Tempo ótimo entre manutenções preventivas para sistemas sujeitos a mais de um tipo de evento aleatório

Transcrição

1 empo óimo enre manuenções prevenivas para sisemas sujeios a mais de um ipo de eveno aleaório Resumo agner Baracho dos Sanos Enrico Anonio olosimo Sergio Brandão da Moa Um sisema reparável opera so uma políica de manuenção que especifica reparos prevenivos em empos pré-deerminados e reparos mínimos quando ocorre uma falha. O processo de Poisson não-homogêneo é um modelo adequado para as falhas aleaórias que são raadas por reparo mínimo. Assumindo um único ipo de falha e uma forma paramérica para a função de inensidade dese processo, podese enconrar uma políica óima de manuenção preveniva que minimiza o cuso médio por unidade de empo. Ese arigo foi moivado por uma siuação envolvendo chaves seccionadoras de uma empresa de energia elérica. Nese sisema exisem dois ipos diferenes de evenos aleaórios, caracerizados por disinas causas de falhas. Uma políica óima de manuenção preveniva é oida esendendo-se os resulados da siuação envolvendo um único eveno aleaório. Palavras-chave: Lei de poência. Manuenção perfeia. Processo de Poisson nãohomogêneo. Reparo mínimo. Inrodução Os úlimos anos foram marcados por mudanças radicais nas relações sociais, políicas e econômicas em odos os lugares do mundo. Auando em mercados compeiivos, com mudanças cada vez mais rápidas e significaivas, a maioria das empresas é lançada a uma incessane usca por qualidade e produividade. Nese novo conexo, a área de manuenção dos aivos de produção passou a desempenhar um papel esraégico nas empresas indusriais. omo conseqüência, houve uma grande mudança no conceio e na consciência gerencial acerca dos cusos e da necessidade de inovações das políicas e procedimenos de manuenção. A manuenção, anes visa como um mal necessário, passou a ser considerada uma aividade esraégica indispensável à produção, além de ser uma das ases de oda aividade indusrial. O desenvolvimeno do modelo raado nese arigo foi moivado pela necessidade de se deerminar políicas de manuenção, aseadas em dados reais relaivos aos empos de falha de equipamenos do sisema de ransmissão de energia elérica da EMIG (ompanhia Energéica de Minas Gerais). No aual modelo do seor elérico rasileiro, as empresas ransmissoras de energia elérica são remuneradas pela disponiilidade de seus equipamenos, sendo as indisponiilidades penalizadas com pesados aaimenos nesa remuneração. Desa forma, ao se adoar uma políica de manuenção com manuenções prevenivas (), é fundamenal enconrar o empo óimo enre s que garana a maior disponiilidade dos aivos da empresa. Aualmene, o grande desafio dos profissionais que planejam a manuenção é definir quando e que ipo de inervenção deve ser feia em um equipameno. Gilardoni e olosimo (7) apresenam uma proposa para esimar o empo óimo so uma políica de manuenção preveniva periódica, considerando os cusos de manuenções prevenivas sisemáicas e de manuenções correivas decorrenes de um ipo de eveno aleaório. Enreano, em alguns casos o esudo orna-se mais preciso quando se separam os evenos aleaórios em grupos com caracerísicas disinas e, nese caso, eríamos mais de um ipo de eveno aleaório. Um caso muio úil é a caracerização dos ipos de evenos aleaórios, classificando-os pelas suas causas. Sae-se que deerminadas causas são de fácil deecção e podem ser raadas por meio de manuenções prevenivas aseadas na condição do equipameno. Nese caso, um reparo ou roca de componene só é realizado se for Ges. Prod., São arlos, v. 4, n., p. 93-, jan.-ar. 7

