Deteção e Previsão de Falhas em Equipamentos de Produção Industrial

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1 ASSOCIAÇÃO DE POLITÉCNICOS DO NORTE (APNOR) INSTITUTO POLITÉCNICO DO PORTO Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial Daniel Filipe Ferreira da Silva Disseração apresenada ao Insiuo Poliécnico do Poro para obenção do Grau de Mesre em Logísica Orienada por: Professora Douora Parícia Alexandra Gregório Ramos Poro, Novembro de 013

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3 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial Daniel Filipe Ferreira da Silva Orienada por: Professora Douora Parícia Alexandra Gregório Ramos Poro, Novembro de 013

4 RESUMO As empresas nacionais deparam-se com a necessidade de responder ao mercado com uma grande variedade de produos, pequenas séries e prazos de enrega reduzidos. A compeiividade das empresas num mercado global depende assim da sua eficiência, da sua flexibilidade, da qualidade dos seus produos e de cusos reduzidos. Para se aingirem eses objeivos é necessário desenvolverem-se esraégias e planos de ação que envolvem os equipamenos produivos, incluindo: a criação de novos equipamenos complexos e mais fiáveis, aleração dos equipamenos exisenes modernizando-os de forma a responderem às necessidades auais e a aumenar a sua disponibilidade e produividade; e implemenação de políicas de manuenção mais asseriva e focada no objeivo de zero avarias, como é o caso da manuenção prediiva. Nese conexo, o objeivo principal dese rabalho consise na previsão do insane emporal óimo da manuenção de um equipameno indusrial um refinador da fábrica de Mangualde da empresa Sonae Indusria, que se enconra em funcionameno conínuo 4 horas por dia, 365 dias por ano. Para o efeio são uilizadas medidas de sensores que moniorizam coninuamene o esado do refinador. A principal operação de manuenção dese equipameno é a subsiuição de dois discos meálicos do seu principal componene o desfibrador. Consequenemene, o sensor do refinador analisado com maior dealhe é o sensor que mede a disância enre os dois discos do desfibrador. Os modelos ARIMA consisem numa abordagem esaísica avançada para previsão de séries emporais. Baseados na descrição da auocorrelação dos dados, eses modelos descrevem uma série emporal como função dos seus valores passados. Nese rabalho, a meodologia ARIMA é uilizada para deerminar um modelo que efeua uma previsão dos valores fuuros do sensor que mede a disância enre os dois discos do desfibrador, deerminando-se assim o momeno óimo da sua subsiuição e eviando paragens forçadas de produção por ocorrência de uma falha por desgase dos discos. Os resulados obidos nese rabalho consiuem uma conribuição cienífica imporane para a área da manuenção prediiva e deeção de falhas em equipamenos indusriais. Palavras - chave: Equipameno indusrial, Manuenção prediiva, Modelos ARIMA, Previsão de falhas. i

5 ABSTRACT Globalizaion and compeiiveness in exising markes currenly cas an increasingly demanding challenge for organizaions. The delivery of he produc or service desired by he cusomer is becoming less a differeniaing facor, bu a maer of survival. The clien demands ha he produc is produced according o he desired characerisics o he firs, wih guaraneed qualiy and on ime. This increasingly challenge, driven by he need o coninuously opimize he qualiy of producs, made mainenance began o be reaed in a differen way. Mainenance, here, is seen as he se of echnical and adminisraive acions designed o mainain accepable condiions in manufacuring faciliies and equipmen o ensure regulariy, qualiy and safey in producion, wih minimal oal coss. Inelligen mehods for collecing and organizing daa and predic poenial failures will conribue grealy o he effeciveness of he machine prevenive/predicive mainenance. The predicion of failures and mainenance acions of indusrial machines is a problem wih ineresing characerisics. We need o forecas cerain rare evens, which are supposed o be dependen on he recen values of a se of ime series values. These ime series describe he recen values of a se of sensors ha monior several aspecs of he indusrial machines. For each ask being handled by hese machines (a kind of working conex), he sensors are expeced o have a cerain ypical behavior. Deviaions from his ypical behavior are good indicaors of a foreseen failure or some mainenance acion. In his conex, he main objecive of his work is o forecas he precise iming of he mainenance of a indusrial equipmen whose main acion is he replacemen of wo meallic discs of is main componen - he shredder. The ARIMA mehodology is used o idenify a model ha forecass he fuure values of he sensor ha measures he disance beween he wo disks of he shredder, hereby deermining he opimal ime of heir replacemen and avoiding forced downime per occurrence of a failure by wear of he discs. These resuls obained in his work consiue an imporan conribuion in he field of predicive mainenance and faul deecion in indusrial equipmen. Keywords: Manufacuring equipmen, Predicive mainenance, ARIMA models, Forecasing failures ii

6 AGRADECIMENTOS A realização dese rabalho foi possível graças à colaboração e ao apoio direo ou indireo de algumas pessoas. Inicialmene gosaria de agradecer a Marlene Vieira, pelo apoio incondicional que sempre me deu em odos os momenos. O meu sincero agradecimeno à Professor Douora Parícia Ramos, pela disponibilidade que sempre manifesou e ambém pela sua ajuda, encorajameno e orienação cienífica que em muio conribuíram para o enriquecimeno dese rabalho. Agradeço ainda a minha família, que à sua maneira sempre me apoiou. A odos os que conribuíram para a conclusão dese projeo. Obrigado! iii

7 ÍNDICE RESUMO...i ABSTRACT...ii AGRADECIMENTOS...iii ÍNDICE...iv ÍNDICE DE FIGURAS...vi ÍNDICE DE TABELAS...vii 1. INTRODUÇÃO Enquadrameno e moivação Objeivos do rabalho Esruura do documeno...3 MANUTENÇÃO Inrodução A imporância da manuenção...6. Tipos de manuenção Manuenção preveniva Manuenção sisemáica Manuenção prediiva MODELOS ARIMA Inrodução Conceios fundamenais Processo Esocásico Função de auocorrelação Função de auocorrelação parcial Processo ruído branco Esimação das FAC e FACP Processos esacionários Modelo ARMA Modelo SARMA(P,Q) s Modelo ARMA(p,q)(P,Q) s Comporamenos eóricos Processos não esacionários Não esacionaridade em média...5 iv

8 3.4. Não esacionaridade em variância Modelo ARIMA(p,d,q) Modelo ARIMA(p,d,p)(P,D,Q) s Meodologia de análise Idenificação Esimação Avaliação do diagnósico Seleção de modelos Previsão Inervalos de previsão Erros de previsão CASO DE ESTUDO Refinador da Sonae Indúsria Conjuno de dados MODELAÇÃO E PREVISÃO Ambiene de modelação e previsão Análise exploraória Resulados de previsão do conjuno de reino Resulados de previsão do conjuno de ese CONCLUSÕES...48 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...50 v

