Uma análise aplicada de decisão com opção de venda utilizando cadeias de Markov

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1 UMA ANÁLISE APLICADA DE DECISÃO COM OPÇÃO DE VENDA UTILIZANDO CADEIAS DE MARKOV JOSÉ CÉSAR CRUZ JÚNIOR; RICARDO MENDONÇA FONSECA; LUIZ FERNANDO OHARA KAMOGAWA; ESALQ/USP PIRACICABA - SP - BRASIL cesarcruzjr@hotmail.com APRESENTAÇÃO SEM PRESENÇA DE DEBATEDOR COMERCIALIZAÇÃO, MERCADOS E PREÇOS AGRÍCOLAS Uma análise alicada de decisão com oção de venda utilizando cadeias de Markov Gruo de Pesquisa: 1- Comercialização, Mercados e Preços Agrícolas. 1. INTRODUÇÃO Os mercados futuro e de oções agroecuárias constituem imortantes fontes de roteção e investimento, tanto ara rodutores, quanto ara traders e outras instituições financeiras e não financeiras. O mercado de oções funciona assim, como um dos instrumentos que fazem arte da caixa de ferramentas com que emresas, investidores individuais e institucionais contam ara formação de suas estratégias de comercialização. No intuito de reduzir as incertezas do dia-a-dia, uma vez que ossuem uma gama de diversas oiniões sobre situações que envolvem o mercado, tais agentes odem recorrer ao mercado oções como forma de roteção. (Corrêa e Raíces, 005) Marques e Mello (1999) ressaltam algumas vantagens do mercado de oções em relação aos mercados futuros, tais como limitar os rejuízos do comrador ao valor do rêmio ago; a não necessidade de agamento de ajustes diários or arte do mesmo; e a ossibilidade destes se aroveitarem de ganhos no mercado, caso estes se comorte favoravelmente. Por arte dos lançadores, o mercado de oções ode ser uma imortante fonte de catação de recursos diante do recebimento do rêmio ago elos comradores. No intuito de amliar o número de ferramentas auxiliares na tomada de decisão no mercado de oções, o resente trabalho teve como objetivo a realização de um exercício alicado à venda ou exercício de uma oção de venda (ut) de café arábica na BM&F. 1

2 - REFERENCIAL TEÓRICO.1 MERCADO DE OPÇÕES De acordo com Corrêa e Raíces (005), uma oção é um contrato que dá a seu titular (comrador) o direito de comra ou venda de um ativo a um reço ré-estabelecido, denominado reço de exercício ou strike rice (X), em uma data futura, chamada de data de vencimento. As oções de comra (call) e venda (ut) odem ser classificadas em euroéias ou americanas. Enquanto as oções euroéias odem ser exercidas elo seu titular aenas na data de vencimento, as oções americanas odem ser exercidas a qualquer momento entre a datas de comra e de vencimento. Uma vez que o titular da oção tem o direito de exercê-la ou não, a outra arte, o lançador da oção, assume a resonsabilidade de atender ao direito do comrador. Para que o lançador se disonha a ser exercido, ele recebe um rêmio (C) ago elo comrador. O valor do rêmio ago elo comrador ara ter o direito de exercer a oção seja ela uma call ou uma ut, varia com o temo e é determinado elas forças de mercado. Segundo Corrêa e Raíces (005) alguns dos fatores que determinam o valor do rêmio ago, ou o valor da oção são: 1. tio da oção e exectativa do mercado em relação aos reços do ativo objeto: num mercado bullish as oções de comra são mais rocuradas, de modo que o valor do rêmio ago or estas aumenta com as exectativas dos agentes em aroveitaremse do exercício da comra do ativo a um reço mais baixo no futuro. Por outro lado, num mercado bearish as exectativas de baixa de reços fazem com que a rocura maior seja or oções de venda, fazendo com que o rêmio ago or estas aumente com a exectativa dos agentes em aroveitarem-se do exercício da venda do ativo a um reço mais alto no futuro.. reço de mercado (stock rice) em relação ao reço de exercício: quanto maior a roximidade dos dois reços, maior a robabilidade da oção ser exercida, ortanto, maior seu reço. Por outro lado, quanto mais distantes estiverem estes reços, menor será a robabilidade de exercício da oção e menor também será seu reço. 3. volatilidade do reço do ativo: o reço da oção será tanto maior quanto maior for a volatilidade do ativo subjacente. 4. temo restante até o vencimento: o valor temo de uma oção é diretamente relacionado à distância até seu vencimento, de forma que, quanto mais distante da maturidade do contrato, maior o valor do rêmio. Um investidor que comra uma call esera que o reço de mercado do ativo subjacente (S T ) esteja mais alto que o reço de exercício (X) da oção no futuro. Caso a diferença entre os reços de mercado e de exercício ossibilite ao comrador exercer a oção de comra com lucro, diz-se que a call está dentro-do-dinheiro ou in-the-money (ITM). Caso contrário a call está fora-do-dinheiro ou out-of-the money (OTM). Por sua vez, um investidor que comra uma ut esera que, no futuro, o reço de exercício (X) esteja acima do reço de mercado do ativo (S T ). Caso esta diferença seja suficientemente grande, de modo que o exercício da oção roorcione lucro ao titular da ut, diz-se que ela está dentro-do-dinheiro. Caso contrário ela estará fora-do-dinheiro. A diferença entre o reço de mercado e o reço de exercício é denominada de valor intrínseco. Diante das relações aresentadas anteriormente e assumindo que o valor de uma

