Aplicação de Teoria de Jogos à Alocação de Capacidade Firme em um Sistema Térmico

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1 Gutavo Alberto Amaral Ayala Aplcação de Teora de Joo à Alocação de Capacdade Frme em um Stema Térmco ertação de Metrado ertação apreentada como requto parcal para obtenção do rau de Metre pelo Prorama de Póraduação em Enenhara Elétrca do epartamento de Enenhara Elétrca da PUC-Ro. Orentador: Prof. Crtano Auuto Coelho Fernande Ro de Janero Abrl de 2008

2 Gutavo Alberto Amaral Ayala Aplcação de Teora de Joo à Alocação de Capacdade Frme em um Stema Térmco ertação de Metrado apreentada como requto parcal para obtenção do rau de Metre pelo Prorama de Pó- Graduação em Enenhara Elétrca do epartamento de Enenhara Elétrca do Centro Técnco Centífco da PUC- Ro. Aprovada pela Comão Examnadora abaxo anada. r. Crtano Auuto Coelho Fernande Orentador epartamento de Enenhara Elétrca PUC-Ro r. Luz Auuto Nóbrea Barroo PSR Conultora Ltda r. Séro Granvlle PSR Conultora Ltda Prof. Joé Eueno Leal Coordenador Setoral do Centro Técnco Centífco - PUC-Ro Ro de Janero, de abrl de 2008

3 Todo o dreto reervado. É probda a reprodução total ou parcal do trabalho em autorzação da unverdade, do autor e do orentador. Gutavo Alberto Amaral Ayala Graduou-e em Enenhara Elétrca na PUC-RJ em 2005 na área de Stema de Apoo à ecão. Etaou na emprea PSR Conultora em 2005, onde partcpou de etudo relaconado à avalação fnancera de projeto; deenho de tarfa; erencamento de rco. Obteve o rau de Metre em Economa Matemátca no IMPA em feverero de Fcha Cataloráfca Ayala, Gutavo Alberto Amaral Aplcação de teora de joo à alocação de capacdade frme em um tema térmco / Gutavo Alberto Amaral Ayala ; orentador: Crtano Auuto Coelho Fernande f. ; 30 cm ertação (Metrado em Enenhara Elétrca Pontfíca Unverdade Católca do Ro de Janero, Ro de Janero, Inclu bblorafa. Enenhara elétrca Tee. 2. Proramação etocátca. 3. Medda de rco. 4. Certfcado de capacdade frme. 5. Teora do joo cooperatvo. 6. Shpley. I. Fernande, Crtano Auuto Coelho. II. Pontfíca Unverdade Católca do Ro de Janero. epartamento de Enenhara Elétrca. III. Título. C: 62.3

4 Ea dertação é dedcada a mnha famíla.

5 Aradecmento Aradeço a mnha mãe e ao meu rmão pelo apoo, carnho e ncentvo. Ao meu orentador Maro Vea pela oportundade e pela excelente e competente orentação em toda a etapa da tee. Ao profeor e orentador Crtano Fernande pela orentação e pela oportundade concedda. Ao profeor e orentador Sero Granvlle pela dedcação, orentação, contrbuçõe e apoo. Ao amo Raphael Chabar pela dedcação e contrbução no deenvolvmento da tee. Ao amo Luz Auuto pelo apoo, motvação e pela dcuõe fundamenta para o deenvolvmento da tee. Ao amo Bernardo Bezerra e Alexandre Street pela motvação, apoo, dedcação e dcuõe dára. Ao amo Luz Carlo pela dcuõe e contrbuçõe. Ao Geron Couto pela revõe mnucoa. Aradeço também a PUC - Ro pelo excelente ambente de pequa. E a todo da PSR que me proporconaram um excelente ambente para a dcuõe e deenvolvmento da tee.

6 Reumo Ayala, Gutavo Alberto Amaral; Fernande, Crtano Auuto Coelho (Orentador. Aplcação de Teora de Joo à Alocação de Capacdade Frme em um Stema Térmco. Ro de Janero, p. ertação de Metrado - epartamento de Enenhara Elétrca, Pontfíca Unverdade Católca do Ro de Janero. O objetvo deta dertação é analar a aplcação de metodoloa de alocação de capacdade frme de una termelétrca atravé da teora do joo cooperatvo e ua coneqüênca na cooperação entre o aente. Motra-e que não exte uma manera ótma, únca, de e fazer eta repartção, ma extem crtéro para verfcar e uma metodoloa de repartção epecífca apreenta alum apecto nadequado. Um dee crtéro é a jutça. Motra-e que ete entdo de jutça equvale a pertencer ao chamado núcleo de um joo cooperatvo, onde não há ubído de um ubrupo por outro. O cálculo da capacdade frme ou Capacdade de Suprmento de Cara erá formulado como um problema de otmzação lnear e erão nvetada vantaen e devantaen de dtnto método de alocação (benefíco marna, últma adção, Nucleolu, Shapley. A aplcação dee método tem um crecmento exponencal de eforço computaconal, o método de Aumann-Shapley abordado em euda fornece para o problema de alocação de capacdade frme uma olução computaconal ma efcente, embora em ua decrção aparentemente o método aumente o eforço computaconal. Em euda foram realzado reultado numérco com tema enérco de pequeno porte. Palavra-chave Capacdade Frme, Mercado de Capacdade, Teora do Joo Cooperatvo, Otmzação Etocátca, Aumann-Shapley, medda de Rco.

7 Abtract Ayala, Gutavo Alberto Amaral; Fernande, Crtano Auuto Coelho (Advor. Allocaton of Frm Capacty Rht Amon Thermal Plant: A Game Theoretcal Approach. Ro de Janero, 2008, 09p. MSc. ertaton - epartamento de Enenhara Elétrca, Pontfíca Unverdade Católca do Ro de Janero. The objectve of th work to nvetate the applcaton of dfferent methodoloe of allocaton of frm capacty rht amon thermal plant un a ame-theoretc framework and the conequence n the cooperaton amon the aent. It hown that there not an optmal and unque approach to make th allocaton but there are crtera to verfy f a ven approach preent any nadequate apect. One of thee crtera the jutce, or farne. It hown that a one ene of jutce equvalent to the condton of the core of a cooperatve ame. The calculaton of the frm capacty wll be formulated a a lnear proram and advantae/dadvantae of dfferent allocaton method (marnal allocaton, ncremental allocaton, Nucleolu, Shapley wll be nvetated. The complexte of thee method are exponental, o t wll be hown that the Aumann-Shapley (AS cheme to the problem of allocaton of capacty rht wll be more effcent. Numercal reult about the dfference allocaton n thee method are preented n eneral mall ytem. Keyword Frm Capacty, Capacty Market, Cooperatve ame theory, Stochatc Optmzaton, Aumann-Shapley, Rk meaure.