2 94 Sanos, olosimo e Moa consaada uma anormalidade. Exise um ouro grupo de causas que só podem ser idenificadas e raadas por meio de manuenções prevenivas realizadas periodicamene com o equipameno fora de operação. Supõe-se que, a longo prazo, o cuso de uma manuenção preveniva periódica (aseada no empo) seja maior do que o cuso de uma manuenção aseada na condição, e menor que o cuso de reparos realizados após a falha do equipameno. al suposição aseia-se ano em premissas lógicas como na experiência práica dos profissionais de manuenção de equipamenos e insalações do sisema elérico rasileiro. Desa forma, quando exise diferença considerável nos cusos relacionados aos ipos de evenos, esa deve ser considerada. A não oservância desa diferença pode conduzir a resulados asane disorcidos. O ojeivo dese arigo é apresenar uma proposa para esimar um empo óimo enre manuenções prevenivas que minimiza o cuso oal com manuenção, raando de forma separada dois ipos de evenos aleaórios independenes. Esa proposa é facilmene esendida para mais de dois ipos de evenos aleaórios. A Seção resume a ase conceiual uilizada no desenvolvimeno do modelo. A consrução do modelo é apresenada na Seção 3. A Seção 4 apresena a meodologia esaísica uilizada no esudo do conjuno de dados. A Seção 5 apresena a aplicação da meodologia a um conjuno de dados de chaves seccionadoras da EMIG, e na Seção 6 são apresenadas algumas considerações finais sore o modelo e o esudo. Base conceiual Apresena-se, a seguir, um pequeno resumo da ase conceiual uilizada no desenvolvimeno do modelo.. Manuenção A evolução da manuenção esá ligada à própria evolução humana, principalmene à lua para se criar e conservar ojeos que permiam um domínio cada vez maior da naureza. Mesmo com o consane avanço ecnológico, ano os produos como os equipamenos de produção êm uma duração limiada, e ceramene irão falhar em algum momeno de suas vidas, daí a imporância da manuenção para maner ou recuperar sua funcionalidade. A manuenção envolve aividades ligadas à correção, prevenção ou predição de falhas. O Novo Dicionário da Língua Poruguesa (FERREIRA, 984) define genericamene o ermo manuenção como as medidas necessárias para a conservação ou a permanência de alguma coisa ou de alguma siuação. A Associação Brasileira de Normas écnicas (994) define formalmene a Manuenção como: a cominação de odas as ações écnicas e adminisraivas, incluindo as de supervisão, desinadas a maner ou recolocar um iem em um esado no qual possa desempenhar uma função requerida. (NBR 546, 994). No decorrer dese raalho serão uilizados alguns conceios ásicos relacionados à manuenção de equipamenos. Por iso, será apresenada aaixo, uma descrição sucina de ais conceios. Falha: érmino da condição (hailidade) ou a impossiilidade de um iem para desempenhar sua função requerida. O aparecimeno de uma falha leva o iem, invariavelmene, ao esado indisponível, por auação auomáica da proeção ou por desligameno da unidade em caráer de emergência. Defeio: Aleração ou imperfeição do esado de uma insalação/equipameno, não a pono de causar o érmino da hailidade em desempenhar a sua função requerida, já que a insalação/equipameno pode operar com resrições. Nese caso, programa-se a realização de uma manuenção preveniva, denominada manuenção preveniva não sisemáica, para eviar que o equipameno chegue a falhar. Manuenção orreiva (M): É a execução de arefas de manuenção não-planejadas para resaurar as capacidades funcionais de equipamenos ou sisemas falhados. A manuenção correiva é a forma mais primária e mais cara de manuenção. Apesar diso, orna-se impossível eliminá-la compleamene, pois não se pode prever o momeno exao em que ocorrerá uma falha que origará a uma manuenção correiva. Manuenção Preveniva (): É a execução de arefas de manuenção previamene planejadas. É desempenhada para maner um iem em condições saisfaórias de operação, aravés de inspeções sisemáicas, deecção e prevenção de falhas incipienes. Pode ser aseada no empo ou na condição. Será aseada no empo quando as aividades para reer as capacidades funcionais dos equipamenos ou sisemas forem planejadas para serem realizadas em ponos específicos no empo. Será aseada na condição, quando as arefas forem programadas devido a anormalidades (defeios) deecados nos equipamenos em operação. Nese caso, ela é conhecida como manuenção preveniva não-sisemáica. Se as arefas originam-se do acompanhameno de parâmeros de condição ou desempenho do equipameno em operação, em-se o ipo mais refinado de manuenção preveniva, amém conhecida como Manuenção Prediiva. Manuenção Perfeia: É quando no ao da manuenção, além de reparar componenes do equipameno falhados ou com iminência de falha, aua-se amém nos com poencialidade de falha. Neses componenes são realizados eses assegurando o seu funcionameno como um novo, ou providenciando sua susiuição. Oserva- Ges. Prod., São arlos, v. 4, n., p. 93-, jan.-ar. 7

