Operações e Propriedades em

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1 1 Itrodução Operções e Proprieddes em Os cojutos formm bse d costrução de tod Mtemátic e oção mtemátic de cojuto é mesm que usmos ligugem cotidi: os cojutos estão relciodos com idéi de grupmeto, coleção, clsse de objetos. O que crcteriz um cojuto, de modo gerl, são seus elemetos e, portto, qudo pesmos em um cojuto, primeir preocupção que temos é com relção de pertiêci, ou sej, que elemetos pertecem àquele cojuto. Qudo trblhmos mtemticmete com cojutos, lém dos elemetos, devemos os preocupr com s operções que estes elemetos podem relizr e quis proprieddes são stisfeits por ests operções. Ests preocupções são fudmetis pr relizção dos cálculos ecessários à solução de problems. É sempre importte relembrr que pr o bom comphmeto de um curso de Cálculo é ecessário que tods s regrs básics ds operções com os úmeros reis estejm presetes memóri, o tempo todo. Por isso presetmos este mteril, que cotém um breve resumo ds operções e proprieddes válids em R. Como se trt de um rápid revisão, grde miori ão será deduzid ou demostrd, pes presetd e eemplificd. Por isso recomedmos ão pes o estudo dest revisão, como tmbém costte busc pelos coteúdos já vistos e esquecidos. Pr elborção deste mteril utilizmos como referêci pricipl o livro Pré-Cálculo, que comph o livro Cálculo Diferecil e Itegrl, de Pulo Boulos Ed. Mkro Books. Um bo referêci pr um estudo mis detlhdo é coleção Fudmetos de Mtemátic Elemetr, d Ed. Atul, com Gelso Iesi como utor predomite. Todvi, este é um ssuto que já foi estuddo o logo do Esio Fudmetl e Médio e, portto, seu livro didático tmbém poderá te uilir est tref. Iicimos com um revisão d simbologi utilizd em Mtemátic, especilmete relciod cojutos. Simbologi Φ (letr greg phi): represet um cojuto vzio, ou sej, quele que ão possui ehum elemeto. Eemplos: Cojuto dos dis d sem começdos com letr r. N = { N : < 0} = Φ { } (chves): utilizds pr represetr o iício e o fim de um cojuto fiito ou represetdo por um seteç mtemátic. Eemplo: Se A é o cojuto dos lgrismos Ido-Arábicos, etão A = {0,1,,,4,5,6,7,8,9}. Ou, se Z + é o cojuto dos iteiros positivos, ormlmete escrevemos Z + = { œ Z : > 0}. : cojuto dos úmeros turis. = {0,1,,,4,5,6,... } : cojuto dos úmeros iteiros. = {... -5, -4, -, -, -1, 0,1,,,4,5,6,...} p Q : cojuto dos úmeros rciois. Q = tl que p, q Z ; q 0. É o cojuto dos iteiros, q dos decimis com úmero fiito de css e dos decimis com ifiits css iguis ou formdo dízims periódics (um cojuto de lgrismos que se repetem ifiitmete). : cojuto dos úmeros irrciois. São decimis com ifiits css, cujos elemetos precem letorimete, ou sej, sem estbelecer ehum sequêci. 1

2 Eemplos: π =, ; = 1, R : cojuto dos úmeros reis. R = Q. R * : cojuto dos úmeros reis, sem o zero A B {(, y) : A e y B} = (produto crtesio) R = R R = {(, y) : R, y R } R = R R R R, vezes. (pertece): símbolo utilizdo pr idicr que um elemeto pertece um cojuto. Note que este símbolo ão deve ser usdo em um relção etre dois cojutos, por eemplo, subcojuto ão pertece cojuto. Eemplos: N ; 4, 7 Z +, (, ) y R. (ão pertece): símbolo utilizdo pr represetr egção d relção de pertiêci. Eemplo: -1 N. (está cotido): símbolo utilizdo pr idicr um relção etre dois cojutos, ode todos os elemetos de um, pertecem o outro. Assim, um subcojuto está cotido em um cojuto. Eemplos: {,-4,6,-8} Z, N Z Q R. Z Z (todo cojuto está cotido ele mesmo); (cotém): símbolo tmbém utilizdo pr idicr um relção etre dois cojutos, semelhte o uso do está cotido, porém escrito form cotrári. Eemplo: R Q Z N. Note que cojuto cotém subcojuto. (uião): símbolo utilizdo pr represetr jução de dois ou mis cojutos, digmos B e D, qul será um ovo cojuto composto por todos os elemetos de B e por todos os elemetos de D. Eemplo: Ddos os cojutos B = {1,,4,6,7,9} e D = {,,4,5,8,0}, uião de mbos, represetd por B D é dd por {1,,,4,5,6,7,8,9,0} = A. Isso sigific que cd elemeto de A pertece ou B ou D ou mbos. Portto, plvr ou idic uião. Not: Lembre-se que qudo fzemos uião de cojutos, os elemetos repetidos precem um úic vez (itersecção): símbolo utilizdo pr represetr um ovo cojuto formdo pelos elemetos comus etre dois ou mis cojutos. Eemplo: B D = {, 4}. Isso sigific que os elemetos de B D pertecem B e D o mesmo tempo. Portto, plvr e idic itersecção. : símbolo utilizdo pr represetr frse qulquer que sej. Eemplo: No cso d itersecção descrit cim, mtemticmete dizemos B D, temos que B e D. : ou / ou tq : símbolos utilizdos pr represetr frse tl que. Eemplo: Aid o cso d itersecção, mtemticmete defiimos itersecção etre dois cojutos B e D por B D = { : B e D} ou B D = { / B e D}, ode lemos B itersecção com D é o cojuto de todos os elemetos tis que pertece B e pertece D.