8 Sumáro. Introdução 2.. O proceo de Reforma no Setor Elétrco e a aranta de expanão da oferta 2.2. Uo do certfcado para aeurar Seurança no Suprmento 5.3. Capacdade Frme de um tema 6.4. Cálculo da CS de um tema 6.5. Capacdade Frme x Enera Frme 8.6. A repartção do certfcado de Capacdade Frme entre o eradore 9.7. Objetvo 9.8. Oranzação da Tee Modelaem Probablítca Repreentação da varável aleatóra capacdade de eração Convolução Crtéro de Confabldade 3.. Medda de Confabldade Medda de Rco Medda de Rco Coerente Cálculo do Certfcado de Capacdade Frme 4.. Cálculo da Capacdade de Suprmento da emanda (CS Senbldade com Relação à Potênca vdndo anho entre dua una: um conceto de jutça Teora do Joo Cooperatvo 5.. Revão Bbloráfca Conceto Báco O Conceto de Núcleo de um joo Condção para um joo cooperatvo Alocação Marnal do Benefíco 6.. Noção Intutva da Alocação Marnal Alocação no Núcleo Núcleo do Joo Não Vazo Vantaen e evantaen do Método O Método do Nucleolu 7.. efnção do Nucleolu Prncpa Reultado da Alocação por Nucleolu ecrção do Método do Nucleolu Vantaen e devantaen do método O Método de Alocação de Shapley Método por Ganho Incremental Método de Shapley 76

9 9. Alocação de Aumann-Shapley vão do Aente O proceo lmte Extenõe do método de Aumann-Shapley Aumann-Shapley para Cálculo de Certfcado de Capacdade Frme Reultado da Aplcação do Método de Alocação Cao com trê una Cao com dez una 93. Concluõe e Trabalho Futuro 98.. Concluõe Trabalho Futuro Referênca bbloráfca Apêndce Anále da retrçõe do problema de maxmzação da cara CVaR como aproxmação convexa do VaR 05

10 Lta de Fura Fura. Varação da Oferta e emanda ao lono do tempo 7 Fura 2. Convolução do Geradore 23 Fura 3. - Ilutração da Convexdade do operador [.] + 3 Fura 4. Comportamento da retrção EENS em função de 40 Fura 4.2 trbução de eração de Capacdade obtda por Convolução 43 Fura 4.3 Repreentação eométrca do núcleo 48 Fura 8. vão ualtára do anho com a cooperação 78 Fura 0. Alocação de potênca frme para trê una 93 Fura 0.2 Alocação de potênca frme para dez una 97 Fura 3. Ilutração da melhor aproxmação convexa para ( 0, ( z 08

11 Lta de tabela Tabela 3.. Exemplo - ado da una térmca 35 Tabela 3.2. Exemplo - Cenáro de capacdade 35 Tabela 4.. Exemplo - ado da una térmca 45 Tabela 4.2. Exemplo - Cenáro de capacdade 46 Tabela 4.3 Soluçõe propota de repartçõe de Capacdade Frme 47 Tabela 5.. Exemplo - ado da una térmca 54 Tabela 5.2 Capacdade Frme da Coalzõe 55 Tabela 5.3 Alocaçõe de capacdade Frme da una na Solução 56 Tabela 5.4 Alocaçõe de capacdade Frme da una na Solução 2 56 Tabela 5.5 Alocaçõe de capacdade Frme da una na Solução 3 56 Tabela 6.. ado da una térmca 68 Tabela 6.2 Alocaçõe de capacdade Frme da una na Solução 2 68 Tabela 7. Alocaçõe de capacdade Frme da una na Solução 70 Tabela 7.2 Alocaçõe de capacdade Frme da una na Solução 2 7 Tabela 8. Alocaçõe de Shapley 80 Tabela 0.. ado da una térmca 90 Tabela 0.2. Capacdade Frme 9 Tabela 0.3. Nucleolu 92 Tabela 0.4. Shapley 92 Tabela 0.5. Reumo do certfcado de Capacdade Frme 93 Tabela 0.6 Caracterítca da una que compõem o tema 94 Tabela 0.7 Reumo do certfcado frme do método 94

12 Introdução. O proceo de Reforma no Setor Elétrco e a aranta de expanão da oferta O deenho nttuconal do etor elétrco de qualquer paí tem como objetvo prncpal nduzr um fornecmento de enera elétrca confável, arantndo a eurança do atendmento à demanda e a expanão da oferta de enera de manera efcente, o que é traduzdo em tarfa módca para o conumdor fnal [38, 39, 40, 4]. Vando atnr ete objetvo, dede o níco do ano 90, a ndútra de eletrcdade em muto paíe vem paando por um proceo de reetruturação com ênfae na ntrodução de competção em eu emento, e, com o, bucando uma maor efcênca para o conumdor fnal. Embora o detalhe do proceo de reforma e o deenho nttuconal ejam dferente em cada paí [38], a oranzação eral, na maora do cao, paa pela ubttução do planejamento centralzado, tanto da operação quanto da expanão do tema, por procedmento de mercado, onde o aente eradore ão lvre para tomar ua decõe de nvetmento (lono-prazo e produção (curto-prazo, endo também reponáve pelo rco decorrente deta decõe. Um do componente báco do proceo de reetruturação é o mercado atacadta de enera de curto prazo, ou mercado pot, onde ocorrem toda a tranaçõe à vta de compra e venda de enera elétrca no atacado. O preço pot de enera, reultante do equlíbro oferta x demanda de eletrcdade é o ma mportante ubproduto do mercado pot, e fornece o valor (preço da enera no mercado à vta. eta forma, aplcam-e ao etor elétrco o fundamento báco da teora econômca [28], onde o preço de qualquer mercadora num ambente de mercado reulta do equlíbro entre a oferta e demanda do produto ubjacente.

13 3.. Sna do Mercado de Curto Prazo e a Expanão da Oferta Com a cração do mercado pot, o na para a necedade de novo nvetmento para a expanão da oferta de enera eram baeado no preço pot; um aumento na demanda de enera ao lono do tempo reultara num aumento no preço pot de enera, que motvaram a entrada de novo nvetdore e projeto. Com o, o equlíbro do mercado elétrco era retaurado. Embora com detalhe de mplementação dferente, muto paíe reformaram eu etore elétrco baeado nete prncípo durante a década de 90. Nete período obervaram-e aluma experênca potva, entretanto verfcou-e que a utlzação pura da remuneração pot para arantr a expanão da oferta pode er muto arrcada. A razão é que o nal econômco fornecdo pelo preço pot pode er batante volátl para nduzr corretamente a entrada de nova capacdade. A enera elétrca não é um produto etocável devendo er produzdo quae que ntantaneamente. O conumo total de enera vara batante ao lono do da e do ano, dependendo da temperatura, da condçõe metereolóca e mudança econômca. Loo, a demanda por enera pou alta volatldade e o reulta em elevada varabldade do preço pot em tema térmco. Em tema com forte partcpação hdroelétrca, a ocorrênca de condçõe hdrolóca favoráve pode baxar temporaramente o preço pot anda que extam problema etrutura na oferta. Também fo obervado que em tema hídrco o preço pot aumentam ubtancalmente omente quando e etá muto próxmo de uma cre de uprmento, quando não há ma tempo para fazer nvetmento [38, 39, 42] e aumenta a chance de haver cre de uprmento de enera, prncpalmente no curto prazo. Em reumo, a volatldade do preço de curto prazo torna o nvetmento em eração batante arrcado e ncerto, memo que a renda méda futura de um projeto eja atratva. Ete tema é detalhadamente analado em [43].