3 empo óimo enre manuenções prevenivas para sisemas sujeios a mais de um ipo de eveno aleaório 95 se nese caso que, ao final da manuenção o equipameno esará ão om quano novo ( as good as new ), em ermos de proailidade de falha. Reparo Mínimo: Resaura o equipameno ao esado em que se enconrava imediaamene anes da falha ( as ad as old ). Nese caso, aua-se somene na pare defeiuosa do equipameno, susiuindo-a ou resaurando a sua condição original de funcionameno. O reparo ou susiuição do componene defeiuoso é realizado conforme criérios écnicos rigorosos, mas por se raar de uma inervenção ponual, não inroduz melhoria no equipameno, que coninua com a mesma proailidade de falha que inha anes de falhar.. Processo rocesso de Poisson oisson O Poisson é um processo de conagem de evenos, que pode ser definido como sendo uma coleção de variáveis aleaórias independenes N(), com, em que N() é o número de evenos no inervalo (,]. N(), é caracerizado por incremenos independenes e pela sua função de inensidade, que apresena a seguine forma, P6 N (, + D] I^h = lim () D " D O Processo de Poisson é chamado de Processo de Poisson Homogêneo (PPH), quando a função inensidade I() é consane. Pode-se dizer, nese caso, que o processo possui incremenos esacionários. Quando a função inensidade depende do empo, em-se a classe mais geral dos processos de conagem; denominada Processo de Poisson Não-Homogêneo (PPNH). Maiores informações sore o Processo de Poisson podem ser oidos em Gu (995). O Processo de Poisson Não-Homogêneo (PPNH) possui um papel fundamenal para modelar a ocorrência de evenos aleaórios so um reparo mínimo (ASHER; FEINGOLD, 984). Um PPNH é freqüenemene especificado pelo número médio de evenos em (,], que é dado por: M ^h = E _ N ^hi = # I ^uh du () Várias formas paraméricas para I() são uilizadas na lieraura, desacando-se a Lei de Poência proposa por row (974), que em a forma I() = β (β-) /α β e a loglinear que em a forma I() = exp(α + β). Ouras formas podem ser enconradas em Puccini (). A função de lei de poência é a uilizada nese arigo devido ao seu desaque na área. Generalizações deses modelos podem ser enconradas em omazella (3). Os méodos esaísicos são apresenados na Seção 4. 3 Função cuso e empo óimo enre 3. Inrodução A função cuso represena o valor médio com manuenção por unidade de empo, e é composa por uma pare deerminísica relacionada aos cusos com periódica e oura aleaória relacionada aos cusos dos reparos mínimos. onsidere o inervalo de empo enre duas consecuivas e suponha que: i. o empo de reparo é desprezível quando comparado com os empos enre evenos; ii. a é perfeia. Ou seja, ela reorna o sisema à condição de ão om quano novo; e iii. em caso de falha enre as s, é dado um reparo mínimo. Ou seja, ese reparo maném o sisema na condição de ão ruim quano velho. O inervalo de empo (,] pode ser decomposo em suinervalos da seguine forma: (,] = (, ] (, ]... (3) ((m ), m ] (m,] sendo m o maior ineiro menor ou igual a /. A Figura ilusra a decomposição do inervalo (, ]. A seguir, o empo óimo de é apresenado na Seção 3. para um único eveno aleaório, e na Seção 3.3 para dois evenos. 3. empo óimo para o caso de um único eveno No caso de um único eveno aleaório, em-se que o cuso médio com manuenção no inervalo de (,] é dado por: (,] ( ) = m{ + M E(N (, ])} + R (4) em que é o cuso uniário com, M é o cuso uniário médio com um reparo mínimo, E(N (, ]) é o número esperado de evenos no inervalo (, ] e R = M E (N (, m ]) é o cuso associado ao úlimo inervalo considerado. Quando vai para infinio, o cuso oal (,] ( ) amém vai para infinio. omando-se o limie da razão do cuso oal pelo empo, com, em-se: H ^ h lim = " 3 ^h (5) Na Equação 5, H (,] ( ) represena o cuso médio por unidade de empo. H (,] ( ) significa, por exemplo, M... m empo Figura. Decomposição do inervalo de empo oservado (, ]. Ges. Prod., São arlos, v. 4, n., p. 93-, jan.-ar. 7