3 : símbolo utilizdo pr represetr plvr eiste. Eemplo: B D : D ( = 1, por eemplo). : símbolo utilizdo pr represetr plvr portto. Eemplo: B e D B D. < : símbolo utilizdo pr represetr frse meor que ou estritmete meor que. > : símbolo utilizdo pr represetr frse mior que ou estritmete mior que. : símbolo utilizdo pr represetr frse meor ou igul. : símbolo utilizdo pr represetr frse mior ou igul. Eemplos: < 4; 4 > ; { N : 5} = {0, 1,,, 4, 5}; { B : 7} = {7,9}. : símbolo utilizdo pr represetr relção de lógic se, etão, usd qudo queremos dizer que se um fto ocorre, etão ecessrimete um outro tmbém ocorrerá, ou sej, ocorrêci de um fto implic ocorrêci de outro. Eemplo: B B D ; lemos: se pertece B, etão pertece B uião com D. Observe que só vle id; volt ão é ecessrimete verddeir. Eemplo: N Z, porém Z N : símbolo utilizdo pr represetr relção de lógic se, e somete se, usd qudo queremos dizer que se um fto ocorre, etão ecessrimete um outro tmbém ocorrerá, e vicevers. Eemplo: B D B e D ; lemos: pertece à itersecção de B com D se, e somete se, pertece B e pertece D, idicdo que vle id e volt, ou sej, se B D etão B e D e, por outro ldo, se B e D, etão B D. Not: É muito utilizdo pr represetr relção de equivlêci etre dois cojutos ou seteçs mtemátics. : símbolo utilizdo pr represetr idéi de proimção ou vlor proimdo. Itervlos: Eemplo: π,1416. Aberto: (, b) = { R : < < b} Fechdo: [, b] = { R : b} Semi-berto à direit: [, b) = { R : < b} Semi-berto à esquerd: (, b] = { R : < b} Ifiito: (, ) { R : } + = < < + = R O Cojutos dos Números Reis A orgizção dos cojutos uméricos foi feit prtir d estrutur lgébric de cd um, ou sej, cosiderdo os elemetos que o compõe, s operções possíveis pr estes elemetos e s proprieddes stisfeits por ests operções. Seguido est filosofi, chegou-se um cojuto defiido por

4 R = Q p ode Q = tl que p, q Z; q 0 e Èé o cojuto dos úmeros chmdos irrciois. Um pouco q d históri destes úmeros será presetd o fil dests ots. Operções em R. No cojuto dos úmeros reis R são defiids dus operções fudmetis, dição (som), represetd pelo símbolo + e multiplicção (produto), represetd pelos símbolos, ou simplesmete um espço. Ests operções stisfzem s seguites proprieddes: (A 1 ) Associtiv d dição: quisquer que sejm os úmeros reis, b e c, sempre teremos: ( + b) + c = + (b + c) (A ) Comuttiv d dição: quisquer que sejm dois úmeros reis e b, sempre teremos: + b = b + (A ) Elemeto eutro d dição: chmmos de elemeto eutro de um operção, um elemeto pertecete o cojuto ode operção está defiid e que possui seguite crcterístic: qudo operdo com qulquer elemeto do cojuto, ão lter este elemeto. O elemeto eutro d dição é o úmero zero, o que sigific que qulquer que sej o úmero rel, sempre teremos: + 0 = 0 + =. (A 4 ) Elemeto simétrico, ou oposto pr dição, ou iverso ditivo: qulquer que sej R, eiste - R tl que + (- ) = (- ) + = 0. Observção: Devido est propriedde podemos defiir em operção de subtrção, estbelecedo que b = + ( b),, b R. (M 1 ) Associtiv d multiplicção: quisquer que sejm os úmeros reis, b e c, sempre teremos: ( b) c = (b c) (M ) Comuttiv d multiplicção: quisquer que sejm dois úmeros reis e b, sempre teremos:. b = b. (M ) Elemeto eutro d multiplicção: o elemeto eutro d multiplicção é o úmero 1, o que sigific que qulquer que sej o úmero rel, sempre teremos:. 1 = 1. =. 4

5 (M 4 ) Elemeto iverso multiplictivo: ddo um úmero rel 0, eiste um úico úmero rel, 1 idicdo por ou 1 1 tl que = 1. (D) Distributiv d multiplicção em relção à dição: quisquer que sejm, b e c reis, sempre teremos: (b + c) = b + c e ( + b) c = c + bc Eemplo: 7. (8 + ) = = 70 e (7 + 8). = 15. = = = = = 0 Com pes ests operções e proprieddes podemos provr muits regrs opertóris que utilizmos dirimete, como s que presetmos bio: i. Regr d blç: = b + c = b + c e c = bc. Em plvrs: em um iguldde sempre podemos somr ou multiplicr um mesm qutidde sem lterr o resultdo. O ome d regr dvém de iterpretr e b como pesos de um blç (quel de dois prtos), os quis sedo iguis, mtêm blç em equilíbrio (idéi d iguldde equção). Este equilíbrio é mtido se crescetrmos (ou retirrmos) mesm qutidde em cd prto, ou sej, diciormos (ou subtrirmos) c. Como o produto é defiido em termos de soms de prcels iguis, vle o mesmo pricípio. Cosequêci: + b = c = c b, pois + b b = c b = c b (sommos ( b). Est regr possibilit resolução de muits equções, como por eemplo, + 4 = = 4 = 7 ii. Ccelmeto: + b = + c b = c e b = c, 0 b = c. Not: A codição 0 é fudmetl pr o ccelmeto d multiplicção, seão terímos, por eemplo, 0 = 0 =, o que é turlmete errdo. iii. Regr do ftor ulo: 0 = 0 = 0. iv. Regr do produto ulo: b = 0 = 0 ou b = 0. Est regr é muito utilizd resolução de equções lgébrics, como por eemplo + = 0 ( 1) ( + ) = 0 1 = 0 ou + = 0 = 1 ou =. e ( 4 ) = 0 e = 0 ou 4 = 0. Como e 0 (prederemos isso mis trde), segue que 4 = ( 4) = 0 = 0 ou = 4. v. Regrs de sil: represetdo por (+) um úmero iteiro positivo e por (-) um úmero iteiro egtivo, temos: (+) (+) = (+); (+) (-) = (-); (-) (+) = (-); (-) (-) = (+); (+) + (+) = (+); (-) + (-) = (-). 5

