3 O PROBLEMA DA REPARTIÇÃO DOS BENEFÍCIOS

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1 O PROBLEMA DA REPARTIÇÃO DOS BENEFÍCIOS 39 3 O PROBLEMA DA REPARTIÇÃO DOS BENEFÍCIOS Como fo vsto na seção 1.3, a produção frme total do sstema resultante de uma operação ntegrada das usnas, onde todas cooperam entre s formando uma grande coalzão, é maor que a produção frme onde cada agente maxmza soladamente a sua produção, sem cooperar para a maxmzação do frme total do sstema. A exstênca destes benefícos na capacdade de produção das usnas, operando de forma ntegrada, leva medatamente à questão de como repart-los de forma justa entre os dversos agentes, de tal forma que seja vantajoso para cada um partcpar da grande coalzão. Em outras palavras, os benefícos da operação conjunta devem ser repartdos de forma que nenhum dos agentes tenha ncentvo a sar da grande coalzão, o que fara com que a Energa Frme total do sstema fosse menor que a da operação conjunta. Este tpo de problema é estudado em teora de jogos cooperatvos[44] Teora de Jogos Cooperatvos A teora de jogos cooperatvos se aplca tanto a problemas de alocação de custos entre partcpantes que usufruem um mesmo servço, quanto para problemas de alocação de benefícos (Energa Frme, por exemplo). A dferença básca entre jogos cooperatvos e não-cooperatvos é o tpo de solução empregada por cada um. Jogos cooperatvos buscam repartr os benefícos de uma ação conjunta de manera a ncentvar a cooperação entre os agentes. Os jogos nãocooperatvos são usados em ambentes compettvos, onde cada partcpante procura maxmzar seu benefíco ndvdual, mesmo que em detrmento dos demas.

2 O PROBLEMA DA REPARTIÇÃO DOS BENEFÍCIOS Revsão Bblográfca A teora dos jogos tem sdo extensvamente aplcada a temas do Setor Elétrco. De caráter geral, em [50] pode ser observada a varedade de temas e desafos que podem ser enfrentados pela teora dos jogos. Mas especfcamente, a teora dos jogos não-cooperatvos tem sdo aplcada em stuações orundas dos mercados compettvos de energa, onde os dstntos agentes atuam estrategcamente, frente aos desafos de um mercado compettvo, objetvando a maxmzação do lucro ndvdual. Os resultados do jogo para qualquer agente dependem não somente da atuação deste agente, mas da atuação conjunta de todos os jogadores. A busca tradconal de uma solução é denomnada equlíbro do jogo, no qual o equlíbro de Nash[51] vem sendo usado como elemento prncpal. Na lteratura encontram-se dstntas aplcações, como por exemplo, análses de poder de mercado[52][53], modelos de equlíbro[54],[55] e determnação de estratégas de ofertas ótmas de geradores em ambente de mercado[56],[57]. Já a teora dos jogos cooperatvos vem sendo aplcada, no setor elétrco, a problemas de alocação de um modo geral, em seus dversos segmentos. Uma de suas áreas de aplcações mas notáves é a área de transmssão, sobretudo em alocação de custos de transmssão. Neste problema, o desenvolvmento de um servço de transmssão (construr crcutos, adqurr recursos auxlares, faxas de passagem etc) necessáro para transportar a geração para a demanda ocorre de manera compartlhada por um conjunto de agentes (geradores e demandas). É ntutvo que o custo do servço ntegrado é menor que a soma de desenvolvmento de servços separados para cada agente ou sub-grupos de agentes. Em outras palavras, o desenvolvmento conjunto é efcente em termos econômcos. O problema é então como alocar este custo de servço entre os partcpantes de manera efcente e justa. A teora dos jogos cooperatvos é extensvamente aplcada na alocação de custos, por exemplo, de transmssão entre geradores, consumdores, transmssores ou subconjunto de todos anterores[13],[14],[29],[47],[48], e contratos de transações wheelng[59],[60]. A referenca [47] apresenta uma vsão geral da utlzação de jogos cooperatvos para

