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1 XIII SIMPEP - Bauru, SP, Bral, 6 a 8 de novembro de 26 Getão de artera de nvetmento om oçõe Fredero Areta da Cota Ferrera (PRODUÇÃO-POLI-USP) frederoferrera@gmal.om Celma de Olvera Rbero (PRODUÇÃO-POLI-USP) elma@u.br Reumo: O objetvo do trabalho é tratar do roblema de otmzação de artera de nvetmento om oçõe, uando a abordagem da metodologa de ro do CVaR. O reço a açõe ão rojetado atravé de Smulação de Monte Carlo, e o rêmo da oçõe ão alulado atravé do modelo de Blak-Shole (973). O modelo lnear rooto, baeado no modelo láo de Markowtz (952), ermte a ontrução de uma frontera efente, onde e deeja mnmzar o nível de ro, menurado elo CVaR, ara um dado nível mínmo de retorno. O tete realzado om o modelo motraram reultado otvo, onde ão gerada etratéga que utlzam a oçõe omo ferramenta ara mnmzar a erda do nvetdor no enáro emta e nrementar o ganho obtdo no enáro otmta. O modelo rooto motrou-e ontente e efente, odendo er alado na ráta da getão de artera de nvetmento om oçõe. Palavra-have: Otmzação; Cartera de nvetmento; Oçõe.. Introdução Ete trabalho areenta e anala um modelo de otmzação de artera de nvetmento. Ete é um roblema tío de emrea do etor fnanero, que devem gerenar eu atvo de forma efente, maxmzando ua função de utldade, normalmente rereentada or um trade-off entre retorno e ro de eu ortfolo de nvetmento, onforme Bode (2). O etudo do roblema de aloação ótma de atvo em uma artera de nvetmento é um tema muto freqüente de etudo na área de fnança e equa oeraonal, de tal forma que grande avanço já foram alançado dede o trabalho ublado or Markowtz (952). Ete modelo, que fou muto reonhedo e e tornou a bae ara a Teora Moderna de Cartera, buava ahar uma olução ara um nvetdor que deve dedr de que forma aloar eu atal dentre um unvero de atvo, onderando que a omoção da artera é determnada em um dado ntante e deve er mantda até um erto horzonte de nvetmento. O objetvo é defnr a omoção da artera que atfaz uma rentabldade mínma mota elo nvetdor e mnmza o nível de ro. Ete trabalho retende etudar o roblema da eleção de artera de nvetmento om dervatvo. O dervatvo ão roduto fnanero que rereentam ferramenta ara o nvetdor delnear etratéga reduzr eu ro (hedge) e/ou maxmzar eu ganho. No entanto, a ntrodução de dervatvo no modelo de otmzação de artera de nvetmento rereenta uma dfuldade adonal, uma vez que o areçamento do memo não é realzado de forma mle. A forma omo o ro do ortfolo de nvetmento é menurado rereenta também uma arte mortante do etudo do roblema de aloação ótma. A medda de ro que utlzaremo egurá a metodologa do CVaR o Valor Condonal em Ro, um ndador baeado no VaR o Valor em Ro (veja Joron (2) e Laren (2)), que areenta maor robutez. 2. Coneto báo em getão de artera O roblema de nteree trata da getão de artera entre do ntante de temo T e T, defndo omo o ntante nal e a data de horzonte, reetvamente. Nete to de abordagem é neeáro determnar de que manera o reço ou retorno do atvo