6 Como curiosidde, vejmos lgums demostrções... Você sbe por que 0 = 0, - (- ) =, (- ) b = - b ou (-) (-b) = b? Por cuss dests defiições e proprieddes que cbmos de ver... Quer coferir? 0 = 0 pr todo iteiro. De fto, utilizdo s proprieddes vists, podemos escrever 0 = (0 + 0) = = (0 + 0 ) 0 = 0 + (0 0 ). Portto, 0 = = 0. A verificção ds regrs do produto evolvedo úmeros egtivos ão é tão imedit e pr fzê-l, precismos tes verificr lgus resultdos: 1) + b = 0 fl b = - De fto, se + b = 0, somdo (- ) em mbos os ldos e plicdo s proprieddes A 1, A e A 4, teremos + b = 0 fl (- ) + ( + b) = (- ) + 0 fl (- + ) + b = - fl b = -. ) - (- ) =. Isso pode ser visto como um cosequêci imedit d defiição de simétrico ou oposto. ) = b + c = b + c De fto, utilizdo s proprieddes D, M 1, A e A, temos + c ( b + c) = 0, pois + c 1( b + c) = + c b c = b + c c = + c c = = 0 Logo, por i) e ii) segue que + c ( b + c) = 0 + c + [ ( b + c)] = 0 + c = [ ( b + c)] + c = b + c 4) (- ) b = - b. Pr verificr est iguldde observmos que: Por um ldo temos [(- ) + ] b = (- ) b + b. Por outro ldo, temos [(- ) + ] b = 0 b = 0. Portto, (- ) b + b = 0. Aplicdo o item i) cim, cocluímos que (- ) b = - b. Isso mostr que se, b > 0, etão o produto de egtivo com positivo é egtivo! 5) (-) (-b) = b. Utilizdo os ites iv), ii) e propriedde M, podemos firmr que (-) (-b) = -[ (-b)] = -[(-b) ] = -[-b ] = b = b. Portto, se, b > 0, etão o produto de dois úmeros egtivos é um úmero positivo. 6

7 Potecição (com epoete iteiro positivo) Defiimos potêci de um úmero rel do seguite modo: 0 = 1, 0 1 = = -1., ode =,, 4 Nesse coteto, é referido como bse e como epoete. Note, por eemplo, que = (..) (.) =... = 5 = +. ( ) = (.) = (.) (.) (.) =... = 6 =.. (b) = (b) (b) (b) =...b.b.b =. b. Estes eemplos são pes csos prticulres de regrs mis geris, que descrevemos bio. Regrs de potecição: se R e m, Z + tem-se: m + = m ( m ) = m (b) = b m m =, se 0, m > =, se b 0 b b Not: Qudo se fz um defiição, em gerl tem-se em mete utilidde d mesm o desevolvimeto dquel teori, ou sej, defiição deve grtir que s proprieddes sejm stisfeits pr todo elemeto do cojuto em questão. Por eemplo, um pergut muito frequete é: por que 0 = 1? Bem, com o espírito de grtir que s proprieddes formis d potecição com epoetes turis se mtehm, ão temos outr ltertiv seão defiir 0 como foi feito. Por eemplo, pels proprieddes já vists, pr todo Z + temos: = +0 = 0 = 0 0 = 1 (pr vler o elemeto eutro d multiplicção) 0 1 = = = = 1 0 = 1 (pr vler o elemeto iverso d multiplicção) 7

8 Divisão Se e b são úmeros reis, 0, defiimos divisão (ou quociete) de b por por: b 1 = b, ode 1 é o iverso multiplictivo de. Neste cso, temos um frção, que pode ser deotd por b ou b/, ode b é chmdo umerdor e, deomidor. CUIDADO: Não eiste divisão por zero!!! Eemplos: A frção 0 ão tem sigificdo em Mtemátic. A epressão + só tem sigificdo pr vlores de diferetes de ( 0). Qudo trblhmos com frções devemos ter um cuiddo especil com s operções, com os siis e mesmo com iguldde. Vejmos porque... Iguldde de frções: Se b 0, d 0, temos c = d = bc. b d Isso sigific que frções pretemete diferetes podem ser iguis. Eemplos: ) b) 9 = pois. 1 = = = = + = + = = = se 1 ou 5, pois ( 4) ou 5 Cosequêcis d defiição de iguldde c =,, b, c R, b, c 0. b bc Eemplo: 9 = porque =. 1 4 Um frção é igul zero se, e somete se, que seu umerdor for zero, pois pr quisquer, b R, b 0, tem-se = = 0 = 1 = b 0 = 0 = 0 = 0. 1 b b 1 b Eemplos: ) 4 = = = ±

9 b) A equção = 0 ão possui solução, pois pel defiição de iguldde, 1 o que ão fz setido. Neste cso escrevemos 0, R ou S = F. 1 = 0 = 0, 1 Regr de siis pr frções: São s mesms utilizds pr úmeros iteiros, porém, qui vle observr que: i. = = b b b ii. = b b Eemplos: ) = = ; b) = ; + + c) ( ) 1 1 = = =, pr e 9 ( + ) ( ) + +. As operções de dição, multiplicção, divisão e potecição possuem defiições específics pr o cso de frções. 1. Adição: Eemplos: ) c d + bc + =. b d bd b) = = ; = + = = = = + = + = = = 9 9 Observção: Coforme vimos o eemplo b), se os deomidores são iguis, bst coservr os deomidores e somr os umerdores. Isso é um regr gerl, pois pel defiição temos b c + cb c( + b) c ( + b) ( + b) + = = = =,, b, c Z, c 0. c c cc cc c c c Por isso fzemos: = = ; + = ; =, CUIDADO: Vimos cim que + b b = +, pr todo úmero rel, b, c, c 0 c c c +. Vej, se isso fosse verddeiro sempre, terímos, por eemplo, b + c b c = = + = = 16!!!! Absurdo!!!! Porém, em gerl, 9