14 4..2 Paamento por Capacdade Para alvar eta dfculdade, uru no níco da década de 80 o conceto de paamento por capacdade. O problema ubjacente era a remuneração do chamado equpamento de reerva, que ão eradore com alto cuto operatvo varável, ma que memo produzndo enera eventualmente quando eradore ma efcente falham, ão neceáro para a confabldade do tema. Embora, na ocaõe que ee eradore produzem enera o preço eja muto alto, o fluxo de receta é muto volátl e não há ncentvo para que ee eradore contnuem operando. Como coneqüênca, houve a preocupação que ee eradore dexaem de extr, afetando am a confabldade do tema. No Reno Undo, ea preocupação levou, no níco da década de 90, a cração do chamado paamento por capacdade, que podem er nterpretado como um contrato obratóro entre conumdore e eradore. A cada hora, um modelo matemátco calculava a probabldade de perda de cara (LOLP do tema e a multplcava por um preço, C def, que repreenta o cuto do corte de cara para a ocedade, reultando em um valor em ($/MWh que pode er nterpretado como uma receta méda por undade para o eradore em tuaçõe de ecaez da oferta. Então, ee valor era pao a todo o eradore pela ua potênca dponível. Em cao de falha, o erador não receba o paamento por capacdade durante a hora falhada...3 Paamento por Capacdade e certfcado de Capacdade Frme Conforme vto na eção anteror a maor motvação para paamento por capacdade no Reno Undo fo um etímulo para que o eradore de reerva não foem retrado do mercado. Em teora, ee paamento podem também prover ncentvo para a entrada de nova capacdade. No cao do Reno Undo o paamento ão proporcona a LOLP do tema e aumentam conforme a probabldade de não atendmento da demanda. O objetvo era então fornecer na econômco para

15 5 arantr um nível adequado de nvetmento para eração de capacdade de acordo com a redução da marem de reerva do tema. Embora concetualmente efcente ete mecanmo pouía aluma devantaen. A prmera era o fato do paamento por capacdade varar em função da LOLP, que por ua vez era calculada por um modelo matemátco que dependa da reerva do tema e pouía forte varabldade. Adconalmente, a LOLP era faclmente manpulada por emprea eradora com portfólo de una, que muta veze declaravam aluma de ua undade ndponíve de forma a dmnur a marem de reerva no tema e elevar a LOLP, que por ua vez elevava o paamento por capacdade e benefcava outro eradore dponíve da emprea. Com o, a varânca do paamento por capacdade e ua fácl manpulação paaram a er um problema e o equema nlê fo encerrado em 999. Para alvar eta dfculdade, muto paíe da Amérca Latna adotaram no fnal da década de 90 um paamento por capacdade reulado (fxado pelo reulador, que era pao a cada erador pela ua contrbução para a confabldade do tema. O objetvo era evtar a volatldade do preço da capacdade obervada no equema nlê, ubttundo-o por um mecanmo ma etável e que também etmulae um nível de confabldade adequado ao tema. Nete novo equema, cada erador pou um certfcado de capacdade (por potênca frme, que é um valor em MW que reflete a contrbução do erador para a confabldade do tema e receba o paamento em função dete certfcado, não ma em função de ua dponbldade hora a hora (obvamente o erador precava cumprr requto de dponbldade para ter o certfcado. Ma recentemente, alun paíe como a Colômba têm realzado lelõe para determnar o paamento por capacdade..2 Uo do certfcado para aeurar Seurança no Suprmento O fato de que cada projeto de eração pour um certfcado de potênca frme, permte o uo da oma de certfcado de capacdade frme como uma medda convenente e tranparente para a eurança de uprmento do tema. Se o total de capacdade frme for maor ou ual à demanda total do tema, a Seurança no

16 6 Suprmento pode er conderada adequada, cao contráro é neceáro encontrar nova capacdade frme para manter o equlíbro entre oferta e demanda. Em reumo, o certfcado de potênca frme de cada erador paou a ter uma mportânca fundamental na confabldade de uprmento de tema de enera elétrca. Portanto, eu cálculo deve etar o ma correto poível, ob o rco de porar a confabldade do tema..3 Capacdade Frme de um tema Como menconado, a capacdade frme de uma una é uma medda da máxma potênca que a una pode prover dado um crtéro de confabldade etabelecdo pelo reulador. Ete conceto pode er etenddo para um conjunto de una, ou eja, a capacdade frme do tema formado pelo conjunto de eradore é a máxma demanda que o conjunto de eradore coneue atender com um nível de confabldade. A capacdade frme do tema também é conhecda como Capacdade de Suprmento total da emanda (CS. Nete ponto, ure outro apecto ntereante. Não ó o cálculo da CS deve etar correto, capturando a confabldade do tema, como a alocação da contrbução ndvdual de cada erador à CS total deve etar bem calculada, uma vez que o certfcado ndvdua defnrão a receta dete eradore no paamento por capacdade..4 Cálculo da CS de um tema A fura a eur motra a varação da demanda e oferta ao lono do tempo para um tema elétrco. Explctando: o défct de potênca, a everdade (duração do corte de cara, a enera não uprda (ENS, a manutenção proramada do eradore elétrco dmnundo a capacdade ntalada naquele ntante de tempo e a aída forçada caracterzada por falha mecânca no eradore.

17 7 Fura. Varação da Oferta e emanda ao lono do tempo A curva azul repreenta a demanda por enera e a curva verde, a dponbldade do eradore. Oberve que, dependendo da manutençõe proramada (conhecda exante e da quebra do equpamento (fenômeno aleatóro, a marem de reerva de um tema pode er reduzda e até memo cauar défct. ea forma, o cálculo da Capacdade de Suprmento da demanda (CS de um tema térmco pode er feto tradconalmente atravé de modelo probablítco que mulam quebra e falha do eradore. Ete modelo permtem capturar a extênca da dverdade de cenáro de capacdade. Eta pobldade fazem com que, atravé de uma operação conjunta, a una conam atender a uma demanda maor que a oma da demanda que cada uma coneura atender e operaem ndvdualmente. A razão é que, é pouquímo provável que todo o eradore falhem multaneamente. Com o a Capacdade de Suprmento da demanda total pelo tema aumenta. Portanto, exte um anho nérco de demanda frme, que reulta da ação cooperatva de todo o aente do tema. Oberve que o cálculo da CS depende dretamente do crtéro de confabldade adotado no modelo de confabldade.

