o domíio e cojuto imgem

16 f( =, sedo D(f = {,,,} f( = +, sedo D(f = { IR, cf( = d g( = - eg( = f f( = + + g f( = - h f( = i g( = - j g( = kf( = lg( = } PARTE POLINÔMIOS Defiição Um poliômio vriável é qulquer epressão que pode ser escrito form P( ode IN,,,,, são úmeros reis chmdos coeficietes Os Se, o epoete máimo é dito gru do poliômio OPERAÇOES COM POLINÔMIOS Adição e Sutrção Pr efetur dição ou sutrção de poliômios reduziremos os termos semelhtes usdo proprieddes distriutiv E ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Multiplicção Pr efetur multiplicção de poliômios usremos propriedde distriutiv e depois reduziremos os termos semelhtes E ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Divisão Pr efetur divisão do poliômio A( pelo poliômio B(, com B(, devemos determir dois poliomios Q( e R(, tis que A( B( A( = B( Q( + R( R( Q( Ode A( Dividedo B( Divisor Q( Quociete R( Resto d divisão

17 7 Pr oter Q( e R( usremos o método d chve, que cosiste os seguites pssos que eemplificremos com o seguite eemplo E A ( ( e B( º Escrever os poliômios A( e B( (dividedo e divisor em ordem decrescete dos seus epoetes e complet-los, qudo ecessário, com termos de coeficiete zero - ºDividir o termo de mior gru do dividedo A( pelo termo de mior gru do divisor B(, o resultdo será um termo do quociete Q( ºMultiplicr o termo otido o º psso pelo divisor B( e sutrir esse produto do dividedo A( Se o gru d difereç for meor do que o gru do divisor, difereç será o resto d divisão e divisão termi qui Cso cotrário, retom-se o º psso cosiderdo difereç como o ovo dividedo 7 - Repetido o segudo psso PRODUTOS NOTAVEIS Algus produtos de epressões poliomiis são usuis, ssim covém ser efetu-los por meio de regrs simples Temos os seguites csos de produtos otáveis Qudrdo d som ( ( ( E ( ( ( ( ( 9 Qudrdo d difereç ( ( ( E ( ( ( ( (

18 Produto d som pel difereç ( ( - Cuo d som ( ( ( ( E ( ( ( ( ( ( ( ( Cuo d difereç ( ( ( ( E ( (- ( E ( - ( - (- (- ( ( (( FATORAÇÃO Ftorr um epressão poliomil e reescreve-l em form de produtos de epressões poliomiis mis simples Temos os seguites csos de ftorção Ftor comum Qudo todos os termos do poliômio tem um ftor comum, podemos coloc-lo em evideci A form ftord é o produto do ftor comum por um ovo poliômio que se otém dividido cd termo do poliômio ddo pelo ftor comum E ( Agrupmeto Em lgus poliômios ão eiste um ftor comum todos os termos, o etto, grupdo os termos dois dois, podemos oter um ftor comum em cd grupo E ( ( ( Difereç de qudrdos ( ( E 9 ( ( 9 Difereç de cuos ( ( E ( (

19 9 Som de cuos ( ( E ( ( Triomio qudrdo perfeito Um triômio (poliômio com três termos é um qudrdo perfeito qudo Dois de seus termos são qudrdos O terceiro termo é igul vezes s rízes dos termos qudrdos E ( 9 ( 9 = Ftorção de poliômios Qudo trlhmos com epressões poliomiis devemos tetr coloc-ls um form simplificd, ssim seguir fremos defiições que os judrm ftorr qulquer poliômio Riz de poliômio Deomi-se riz do poliômio P( o vlor d vriável tl que P ( Teorem fudmetl d Álger Tod equção lgéric P (, de gru (, tem pelo meos um riz rel ou comple Teorem d decomposição Todo poliômio P( (com e pode ser decomposto um produto de ftores do º gruou sej P( ( ( (, ode,,, são s rízes do poliômio º cso Ftorção cohecedo pelo meos um riz do poliômio Cosiderdo o poliômio P( e um riz Assim P( é divisível por ( com resto igul zero, e teremos P( ( q(, ode q( é um poliômio de gru (

20 E Sej P ( e um riz de P( Assim P( ( q( Devemos ecotrr q( usdo relção p( q (, logo Assim q (, logo P ( ( ( Como q( é um poliômio do º gru deveremos, se possível, fzer su ftorção Poderemos ecotrr sus rízes, este cso, resolvedo equção do º gru correspodete este poliômio trvés d formul de Báskr, ou sej Teremos P ( ( ( ( ( ( (( ( ºcsoFtorção ão cohecedo ehum riz do poliômio Podemos ecotrr rízes do poliômio usdo seguite propriedde p Se frção rciol irredutivel for riz d equção lgeric de gru e coeficietes iteiros q, etão p é um divisor de e q é um divisor de Ecotrdo um riz trvés d propriedde retorremos o primeiro cso E Sej P ( 7 As possíveis rízes do poliômio serão s soluções d equção 7 Pel equção dd, temos e p,,,,,,, p é divisor de, etão q é divisor de, etão q, Pel propriedde, s possíveis rízes rciois são p,,,,,,,, pesquisremos qul destes vlores vão stisfzer P ( q P( - é riz, dí teremos P( ( q( e ssim retorremos o º csovmos ecotrr q(