4 96 Sanos, olosimo e Moa 3.3 empo óimo para o caso de dois evenos aleaórios onsidera-se, que além de, ocorram dois ipos de evenos aleaórios. Os casos em que o reparo mínimo esá relacionado a mais de um ipo de eveno aleaório não são raros. Suponha, por exemplo, o caso de equipamenos em funcionameno que passam por inspeções periódicas, e que se deecada alguma anormalidade, uma manuenção é programada para corrigi-los. O cuso referene à correção desa anormalidade, que será chamada de defeio, não deve ser raado simplesmene como um cuso usual de reparo mínimo, uma vez que a falha no equipameno de fao não ocorreu. O cuso em quesão seria decorrene de um eveno aleaório e eria carac- o cuso médio anual com manuenção se for medido erísicas em disinas das falhas, que geralmene são em anos. O prolema, enão, se resume em enconrar o em maiores. A seguir, é apresenada uma proposa para mínimo da função cuso para uma políica que deermina esimar o empo óimo enre manuenções prevenivas, manuenções prevenivas a cada unidades de empo. considerando o cuso com e os cusos com reparo Para suficienemene grande, pode-se dizer que m, mínimo decorrenes de dois ipos de evenos aleaórios e nese caso, R. Sendo assim, reescreve-se (5) da independenes, nese caso, falha e defeio. seguine forma: Suponha que o eveno aleaório do ipo refere-se aos defeios, e o do ipo, às falhas. A mesma meodologia H E N,, ^ = + M _ ^ = + M I ^ ^ h Ai > $. # duh (6) pode ser facilmene esendida para mais de dois ipos de evenos aleaórios independenes. Para simplificar a E N, + M _ ^ Ai. = > + M # I ^uh duh Derivando-se (6) com respeio ao em-se: dh d = > M I ^h - M # I ^uh du - H (7) Igualando-se a Equação 7 a zero, enconra-se o pono críico da função cuso, expresso aravés da razão: M = I _ i - I ^uh du = ui' ^uh du # # (8) Nese caso, se a função cuso possuir um pono de mínimo, ese é o empo enre s que minimiza o cuso (empo óimo). Desa maneira, uma vez conhecido o valor da razão / M, uilizando o processo de Lei de Poência para I() na Equação 8 e resolvendo-se a inegral, oém-se o empo óimo enre as manuenções prevenivas, dado por: / = a > M _ - i H H (9), ^ = + I ^ u du + I ^ ^ h > h uh duh O esimador de é oido esimando os parâmeros de I() (a, ) e susiuindo-os na Equação 9. O méodo de máxima verossimilhança é uilizado para esa finalidade e apresenado na Seção 4. noação, a parir daqui, os ipos de evenos relacionados a defeios e falhas são referenciados como evenos dos ipos e, respecivamene. onsidera-se que os evenos do ipo e são independenes e ocorram segundo um Processo de Poisson Não-Homogêneo (PPNH). Sejam: : o cuso uniário de cada reparo mínimo devido ao eveno do ipo ; I (): a inensidade de ocorrência do eveno do ipo ; : o cuso uniário de cada reparo mínimo devido ao eveno do ipo ; e I (): a inensidade de ocorrência do eveno do ipo. Os evenos dos ipos e são independenes. Uilizando-se a mesma meodologia empregada para enconrar (5), enconra-se a função cuso, que raa separadamene os cusos decorrenes de dois ipos de evenos aleaórios. A função de cuso é enão dada # # H, ^ = + I ^ u du + I ^ ^ h h > # #() duh Igualando-se a derivada da função () a zero, enconra-se o empo enre manuenções prevenivas que minimiza o cuso (empo óimo). Ese valor é a solução da seguine equação: = ui' ^uh du + ui' ^uh du # # () Quando os dois ipos de evenos aleaórios possuem funções de inensidade e lei de poência dadas por I (, a, ) e I (, a, ), o empo óimo enre manuenções prevenivas é o valor de que saisfaz a seguine equação: = _ - i d n a + _ - i d n () a No caso de amas possuírem parâmeros de forma iguais ( = ), diferenciando-se apenas no parâmero de escala, o empo óimo em solução analíica dada por: Ges. Prod., São arlos, v. 4, n., p. 93-, jan.-ar. 7