3 O PROBLEMA DA REPARTIÇÃO DOS BENEFÍCIOS 41 alocação de custos de transmssão. Nestas aplcações dstntos métodos de jogos cooperatvos tem sdo aplcados, como o valor de Shapley, Núcleo, Aumann-Shapley, etc. Anda no contexto de custos de transmssão, dversas outras aplcações são encontradas na lteratura como a alocação do sobrecusto operatvo e custos de congestão[4],[39], o uso de teora dos jogos cooperatvos para repartr custos assocados a servços anclares[6][41], obter fatores de perdas nodas[30], VaR plannng[6],[34], entre outros. Dversas outras aplcações prátcas de teora dos jogos cooperatvos podem ser encontradas fora do setor elétrco. Por exemplo, engenheros da Tennessee Valley Authorty consderaram nos anos 30 dstntos métodos para alocar entre os benefcáros (usuáros de rrgação, navegação e produtores de energa elétrca) os custos de melhora do sstema de transporte de água exstente na época e construção de represas[61]. Os concetos de justça, núcleo e nucleolus foram utlzados de forma ntutva e dversos anos antes da publcação do celebrado lvro de Von Neumann e Morgenstern[42]. De modo geral, o problema de repartção de custos e benefícos de atvdades, onde há economas de escala ou snerga, ocorre em dversas atvdades comercas, e a lteratura está repleta de exemplos: a) alocação de custos entre os departamentos da McDonnell-Douglas [62]; b) repartção dos custos de aluguel de um sstema de telefona na unversdade de Cornell[63]; c) alocação de custos de manutenção de uma bbloteca médca que é compartlhada por dstntos hosptas[64]; d) fnancamento de projetos de recursos hídrcos no estado amercano do Tennessee[65]; e) alocação de custos de construção de reservatóros com usos múltplos nos Estados Undos[66]; f) alocação de taxas aeroportuáras na Inglaterra[67];

4 O PROBLEMA DA REPARTIÇÃO DOS BENEFÍCIOS 42 g) alocação dos custos de construção de um duto subterrâneo para transporte de água na Suéca[44]; h) aplcações em recursos hídrcos de um modo geral [45], como o problema de alocação de custos de construção de dutos para abastecmento de águas em cdades. Fnalmente, cabe ressaltar que, embora mutas aplcações da teora dos jogos cooperatvos possam ser encontradas na área de recursos hídrcos, o autor desconhece sua aplcação na alocação de benefícos e dretos de energa frme, que é o foco deste trabalho Concetos Báscos Um jogo cooperatvo é formado por um conjunto de N jogadores que se unem para formar coalzões com o objetvo de maxmzar ou mnmzar uma função característca. Esta por sua vez fornece o benefíco total, ou o custo total de fornecer um servço, para cada coalzão formada pelos N jogadores (ou agentes). Matematcamente, uma coalzão é um subconjunto S do conjunto de N jogadores. Os jogadores podem agrupar-se de dferentes maneras de acordo com seus nteresse e convenênca. Para formar uma coalzão, é necessáro que todos os jogadores envolvdos frmem acordos entre s e uma vez que todos concordem, a coalzão é formada. As coalzões são mutuamente exclusvas, ou seja, formar uma coalzão S mplca que não há possbldade de seus partcpantes fazerem acordos com partcpantes de fora dela. A coalzão formada por todos os N jogadores é chamada de grande coalzão, ou coalzão N. Num jogo com N jogadores há 2 N dferentes coalzões possíves. A coalzão vaza, ou coalzão, é a coalzão na qual nenhum jogador partcpa. A manera através da qual todos os jogadores formam m coalzões pode ser descrta pelo conjunto S = {S 1, S 2,..., S m }, conhecdo como o conjunto das confgurações das possíves coalzões. Este conjunto S satsfaz três condções:

