DIVISIBILIDADE etc. O conjunto P dos números primos é infinito e não existe nenhuma lei de formação para esses números:

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1 DIVISIBILIDADE 0. MÚLTIPLOS E DIVISORES Sejm e dois úmeros turis. Se o resto d divisão de por for zero, isto é, se divisão de por for et, dizse que é divisível por (ou que é múltiplo de ). Nesse cso, diz-se id que divide. A otção idic que divide. E.) 6 6 é divisível por, pois: 6 0 E.) 5, 7 e 4 5, 7 e 4 são divisíveis por, pois: E.) 6 é divisível por,, e 6. Idicdo-se o cojuto dos divisores de 6 por D(6), temos: D(6) = {,,, 6} E.4) O zero é múltiplo de qulquer úmero, ms só é divisor dele mesmo. O cojuto M() dos múltiplos de um úmero é o cojuto dos turis vezes. Assim: M() = {0,,4, 6, 8, 0,...}; D() = {, } M() = {0,, 6, 9,, 5,...}; D() = {, } M(4) = {0, 4, 8,, 6,...}; D(4) = {,,4} M(6) = {0,6,,8,...}; D(6) = {,,,6} Note que o cojuto dos múltiplos de um úmero é ifiito, e o cojuto dos divisores é fiito. Um úmero turl é pr qudo é divisível por e é ímpr qudo ão é pr. 0. NÚMEROS PRIMOS Um úmero, com eceção do úmero, é primo qudo é divisível somete por ele mesmo e pel uidde. Vmos escrever lgus úmeros turis em ordem crescete prtir de. Destquemos o e risquemos todos os múltiplos dele que surgem em seguid. Destquemos o e risquemos todos os múltiplos dele que surgem em seguid. Destquemos o 5 e risquemos todos múltiplos dele que surgem em seguid etc etc. O cojuto P dos úmeros primos é ifiito e ão eiste ehum lei de formção pr esses úmeros: P = {,, 5, 7,,, 7, 9,,9,,...} Note que o é o úico úmero pr que é primo. Um úmero que dmite outros divisores lém d uidde e dele próprio é chmdo úmero múltiplo ou úmero composto. Os úmeros riscdos detre os cim são compostos.

2 0. REGRAS DE DIVISIBILIDADE Um úmero é divisível por: ), qudo o último lgrismo d direit for 0,, 4, 6 ou 8, isto é, qudo o úmero for pr. 0, 86, 04 são úmeros divisíveis por. ), qudo som dos lgrismos que o represetm formr um úmero divisível por. 45 é divisível por, pois = 9 (9 é divisível por ); 80 é divisível por, pois = ( é divisível por ). c) 4, qudo o úmero epresso pelo grupmeto dos dois últimos lgrismos d direit de su represetção é divisível por 4. 4 é divisível por 4, pois 4 tmém o é; 8408 é divisível por 4, pois 08 = 8 tmém o é; 00 é divisível por 4, pois 00 ^ O tmém o é. d) 5, qudo o último lgrismo d direit for 0 ou é divisível por 5, pois termi em 0; 475 é divisível por 5, pois termi em 5. e) 6, qudo for divisível o mesmo tempo por e por. 4 é divisível por 6, pois é divisível por e por ; 50 é divisível por 6, pois é divisível por e por. f) 8, qudo o úmero epresso pelo grupmeto dos três últimos lgrismos d direit de su represetção é divisível por é divisível por 8, pois 04 tmém o é; 000 é divisível por 8, pois 000 tmém o é. g) 9, qudo som dos lgrismos de su represetção formr um úmero divisível por é divisível por 9, pois = 9 (9 é divisível por 9); é divisível por 9, pois = 7 (7 é divisível por 9). h) 0, qudo termir em é divisível por 0; 4800 é divisível por 0.

3 04. DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS 4.. TODO NÚMERO NATURAL MAIOR QUE OU É PRIMO OU PODE SER DECOMPOSTO NUM ÚNICO PRODUTO DE FATORES PRIMOS. EXEMPLO Vmos decompor 90 em ftores primos. Aplicdo s regrs d divisiilidde, temos: 90 =.45; DISPOSITIVO PRÁTICO como 45 =.5 e 90 5 =.5, 45 5 temos, igulmete, = Pode-se oservr melhor o dispositivo prático que pr decompor um úmero em seus ftores primos é mis simples se fzer divisões sucessivs tomdo os ftores primos em ordem crescete. 4.. CONJUNTO DOS DIVISORES DE UM NÚMERO Ddo um úmero turl, os seus divisores são determidos decompodo-se em seus ftores primos, e, em seguid, comido esses ftores um um, dois dois etc. Vmos oter o cojuto dos divisores de 4 e 504. ) 4 As comições dos produtos dos úmeros, e 7 são: um um: ; ; dois dois: (.) = 6; (.7) = 4; (.7) = três três: (..7) = 4 Eiste, id, o úmero, que é divisor de qulquer úmero. Assim, o cojuto D(4) dos divisores de 4 é: D(4) = {,,, 6, 7, 4,, 4} DISPOSITIVO PRÁTICO 4 D(4) = {,,, 6, 7, 4,, 4} ) Portto: D(504) = {,,, 4, 6, 7, 8, 9,, 4, 8,, 4, 8, 6, 4, 56, 6, 7, 84, 6, 68, 5, 504} NOTA: Demostr-se que o úmero de divisores turis de um úmero pode ser ddo somdo-se cd epoete ds potêcis dos ftores primos e, em seguid, multiplicdo esses ovos epoetes. Assim: 4 =.. 7 tem ( + ). ( + ). ( + ) =.. = 8 divisores. 504 =.. 7 tem ( + ). ( + ). ( + ) = 4.. = 4 divisores. Geericmete, o úmero: m.. c p.... tem (m + ). ( + ). (p + )... divisores turis.

4 4 05. MÁXIMO DIVISOR COMUM (m.d.c) Cosideremos os cojutos dos divisores de 4 e 0. D(4) = {,,, 4, 6, 8,, 4} D(0) = {,,, 5, 6, 0, 5, 0} e chemos iterseção desses cojutos: D(4) D(0) = {,,, 6}. Oservmos que esse cojuto tem um máimo que é 6. Como os elemetos de D(4) 4 e 0, dizemos que 6 é o máimo divisor comum etre 4 e 0. D(0) são os divisores comus Idic-se m.d.c (4, 0) = 6. Portto: O máimo divisor comum etre dois ou mis úmeros é o mior elemeto d iterseção dos cojutos dos divisores dos úmeros ddos. Dois ou mis úmeros são primos etre si qudo o m.d.c desses úmeros é. E.) Os úmeros 5 e 6 são primos etre si, pois: D(5) = {,5} D(5) D(6) = {} m.d.c (5, 6) = 5 D(6) = {,,, 6} E.) Os úmeros 5, 6 e 49 são primos etre si, pois: D(5) = {,, 5, 5} D(6) = {,,, 6}; D(5) D(6) D(49) = {} m.d.c (5, 6, 49) = D(49) = {, 7, 49} 06. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (m.m.c.) Já vimos que um úmero turl é múltiplo do úmero turl ão ulo, qudo é divisível por. O zero é múltiplo de qulquer úmero. Defiimos: M() = {0,,,, 4, 5,...} Prticulrmete, o cojuto dos múltiplos de 0 é uitário, ou sej, M(0) = {0}. Cosideremos os cojutos dos múltiplos de 4 e 6. M(4) = {0, 4, 8,, 6, 0, 4, 8,, 6,...} M(6) = {0, 6,, 8, 4, 0, 6,...} e chemos iterseção desses cojutos. M(4) M (6) = {0,, 4, 6,...}. Oservmos que esse cojuto tem um míimo, diferete de zero, que é. Como os elemetos de M(4) múltiplos comus 4 e 6, dizemos que é o míimo múltiplo comum etre 4 e 6. M(6) são Idic-se m.m.c. (4,6) =. Portto: O míimo múltiplo comum etre dois ou mis úmeros é o meor elemeto, diferete de zero, d iterseção dos cojutos dos múltiplos dos úmeros ddos.

