= h. - para não ocorrer aliasing: a operação de amostragem é geralmente precedida por um filtro passa-baixo anti-alias.

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1 Amostrgem Hw w N w s w s w - frequêci de mostrgem: - frequêci de Nyquist: w N w s π h w π s h - pr ão ocorrer lisig: operção de mostrgem é gerlmete precedid por um filtro pss-bixo ti-lis. Gbriel Pires 38A

2 Efeito do período de mostrgem respost em frequêci Exemplo: G s s s Respost em frequêci do equivlete discreto pr h., e seg. Bode Digrm Phse deg Mgitude db h h cotiuo h Frequecy rd/sec Gbriel Pires 38B

3 Especificções de projecto em Mtlb: Loclição desejd dos pólos utilição do comdo grid em Mtlb 3π/5T π/t π/5t π/T 4π/5T 7π/T. 3π/T π/5t π/t π/t π/t π/T π/t -.6 4π/5T π/5t -.8 7π/T 3π/T 3π/5T π/5t π/t trç s lihs ξ costte pr vlores em degrus de.; - trç s lih pr w Nπ pr iteiros N de ; h Gbriel Pires 4A

4 Exemplo: especificções de projecto ξ.5 w ξ w Gbriel Pires 4B

5 Escolh do período de mostrgem, h Períodos muito grdes torm impossível recostrução do sil. Períodos pequeos umetm crg do processdor o Meor tempo pr os cálculos o O tempo de coversão A/D tem de ser meor o Mior custo do sistem O comdo de cotrolo poderá ocorrer em qulquer istte detro do período de mostrgem, h. Melhor opção é escolher o mior período de mostrgem que grt s especificções. Limite iferior teórico teorem d mostrgem w w s b > N prátic grti de suvidde ws < < 4 w b Frkli Gbriel Pires 59A

6 Método de Tusti f um mpemeto d região estável s exctmete região estável. f um mpemeto do eixo jw do plo s o círculo uitário o mpemeto provoc um distorção de frequêci dd por: w ' wh t h o mpemeto de Tusti com pré-wrpig é ddo por : s ' w. w h t w é frequêci de referêci pr qul distorção é completmete elimid ormlmete escolhid frequêci de corte do sistem Gbriel Pires 69A

7 Sitoição do cotroldor pelo método directo em discreto Exemplo de plicção Pretede-se projectr um cotroldor PI pr cotrolr o processo G s. s Especificções de projecto: - ξ. 7 - w5 rd/s - h. seg resolução: - Obter equivlete discreto de Gs precedido por ZOH e G e - Obter PI discreto por um método de proximção, por ex. tusti h h h C Kp Ki - eq. crcterístic desejd sist. ª ordem com Tbel A.6: ςw e h.cos w h d e ςw h Gbriel Pires 83A

8 Sistem de cotrolo em discreto R - E C G Y Y R C. G C. G - igulr eq. crcterístic do sistem C. G à eq. crcterístic desejd Gbriel Pires 83B

9 REGULAÇÃO por relimetção de estdos A álise é idêtic pr sistem cotíuo e discreto Sistem em Mlh Abert u B x x A x Ax Bu y Cx Pólos do sistem são ddos pelo determite de si-a si-a Sistem em Mlh Fechd Estrutur do reguldor: ssume R u B x x R - u B x x A A -K ou K u Kx u [ K K ] x x x A BK x Pólos do sistem em MF são ddos pelo determite de si-ab.k ou sej si-abk Gbriel Pires 67

10 COLOCAÇÃO de PÓLOS - escolh d loclição dos pólos em mlh fechd - o projecto do cotroldor cosiste em obter os vlores de K de form os pólos em MF ficrem s posições desejds Assumido que queremos pólos loclidos em s, p, p, p i A eq. crcterístic correspode : P s s p s p s p Se igulrmos est equção à eq. crcterístic do sistem em MF si-abk, obtém-se os vlores do cotroldor K. Gbriel Pires 68

11 Exemplo de plicção: Cotrolo de orietção de um stélite h φ h Γ h Especificções de projecto: - ξ. 5 - prte rel de s-.8 rd/s Período de mostrgem: h. s Solução: Eq. crcterístic desejd:.6.7 Eq. crcterístic do sistem em Mlh Fechd h h hk K hk K K K Gbriel Pires 69

12 Gbriel Pires 7 - A form de cálculo obtid trás pode-se torr fstidios - A álgebr pr ecotrr os vlores de K é especilmete simples se s mtries se ecotrrem form cotrolável: 3 c φ Γ c [ ] 3 b b b C A eq. crcterístic correspodete é: 3 3 Em mlh fechd: K c Γ c φ Γ 3 3 K K K K c c φ A eq. crcterístic correspodete é: K K K Se os pólos desejdos resultrem eq. crcterístic: 3 3 α α α Os ghos do cotroldor são ddos directmete por: K K K α α α