9 ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1 - A imporância crescene da manuenção (Brio, 003)....6 Figura - Tipos de manuenção de equipamenos ou bens (adapado de European Sandard EN 13306)...7 Figura 3 - Gráfico ilusraivo da manuenção prediiva (Sanos, 009) Figura 4 - Refinador da Sonae Indúsria...33 Figura 5 Medidas do Sensor 11 durane 671 dias de rabalho Figura 6 Medidas do Sensor 0 durane 671 dias de rabalho Figura 7 Medidas do Sensor 0 usadas na análise (uma observação em cada dois dias) Figura 8 Ambiene de modelação e previsão...37 Figura 9 Observações do Sensor Figura 10 FAC amosral das medidas do Sensor Figura 11 FACP amosral das medidas do Sensor Figura 1 Observações do Sensor 0 após ransformação logarímica...40 Figura 13 FAC amosral das medidas do Sensor 0 após ransformação logarímica Figura 14 FACP amosral das medidas do Sensor 0 após ransformação logarímica...41 Figura 15 FAC amosral dos resíduos do conjuno de ajuse Figura 16 Resíduos esandardizados do conjuno de ajuse...43 Figura 17 Hisograma dos resíduos esandardizados do conjuno de ajuse Figura 18 Ajuse e previsões do Sensor 0 para o período de ese (14 dias)...45 Figura 19 Previsões do Sensor 0 para o período de ese (14 dias)...45 Figura 0 Previsões e inervalos de previsão do Sensor 0 para um período de 14 dias...47 vi

10 ÍNDICE DE TABELAS Tabela 1 Comporamenos eóricos das FAC e FACP dos modelos de séries esacionárias (Caiado, 011)...4 Tabela Medidas do desempenho das previsões para o conjuno de reino....4 Tabela 3 Previsões e inervalos de previsão do Sensor 0 para o período de ese (14 dias). 46 Tabela 4 Medidas do desempenho das previsões para o conjuno de ese...46 Tabela 5 Previsões e inervalos de previsão do Sensor 0 para um período de 14 dias...47 vii

11 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial 1. INTRODUÇÃO 1.1 Enquadrameno e moivação As empresas de manufaura, em paricular as pequenas e médias empresas (PMEs), esão a evoluir de forma rápida acompanhando as alerações recenes ocorridas nos mercados e nos próprios produos (Chaves, 000). As máquinas de manufaura consiuem uma ecnologia essencial num grande número de seores indusriais chave que êm requisios comuns para a cusomização crescene do produo e para uma maior compeiividade em ermos de redução de cusos, de prazos de enrega mais curos e de uma melhor qualidade. De forma a aingir essas necessidades crescenes, as máquinas de manufaura devem ser cada vez mais fiáveis e ao mesmo empo esarem sempre disponíveis (Pereira e Requeijo, 008). Uma maior inegração enre a performance da máquina e os seus parâmeros (écnicos, ambienais e do próprio processo de fabrico) orna-se um requisio crucial que o operador da máquina em normalmene dificuldade de enender e conrolar. Consequenemene, a uilização de méodos ineligenes para recolher e organizar informação e prever falhas poenciais irão conribuir de forma significaiva para uma efeiva manuenção prediiva da máquina. Desde a inspeção visual, que é um dos méodos mais anigos, embora seja ainda um dos méodos mais poderosos e mais uilizados, a manuenção prediiva evoluiu para a uilização de méodos auomáicos que uilizam écnicas avançadas de processameno de sinal baseadas em reconhecimeno de padrões, incluindo redes neuronais, fuzzy logic ou modelação física e empírica orienada aos dados (Hashemian, 011). Quando o equipameno começa a falhar, ese deve evidenciar sinais que possam ser deeados pelos senidos humanos (olhos, nariz ou ouvidos) ou por sensores que esão correnemene disponíveis e que permiem idenificar essa degradação no funcionameno e as consequenes falhas. A inegração deses sensores com écnicas de manuenção prediiva podem eviar a reposição desnecessária de equipameno, reduzir cusos e aumenar a segurança, a disponibilidade e a eficiência no processo de fabrico. A previsão de falhas e de ações de manuenção de máquinas indusriais é um problema com caracerísicas ineressanes. Traa-se de prever ceros evenos raros, que se supõe serem dependenes dos valores de um conjuno de séries emporais que descrevem os sensores que moniorizam os vários aspeos associados às máquinas indusriais. Para cada arefa a ser raada por esas máquinas (um ipo de conexo de rabalho), eses sensores devem er um deerminado comporameno ípico. Os desvios desse comporameno ípico são bons Daniel Filipe Ferreira da Silva 1

12 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial indicadores da ocorrência próxima de uma falha ou da necessidade de uma ação de manuenção. Um grande número de diferenes abordagens em sido usado para desenvolver modelos de manuenção prediiva, incluindo écnicas de daa mining e méodos de inferência esaísica, em paricular écnicas não paraméricas (Bohoris e Leião, 1991; Lopes e al., 010). Nas diferenes abordagens, o processo de desenvolvimeno do modelo de manuenção prediiva é, em grande pare, manual. Os modelos de previsão de séries emporais necessiam de diferenes arefas de pré-processameno por forma a idenificar padrões e elemenos caracerísicos (Uriel, 1985; Makridakis and Wheelwrigh, 1998; Pena e al., 001). Os algorimos de daa mining precisam de resolver diferenes arefas de pré-processameno e ajuse de parâmeros. Assim, o desenvolvimeno de modelos prediivos de manuenção de máquinas indusriais a operarem em ambienes diversos ainda requer uma quanidade significaiva de esforço humano com elevados cusos. Além disso, é difícil garanir que os modelos permaneçam fiáveis ao longo do empo em ambienes dinâmicos. Por odas esas dificuldades, a manuenção prediiva suporada na previsão correa de falhas ainda não é uma realidade. A abordagem de Box-Jenkins para a modelação de processos ARIMA oferece uma meodologia conveniene para enconrar um modelo esaísico adequado, que pode ser usado para fazer previsões (Box e al., 008 ). Zhao e al. (007) esima um modelo ARMA para prever falhas de uma fábrica de semiconduores ATM, exisindo ainda ouros exemplos bem sucedidos. Empiricamene, inúmeras aplicações com sucesso êm esabelecido o seu papel para o reconhecimeno de padrões e para previsão (Zhang e Qi, 005). O primeiro passo num esudo de previsão que objeiva manuenção prediiva é a consrução de um conjuno de dados de boa qualidade. Esse conjuno de dados deve fornecer aos modelos exemplos dos evenos raros que se preendem prever. Sem um hisórico de falhas e aividades de manuenção, os modelos não êm possibilidade de prever esses evenos. O conjuno ideal de dados deve assim ser composo por uma sequência de observações do esado da máquina associadas a marcas emporais. O segundo passo é a previsão dos valores fuuros dos sensores da máquina. Nese rabalho, ese segundo passo irá uilizar modelos de previsão ARIMA. A eapa final do esudo prediivo é deeção de falhas e ações de manuenção com base nas previsões dos valores fuuros dos sensores. Daniel Filipe Ferreira da Silva