5 5 07. MÉTODO PRÁTICO PARA SE OBTER O M.D.C. E O M.M.C. ENTRE DOIS OU MAIS NÚMEROS Decompõem-se os úmeros em ftores primos. Feito isso: o m.d.c. será o produto dos ftores primos comus, tomdo cd um com o meor epoete. o m.m.c. será o produto dos ftores primos comus e ão comus, tomdo cd um com o mior epoete. E.) Vmos oter m.d.c e m.m.c etre 84 e = = Portto: m.d.c (84, 60) =. = m.m.c (84, 60) = = 50 E.) Sejm A =. m. 5 e B = Vmos clculr m e, sedo que o m.m.c (A, B) = Or, m.m.c (A, B) = = ; logo, m = e = PROPRIEDADES DO M.D.C. E DO M.M.C. ENTRE DOIS NÚMEROS P.) Se é múltiplo de e é múltiplo de, etão é múltiplo do m.m.c. (; ). E.) Se um úmero é múltiplo de e, etão é múltiplo de 6 (m.m.c (; )) E.) Se um úmero é múltiplo de 4 e 6, etão é múltiplo de (m.m.c (4; 6)) P.) Se é divisor de e é divisor de, etão é divisor do m.d.c (; ) E.) Se um úmero é divisor de 0 e 45, etão é divisor de 5. Simolicmete, podemos dizer: M() D() M() = M (m.m.c (; )) D() = D (m.d.c (; )) P.) Sejm e dois úmeros turis. O produto. é igul o produto do m.d.c pelo m.m.c. desses úmeros. Isto é = m.d.c. (, ) m.m.c. (; ) = e =.. 7 = m.d.c.(,) =. =.. 7 m.m.c.(,) = = m.d.c.(, ) m.m.c.(, ) = e, portto, = m.d.c. (, ) m.m.c. (, ).

6 6 EXERCÍCIOS 0. (FATEC-SP) Um certo plet possui dois stélites turis: Lu A e Lu B; o plet gir em toro do Sol e os stélites em toro do plet, de form que os lihmetos: Sol plet Lu A ocorre cd 8 os e Sol plet Lu B ocorre cd 48 os. Se hoje ocorrer o lihmeto Sol plet Lu A Lu B, etão esse feômeo se repetirá dqui : ) 48 os ) 66 os c) 96 os d) 44 os e) 860 os 0. (FUVEST-SP) O produto de dois úmeros iteiros positivos, que ão são primos etre si, é igul 85. Etão o máimo divisor comum desses dois úmeros é: ) ) c) 5 d) e) 5

7 7 DÍZIMAS PERIÓDICAS Sej um frção irredutível de úmeros iteiros, isto é, um frção que ão pode mis ser simplificd. Se ftorção de só tiverem os ftores ou 5, etão frção terá como resultdo um deciml eto. Se pelo meos um dos ftores de for diferete de e 5, etão frção terá como resultdo um deciml ieto chmdo dízim. Esss dízims são periódics porque esses resultdos sempre prte ão et se repete, ou sej, preset um período. E.) = 0,... = 0, E.4) 6 = 0, = 0, 6 E.) = 0, = 0, 8 E.5) 7 = 0,58... = 0,58 E.) 9 7 =, =, 4857 E.6) 5 =,0... =,0 495 As dízims periódics podem ser simples ou composts. Um dízim é simples qudo o período surge imeditmete pós vírgul (E.; E.; E. teriores). Um dízim é compost qudo o período ão surge imeditmete pós vírgul (E.4; E.5; E.6 teriores). GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA É um frção que origi dízim. E.) Vmos oter o gertriz d dízim 0,... = 0,... 0 =,... Portto: 0 =,... = 0,... 9 = = 9 Assim, 0,... = 9 E.) Idem pr 0, = 0, = 8, Portto: 00 = 8, = 0, = 8 = 99 Assim, 0,888...= 8 99

8 8 E.), =, = 4, Portto: 000 = 4, =, = = EXERCÍCIO 8.,... 9., ,77 (UFBA) Se = 50, clcule o vlor de.,

9 9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 0. Assile V ou F. ) O úmero 4 é primo. ) Dizemos que um turl é divisor de, se eistir um iteiro c, tl que =. c. c) O úmero 500 tem 4 divisores turis. d) O m.m.c.(4;90) é 60. e) O m.d.c.(0;08) é l. f) Se é múltiplo de e é múltiplo de 0, etão é múltiplo de 0. g) Se é múltiplo de 5 e é múltiplo de 8, etão é múltiplo de 90. h) Se é divisor de 60 e é divisor de 540, etão é divisor de 80. i) O úmero zero é múltiplo de todos os turis. j) m.m.c (; y), m.d.c. (; y) =. y. k) Os úmeros 00 e 89 são primos etre si. 0. (UFMG) Os restos ds divisões de 47 e 5 por são 7 e, respectivmete. Os restos ds divisões de 67 e por y são 5 e, respectivmete. O mior vlor possível pr som + y é: ) 6 ) 4 c) 5 d) 0 e) 8 0. Clcule o meor úmero turl diferete de que dividido por 4, 6 e 9 dei sempre resto. 04. (UCSAL-99) Somdo 589 um úmero positivo, otém-se um úmero que é divisível por, por e por 7. O meor vlor que pode ssumir stisfz à codição: ) 0 < < 4 ) 5 < < 0 c) 0 < < 0 d) 5 < < 0 e) 0 < < (UFBA) Teho meos que 65 livros; cotdo-os de em, de 5 em 5 ou de 0 em 0, sorm sempre três. Clcule qutos livros possuo. 06. Um sl retgulr mede 5,04m por 5,40m. Desej-se colocr ljots qudrds, tods do mesmo tmho, o piso dest sl, sem querr ehum ljot. Qul o meor úmero de ljots que podemos utilizr? 07. Um determid cidde reliz periodicmete fest d uv e fest do tomte. A fest d uv cotece cd 5 meses, e fest do tomte, cd 8 meses. Se s dus fests cotecerm juts em ril de 998, qudo els cotecerão juts ovmete? ) Em outuro de 00 ) Em ril de 05 c) Em outuro de 00 d) Em ril de 008 e) Em outuro de Clcule: (,777...). (,444...) (,8...). (0, ) 09. Clcule: (,8). (,666...) + (, ). (, ) 0. (UCSAL) Se frção irredutível é gertriz d dízim periódic, , etão som + é igul : ) 8 ) 8 c) 5 d) 09 e) 40. (UCSAL) Sej M um dos úmeros turis escritos com três lgrismos, que divididos por ou, ou 5 ou 7 deim resto. A som dos lgrismos de M pode ser: ) 5 ) 6 c) 9 d) 8 e) 7. (UEFS) Se o mdc (, ) é e é um úmero pr, etão o mdc (, 6) é: ) 8 ) 5 c) d) 9 e) 6. (UNEB) Sedo w e, respectivmete, o mdc e o mmc de 60 e 00, o quociete /m é igul : ) ) 6 c) 0 d) 0 e) 60

10 0 4. (UCSAL) Um editor deverá evir pelo correio e- emplres dos livros A, B e C s qutiddes de 44, 80 e 4 eemplres, respectivmete. Serão feitos pcotes, todos com o mesmo úmero de eemplres, de um só tipo de livro. Desej-se que hj um úmero míimo de pcotes, ms o correio ão ceit pcotes com mis de 4 eemplres. Nesss codições, qutos pcotes serão feitos? ) 6 ) 4 c) 8 d) 45 e) (UCSAL) Vivldo costum sir com dus grots: um cd 6 dis e outr cd 9 dis. Qudo s dts coicidem, ele di os ecotros com ms pr 6 e 9 dis depois, respectivmete. Se em 8/05/98 ele diou os ecotros com s dus, em virtude d coicidêci ds dts, próim vez em que ele teve que dir os seus ecotros foi em: ) 5/06/98 ) /06/98 c) 0/06/98 d) 06/06/98 e) 05/06/98 6. (UCSAL) Um comercite pretedi veder dus peçs de tecido de mesm lrgur, com comprimetos de 58m e 98m. Ele dividiu primeir em cortes de metros, restdo 5m d peç. Em seguid, resolveu dividir segud em pedços de metros, tmém, restdo m d peç. Sedo que o úmero de cortes otidos foi o meor possível, s codições dds, qul é o vlor de? ) 9 ) c) 7 d) e) 4 7. (FUVEST) No lto de um emissor de TV, dus luzes piscm com frequêcis diferetes. A primeir pisc 5 vezes/miuto e segud pisc 0 vezes/miuto. Se um certo istte s luzes piscm simultemete, pós qutos segudos els voltrão piscr o mesmo tempo? ) ) 0 c) 0 d) 5 e) 0 8. Um edrist quer decorr um prede retgulr, dividido- em qudrdos, como se fosse um tuleiro de drez. A prede mede 4,40m por,75m. Determie o meor úmero de qudrdos que ele pode colocr prede: ) 0 ) 0 c) 0 d) 40 e) (UFMG) Sejm, e c úmeros primos distitos, em que >. O máimo divisor comum e o míimo múltiplo comum de m =.. c e = são, respectivmete, e 764. Pode-se firmr que + + c é: ) 9 ) 0 c) d) 4 e) 6 0. Assile s proposições verddeirs. (0) O úmero 500 tem 4 divisores turis. (0) Se é múltiplo de 5 e é múltiplo de 6, etão é múltiplo de 90. (04) Se o m.m.c. (; ) é., etão e são primos etre si. (08) Se é divisor de 600 e é divisor de 640, etão é divisor de 40. (6) Se um úmero turl dividido por dei resto 5, etão ( + 5) é múltiplo de.. Um terreo de form trigulr, com s dimesões idicds figur io, deve ser cercdo com - rme frpdo. Pr isso, serão colocds estcs equidisttes etre si. Determie o meor úmero de estcs que podem ser utilizds. ) 45 ) 0 c) 5 d) e) 8,5m 7m,5m. (UESF-99.) Se represet um úmero turl qulquer de dois lgrismos distitos, escrevedo-se o lgrismo 8 à esquerd de, otém-se um ovo úmero que tem mis que : ) 8 uiddes. ) uiddes. c) 8 uiddes. d) 80 uiddes. e) 800 uiddes.