18 8.5 Capacdade Frme x Enera Frme Neta dertação vamo conderar tema conttuído por una térmca. Em tema em que o número de una hdráulca é nfcatvo, deve-e levar em conderação a confabldade de uprmento de enera, dado que una hdráulca pouem retrçõe em enera, como veremo na eção.2 (trabalho futuro. Una hdrelétrca bacamente pouem uma capacdade ntalada batante uperor a ua produção méda de enera. A razão é o alto cuto com obra cvl em ua contrução comparado com o cuto de e ntalar uma turbna. Em função dto a hdrelétrca ntalam o maor número poível de turbna com o objetvo de aprovetarem a dverdade hdrolóca. Quando a hdroloa é favorável, a una hdrelétrca podem erar alto níve de enera em pouco tempo com um cuto marnal muto baxo, po pouem uma elevada capacdade ntalada. Quando a hdroloa é defavorável, a hdrelétrca não coneuem manter uma capacdade de produção elevada por muto tempo, ou eja, exte uma retrção em enera. Para ta tema, o cálculo do certfcado de capacdade frme deve-e levar em conderação a retrçõe de enera da una hdrelétrca. Em paíe com bae de eração predomnantemente hdráulca, como é o cao do Bral, a capacdade ntalada tende a er batante elevada em relação à demanda, como vto anterormente. Portanto, não exte a preocupação do não atendmento a demanda de ponta. Po, memo ocorrendo falha em muto eradore o tema pou uma marem de reerva batante elevada para uprr a demanda no patamar de cara peada. Com o, a prncpal preocupação em tema com bae hdráulca, é a confabldade do uprmento em enera. eta manera, ure o conceto de enera frme. Ete conceto é parecdo com o de potênca frme, ou eja, é a máxma cara que o tema coneue atender, em que haja défct, ou um défct pouco provável (controlado, porém nete cao deve-e mular a operação do tema para todo o htórco de vazõe e o atendmento da cara é em enera. Outro apecto mportante em una hdroelétrca é que ua capacdade de produção vara com a altura de queda da una: quanto menor o nível do reervatóro menor a capacdade de produção.

19 .6 A repartção do certfcado de Capacdade Frme entre o eradore 9 Como menconado anterormente, a Capacdade de Suprmento da emanda (CS de um tema mede a capacdade total de uprmento frme de um tema. Um tema ntereante é determnar a contrbução ndvdual de cada erador à CS total. Ete tema é eencal, uma vez que o certfcado ndvdua defnrão a receta dete eradore no paamento por capacdade, e faz parte da clae de problema era de alocação de cuto e benefíco entre aente que cooperam para produzr um ervço em comum, como uma bbloteca, uma rodova, etc. Nete cao, o bem comum é confabldade do tema erador de enera. A teora do joo cooperatvo [8][2], erá utlzada como bae para o deenvolvmento dete trabalho. Em partcular, erão analada a alocaçõe baeada em núcleo de joo cooperatvo [7][2], e a alocação de Aumann-Shapley [2][2][7] [8]. O capítulo 4 fornece o conceto báco que erão utlzado da teora do joo cooperatvo ao lono da tee..7 Objetvo Ete trabalho tem trê objetvo prncpa: ( analar o problema do cálculo da Capacdade de Suprmento da demanda total de um tema térmco ob a ótca de crtéro de rco para medr a confabldade de um tema elétrco; ( analar a repartçõe do benefíco da ação conjunta do aente fornecendo alocaçõe juta, robuta quanto ao tamanho do recuro aportado por cada aente, e que eja efcente economcamente; ( lutrar a aplcação da metodoloa de alocação para tema enérco de pequeno porte.

20 20.8 Oranzação da Tee Eta dertação etá oranzada no eunte capítulo: Capítulo 2 defne a modelaem probablítca uada para repreentar a quebra do eradore. Capítulo 3 dcute crtéro de confabldade que ão uado tradconalmente por reuladore no etor elétrco. Capítulo 4 dcute o cálculo da Capacdade Frme de um tema,.e., o cálculo da Capacdade de Suprmento de Cara de um tema. Etuda-e uma prmera déa de jutça (núcleo de um joo ao e dearear o benefíco da operação nterada entre o aente. Incentvo a cooperação entre o aente. Capítulo 5 dcute o conceto neceáro da teora do joo cooperatvo para a aplcação do método de alocação de potênca frme. E crtéro de deareação da Capacdade Frme entre o eradore. Capítulo 6 etuda-e o método da alocaçõe por benefíco marnal. Utlza-e o conceto da teora marnalta, motra-e que ta alocaçõe ão efcente do ponto de vta que não há deperdíco na alocaçõe, alocaçõe de Pareto. Motra-e também que o conceto de jutça formulado pelo núcleo é lmtado. Capítulo 7 dcute o método do Nucleolu. O método do Nucleolu produz uma alocação únca, obtendo-e uma rera prátca do ponto de vta em que não há ambüdade para ecolher a alocaçõe. A prncpal devantaem do método do Nucleolu é o caráter combnatóro da retrçõe, que crecem com 2 N, onde N é o número de aente. Capítulo 8 dcute o método de últma adção motrando ua lmtaçõe, como o efeto da ordem de entrada da una. cute-e uma olução, o método de Shapley. Ete atende a propredade deejada na alocaçõe como: efcênca, metra, joador rrelevante e lneardade. Capítulo 9 dcute o Método de Aumann-Shapley (AS para a alocaçõe.

21 2 Capítulo 0 anala reultado numérco do método de alocação abordado ao lono da tee com tema de até 0 una. Capítulo apreenta a prncpa concluõe do trabalho e uetõe para pequa poterore

22 2 Modelaem Probablítca Nete capítulo, vamo defnr a modelaem probablítca uada para repreentar a aída forçada do eradore térmco e motrar o proceo de cálculo da probabldade do cenáro de capacdade de eração de um tema (convolução. 2. Repreentação da varável aleatóra capacdade de eração A varável aleatóra X repreenta a capacdade de eração do equpamento. Tpcamente condera-e que a capacdade de eração tem uma dtrbução de Bernoull,.e.: X = 0, com probabldade p ; X = c, com probabldade ( p. erador. onde c é a capacdade máxma do erador. E p é a probabldade de falha do 2.2 Convolução Seja S o número total de cenáro de capacdade de eração, obtdo por combnação do cenáro de falha e funconamento de cada um do eradore, e eja q a probabldade aocada ao cenáro, obtda por multplcação da probabldade de falha ou funconamento de cada erador. Condere um tema com N undade eradora. Seja uma varável aleatóra que repreenta a potênca total dponível, defnda como: = X + X X N

23 Onde cada varável aleatóra X repreenta a potênca dponível da -éma undade do tema erador. Seja, uma função ndcadora que aume o valor quando a una etá operando e aume valor zero quando a una não etá produzndo. O uporte da dtrbução de é dado por: 23 = N =, c manera: E o valore da probabldade ão computado por convolução da eunte q = N = p ( + ( p Ou eja, a probabldade q aocada ao cenáro é a multplcação da probabldade p e a una falhou ou (-p e a una não falhou no cenáro para toda a una. Nete ponto, etamo aumndo que a falha do eradore ão ndependente. Abaxo eue a lutração da função dendade de probabldade da capacdade de um tema. q q + q +2 q n + +2 n Fura 2. Convolução do eradore

24 24 evdo ao caráter combnatóro do problema, o número de cenáro crece exponencalmente com o número de eradore. Por exemplo, e conderarmo um tema com 30 eradore, endo a capacdade de eração de cada um dele uma varável aleatóra com dtrbução de Bernoull, o número total de cenáro de capacdade erá de 2 30, que é da ordem de um blhão. No noo contexto, não vamo conderar um proceo efcente de convolução, po o tema conderado é de pequeno porte. Porém, no capítulo 4, no cálculo da enbldade máxma da demanda atendda quando e vara a capacdade de um erador é conderado um proceo de convolucão qualquer. Tal cálculo é ufcente para determnarmo a alocação de Aumann-Shapley e de Contrbução Marnal, e am ete método podem er mplementado utlzando um alortmo de convolução numérca. Método de convolução efcente podem er encontrado em [44].