13 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial 1. Objeivos do rabalho O objeivo principal dese rabalho consise na previsão do momeno emporal óimo da manuenção de um equipameno indusrial um refinador da fábrica de Mangualde da empresa Sonae Indusria, que se enconra em funcionameno conínuo 4 horas por dia, 365 dias por ano. Para o efeio foram disponibilizadas medidas de sensores que moniorizam coninuamene o esado do refinador. A principal operação de manuenção dese equipameno é a subsiuição de dois discos meálicos do seu principal componene o desfibrador. Consequenemene, o sensor do refinador analisado com maior dealhe foi o sensor que mede a disância enre os dois discos do desfibrador. Os modelos ARIMA consisem em uma abordagem esaísica avançada para previsão de séries emporais. Inroduzidos por Box e Jenkins em 1970, permiem modelizar e prever séries emporais esacionárias aravés de uma represenação auoregressiva e de médias móveis. Baseados na descrição da auocorrelação dos dados, eses modelos descrevem uma série emporal como função dos seus valores passados e como combinação linear de uma sucessão de choques aleaórios. Box e Jenkins em 1970, e mais arde Box, Jenkins e Reinsel em 1994, enre ouros, propuseram uma meodologia de análise de séries emporais baseada nas eapas de idenificação, esimação, avaliação do diagnósico, seleção de modelos e previsão. Com base em modelos de previsão ARIMA, o objeivo dese rabalho consise em prever os valores fuuros do sensor que mede a disância enre os dois discos do desfibrador, para se deerminar o momeno óimo da sua subsiuição e eviar paragens forçadas de produção por ocorrência de uma falha por desgase dos discos. 1.3 Esruura do documeno O presene rabalho esá esruurado em seis capíulos. O primeiro capíulo enquadra a manuenção no conexo das empresas de manufaura referindo os principais paradigmas envolvidos, especifica os objeivos do rabalho e refere a esruura da disseração. O segundo capíulo inroduz de uma forma breve o ema da manuenção dando-se paricular enfase à manuenção prediiva. O erceiro capíulo aborda de uma forma sucina o méodo avançado de previsão uilizado no caso em esudo: os modelos ARIMA. Daniel Filipe Ferreira da Silva 3

14 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial No quaro capíulo é apresenado o caso de esudo desenvolvido nese rabalho. É feia uma breve apresenação da empresa Sonae Indusria e é levada a cabo uma análise exploraória do conjuno de dados em esudo. O quino capíulo descreve a uilização da meodologia ARIMA no caso em esudo, apresenando os resulados de modelação e previsão para o sensor deerminane para a manuenção prediiva. Finalmene o sexo capíulo apresena as principais conclusões do rabalho e ece alguns desenvolvimenos fuuros. Daniel Filipe Ferreira da Silva 4

15 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial MANUTENÇÃO.1 Inrodução Todo o bem ou equipameno esá sujeio a um processo de deerioração, especialmene se esiver em aividade ou funcionameno para o qual foi concebido. Para que uma insalação fabril consiuída por uma diversidade de equipamenos ou bens, obenha resulados posiivos ao nível da sua produividade, é necessário que odos eses equipamenos e bens sejam manidos nas melhores condições de funcionameno. Assim, odo esse equipameno deverá passar, ao longo da sua vida úil de funcionameno por reparações, inspeções programadas, roinas prevenivas programadas e adequadas, subsiuição de peças e órgãos, mudanças de óleo, lubrificações, limpezas, pinuras, correções de defeios resulanes quer do seu fabrico quer do rabalho que esiver a realizar. O conjuno de odas esas ações consiui aquilo a que se designa por manuenção. Com origem no laim a palavra Manuenção, manus, mão, e enione, o ao de segurar, significa ao ou efeio de maner. Manuenção é o conjuno de ações écnicas e adminisraivas com o fim de maner em condições aceiáveis as insalações e o equipameno fabril de forma a assegurar a regularidade, a qualidade e a segurança na produção com o mínimo de cusos oais. De oura forma pode definir-se Manuenção como a combinação das ações de gesão, écnicas e económicas, aplicadas aos bens, para a oimização dos seus ciclos de vida (Monchy, 1989). Segundo Sanos (009), a manuenção começa muio anes da primeira avaria de uma máquina. Começa na fase de projeo do equipameno e da insalação indusrial. É na fase de conceção de um equipameno que a Manuibilidade (capacidade de ser manido), que a Fiabilidade e a Disponibilidade (capacidade de esar operacional) e que a sua Durabilidade (duração de vida possível) vão ser pré-deerminados. É desejável que a Manuenção paricipe na insalação e início de funcionameno da máquina ou equipameno. A manuenção em uma ripla missão: Vigilância permanene ou periódica; Ações paliaivas e reparações; Ações prevenivas; com recolha e raameno dos dados fornecidos pelas ações desenvolvidas. Daniel Filipe Ferreira da Silva 5

16 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial rácio: No plano económico permie oimizar o equipameno de forma a reduzir ao mínimo o Despesas de manuenção cusos de paragens foruias Serviço efeuado A úlima missão do serviço de manuenção é o de deerminar o momeno económico de realização de ações curaivas, correivas, prevenivas e prediivas no equipameno e paricipar na seleção de um novo..1.1 A imporância da manuenção Segundo Sheu e Krajeski (1994), os cusos de manuenção indusrial podem variar enre 15% e 40 % dos cusos oais de produção, exisindo auores que consideram eses valores ainda mais elevados (Ferreira, 000). Aos problemas radicionais da manuenção junam-se aualmene as economias de energia, a conservação do meio ambiene, a renovação dos equipamenos e das insalações, a fiabilidade, a eficácia, a oimização dos processos indusriais, a sua própria qualidade e a valorização dos seus écnicos (Brio, 003). Sene-se uma imporância crescene da manuenção como um dos veores fundamenais para a compeiividade económica das empresas (ver Figura 1). Deerioração da resisência ao desgase dos equipameno Aumeno dos cusos de manuenção Esgoameno de maérias-primas Preservação e proeção ambienal Exigências crescenes da qualidade dos equipamenos e da manuenção em paricular Segurança das pessoas, dos equipamenos e do parimónio Melhoria da qualidade de vida Imporância Crescene Da Manuenção Auomação crescene Desenvolvimeno ecnológico dos equipamenos Figura 1 - A imporância crescene da manuenção (Brio, 003). Daniel Filipe Ferreira da Silva 6