11 . (UCSAL-00.) Um úmero iteiro e positivo é costituído de dois lgrismos distitos cuj som é. Ivertedo-se posição de seus lgrismos, otém-se outro úmero que ecede o primeiro em 45 uiddes. O meor dos úmeros está compreedido etre: ) 0 e 0 ) 0 e 0 c) 0 e 0 d) 0 e 40 e) 40 e Um úmero é costituído de dois lgrismos, cuj som vle 7. Muddo-se ordem dos lgrismos, otém-se um úmero ove uiddes superior o primitivo. Clcule o úmero primitivo. 5. Um úmero turl de dois lgrismos é 7 vezes som dos seus lgrismos. Clcule esse úmero, sedo que o lgrismo ds dezes ecede em uiddes o lgrismo ds uiddes. 6. (UNIRIO) A frção gertriz de, é: ) ) c) d) e) (UNIRIO) O resto d divisão do iteiro por é 7. Qul o resto d divisão de por 4? ) 0 ) c) d) e) 4 8. (FFOP-MG) O úmero m = 9486, sedo o lgrismo ds uiddes, é divisível por 5. O vlor de é: 0. (FUVEST-SP) Qul dos cico úmeros relciodos io ão é um divisor de 0 5? ) 5 ) 50 c) 64 d) 75 e) 50. (FUVEST-SP) Os úmeros iteiros positivos são dispostos em qudrdos d seguite meir: O úmero 500 se ecotr em um desses qudrdos. A lih e colu em que o úmero 500 se ecotr são, respectivmete: ) e ) e c) e d) e e) e l GABARITO 0. ) V 0. D. D 4. 4 ) V A 5. 6 c) V 04. A 5. E 6. C d) V C 7. D e) V A 8. C f) F 07. E 8. D 9. B g) V C 0. D h) V A i) V 0. E. E j) V. E. E k) V. A. D ANOTAÇÕES ) ) 0 c) 5 d) e) 4 9. (FGV-SP) Sej o mior úmero iteiro de 4 lgrismos que é divisível por, e y, o meor úmero iteiro positivo de 4 lgrismos que é divisível por 7. A difereç y é um úmero: ) primo. ) múltiplo de 6. c) meor que 500. d) qudrdo perfeito. e) divisível por 5.

12 RAZÕES E PROPORÇÕES 0. RAZÃO Ddos dois úmeros, e, N rzão O, chm-se rzão etre e o quociete etre e, que se idic, é chmdo tecedete e é chmdo cosequete. ou :. E.) A rzão etre medid do cteto meor e medid d hipoteus do triâgulo retâgulo de medids cm, 4 cm e 5 cm é: 5 0,6 5 cm 4 cm cm E.) Em um ile, eistem 50 homes e 5 mulheres. Podemos firmr que rzão etre o úmero de homes e o úmero 50 de mulheres é, ou sej, eistem dois homes pr cd três mulheres , PROPORÇÕES.. DEFINIÇÃO Chm-se proporção seteç que idic iguldde etre dus rzões. E.) E.) E.) 0,5,5 0 Geericmete, idic-se c d, ou : : c : d, que se lê: está pr, ssim como c está pr d, sedo:, d os etremos;, c os meios... PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES (P.F.) Em tod proporção, o produto dos etremos é igul o produto dos meios. Isto é: c d. d. c Notem est propriedde os eemplos teriores: 0 E.) E.) ,5 E.) 0,5. 0,5.,5 0

13 .. OUTRAS PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES P.) c d c d c d c d P.) c d c d c P.) c d c d c.4. GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAIS.4.. Grdezs diretmete proporciois Dus grdezs são diretmete proporciois qudo, umetdo-se um dels, outr umet mesm rzão d primeir. EXEMPLO Vejmos s dus grdezs: qutidde de cets (Q) preço (P) Supohmos que: o preço uitário d cet sej $,00. Assim: cet cust: $,00 cets custm: $ 6,00 cets custm: $ 9,00 etc. Oservmos que s grdezs Q e P são diretmete proporciois, pois é stisfeit proporção diret:,00 6, Grdezs iversmete proporciois ou,00 9,00 Dus grdezs são iversmete proporciois qudo, umetdo-se um dels, outr dimiui rzão ivers em que primeir umetou. EXEMPLO Vejmos s dus grdezs: velocidde médi (v) tempo (t) Supohmos que: Um utomóvel deve percorrer distâci Arcju-Slvdor, que é de proimdmete 00 km. É fto que, quto mior velocidde do utomóvel, meor será o tempo de percurso. Portto: v t 50 km/h 6 h 60 km/h 5 h 00 km/h h etc. ou 6,00 9,00 etc Oservmos que s grdezs v e t são iversmete proporciois, visto que rzão etre s velociddes é ivers rzão dos tempos correspodetes, 5 6.

14 4 OBSERVAÇÕES IMPORTANTES ) Se um eercício dizemos que três grdezs,, e c, são diretmete proporciois, respectivmete, m, e p, idicmos: c. m p Como esss frções são iguis, dizemos que o seu resultdo é costte e costummos represetr esse resultdo por k. c Assim: k. m p ) Se um eercício dizemos que três grdezs,, e c, são iversmete proporciois, respectivmete, m, e p, idicmos: c. m p Do mesmo modo que o terior, esse resultdo pode ser represetdo pel costte k. c Assim: m p = k. EXERCÍCIOS 0. A som de dois úmeros é 6. O mior está pr, ssim como o meor está pr 5. Nesss codições, qul difereç etre os úmeros? 0. A som de três úmeros vle. Clcule cd úmero, se eles são iversmete proporciois, respectivmete,, e José, João e Pedro jogrm Loto quti de R$ 0,00, sedo que José cotriuiu com R$ 5,00, João, com R$ 6,00 e Pedro, com R$ 9,00. Se eles ghrem um prêmio de R$ 0.000,00, quto cd um deve receer, cosiderdo que o prêmio vi ser divido em prtes proporciois o que cd um ivestiu? 04. (UCSAL-00) Ao coferir sus resposts, às 00 questões de um teste, dois luos, curiosmete, oservrm que os úmeros de questões que hvim certdo erm iversmete proporciois às sus respectivs iddes: 8 e 0 os. Se, jutos, eles certrm um totl de questões, etão o úmero de questões que o mis velho errou foi: ) 0 ) c) 4 d) 5 e) 7

15 5 REGRA DE TRÊS 0. REGRA DE TRÊS SIMPLES Vejmos os prolems: o ) Se José comprou metros de um tecido por $ 5, por quto ele comprri 6 metros do mesmo tecido? SOLUÇÃO Comprimeto m 6 m Preço $ 5 As sets colocds presetm mesmo setido, pois s grdezs são diretmete proporciois. Por isso, rmmos proporção ordem presetd o esquem io. Isto é: Portto, 6 m do tecido serim comprdos por $ 0. Dizemos que esse é um prolem de regr de três simples e diret, pois s sets cocordtes germ um proporção diret. o ) Pr se costruir um muro, 6 pedreiros gstm dis. Em quto tempo 9 pedreiros costruirão o mesmo muro? SOLUÇÃO Pedreiros 6 9 Tempo dis As sets colocds presetm setidos cotrários, pois s grdezs são iversmete proporciois. Por isso, rmmos proporção coservdo o setido de um frção e ivertedo outr Assim, podemos escrever Portto, 9 pedreiros costruirão o mesmo muro em 8 dis. Dizemos que esse é um prolem de regr de três simples e ivers, pois s sets discordtes germ um proporção ivers. EXERCÍCIOS 0. Pr pitr um superfície de 50 m, um pitor gst lts de tit. Quts lts de tit são ecessáris pr pitr 00 m d superfície? 0. Num vigem d cidde A té cidde B, um veículo gst 96 miutos, à velocidde médi de 00 km/h. Se velocidde fosse de 0 km/h, qul seri o tempo gsto?