2 XIII SIMPEP - Bauru, SP, Bral, 6 a 8 de novembro de 26 onderado evolu ao longo do temo, ou eja, é reo determnar o roeo etoáto que o dereve. Além do, or nlur oçõe na artera deve-e também eefar em ada ntante de temo qual o reço da oção. Neta eção a metodologa utlzada ara a medção do ro e ara a geração de enáro é etudada. Dereve-e a evolução do reço do atvo, ela alação do método da Smulação de Monte Carlo, e a metodologa de areçamento de oçõe. Por fm, onentua-e a medda de ro VaR e CVaR. 2.. Smulação de Monte Carlo Segundo Hull (25), o movmento de reço da açõe ode er analado omo um roeo de Wener, ou eja, toda a nformação relevante ara o movmento futuro do reço etá onentrada no valor atual da ação. Para que ejam gerada a trajetóra do reço futuro da açõe até a data de horzonte, ão efetuada vára mulaçõe, onderando-e que a equação que rege o movmento do reço é a egunte: ds S ε = µ dt + σ ε dt ~ N(,) onde: S = Preço da ação µ = Taxa de retorno eerada σ = Volatldade da ação ε = Varável aleatóra normal adrão Etá equação orreonde ao movmento brownano do reço de uma ação, onderando a mlfaçõe de taxa de retorno e volatldade ontante ao longo do temo. Como ode er obervado, o reço de uma ação é modelado omo um aeo aleatóro, onde o reço etá ujeto a hoque. Como no roblema de nteree o reço do atvo não ão ndeendente, é neeáro onderar a orrelação entre o memo. Am, elo meno no ao da açõe, é neeáro onderar a matrz de varâna-ovarâna ( ). Nete trabalho, alula-e a matrz de varâna-ovarâna atravé da metodologa EWMA Exonentally weghted movng average (veja Hull (25)). De aordo om Lew (23), o método numéro normalmente utlzado ara gerar ea varáve aleatóra norma multvarada é a deomoção de Choleky: = T T onde: Σ = Matrz de ovarâna do atvo T = Fator de Choleky Geram-e de número aleatóro om dtrbução normal N(,). A matrz de varânaovarâna é então deomota, atravé da fatoração de Choleky. A fator alulado T é então utlzado ara multlar o número eudo-aleatóro gerado, de forma que o reultado ejam hoque orrelaonado entre : X = T Z X ~ N k (, Σ) onde: X = T = k = Z = Varáve norma multvarada Fator de Choleky Número de atvo Matrz de k varáve norma ndeente (ε) 2

3 XIII SIMPEP - Bauru, SP, Bral, 6 a 8 de novembro de 26 Alando-e ee hoque ara dvero eríodo ubequente, om um grande número de mulaçõe, é oível gerar um equêna de amnho que o reço de um atvo ode egur. A fgura abaxo rereenta o enáro obtdo ara o reço de uma ação, ujo valor nal era R$ 7 e ujo movmento fo mulado ara o róxmo 2 da: Fgura 2- Smulação do reço de uma ação 2.2. Areçamento de oçõe Ao onderar oçõe na artera, é reo analar eu reço em ada ntante. A eulardade etrutura dete atvo não ermtem que o eu reço ejam mulado. Am utlza-e modelo de areçamento. Portanto, uma vez que foram obtdo o reço da açõe em ada um do enáro mulado, alula-e o reço da oçõe egundo a metodologa roota or Blak- Shole (973): 2 S σ = S N( d) E e rt N( d 2 ) ln + r t E + d 2 = rt σ t = E e N( d 2 ) S N( d) d 2 = d σ t onde: = Prêmo teóro da oção de omra (all) = Prêmo teóro da oção de venda (ut) S = Preço atual do atvo-objeto E = Preço de exerío S = Volatldade da ação r = Taxa de juro nomnal até o venmento da oção t = Temo ara o venmento da oção σ = Volatldade do atvo-objeto N (x) = Função de robabldade umulatva de uma varável normal adronzada No álulo efetuado, aumu-e que a taxa de juro nomnal é ontante até o venmento, e rereentada ela taxa CDI de merado. O temo do venmento da oção é gual ao eríodo até o horzonte de nvetmento, uma vez que fo onderado que o venmento da oçõe onda om o horzonte. 3