10 . Multiplicção: c = c. b d bd A multiplicção é mis simples, pois bst multiplicr os umerdores e os deomidores. 9 7 se( ) se( ) Eemplos: ) ;, = = ( + 5) CUIDADO: Não cofud o procedimeto de somr com o de multiplicr, pois se fizer isso obterá b + b + b b + b + b + = =, qudo o correto seri + = =. c c c + c c c c c c Eemplos: + = = ERRADO = = CORRETO Divisão de frções Pr dividir um frção por outr, multiplicmos primeir pel ivers d segud, ou sej, Usulmete escrevemos c d : =, pr quisquer, b, c, d R, b, c, d 0. b d b c b d =. c b c d Observções 1. Pr dividir por b/c escrevemos = /1 e procedemos como cim. Assim, 1 c c = = =. b b 1 b b c c Eemplos: ) O iverso de 4/5 é: = 1 = = b) = 1 = = Pr dividir /b por c escrevemos c = c/1 e procedemos segudo defiição. Assim, 10

11 Eemplos: ) b b 1. c = c = b c = bc = = 1 =. b) 1 = = = = (1 ) Observção: Pr evitr erros, o trblhr com frções, sempre coloque o trço d frção pricipl mesm lih do sil de igul. Potêcis com epoetes iteiros Podemos gor esteder defiição de m, pr m iteiro qulquer, do seguite modo: Sejm 0, b 0 e m, iteiros quisquer (positivos ou egtivos). Etão temos: ) 0 = 1 1 b) = c) d) = b b m = m Cosequêci: 1 1 b b b = = = 1 = = b ; em prticulr: b b b 1 b =. Eemplos: ) ; 5 = = 5 b) = = = = Potêcis com epoetes frcioários - Riz -ésim Defiição: Sej b > 0 um úmero rel e r um rciol (frção). Escrevedo r = p/q, p e q iteiros, q > 0, defiimos b = b = b. r p/ q q p Destcremos o cso prticulr em que r = 1/, > 1, iteiro. Neste cso temos 11

12 que é chmdo de riz -ézim de b. b 1 = b Est defiição pode ser estedid pr vlores egtivos de b, sob certs codições. Assim, temos: Se b 0 é um úmero rel e > 1 é um iteiro pr, defiimos riz -ésim de b como sedo um úmero rel 0 tl que = b. Idicmos = b. b é chmdo rdicdo, é o rdicl e é o ídice. Se b é um úmero rel qulquer e > 1 é um iteiro ímpr, defiimos riz -ésim de b como sedo o úico úmero rel tl que = b. Idicmos = b. Decorre d defiição que ( ) b = b. Eemplos: 8 =, pois = 8; 8 =, pois ( ) = 8... observe que o ídice é ímpr =, pois =16; ( 9) = 9, pois ( 9) = 81 = 9; o ídice é pr, logo riz é positiv. Proprieddes: Vlem s seguites proprieddes pr e b reis e, p, m iteiros, > 1, m > 1: ( i) b = b ( ii) =, b 0 b b ( ) m ( iii) = p p ( iv) = m com resslv de que, se é pr, etão 0, b 0, e 0 se, m < 0. Eemplos:. b. 4 6 = = 6 = 6 8 = 8 = 64 c. ( ) d. 4 1 = CUIDADO: Em gerl, + b + b. De fto, = 5 = 5, porém = 4 + = = 9 =, , porém = + 1 =. 1

13 Observções: 1. É muito comum cofusão etre riz qudrd de um úmero, digmos, e solução de um equção qudrátic do tipo =. Observe que tto quto dd, pois ( ) ( ) ( ) soluções, sber, são soluções d equção = e = ( 1) = 1 =. Portto, equção = possui dus = ±. No etto, é um úico úmero positivo b tl que, b =. Eemplo: As soluções d equção = 144 são = ± 144 = ± 1. Assim 1 são s rízes d equção dd e ão os vlores de 144, que é pes 1.. Geerlizdo temos que, se b > 0 e é pr, etão eistem dois úmeros, sber, = b e = b, tis que + por defiição.. Qudo se pergut quto é Todvi, se tomrmos, por eemplo, = - 4, terímos = b, porém riz -ésim de b é pes +, pois é positiv, respost quse sempre é, ou sej, escreve-se ( 4) 4 =. =, o que evidetemete está errdo, pois ( 4) = 16 = 4. Qul seri etão respost corret? Bem, segue d defiição de riz-qudrd que Como é o úico úmero positivo ou ulo que elevdo o qudrdo dá. = e 0, segue que =. Relções de Ordem Até gor vimos proprieddes dos úmeros reis que evolvem iguldde. Pr emirmos s proprieddes que evolvem desigulddes é iteresste termos um visão geométric do cojuto dos úmeros reis, o que fcilitrá compreesão dos resultdos. Covecio-se represetr o cojuto dos úmeros reis por um ret e sobre el, escolhe-se um poto pr ser origem. Neste poto posicio-se o úmero 0. À direit do 0 e em ordem crescete, ecotrm-se os úmeros positivos e à esquerd, de modo simétrico, os úmeros egtivos. -P P 4... Assim, estbelecemos um ordem etre os elemetos dizedo que: Se um úmero está à esquerd de um úmero b, etão é meor que b e idicmos < b. Se um úmero b está à direit de um úmero, dizemos que b é mior que e idicmos b >. Do poto de vist lgébrico, dizemos que: b > se b é positivo; < b se b é egtivo. 1

14 Em prticulr, se b é positivo, podemos idicr b > 0, pois b 0 = b é positivo. Do mesmo modo, se b é egtivo, podemos idicr b < 0, pois b 0 = b é egtivo. Assim, temos: Itroduzimos seguite otção : b sigific > b ou = b. b sigific < b ou = b. < b ou b > b > 0 b < ou > b b < 0. Coveção: Se > e < b, costum-se combir isso escrevedo < < b. Sigificdo álogo tem s epressões b, < b, < b. CUIDADO: A coveção cim só se plic itervlos cotíuos e com utilizção do sil < ou. Portto, uc escrev, por eemplo, 5 > > 10 pr represetr < 5 ou > 10. Neste cso escrev (,5)» (10,+ ) ou { R : < 5 ou > 10 }. Proprieddes: Pr todo, b, c R temos: b e b c c (trsitividde) b + c b + c b + c b + c b c bc c > 0 b c bc b c bc c < 0 b c bc (som de vlores iguis ão lter desiguldde) ( multiplicção por vlores positivos ão lter desiguldde) ( multiplicção por vlores egtivos iverte desiguldde) Demostrção: Ests demostrções são simples e, fim de ão torr o estudo por demis bstrto, fremos somete o último cso, como eemplo. Os leitores mis curiosos poderão fzer s demis sem dificulddes. Por defiição, b sigific que b - 0. Multiplicdo o ldo esquerdo por c < 0 e usdo regr do produto de um úmero positivo por um egtivo, obtemos (b - ) c 0. Pel propriedde distributiv segue que bc c 0, de ode obtemos c bc. 4 Epressões poliomiis Iformlmete fldo, podemos dizer que um epressão poliomil é som de prcels do tipo, rel e turl (se = 0, covecio-se que = ). No cso de dus icógits é mesm m cois, o tipo sedo y, m turl. Os úmeros que multiplicm s potêcis s epressões e os que figurm isoldmete são chmdos de coeficietes. 7 Assim,, e 7 são os coeficietes de + +, e ssim por dite. Cd prcel d epressão poliomil é referid como termo. Assim, 14