3 oção fora-do-dinheiro é zero, os valores intrínsecos ara uma call e uma ut odem ser determinados da seguinte forma: Valor intrínseco ara uma oção de comra (Call): Max (S T - X, 0) Valor intrínseco ara uma oção de venda (Put): Max (X - S T, 0) Assim, o lucro auferido elo comrador de uma call será igual a: Max (S T - X - C, - C) Enquanto isso, o lucro auferido elo comrador de uma ut será: Max (X - S T - C, - C) A Figura 1, a seguir, mostra estas relações ara a comra de uma oção de comra e uma oção de venda euroéias, resectivamente. Lucro ara um comrador de uma oção de comra euroéia (Call) Lucro ara um comrador de uma oção de venda euroéia (Put) Lucro 10 Lucro Preço de mercado -0 Preço de mercado Nota: X = $ 10,00 e C = $ 10,00. Figura 1 Lucro auferido elo comrador de uma call e de uma ut. É interessante notar que o mínimo lucro (ou analogamente a máxima erda) incorrido elo comrador de uma call ou de uma ut é igual ao valor ago elo rêmio da oção. O lançador da oção, or sua vez, ossui exectativas contrárias às do comrador em relação à direção dos reços de mercado quando comarados ao reço de exercício. O lucro auferido elo lançador de uma oção de comra será igual a: Min (X - S T - C, C) = - Max (S T - X - C, - C) Analogamente, o lucro auferido elo lançador de uma ut será: Min ( S T - X - C, C) = - Max (X - S T - C, - C) A Figura resume os resultados ossíveis ara o lançador de uma oção. 3

4 Lucro ara um lançador de uma oção de comra euroéia (Call ) Lucro ara um lançador de uma oção de venda euroéia (Put) Lucro -0 Lucro Preço de mercado -50 Preço de mercado Nota: X = $ 10,00 e C = $ 10,00. Figura Lucro auferido elo lançador de uma call e de uma ut. No resente trabalho, o ativo subjacente à oção é o contrato futuro de café arábica negociado na Bolsa de Mercadorias e Futuros (BM&F) com vencimento em setembro de 005. Desta forma, o contrato de oção negociado é denominado contrato de oções sobre futuro. A diferença básica deste tio de contrato ara os tradicionais contratos de oções é que, uma vez exercida a oção de comra/venda, o titular recebe do lançador uma osição comrada/vendida no contrato futuro do ativo subjacente (contrato futuro de café arábica com vencimento em setembro de 005 na BM&F) mais a diferença entre o reço futuro sobre o de exercício (diferença entre o reço de exercício sobre o futuro, no caso de uma ut). Hull (005) 3 METODOLOGIA 3.1 CADEIAS DE MARKOV, ESTADOS E PROBABILIDADES DE TRANSIÇÃO As cadeias de Markov têm como intuito a consecução de uma matriz de transição entre todos os estados ossíveis (ou considerados). Os ossíveis estados de ocorrência no mercado de oções são aresentados na Figura 3. 4

5 11 Exercer a oção (1) Vender a oção () In the money (3) 34 Out of the money (4) 43 Fonte: Deacon e Faseruk (003). Figura 3: Estados de transição de uma oção de venda. As flechas aresentadas na Figura 3 indicam as direções das ossíveis transições entre os estados, bem as corresondentes robabilidades, ij, de transição entre eles. Com base nesta Figura, uma matriz de transição entre os estados ode ser construída da forma aresentada na Tabela 1. Tabela 1 Matriz de robabilidades de transição Exerce Vende In-the-money Out-of-the-money Exerce Vende In-the-money Out-of-the-money Fonte: Figura 3. A matriz de robabilidade de transição ode ser interretada da seguinte forma: uma vez que a oção encontra-se in-the-money (linha 3), ela ode ser exercida com robabilidade 31, vendida com robabilidade 3, ermancer in-the-money com robabilidade 33 ou ainda, assar ara o estado out-of-the-money com robabilidade 34. Considerando uma oção do tio americana, a transição entre quaisquer estados ode ocorrer em qualquer instante do temo, entre a comra e o vencimento da oção. Ressalta-se que a soma das robabilidades de cada uma das linhas deve ser igual a 1, e ainda que ij 0: 4 j 1 ij 1, i 1,, 3, 4 Uma vez construída a matriz de forma geral, algumas observações odem ser realizadas. Os estados Vende e Exerce são absorventes, ou seja, no caso de ocorrência de cada um deles, não há ossibilidade de ocorrência de nenhum outro estado. Com isto, 11 = 1 e 1 5