5 O PROBLEMA DA REPARTIÇÃO DOS BENEFÍCIOS 43 S, = 1,..., m, (3.1) S S = para todo j, e (3.2) j m U = 1 S = N. (3.3) Von Neumann e Morgenstern [42] ntroduzram pela prmera vez, em 1947, o termo função característca, que calcula para cada coalzão (argumento da função) o maor valor do benefíco (ou menor valor do custo) assocado a ela. Em outras palavras, a função característca fornece o valor do máxmo benefíco (ou mínmo custo) que os membros de uma determnada coalzão conseguem obter através de uma ação cooperatva entre eles. A defnção formal da função característca é: Defnção: Para cada subconjunto S de N, a função característca v de um jogo fornece o maor valor v(s) que os membros de S podem receber se eles formarem uma coalzão e agrem juntos, cooperando entre s, sem a ajuda de qualquer jogador de fora dela. 13 Esta defnção leva em conta uma restrção que requer que o valor da função característca da coalzão vaza seja zero, ou seja, v( )=0. Outro requsto que deve ser atenddo pela função característca em jogos de coalzão é a chamada superadtvdade 14, que pode ser expressa da segunte forma: v(s T) v(s) + v(t) para todo S, T N, tal que S T = (3.4) A superadtvdade determna que o benefíco assocado a qualquer coalzão será sempre maor que a soma dos benefícos assocados às sub coalzões que a partconam. Como a superadtvdade deve ser atendda para quasquer S e T, uma smples manpulação da expressão (3.4) permte conclur que seu lado dreto pode não somente 13 Nesta defnção assume-se que o problema em questão é de alocação de benefícos, e por sso a função característca calcula o maor valor assocado ao subconjunto S. Caso o problema fosse de alocação de custos, a função característca análoga calculara o menor valor assocado ao subconjunto S. 14 Estaremos sempre ldando com problemas de alocação de benefícos entre jogadores. Para problemas de alocação de custos, esta propredade é conhecda como subattvdade [44].

6 O PROBLEMA DA REPARTIÇÃO DOS BENEFÍCIOS 44 ter a soma dos benefícos de duas coalzões, como a soma dos benefícos de qualquer conjunto de coalzões que partcona S T, o que equvale a: v(s) v(s 1 ) + v(s 2 ) v(s m ) para todo S, tal que S S j = e m U = 1 S = S (3.5) A superadtvdade garante, portanto, que a cooperação entre os jogadores sempre gera um aumento do benefíco global. Em outras palavras, a cooperação entre os agentes produz uma snerga, que mplca no aumento do benefíco total. Note que a expressão (3.4) não requer que S T seja gual a N, e, portanto, a superadtvdade deve ser válda não somente para a grande coalzão, mas para qualquer outra possível. Assumndo que a função característca do jogo apresenta superadtvdade, a grande coalzão sempre será formada ao fnal do jogo. Portanto, a pergunta natural que surge, após o cálculo do benefíco total, é como dvd-lo de modo efcente e justa entre os agentes que formam esta grande coalzão. A dvsão do benefíco v(n) entre eles, representada pelo vetor de alocações φ = (φ 1, φ 2,..., φ n ), não é evdente Núcleo de jogos cooperatvos abaxo: Um vetor de alocações φ só é consderado justo se satsfzer às três expressões n v( N) = φ (Raconaldade do Grupo) (3.6) = 1 φ v({}) (para todo N) (Raconaldade Indvdual) (3.7) φ v(s) para todo S, para todo S N (Raconaldade das Coalzões) (3.8) A equação (3.6) determna que devem-se alocar aos jogadores benefícos cuja soma é gual ao benefíco da grande coalzão (v(n)), ou seja, deve-se garantr que a totaldade