15 , e 7 são os termos de O termo o qul ão prece é chmdo de termo idepedete ou termo costte. Os termos de mesmo epoete, do tipo termos semelhtes. Por eemplo, 4 e são termos semelhtes. e b, são chmdos Operções: Som: A som de epressões poliomiis é feit somdo todos os termos, podedo-se usr propriedde distributiv pr os termos semelhtes. Eemplo: ( ) + ( ) = ( + 8) + (1 5) + (4 1) = Produto: O produto de epressões poliomiis é feito termo termo, respeitdo-se s regrs de potêci e propriedde distributiv. Eemplo: = 4 (5 4) ( 8 5 1) 4 5 ( 8 5 1) ( 8 5 1) ( 8 5 1) 4( 8 5 1) = = Produtos otáveis: lgus produtos são tão utilizdos que cbm recebedo omes e métodos especiis de resolução. Eis lgus deles: Observções: ( + )( ) = ( + ) = + + ( ) = + ( + ) = ( ) = + 1. Os produtos otáveis são idetiddes, ou sej, s igulddes cim são verddeirs pr todo rel.. A epressão ( + ), > 1 é deomid Biômio de Newto, devido o mtemático que determiou um fórmul pr su epsão. Os csos eemplificdos cim são csos prticulres dest fórmul gerl, qul é dd por: 1 ( 1) ( 1)( ) ( 1) 1 ( + ) = , 1!!! ( 1)! sedo que 1! = 1,! =.1,! =..1,! =. (-1).(-).(-) Muit teção pr o fto de que, em gerl, ( ± ) ± ( ± ) ± ( ± ) ±, > 1 Qudo dizemos em gerl queremos dizer podem eistir lgus vlores de ou de que torem, por eemplo, iguldde ( + ) = + verddeir. = 0 é um cso. 15

16 Quociete: O teorem (lgoritmo de Euclides) que fl sobre divisão de iteiros positivos é o seguite: Ddos os iteiros positivos e b, eiste um úico pr ordedo (q, r) de úmeros iteiros tl que = bq + r, com 0 r < b. Neste coteto, q e r são chmdos, respectivmete, quociete e resto d divisão euclidi de por b, ode é o dividedo e b, o divisor. Assim, o dividirmos, por eemplo, 50 por 1, obtemos o quociete igul e o resto igul 11, ou sej, podemos escrever = ou equivletemete, = Eiste um teorem álogo que diz respeito à divisão de um epressão poliomil por outr. Pr euciá-lo, itroduzimos seguite omecltur: 1 Se epressão poliomil tem-se 0, el é dit ter gru. Agor podemos formulr o seguite resultdo: Se A e B são epressões poliomiis, B 0, eiste um úico pr (Q, R) de epressões poliomiis tl que idetidde A = BQ + R se verific, com R = 0 ou gru de R < gru de B. Eiste um lgoritmo pr efetur divisão de poliômios, álogo o lgoritmo utilizdo pr dividir úmeros iteiros. O eemplo seguir ilustr. Eemplo: Pr dividir por + 1 podemos proceder de meir álog à divisão etre úmeros iteiros. Podemos iclusive usr mesm disposição prátic do processo: ) Divid do quociete): 5 (primeir prcel do dividedo) por (primeir prcel do divisor) pr obter 5 (primeir prcel b) Multiplique 5 pelo divisor, muddo o sil, pr obter pr somr com ele: Escrev isso bio do dividedo c) Repit o processo com como dividedo: Como epressão 1 tem gru 1, meor que o gru do divisor, devemos prr por qui. 16

17 Observção: O processo de divisão cim os permite escreve seguite idetidde em : = ( + 1)( ) 1 ou equivlete = Ftorção: Ftorr um poliômio sigific escreve-lo como um produto de outros poliômios, ode cd ftor é um poliômio de gru iferior o do poliômio ftordo. Eistem vários tipos, porém só vmos trtr qui o cso que mis os iteress: Teorem Fudmetl d Álgebr: Sej P ( ) um poliômio de gru, com vriável. Etão P ( ) pode ser escrito form ode c é um costte, multiplicidde d i-ésim riz. m P ( ) = c ( ) ( ) ( ) m1 m 1,, 1 são s rízes de (), P (reis ou comples) e m i deot Observções: (i) Um úmero é dito riz de um poliômio em se o ser colocdo o lugr de, ul o poliômio. (ii) Chmmos de multiplicidde de um riz o úmero de vezes que el ocorre o mesmo poliômio. Se multiplicidde for 1, chmmos riz de simples. (iii) Um poliômio é dito irredutível qudo só possui rízes simples. Se s rízes são dmitids pes em, etão o poliômio é dito irredutível qudo só possui rízes simples ou ão possui rízes reis. (iv) O Teorem Fudmetl d Álgebr os diz que todo poliômio pode ser ftordo, bstdo pr isso, cohecer sus rízes. Eemplo: = 1 é riz do poliômio p ( ) 1 =, pois substituido por 1 obtemos p (1) = 0. Logo, 1 é um ftor do poliômio p (), qudo form ftord, ou sej, p () pode ser escrito form p( ) = ( 1) q( ). Pr determirmos q( ) bst dividirmos p( ) por ( 1) e obteremos q( ) = ( + + 1). Logo, podemos escrever p( ) = 1 = ( 1)( + + 1). Neste eemplo observmos que = 1 é um riz simples de p ( ) 1 = e que q( ) = ( + + 1) é um poliômio irredutível em, pois ão possui rízes reis. Portto, se estmos trblhdo pes o cojuto dos reis, epressão ftord de p( ) é ( 1)( 1) + +. Epressões rciois Como já foi visto, s operções com epressões lgébrics seguem s mesms regrs ds operções com úmeros reis. Todvi, qudo se trt de frções, um cuiddo mis sempre é ecessário, pois muitos detlhes precism ser observdos: O deomidor ão pode ser zero. Portto, o efetur um cálculo do tipo