5 empo óimo enre manuenções prevenivas para sisemas sujeios a mais de um ipo de eveno aleaório 97 = _ - i = c a m + c a m G / * 4 (3) Em caso conrário ( ), a expressão para o empo óimo não oferece uma solução analíica. Desa forma, é necessário um méodo numérico, do ipo do de Newon- Raphson, para poder enconrar uma solução. 4 Meodologia esaísica O méodo de máxima verossimilhança (MV) é uilizado a fim de esimar o para um ou mais sisemas idênicos, so uma deerminada políica de com modos de falha segundo um PPNH. Exisem duas formas de se oservar dados de um sisema reparável: ) runcado por falha, quando se pára de oservar o sisema após a um número pré-especificado de falhas ou ) runcado por empo, quando se pára de oservar o sisema em um empo pré-deerminado. Suponha inicialmene uma siuação envolvendo somene um único ipo de eveno aleaório. A função de verossimilhança para um PPNH (RIGDON; BASU, ), aseado em uma amosra de k sisemas em que cada um apresena n i falhas e acompanhado por um período (, i ] (runcado por empo), é dada por: k n i i - # I ^uh du L _ a, i = %* > % I _ ijih e 4 (4) i = j = em que ij, é a j-ésima falha (reparo mínimo) do i-ésimo sisema. Se o sisema for runcado por falha, asa susiuir i por ini. Susiuindo a inensidade de recorrências pela Lei de Poências na Equação 4, oém-se: k k k ni n k n - i - i i - d n a = = i = % % ij i = j = i i L _ a, i = a = G e As EMV são: e!!! (5) (6) O inervalo de confiança para o é consruído a parir das propriedades para grandes amosras dos EMV (OX; HINKLEY, 974). Os passos para a oenção dese inervalo de confiança são mosrados no Apêndice. No caso de mais de um eveno aleaório, as esimaivas dos parâmeros são oidas de forma separada, uilizando-se as Equações 6, pois as funções de inensidade são independenes. A consrução do inervalo de confiança para o é mais raalhosa, pois esa quanidade depende de odos os parâmeros. Os passos para a oenção dese inervalo de confiança amém são mosrados no Apêndice - para o caso de dois evenos aleaórios. 5 Exemplo numérico O ojeivo desa seção é aplicar os méodos proposos nese arigo em um conjuno de dados reais relaivos a chaves seccionadoras da área de ransmissão da EMIG (ompanhia Energéica de Minas Gerais). Os passos do processo de deerminação da freqüência óima de manuenções prevenivas em função do cuso são os seguines: ) Separação dos suconjunos de evenos, caso ocorra mais de um ipo de eveno aleaório no equipameno para o qual se deseja deerminar a freqüência de manuenções prevenivas; ) Verificação da exisência de endência de crescimeno ou de diminuição do número de evenos ao longo do empo, por meio de gráficos da função de média acumulada dos evenos (MEEKER; ESOBAR, 998); 3) Esimaiva dos parâmeros pelo processo de Lei de Poências; 4) álculo do cuso médio da ação de manuenção, para cada ipo de eveno aleaório; e 5) Esimaiva do empo óimo enre manuenções prevenivas, uilizando a equação de cuso de do modelo. Foram esudadas 468 chaves seccionadoras. Nese período, ocorreram 9 evenos, sendo 73, manuenções prevenivas. Assumindo-se, que a é perfeia para as causas de evenos consideradas, o equipameno que passa por uma anes do final do esudo deve ser conado como um novo equipameno. Por exemplo, um equipameno que falhou no empo 3 meses, passou por uma no empo meses e foi runcado por empo no final do período de oservação (3,4 meses), foi compuado da seguine forma: equipameno falhou no empo 3 meses e foi runcado no empo meses; e equipameno foi runcado no empo 9,4 (3,4 ) meses. omo nenhum equipameno passou por mais de uma, na práica foram considerados 54 = equipamenos disinos. Deses equipamenos, 35 deles foram runcados no empo sem nenhuma ocorrência. Após cada falha ou defeio consaado nas inspeções periódicas, o equipameno passa por um reparo mínimo que deixa o equipameno, em ermos de confiailidade, na siuação em que se enconrava imediaamene anes do eveno. O Ges. Prod., São arlos, v. 4, n., p. 93-, jan.-ar. 7