17 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial. Tipos de manuenção A evolução da manuenção esá ligada à própria evolução humana, principalmene à lua para se criar e conservar objeos que permiam um domínio cada vez maior da naureza. Mesmo com o consane avanço ecnológico, ano os produos como os equipamenos de produção êm uma duração limiada, e ceramene irão falhar em algum momeno de suas vidas, daí a imporância da manuenção para maner ou recuperar sua funcionalidade(ferreira, 000). Não exise grande consenso enre os diversos auores quano à classificação dos diferenes ipos de manuenção. Conudo, considerando a classificação usada pela norma europeia sobre a maéria (European Sandard EN 13306), podem considerar-se duas grandes classes de manuenção: manuenção preveniva e manuenção correiva, que diferem enre si exaamene pelas razões pelas quais são levadas a cabo (ver Figura ). A primeira é levada a cabo anes da deeção de uma falha e a segunda é levada a cabo depois da deeção de uma falha. Figura - Tipos de manuenção de equipamenos ou bens (adapado de European Sandard EN 13306). Daniel Filipe Ferreira da Silva 7

18 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial..1 Manuenção preveniva Para Cabral (006) manuenção preveniva é a manuenção efeuada a inervalos de empo pré-deerminados ou de acordo com criérios prescrios com a finalidade de reduzir a probabilidade de avaria ou degradação do funcionameno de um bem. Segundo Monchy (1989), a manuenção preveniva é uma inervenção previsa, preparada e programada anes da daa provável do aparecimeno de uma falha. A manuenção preveniva é, ao conrário da manuenção correiva, uilizada com o inuio de eviar ou reduzir as falhas que possam surgir no equipameno. Esa prevenção ou anecipação de ações é feia baseada em esudos esaísicos, esado do equipameno, local de insalação, condições eléricas que o suprem, dados fornecidos pelo fabricane (condições óimas de funcionameno, ponos e per iodicidade de lubrificação, limpeza, ajuse, ec.), enre ouros (Sanos, 009). É objeivo da manuenção preveniva: Reduzir para valores mínimos o número de avarias em serviço, aumenando assim a disponibilidade dos equipamenos e a sua fiabilidade; Diminuir os cusos da manuenção correiva, diminuindo o número oal de inervenções correivas; Aumenar consideravelmene a axa de uilização anual dos sisemas de produção e de disribuição; Diminuir consideravelmene o numero de inervenções em períodos inoporunos, ais como: períodos nournos, fins de semana, durane períodos críicos de produção e disribuição, ec. As principais vanagens de uma correa manuenção preveniva são: Redução de avarias e consequenemene as paragens na produção; Redução do número de reparações críicas; Redução dos cusos de reparação; Melhor conservação e durabilidade dos equipamenos; Melhor qualidade do produo final; Maior segurança nos equipamenos e processos; Menores cusos gerais de produção. A manuenção preveniva pode subdividir-se em duas subcaegorias: manuenção sisemáica e manuenção prediiva, conforme se pode observar na Figura. Daniel Filipe Ferreira da Silva 8

19 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial.. Manuenção sisemáica A manuenção sisemáica assume que as falhas ocorrem de um modo mais ou menos previsível, pelo que os rabalhos são planeados com uma periodicidade que permia que sejam realizados anes da ocorrência da falha, não exisindo conudo um conrolo prévio do esado do equipameno. Esa meodologia é porano uma manuenção periódica, realizada a inervalos consanes, sejam eles horas de funcionameno, de produção, número de peças produzidas, ec, sem informação referene à condição do equipameno em causa. Como já referimos aneriormene esa manuenção é efeuada com uma cera periodicidade, que numa primeira fase é deerminada a parir dos dados do fabricane do equipameno, podendo numa ª fase ser deerminada a parir dos resulados operacionais das visias prevenivas ou ensaios realizados, endo por objeivo maner o sisema num esado de funcionameno equivalene ao inicial. Ese ipo de manuenção aplica-se essencialmene a ceros órgãos considerados sensíveis, pois represenam em caso de avaria: cusos elevados, paragem do equipameno, paragens de longa duração, equipamenos que colocam em causa a segurança do pessoal ou dos uilizadores. A manuenção sisemáica apresena vanagens e desvanagens. As vanagens da manuenção sisemáica são: Predeerminação dos cusos associados a cada operação de manuenção; Gesão financeira simplificada; Operações e paragens programadas de acordo com a produção. As desvanagens da manuenção sisemáica são: O cuso de cada operação é elevado, devido à periodicidade; Exisir maior possibilidade de erro humano, dada a frequência de inervenção; O cuso da mão-de-obra é elevado, pois, de um modo geral, esas inervenções são realizadas ao fim de semana; Desmonagem, ainda que superficial, leva à subsiuição de peças provocadas pela síndrome de precaução; Muliplicidade de operações aumena o risco de inrodução de novas avarias; As paragens sisemáicas, ainda que planeadas, êm um cuso elevado. Daniel Filipe Ferreira da Silva 9

20 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial..3 Manuenção prediiva A manuenção prediiva, ambém designada por manuenção preveniva condicional, caraceriza-se pela realização de um acompanhameno das condições do equipameno, aravés de meios sisemáicos de vigilância. Desa forma é possível moniorizar o equipameno sem ese sofrer paragens de produção, sendo possível prever o momeno de falha, permiindo assim inervir sobre o equipameno anes que esa ocorra. Enende-se por conrolo prediivo de manuenção à deerminação do momeno óimo para efeuar a manuenção num equipameno, ou seja, a deerminação do insane emporal a parir do qual a probabilidade do equipameno falhar assume valores não aceiáveis (ver Figura 3). Figura 3 - Gráfico ilusraivo da manuenção prediiva (Sanos, 009). A deerminação desse momeno raz como resulado índices ideais de prevenção de falhas, sob o aspeo écnico-económico, uma vez que a inervenção no equipameno não é feia durane o período que ainda esá em condições de presar o serviço, nem no período em que suas caracerísicas operaivas esão compromeidas. Nese ipo de manuenção, a decisão de inervenção preveniva é omada (Sanos, 009). Segundo Sanos (009), e se ipo de manuenção aplica-se a equipamenos críicos e permie refinar os sisemas de manuenção preveniva, sendo a manuenção envolvida por um esforço conjuno onde: as unidades são descenralizadas, os especialisas em manuenção são envolvidos nos projeos dos equipamenos e decisões sobre preparação de equipamenos ( se up ) e manêm conacos com fornecedores para assegurar qualidade. Para ser eficaz deverá ser pensada, como já foi referido, durane a conceção do equipameno. Daniel Filipe Ferreira da Silva 10