18 primeir preocupção deve ser determição dos vlores de que podem ser utilizdos s operções, ou sej, o domíio d epressão. Neste cso, temos 1 = 0 = ± 1 e + + 1= 0 = 1. Portto, o trblhr com epressão cim, devemos ter sempre em mete que estmos cosiderdo ±1. A ftorção deve ser sempre utilizd pr verificr preseç ou ão de ftores comus os deomidores, o que fcilitrão os cálculos. Observe que: 1 = ( + 1)( 1) e = ( + 1). Logo, eiste um ftor comum o deomidor, que é ( +1), e ssim operção cim tor-se: ( + 1) 5 ( 1) = = = ( 1)( + 1) ( + 1) ( 1)( + 1) ( 1)( + 1) 0 0, 0 = e b 0 b = = 0. Ms é muito comum erros do tipo: ( ) ( ) = 0 = 0 ou = 0 = 0 =. A solução pr equção propost é, turlmete, o cojuto vzio, pois 0. Módulo ou Vlor Absoluto Defiição: Sej R. O módulo de é ddo por, se 0 =, se < 0 Iterpretção Geométric: distâci de té origem. - 0 Proprieddes:, b R, temos: 0 e = 0 = 0 b = b e se b 0, = b b = = + b + b + b = + b b 0 (desiguldde trigulr) 18

19 Eemplos: Nestes eemplos vmos eercitr um pouco do que vimos trvés d resolução de equções e iequções (com desigulddes), buscdo ecotrr o cojuto solução. 1) Resolv equção - = 5. Solução: D defiição de módulo, temos:, se 0, se = =. ( ), se < 0, se < Portto equção tor-se: = 5, se = 7, se. = 5, se < =, se < Assim, s soluções d equção são = 7 e = -, ou S = {-, 7}. ) Resolv equção = -. Solução: D defiição de módulo, temos:, se 0 =, se < 0 Portto equção tor-se: =, se > 0 =, se < 0 0 = 0, se = 0 ) Resolv iequção. e, se 0, se 0 = =., se < 0, se > 0, cujo cojuto solução é S = {0}. Solução: Utilizdo defiição de módulo, iequção tor-se:, se 0, se 0., se < 0, se < 0 Assim, o cojuto solução é S = { } 4) Resolv iequção 1 <. R : = [, ]. Solução: Utilizdo defiição de módulo, iequção tor-se: 1 <, se 1 <, se 1 1 <, se < 1 > 1, se < 1 Assim, o cojuto solução é S = { : 1 < < } = ( 1, ) 5) Resolv iequção 4. R. Solução: Utilizdo defiição de módulo, iequção tor-se: 4, se 4 7, se 4 7, se 4. 4, se < 4 1, se < 4 1, se < 4 Assim, o cojuto solução é S = { } ( ) 6) Resolv iequção 6 > R : 1 ou 7 =,1] [7, + ). Solução: Neste cso, como os dois termos d desiguldde são positivos, elevdo mbos o qudrdo, o sil d desiguldde permecerá e os cálculos serão simplificdos. Assim teremos 19

20 ( ) ( ) 6 > > > > > < > ou 10. Portto, S = (-, ) (10, + ). O Cojuto dos Números Irrciois - Pitágors e seus seguidores costtrm eistêci de úmeros que ão podim ser epressos form de um deciml eto ou um dízim periódic, como por eemplo,. A eistêci deste úmero er visível geometricmete, pois o próprio Teorem de Pitágors grti que em todo triâgulo retâgulo, som dos qudrdos dos ctetos é igul o qudrdo d hipoteus. Logo, o tmho d digol de um qudrdo de ldos iguis 1 seri ddo pel solução d equção d =, pois d = 1 + 1, coforme podemos ver figur bio. Geometricmete estimvm o vlor destes úmeros com régu e compsso, utilizdo o rciocíio epresso figur bio: E form lém, costruido geometricmete riz qudrd de todos os iteiros positivos usdo régu, compsso e o Teorem de Pitágors. Vej como: Acredit-se que origem do símbolo dotdo pr represetr estes vlores estej primeir letr miúscul d plvr rdi, que sigific riz (em ltim). Como rdi er o ome ddo à solução de um 0

21 equção igul zero, o vlor procurdo seri solução de um equção do tipo d = ou d - = 0, que estv ssocido à digol de um qudrdo, dí o ome riz qudrd. O cálculo umérico dests rízes qudrds er um difícil tref pr úmeros que ão erm qudrdos perfeitos. Lembrmos que um úmero é dito ser um qudrdo perfeito qudo é o qudrdo de um úmero turl. Por eemplo, 1, 4 e 9 são qudrdos perfeitos, pois 1 = 1, 4 =, 9 =, e ssim por dite. Porém grde questão er como clculr riz qudrd de um úmero turl qulquer. E isso foi feito por proimções, como mostr o esquem bio: Prosseguido com s proimções, ecotrremos = 1, Com estes cálculos foi-se percebedo que ão é um deciml eto, pois tem ifiits css decimis; tmbém ão é um dízim periódic. Etão ão pode ser escrito form de frção, ou sej, ão é um úmero rciol. Etão foi ddo ele o ome de úmero irrciol. Assim, úmeros irrciois são todos os úmeros que possuem ifiits css decimis ão periódics e, portto, ão podem ser epressos form de frção. A proposição bio os forece um qutidde ifiit de úmeros irrciois. Proposição: Se p é um úmero primo, etão p é um úmero irrciol. Além destes, eistem outros úmeros irrciois que são muito utilizdos mtemátic, como por eemplo, os úmeros mbos com um log históri. π =, e e =, , O úmero pi, represetdo pel letr greg π, é mis cohecido por estr ssocido à medid de âgulos, porém su descobert é muito tig e está estreitmete ligd o problem d qudrtur do círculo, o qul cosisti em ecotrr um qudrdo cuj áre fosse igul de um círculo ddo. Este problem se remot os egípcios (1800.C.) e perdurou durte muito tempo, sedo que se pode 1