16 6 0. Um toreir eche um tque em dus hors, e outr toreir eche o mesmo tque em três hors. Em quto tempo s dus toreirs, juts, echerão o tque? 05. (UCSAL) Um certo metl é otido fudido-se 5 prtes de core com 6 prtes de zico. Pr oter-se 6,5 kg desse metl, são ecessários: ) 9,8 kg de core. ) 4,5 kg de zico. c) 9 kg de core. d) 45 kg de zico. e) 97,5 kg de core. 04. Um toreir eche um tque em dus hors e um orifício é cpz de esvziá-lo em três hors. Em quto tempo o tque ficri cheio, se rirmos toreir e o orifício, simultemete? 0. REGRA DE TRÊS COMPOSTA Vmos resolver o prolem: Num cert costrução, pedreiros levtrm, em 0 dis, 5 metros de um certo muro. Qutos metros do mesmo muro 6 pedreiros levtm em 60 dis? SOLUÇÃO O esquem d questão é: Or, é clro que: Pedreiros Dis Metros do muro o ) Se pedreiros, em 0 dis, levtm 5 metros do muro, etão 6 pedreiros, em 0 dis, levtm 0 metros do muro. Isto é: Pedreiros Dis Metros do muro o ) Se 6 pedreiros, em 0 dis, levtm 0 metros do muro, etão 6 pedreiros, em 60 dis, levtm 0 metros do muro. Isto é: Pedreiros Dis Metros do muro Portto, respost do prolem é 0 m.

17 7 Oservem que primeir etp d resolução do prolem mtivemos qutidde de dis costte e otmos que: duplicdo qutidde de pedreiros, qutidde de metros que podem ser costruídos duplic. N segud etp, proveitmos etp terior, mtivemos qutidde de pedreiros costte e otmos que: triplicdo os dis de trlho, triplicm-se os metros do muro. Or, já que iicilmete tíhmos 5 metros, primeir etp duplicmos e segud etp triplicmos o resultdo d primeir, etão qutidde de metros ficou setuplicd. Isto quer dizer que: Se um grdez é proporciol dus outrs, y e z, etão é proporciol o produto y. z. Vmos resolver o prolem terior com o esquem de sets: Pedreiros 6 Dis 0 60 Metros do muro 5 Sets do mesmo setido, pois: Or: umetdo qutidde de pedreiros (mtedo costte os dis), umetm-se os metros do muro. umetdo qutidde de dis (mtedo costte os pedreiros), umetm-se os metros do muro. A rzão A rzão A rzão 5 é diretmete proporciol e vice-vers é diretmete proporciol e vice-vers é diretmete proporciol o produto Assim: , ou sej, = 0 metros. EXERCÍCIO Seis operários costroem um muro de 0 m de comprimeto em 5 dis, trlhdo 6 hors por di. Quts hors por di devem trlhr 9 operários, pr costruírem um muro semelhte o terior, só que com 48 m de comprimeto e em 4 dis?

18 8 MÉDIAS 0. MÉDIA ARITMÉTICA Vejmos o eemplo: Pedro é um luo que coseguiu em qutro trlhos sucessivos s seguites ots: 7, 5, e 9. Um ot represettiv que sustitui s qutro pode ser dd por: Portto, o úmero 6 é o vlor médio ds ots 7, 5, e 9 e é chmdo médi ritmétic. Nesse cso, médi ritmétic dos qutros úmeros foi otid somdo-se s ots e dividido-se o resultdo por 4. GENERALIZAÇÕES A médi ritmétic (M.A.) dos úmeros,,,,...,, é dd por M.A MÉDIA GEOMÉTRICA A médi geométric (M.G.) de úmeros,,,,...,, é dd por M.G E.) A M.G. etre e 8 é E.) A M.G. etre, e 9 é E.) A M.G. etre 4, 6, 6 e 9 é (. ) MÉDIA PONDERADA Vejmos o eemplo: Em um determido colégio, eistem três vlições por uidde: um teste, com peso, um trlho, com peso, e um prov, com peso 5. Um determido luo coseguiu s seguites ots: 8 o teste, 4 o trlho e 6 prov. Um ot represettiv que sustitui s três ots pode ser dd por: , GENERALIZAÇÃO A médi poderd (M.P.) de úmeros,,,,...,, com os respectivos pesos p, p, p,..., p é dd por: M.P.. p p. p p. p p p. p

19 9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 0. (UFRS) Um estrd de 5 km de etesão foi sfltd por três equipes, A, B e C, cd um dels tudo em um trecho diretmete proporciol os úmeros, e 4, respectivmete. O trecho d estrd sfltdo pel turm C foi de: ) 70 km ) 96 km c) 05 km d) 6 km e) 40 km 0. Um comercite precis pgr três dívids: um de 0 mil reis, outr de 40 mil reis e um terceir de 50 mil reis. Como ele só tem 90 mil reis, resolve pgr qutis diretmete proporciois cd déito. Nesss codições, o mior credor receerá um quti de: ) 0 mil reis ) 7,5 mil reis c) 6 mil reis d),5 mil reis e) mil reis 0. Qudo você dividiu um certo úmero em prtes iversmete proporciois os úmeros, 5 e 4, primeir prcel que ecotrou foi 00. Nesss codições, o úmero dividido foi: ) 80 ) 60 c) 50 d) 0 e) Um lâmpd de 40 wtts pode fucior por 5 hors, um certo custo. Por quto tempo poderá fucior um lâmpd de 60 wtts, pr que o custo permeç o mesmo? ) hors ) 0 hors c) 8 hors d) 6 hors e) 4 hors 05. Num recesemeto, chegou-se à coclusão de que, pr visitr 0 residêcis, er ecessário cotrtr 9 recesedores. Num região em que eistem.060 residêcis, qutos recesedores devem ser cotrtdos? ) 70 ) 50 c) 40 d) 0 e) (UFMG) Um pesso, dtilogrfdo 60 toques por miuto e trlhdo 6 hors por di, reliz um certo trlho em 0 dis. Outr pesso, dtilogrfdo 50 toques por miuto e trlhdo 4 hors por di, relizrá o mesmo trlho em: ) dis ) 4 dis c) 6 dis d) 8 dis e) 0 dis 07. Dus máquis empcotm.000 ls por hor. Quts máquis são ecessáris pr empcotr ls em mei hor? ) 0 ) c) 5 d) 6 e) Num determido colégio, têm-se 4 uiddes, de pesos, respectivmete,,, e 4. Se s ots de um luo em Físic form, respectivmete,,0; 5,; 4,0 e 6,5, clcule médi do luo s qutro uiddes. 09. Em um determid escol, um luo coseguiu s médis 7, 5 e 4, respectivmete, s três primeirs uiddes. Sedo que médi ul pr ess escol é otid com os pesos,, e 4, respectivmete, pr s qutro uiddes e que qulquer luo precis de médi ul 5 pr ser provdo, sem recuperção, clcule quto o luo em foco precis de médi qurt uidde pr pssr direto. 0. (UFMG) Um firm é costituíd por dois sócios, A e B, cujos cpitis ivestidos são 00 mil e 50 mil reis, respectivmete. Todo lucro ou prejuízo d firm é dividido, etre os dois, proporciolmete o cpitl ivestido. A firm cusou um prejuízo de mil reis. As prcels do prejuízo, em mil reis, correspodetes cd sócio são, respectivmete: ) 0 e 0 ) 40 e 70 c) 44 e 77 d) 79 e 7 e) 00 e