25 3 Crtéro de Confabldade Uma da funçõe do reulador conte na defnção de crtéro de confabldade. efne-e um conjunto de rco acetável e uma medda de rco para determnar e o rco de uma determnada poção pertence ou não pertence ao conjunto de rco acetável. Nete capítulo, vamo apreentar medda de rco uada no etor elétrco e em fnança, a defnção de medda de rco coerente, eudo da anále de ua propredade. 3. Medda de Confabldade Uma medda de confabldade uada tradconalmente no etor elétrco como crtéro de planejamento e decõe de nvetmento para adequação da eração a demanda é a LOLP, defnda abaxo: efnção: LOLP (Lo of Load Probablty LOLP = P(r > 0, ou eja, é a probabldade de perda de cara; r é a varável aleatóra que repreenta o corte de cara,.e., r = max(,0, é a varável aleatóra que repreenta a eração de capacdade do tema, é a demanda do tema. Oberve que P(r > 0 = P( <. ado um nível de confabldade (0,, podemo obter o quantl aocado a LOLP defndo por: = up {:LOLP }, ou eja, a máxma demanda que atfaz a retrção em probabldade LOLP. Para uma dtrbução dcreta de uporte fnto,.e., uma varável aleatóra que aume um número fnto de etado repreentado pelo cenáro =,..., S, pode er calculado atravé de um problema de proramação lnear ntera. Suponha que

26 cada cenáro pou uma probabldade q aocada. Ecolhemo o índce tal que... S. Então, é o quantl 26 = up {:LOLP } = Max (3. ujeto a + x M, =,, S (3.2 qx (3.3 x x +, =,..., S (3.4 x { 0,}, =,..., S (3.5 Onde: S é o número de cenáro ndexado por ; = eração em cada cenáro ; M = é um número rande ufcente, de modo que para todo cenáro, M -. Note que o problema (3. a (3.5 nada ma é que o cálculo de um quantl de uma dtrbução, portanto não precaríamo formular um problema de otmzação para tal cálculo. Porém o anho de formular dea manera é percebermo que há a necedade de e ntroduzr varáve ntera no problema de otmzação, quando o crtéro de confabldade é a LOLP. Por exemplo, em problema onde o corte de cara depende de aluma varável de decão (nvetmento em eração. Outra medda de confabldade é o valor eperado da potênca não uprda defnda abaxo: efnção: EPNS (Valor Eperado da Potênca Não Suprda [MW] EPNS = E[r] O corte de cara em potênca multplcado pela duração do patamar de cara no fornece a enera não uprda no patamar, o que uere a eunte defnção: efnção: EENS (Valor Eperado da Enera Não Suprda [MWh] EENS = φ E[r]

27 27 Onde φ é a duração do patamar de cara. Na eção eunte vamo explctar uma mportante relação entre ea medda de confabldade. Ao lono dete trabalho etamo conderando apena um patamar de cara, portanto a medda EPNS e EENS ão a mema exceto por uma multplcação de uma contante φ. Para calcular a máxma demanda atendda por um tema utlzando como crtéro de confabldade (EENS δ, onde δ (0, é um nível do percentual de demanda etabelecdo pelo reulador, podemo proceder da eunte manera: Max Sujeto a + E[ ] δ Ou, Max Sujeto a r r q r δ 0 0, =,, S Ou eja, utlzando-e o valor eperado da Enera não uprda como crtéro de confabldade torna o problema de encontrar a capacdade máxma de uprmento de um tema em um problema de proramação lnear.

28 Medda de Rco Neta eção, exploraremo medda de rco uada em fnança: por nttuçõe fnancera, reuladore e na teora de portfólo. Bem como a relaçõe extente entre eta medda e a de confabldade uada no etor elétrco. Uma medda uada amplamente no controle e reulação de rco por nttuçõe fnancera é o -VaR (Value at Rk defndo abaxo: efnção: -VaR (Value at Rk O valor de rco de uma varável aleatóra r qualquer a um nível de confabldade é defndo por: VaR ( r = nf{ t : P( r > t }. Se r repreenta perda, t é a máxma perda a um nível de confança de x 00%. VaR (r = t é o quantl mínmo aocado a P ( r > t =,.e., a probabldade da varável aleatóra r exceder o VaR (r é menor ou ual a. Quando a varável aleatóra r depende de aluma varável de decão x, o - VaR pode er vto em proramação etocátca como uma retrção em probabldade (Chance Contrant [37], dado o quantl t * e o nível de confabldade a retrção P( r x > t lmta o conjunto de decão. No noo contexto, a varável aleatóra corte de cara depende da demanda,.e., r = +. O Conjunto { 0 : P( r > t } repreenta o valore de demanda ta que a probabldade que o corte de cara exceda t é menor ou ual a. Oberve que, e r repreenta o corte de cara e t = 0. Então, a retrção P( r > t é equvalente a LOLP (Relação entre o VaR e a LOLP. Analoamente ao cálculo da máxma demanda atendda quando conderamo a retrção LOLP, o -VaR pode er calculado para uma dtrbução dcreta de uporte fnto como um problema de otmzação lnear ntera.

29 29 Suponha que cada cenáro pou uma probabldade q aocada e que o índce ão ecolhdo de tal forma que r... r S, onde r é uma varável aleatóra dcreta qualquer com uporte fnto. O Cálculo de t pode er formulado pelo eunte problema de otmzação: VAR (r = t = Mn t (3.6 ujeto a r - x M t x x q x x + {0,}, =,, S, =,, S Onde: S é o número de cenáro de capacdade; r = o valor da varável aleatóra no cenáro ; t; M = é um número rande ufcente de modo que para todo cenáro, M r A reolução de problema de Otmzação de Portfólo com retrçõe uando o VaR ão uualmente dfíce de reolver por caua da não convexdade e da ntrodução de varáve ntera ao problema. Na lteratura encontram-e outra medda de rco como devo padrão, emvarânca, medda de quant e valore eperado condcona. Ma adante erá abordada a medda de rco conhecda por Condtonal Value at Rk (CVaR termnoloa adotada por R.T. Rockafellar e S.P. Uryaev (2000 em [30]. Será motrado que o valor eperado da enera não uprda (EENS é um cao partcular do CVaR. Oberve que o controle de confabldade pode er comparado ao controle de rco na teora de Portfólo. A medda de confabldade uada no etor elétrco ão cao partculare de medda ma era uada em fnança. Alun autore referencam tal medda como Expected Shortfall, Mean Exce Lo ou Tal VaR.