13 Pr plicr este método é ecessário que s equções de estdo se ecotrem form cotrolável, sedo pr isso ecessário clculr mtri de trsformção. Cotrolbilidde A questão que se coloc é: será sempre possível ecotrr um equivlete φ, de um sistem,γ c Γ c φ rbitrário? - A respost é quse sempre sim. - excepção ocorre qd o sistem tem certos modos ão fectdos pelo cotrolo. - melhor form de lisr ão cotrolbilidde pss pel represetção em que cd estdo represet um modo turl do sistem, ou sej, form cóic de Jord: x k λ λ Γ Γ x k u k λ Γ - ehum elemeto de Γ pode ser ero. Se qulquer elemeto for ero, o cotrolo ão ifluecirá o modo turl, e o estdo ssocido permecerá ão cotroldo. Gbriel Pires 7

14 O Mtlb possui dus fuções pr clculr o vlor de K: - KckerPHI,GAM, pólos desejdos -plicção d fórmul de Ackerm - pes pode ser utilido pr sistems SISO - utilido pr ordes iferiores - pode ser utilido pr ríes repetids - KplcePHI,GAM, pólos desejdos - plicção d fórmul de Kutsky - pode ser utilido pr sistems MIMO - utilição pr sistems de ordem superior - ão pode ser utilido pr ríes repetids Gbriel Pires 7

15 Fórmul de Ackerm: Sej o sistem x k φ x k Γu k A fórmul de Ackerm é dd por: K [ ][ Γ φγ φ Γ φ Γ] P φ ode Wc [ Γ φγ φ Γ φ Γ] é mtri de cotrolbilidde P φ φ α φ α φ α I em que os α são os coeficietes d eq. crcterístic desejd i α α Dedução d fórmul de Ackerm Sej o sistem x k φ x k Γu k cotrolável Cuj mtri de cotrolbilidde é: Wc [ Γ φγ φ Γ φ Γ] Gbriel Pires 73

16 Gbriel Pires 74 Etão, o sistem pode ser trsformdo form cóic cotrolável muddo s vriáveis de estdo trvés d trsformção de Tx : ~ ~ k u k x k Γ φ ode ~ φ Γ ~ A lei de relimetção é dd por: [ ] L u 3 3 ~ α α α Dá um sistem em MF com o poliómio P α α A solução do problem origil Lx LTx L u ~ ~ As mtries de cotrolbilidde estão relciods trvés de: c TW c W ~

17 pelo que T ~ W W c c L ~ 3 3 c [ α α α ] W W c [ ] W P φ L c P φ φ α φ α φ α I Exemplo: Cotrolo de orietção de um stélite exemplo terior Utilie fórmul de Ackerm pr obter os ghos de relimetção. Gbriel Pires 75

18 Cotrolo Dedbet - se loclição dos pólos desejdos estiverem origem, o Poliómio crcterístico correspodete é: P e P φ φ sedo o cotroldor L ddo por: L [ ] φ - o projecto de um cotroldor dedbet, o úico prâmetro de projecto é o período de mostrgem - o tempo de estbelecimeto é o máximo h, em que é é ordem do sistem e h o período de mostrgem - cção de comdo umet drástic/ com dimiuição de h - o cotroldor dedbet pes existe pr sistems discretos W c Exemplo do cotrolo de orietção de stélite 5 5 dedbet, h. Comdo de cotrolo, u Gbriel Pires 76

19 Etrd de referêci seguidor r - u Γ xk xk C y Φ K x k φ x k Γu k u k r k Kx k Cheg-se : x k φ ΓK x k Γr k Exemplo do cotrolo de orietção do stélite Etrd rk em degru de mplitude síd tede pr - tem de se icluir gho de refereci Gbriel Pires 77

20 Gho de referêci N r N - u Γ xk xk C y Φ K Cheg-se : x k φ ΓK x k ΓNr k eq. crcterístic é dd por: I φ ΓK Pr ulr o erro em regime estcioário verificmos pel respost terior que: N - um form de obter N pss pel utilição d F.T. em MF: Y F R C I Φ ΓK ΓN e ver qul o vlor em regime estcioário pr um etrd em degru y k lim Y lim F lim lim k F Iguldo o vlor em regime estcioário à etrd obtém-se o gho N Gbriel Pires 78

21 Exemplo do cotrolo de orietção do stélite h h φ Γ C[ ] h h. Aplicdo directmete F Y R C I Φ ΓK ΓN Com regime estcioário e ssumido N, obtém-se - o Gho DC do sistem igul. logo, N Outr estrutur possível do seguidor qd o processo é do tipo Assumido por exemplo: - ; - vriável seguir x - cotroldor [K K] r - K - u Γ Z - xk Φ xk C x y x K A equção de estdo do seguidor é x k φ ΓK x k ΓK r k, ou sej, NK Gbriel Pires 79