21 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial Exisem diversas écnicas de conrolo de condição das máquinas, sendo as mais conhecidas e uilizadas: Análise de vibrações; Ensaios não desruivos; Termografia; Análise de parâmeros de rendimeno; Inspeção visual; Medições ulra-sónicas; Análises de lubrificanes em serviço. Esas écnicas esão nauralmene dependenes da eficácia dos recursos e das meodologias uilizadas para vigiar o esado dos equipamenos. As vanagens da manuenção prediiva são: Aumeno da longevidade dos equipamenos; Conrolo mais eficaz de peças de reserva e sua limiação; Cuso menor de reparação; Aumeno de produividade. As várias eapas que compõem a manuenção prediiva são, de um modo geral, as que se seguem. Eapa 1 - Deeção do defeio que se desenvolve A deeção do defeio é efeuada normalmene pelo regiso de vibrações ou aravés da medição de alguns parâmeros, ais como pressão, emperaura, aceleração, inensidade de correne e caudal. Eapa - Esabelecimeno de diagnósico Nesa fase localizam-se a origem e a gravidade dos defeios. Eapa 3 - Análise da endência Faz-se um pré-julgameno do empo disponível anes da avaria, de modo a deerminar o momeno de início de vigilância aperada e prever a reparação. As condições básicas para a realização de manuenção prediiva são: O equipameno, o sisema ou a insalação devem permiir algum ipo de moniorização/medição; O equipameno, o sisema ou a insalação devem merecer esse ipo de ação, em função dos cusos envolvidos; Daniel Filipe Ferreira da Silva 11

22 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial Deve ser esabelecido um programa de acompanhameno, análise e diagnósico, sisemaizado; É fundamenal que a mão-de-obra da manuenção responsável pela análise e diagnósico seja bem reinada. Não basa mensurar; é preciso analisar os resulados e formular diagnósicos. Daniel Filipe Ferreira da Silva 1

23 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial 3 MODELOS ARIMA 3.1 Inrodução Uma série emporal consise num conjuno de observações de uma variável feias em períodos sucessivos de empo durane um deerminado inervalo e represena-se por: Y, 1,,, n (1) São exemplos, as coações diárias das ações, as vendas semanais de um dado produo financeiro, o número mensal de dormidas na hoelaria, as despesas públicas rimesrais do país, os lucros anuais de uma empresa, as emperauras mínimas, médias e máximas diárias (Hanke, 001). A represenação gráfica de uma série emporal designa-se por cronograma e consiui o pono de parida para a sua análise. 3. Conceios fundamenais 3..1 Processo Esocásico Um processo esocásico pode definir-se como uma sequência (finia o u infinia) de variáveis aleaórias (Caiado, 011; Brockwell and Davis, 1996): ou ou Y, 1,,, n Y1 Y Y n,,,,, em empo discreo () Y : 0,, em empo conínuo (3) Uma série emporal pode enender-se como uma das infinias realizações de um processo esocásico. Os processos esocásicos esacionários baseiam-se no pressuposo de que o sisema se enconra num deerminado esado de equilíbrio esaísico. Um processo esocásico Y, 1,,, n diz-se esacionário aé à segunda ordem (ou esacionário em covariância) se, em média consane variância consane E() Y,, (4) Daniel Filipe Ferreira da Silva 13

24 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial e covariância enre Y 1 e Y Var()() Y E Y,, (5) ()()()( E Y,),, Y,, k k k 1, (6) e correlação enre Y 1 e Y (,) (,)(,),,, k k k (7) independenes do empo, dependendo apenas da diferença de empo k enre Y e Y 1 (Wei, 006; Chafield, 003). Habiualmene, usa-se simplesmene o ermo esacionário para referir os processos que são esacionários aé à segunda ordem. 3.. Função de auocorrelação Fazendo 1 k e, a covariância e a correlação enre Y e Y k vêm da forma seguine (Ramos, 013): ( 1,)(,)(,) k k k (8) e Às funções de k, de auocorrelação (FAC). k e k ( 1,)(,)(,) k k k (9) chama-se, respeivamene, função de auocovariância e função As principais propriedades das funções auocovariância e auocorrelação são as seguines (Ramos, 013): 1) 0 Var Y 0 (); 1 ; ) ; 1 0 ; k k 3) ;( e são siméricas em orno da origem e habiualmene só k k k k k k são calculadas para k 0 ); 4) k e k são semidefinidas posiivas. Daniel Filipe Ferreira da Silva 14

25 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial 3..3 Função de auocorrelação parcial Para além de analisar a correlação oal enre correlação simples enre Y e Y k, ineressa ambém invesigar a Y e Y k, depois de eliminar o efeio que sobre elas exercem os valores inermédios Y 1, Y,, Y k 1 iso é a corr( Y, Y k Y 1, Y,...,) Y k 1 (Caiado, 011). Esa correlação condicional na análise emporal designa-se por auocorrelação parcial e represena-se por (FACP) Processo ruído branco kk. À função de k () k, kk chama-se função de auocorrelação parcial Um processo ruído branco é consiuído por uma sequência de valores não correlacionados ao longo do empo e expressa-se por (Makridakis e al., 1998): Y (10) onde o ermo aleaório em média consane, E(), variância consane Var(), e covariância nula, Cov(,) 0, para odo o k 0. Por definição, um k processo ruído branco é esacionário. As FAC e FACP de um ruído branco são nulas para odo o k 0. Um processo ruído branco é Gaussiano se a sua disribuição conjuna é normal. A não ser que se refira o conrário, de média zero. será considerado um processo ruído branco Gaussiano 3..5 Esimação das FAC e FACP Na abordagem dos modelos lineares univariados de séries emporais, em-se a preocupação de descrever o comporameno de uma variável com base no conhecimeno exclusivo dos seus valores passados, daí que a principal esaísica de análise seja a FAC, pois esa mede a correlação enre pares de valores da série desfasados em 1, e mais períodos (designados por lags) (Caiado, 011). A FAC pode ser esimada aravés da expressão (Caiado, 011): nk ()() Y Y Y k Y k 1 ˆ k, k 0,1,,... n 0 () Y Y 1 (11) onde Y é a média da série emporal. Daniel Filipe Ferreira da Silva 15