30 Condtonal Value at Rk efnção: CVaR é o valor eperado condconal defndo por: CVaR ( r = E[ r r VaR ( r] (3.7 Note que na defnção acma, para calcularmo o CVaR de uma varável aleatóra devemo prmero calcular o VaR da varável aleatóra. Portanto, aparentemente o CVaR como medda de confabldade de um tema ou portfólo em um problema de otmzação etara dfcultando a buca pela olução ótma. Uma propredade deenvolvda por Rockafellar e Uryaev (2000 [30], motra que o cálculo do CVaR e reume a olução de um problema de otmzação lnear rretrto com apena uma varável de decão t. E anda, o mínmo do PL é atndo quando a varável de decão t é ual ao VaR (r. loo Por defnção, o CVaR é a méda condconal da pore (- x 00% perda, CVaR ( r VaR ( r, o que demontra que é uma medda de rco ma conervadora, po retrne ma o epaço de decõe. Em [30] é demontrado que o CVaR (r pode er calculado reolvendo o eunte PL: nf{ t + E[ r t] t R + } (3.8 Alun autore: Shapro (2007 [37] defnem o CVaR como o PL acma. A partr da defnção (2. é medato que para todo a R CVaR ( r + a = CVaR ( r + a (3.9 Ito nfca que é uma medda lnear na tranlaçõe. Outra medda também pouem ea propredade, por exemplo, o VaR. Oberve que a função [x] + é convexa em x.

31 3 [x] + Fura 3. - Ilutração da Convexdade do operador [.] + x Portanto, pela defnção (3.3 temo que para todo β [0,] e Z e Z2 varáve aleatóra quaquer, eue que: CVaR Note que, ( βz 2 Z 2 CVaR (3. + ( β Z βcvar ( Z + ( β CVaR ( (3.0 λ Z = λcvar (, para todo λ 0 ( Z e (3.5 e (3.6 obtemo uma propredade que reultou em dvero arto e dcuõe a repeto da coerênca de medda de rco [33][34][35][36]. Propredade da Subadtvdade: CVaR ( Z 2 + Z 2 + Z CVaR ( Z CVaR ( (3.2 O CVaR é uma medda ubadtva, ou eja, em termo fnancero ncentva a dverfcação. Na eção 2.5 vamo motrar que o VaR não é uma medda ubadtva, e portanto não leva em conderação o efeto portfólo, penalzando a dverfcação. A eur, vamo motrar a equvalênca da defnçõe (3.2 e (3.3 para um contexto de monte Carlo, onde o cenáro de capacdade ão orteado de manera ual. O CVaR é defndo por: CVAR (- = E [ - x ] = { / x ] ( ( S Onde x é o -VaR do corte de cara.

32 32 Uando a defnção (3.3 podemo calcular a máxma demanda atendda por um conjunto de eradore utlzando o CVaR como crtéro de confabldade atravé de um problema de otmzação lnear, explctado abaxo: Max (3.3 Sujeto a CVAR ( δ Onde δ (0, é um nível etabelecdo pelo reulador do percentual de demanda. Utlzando (3.3 o problema (3.8 pode er repreentado de forma equvalente a: Max (3.4 Sujeto a + t + E[ t] δ E fnalmente por: Max (3.5 Sujeto a t + q y y y 0 δ 0 t, =,, S Note que, o problema acma é de otmzação lnear. Uma vantaem da métrca CVaR em relação ao VaR na olução de problema de otmzação é o eforço computaconal. A otmzação com o CVaR é apena um PL enquanto a olução com o VaR é um problema lnear ntero.

33 33 O CVaR tem do amplamente utlzado em problema de portfólo. Uma da motvaçõe nca para o uo do valor eperado condconal como medda de rco é a ua capacdade de capturar a preença de evento pouco prováve ma de alta profunddade (catatrófco. O VaR não dtnue ta evento. Em lnha era, o VaR ó captura a área da cauda da dtrbução não mportando como a cauda e dtrbu ao lono do evento enquanto o CVaR é uma méda na cauda. Indvíduo aveo ao rco, quando confrontado com lotera onde há a probabldade de ocorrer evento catatrófco memo que a probabldade eja extremamente pequena tendem a dar ma peo para ee evento, ta tuaçõe ão explctada em Ma- Collel (995 [29]. Portanto, ndvíduo aveo ao rco entem-e ma confortáve quando ua attude levam em conderação a mantude do evento. A fura a eur lutra o conceto da captura de evento catatrófco pelo CVaR e a não dtnção da preença de ta evento com a medda de rco VaR. 3.3 Medda de Rco Coerente A eur vamo apreentar axomatcamente, a defnção de uma medda de rco coerente. Seja χ um epaço lnear de funçõe menuráve que defnem a varáve aleatóra do epaço de probabldade defndo por (Ω, Ψ, P. efnção: ρ:χ R é uma medda de rco coerente, e atfaz a propredade (-(4 a eur:. Sub-adtvdade: ρ( X + Y ρ(x + ρ(y, X, Y χ 2. Monotoncdade: X Y, então, ρ(x ρ(y, X, Y χ 3. Homoênea Potva: ρ(λx = λρ(y, X χ e λ>0 4. Invarânca por Tranlação: ρ(x + a = ρ(x + a, X χ e a R Note que ( e (3 mplcam em: 5. Convexdade: ρ( tx +(-t Y tρ(x + (-tρ(y, X, Y χ e t [0,] Propredade deejada em problema de otmzação.

34 34 Alun autore como Arceb e Tache (200 [36] conderam o adjetvo coerente como redundante e defnem como medda de rco: como qualquer medda ρ que atfaça a quatro prmera propredade. A eur dcutmo a mportânca da propredade que defnem uma medda de rco coerente. A propredade ( de Sub-adtvdade mplca que a medda leva em conderação o efeto portfólo, ou eja, ncentva a dverfcação. A medda de rco de do portfólo em conjunto é menor que a oma da medda de rco do portfólo em eparado. A propredade (2 de Monotoncdade mplca que dado do tema A e B,.e, do conjunto de eradore, e o corte de cara de A é menor ou ual ao corte de cara de B para todo cenáro então o rco do tema A é menor ou ual ao rco do tema B. E anda tema com ma eradore pouem uma medda de rco menor. Propredade (3 Homoênea Potva mplca que o aumento na varável aleatóra aumenta lnearmente o eu rco. Em fnança quanto maor for uma poção, maor é o eu rco de lqudez. Em aluma tuaçõe o aumento do rco de lqudez é ma que lnear, então a hpótee de homoenedade potva não é ma razoável. ando orem a medda de rco convexa, explorada pelo autore Föllmer e Sched (2002 em [27]. Uma medda de rco é dta convexa e atfaz a propredade (5, (2 e (4. Propredade (4 Eqüvarânca por Tranlação mplca que adconando ou ubtrando uma quantdade certa a da varável aleatóra X a medda de rco aumenta ou dmnu de a. Ex: Cao e adcone uma quantdade certa de 00 MW ao corte de cara, a medda de rco é tranladada em 00 undade. Em fnança to pode er vto como a adção de uma renda certa, ou eja, lvre de rco, por exemplo, título do teouro amercano. A medda de rco do portfólo é tranladada exatamente do valor da renda certa em undade da medda de rco. Ito quer dzer que o rco do portfólo não e altera. Em [36], o autore comparam a menuração do rco utlzando VaR como medr a temperatura uando um barômetro.