6 = 13 = 14 = 0. De forma equivalente, = 1 e 1 = 3 = 4 = 0. Outra observação imortante é que, no caso em que a oção está fora do dinheiro (out-of-the-money), não é racional exercê-la, ois, o ganho seria menor do que simlesmente vender o roduto ao reço exercido no mercado. Assim, tem-se que 41 = 0. Incororando tais informações à matriz de robabilidade de transição reviamente estabelecida, tem-se a matriz reresentada na Tabela : Tabela Matriz de robabilidades de transição reduzida Exerce Vende In-the-money Out-of-the-money Exerce Vende In-the-money Out-of-the-money Fonte: Figura 3. O interesse assa a ser, ortanto, a determinação das robabilidades contidas na matriz de robabilidades de transição reduzida. Deacon e Faseruk (003) sugerem os seguintes rocedimentos ara o cálculo destas robabilidades ij 1. s e, em que s é o desvio adrão das cotações de ajuste do contrato futuro de café arábica com vencimento em setembro de 005 na BM&F.. Ou seja, uma vez que a oção esteja in-the-money ode-se calcular a robabilidade desta ser exercida ela fórmula aresentada. Note que esta robabilidade de transição está fortemente condicionada ao desvio adrão: ara altos valores de s, menor a robabilidade de exercício. C( X S )e,( X S ) ,( X S ) 0 Em que: C: valor do rêmio ago ela oção; X: reço do exercício da oção; S: cotação de ajuste do contrato futuro; : theta da oção, que corresonde à taxa de decaimento do valor da oção no temo. O valor do theta está condicionado à taxa de juros de mercado, ao temo restante ara o vencimento do contrato, à volatilidade do reço de mercado, ao valor do rêmio no momento da decisão e ao reço do exercício S X ex s : volatilidade do reço do contrato futuro; 1 Os cálculos aresentados or tais autores basearam-se em um oção de comra. Ajustes baseados na teoria aresentada na seção deste trabalho foram incororados à análise de oção de venda. Para maiores detalhes ver, or exemlo, Corrêa e Raíces (005) e Hull (1999). 6

7 5. CS X e 4 6. ex S X s A matriz de estado estacionário ode ser obtida através da multilicação sucessiva da matriz de robabilidades de transição reduzida or ela mesma até o onto em que ocorra convergência de seus vetores. No entanto, Deacon e Faseruk (003) sugerem uma forma ara obtenção desta matriz. Reescrevendo-se matriz de robabilidades de transição em quatro sub-matrizes de igual dimensão (X), obtém-se a seguinte matriz T: I 0 T R Q Em que: , 33 Q I , R e A matriz F, que reresenta a matriz de estado estacionário ode ser obtida da seguinte forma: F = (I Q)-1 x R Entretanto, a resolução da matriz inversa, denominada Φ (Φ = (I-Q) -1 ) é a matriz de interesse ara o trabalho. Tal matriz revela as robabilidades de exercício ou venda quando a oção encontra-se in ou out-of-the-money: Inthe money Out of the money Exerce Vende 3 4 Esta matriz é determinada, em termos das robabiliadades ij anteriormente obtidas da seguinte forma: FONTE DE DADOS 7