22 Estimdores Observdores - o projecto do cotroldor té gor ssumiu que todos os estdos estvm dispoíveis pr relimetção - em todos os estdos podem ser medidos ou por questões físics ou ecoómics, tedo ssim de ser recokstruídos - Existem tipos básicos de estimdores: - estimdor correte, x ˆ k se bsedo s medids té yk, icluido o istte k - estimdor predictor, x k se bsedo s medids té yk- - teremos ssim u k Kxˆ k ou u Kxk Estimdor Predictor Estimdor em Mlh Abert uk Processo Φ, Γ xk C yk Modelo x k yk Φ, Γ C - o erro de estimção é ddo por: ~ x x x Gbriel Pires 8

23 Substituido s equções de estdo do sistem e do estimdor expressão terior obtemos: ~ x k φ~ x k - em Mlh Abert o erro de estimção uc irá dimiuir pr um sistem istável. Pr um sistem estável o erro irá dimiuir, ms pes porque o sistem e o estimdor tedem pr ero. - se relimetrmos difereç etre síd medid e síd estimd, divergêci do erro será miimid. Estimdor em Mlh Fechd uk Processo Φ, Γ xk C yk Modelo x k yk Φ, Γ C - L p Obtém-se : x k φ x k Γu k L [ y k Cx k ] p ~ ~ k A equção de erro é: x k [ φ L C] x p Gbriel Pires 8

24 - Se mtri do sistem for estável, ~ x irá covergir pr ero pr qulquer estdo iicil ~ x, ou sej, ~ x k irá covergir pr xk. - um implemetção rel, ~ x k ão será igul xk porque: - o modelo ão é perfeito - existem perturbções ão modelds - existem erros e ruído sesoril - cosegue-se mter, o etto, um erro bstte pequeo pr um diâmic de [ φ L p C] rápid - o gho de relimetção Lp é obtido seguido mesm bordgem utilid lei de cotrolo Fórmul de Ackerm dptd o estimdor L p C Cφ α φ Cφ e Cφ ode α φ φ α φ α φ... α I e α são os coeficietes d eq. crcterístic desejd i α α Mtlb: >> LpckerPHI,C,p Gbriel Pires 8

25 Observbilidde Mtri de observbilidde C Cφ W Cφ Cφ Pr que o sistem sej observável é ecessário que o determite de W sej diferete de. Exemplo: Cotrolo de orietção de um stélite h φ h Γ h [ ] C h. dig se o sistem é observável b Obteh Lp de form os pólos estrem loclidos em.4 ±. 4 j Gbriel Pires 83

26 Estimdor Correte - vimos trás que o estimdor predictor estim pós ter recebido medids té yk-: x k φ x k Γu k L [ y k Cx k ] p - este cso cção de comdo ão depede do vlor mis ctul de comdo - f setido costruir um estimdor xˆ que forece um estimtiv bsed medid ctul Pegdo expressão do estimdor predictor e modificdo- [ y k Cx k ] xˆ k x k L c com x k φ xˆ k Γu k ou sej, [ y k C xˆ k Γu ] xˆ k φ xˆ k Γu k L φ k c - o cotrolo bsedo est estimtiv ão pode ser implemetdo exctmete porque é impossível mostrr, relir cálculos e obter síd, sem que ão teh decorrido ehum tempo. - o erro de estimção, ou sej difereç etre eq. de estdo do processo e eq. de estdo do estimdor é ~ x k φ L Cφ ~ x k c [ ] Gbriel Pires 84

27 D mesm form, os ghos do reguldor são obtidos prtir d fórmul de Ackerm ode L c Cφ Cφ 3 α φ Cφ e Cφ α φ φ α φ α φ... α I e α são os coeficietes d eq. crcterístic desejd i α α Mtlb: >> LcckerPHI,PHI C,p Relção etre os ghos do estimdor predictor e do estimdor correte L c φ L p Escolh do predictor: - ormlmete escolhe-se o estimdor correte, pois respode mis rpidmete perturbções e erros de medid - o est. Correte existe um tempo de computção que ão é tido em cot - se os tempos de computção forem grdes deve-se utilir o estimdor predictor Gbriel Pires 85