20 0. (FUVEST-RJ) Um r vede suco e refresco de tgeri. Amos são fricdos diluido em águ um cocetrdo dess frut. As proporções são de um prte de cocetrdo pr três de águ, o cso do suco, e de um prte de cocetrdo pr seis de águ, o cso do refresco. O refresco tmém poderi ser fricdo diluido prtes de suco em y prtes de á- gu, se rzão fosse igul quto? y ) ) e) 4 c). (FAFI-BH) Em um empres, 8 fucioários produzem.000 peçs, trlhdo 8 hors por di durte 5 dis. O úmero de fucioários ecessários pr que ess empres produz peçs em 5 dis, trlhdo 4 hors por di, é: ) ) c) 4 d) 8 e) 6. (FAFI-BH) Se 0 operários costroem 600 m de estrd em 0 dis de trlho, o úmero de operários ecessários pr costruir 00 m de estrd em 00 dis é: ) 6 ) 4 c) 40 d) 600 e) (UFMG) Um empres tem 750 empregdos e comprou mrmits idividuis cogelds suficietes pr o lmoço deles durte 5 dis. Se ess empres tivesse mis 500 empregdos, qutidde de mrmits já dquirids seri suficiete pr um úmero de dis igul : ) 0 ) c) 5 d) 8 e) 0 5. (UFSM-RS) Um pote é feit em 0 dis por 6 trlhdores. Se o úmero de trlhdores for elevdo pr 4, o úmero de dis ecessários pr costrução d mesm pote será: ) 80 ) 8 c) 00 d) 80 e) 60 d) 4 6. (UNICRUZ-RS) Um pesso, vijdo de utomóvel, fez o percurso Cruz Alt-Porto Alegre em 5h, vijdo um velocidde médi de 80 km/h. N volt, retorou mis pressdo e fez o mesmo percurso em 4h. Portto, velocidde, o retomr, foi de: ) 80 km/h ) 85 km/h c) 64km/h d) 90 km/h e) 00 km/h 7. José comprou 8 m de tecido por R$ 40,00. Por quto José comprri 5 m do mesmo tecido? 8. Pr costruir um muro, 6 pedreiros gstm dis. Em quto tempo 9 pedreiros costruirão o mesmo muro? 9. Um utomóvel percorre cert distâci em 5 h um velocidde de 60 km/h. Em quto tempo o utomóvel percorre mesm distâci um velocidde de 90 km/h? 0. Num cert costrução, pedreiros levrim, em 0 dis, 5 m de um certo muro. Qutos metros do mesmo muro 6 pedreiros levtm em 60 dis?. Pr crregr 6 toelds de ferro, um homem gst 6 dis, trlhdo 4 hors por di. Qutos dis serão ecessários pr esse homem crregr 4 toelds de ferro, trlhdo 6 hors por di?. Pr lir 6m de prede, certo operário levou 5 dis trlhdo 6 hors por di. Precisdo lir 4 m de um outr prede e tedo que trlhr 8 hors por di, em qutos dis relizrá o trlho?. Um dicioário teve, su edição, 0 págis de 5 lihs, cd lih cotedo 40 letrs. Num edição, form usdos os mesmos crcteres e cd pági cotih mis 7 lihs, com o doro do úmero de letrs por lih. Qul o úmero de págis dest e- dição? 4. Pr sfltr km de estrd, 0 homes gstrm dis trlhdo 8 hors diáris. 0 homes, pr sfltr km d mesm estrd, trlhdo hors por di, gstrão qutos dis? 5. Em dis, um homem percorre 80 km cmihdo 4 hors por di com velocidde v. Qul será distâci que ele percorrerá em 0 dis, cmihdo 6 hors por di, reduzido velocidde em /?

21 6. Um homem pode fzer um trlho em 8 dis; outro pode fzer o mesmo trlho em dis. Qul o úmero de dis que levrão pr fzer o mesmo trlho, trlhdo jutos? 7. Os /5 de um trlho form feitos em 0 dis por 4 operários, que trlhm 7 hors por di. Em qutos dis se poderá termir esse trlho, sedo que form licecidos 4 operários e que os resttes trlhm, gor, 6 hors por di? GABARITO 0. E 5. D 0. B 6. E 0. A 7. R$50, B 8. 8 dis 05. A 9. 0 km/h 06. D 0. 0 m 07. E. dis e 4 h 08. 5,04. 4 dis e h 09. 4,5. 5 págis 0. C 4. 4 dis. D km. E 6. 4/5d. A 7. dis 4. C ANOTAÇÕES

22 CONJUNTOS NUMÉRICOS FUNDAMENTAIS 0. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS Represet-se pel letr N e é formdo pelos elemetos 0,,,,... Portto N = {0,,,,...}. Usmos o sterisco (*) o ldo do símolo que represet um cojuto pr ecluir o zero desse cojuto. Assim sedo, N* = {l,,,...}. Note que, por eemplo, operção 5 ão é possível em N. Criou-se, por isso, um cojuto cpz de resolver esse tipo de operção. Esse cojuto ficou cohecido como cojuto dos úmeros iteiros. 0. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Represet-se pel letr Z e é formdo pelos elemetos de N, jutmete com seus simétricos. Portto Z = {...,,,, 0,,,,...}. Do cojuto Z, tirmos os sucojutos: Z* = {...,,,,,,,...} (cojuto dos iteiros ão ulos). Z + = {0,,,,...} = N (cojuto dos iteiros ão egtivos). * Z = {,,,...} = N* (cojuto dos iteiros positivos). Z = {...,,,, 0} (cojuto dos iteiros ão positivos). * Z = {...,,, } (cojuto dos iteiros egtivos). Note que, por eemplo, operção 6/0 ão é possível em Z. Criou-se, por isso, um cojuto cpz de resolver esse tipo de operção. Esse cojuto ficou cohecido como cojuto dos úmeros rciois. 0. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Represet-se pel letr Q e é formdo por todos os elemetos d form, com Z e Z*. E.) 5 7 =,5 E.) =,7 E.) = 0,... E.4) 0 8 =,... E.5) 4 = E.6) 0 = 0 7 OBSERVAÇÕES A frção, qudo é divisível por, é prete, pois é igul um úmero iteiro (Eemplos E.5 e E.6). Por isso, qulquer úmero iteiro é rciol. A frção, qudo ão é divisível por, só pode ser: Um deciml eto (E. e E.) Um dízim periódic (E. e E.4)

23 O cojuto dos rciois é um cojuto deso, isto é, etre dois rciois quisquer eistem ifiitos outros rciois. Aid o cojuto Q ão resolve todos os prolems; vejmos o eercício: Qul o úmero positivo cujo qudrdo é igul? SOLUÇÃO 0 = ; este úmero, positivo, é cohecido por =. Ele ão é rciol. Foi crido, por isso, um ovo cojuto, cohecido por cojuto dos irrciois. 04. CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS que Mostrremos que ão eiste úmero com um qutidde fiit de decimis, tl que =, ou melhor, mostrremos ão represet úmero com qutidde fiit de decimis. Or: = (por flt, pois = ),0 =,4 (por flt, pois,4 =,96),00 =,4 (por flt, pois,4 =,988),000 =,44 (por flt, pois,44 =,99996) Pr que o qudrdo de,4 ou,4 ou,44 etc., veh represetr o úmero ou,0 ou,00 etc., seri ecessário que o último lgrismo sigifictivo d prte deciml multiplicdo por si mesmo presetsse fil zero. Nesse cso, esse último lgrismo teri que ser zero. Isso é impossível, pois,4 ou,4 ou,44 etc., são úmeros que têm prte deciml pelo meos um lgrismo diferete de zero e, sedo este último, qudo multiplicdo por si mesmo ão drá zero. Portto, mostrmos que ão eiste um úmero com um qutidde fiit de decimis cujo qudrdo resulte etmete ou,0 ou,00 etc. O úmero ão é rciol e se crcteriz por possuir prte deciml um qutidde ifiit de lgrismos ão formdo um dízim periódic. Dizemos que é chmdo úmero irrciol, ssim como Além desses, temos outros úmeros que são irrciois. O úmero Represetremos o cojuto dos irrciois por Q ou Q. Outros eemplos de úmeros irrciois:,, etc., 5, etc. =, é outro eemplo. Nehum úmero irrciol pode ser escrito so form com e iteiros. 05. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS A uião do cojuto dos rciois com o cojuto dos irrciois chm-se cojuto dos reis. Represetdo-se pel letr R, tem-se que Q Q = R.