6 98 Sanos, olosimo e Moa conjuno de dados foi separado em dois suconjunos, considerando-se as causas que originaram os evenos. Os dois suconjunos foram formados da seguine forma:. G - Suconjuno de dados com odas as chaves seccionadoras, odas as e os evenos relacionados a causas deecáveis por inspeção visual, análise de óleo ou ermovisão ( aseada na condição). Para ese grupo de evenos, espera-se um cuso médio de reparo mais aixo, uma vez que as anormalidades deecadas podem ser reparadas anes de evoluírem para a falha. Muios deses reparos podem ser realizados com o equipameno em operação; e. G - Suconjuno de dados com odas as chaves seccionadoras, odas as e os evenos relacionados a causas deecáveis somene aravés de uma. Nese caso, a única alernaiva à é o equipameno deeriorar aé falhar. O cuso médio de reparo relacionado a ese ipo de eveno geralmene é mais elevado do que o anerior. O resumo descriivo dos dados é apresenado na aela. A práica de manuenção preveniva periódica só se jusifica quando a função de inensidade é crescene. A avaliação da endência da função de inensidade pode ser feia aravés do gráfico da Função de Média Acumulada (FMA) (MEEKER; ESOBAR, 998). As Figuras, 3 e 4 apresenam as FMA para o anco compleo, o anco com os evenos de G e o anco com os evenos de G, respecivamene. Percee-se na Figura uma endência de crescimeno da inensidade de recorrências, o que jusifica a adoção de uma políica de. A Figura 3 mosra que o grupo G apresena uma inensidade discreamene crescene, enquano a Figura 4 mosra uma fore endência de crescimeno da inensidade do grupo G. Para o conjuno de dados compleos, a esimaiva para β é, com I (95%; β) = (,;,47). Eses valores confirmam a endência de crescimeno da inensidade de recorrência, o que pode jusificar a adoção de uma políica de manuenção com s periódicas. As esimaivas dos parâmeros para os grupos G e G esão apresenadas na aela. A aela 3 apresena os cusos médios da ação de manuenção para cada ipo de causa de evenos. Uilizando-se as esimaivas apresenadas na aela e os cusos apresenados na aela 3, oém-se a esima- Função de média acumulada Função de média acumulada,5,,5,,5, Meses Figura 3. FMA G. Função de média acumulada,3,5,,5,,5, Meses Figura. FMA Banco compleo.,6,5,4,3,,, Meses Figura 4. FMA G. aela. Evenos de ineresse por conjuno de dados. onjuno de dados Número de evenos Número médio de evenos por chave G 9,9 G 9,46 oal 9,33 aela. Esimaivas dos parâmeros. Parâmeros G G α 3,97 43,65 β,43,63 I (95%; β) [,96;,37] [,83;,944] Ges. Prod., São arlos, v. 4, n., p. 93-, jan.-ar. 7

7 empo óimo enre manuenções prevenivas para sisemas sujeios a mais de um ipo de eveno aleaório 99 aela 3. usos de manuenção. Manuenção Valor (Reais) G G 5 ( ) 3 iva de igual 3 meses, com I (95%; ) = (4 ; 43) meses. Oserva-se nese caso, que o valor da esimaiva ponual de é em maior que o inervalo de empo so oservação (3,4 meses). A escolha do processo de lei de poência para a modelagem dos dados foi aseada na comparação da função da média acumulada empírica com as curvas das inensidades acumuladas. Esa verificação gráfica foi realizada no período de 3,4 meses. Desa forma, a conclusão imediaa que se pode irar dese resulado é que o empo enre ende a ser em maior que o empo oservado. À medida que mais informações forem sendo incorporadas ao conjuno de dados, novas análises deverão ser feias para avaliar esa esimaiva. A grande ampliude do inervalo de confiança de reflee a incereza dese resulado, devido ao pequeno período de acompanhameno e às caracerísicas dos cusos de manuenção das chaves seccionadoras. Eses cusos de são muio próximos dos cusos dos reparos. Iso não é comum quando se raam de ouros equipamenos dos sisemas eléricos de poência, ais como: os ransformadores, reaores e capaciores. Eses equipamenos, além de possuírem cusos de reparos significaivamene maiores do que os cusos de manuenção preveniva, são penalizados com grandes perdas de receias devido aos empos de indisponiilidade para reparos. Um esudo de um conjuno de dados relaivos aos equipamenos do sisema de ransmissão de energia elérica, que esão sujeios a perdas significaivas de receias devido a indisponiilidades não