21 Assim P ( ( ( 7, como q( é um poliômio de º gru devemos, se possível, fzer su ftorção Pel equção dd, temos e p,,,,,,, p é divisor de, etão q é divisor de, etão q, Pel propriedde, s possíveis rízes rciois são p,,,,,,,, pesquisremos qul destes vlores vão stisfzer P ( q P( - ão é riz, P( é riz, dí teremos P( ( ( q( e ssim retorremos o º csovmos ecotrr q( 7-7 Assim P ( ( ( (, como q( é um poliômio de º gru devemos, se possível, fzer su ftorção Usdo formul de Bskr determimos s rízes e - Logo P ( ( ( ( ( Eercícios Clcule ( ( 7 ( y y (7y c ( ( 7 d ( (

22 e ( ( f ( ( g (7 ( h ( 9( Clcule usdo produtos otáveis c ( ( d ( c ( ( Ftore os poliômios e ( i yz yz yz f j c ( ( g d y y y y h l z m Simplifique epressão d y y y y 9 z z e 9 z 9 y y c f y y y Simplifique 9 y y y y y y y c y y y y d e 9 Simplifique frção compost y y c ( h h

23 d h h h 7 Determie s rízes dos poliômios e escrev-os form ftord P ( d P ( P ( e P ( 7 7 c P ( Resposts 7 y y c 7 d e f 7 g q ( 7 e r( 9 h q ( e r( 7 d e c 7 ( ( e ( ( i ( ( yz ( z ( z f ( j ( ( c ( ( g y[ ( y l ( d (+y(-y h ( z ( z z m ( 7( c z z d y( y y 7 e y f y d

24 y c e ( ( y y c d h ( h ( ( h P( ((-(- e P( ( -( (- 9 P( ((-(- 7 P( ( (- (- d P( ( - ( c PARTE Limites Euciremos lgus teorems proprieddes que permitirm simplificr prolems que evolvm limites Teorem lim k k, k IR lim OsEsses limites podem servir pr determição de limites de lgums epressões Proprieddes Se lim f ( e eistem mos, etão lim g( lim [ f ( g( ] lim f ( lim g( Usdo os teorems teriores e lim ( lim lim =(- + = lim k f ( k lim f ( Usdo os teorems teriores e lim ( lim ( Usdo os teorems teriores c lim [ f ( g( ] lim f ( lim g( lim ( lim lim = lim lim =( + = Usdo os teorems teriores e lim ( = lim ( = lim ( lim ( = [(-(-] = (- = (=

25 d lim lim f ( f (, desde que lim ( g( lim g( g e lim Devemos primeiro clculr lim ( = lim ( lim ( =( - = - Como este limite é diferete de zero, poderemos plicr o teorem Usdo os teorems teriores lim = lim ( = lim ( Usdo os teorems teriores lim ( lim ( lim ( lim ( = ( ( = ( ( ( ( Os Alisdo os eemplos teriores oservmos que os limites são clculdos sustituido pel tedêci que prece o limite, ou sej, o uso dos teorems e ds proprieddes dos limites demostr que o limite pode ser clculdo trvés de um sustituição diret Assim Propriedde Sej f um fução defiid em IR, ou sej, eiste f(, etão lim f ( f ( E lim = ( ( = ( E lim, este cso fução f ( ão est defiid em =, ssim ão podemos clculr o limite clculdo f( pois ão eiste f( Qudo fzemos = fução otemos, que é um cso de idetermição, este cso usremos sempre rtifícios lgéricos pr elimir ess idetermição e trocr fução por outr que possui o mesmo comportmeto d fução origil em = Ou sej, este cso o umerdor e deomidor são poliômios que se ulm pr =, o que sigificm que possuem rízes comus, ssim ftordo os poliômios ecotrremos ftores comus lim Usdo difereç de qudrdos ( ( = lim = lim ( lim E lim, este cso fução f ( ão est defiid em =, ssim ão podemos clculr o limite clculdo f( pois ão eiste f(, e sustituido = fução oteremos (cso de idetermição, este cso devemos rciolizr o umerdor lim = lim = lim ( Usdo produto d som pel difereç = lim = lim ( ( ( = lim

26 E lim, fuções com modulo são fuções defiids por vris seteçs, este cso devemos clculr estes limites utilizdo, qudo ecessário, limites lteris ( se ( se - - ( se ( - se - Assim como fução possui defiições diferetes pr vlores próimos de = -, deveremos clculr o limite usdo limites lteris lim ( lim = lim ( como os limites lteris são iguis, temos que eiste o lim e ssim lim = Eercícios Clcule os seguites limites lim g t t lim t t lim h lim h c lim lim i lim d 9 lim j lim t 9 e lim k lim t t 7t t t t h f lim m lim h h Ecotre, qudo eistir, o limite ds seguites fuções lim ( se lim f ( se f ( ão eiste o limite em ( se