7 O PROBLEMA DA REPARTIÇÃO DOS BENEFÍCIOS 45 do benefíco é alocado entre os agentes. Por sua vez, a nequação (3.7) determna que cada jogador deve receber no mínmo um benefíco gual ao que ele obtera agndo ndvdualmente (v{}). A nequação (3.8) determna que a soma das alocações dos jogadores de qualquer sub-coalzão S deve ser maor que o benefíco obtdo pela ação conjunta destes jogadores (v(s)). Vale notar que (3.7) é apenas um caso partcular de (3.8). jogo. Quando uma alocação atende a (3.6) e a (3.8), dz-se que ela pertence ao núcleo do O núcleo formalza a déa de justça em uma alocação de custos ou benefícos entre agentes. Se uma alocação pertence ao núcleo de um jogo cooperatvo, podemos dzer que o benefíco atrbuído a qualquer agente, ou a qualquer consórco de agentes, não é nferor ao que estes agentes conseguram obter se formassem um consórco separado ou se atuassem ndvdualmente (fora da coalzão). Em outras palavras, uma alocação é justa se todos os partcpantes recebem mas benefícos por estarem no grande consórco do que fora dele. Soluções que pertencem ao núcleo possuem uma certa establdade, já que nenhum jogador tem ncentvo a sar da grande coalzão. Porém, há casos em que o núcleo do jogo é vazo. Neste caso outras abordagens podem ser propostas, como, por exemplo, o uso dos concetos de conjunto estável ( stable set )[42] e conjunto de negocação ( barganng-set )[83]. Como será provado na seção 5.3, o núcleo do jogo relaconado à repartção de energa frme nunca é vazo, e por esta razão estes concetos não serão abordados nesta monografa Núcleo: lustração para o problema de energa frme Suponha que exsta uma função f(.) que calcula a energa frme de qualquer subconjunto destas hdrelétrcas 15. O resultado desta função é calculado pela aplcação do 15 Esta função calcula através do modelo (2.13) a energa frme do conjunto de usnas quando operadas de forma solada na cascata, respetando a topologa entre elas.

8 O PROBLEMA DA REPARTIÇÃO DOS BENEFÍCIOS 46 modelo (2.13) apresentado no capítulo 2. Com sso, teríamos, por exemplo, para um caso com 3 usnas, f(h 2 ) o frme da usna H 2 ; f(h 1,H 3 ) o frme conjunto das usnas H 1 e H 3 ; f(h 1,H 2,H 3 ) o frme total do sstema, e assm por dante. Sejam φ 1, φ 2 e φ 3 as energas frmes alocadas à H 1, H 2 e H 3, respectvamente. A prmera restrção do núcleo é que a soma das alocações deve ser gual à energa frme total do sstema: φ 1 + φ 2 + φ 3 = f(h 1,H 2,H 3 ). O segundo grupo de restrções exge que a alocação de cada usna não seja nferor ao frme ndvdual das mesmas: φ 1 f(h 1 ) φ 2 f(h 2 ) φ 3 f(h 3 ) O tercero grupo de restrções se aplca às combnações de duas usnas: φ 1 + φ 2 f(h 1,H 2 ) φ 1 + φ 3 f(h 1,H 3 ) φ 2 + φ 3 f(h 2,H 3 ) Observe que φ 1, φ 2 e φ 3 são as ncógntas do problema, e os lados dretos das restrções são valores conhecdos. De acordo com a abordagem de jogos cooperatvos, qualquer alocação {φ 1 ;φ 2 ;φ 3 } que atende o conjunto de restrções acma conhecdo como núcleo do jogo - é consderada justa, no sentdo de que nenhum subconjunto de agentes tera ncentvo a sar do consórco global. Como vsto, as restrções do núcleo formam um conjunto lnear, onde o lado esquerdo de cada restrção contém uma das combnações possíves dos agentes (1 a 1, 2 a 2 etc.). Por sua vez, o valor do lado dreto da restrção contém o benefíco (energa frme, no caso) assocado à mesma combnação. Portanto, o núcleo deste jogo correspondera à solução do sstema lnear formado pelo conjunto de equações anterores. Este sstema é reproduzdo a segur: φ 1 + φ 2 + φ 3 = f(h 1,H 2,H 3 ) (3.9a)