8 Os dados utilizados são referentes às cotações de fechamento do contrato futuro de café arábica com vencimento em setembro de 005, ao reço de exercício do contrato de oção sobre futuro com vencimento em setembro do mesmo ano e à cotação do último negócio efetuado na negociação do rêmio de tal oção. Todos os dados foram obtidos na Bolsa de Mercadorias e Futuros (BM&F). O contrato de oção sobre futuro de setembro foi selecionado or aresentar-se com um dos mais líquidos. Um vez que este contrato vence no dia 1 de agosto (um mês antes do vencimento do contrato futuro subjacente), o eríodo selecionado ara análise é o eríodo em que o titular da oção forma suas exectativas quanto às otenciais exectativas de exercício ou venda da oção, um mês antes de sua decisão final. Estabeleceu-se, ortanto, um eríodo de duas semanas ara formação destas exectativas, abrangendo, assim o eríodo entre 3/06/005 a 1/07/005. Utilizou-se, também, a taxa do Certificado de Deósito Interbancário (CDI) ara cálculo do theta da oção. Tal informação foi obtida no site do Banco Central do Brasil. 4 RESULTADOS E DISCUSSÃO Antes da realização do cálculo das robabilidades ij roriamente ditas, fez-se necessário o cálculo do desvio adrão e da volatilidade do reço futuro do contrato de café arábica com vencimento em setembro de 005 na BM&F. Tais arâmetros foram também utilizados no cálculo do theta da oção, que reresenta a taxa na qual a oção erde valor no temo. Para tanto, foram também utilizados o valor de mercado da oção de venda de café arábica com reço de exercício de US$ 135,00 (SET96 - U5P135) e o reço do contrato futuro subjacente (vencimento em setembro de 005) com uma taxa de juros igual ao valor do CDI no dia 3 de junho de O valor do theta foi igual a - 0, Todas as cotações e o valor do rêmio foram normalizados em relação ao reço de exercício. De osse destas informações a robabilidades ij foram calculadas e são aresentadas na Tabela 3. Tabela 3 Probabilidades da matriz de transição 31 0,0566% 3 0,3809% 33 69,749% 34 30,875% 4 0,0000% 43 30,875% 44 69,714% Fonte: Dados do trabalho. Assim, a matriz de transição que reresenta os quatro ossíveis estados de ocorrência é aresentada na seqüência: 3 As variáveis utilizadas ara o cálculo do theta da oção de venda foram S = US$ 19,00, X = US$ 135,00, t = 0,0505, s =,7343, = 0,3031, C = US$ 10,35, r = 0,1974. Todos os valores foram anualizados. 8

9 Tabela 4 - Resultado do cálculo da matriz de transição de curto razo Exerce Vende In-the-money Out-of-the-money Exerce 100% 0% 0% 0% Vende 0% 100% 0% 0% In-the-money 0,0566% 0,3809% 69,749% 30,875% Out-of-the-money 0% 0% 30,875% 69,715% Fonte: dados do trabalho. Assim, a matriz de transição aresentada na Tabela 4 reresenta as robabilidades de transição de curto razo. Uma vez que a oção está in-the-money, esta ossui robabilidade de 0,0566% de ser exercida, 0,3809% de ser vendida, 69,749% de ermanecer no mesmo estado, e 30,875% de transitar ara out-of-the-money. Por outro lado, se a oção encontra-se out-of-the-money, ossui robabilidade de 30,875% de transitar ara in-the-money e 69,715% de ermanecer out-of-the-money. Através da matriz de robabilidades de curto razo calculada, ôde-se determinar o vetor de equilíbrio de longo razo. Este vetor determinou que, na situação em que o investidor se encontrava na data de tomada de decisão, este ossuía uma robabilidade reduzida de exercício da oção (1,94%) e uma alta robabilidade de venda desta (87,06%). Assim, o modelo desenvolvido oderia auxiliá-lo na determinação de que a melhor decisão seria vender a oção naquela data. 5 CONCLUSÕES O resente trabalho teve como objetivo o desenvolvimento de uma ferramenta alternativa ara a determinação da decisão do investidor às véseras do vencimento de um contrato de oção de venda de café arábica. Os resultados indicam que é ossível encontrar as robabilidades de exercício ou venda da oção com base nas informações contidas no mercado futuro em eríodo ré-estabelecido, anterior à sua decisão final. O acomanhamento rigoroso do mercado em eríodos róximos ao vencimento da oção, no entanto, arece ser de grande imortância, uma vez que os arâmetros utilizados ara cálculo das matrizes de transição (variância e desvio adrão do reço futuro, assim como o theta da oção) têm grande imacto na determinação das robabilidades de curto e longo razo. Fica como sugestão a realização de trabalhos futuros que analisem outras commodities e determinem novas formas de cálculo das robabilidades. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Banco Central do Brasil. (Acesso em 01 fev. 006). Bolsa de Mercadorias e Futuros. (Acesso em 01 fev. 006). Corrêa, A. L., Raíces, C. Derivativos Agrícolas. São Paulo: Globo, 005. Deacon, C. G., Faseruk, A. J. Pratical solutions using markov chains to describe otion state. Journal of Financial Management & Analysis. Vol 16, 1, Jan-Jun 003. Marques, P. V., e Mello, P. C. Mercados futuros de commodities agroecuárias: exemlos e alicações aos mercados brasileiros. São Paulo : Bolsa de Mercadorias & Futuros,

10 Hull, J. Otions, futures and other derivatives. New Jersey: Prantice Hall, 4 th ed Hull, J. Fundamentos dos mercados futuros e de oções. São Paulo: BM&F, 4ª. ed