35 35 Na eção 3.3. motrou-e que o CVaR atfaz a propredade que defnem uma medda coerente de rco. Pode-e verfcar faclmente que o valor eperado da enera não uprda (EENS é uma medda coerente. O VaR não é uma medda coerente, po não atfaz a propredade de ubadtvdade, conforme o Exemplo no fnal deta eção, a ncoerênca da LOLP. É mportante realtar que, para a noa urprea pratcamente todo o banco e reuladore utlzam o VaR como medda de Rco. vero exemplo da ncoerênca do VaR podem er encontrado em [33][34][35]. Vamo motrar a ncoerênca da LOLP no noo contexto. Condere um tema compoto por dua una térmca, com a eunte caracterítca: Tabela 3.. Exemplo - ado da una térmca Una Capacdade (MW Taxa de Falha (% ado que etamo conderando dua una térmca, cada uma com do poíve cenáro de capacdade, então o número total de cenáro de capacdade térmca é 2 2 = 4. A capacdade e a probabldade aocada a ete cenáro etão apreentada na eunte tabela: Tabela 3.2. Exemplo - Cenáro de capacdade Cenáro 2 Probabldade p Acumulada 0 0 4% 5% = 0.2% 0.2% % 95% = 3.8% 4% % 5% = 4.8% 9% % 95% = 9,2% 00% Supondo um nível de confança de 5%, temo que a una operando ndvdualmente atendem uma demanda de 50 e 200 MW, com um total de 350MW. Cao a una cooperem entre, pela tabela acma, a máxma demanda atendda pelo tema é de 50 MW, reultando am em um valor menor quando operada eparadamente. Portanto, podem ocorrer tuaçõe como motrado acma que a LOLP penalza a dverfcação.

36 4 Cálculo do Certfcado de Capacdade Frme Neta eção decreveremo detalhadamente o cálculo do Certfcado de Capacdade Frme. O Certfcado de Capacdade Frme podem er calculado em dua etapa: ( etermnar a Capacdade de Suprmento da emanda (CS do tema,.e., a máxma demanda que pode er atendda com um conjunto de eradore, repetando o crtéro de confabldade do tema. Conforme vto no capítulo, e a CS do tema é maor ou ual à demanda total, então a eurança de uprmento pode er conderada adequada, cao contráro há a necedade de bucar nova fonte de capacdade frme para ualar o uprmento frme com a demanda total. Note que a CS é têmca,.e., depende da caracterítca do eradore que compõem o tema e da nteração entre ele. Por exemplo: a aída de eradore é ndependente, o que nfca que a Capacdade Frme do tema e benefca do efeto portfólo (é meno provável que um número maor de eradore falhe multaneamente. (2 earear a CS em certfcado de capacdade ndvdua para cada erador. A deareação deve atender do requto: ( ( A oma do certfcado deve er ual à CS. Não há deperdíco na alocaçõe. eve er juta. Embora, o conceto de jutça eteja uualmente aocado a conceto jurídco ou ocolóco, extem defnçõe matemátca em termo da teora de joo cooperatvo. Ma epecfcamente, um exemplo do conceto de jutça pode er defndo matematcamente da eunte manera: uma alocação é dta juta, e o certfcado de capacdade de qualquer erador ou de um conjunto de eradore é maor quando calculado na coalzão quando calculado eparadamente ou em qualquer outra ub-coalzão. Em termo da teora do joo, nfca que a alocação deve pertencer ao núcleo de um joo cooperatvo.

37 37 A metodoloa do cálculo de capacdade frme deve arantr remuneração adequada por potênca a todo o eradore. Remuneração adequada mplca em arantr um tema confável. Uma metodoloa errônea no cálculo da capacdade frme ncentva a ntalação de undade que não contrbuem para a confabldade do tema, podendo promover a aída de eradore extente que contrbuem nfcatvamente para a confabldade do tema. 4. Cálculo da Capacdade de Suprmento da emanda (CS A prncípo, a Capacdade de Suprmento da emanda (CS de um tema pode er calculada ncando-e a demanda com um valor alto e decrecendo-a tematcamente até atnr um nível de confabldade etabelecdo a pror (ρ*. Uma manera ma efcente é uar a buca bnára, lutrada no eunte pao: a efna um lmte uperor U para a máxma demanda atendda,.e., uma demanda que vole o crtéro de confabldade; e um lmte nferor L, uma demanda que atfaça o crtéro de confabldade. Faça = ( U + L /2 b Calcule o crtéro de confabldade para, denotado por ρ(. c Cao ρ ( = ρ*, então é a máxma demanda atendda, a buca cheou ao fm. Cao contráro, extem dua opçõe: ( e ρ ( > ρ* então a cara é muto alta; nete cao, faça ( + L /2; ou (2 e ρ ( < ρ* então a cara é muto pequena; nete cao, faça ( + U. E retorne ao pao (b. Para anále da CS, vamo utlzar como crtéro de confabldade, a retrção que mpõe que o valor eperado da enera não uprda não exceda uma porcentaem pequena δ da demanda.

38 CS como um problema de proramação lnear Neta eção veremo com ma detalhe o cálculo da Capacdade de Suprmento da emanda de um tema, onde utlzaremo a notação explctada anterormente. O Cálculo da Capacdade de Suprmento de Cara (CS pode er formulado como o eunte problema de otmzação: v(c,...,c N = Max (4. ujeto a EENS = E[ r] δ Onde + r = [ ] é o corte de cara e δ (0,. Oberve que = 0 é olução do problema, na próxma eção vamo demontrar que empre exte olução fnta para o cálculo da CS. O cálculo da CS pode er formulado por um problema de otmzação lnear: v(c,...,c N = Max ujeto a S = qr δ r max(,0, =,...,S. O problema acma pode er tranformado em um problema de otmzação lnear: v(c,...,c N = Max ujeto a S = qr δ r r 0 Colocando na forma padrão: A notação [.] + ndca que para todo a R, [a] + = max(a,0.