9 O PROBLEMA DA REPARTIÇÃO DOS BENEFÍCIOS 47 φ 1 f(h 1 ) φ 2 f(h 2 ) φ 3 f(h 3 ) φ 1 + φ 2 f(h 1,H 2 ) φ 1 + φ 3 f(h 1,H 3 ) φ 2 + φ 3 f(h 2,H 3 ) (3.9b) (3.9c) (3.9d) (3.9e) (3.9f) (3.9g) Fnalmente, observa-se que para uma alocação estar no núcleo ela deve atender a um conjunto de nequações, o que faz com que a solução não necessaramente seja únca, o que normalmente não acontece Núcleo de Jogos Cooperatvos: exemplo Vamos lustrar nesta seção o conceto de núcleo de jogos cooperatvos, através de um exemplo que trata o problema da energa frme. Consdere um sstema fctíco formado por duas usnas hdroelétrcas em cascata, A e B, de propretáros dstntos e com potêncas nstaladas guas a 360 MW (A) e 120 MW (B). Vamos supor que estas usnas possuem frmes ndvduas guas a 110 MW médos (A) e 70 MW médos (B). Suponhamos anda que a Energa Frme total resultante de uma operação ntegrada das 2 usnas, como se pertencessem a um únco dono, fornece um valor de 200 MW médos, que é superor à soma dos frmes ndvduas de A e B (180 MW) e ndca a exstênca de um benefíco na cooperação. Portanto, o problema a ser resolvdo é repartr estes 200 MW médos entres as usnas, de forma a manter atratva a operação ntegrada. Alguns possíves crtéros para a dvsão deste montante estão ndcadas na Tabela 3.1 a segur.

10 O PROBLEMA DA REPARTIÇÃO DOS BENEFÍCIOS 48 Método de Alocação da Energa Frme Total Usna A (MW médos) a Dvsão gual Usna B (MW médos) b c d e Dvsão proporconal às capacdades nstaladas de cada usna Dvsão gual do ganho em relação à soma dos frmes ndvduas Dvsão do ganho em relação à soma dos frmes ndvduas proporconal às capacdades nstaladas de cada usna Dvsão do ganho em relação à soma dos frmes ndvduas proporconal às energas ndvduas de cada usna 200 x (360/480) = x (120/480) (20/2) = (20/2) = x (360/480) = x (110/180) = x (120/480) = x (70/180) =77.8 = 50 Tabela 3.1 Possíves alocações de Energa Frme das usnas Observa-se nesta tabela que o ncentvo à cooperação ocorre quando a repartção se concentra na dvsão da energa excedente (ou ganho em relação à soma dos frmes ndvduas), presente nas opções c, d e e. Isto não ocorre na opção a para a usna A, já que nesta repartção o frme alocado a ela (100 MW médos) é menor que seu frme ndvdual (110 MW médos). O mesmo ocorre na opção b para a usna B, que tem o frme alocado a ela nesta repartção (50 MW médos) menor que seu frme ndvdual (70 MW médos). Ou seja, estes dos crtéros de alocação não satsfazem à condção do tpo (3.9b), na seção 3.1.4, e, portanto, não consttuem alocações justas. Todas as alternatvas de alocação da Tabela 3.1 estão representadas geometrcamente na Fgura 3.1.