22 coseguir um solução elegte do problem d qudrtur com espirl de Arquimedes que, efetivmete, foi utilizd por Arquimedes (50.C.) com est filidde. O fto é que durte estes estudos, percebeu-se que rzão etre o comprimeto d circuferêci de um círculo qulquer e seu diâmetro, er sempre costte. Est costte foi chmd de π, porém seu vlor foi letmete sedo clculdo. No Oriete tigo tomv-se frequetemete o úmero como vlor de π. Pr qudrtur do círculo egípci dd o ppiro Rhid, temos π = (4/) 4 =,1604. Porém primeir tettiv cietífic de ecotrr o vlor de π prece ter sido de Arquimedes, por volt de 40.C., que cocluiu que π estv etre /71 e /7, ou que, té segud cs deciml, π é ddo por,14. Depois de Arquimedes, primeir proimção otável de π foi dd por Cludio Ptolomeu em su fmos Sytis mthemtic, mior obr de stroomi produzid Gréci tig (150 d.c.). O vlor de π usdo este trblho er de 77/10 ou,1416. Deste este trblho té décd de 80 ( últim), iúmeros estudos form relizdos fim de determir o vlor de π com um úmero mior de css decimis e eteder su turez. Pr cohecer tod est históri é ecessário ler s váris obrs que eistem sobre este úmero, ms os limitremos os ftos mis relevtes: em 1767, Joh Heirich Lmbert provou que π é irrciol. Em jeiro de 1986, D. H. Biley, d NASA, fez fucior um supercomputdor Cry- por 8 hors, usdo um lgoritmo de J.M. e P.D. Borwei, pr obter π com dígitos. Pouco depois, Ysums Kd, d Uiversidde de Tóquio, usdo um supercomputdor NEC SX- e o mesmo lgoritmo dos Borwei, clculou π com dígitos. A históri do úmero e é bem mis recete e está itimmete relciod com históri dos logritmos, que form ivetdos por Joh Npier em 1614 e publicdos em A pricípio só eistim os logritmos bse 10 e provocrm um revolução o processo de fzer cálculos. Questões ficeirs, como o procedimeto pr se clculr juros compostos, levrm um fórmul pr clculr quto teri um pesso que plicou um quti S 0, um t de r %, pós um período de tempo t, t sedo os juros compostos vezes este período. Este vlor seri 0 1 r S = S +. A epressão 1 1+ chmou teção pelo fto de que, medid em que umetv, el se proimv de um certo vlor, coforme podemos ver tbel bio: A questão er sber se este pdrão cotiuv, ou sej, se os vlores de (1+1/) se estciorim em toro de,7188 pr vlores muito elevdos de. Est itrigte possibilidde foi de fto cofirmd por um cuiddos álise mtemátic, que será omitid qui, porém pode ser ecotrd s referêcis

23 citds o fil do cpítulo. Não se sbe o certo quem primeiro otou o comportmeto peculir d epressão (1+1/) 1 à medid que tede o ifiito lim 1+ = e, e por isso dt do scimeto do úmero que mis trde seri deotdo por e, permece obscur. Prece provável, o etto, que sus origes recuem té o iício do século XVII, por volt d époc em que Npier ivetou os logritmos. Aquele período foi mrcdo por um eorme crescimeto do comércio iterciol e s trsções ficeirs de todo tipo proliferrm. Em cosequêci, um bocdo de teção foi dd à lei dos juros compostos, e é possível que o úmero e teh sido recohecido pel primeir vez este coteto. Ms váris outrs questões tmbém levrm o mesmo úmero mesm époc, e su utilizção como bse dos logritmos, os chmdos logritmos turis ou eperios l = log e e d fução epoecil f ( ) = e ou f ( ) = ep( ) ocupm té hoje um lugr de destque o Cálculo Diferecil e Itegrl. Geometricmete o úmero e pode ser iterpretdo de vários modos, como áre sob o gráfico d fução f() = e, qudo vri de - té 1; como iclição d ret tgete o gráfico d mesm fução em = 1; e id, áre sob hipérbole y = 1/, de = 1 = e, é igul 1. Vejmos os gráficos pr eteder melhor: y y f() = ep() A = e (áre d região rchurd) 4 f() = 1/ (1, e) A = 1 (áre d região rchurd) 1 1 A ret tgete em = 1 A e 1 4 Curiosidde: Observe que se escrevermos o úmero e com pes 9 css decimis, teremos e =, e poderemos chr que o bloco 188 cotiurá se repetido, fzedo com que e sej um dízim periódic. Todvi, este bloco é egdor, pois e é um úmero irrciol e represetdo por um sequêci ifidável de css decimis que ão se repetem, coforme presetdo cim. A irrciolidde de e foi provd em 177 pelo mtemático Leohrd Euler, que o utilizou em muitos estudos, iclusive utilizdo letr e pr represetá-lo, ms ão se sbe o certo se el foi escolhid por ele e se está relciod o seu ome.