24 4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Alise cd questão seguir e dig se é verddeir ou fls. 0. Eiste turl que ão é rciol. 0. Todo turl é rciol. 0. Eiste úmero iteiro que ão é turl. 04. Todo úmero turl é iteiro reltivo. 05. Um úmero iteiro reltivo pode ser irrciol. 06. Todo úmero iteiro é rciol. 07. Eiste úmero que é rciol e irrciol, simultemete. 08. Todo irrciol é rel. 09. Eiste úmero rel que ão é irrciol. 0. Todo úmero irrciol é rel.. Os úmeros d form, com Z e Z podem ão ser rciois.. O cojuto dos úmeros rciois é formdo pelos elemetos d form, com Z e Z*.. Tod dízim periódic é um úmero irrciol. 4. Eiste dízim periódic que ão pode ser escrit so form, com Z e Z*. 5. O produto de úmeros reis sempre é rciol. 6. Se ocorrer pq Z, isto é porque p Z e q Z. 7. O quociete etre rciois, qudo possível, é sempre rciol. 8. O quociete etre irrciois é sempre irrciol. 9. Se Z e y Q, etão. y Q. 0. Se Z * e y ' Q, etão( + y) ' Q.. Se N e y R, etão ( + y) Q.. Se Q e y Q, etão (. y) Q.. O úmero k +, k Z, sempre é ímpr. 4. O úmero k + k, k Z, sempre é pr. 5. Se Z é um úmero pr, etão tmém é pr. 6. Se Z é um úmero ímpr, etão tmém é ímpr. 7. O úmero k + k, k Z, pode ser ímpr.

25 5 8. As epressões k + e k +, k Z, são geérics pr represetção de dois úmeros ímpres cosecutivos. 9. O cojuto { = 5k, k Z} represet o cojuto dos múltiplos de As epressões 7k e 7k + represetm dois múltiplos cosecutivos de 7, qulquer que sej k pertecete o cojuto dos iteiros.. As epressões 7k e 7k + 7, k Z, represetm dois múltiplos cosecutivos de 7.. A epressão E = sempre represet úmero rel, qulquer que sej R.. Se k Q, etão k Q Q + e N = Z Z Z + = {0} Q e Z * Q = Z. 7. Q Q + = R R (Z Q) = Q. GABARITO 0. F 4. F 7. F 0. V 5. F 8. V 0. V 6. F 9. V 04. V 7. V 0. F 05. F 8. F. V 06. V 9. F. F 07. F 0. V. F 08. V. F 4. V 09. V. F 5. V 0. V. V 6. F. V 4. V 7. F. V 5. V 8. V. F 6. V ANOTAÇÕES

26 6 INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU 0. DEFINIÇÃO Chm-se iequção do primeiro gru tod desiguldde redutível à form + * 0, com 0, sedo * <, >, ou. E.) + 4 < 0 E.) 7 5 ( ) + E.) PROPRIEDADES DAS DESIGUALDADES P..) Somdo-se (ou sutrido-se) um mesmo úmero os dois memros de um desiguldde, otém-se um desiguldde equivlete. 7 > 7 + > +, ou sej, 9 > 5 > 0 + () > 0 + (), ou sej, > + 4 > > 4, ou sej, > P..) Multiplicdo-se (ou dividido-se) mos os memros de um desiguldde por um úmero positivo, otemos outr desiguldde equivlete. 7 > 7. >., ou sej, 4 > 6 > 5. () > 5. (), ou sej, > 0 > >, ou sej, > 4 P..) Multiplicdo-se (ou dividido-se) mos os memros de um desiguldde por um úmero egtivo, o sil d desiguldde deve ser ivertido. 7 > 7. ( ) <. (-), ou sej, 7 < > ( ) <. ( ), ou sej, <, ou sej, 6 É costume resolver iequção > multiplicdo iicilmete mos os memros por. Assim: 6

27 7 PRODUTOS NOTÁVEIS Eistem, lgus produtos que são muitos usdos álger e que, por isso, dremos um mior destque: 0. QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS ( + ) = QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS ( ) = + 0. PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA ( + ). ( ) = 04. CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS ( + ) = CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS ( ) = QUADRADO DA SOMA DE TRÊS TERMOS ( + + c) = + + c + + c + c EXERCÍCIOS 0. Desevolv ) ( + c) ) ( ) ( + ) c) ( ). ( + ) ( ) 0. Sedo-se que + = 0 e. = 0, clcule +.

28 8 FATORAÇÃO PRIMEIRO CASO: FATOR COMUM + c =. ( + c) SEGUNDO CASO: AGRUPAMENTO + c + d + cd =. ( + c) + d. ( + c) = ( + c). ( + d) + c + d + cd = ( + c). ( + d) TERCEIRO CASO: DIFERENÇA DE QUADRADOS = ( + ). ( ) QUARTO CASO: TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO + + = ( + )

29 9 QUINTO CASO: TRINÔMIO DO SEGUNDO GRAU + + c =. ( ). ( ) SEXTO CASO: CUBO PERFEITO = ( + ) + = ( ) SÉTIMO CASO: SOMA OU DIFERENÇA DE CUBOS + = ( + ). ( + ) = ( ). ( + + )

30 0 EXERCÍCIOS 0. Ftore: ) ) 4-5 c) d) 6 e) = f) Simplifique

31 POTÊNCIAS 0. DEFINIÇÕES Sej um úmero rel e um úmero turl mior que. Temos: vezes 0, com 0 0. PROPRIEDADES m. m m m. (. ) m m. EXERCÍCIOS 0. Simplifique epressão (FATEC) Ds três seteçs io: I) + =. II) (5) = 5 III) + = 5 ) somete I é verddeir. ) somete II é verddeir. c) somete III é verddeir. d) somete II é fls. e) somete III é fls.

32 RAÍZES 0. DEFINIÇÕES.. Sej um úmero turl pr e ão ulo e sej um úmero rel ão egtivo. e R.. Sej um úmero turl ímpr e sej um úmero rel. E.) 5 5 E.5) ; R E.) 8 E.) 7 E.6) ; 0 E.7) 4 E.4) 6 E.8) 9 R OBSERVAÇÃO Note que 9 =, e ão ±. ; R 0. POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL Sej m R * e Q (m Z e N*) m m E.) 4 E.) 4 E.) PROPRIEDADES Se R +, R +, m Z, N* e p N*, temos: P..).. P..) m m P..) ; 0 P.4.) p.p E.) E.) 4 E.) E.4) 7 7

33 EXERCÍCIO Simplifique: ) ) RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES Rciolizr o deomidor de um frção sigific elimir todos os rdicis deste deomidor, sem com isso lterr o vlor d frção. E.). E.) E.). 5 4 E.4) E.5)

34 4 EXERCÍCIOS 0. Rciolize: ) 0 5 ) 6 8 c) 5 5 d) e) 0. (UCSAL-00) Simplificdo-se 6, otém-se: ) 4 ) c) 4 4 d) 4 e)

35 5 EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU 0. DEFINIÇÃO Chm-se equção do segudo gru tod equção d form + + c = 0, sedo, e c úmeros reis, com 0. E.) + 4 = 0 ( =, = 4, c = ) E.) = 0 ( =, =, c = 8) E.) 6 = 0 ( =, = 0, c = 6) E.4) 5 = 0 ( =, = 5, c = 0) E.5) 0, 0, c 0 Note que o termo de mior gru d equção do segudo gru é, com 0, o que justific o seu ome. Se = 0 ou c = 0 ou = 0 e c = 0, equção do segudo gru é dit icomplet. Se 0 e c 0, equção do segudo gru é dit complet. As rízes de um equção do segudo gru são os vlores que qudo sustituídos o lugr de torm o primeiro memro igul o segudo memro. Note s equções que: E.) = 0, Se sustituirmos por ou por 5, temos: Assim, dizemos que e 5 são s rízes ou zeros d equção = 0. E.) = 0; se sustituirmos por ou por -, temos:.. ( ) 0 0 Assim, dizemos que e são s rízes ou zeros d equção = RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU INCOMPLETAS Devemos ser, tes de tudo, que é válid equivlêci A. B = 0 A = 0 ou B = 0. PRIMEIRO TIPO SOLUÇÃO + = 0 (c = 0) + = 0.( + ) = 0 = 0 ou + = 0 S 0;

36 6 SEGUNDO TIPO + c = 0 ( = 0) SOLUÇÃO + c = 0 = c c = Se c c ; com 0, S = c c 0 Se c < 0, S = 0. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS N prátic, solução d equção do segudo gru complet é feit com fórmul de Báskr. Vejmos dedução dess fórmul: + + c = 0 + = c ( 4) = 4c (+ ) = 4c ( + ) = 4c + = ± 4c = ± 4c 4c, sedo 4c =, que é chmdo discrimite d equção do segudo gru. Portto s rízes d equção são: ' e " OBSERVAÇÕES Se Se Se > 0, equção possui dus rízes reis distits. = 0, equção possui dus rízes reis iguis. < 0, equção ão possui rízes reis.