11 O PROBLEMA DA REPARTIÇÃO DOS BENEFÍCIOS 49 Alocação de B [MW médos] 200 a Núcleo 70 c e d b Alocação de A [MW médos] Fgura 3.1 Representação geométrca do núcleo Conforme vsto na seção 3.1.4, o conjunto de soluções que fornece um ncentvo à cooperação é chamado de núcleo de um jogo cooperatvo e é representado neste exemplo pelo segmento de reta ndcado na Fgura 3.1. Pode-se notar que cada ponto deste segmento aloca tanto à usna A, quanto à usna B, energas frmes maores que seus respectvos frmes ndvduas e, portanto, são atratvos sob o ponto de vsta da coalzão. Observa-se anda que mas de uma alocação pode pertencer ao núcleo, ou seja, o núcleo não é únco Condção para um jogo cooperatvo Conforme apresentado no capítulo 1, uma das motvações para o problema de alocação de benefícos é a exstênca de snerga entre os agentes, sto é, o benefíco global excede a soma dos benefícos solados. Em outras palavras, o jogo dever atender à condção de superadtvdade (3.4). Para o problema em análse nesta dssertação, este aspecto ntutvo se traduz no requsto de que a soma das energas frmes de qualquer grupo de agentes não exceda a energa frme do conjunto. Por exemplo, para o sstema

12 O PROBLEMA DA REPARTIÇÃO DOS BENEFÍCIOS 50 hdrelétrco composto de três usnas hdrelétrcas H 1, H 2 e H 3, a segunte nequação deve ser atendda: f(h 1,H 2,H 3 ) f(h 1 ) + f(h 2 ) + f(h 3 ) (3.10) que é justamente a expressão da snerga. Porém as restrções do tpo (3.10) devem ser váldas também para todos os subconjuntos de agentes, por exemplo, também devem ser váldas nequações do tpo: f(h 1,H 2,H 3 ) f(h1, H2) + f(h 3 ) (3.11) A verfcação de todas as condções parece ser tão complexa quanto verfcar o conjunto de restrções de núcleo (4.1). Entretanto, como será vsto a segur, pode-se demonstrar que as condções de tpo (3.10) são váldas se o benefíco global é calculado como a solução de um problema de programação lnear com algumas característcas específcas, como é o caso da Energa Frme. Esta demonstração será feta em duas etapas: na prmera será mostrado que a condção de superadtvdade é satsfeta se o benefíco do jogo cooperatvo em questão pode ser calculado como a solução de um problema de programação lnear, onde se altera apenas o lado dreto das restrções para o cálculo do benefíco de qualquer subconjunto de agentes. Em seguda, será mostrado que o problema de energa frme atende a estas condções Condção atendda para o caso de um modelo de otmzação lnear Por smplcdade de notação, a demonstração será feta para um caso de 2 agentes. A generalzação para N agentes é medata, ou seja, a prova de que o modelo do frme atende à condção de superadtvdade para quasquer dos subconjuntos de agentes é análoga. Suponha que o benefíco de um agente em um jogo cooperatvo qualquer possa ser calculado com a solução de um problema de programação lnear. Suponha anda que o

13 O PROBLEMA DA REPARTIÇÃO DOS BENEFÍCIOS 51 benefíco de qualquer sub-conjunto de agentes possas ser calculado através do mesmo modelo, apenas alterando o lado dreto ( recursos ) das restrções. Deseja-se mostrar que o benefíco conjunto é maor ou gual à soma dos benefícos ndvduas: z(1,2) z(1) + z(2) (3.12) onde as funções dos benefícos z(.) são dados por: z(1) = Max cx sujeto a (3.13a) Ax b 1 z(2) = Max cx sujeto a (3.13b) Ax b 2 z(1,2) = Max cx sujeto a (3.13c) Ax b 1 + b 2 Calculando o Dual de cada problema, tem-se: z(1) = Mn πb 1 sujeto a (3.14a) πa c z(2) = Mn πb 2 sujeto a (3.14b) πa c