4 XIII SIMPEP - Bauru, SP, Bral, 6 a 8 de novembro de 26 A volatldade de ada ação fo onderada ontante até o horzonte de nvetmento, e fo alulada a artr da varâna, rereentada ela dagonal da matrz varâna-ovarâna ( ) alulada anterormente. Deta forma, no ntante nal o rêmo da oçõe foram alulado utlzando o últmo valor da ére htóra do reço da açõe. Já na data do horzonte de nvetmento, o ay-off gerado ela exração da oçõe fo alulado, em ada enáro mulado, da egunte forma: 2.3. VaR e CVaR ay offall = max{ ay off ut = max{ ( S E) ;} ( E S) ;} O etudo da medda de ro a er adotada é mortante ara aegurar que a exoção ao ro elo nvetdor eja orretamente quantfada. Markowtz (952) exrea o ro da artera atravé do devo de eu retorno eerado, alulando-e a varâna de uma dtrbução multvarada do retorno de todo o atvo que omõem a artera. No entanto eta medda de ro ó é adequada quando o retorno do atvo eguem uma dtrbução normal. Sabe-e que a oçõe ão ntrumento om ay-off altamente amétro, de tal forma que a hótee de dtrbução normal de retorno é volada quando nermo ete dervatvo na artera de nvetmento. A lteratura reente (veja Jude et al.(23)) tem buado dferente medda de ro a fm de reduzr a defêna da medda tradona omo a varâna e o devo médo aboluto (MAD). O Valor em Ro (VaR) e o Valor Condonal em Ro (CVaR) ão dua medda frequentemente etudada om ete objetvo. Segundo Hull (25) o VaR é defndo omo a erda máxma que a artera ode ofrer om um erto nível de onfança α%. Trata-e ortanto de uma métra baeada em um erentl da dtrbução de retorno da artera. Embora o VaR eja adequado quando e trata de artera om dervatvo, e que, ortanto, areentam dtrbuçõe de retorno amétra, o VaR não fornee nformação alguma obre a extenão da auda da dtrbução. Dea forma, quando temo dtrbuçõe om auda eada, a erda da artera odem, em algum ao (ontdo no erentl -α%), exeder batante o VaR e reultar em reultado atatrófo. Reentemente autore onagrado omo Rokafellar (22) têm analado medda de ro que tratam da auda da dtrbução. Uualmente anala-e o Valor em Ro Condonal (CVaR), uma medda de ro defnda omo a exetatva de erda exedente ao VaR à um nível de onfança dado. Ou eja, enquanto o VaR nda que, om robabldade de α% a erda da artera não exederão uma quanta X=VaR(α), o CVar nda que, onderando-e que o or evento, uja robabldade de oorrer é (-α%), oorreu, a erda méda da artera eerada é de Y=CVaR(α). 3. Modelo rooto O roblema que ete modelo objetva reolver é a de um nvetdor que, dentre um unvero de atvo, deve dedr obre omo aloar eu atal donível, de tal forma a maxmzar ua utldade em um horzonte T. Além do atvo, o nvetdor também tem donível oçõe de omra (all) e de venda (ut) obre o atvo, na qua ele ode otar or omrar a fm de dmnur (hedgear) eu ro. Condera-e que, em um momento nal T, o nvetdor dõe aena de um valor em axa (h) e uma artera nal de atvo. Ou eja, aume-e que no ntante adonal o nvetdor não dõe de atal alado em dervatvo. 4

5 XIII SIMPEP - Bauru, SP, Bral, 6 a 8 de novembro de 26 Além do, aume-e que a oçõe utlzada venem na data do horzonte analado. Deta forma, ao a oção eteja no dnhero ou dentro do dnhero na data de horzonte, ela erá exerda e gerará um ayoff (veja Fgueredo (23)). Cao ontráro, e ela etver fora do dnhero, a oção não erá exerda. O objetvo do modelo é atfazer um nível mínmo de retorno médo e mnmzar a medda de ro CVaR da artera eolhda. Condera-e que o nvetdor fará uma deão de aloação nal e rá ermaneer om a artera deta forma até a data de horzonte, ou eja, rebalaneamento da omoção da artera não ão ermtdo. Embora a deão obre a aloação da artera eja ontual e analada aena uma vez, é mortante realtar que ão onderado o movmento do reço do atvo durante todo o eríodo omreenddo entre a data nal e a data do horzonte. Ou eja, embora ejam relevante aena o reço na e o reço no horzonte do atvo, ão gerada S trajetóra mulada da dtrbução multvarada omota elo reço do dferente atvo. O objetvo dete roedmento