37 7 04. RELAÇÃO ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAÍZES Eistem dus relções importtes um equção do tipo + + c = 0 que evolvem s rízes e e os coeficietes,, e c. PRIMEIRA RELAÇÃO: SOMA DAS RAÍZES ' Somdo-se memro memro s igulddes seguir, temos " ' " Portto: '. " SEGUNDA RELAÇÃO: PRODUTO DAS RAÍZES ' " '. ". () 4 4 4c 4c 4 c Portto: '. " c 05. EQUAÇÕES BIQUADRADAS 5.. DEFINIÇÃO Chm-se equção iqudrd equção do qurto gru icomplet que possui o specto c = 0, sedo, e c úmeros reis, com 0. E.) = 0 E.) 4 + = 0 E.) 4 8 = RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO BIQUADRADA Tod equção do tipo c = 0 é equivlete o modelo ( ) + () + c = 0. Fzedo = y, temos: y + y + c = 0, que é um equção do segudo gru de vriável y. Nel, ecotrmos s rízes y e y e dí: y y' y" y' y"

38 8 E.) Vejmos qul o cojuto verdde d equção = 0 SOLUÇÃO A equção é equivlete ( ) = 0 Fzedo = y, temos: y 0y + 9 = 0, cujs rízes são y = 9 e y =. 9 Or, = ± y ; y = {,,, } EQUAÇÕES IRRACIONAIS 0. DEFINIÇÃO Chm-se equção irrciol à equção que preset icógit so rdicl. E.) 5 E.) E.) 7 9 E.4) RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES IRRACIONAIS Pr resolvermos equções irrciois, devemos elimir os rdicis d equção e, o fil, verificrmos s soluções. Covém lemrr que: = = = = (verddeiro) = (flso) = (flso) E.) 5. Elevdo memro memro o cuo, temos: 5 = 8; =. É importte verificr, pós resolução d equção, se solução relmete stisfz. VERIFICAÇÃO = 5 8 = = (V) Assim: V = {}

39 9 E.) = ; elevdo memro memro o qudrdo, temos: + = ( ) + = = 0; = 5 e = VERIFICAÇÃO = (V) = 9 (F) Note que pesr de, temos = ( ). Portto, qudo se elevou o qudrdo os memros d equção, um ds soluções, =, er estrh. Assim: V = {5} Pr se resolver s equções do segudo tipo, covém isolr em um dos memros dus ds epressões que cotêm s rízes. Vmos resolver s equções E. e E.4. E.) 7 9 Isoldo-se s rízes do primeiro memro, temos: 7 7 ; elevdo mos os memros o qudrdo, temos: ( 7) Dividido por, temos: 7 Elevdo mos os memros outr vez o qudrdo, temos: + 7 = ( ) + 7 = 44 4 = 49 = VERIFICAÇÃO = (V) Assim: V = {9}

40 40 E.4) Elevdo mos os memros o qudrdo, temos: Dividido por, temos: 6 0 ; elevdo mos os memros o qudrdo, temos: = ( ) = = 0 :( ) 7 + = 0; logo, = 4 e =. VERIFICAÇÃO N equção iicil (tes de elevrmos os dois memros o qudrdo), vmos sustituir s rízes = 4 e = ecotrds. = (V) = (V) Assim: V = {,4} E.5) Resolvmos equção SOLUÇÃO Como vemos, est equção é do segudo tipo e, portto, se recorrermos o mesmo processo ds teriores, teremos que elevá-l dus vezes o qudrdo pr elimir os rdicis. Etretto, chegrímos, dest form, um equção do qurto gru, de difícil solução pr o osso curso. Por outro ldo, verifiquemos que equção 6 9 6, epressão + 6 é comum os dois rdicis. Fremos, portto, + 6 = y. Assim: y 9 y Elevdo os dois memros o qudrdo, temos: y + 9 = y + y y 8 Dividido equção por, temos: y 4 y 6 Voltdo à codição + 6 = y, temos: + 6 = = 0; logo, = 8 e =. Pode-se verificr equção iicil que ms s soluções stisfzem. Assim: V = { 8, }

41 4 EXERCÍCIOS 0. Resolv s seguites equções: ) + 4 ) Simplifique epressão Se + =, etão é igul : ) ) c) d) - e) NRA. A epressão, pr > 0 e > 0 é equivlete : 4. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 0. Desevolv: ) ( ) + ( + ). ( ) ) ( + ) ( ) c) ( + ) + ( 4 ) 0. Sedo + y + z = 0 e y + z + yz = 0, clcule + y + z. 0. Sedo que + = 0 e. = 0, clcule Clcule o vlor d epressão E = y + y y pr = 7 e y = Ftore: ) + y y ) y 9 c) 4-4y + y 4 d) 8y 6 y + y e) Simplifique: ). ) + + ( ) c) d) ( ). Rciolize: ) 0 5 ) 4 7 c) 5 5 d) 5. Qul o mior etre os úmeros 4 6, 9 e 0 5? ) ) 6 y 7y y 4 4 y. 9 4 y 4 c). 07. Se M e N, com -, M etão clcule. N 4. Simplifique epressão. 5. Clcule o vlor d epressão Se > 0 e > 0, epressão.. é igul A equção + + c = 0 tem rízes e 4. Os vlores dos coeficietes e c são, respectivmete: 08. Simplifique epressão ) 5 e 4 ) 5 e 4 c) 5 e d) -5 e e) 5 e

42 4 8. N equção do segudo gru + m + m 7 = 0, se s rízes são oposts, clcule m. 9. N equção 8 + p = 0, um riz é o triplo d outr. Clcule. 0. Clcule som dos iversos ds rízes d equção = 0.. Sedo e s rízes d equção 5 + m =, 4 etão se, qul o vlor de m?. Se som ds rízes d equção ( 5). ( + p) = é 7, qul o vlor do produto ds rízes?. Determie o cojuto solução ds seguites equções: ) ( + ) = ( ). ( + 5) 5 ) 4 4 c) ( ) = 9 4 d) 6. ( + ) 4 =. ( + ) Determie o cojuto solução ds seguites iequções: 5 ) 6 ) 4. ( ) (+) > ( ) c) 6. ( + ). ( + ) >.( ) ( ) 5. Resolv os sistems: ) ) c). y y y y 4y y y 6. Resolv s seguites equções: ) 5 ) c) 9 9 d) e) GABARITO 0. ) 0- ) l + 8 c) ) ( + 5). ( + y) ) (y + ) (y ) c) ( y ) d) ( y) e) ( + 5) ( ) 06. ) ) c) ( ) 0. C. C. ) 4 5 ) 4 8 c) 5 5 d) Zero D 8. m = 0 9. p = ) { 7} ) c) R d) 4. ) S = { R/ > } ) c) R 5. ) {(4; 9)} ) {(7; )} c) {(4; ); ( 4; )} 6. ) {4} ) {4} c) { 4;4} d) {; } e) {5}

43 4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS P. A equção 5 é equivlete 0 5, e primos etre si. Etão + é um: ) úmero primo. ) úmero pr. c) divisor de 7. d) múltiplo de. e) qudrdo perfeito. P. Distriuí R$ 570,00 etre três pores. Se-se que o o receeu terç prte do o, o o receeu R$ 70,00 mis que o o e que id sorrm R$ 50,00. Clcule quto receeu cd pore. P. A som ds iddes de pi e filho é 44 os. Há 4 os idde do pi er o quítuplo d idde do filho. Quis s iddes tuis? P4. Eu teho idde que tu tihs qudo eu tih metde d idde que tu tes. Se som ds osss iddes tulmete vle 5 os, clculr s osss iddes. P5. Um cão persegue um lere, que lev 48 sltos seus de diteir. O cão dá sltos equto lere dá 5, e 5 sltos do cão vlem sltos d lere. Qutos sltos drá o cão pr lcçr lere? P6. Num árvore têm-se glhos e pssrihos. Se pousr um pssriho em cd glho, fic um pssriho sem glho; se pousrem dois pssrihos em cd glho, fic um glho sem pssriho. Clcule o produto etre o úmero de pssrihos e o úmero de glhos. P7. Num cest de cpcidde pr três dúzis de ovos, temos ovos cipir e de grj. Form retirdos três qurtos dos ovos cipir e cest reduziu seu úmero de ovos à terç prte. Sedo ssim, rzão etre o úmero de ovos de grj e cipir que possui cest, iicilmete, vle: ) ) c) 8 5 d) e) P8. O sistem de equções lieres soluções e, e só se: m y y tem ) m ) m c) m d) m 0 e) m