14 O PROBLEMA DA REPARTIÇÃO DOS BENEFÍCIOS 52 z(1,2) = Mn π(b 1 + b 2 ) sujeto a (3.14c) πa c Sejam π 1, π 2 e π 12 as soluções ótmas dos problemas (3.14a) a (3.14c). Aplcando a gualdade prmal-dual, a restrção desejada (3.12) é reescrta como: π 12 (b 1 + b 2 ) π 1 b 1 + π 2 b 2 (3.15) Como o conjunto de restrções πa c é o mesmo nos três problemas duas, as soluções ótmas de cada problema são soluções váves dos demas. Em partcular, π 12, é uma solução vável do problema (3.14a). Como o problema dual mnmza a função objetvo, sto sgnfca que: π 12 b 1 π 1 b 1 (3.16) Aplcando o mesmo racocíno ao problema (3.14b), resulta: π 12 b 2 π 2 b 2 (3.17) Somando (3.16) e (3.17), chega-se a (3.15), que por sua vez equvale ao resultado desejado, que é a restrção (3.12) Condção atendda para o caso da energa frme O modelo de cálculo de Energa Frme apresentado no capítulo 2, e reproduzdo a segur, é um problema de otmzação lnear.

15 O PROBLEMA DA REPARTIÇÃO DOS BENEFÍCIOS 53 Max F sujeto a [ ut, m + wt, m ] + ut, + wt, at, v + (3.18a) t 1, vt, + = m M v t, v (3.18b) u t, u (3.18c) F ρ u t, 0 (3.18d) para t = 1,..., T; para = 1,..., N Para que ele seja um caso partcular da demonstração feta na seção anteror, e como tal, atenda automatcamente às condções de jogos cooperatvos, deve-se provar que a energa frme de qualquer sub-conjunto de usnas pode ser calculada através de um mesmo modelo de programação lnear, apenas alterando o lado dreto ( recursos ) das restrções. Note que esta condção não é claramente atendda no caso da energa frme, pos, tal como vsto na equação (3.18a), há uma conexão entre as equações de balanço hídrco de usnas em cascata 16. Caso uma usna não pertença a uma dada coalzão, e os lados dretos de todas suas restrções se gualem a zero, a água correspondente à sua vazão ncremental (lado dreto de uma das restrções), que devera chegar à usna medatamente a jusante, não estara sendo contablzada, o que caracterzara um erro. Esta lmtação pode ser resolvda se consderarmos como recursos de cada usna somente suas capacdades de turbnamento u e de armazenamento v. Se uma usna não faz parte de uma dada coalzão, estas capacdades (lados dretos de suas restrções de volume máxmo e turbnamento máxmo) são zeradas. Neste caso, a água que chega a montante sera totalmente vertda e sera a mesma cosa que a usna não exstsse. 16 O vertmento e o turbnamento de uma usna são somados às vazões ncrementas da usna medatamente a jusante.

16 O PROBLEMA DA REPARTIÇÃO DOS BENEFÍCIOS 54 Entretanto, há um detalhe mportante na demonstração de que a condção de superadtvdade, apresentada na seção 3.2.1, está atendda: todos os recursos no lado dreto das restrções estarão sendo alocados a cada um dos partcpantes ver vetores b 1 e b 2 no problema (3.13). Observando o problema de cálculo de frme (3.18), não há dúvda em alocar os lmtes de armazenamento e turbnamento v e u aos respectvos agentes. O problema surge com as vazões afluentes ncrementas a t,, que são os recursos no lado dreto da equação de balanço (3.18a). Este problema já hava sdo detectado em [74]. Uma prmera déa sera alocar as vazões afluentes a cada usna como seu recurso própro. Se as usnas estão em paralelo, como na Fgura 3.2 abaxo, esta alocação estara correta, pos o frme da usna #2 não é afetado pelas afluêncas à usna #1, e vce-versa 17. a 1 t a 2 t Fgura 3.2 Usnas em paralelo Suponha agora que as usnas estão em sére, como na Fgura 3.3 abaxo, e que as vazões ncrementas a cada usna são alocadas separadamente em cada vetor de recursos. a 1 t a 2 t Fgura 3.3 Usnas em sére

