2 Técnicas convencionais usadas na modelagem de sistemas não lineares

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1 Ténas onvenonas usadas na modelagem de sstemas não lneares Ténas onvenonas usadas na modelagem de sstemas não lneares.1. Revsão Bblográfa Os modelos lneares desemenharam um mortante ael no desenvolvmento das ténas de dentfação. Devdo à sua smldade e à faldade de obtenção, são usados ara aroxmar o omortamento de sstemas em determnadas faxas de oeração. Eles desemenham um mortante ael na modelagem de sstemas dnâmos, quando é ossível lmtar a oeração a regões de lneardade. Bllngs (1980) justfa a utlzação de modelos lneares em função da omlexdade otenal dos não-lneares. A neessdade de reresentar de forma mas resa o omortamento nãolnear de sstemas reas levou à busa de reresentações não-lneares. Em (Bllngs, 1980) ode ser vsto um mortante estudo sobre os métodos de dentfação de sstemas não-lneares anterores à déada em questão. Nesse artgo, omo ferramentas ara dentfar sstemas não-lneares, o autor ta os métodos de seres funonas, omo o método de Wener, sére de Volterra e dversas ténas no domíno da freqüêna. Como alternatva, ta os sstemas orentados or bloos, or exemlo artndo em bloo lnear e não lnear, aresentando a formulação geral e os modelos lássos de Wener e Hammersten []. Com relação às séres funonas, o autor aresenta omo desvantagens a omlexdade omutaonal, a dfuldade em, a artr do modelo, nororar

2 Ténas onvenonas usadas na modelagem de sstemas não lneares 0 nformação a ror e de nterretar e estmar araterístas físas do roesso. Com relação aos modelos orentados or bloos, afrma que a searação do sstema modelado em subsstemas lneares e não-lneares é extremamente atratva e ode forneer mortante ajuda no desenvolvmento de ontroladores. Para essa reresentação, salenta a neessdade de esqusas futuras ara smlfar e estender a alação de tas métodos. Vale ressaltar, no trabalho tado, a afrmação do autor que, quando se onheem as equações dferenas reresentatvas do sstema, os métodos ara estmação de arâmetros estão bem estabeledos. Porém, quando aenas um onjunto reduzdo de nformação está dsonível, o roblema de obtenção do modelo e de estmação de arâmetros deve ser nvestgado. Outra observação mortante do autor é a dfuldade usualmente enontrada ara dentfar sstemas não-lneares e a mossbldade de reomendar aenas uma téna aaz de forneer soluções geras e aetáves. Na déada de otenta, surgram dversos novos métodos ara dentfar sstemas não-lneares. Destaa-se nessa fase o aaremento de novas reresentações. Dentre essas, a reresentação NARMAX olnomal roosta em (Leontarts e Bllngs, 1985) e NARMAX raonal (Bllngs e Chen, 1989). Outro onjunto de reresentações que se destaaram na dentfação de sstemas não-lneares no fnal da déada de otenta são as redes neuras. Em todos esses asos, o objetvo era semre o de enontrar reresentações aazes de aroxmar dversas lasses de nãolneardades. Entre as não-lneardades que mereeram atenção de números esqusadores, destaam-se os sstemas om omortamento aóto. Dentro desse amo de alações ode ser tado o trabalho de Casdagl (1989), no qual o autor aborda o roblema de obtenção de modelos redtvos do to RBF a artr de dados temoras.

3 Ténas onvenonas usadas na modelagem de sstemas não lneares 1 Um dos rnas roblemas tados nos dversos trabalhos de esqusa é a dfuldade enontrada na esolha da téna arorada. Város trabalhos surgram om ntuto de ataar tal roblema (Haber e Unbehauen, 1990; Breeden e Pakard, 1994; Agurre, 1994; Judd e Mees, 1995; Mão e Bllngs, 1997). Dsussão dos efetos da sobre-arametrzação em modelos não-lneares é aresentada em (Agurre e Bllngs, 1995). No aso eseífo de modelos NARMAX olnomas, ode-se anda tar o estudo de agruamento de termos (Agurre e Bllngs, 1995). Uma questão de grande relevâna no roesso de dentfação de sstemas nos quas se utlza nformação a ror do sstema em onjunto om dados de entrada e saída meddos no mesmo, é saber quas nformações a reseto do sstema são realmente útes e omo utlzá-las na etaa de seleção de estrutura e de estmação de arâmetros. Um outro onto de nteresse é, anda, determnar que reresentação é aaz de nororar o maor volume de onhemento a ror do sstema. Mas à frente será roosto um novo roedmento, envolvendo mas que uma téna de dentfação (dferentes redes neuras, or exemlo),. Como tal ráta já exste neste amo de trabalho, nlu-se um destes métodos nesta revsão, servndo de referêna ao roosto. Este é o tóo da róxma seção Mstura Adatatva de Sstemas Esealstas Trata-se de um roedmento de arendzagem suervsonado ara sstemas omostos or dversos tos de redes [49]. Cada uma das redes é trenada ara reresentar um subonjunto do jogo omleto de asos do trenamento. Este roedmento ode ser vsto omo uma versão modular de uma rede suervsonada multlayer, ou omo uma versão assoatva da arendzagem do ometdor.