26 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial No caso da FACP, a esimação pode ser feia aravés de um méodo recursivo, dado pela expressão: k 1 ˆ ˆ ˆ k k 1, jk j ˆ j1 kk, k 1 1 ˆ ˆ j1 k 1, j j (1) ˆ ˆ (inicialização) e ˆ ˆ ˆ ˆ 1,,..., 1, kj k 1, j kkk 1, k j, j k ou calculada da forma com 11 1 seguine (Ramos, 013): 1 ˆ 1 ˆ 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ 11 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 33 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 ˆ kk 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ 1 k k 3 1 k 4 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ k 1 k k 3 1 k 1 k k k 3 k 1 k 4 k 3 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 k 1 k k 3 1 (13) 3.3 Processos esacionários Modelo ARMA Box e Jenkins (1970) inroduziram os modelos lineares de séries esacionárias não sazonais, designados por modelos ARMA ( p,) q, aravés da represenação genérica (Caiado, 011; Wei, 006; Hamilon, 1994): onde a série Y Y... Y 0 e 0, (14) 1 1 p p 1 1 q q, p q Y é função dos seus valores passados e da combinação linear de uma sequência de choques aleaórios; 1,,..., p são os parâmeros auorregressivos e p a ordem da componene auorregressiva; 1,,..., p são os parâmeros de médias móveis e q a ordem da componene de médias móveis. Daniel Filipe Ferreira da Silva 16

27 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial Na modelação empírica de séries esacionárias, são frequenemene uilizados modelos parcimoniosos do ipo ARMA ( p,) q, com p, q 0,1,. esruura e as suas principais propriedades esaísicas Modelo AR(1) Em seguida, descreve-se a sua O modelo auorregressivo de 1ª ordem ou AR(1) em a seguine represenação: Y Y, com 0 (15) 1 onde é um ruído branco de média zero. Para que o processo seja esacionário deve saisfazer a condição 1. Mosra-se facilmene que a FAC de um processo AR(1) é (Ramos, 013): k k, k 1,,3... (16) Enão, as magniudes das auocorrelações diminuem exponencialmene à medida que o número de lags aumena, e dependendo do sinal de, se: 0 1, odas as auocorrelações são posiivas; 1 0, o sinal das auocorrelações alerna começando com o sinal negaivo. Facilmene se verifica ambém que a FACP de um processo AR(1) é:, k 1 kk (17) 0, k,3,4,... Logo, a FACP para o lag 1 corresponde ao valor (posiivo ou negaivo) de, e para lags superiores a 1 é nula Modelo AR() O modelo auorregressivo de ª ordem ou AR() em a forma (Caiado, 011; Wei, 006): ou, uilizando o operador araso Y Y Y, com 0 (18) B B Y, (19) ou (), B Y (0) Daniel Filipe Ferreira da Silva 17

28 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial onde é um polinómio auorregressivo de ª ordem e Para ser esacionário é necessário que as raízes de ou que 1 e verifiquem as seguines condições: () B 1 1B B (1) é um ruído branco de média zero. ()B enham módulo superior a um, () 1 1 A FAC de um processo de ª ordem é dada recursivamene por: k 1 k 1 k, k 3, 4... (3) com e 1 1 (4) Pode mosrar-se que a FAC erá: um decaimeno exponencial amorecido para zero se à medida que k aumene de as raízes de ()B são reais; um decaimeno sinusoidal amorecido para zero à medida que k aumene se as raízes de ()B são complexas. Facilmene se mosra que a FACP de um processo AR() é: , 0, k 3, 4,... (5), kk Repare-se que a FACP é nula para lags superiores a Modelo AR(p) 006): O modelo auorregressivo de ordem p ou AR ()p em a forma (Caiado, 011; Wei, Y 1Y 1 Y... py p, com p 0, (6) ou, uilizando o operador araso, (1), (7) p 1B B pb Y Daniel Filipe Ferreira da Silva 18

29 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial ou ainda, () B Y, (8) p onde p p() B 1 1B B pb é um polinómio auorregressivo de ordem p e é um ruído branco de média zero. A esacionaridade do processo exige que as p raízes de () B a um. A FAC de um processo AR(p) é: p enham módulo superior k 1 k 1 k... k, k 1,,... (9) e consequenemene, a FACP é nula para lags superiores a. A FAC e a FACP de um processo AR(p) erão um descaimeno exponencial ou sinusoidal amorecido para zero, dependendo das raízes de () B Modelo MA(1) p O modelo médias móveis de 1ª ordem ou MA(1) descreve a série choque aleaório, relação, e ambém do seu valor desfasado um período, 1 Y aravés de um. Define-se aravés da Y, 1 (30) ou Y (1), B (31) ou ainda Y () B, (3) onde () B 1 B é um polinómio médias móveis de 1º ordem e é um ruído branco de média zero. de O processo MA(1) é esacionário desde ()B deve er módulo superior a um: 1 (Wei, 006). Para ser inverível, a raiz B (33) Mosra-se facilmene que a FAC de um processo MA(1) é: Daniel Filipe Ferreira da Silva 19

30 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial 1, k k (34) 0, k,3 ou seja, é nula para lags superiores a 1. Noe-se que Pode verificar-se que a FACP de um processo MA(1) é dada por: (1) k 1 1 kk k ( k 1) 11, 1,,... o que implica que em um decaimeno exponencial para zero numa das duas formas seguines, dependendo do sinal de 1. Se: , odas as auocorrelações são negaivas;, o sinal das auocorrelações é alernado começando com o sinal posiivo. Noe-se ambém que kk Modelo MA() ou O modelo médias móveis de ª ordem ou MA() assume a expressão, 1 1 (35) Y (36) Y (1), B B 1 (37) ou ainda Y (), B (38) onde () B 1 1B B é um polinómio médias móveis de ª ordem e branco de média zero. Para ser inverível, as raízes de ()B um, o que equivale a exigir que os coeficienes de médias móveis 1 e condições: 1 1 é um ruído devem er módulo superior a êm que saisfazer as (39) A função de auocorrelação de um processo MA() é: Daniel Filipe Ferreira da Silva 0