17 O PROBLEMA DA REPARTIÇÃO DOS BENEFÍCIOS 55 A prmera déa sera alocar as vazões ncrementas a cada usna nos respectvos vetores de recursos. Observe, entretanto, que o frme da usna #2 (a jusante), não estara correto. A razão é que, se a usna #1 não exstsse, a usna #2 recebera a vazão total afluente, a 1 + a 2, e não somente a vazão ncremental. t t Será mostrado a segur que o modelo de energa frme pode ser reescrto de forma a representar todas as usnas em sére como usnas em paralelo. Isto permte defnr os recursos de vazão alocados a cada usna de manera mas coerente Reformulação do problema de energa frme O procedmento de transformação sére-paralelo será lustrado para um sstema com duas usnas. Novamente, a extensão para uma topologa geral é medata. As equações de balanço hídrco de duas usnas em sére são: v 1 = v 1 + a 1 - u 1 - w 1 t+1 t t t t v 2 = v 2 + a 2 - u 2 - w 2 + u 1 + w 1 t+1 t t t t t t (3.19) (3.20) Somando as equações (3.19) e (3.20), obtém-se: v 12 = v 12 + a 12 - u 2 - w 2 t+1 t t t t (3.21) onde: v 12 t representa a soma dos armazenamentos das usnas #1 e #2. a 12 t afluênca natural (soma das ncrementas) à usna As equações (3.19) e (3.21) correspondem à mesma regão vável que as equações orgnas (3.19) e (3.20). A dferença é que a equação de balanço (3.21) não nclu as 17 Naturalmente, tanto as afluêncas da usna #1 como as da usna #2 afetam o frme conjunto 1&2, que é

18 O PROBLEMA DA REPARTIÇÃO DOS BENEFÍCIOS 56 varáves de defluênca a montante, u 1 t e w 1 t (estas varáves foram canceladas na soma). Como mostra a Fgura 3.4, é como se as usnas estvessem em paralelo, cada uma recebendo a montante uma quantdade de água gual à sua vazão natural. Fgura Nova representação das usnas em sére Por sua vez, os lmtes de armazenamento são reescrtos como: v1, t 1 v1 + (3.22) v 12, t 1 v1, t+ 1 v2 + (3.23) Os lmtes de defluênca permanecem guas: u t (3.24) 1, u1 u t (3.25) 2, u2 Portanto, o cálculo da energa frme passa a ser formulado como: justamente o efeto da snerga.

19 O PROBLEMA DA REPARTIÇÃO DOS BENEFÍCIOS 57 Max F Var. Duas sujeto a v 1 - v 1 - u 1 - w 1 t+1 t t t = a 1 t π a1,t (3.26a) v 12 - v 12 - u 2 - w 2 t+1 t t t = a 12 t π a12,t (3.26b) v 1 t+1 v 1 π v1,t (3.26c) v 12 - v 1 t+1 t+1 v 2 π v2,t (3.26d) u 1 t u 1 π u1,t (3.26e) u 2 t u 2 π u2,t (3.26f) F - ρ 1 u 1 - ρ 2 u 2 t t 0 π F (3.26g) O modelo (3.26), que fornece o mesmo frme do prmero modelo apresentado no capítulo 2, mostra a separação dos recursos nos vetores b 1 e b 2. O procedmento descrto acma tem alguma relação com o conceto de Mercado Atacadsta de Água, desenvolvdo em [26],[27]. A déa básca do MAA é que cada usna da cascata tem dreto a utlzar a vazão natural afluente, e deve ser compensada por alterações neste volume afluente causadas por ações de reservatóros a montante; smetrcamente, a usna deve compensar as undades a jusante pelo efeto de seu própro reservatóro. Neste capítulo fo provado que o cálculo da energa frme atende às condções dos jogos cooperatvos, ou seja, a energa frme resultante de uma operação ntegrada das usnas, onde todas cooperam entre s formando uma grande coalzão, é maor que a produção frme onde cada uma maxmza soladamente a sua produção.

20 O PROBLEMA DA REPARTIÇÃO DOS BENEFÍCIOS 58 O restante desta dssertação va abordar o problema decorrente desta condção, que é como repartr estes benefícos de manera justa e efcente entre os N agentes que formam a grande coalzão.