de mulação do reço da açõe durante todo o eríodo é rereentar ma felmente a olaçõe e o omortamento do merado. É mortante realtar que o enáro mulado ão equrováve, ou eja, a robabldade oorrêna é a mema ara ada um dele. 3.. Formulação matemáta O modelo rooto é areentado a egur. Varáve do modelo A egunte varáve erão utlzada ara ndexação: {,2 } {,2 } {,2 } {,2 } I =,..., : onjunto de açõe doníve S =,..., : onjunto de mulaçõe realzada C =,..., : onjunto de all doníve P =..., : onjunto de ut doníve O egunte arâmetro e varáve determníta fazem arte do modelo: h : atal donível em axa em T (ntante nal) w : quantdade de açõe na artera nal µ : nível mínmo de retorno médo aetável α : nível de onfança ara o álulo do CVaR δ : uto de tranação (rooronal ao valor tranaonado) T : horzonte de nvetmento (em da) rf : taxa lvre de ro (% aa) : reço do atvo em T (ntante nal) π (, E bl ) : reço de uma all em T (ntante nal) om reço de exerío E e ujo atvo objeto é a ação. bl (, E ) : reço de uma ut em T (ntante nal) om reço de exerío E e ujo atvo objeto é a ação. : valor total da artera em T (ntante nal) V A varáve que deendem do enáro mulado ão: π V : reço do atvo na data de horzonte, no enáro : valor total da artera na data de horzonte, no enáro 5

6 XIII SIMPEP - Bauru, SP, Bral, 6 a 8 de novembro de 26 R : retorno obtdo ela artera até o horzonte, no enáro A deõe que o modelo objetva determnar ão rereentada ela egunte varáve de deão: b T w x x : quantdade de açõe omrada : quantdade de açõe vendda : quantdade de açõe na artera fnal : quantdade de all omrada : quantdade de ut omrada Por fm, a egunte varáve auxlare ão utlzada: R : retorno médo obtdo dentre o enáro mulado z : VaR da erda da artera y : varável auxlar ara lnearzar a função de ro do CVaR : erda total da artera no enáro L Função Objetvo O modelo rooto mnmza o nível de ro da artera, menurado elo CVaR, ou eja, o valor eerado do retorno abaxo do VaR. No entanto, temo rmero que rereentar de forma lnearzada o álulo do CVaR da artera. Seja x o onjunto de deõe obre a artera, endo ortanto o onjunto que engloba toda a varáve de deão tada na eção anteror. Para um onjunto de deõe x, odemo aoar uma função de erda a ada enáro mulado: L = f ( x), S A robabldade que a função de erda não exeda um nível eefado z é ortanto gual a oma da robabldade daquela enáro uja erda fo menor que z: ψ ( x, z ) =, onde = robabldade do enáro oorrer L z Logo, odemo defnr o VaR omo o menor valor de z tal que a robabldade de que a função de erda não exeda z eja maor que um nível de onfança α%: VaR ( x, α) = mn{ z R ψ ( x, z) α} O CVaR, alulado omo a erda méda do valore da artera que exederem o VaR a um dado nível de onfança α%, ode então er defndo omo: CVaR( x, α) = Ε[ L L VaR( x, α)] Rokafellar (22) demontra que a formulação ara o CVaR om o uo de mulação ode também er erta omo: CVaR( x, α ) = + α z L α L z α L > z Conforme areentado or Toaloglou (24), eta formulação do CVaR ode er anda mlfada, adonando-e a varável auxlar y, de tal forma que: 6