31 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial k 1 (1), k 1 1 1, k 1 1 0, k 3,4,... (40) endo uma queda para zero a parir do lag 3. A função de auocorrelação parcial de um processo MA() é:,,, (41) endo um decaimeno exponencial ou sinusoidal amorecido para zero dependendo dos sinais e magniudes de 1 e Modelo MA(q) O modelo auorregressivo de ordem q ou MA(q) assume a expressão Y com 0, (4) 1 1 q q, q ou Y B B B (43) q (1), 1 q ou ainda Y () B, (44) q onde q q() B 1() 1B B q B é um polinómio médias móveis de ordem q e é um ruído branco com média zero e variância consane. Para ser inverível, as raízes de q () B devem er módulo superior a um. A função de auocorrelação de um processo MA(q) é: k 0, k 1 k 1 k qk q 11 q, k 1,,..., q k q (45) Daniel Filipe Ferreira da Silva 1

32 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial endo uma queda para zero a parir do lag q+1. A FACP em um decaimeno exponencial ou sinusoidal amorecido para zero, dependendo da naureza das raízes de () B Modelo ARMA(1,1) O modelo ARMA(1,1) inclui um faor auorregressivo de 1ª ordem e um faor de médias móveis de 1ª ordem e em a represenação, Y com 0, (46), Y 1 1 q ou ou ainda (1)(1) B, Y B (47) ()() B Y, B (48) onde () B 1 B é um polinómio auorregressivo de 1º ordem, () B 1 B polinómio médias móveis de 1ª ordem, e é um é um ruído branco. Para ser esacionário, a raiz de ()B deve er módulo superior a um, o que aconece para 1 1. Para ser inverível, a raiz de ()B deve er módulo superior a um, o que equivale a pedir que 1 1. A função de auocorrelação é dada por: k , k k 1, k,3,... (49) Quer a função de auocorrelação quer a função de auocorrelação parcial êm um decaimeno exponencial ou sinusoidal amorecido para zero Modelo ARMA(p,q) O modelo miso auorregressivo e médias móveis ARMA ( p,) q em a represenação ou, usando o operador araso Y Y Y (50) 1 1 p p 1 1 q q, ou ainda p q 1B pb Y 1B qb (1)(1), (51) Daniel Filipe Ferreira da Silva

33 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial ()() B Y, B (5) p q p onde p () B 1 1B pb é um polinómio auorregressivo de ordem p e q () B 1 B B é um polinómio médias móveis de ordem q,.e q 1 q é um ruído branco. A esacionaridade do processo exige que as raízes de () B 0 p enham módulo superior a um e a inveribilidade do processo requer que as raízes de () B 0 q enham módulo superior a um. Quer a FAC quer a FACP êm um descaimeno exponencial ou sinusoidal amorecido para zero Modelo SARMA(P,Q) s Algumas séries emporais exibem uma correlação significaiva enre observações desfasadas em s períodos, Y, Y s, Y s,..., o que conduz à formulação de modelos que raduzam essa correlação, designados por modelos sazonais (Caiado, 011). O modelo miso auorregressivo e de médias móveis esriamene sazonal de ordens P e Q, ou simplesmene modelo SARMA ( P,) Q s em a forma Y 1Y s PY Ps 1 s QQs, com P 0 e Q 0, (53) ou ou ainda, s Ps s Qs (1)(1) 1 B PB Y 1 B QB, (54) s s P ()() Q, B Y B (55) s s Ps onde P() B 1 1B PB é um polinómio auorregressivo esriamene sazonal em s s s Qs B de grau P, Q () B 1 1B QB é um polinómio de médias móveis esriamene sazonal em B s de grau Q, e é um ruído branco de média zero. Para que o processo seja esacionário e inverível, as raízes de P() B e () s B devem er módulo superior a um. Quer a FAC quer a FACP do modelo SARMA ( P,) Q s Q s apresenam um comporameno do ipo exponencial ou sinusoidal amorecido sobre lags múliplos de s, manendo-se nulas nos resanes lags. Daniel Filipe Ferreira da Silva 3

34 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial Modelo ARMA(p,q)(P,Q) s A combinação do modelo ARMA ( p,) q e SARMA ( P,) Q s permie ober o modelo muliplicaivo com componene sazonal e não sazonal ARMA ( p,)( q,) P Q expressão s, dado pela p s Ps q s Qs (1)(1)(1)(1) 1B, p B 1B P B Y 1B q B 1B Q B (56) ou s s p P q Q ()()()() B B. Y B B (57) Comporamenos eóricos A seguine abela resume os comporamenos eóricos das FAC e FACP dos modelos de séries esacionárias referidas aneriormene. AR ()p MA ()q ARMA ( p,) q SAR ()P SMA ()Q SARMA ( P,) Q Tabela 1 Comporamenos eóricos das FAC e FACP dos modelos de séries esacionárias (Caiado, 011). Modelo FAC FACP Decaimeno exponencial ou Queda brusca para zero a parir sinusoidal amorecido para zero do lag p 1 ARMA ( p,)( q,) P Q s Queda brusca para zero a parir do lag q 1 Decaimeno exponencial ou sinusoidal amorecido para zero Decaimeno exponencial ou sinusoidal amorecido para zero sobre lags s, s,... Queda brusca para zero a parir do lag ( Q 1) s Decaimeno exponencial ou sinusoidal amorecido para zero sobre lags s, s,... Decaimeno exponencial ou sinusoidal amorecido para zero Decaimeno exponencial ou sinusoidal amorecido para zero Decaimeno exponencial ou sinusoidal amorecido para zero Queda brusca para zero a parir do lag ( P 1) s Decaimeno exponencial ou sinusoidal amorecido para zero sobre lags s, s,... Decaimeno exponencial ou sinusoidal amorecido para zero sobre lags s, s,... Decaimeno exponencial ou sinusoidal amorecido para zero Daniel Filipe Ferreira da Silva 4

35 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial 3.4 Processos não esacionários Não esacionaridade em média Os modelos de endência deerminísica são úeis do pono de visa de caracerização das diferenes componenes do processo, como a endência e a sazonalidade, mas não permiem idenificar o processo de geração de dados, nomeadamene porque assumem que a endência é uma função puramene deerminísica do empo. A necessidade de dar resposas às variações no andameno geral da série levou à inrodução de modelos de endência esocásica ou não deerminísica, aravés dos quais é possível remover a não esacionaridade em média mediane simples ransformações de diferenciação. A diferenciação simples de uma série emporal consise em ober a diferença enre as observações da série nos momenos e 1, iso é: ou, uilizando o operador araso (), BY Y 1 Y Y Y (58) 1 Y Y BY (1) B. Y (59) O operador de diferenciação de ordem d, para qualquer ineiro d 1, consise em diferenciar a série d vezes e define-se por: d d Y (1) B. Y (60) Quando uma série apresena um comporameno periódico repeiivo, pode-se aplicar uma ransformação de diferenciação sazonal, definida por: Y Y Y (1) B. s Y (61) s s 3.4. Não esacionaridade em variância Um processo esacionário em média não é necessariamene esacionário em variância e covariância. Conudo, um processo que não é esacionário em média ambém não é esacionário em variância e covariância. Para esabilizar a variância de uma série não esacionária em variância, podemos uilizar um méodo de ransformação paramérica, conhecido como ransformação de Box-Cox, baseado na seguine expressão: Daniel Filipe Ferreira da Silva 5