24 EXERCÍCIOS 1. Sbedo que 10 = 100; 10 = 1.000, etc. e 10-1 = 0,1; 10 - = 0,01; etc. estbeleç um regr gerl pr 10, ode é um iteiro qulquer.. A prtir do eercício 1, respod: ) Que potêci de 10 é um trilhão? b) é o úmero 1 seguido de qutos zeros? c) é um úmero1 precedido de qutos zeros?. Determie o vlor de pr: i) 10 = ii) 10 = 0,001 iii) = 64 iv) 7 = 4 v) = 0,09 10 vi) 4 = 1 4. Qutos dis iteiros há em 10 8 segudos? 5. Estim-se que mss d Terr sej 6, Kg. Já ultrpssmos mrc de 6 bilhões de hbittes. Imgiemos que cd hbitte teh, em médi, 50 Kg. Quts vezes mss d Terr é mior que mss de tod populção hum? 6. Um molécul de çúcr comum (scrose) pes 5, g e um de águ, 10 - g. Qul ds dus é mis pesd? Quts vezes um é mis pesd que outr? 7. Num copo de águ com çúcr há 180 g de águ e 11,4 g de çúcr. Usdo os ddos do eercício terior, clcule: ) Quts moléculs de águ há o copo; b) Quts moléculs de çúcr; c) Quts vezes mis moléculs de águ há do que de çúcr; d) O totl de moléculs de águ com çúcr. 8. Um molécul de sl de cozih pes 9, g. Quts moléculs eistem em 1 Kg de sl? Respod otção cietífic ( 10, 1 10). 9. O Sol é formdo por um mss de gses quetes, sedo 1 milhão de vezes mior e cerc de vezes mis pesdo que Terr. Clcule mss do Sol. 10. Brsil e Itáli disputrm fil d cop do mudo de futebol de Clcule qul foi o resultdo do jogo, tes dos pêltis: Brsil: Itáli: ( 1) + ( 1) + ( 1) + ( 1) ( 1) + ( 1) + ( 1) + ( 1) 11. Supoh que um pís A teh um red per cpt ul de dólres e um populção de 50 milhões de hbittes. Um outro pís B tem um red per cpt de dólres e um populção de 0 milhões. Se os dois píses se fudirem pr formr um ovo pís, red per cpt resultte estrá mis próim de qul vlor? 4

25 1. Clcule o vlor ds epressões bio e respod qul tem o mior vlor e qul tem o meor vlor: ) c) ( 5) + ( 1) b) d) ( 1) + + ( ) Coloque em ordem crescete os seguites úmeros rciois: ) ,,, 1,, b) ,,,, 1, 0,,, Simplifique s frções bio: ) ; b) ; c) Efetue s operções bio: ) + ; b) ; c) + ; d) Efetue e/ou simplifique: ) d) g) b) e) h) 7 j) ( ) k) f) ( ) i) ( ) ( ) l) 1 c) (4 rs )( r ) 17. Verddeiro ou flso? ) ( + ) = + b) ( 4 + ) = 4 c) ( ) = d) ( + b)( c) = c bc e) ( 6)( b) = 6 + b f) ( 1 w)( 1) = g) = h) = i) = j) = k) = l) 4 b 8( b = ) m) > y > y ) y z zy o) < y > y w 18. Resolv s desigulddes: ) 7 > 9 b) c) 4 5 d) e) < + 1 f) 5

26 19. Determie o cojuto solução ds equções e iequções bio: ) 4 = 6 b) 7 4 < 10 c) = d) + 5 e) + 1 = f) 4 > g) ( 1) = 5 h) ( ) + =, > 0 i) = -9 j) 6 = 0 k) ( 1)( + ) = 0 l) 1 5 < 4 0. Clcule: ) b) c) 1, 1 0, d) 65 e) f) g) h) 7 15 j) k) 4 l) i) Simplifique: ) b) ( ) 40 5 y c) / 4 d) e) 4 f) ( ) 8 g) 104 h) i) 4 7 b j) 51 k) 4 b 10 6 b 5 l) Um determid mrc de tit é vedid um recipiete cúbico que tem cpcidde de 4096 cm (o mesmo que 4,096 l ). Quto mede rest do recipiete? A médi ritmétic de úmeros positivos 1,,, é dd por, e médi geométric é 1. ) Clcule médi ritmétic e geométric de, 8 e 9. b) Qul ds médis é mior? 4. ) Clcule 100 1, 100 1,5 e 100. b) A médi ritmétic dos epoetes 1 e é 1,5. A médi ritmétic ds potêcis e 100 é 100 1,5? Justifique su respost. c) Verifique se médi geométric de e 100 é 100 1,5. 5. Idique qul é médi ritmétic e geométric de 10 m e 10. 6

27 6. Quto mede rest de um cubo que tem volume igul o de um bloco retgulr de 51 mm 16 mm 15 mm? 7. A porcetgem de fumtes de um cidde é %. Se em cd 11 fumtes deirem de fumr, o úmero de fumtes ficrá reduzido Clcule: ) O úmero de fumtes d cidde. b) O úmero de hbittes d cidde. 8. Efetue os produtos: ) ( + 1) ( 1) (4 ) b) (u 6v) ( u v ) c) ( 4 + 5) ( 6 + 4) 9. Resolv equção ( + + ) = (). 0. Divid (isto é, dê o quociete e o resto): ) por + 4 b) por Ftore: ) b) + c) 5 4 d) 8 7 e) f) 4 +. Verddeiro ou flso? Justifique ou dê cotr-eemplo. ) é sempre positivo b) 9 = ± c) pode ser ulo d) + b = + b,, b R e) + b = + b,, b R f) = g) b b < h) ( ) =, = 1 i) ( ) j) = 8 k) = = l) ( ) 7

28 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Brroso, Julie M.. Mtemátic Esio Fudmetl 7 Projeto Arribá, Ed. Moder, 006. Boyer, Crl B.. Históri d Mtemátic, Ed. Edgrd Blücher, 6ª edição, São Pulo, Eves, Howrd. Itrodução à Históri d Mtemátic, Ed. d UNICAMP, Cmpis (SP), 004. Iezzi, Gelso; Dolce, Osvldo e Mchdo, Atoio. Mtemátic e Relidde 9º o, Ed. Atul, São Pulo, 007. Iezzi, Gelso; Murkmi, Crlos. Fudmetos de Mtemátic Elemetr Cojutos e Fuções, Ed. Atul, 8ª edição, 6ª reimpressão, São Pulo, 008. Mier, Rudolf R.. Teori dos Números Teto de Aul, Versão tulizd 005, Mor, Eli. e: históri de um úmero, Ed. Record, 5ª edição, Rio de Jeiro, 008. Moretti, Méricles T = + 1? REPPEMAT, p. 0-1, UFSC, 006. Shokri, Slhoddi. Um Itrodução à Teori dos Números, Ed. Ciêci Moder, Rio de Jeiro,