deve negligenciar ese acréscimo no cuso. A aela 4 apresena os valores do empo óimo para ese mesmo conjuno de dados, considerando-se diversos valores para e reparos dos evenos de G e G. Oserva-se, que a periodicidade de diminui à medida que os cusos de G e G crescem em relação ao de. Além diso, as ampliudes dos inervalos de confiança decrescem com o aumeno dos cusos de G e G. 6 onsiderações finais A maior pare da lieraura sore onfiailidade raa de sisemas não-reparáveis, emora a maioria dos sisemas exisenes no mundo real seja reparável. Asher e Feingold (984) dizem que a confiailidade de sisemas reparáveis em sido um filho adoivo largamene ignorado no campo da confiailidade. Exise faro maerial sore confiailidade de produos, na perspeciva dos faricanes, mas pouca aela 4. Ouros valores de cusos. usos Esimaivas G G I,5 3 (4; 43) (;4) (; 97) (8; 4) 5 3 (4; 3) 3 36 (; 9) 3 6 (6; 38) coisa sore confiailidade de iens em operação, na perspeciva da manuenção. Kececioglu (995) apresena vários modelos para esimar os empos enre inspeções e o empo óimo para susiuição de equipamenos danificados. Mas eses modelos apresenam alguns inconvenienes, ais como: fundamenam-se na hipóese exponencial e no pressuposo da curva da anheira (sem verificar se exise ou não endência de crescimeno da inensidade de falhas ao longo do empo de vida dos equipamenos), e não uilizam processos de conagem de falhas. A proposa de esimaiva do empo óimo enre apresenada levou em consideração, além dos aspecos ciados acima, a diferença exisene enre os cusos de manuenção relacionados às causas que originaram o eveno. Algumas causas esudadas podiam ser deecadas por meio de inspeções realizadas com o equipameno ligado (G), e reparadas anes da falha do equipameno. As ouras causas raadas nese esudo (G) só podiam ser descoeras e reparadas anes de evoluírem para falha, por inermédio de periódica realizada com o equipameno desligado. A periódica, relacionada ao G, é, via de regra, mais onerosa do que as arefas de manuenção aseadas na condição relaiva ao G. Em amos os casos os cusos de manuenção seriam em mais alos se os sinomas (defeios) não ivessem sido deecados e reparados anes de evoluírem para falhas. O raameno conjuno de odas as causas que originaram os evenos não permiiria capar a diferença exisene nos cusos. A relevância desa diferenciação orna-se ainda mais significaiva quando exisem penalizações pela indisponiilidade do equipameno. Nese caso, uma análise conjuna pode conduzir a resulados asane disorcidos. O modelo é aplicável a qualquer ipo de equipameno indusrial reparável, que apresene endência de crescimeno da inensidade de falhas ao longo do empo. Os melhores resulados deverão ser oidos nos casos de equipamenos cujas indisponiilidades esejam associadas ano aos cusos de reparo, quano às perdas de produção ou de receias. Ges. Prod., São arlos, v. 4, n., p. 93-, jan.-ar. 7

8 Sanos, olosimo e Moa Opimal mainenance ime for repairale sysems in more han one ype of failure Asrac A repairale sysem operaes under a mainenance sraegy ha calls for complee prevenive repair acions a prescheduled imes and minimal repair acions whenever a failure occurs. Under minimal repair, failures are modeled according o a non-homogeneous Poisson process. hen he inensiy funcion is assumed o grow proporional o a power of ime, his process is called he Power Law Process. he moivaion for his paper was a mainenance daa se relaed o power swich disconnecors. wo differen ypes of failures could e oserved for hese sysems according o heir causes. he major differences eween hese ypes of failures are heir coss. Assuming ha he sysem will e in operaion for an infinie ime, we found he expeced cos per uni of ime for each prevenive mainenance policy and hence oained he opimal sraegy as a funcion of he inensiy funcion of he process. Large sample procedures o esimae he opimal mainenance check poins for he Power Law Process are also discussed. he resuls are applied in he power swich disconnecor daa se. Keywords: Minimal repair. Poisson