44 44 P9. Se, y e z stisfzem à codição etão + y + z vle: y y y z 7 4, z ) 5 ) c) 0 d) e) 6 P0. O cojuto de vlores reis que solucio equção 5 o uiverso R é: ) { } ) R {± } c) R d) {0} e) {} P. Se ocorre y = e. y = 5, etão y vle: ) ) 6 c) d) e) 6 5 P. A equção do segudo gru ( ) + ( ). ( + ) = 0 possui s rízes e. Determie, etão, o vlor de +. ) 0,4 ) 6/ c) d) 5 e) P. A difereç etre o qudrdo d som de um úmero com e o doro do produto desse úmero pelo seu cosecutivo é. Esse úmero é: ) ) 5 c) d) e) 6

45 45 P4. Qul o cojuto solução d equção ), 9 ) {±} 7 c) d) { 5} e) 7 em R. P5. A som de dois úmeros é p e som dos recíprocos (iversos) desses úmeros vle q. Logo, o produto dos úmeros é: ) p. q p ) q q c) p d) pq p e) p q + pq P6. Dizer qul o cojuto solução d equção 6 6 em R. 9 5( ) P7. O vlor soluto d difereç etre som e o produto ds rízes d equção + 0 = 0 é: ) ) 5 7 c) 5 d) e) 0 P8. A equção do segudo gru k + = 0 possui como um de sus rízes. Etão outr riz é: ) / ) c) 0 d) / e) 5/ P9. Se equção + = 0 possui 5 como riz dupl, etão. é: ) 0 ) 5 c) 87 d) 60 e) 5

46 46 P0. Oserve equção do segudo gru m + = 0; sserção fls é: ) Se seus zeros são simétricos, etão m = 0. ) Se um ds rízes é ul, etão = 0. c) Se seus zeros são recíprocos, etão =. d) Se difereç dos seus zeros for ul, etão m = 8. e) Se um ds rízes é ul, etão outr riz é. P. As rízes d equção do segudo gru 5 + = 0, costte, diferem de um uidde; sedo ssim, é um elemeto do cojuto. ) {, 7, } ) {0,, 5} c) {l, 5, 0) d) {7, 8, 9} e) {, 4, 8} P. Cosiderdo equção + m 8 = 0 de rízes e e sedo-se que, s rízes dess equção formm o cojuto: ) {/ = 0 ou = } ) {/ = / ou =} c) {/ = ou = } d) {/ = ± } e) {/ = ± /} P. Resolv equção 4 = 0, em R. P4. Resolv equção = 0. P5. Resolv equção ( ) 5( ) 4 = 0. P6. A equção do segudo gru cujs rízes são e é: ) + = 0 ) + = 0 c) = 0 d) 4 + = 0 e) = 0 P7. O cojuto solução d equção possui qutos elemetos? ) um ) dois c) três d) qutro e) ifiitos

47 47 P8. Resolv 9. P9. Quts soluções reis possui equção 5? ) zero ) um c) dus d) três e) mis de três P0. Clcule som ds rízes d equção 5. P. Clcule s rízes d equção. P. Sedo-se que y 6 e que + y =, etão y vle: ) ) 4 c) 5 d) 6 e) 7 P. Resolver equção em R. P4. O cojuto de úmeros reis pr que form o itervlo rel: ) (,] ), c), d) (,0] e) (-,+ ) 5 P5. Resolvedo iequção, 4 otemos o cojuto S como solução. Etão é verddeiro que: ) S ) S c) S d) / S e) 9 S

48 48 P6. O mior úmero iteiro que stisfz à codição,5, é ) ) 0 c) d) 5 e) 7 P7. O cojuto de reis que stisfzem à codição 6 0 é: 7 0 ) (,7] ) ( 7,] (5, + ) c) ( 7, 5) d) [, + ) e) [,5) P8. O sistem de iequções solução o cojuto: 0 tem pr ) (, ] ) (, 0) c) (, 0] d) (, ) e) P9. Clculr s rízes d equção ( + ) = 4( + ). P40. A som dos zeros d equção ( ) =. ( + ) é: ) 0 ) c) 5 d) 5 e) 9 P4. Resolv equção 0 0. P4. Clculr o produto ds rízes d equção 0.

49 49 P4. Qul o cojuto solução d equção ? P44. Um dos vlores de pr que y y y 6 é: ) ) 7 c) d) / e) / P45. Dus pessos empregm, juts, RS ,00 compr de ções que redem 6% o o. Aulmete, primeir recee R$.00,00 mis que segud. Qul o cpitl que cd um empregou? P46. Um mistur de 0m é costituíd de dus sustâcis, A e B, s proporções 5% e 75%, respectivmete. Sedo que pr um mesmo volume sustâci A pes o doro de B, que percetgem do peso totl d mistur represet o peso de A? P47. Um toreir cosegue echer um tque vzio em dus hors. Outr toreir cosegue relizr o mesmo trlho em seis hors. Estdo o tque cheio, um rlo o esvzi em hors. Estdo o tque vzio e colocdo-se s dus toreirs juts em fuciometo com o rlo erto, o tque fic cheio em /5 hors. Quto vle? P48. Um cs deve ser costruíd em meses. Pr isso, precis-se de 4 servetes, cd um trlhdo 5h/di. Dois meses pós o iício d or, 5% dos servetes form demitidos, e o restte dos servetes ficou com icumêci de termir or o przo determido. Quts hors por di pssrá trlhr o restte dos servetes? P49. Se + =, clcule P50. Se + c = 0, provr que + c = c. P5. Provr vercidde d seteç: Eiste Q tl que ( + ) Z. P5. Rciolize os deomidores: ) ) c) P5. Simplificr o rdicl 6 5.

50 50 P54. Simplificr epressão P55. Clcule o vlor de.... P56. Dus rods de egregem têm 40 e 60 detes, cd um com um dete estrgdo. Se, um ddo istte, esses dois detes estão em cotto, quts volts rod peque drá pr que se repit esse ecotro? P57. Um terreo de form trigulr tem ldos de medids 8 m, 4 m e 0 m. Deve-se cercr esse terreo com estcs espçds igulmete, à máim distâci possível. Qul deve ser à distâci etre s estcs? P58. Determir o mior úmero pelo qul se deve dividir 4, 796, 585 pr se oter os restos, 4 e, respectivmete. P59. Um sehor possui um cest com ovos pr distriuir etre os seus filhos. Ao primeiro filho el deu metde dos ovos d cest mis meio ovo; o segudo filho el deu metde dos ovos resttes mis meio ovo, e, o terceiro filho, el deu metde do ovo resto mis meio ovo, ficdo sem d. Qutos ovos hvi cest? P60. (UFBA-99) Um herç de R$ ,00 foi dividid etre dus fmílis, um com 5 pessos e outr com 0 pessos, de meir tl que quti receid por um dos memros d fmíli meor, somd à receid por um dos memros d fmíli mior, foi igul R$ 0.000,00. Todos os memros de um mesm fmíli receerm qutis idêtics. Se cd pesso d fmíli meor receeu mil reis, clcule. P6. (UFBA-0) Um tetro colocou à ved, igressos pr um espetáculo, com três preços diferecidos de cordo com loclizção d poltro. Esses igressos, depeder do preço, presetvm cores distits: zul, rco e vermelho. Oservdo-se qutro pessos fil d ilheteri, costtou-se o seguite: primeir comprou igressos zuis, rcos e vermelho e gstou R$ 60,00; segud comprou igressos rcos e vermelhos e gstou R$ 84,00, e terceir pesso comprou igressos rcos e vermelhos, gstdo R$ 76,00. Sedo-se que qurt pesso comprou pes igressos zuis, clcule, em reis, quto el gstou.