39 39 v(c,...,c N = Max ujeto a S q = r δ 0 r r Efeto portfólo Neta eção vamo demontrar o efeto portfólo ao e conderar, na maxmzação da demanda atendda o valor eperado da enera não uprda como crtéro de confabldade. Iremo também analar tpo de oluçõe no cálculo da capacdade de uprmento da demanda por um tema. emontração do Efeto portfólo. Para demontração vamo utlzar a eunte propredade: Propredade do Valor Eperado: Sejam x e y varáve aleatóra quaquer; e x y com probabldade então E[ x] E[ y]. Vamo motrar para o cao de dua una; o cao eral é medato. Seja c a varável aleatóra que repreenta a capacdade da una. Ou eja, c é uma varável aleatóra com dtrbução de Bernoull. Então, dado um valor de demanda e utlzando a propredade do valor eperado, temo que: e -(c + c 2 + -c + então E [ -(c + c 2 + ] E[ -c + ] (4.2 Loo, quanto ma eradore o tema pour, a função do valor eperado da enera não uprda (EENS em função da demanda é menor ou ual à EENS com meno eradore. Am, conforme demontrado no Apêndce, a retrção de confabldade (EENS δ na olução ótma é atva,.e., é atfeta com ualdade e pela deualdade (4.2 temo que a máxma demanda atendda com a una olada é

40 40 menor que a máxma demanda atendda pelo tema compoto pelo eradore e 2. Portanto, a máxma demanda atendda é maor quando temo um tema com ma eradore caracterzando o efeto portfólo. A déa acma ão lutrada na fura abaxo: EENS( δ 2... Fura 4. Comportamento da retrção EENS em função de. Na fura acma, a curva em azul repreenta o valor eperado da enera não uprda (EENS em função da demanda quando temo apena um erador no tema. Note que a únca ntereção nete cao é quando = 0. Ou eja, quando a probabldade de falha é maor que o valor de δ, o prmero emento de reta que compõe a EENS( tem nclnação maor que δ e, portanto, a únca ntereção com a reta δ é quando = 0. Note que, a curva verde também repreenta a EENS de um únco erador, porém quando a probabldade de falha é menor, o prmero emento de reta da EENS( pou nclnação menor que δ e quando é tal que excede a eração a nclnação de EENS( é untára e como etamo aumndo δ um percentual pequeno, matematcamente menor que um, a ntereção de EENS( com δ, reultará em um valor fnto para. Não etamo lmtando a demanda, po no cao ma realta com tema com um número maor de eradore, a ntereção de EENS( com δ, reulta em uma demanda menor que a capacdade máxma do tema.

41 4 No cao eral, temo que o efeto portfólo no dz que a capacdade frme de um tema aumenta quando aumentamo o número de eradore,.e., quando dverfcamo o parque erador. que Matematcamente, dado S e T ubconjunto de N,.e, coalzõe de una ta S T então temo ( S ( T. No capítulo 5, vamo motrar que o efeto portfólo mplca que a capacdade frme é uma medda uperadtva. Para qualquer retrção lnear de confabldade temo que ee reultado é váldo. Como veremo poterormente, a prova dete reultado é baeada na deualdade prmal-dual. 4.2 Senbldade com Relação à Potênca A eur, vamo calcular a dervada da máxma demanda em relação à potênca de um erador. A máxma demanda atendda é obtda reolvendo o problema de proramação lnear abaxo. O crtéro de confabldade conderado é: o valor eperado da potênca não uprda menor ou ual a δ, ou eja, o valor eperado do corte de cara deve er menor ou ual a δ x00% da demanda máxma. * = Max (4.3.a. EPNS = E[ r] = r q S = δ q é a probabldade aocada ao cenáro, obtda por convolução da varáve aleatóra que repreentam a capacdade do eradore que compõem o tema. Uma perunta natural é: como a máxma demanda vara e aumentarmo ou dmnurmo a capacdade de um erador? Ou eja, quanto vale * C? Seja *, r* olução do problema (4.3, então conforme demontrado no Apêndce, a ualdade abaxo é neceára: S = q r * = δ *

42 r * contráro. N = * C para tal que * C ( Ω e r * = 0 cao = Onde é uma função ndcadora que no dz e no cenáro a una etá funconando e Ω é o conjunto do cenáro em que ocorre corte de cara, ou eja, Ω = { S * c }. Com to, Ω Então, = N n= n, n N q ( * C = δ * q ( Ω = ( q * Ω N = δ C Loo, a enbldade da função objetvo do problema (4.3 com relação à capacdade da una é: * = C Ω Ω q. (4.4 q δ A eração de potênca dponível total do tema no cenáro é dada por N = C. O conjunto Ω do cenáro em que ocorre o corte de cara é dado, por = exemplo: N = 42

43 43 q q + q +2 q n + +2 n * Fura 4.2 trbução de eração de Capacdade obtda por Convolução Para * ndcado na fura temo que o conjunto do cenáro em que ocorrem corte de cara é dado por Ω =,,..., }. { 2 + Como vto anterormente, para cada cenáro temo aocado um vetor nformando qua una etão funconando,.e., a -éma componente do vetor aume o valor quando a una etá operando e aume valor zero quando a una etá fora de operação (falha. O valore da probabldade ão computado por convolução da eunte manera: q = N = [ p ( + ( p ] Ou eja, a probabldade q aocada ao cenáro é o produtóro para toda a una da probabldade p e a una falhou, ou (-p e a una não falhou no cenáro. Porém, dado um proceo de convolução qualquer não temo a função ndcadora aocada ao cenáro. Ou eja, a função ndcadora depende do conhecmento ntríneco do proceo de convolução. Ao deenvolvermo tal modelo para um número rande de eradore temo que utlzar um proceo efcente de convolução e podemo não ter o conhecmento da função ndcadora Portanto, não é

44 poível encontrarmo * C com a fórmula explctada em (4.4. Como proceder? 44 Na eção eunte, vamo motrar como proceo de convolução qualquer. * C pode er encontrada eundo um 4.2. Senbldade em um proceo de convolução efcente Como calcular a dervada da máxma demanda em relação à capacdade do erador, dado um proceo qualquer de convolução? Note que, a funçõe ndcadora mplcam no conhecmento do etado no proceo de convolução, de manera que dado um cenáro de capacdade conheça-e qual erador etá operando. Porém, na prátca o proceo de convolução é muto cutoo computaconalmente pelo caráter exponencal (2 N cenáro de capacdade onde N é o número de eradore. Então, faz-e neceáro o uo de proceo de convolução efcente. eta manera devemo computar a enbldade da capacdade de uprmento da demanda total (CS em relação à capacdade de um erador em o auxílo da função ndcadora. Para o, vamo uar o teorema da probabldade total, partconando o conjunto Ω do cenáro em que ocorre corte de cara, no conjunto em que a una não etá funconando O conjunto ão dado por: Ω Ω 0, e no conjunto em que a una etá funconando = { Ω 0} e Ω = { Ω }. 0 = = Note que pelo teorema da probabldade total, * * * E [ r ] = E[ r Ω]( p + E[ r Ω0 ] p Ω. Conderando que o erador nunca falha, ou eja, a probabldade de falha do * * erador é nula (p = 0, temo que E r ] = E[ r Ω ]( p. Para encontrarmo, [ S * * + E [ r Ω ] = q temo que obter a probabldade = probabldade q. Nete cao, a q ão obtda por convolução conderando o cao em que a una etá empre funconando, ou eja, a probabldade de falha da una é nula (p = 0.