28 Estrutur complet do reguldor com estimdor rk N uk Processo xkφxk Γuk xk Sesor C yk - uk K xk Estimdor x k, L c Escolh dos pólos: - os pólos do cotroldor devem ser escolhidos de form stisfer simultemete s especificções de projecto e os limites do ctudor - os pólos do estimdor são ormlmete escolhidos de form serem 4 vees mis rápidos que os pólos do cotroldor sedo respost domid pelos pólos mis letos - pólos mis rápidos do estimdor ão têm qulquer implicção o ctudor, pois o efeito é pes setido o computdor. No etto, pólos mis rápidos podem torr estimção muito sesível o ruído. Gbriel Pires 86

29 Implemetção em mbiete Simulik estimço estdo 3 - estimço estdo Estimdor predictor Estimdor correte Gbriel Pires 87

30 pólos do estimdor fstdos 8x pólos do estimdor fstdos x Utilição de um derivdor Acço de comdo, u cção de comdo com derivdor 5 cção de comdo com estimdor Acção de comdo com utilição de um derivdor vs. estimdor correte Gbriel Pires 88

31 Estimdores de ordem reduid - os estimdores discutidos té gor recostroem todo o vector de estdo - ão é ecessário estimr todos os estdos, o etto qudo existe ruído s medids, o estimdor de ordem ple forece suvidde s medids - o cso de um estimdor de ordem reduid divide-se o vector de estdo em dus prtes: - x prte directmete medid y - x b prte ser estimd x k φ x k b φb y k x x k [ I ] b k φ x k b Γ φ x k Γ bb b b u k As equções de estdo que descrevem diâmic dos elemetos ão medidos é dd por: outr equção x k φ x k φ x k Γ u k b bb b b b '' etrd'' cohecid x k φ x k Γ u k φ x b " medids" cohecids b k Gbriel Pires 89

32 Comprdo à eq. de estdo geéric x k φ x k Γu k y k Cx k obtemos s seguites igulddes: x x b φ φ bb Γu k φ x k Γ u k C φ b b y k x k φ x k Γ u k b Substituido s mtries eq. de estdo do estimdor predictor Obtém-se : x k φ x bb L b r k φ x k Γ u k [ x k φ x k Γ u k φ x k ] b b b b b ~ ~ k A equção de erro é: x k [ φ L φ ] x b bb r b b D mesm form, os ghos do reguldor são obtidos prtir d fórmul de Ackerm, Lr é selecciodo pr ter s ríes de: I φ φ α φ bb L r b e bb Gbriel Pires 9

33 Gbriel Pires 9 bb b bb b bb b b bb e L r φ φ φ φ φ φ φ φ α ode I e α α φ α φ φ φ α... i α são os coeficietes d eq. crcterístic desejd α α

34 ATRASOS modelção F.T. e em espço de estdos - cosidere-se F.T. de um sistem cotíuo com trso precedido por um ZOH. O trso pode ser proveiete de: - trso etre o processo e o ctudor e.g. trsporte de fluidos um processo químico, bcklsh um egregem, etc. - trso os sesores - trso computção e quisição de sil Supoh-se um processo λs G s e H s λ - trso em segudos proveiete do trso de processo e do tempo de computção H s s Cosideremos geericmete: h período de mostrgem l iteiro m < rel λ lh mh Gbriel Pires 9

35 G G s Z s Pr h.65 G G s Z.3679 s Modelo em espço de estdos Ver [Nues cettos, pg 4] Y s Exercício: G s U s 8 e s s 8 [Nues, livro de exercícios, ex. 6.3].s obteh o modelo em espço de estdos xy; xdx b Modelo em espço de estdo discreto equivlete pr h.5. Gbriel Pires 93

36 Projecto de cotroldores pr sistems com trso Exemplo: Cotrolo em velocidde de um sistem cujo modelo em espço de estdos é ddo por: A-.3; B.3; C; D; h. seg Obteh o equivlete discreto o espço de estdos. b Obteh o gho do cotroldor de relimetção de estdos cotroldor tl que os pólos estejm em.4. c Obteh o equivlete discreto o espço de estdos ssumido um trso de mostr. d Obteh o gho do cotroldor de relimetção de estdos coloque o º pólo em. e Obteh o gho do estimdor predictor pólo loclido em.. Coloque o º pólo em. Gbriel Pires 94

37 Sistem sem trso respost sem trso Gbriel Pires 95

38 Sistem com trso de mostr o ctudor.4 respost com trso Gbriel Pires 96

39 Sistem com trso de mostr utilido estimdor predictor respost com trso estimdor pred Gbriel Pires 97

40 Gbriel Pires 98 Modelo de espço de estdos pr sistems com trso os sesores A síd com um trso é dd por: k y k y d d y é versão trsd de y Se tivermos trsos, etão: k y k y d d Pr um sistem: k u k x k x Γ φ k Cx k y O modelo pr trsos é ddo por: k u k y k y k x C k y k y k x d d d d Γ Φ [ ] k y k y k x k y d d d