36 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial X Y 1, 0 T() Y ln(), Y 0 (6) onde os valores de são escolhidos no inervalo 1,1, sendo o mais correnes 1, 0.5, 0, 0.5 e 1, a que correspondem respeivamene as ransformações X 1/ Y, X 1/ Y, X ln Y, X Y e X Y Modelo ARIMA(p,d,q) Esendendo os modelos ARMA a uma classe mais vasa de modelos para séries não esacionárias obemos os modelos ARMA inegrados ou modelos ARIMA. O modelo ARIMA ( p, d,) q assume a expressão (Caiado, 011): p d q 1B pb B Y 1B qb (1)(1)(1) (63) d onde (1) B, Y com d 1 é a série esacionária depois de diferenciada d vezes, 1,,..., p são os parâmeros auorregressivos e 1,,..., q os parâmeros médias móveis. As formas mais simples e frequenes do modelo ARIMA são: ARIMA (0,1, 0), ARIMA (1,1, 0), ARIMA (0,1,1), e ARIMA (1,1,1) Modelo ARIMA(p,d,p)(P,D,Q) s Assim sendo pode esender-se o modelo ARIMA a um modelo muliplicaivo inegrado sazonal represenado simbolicamene por modelo ARIMA ( p, d,)( q, P,) D Q s. Por exemplo, o modelo ARIMA (0,1,1)(0,1,1) 1 em represenação (1)(1)(1)(1) B B Y B B (64) ou, muliplicando os faores obém-se a relação equivalene (1)(1) B, B B Y B B B (65) Y Y Y Y (66) Daniel Filipe Ferreira da Silva 6

37 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial Na maioria das aplicações práicas, os valores de p, q, P e Q são quase sempre inferiores ou iguais a, enquano que os valores de d e D habiualmene assumem os valores ineiros 0 ou 1. As FAC e FACP dos modelos ARIMA ( p, d,)( q, P,) D Q s apresenam um decaimeno exponencial ou sinusoidal amorecido sobre lags não sazonais e sazonais. 3.5 Meodologia de análise Idenificação A primeira eapa de modelação de uma série emporal consise na idenificação de um modelo ARIMA ( p, d,)( q, P,) D Q s que descreva a relação exisene enre as suas observações. Esa eapa compreende rês passos na enaiva de idenificação dos valores dos ineiros d, s, D, p, q, P e Q (Mongomery, 008; Pankraz, 1983; Wei, 006; Caiado, 011). Passo 1: Consrução do cronograma da série e sua esacionarização O esudo de uma qualquer série emporal deve começar pela análise aena do seu cronograma a fim de se poder verificar a exisência ou não de endência, variância não consane, sazonalidade, ouliers (observações erráicas) e ouros fenómenos não esacionários. Segue-se a sua esacionarização aravés das ransformações de esabilização da variância, eliminação da endência (diferenciação não sazonal) e eliminação de movimen os de carácer periódico (diferenciação sazonal). Se for necessária a esabilização da variância, esa deve ser realizada anes de qualquer oura ransformação. Passo : Esimação das FAC e FACP da série original O comporameno das FAC e FACP esimadas com base na série original pode sugerir algumas ransformações de diferenciação. Por exemplo, um decaimeno leno para zero da FAC e uma queda brusca para zero a parir do lag 1 da FACP sugerem a aplicação de um operador de diferenciação simples de ordem 1. Passo 3: Esimação das FAC e FACP da série esacionária e idenificação dos ineiros p, q, P e Q Nese passo, vai proceder-se à escolha de um modelo candidao a descrever a série em esudo, sendo fundamenal no processo de idenificação dos valores p, q, P e Q conhecerse o comporameno das FAC e FACP eóricas dos modelos ARMA ( p,) q e ARMA ( p,)( q,) P Q s mais usuais. Daniel Filipe Ferreira da Silva 7

38 Deeção e Previsão de Falhas em Equipamenos de Produção Indusrial 3.5. Esimação Uma vez idenificados os modelos candidaos a descrever a série em esudo, segue-se a eapa de esimação dos seus parâmeros. Nesa fase, é imprescindível o auxílio de um adequado package informáico, dado que a esimação dos parâmeros requer a aplicação de um conjuno de méodos numéricos e de cálculos compuacionais, com alguma complexidade Avaliação do diagnósico Idenificado o modelo e esimados os respeivos parâmeros, é necessário passar à eapa de avaliação da qualidade esaísica das esimaivas obidas e da qualidade do ajusameno do modelo às observações da série em esudo. Esa eapa de avaliação do diagnósico vai cenrarse fundamenalmene na análise dos resíduos do modelo esimado, que, de acordo com os pressuposos assumidos, devem er um comporameno idênico a um ruído branco. A avaliação da qualidade esaísica das esimaivas obidas pode ser feia com base num ese parcial à hipóese nula de que cada parâmero é esaisicamene nulo, H 0 : 0. A rejeição desa hipóese aconece quando a esaísica associada ao coeficiene esimado for, em valor absoluo, superior ao valor percenual de uma disribuição de suden com i i n m (número de observações uilizadas menos o número de parâmeros esimados) graus de liberdade, iso é: ˆ i () nm Rejeiar H 0 : i 0. (67) ˆ i No que diz respeio à avaliação da qualidade do ajusameno do modelo, deve proceder-se à análise do comporameno dos respeivos resíduos. Se os resíduos iverem comporameno semelhane a um ruído branco, pode dizer-se que o modelo esimado descreve bem a série em esudo. A avaliação do comporameno dos resíduos pode ser feia com base no seguine ese esaísico sobre a FAC residual esimada. Ljung e Box (1978) propuseram um ese para ensaiar a hipóese da nulidade global da FAC dos resíduos, H 0 : 1 k 0, com base na esaísica Q definida por: ˆ j Q n( n ), n j k j1 (68) Daniel Filipe Ferreira da Silva 8