7 XIII SIMPEP - Bauru, SP, Bral, 6 a 8 de novembro de 26 y = max{ ; L z} CVaR( x, α) = z + α y Como onderamo aqu que todo o enáro mulado ão equrováve, odemo então defnr a função objetvo omo o CVaR alulado ela oma do VaR da artera om o omatóro onderado da erda ondona além do VaR no dferente enáro mulado: MIN Retrçõe h + V V z + α S y A retrçõe do modelo ão: (4.) π ( δ ) = b π ( + δ ) + x bl(, E ) + x bl(, E ) (4.) = w π h (4.2) + T = w π + x max( π E,) + x max( E π,), S (4.3) T x bl(, E ) + x bl(, E ) w π, I (4.4) V (4.5) R =, S o V (4.6) R = R S R µ (4.7) y L z, S (4.8) L = R, S (4.9) y, S (4.) T w = w + b, I (4.) w T, I (4.2) b, I (4.3) w, I (4.4) x, C (4.5) x, P (4.6) O balanço nal é rereentado na retrção (4.). O álulo do valor da artera nal é rereentado na retrção (4.2). Já o valor da artera fnal, a ada enáro, é alulado ela retrção (4.3). Na retrção (4.4) lmta-e a exoção do nvetdor em açõe. O álulo do retorno ao eríodo da artera, ob ada enáro, é realzado atravé da retrção (4.5). Já na retrção (4.6) momo que o retorno médo eja a méda onderada do retorno do dtnto enáro (que nete ao ão aumdo omo endo equrováve). Ete retorno médo deve atfazer um nível mínmo etulado elo nvetdor, onforme rereentado na retrção (4.7). A retrçõe (4.8), (4.9) e (4.) mõem o álulo da varáve auxlare do CVaR. O balanço de ada atvo é rereentado ela retrção (4.). A retrção (4.4) robe venda a deoberto. Ao nvetdor também não é ermtda a venda de oçõe, é aena 7

8 XIII SIMPEP - Bauru, SP, Bral, 6 a 8 de novembro de 26 ermtda a omra dela ara hedge, onforme rereentado na retrçõe (4.5) e (4.6). O objetvo é roteger o nvetdor no enáro de tre, onde ele, e houvee aumdo oçõe vendda na oçõe, odera ter erda lmtada. 4. Anále do modelo Foram efetuado tete ara a valdação do modelo. No tete realzado fo aumdo um unvero de 3 açõe doníve (PETR4 Petrobrá PN; USIM5 Umna PNA; VALE5 Vale do Ro Doe PNA), além de all e ut obre a mema. O horzonte de nvetmento é de 2 da úte ( mê). A data nal onde a deão de nvetmento erá mlementada é 2//24. Aumu-e que toda a oçõe que omõem o unvero venem na data de horzonte. Foram onderado uto de tranação de 2% obre o valor total da oeração, e uma taxa lvre de ro (CDI) de 6% a.a.. Adotou-e um nível de onfança de 95% ara o álulo do CVaR. O reço da açõe fo mulado atravé da Smulação de Monte Carlo. Foram realzada.5 mulaçõe, orreondendo a.5 trajetóra dferente ara a açõe durante o eríodo omreenddo entre janero e feverero de Atvo A eleção da açõe fo feta de aordo om a ua alta lqudez, o que falta a negoação da açõe e de ua oçõe no merado. Deta forma é vablzada a mlementação de modelo om a arateríta do modelo analado, que tem omo hótee que qualquer atvo ode er negoado a qualquer ntante e em qualquer quantdade. Fo utlzado o htóro de reço ajutado da açõe de 992 a 24. O reço htóro ão ajutado de tal forma que rereentem aena o retorno de fato gerado ela olação no reço da açõe, efetuando orreçõe toda vez que há um lt ou a emão de novo lote de açõe. Para a realzação do tete, foram onderada dua all e dua ut obre ada uma da açõe, uma om reço de exerío ama do reço atual da ação e outra om reço de exerío abaxo. Deta forma o unvero de oçõe doníve fo omoto de 6 all e 6 ut: Tabela 4-: Call doníve no tete realzado Ação objeto To Preço de Exerío PETR4 Call 4 2 PETR4 Call 6 3 USIM5 Call 26 4 USIM5 Call 3 5 VALE5 Call 43 6 VALE5 Call 47 Tabela 4-2: Put doníve no tete realzado Ação Objeto To Preço de Exerío PETR4 Put 4 2 PETR4 Put 6 3 USIM5 Put 26 4 USIM5 Put 3 5 VALE5 Put 43 6 VALE5 Put 47 8