4 Ténas onvenonas usadas na modelagem de sstemas não lneares Se o bakroagaton, omo no aso aresentado em [49], for usado ara trenar uma úna rede multlayer na exeução de sub-tarefas dferentes em oasões dferentes, o roesso ertamente terá arendzagem lenta e erturbada ela desontnudade de oeração. Esta erturbação ode ser reduzda aso se saba em avanço que um jogo de asos do trenamento ode ser naturalmente dvddo em subonjuntos, orresondendo às sub-tarefas dstntas. Isto sera ossível usando um sstema omosto or dversas redes esealstas, aresdas de uma rede seletora, aaz de seleonar quas ténas devem ser usadas ara ada aso do trenamento. Hamshre e Wabel (1989) desreveram um sstema deste to que udesse ser usado quando a dvsão em sub-tarefas é onheda antes do trenamento. Jaobs (1990) desreveu um sstema relaonado que arendesse omo aloar asos às redes. A déa atrás de tal sstema é que a rede seletora aloa um aso novo aos sstemas esealstas através de esos assoados a ada uma destas. Assm não há nenhuma nterferêna entre os esos de redes que se esealzam em asos omletamente dferentes. Os sstemas esealstas são onseqüentemente loas, no sentdo que os esos em um esealsta estão relaonados ao omortamento dos snas de entrada e saída resetvos, é dzer ada esealsta estará aloado somente a uma regão loal equena do esaço de vetores ossíves da entrada. Hamshre, Wabel e Jaobs, tentando estabeleer a loalzação (atrbução de regões loas aos esealstas), usaram omo rtéro a função de erro desrta ela equação (1.1) Suõem que a saída fnal do sstema ntero é uma ombnação lnear das saídas dos esealstas loas, om a rede seletora determnando a roorção de ada saída loal na ombnação lnear. Assm a função de erro é defnda omo: E = d o (1.1)

5 Ténas onvenonas usadas na modelagem de sstemas não lneares 3 onde o o é o vetor da saída do esealsta""; no aso "", é a ontrbução rooronal do "" esealsta; ao vetor ombnado da saída, e d é o vetor desejado da saída no aso "". Esta medda do erro omara a saída desejada om uma mstura das saídas dos esealstas loas ara, assm, mnmzar o erro. Cada esealsta loal deve fazer sua saída anelar o erro resdual que é dexado elos efetos ombnados de todos os esealstas restantes. Este aolamento forte entre os esealstas faz om que ooerem agradavelmente, mas tende a onduzr às soluções em que mutos esealstas são usados ara ada aso. É ossível nentvar a ometção adonando termos da enaldade à função objetvo, ara nentvar as soluções em que somente um esealsta é atvo (Jaobs, 1990), mas uma solução mas smles é redefnr a função de erro, de modo que os esealstas loas sejam nentvados a ometr. Neste aso, ao nvés de ombnar lnearmente as saídas de esealstas à rede seletora, faz-se uma desão estoásta sobre qual esealsta deve ser usado em ada oasão (Fgura 1).

6 Ténas onvenonas usadas na modelagem de sstemas não lneares 4 Saída Seletor estoásto Rede seletora ( Gatng Network ) Saída Saída Saída Esealsta 1 ( Exert Network ) Esealsta ( Exert Network ) Esealsta 3 ( Exert Network ) Entrada Fgura 1 Sstema de redes esealstas e rede seletora: Cada esealsta e a rede seletora é uma rede feedforward O erro é então o valor revsto assoado ao quadrado da dferença entre os vetores desejados e os reas da saída. E = d o = d o (1.)

7 Ténas onvenonas usadas na modelagem de sstemas não lneares 5 Observe que nesta nova função de erro, ada esealsta tem que roduzr todo o vetor da saída e não aenas uma arela deste. Em onseqüêna, o objetvo de um esealsta loal em um aso de trenamento não é afetado dretamente elos esos assoados a outros esealstas loas. Há anda algum aolamento ndreto, orque se outro esealsta mudar seus esos, ode fazer om que a rede seletora altere as resonsabldades que foram atrbuídas aos mesmos. Entretanto, estas mudanças de resonsabldade não odem alterar o snal de erro que um esealsta loal deteta em aso de trenamento. Se a rede seletora e os esealstas loas forem trenados ela desda do gradente nesta nova função de erro (1.), o sstema tende a devotar um úno esealsta ara ada aso do trenamento. Semre que um esealsta dá menor erro do que a méda esada dos erros de todos os esealstas (de aordo om as saídas da rede seletora), sua ontrbução ara esse aso será aumentada, e semre que exede a méda sua resonsabldade será dmnuída. Na referena, é usada outra função de erro, também om bons resultados, mostrada a segur: E = log e 1 d o (1.3) Para ver o orque desta função de erro trabalhar melhor, é útl omarar as dervadas das duas funções de erro om o reseto à saída de um esealsta. Da equação 1. temos: E o = (d o ) (1.4) Enquanto que da equação 1.3 temos:

8 Ténas onvenonas usadas na modelagem de sstemas não lneares 6 E o = j j e e 1 d 1 d o o j (d o ) (1.5) Na equação 1.4 o termo é usado ara esar a dervada ara o esealsta"". Na equação 1.5 fo usado um termo ara esar o esealsta omo o melhor relatvo aos outros esealstas. Esta é uma medda mas útl da relevâna do esealsta no aso de trenamento. É natural ensar que os vetores de dados, om que uma rede ometdora é trenada, joga um ael smlar aos vetores da entrada de uma rede assoatva, que maea os vetores de entrada aos vetores de saída. Esta orresondêna é suosta nos modelos que usam um arendzado omettvo, omo um estágo do réroessamento dentro de uma rede (Moody e Darken, 1989). Uma vsta omletamente dferente, é que os vetores de dados usados na arendzagem omettva, orresondem aos vetores da saída de uma rede assoatva. A rede omettva ode então, ser vsta omo um gerador estoásto de vetores da saída, e a arendzagem omettva ode ser vsta omo o roedmento ara fazer a rede gerar vetores saída, om uma dstrbução que ombne om a dstrbução dos vetores de dados. O vetor eso de ada undade esondda do ometdor reresenta a méda de uma dstrbução gaussana multdmensonal, e os vetores da saída são gerados ela rmera rodução da undade esondda, então a rodução em um vetor de saída de uma dstrbução gaussana, é determnada elo vetor esos da esolha da

9 Ténas onvenonas usadas na modelagem de sstemas não lneares 7 undade esondda. A robabldade de geração de algum vetor saída artular " o " é dada or log P = log * k * e 1 µ o (1.6) onde "" é um índe das undades esonddas, "µ", é o vetor "esos" da undade, "k" é uma onstante normalzada, e "" é a robabldade de olheta da undade esondda "", assm o " " são onfnados ara somar 1. Na lteratura estatísta (MLahlan e Basford, 1988), o " " são hamados mxng roortons". Pode-se ver uma rede omettva omo um gerador de vetores saída. Um sstema de arendzado omettvo onsste de um onjunto de undades oloadas em amadas, herarquamente, nas quas ada amada se oneta, va onexões extatóras, om a amada medatamente ama dela. No aso mas geral, ada undade de uma amada reebe uma entrada de ada undade na amada medatamente abaxo e rojeta saídas ara ada undade na amada medatamente ama dela. Mas anda, dentro de uma amada, as undades são dvddas em lusters (gruos) nbtóros em que todos os elementos dentro de um luster nbem todos os outros elementos dentro do luster. Assm os elementos dentro de um luster, em um nível, ometem um om o outro ara resonder ao adrão que está aareendo na amada abaxo. Quanto mas fortemente qualquer undade artular resonde a um estímulo de hegada, tanto mas ele nb( shuts down ) os outros membros do seu luster (Barto 1985). O uso da rede seletora ermte que a mstura das roorções ( mxng roortons ) dos esealstas sejam determnadas elo vetor da entrada. Isto dá-nos

10 Ténas onvenonas usadas na modelagem de sstemas não lneares 8 um sstema de esealstas loas ometndo om a função de erro defnda na equação Desrção das Ténas Básas Utlzadas Na seqüêna desta roosta desrevem-se ténas básas a serem emregadas no desenvolvmento da esqusa. Estas ténas não são exlusvas da metodologa roosta. Na realdade o método roosto ressuõe a nororação de outras ténas, se assm desejado. Em seguda serão abordadas generamente as ténas RBF e Neuro-Fuzzy...1. Rede RBF em Identfação de Sstemas A rede neural de base radal (RBF), é um aso artular das redes eretron multamada, om uma úna amada de undades oultas. A RBF é onsttuída or três amadas, uma de entrada, uma esondda e uma de saída. Na esondda utlzamse funções de base radal omo função de atvação. Na amada de saída, funções de atvação lneares. Podem-se ressaltar três fases na obtenção de uma rede RBF: a) A esolha da função de base radal a ser usada b) A esolha do número e da osção dos entros ) A estmação dos esos. Têm eseal mortâna na modelagem os arâmetros da rede (entros, raos, esos). Aesar de ser uma boa téna ara a análse de sstemas não lneares, a