9 XIII SIMPEP - Bauru, SP, Bral, 6 a 8 de novembro de Reultado O modelo fo exeutado ara um retorno anualzado varando de 5% a 75%, em ntervalo de 2%. Deta forma foram alulado 36 artera dferente, ermtndo a ontrução de uma frontera efente (onde o retorno e o CVaR ndado ão ao eríodo, ou eja, ao mê), motrada a egur: Fgura 4-: Frontera efente ara um unvero de 3 açõe, 6 all e 6 ut Para exemlfar a omoção da artera ótma ugerda elo modelo, abaxo etão detalhada a quantdade omrada de açõe e oçõe ara a dua artera detaada no gráfo ama: Tabela 4-3: Comoção da Cartera A e B Cartera A Retorno: 2,4% Cartera B Retorno: 3,72% CVaR: 5,63% CVaR: 8,9% Comoção da Cartera Comoção da Cartera 46. Açõe USIM Açõe USIM5 -. Açõe VALE Açõe VALE Call USIM5 E= Call USIM5 E=3 46. Put USIM5 E= Put USIM5 E=3. Put VALE5 E= Put VALE5 E=47 É ntereante obervar que, ara a dua artera analada, o modelo ugeru que o nvetdor omrae oçõe obre a açõe reente na artera. A reença de dervatvo é atraente ara o nvetdor orque a omra de ut rotege ontra ro de queda da açõe, e a omra de all nrementa o ganho obtdo om a alta no reço da açõe. Deta forma, a oçõe que o nvetdor tomara ao aloar eu atal de aordo om a omoçõe da Cartera A e B, or exemlo, eram: 9

10 XIII SIMPEP - Bauru, SP, Bral, 6 a 8 de novembro de 26 Cartera A Retorno (%a) 2,4% PETR4 Cvar (%a) 5,63% Açõe Qtd PETR4, USIM5 46, VALE5, Oçõe Qtd 2 Call PETR4 (4), 5 USIM5 Call PETR4 (6), Call USIM5 (26), 5 Call USIM5 (3) 6,98 Call VALE5 (43), -5 Call VALE5 (47), 2 Put PETR4 (4), VALE5 5 Put PETR4 (6), Put USIM5 (26), 5 Put USIM5 (3) 46, Put VALE5 (43), -5 Put VALE5 (47), Fgura 4-2 Poonamento do nvetdor reultante da omoção da Cartera A Cartera B Retorno (%a) 3,74% PETR4 Cvar (%a) 8,9% Açõe Qtd PETR4, USIM5 379,2 VALE5 97,5 Oçõe Qtd 3 USIM5 Call PETR4 (4), 2 Call PETR4 (6), Call USIM5 (26), Call USIM5 (3) 89,7 Call VALE5 (43), - Call VALE5 (47), 2 Put PETR4 (4), VALE5 5 Put PETR4 (6), Put USIM5 (26), 5 Put USIM5 (3) 379,2 Put VALE5 (43), -5 Put VALE5 (47) 97,5 Fgura 4-3 Poonamento do nvetdor reultante da omoção da Cartera B 4.3. Robutez Realzaram-e também tete adona ara verfar o deemenho do modelo, onderando-e um nvetdor que, menalmente, utlza o modelo e oona-e de aordo om a artera ótma ugerda. Aena ara exemlfação, aume-e que o retorno anual mínmo, aetável elo nvetdor, é de 35%. Deta forma, não é neeáro alular a frontera efente a ada mê, e m exeutar o modelo aena ara o nível mínmo de retorno etabeledo. A data nal é 2//25 e o htóro utlzado é de 5 ano de dado. O unvero de atvo e oçõe doníve, e o outro arâmetro adotado ão o memo do utlzado na eção anteror. Condera-e que, a ada íno de mê, o nvetdor zera ua oçõe, omutando o retorno de fato realzado da artera, exeuta o modelo om o htóro de reço atualzado do últmo no ano e aloa novamente R$ 5. de

11 XIII SIMPEP - Bauru, SP, Bral, 6 a 8 de novembro de 26 aordo om a omoção da artera ótma ugerda elo modelo. Ete roeo é reetdo menalmente, or todo o ano de 25. Dea forma, o reultado obtdo foram: Tabela 4-4: Quadro reumo menal da artera gerada na mulação durante o ano de 25 Data Inal 3//5 /2/5 4/3/5 5/4/5 5/5/5 6/6/5 5/7/5 3/8/5 /9/5 3//5 3//5 5/2/5 Retorno Eerado 2,5% 2,5% 2,5% 2,5% 2,5% 2,5% 2,5% 2,5% 2,5% 2,5% 2,5% 2,5% CVaR 7,7% 6,5% 5,6% 7,6% 5,3% 9,% 7,3% 5,7% 2,2% 5,9% 5,3% 5,8% PETR USIM VALE Call PETR4 (4) Call PETR4 (6) Call USIM5 (26) Call USIM5 (3) Call VALE5 (43) Call VALE5 (47) Put PETR4 (4) Put PETR4 (6) Put USIM5 (26) Put USIM5 (3) Put VALE5 (43) Put VALE5 (47) Retorno Realzado,% 29,% -4,9% -5,6% -,5% -,% 2,2% 9,% 23,6% -4,4% 2,4% 4,6% Retorno Ibovea -6,% 2,9% -,8% -2,3%,5% -3,4% 8,3% 4,7% 3,9% -2,4% 5,% 5,6% O retorno obtdo ela etratéga do nvetdor ão omarado om um benhmark, rereentado elo índe Ibovea. É ntereante obervar que o retorno realzado ela artera olaram batante, ma aomanhando o movmento areentado elo benhmark Ibovea, que rereenta o movmento de reço da Bola de