11 Ténas onvenonas usadas na modelagem de sstemas não lneares 9 rede RBF aresenta nonvenentes ao estmar os arâmetros em determnadas nãolneardades. Isto oorre mesmo exstndo ténas onsagradas ara a esolha do número de entros (toologa) e estmação dos arâmetros ou esos. Na maora das stuações rátas, om dados orromdos or ruído, a esolha de um número de entros gual ao número de dados não é reomendável or númeras razões. Em qualquer aso, um número de entros muto elevado, além de resultar em elevado esforço omutaonal devdo ao número de esos a serem estmados, ode resultar em sobre ajuste, também hamado de sobrearametrzação Utlzação Proosta Dentre os métodos usados ara a modelagem de sstemas não lneares baseados nas redes neuras temos a rede RBF em multesala, modelando o snal a artr das suas araterístas globas até as artulares, de uma forma muto areda ao roesso das Wavelets. Esta déa de análse multesala nsrou o desenvolvmento da téna roosta. A déa é alar análses suessvas em ada sub-esaço dos snas de entrada e saída, o roesso de dentfação destes sub-esaços será detalhado mas adante. Neste trabalho foram usadas rotnas em Matlab (Insttute for Adatve and Neural Comutaton -Unversty of Ednburgh). Estas rotnas baseam-se em métodos que usam árvores de regressão ara rar um onjunto de RBF s anddatas, mas que dferem na manera em que um subonjunto é seleonado ara omor a rede.

12 Ténas onvenonas usadas na modelagem de sstemas não lneares 30 É mortante detalhar, que estas rotnas ajustam automatamente os arâmetros da rede RBF, de forma a satsfazer o erro de modelagem eserado, motvo fundamental, elo qual foram usadas. Adante, serão usadas redes RBF ara modelar snas eseífos de entrada e saída. É mortante lembrar que os arâmetros de todas elas serão automatamente estmados, tentando satsfazer o erro de modelagem eserado. A desrção detalhada das rotnas e métodos usados odem ser enontrados em junto om exemlos lustratvos.... Lóga Fuzzy O sstema lógo lásso é bastante oderoso ara resolver roblemas, rnalmente em termos de um unverso om dos valores (bnáro). O sstema lógo fuzzy, omo extensão dos sstemas lássos, onsegue manular roblemas em que há város estados de desão, ortanto nlundo o aso bnáro. Além dsso, o sstema fuzzy trata os dados de forma amgável, fazendo uso de onetos lngüístos (mas, menos, maor,...) om uma forma de análse semelhante à do ser humano. O roedmento de raoíno fuzzy ermte a realzação em aralelo da ombnação da arte anteedente da regra om a entrada. Isso faz om que o roedmento fuzzy seja arorado ara ser mlementado em roessadores aralelos. A lóga fuzzy é muto boa na modelagem de sstemas, mas, tal omo a rede RBF, aresenta nonvenentes na estmatva de arâmetros ótmos. Por outro lado,

13 Ténas onvenonas usadas na modelagem de sstemas não lneares 31 um sstema fuzzy tem dfuldade em ldar om algumas araterístas, omo or exemlo, funções de ertnênas e regras to and/or. Em ontraosção, as redes neuras trabalham bem om grandes quantdades de araterístas e lasses [Kna, 1996]. Desta forma, um sstema híbrdo neuro-fuzzy utlza vantagens das duas ténas, fazendo que o sstema seja ato a tratar om dados nertos e nebulosos e que o sstema ossua a habldade do arendzado juntamente om uma estrutura altamente aralela. De uma forma geral, esta revsão rourou não entrar em detalhes em ada uma das ténas tratadas anterormente, evtando artularzar a alação das mesmas. No entanto deve-se realçar que a efêna de ada uma das ténas deende da esolha erta de seus arâmetros, o que usualmente mla em longos roedmentos de teste e de ajuste. No resente trabalho fo usada uma rotna to ANFIS (toolbox Fuzzy- Matlab) a qual é uma função de trenamento usada ara modelar um sstema fuzzy omo uma rede neural om o ajuste de arâmetros resetvos. É mortante alarar, que o rtéro de arada dos trenamentos é feto segundo o erro de modelagem desejado ou o número de terações. Pode aonteer, que o número de terações tenha sdo alançado antes de satsfazer o erro de modelagem. Por outro lado, aumentar o número de terações mla aumentar o temo omutaonal. Mas detalhes deste to de rotna odem ser enontrados em /~myram/aers/ DemoEAnfs.df.