Valore omo um todo. No entanto, em todo o mee em que houve retorno negatvo, ete não exederam o CVaR alulado elo modelo, motrando que realmente é uma medda de ro adequada. Aumulando-e o retorno mena do quadro reumo anteror, oberva-e que o retorno realzado em um ano (35,95%) uerou o retorno eerado (35%) e o retorno obtdo elo Ibovea (34,29%): 4% 35% 3% 25% 2% 5% % 5% % 95% 9% 85% Retorno Eerado Retorno Ibovea Retorno Realzado 8% Jan Fev Mar Abr Ma Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Fgura 4-4: Comaração entre o retorno aumulado eerado, realzado e do benhmark

12 XIII SIMPEP - Bauru, SP, Bral, 6 a 8 de novembro de Conluão Uma vez que o modelo rooto mnmza o CVaR, ou eja, mnmza-e a erda méda no dvero enáro de reço mulado, o reultado obtdo etão ondzente om o eerado, o oberva-e que o oonamento ugerdo em ada um do atvo dexa o nvetdor rotegdo ontra grande queda da açõe. Fo realzada uma anále de enbldade, tetando-e o modelo om dferente valore ara o egunte arâmetro: Nvel de onfança ara o álulo do CVaR: 95%, 97%, 99%, 99,9%; Fator de deamento EWMA (álulo da matrz de ovarâna):,,,98,,9; Período de dado utlzado da ére htóra (em ano): 5, 7, 9, ; Em toda a mulaçõe realzada o reultado foram ontente entre, to é, a omoção da artera ótma ugerda e o onequente oonamento em ada uma da açõe não vararam muto. Portanto, ondera-e que o modelo é robuto e que o reultado otvo derto na eção anteror não ão rovenente da utlzação de uma ombnação eeífa do arâmetro de entrada. Com o arâmetro utlzado, o modelo gerou um roblema de otmzação lnear, omoto de 6.23 varáve e 6.2 retrçõe lneare. Todo o roedmento de mulação do reço da açõe, rearo do modelo de otmzação e álulo da 36 artera ara a ontrução da frontera efente motrada na eção 4.2, fo exeutado em meno de 5 mnuto no MatLab R26a, em um Athlon64 +3 om gb de Ram. Dea forma onluí-e que o modelo tem uma ótma efêna omutaonal, ermtndo ua utlzação ráta ara a getão de artera de nvetmento. O róxmo ao na ontnuação do trabalho é etender a metodologa aqu utlzada de tal forma que a artera de nvetmento oa ofrer alteraçõe em ua omoção de atvo, ou eja, deenvolver um modelo mult-eríodo. Ea extenão va atar a olaçõe que o atvo odem ofrer durante o temo, de tal forma que eja defnda uma aloação ótma a ada eríodo que maxmze a função utldade total do nvetdor. 6. Bblografa BLACK, F.; SCHOLES, M. The Prng of Oton and Cororate Lablte. Journal of Poltal Eonomy 8, , Mao-Junho 973. BODIE, Z.; KANE, A.; MARCUS, A. Fundamento de Invetmento. Porto Alegre: Bookman, 2. FIGUEIREDO, A. C. Introdução ao Dervatvo. São Paulo: Ponera Thomon Learnng, 25. HULL, J. C. Fundamento do Merado Futuro e de Oçõe. São Paulo: Bola de Meradora & Futuro, 25. JORION, P. Value at Rk: A Nova Fonte de Referêna ara a Getão de Ro Fnanero. 2ª ed. São Paulo: Bola de Meradora & Futuro, 23. JUDICE, J. J.; RIBEIRO, C. O.; SANTOS, J. P. J. Anále omaratva do modelo de eleção de artera de açõe de Markowtz e Konno. Invetgação Oeraonal, v.23, n.2,.2-224, dez. 23. MARKOWITZ, H. M. Portfolo Seleton. Journal of Fnane, v.7, n.,.77-9, 952. LARSEN, N.; MAUSSER, H.; URYASEV, S.; Algorthm for Otmzaton of Value-at-Rk. Reearh Reort 2-9, ISE Det., Unverty of Florda, 2. LEWIS, N. C. Market Rk Modellng. Londre: Rk Water Grou Ltd., 23 ROCKAFELLAR, R.T.; URYASEV, S. Condtonal Value-at-Rk for general dtrbuton. Journal of Bankng and Fnane, v.26, n.7, , 22. TOPALOGLOU, N. A Stohat Programmng Framework For Internatonal Portfolo Management. Unverty Of Cyru, 24. 2