process. Power Law Process. Swich disconnecors. Noas Supõe-se, que em relação à aseada no empo, o cuso da manuenção preveniva so condição seja menor, porque deermina inervenções programadas apenas nos componenes com risco iminene de falha, e que o cuso da manuenção após a falha seja maior, porque, dado o seu caráer inempesivo, a inervenção é feia sem planejameno e sem garania de ser realizada com a logísica mais adequada. Se exisir endência de crescimeno, uma políica de manuenção preveniva é aplicável. Referências iliográficas ASHER, H.; FEINGOLD, H. Repairale Sysems Reliailiy: Modelling, Inference, Misconcepion and heir auses. New York: Marcel Dekker, p. ORDEIRO, G. M. A eoria da Verossimilhança. Rio de Janeiro: Associação Brasileira de Esaísica, º SINAPE, p. OX, D. R.; HINKLEY, D. U. heoreical Saisics. London: hapman and Hall, p. RO, L. R. Reliailiy Analisys for omplex Sysems. In: F. PROSHAN; J. SERFLING (eds) Reliailiy and Biomery, USA. p , 974. FERREIRA, A. B. H. Novo Dicionário Brasileiro da Língua Poruguesa. Rio de Janeiro: Nova Froneira, p. FREIAS, M. A.; OLOSIMO, E. A. onfiailidade: Análise de empo de Falha e eses de Vida Acelerados. Belo Horizone: Fundação hrisiano Ooni, série Ferramenas da Qualidade n., p. 39, 997. GILARDONI, G.; OLOSIMO, E. A. Opimal Mainenance ime for Repairale Sysems. Journal of Qualiy and echnology, v. 39, n., p , 7. GU, A. An Inermediae ourse in Proailiy. New York: Springer-Verlag, p. KEEIOGLU, D. Mainainailiy, Availailiy and Operaional Readness Engineering. New Jersey: Prenice Hall, p. MEEKER,. Q.; ESOBAR, L. A Saisical Mehods for Reliailiy Daa., New York: John ily and Sons, p. PUINI, G. A Bounded Inensiy Process for he Reliailiy of Repairale Sysems. Journal of Qualiy and echnology, v. 33, n. 4, p ,. RIGDON, S. E.; BASU, A. P. Saisical Mehods for he Reliailiy of Repairale Sysems. John iley and Sons, New York,. 8 p. OMAZELLA, V. L. D. Modelagem de dados de evenos recorrenes via processo de Poisson com ermo de fragilidade. ese de douorado defendida no IM, USP ( r), 3. Ges. Prod., São arlos, v. 4, n., p. 93-, jan.-ar. 7

9 empo óimo enre manuenções prevenivas para sisemas sujeios a mais de um ipo de eveno aleaório Apêndice onsrução de inervalo de confiança para o empo óimo. Nese caso, a aplicação do méodo dela é dada por: (6) aso. Um único eveno aleaório Sendo θ o veor dos parâmeros, um inervalo com ( α)% de confiança para θ é dado por: em que a variância é dada por: () () sendo I(θ) a mariz de derivadas segundas de l(θ) com As derivadas de (6) com respeio a a, a, e são respeio aos respecivos parâmeros (OX; HINKLEY, dadas por: 974; ORDEIRO, 99). - _ + i _ - i a A propriedade de invariância do EMV garane que a = (7) (- ) ( - ) _ - i a + _ - sendo função dos parâmeros α e β, o EMV de é igual a g sendo e EMV. O inervalo de -_ + i ( ) _ - ia ( α)% de confiança para é dado por: a = (- ) ( - ) _-i _ - i _ - i a + _ - i a (3) em que a variância de é esimada uilizando o méodo - _ + i ( ) _ - i a dela (FREIAS; OLOSIMO, 997). Nese caso, emse que: a = (8) _- i _ - i _ - i a + _ - - _ + i ( ) _ - i a a = _- i _ - i _- i _ - i (4) _ - i a + _ - i a R _- i _ i S log log a 8 - ^ah + ^a =- (9) _- i _ - i S a _ - i + R V _- i _ i Em alguns casos, não é possível enconrar o esimador dos parâmeros de forma analíica. Uma solução S a _ - i + a _ - i S log log log log a 8 - ^ah + ^ ah + _ i - _ ib =- _- i _ - i _- i _ - i X pode ser oida aravés do méodo numérico de Newon- R _- i _ i Raphson. S log log a 8 - ^ah + ^a =- () _- i _ - i S a _ - i + aso. Dois evenos aleaórios Sendo ^q R V _ = ( ) os EMV, - i _ i amém é EMV. S log log log log a 8 - ^ah + ^ ah + _ i - _ ib =- _- i _ - i _- i _ - i Para consruir um inervalo de confiança para, oém- S a _ - i + a _ - i se a Var _ i aravés do méodo dela. omo conseqüência da suposição de independência enre os dois ipos de evenos aleaórios ( e ), a mariz de informação é loco diagonal e pode ser represenada por: RR V SS l l SS a a SS S l l SS a ^ih = S X R S S l S S a S S l S S a V V l a l XX (5) X Ges. Prod., São arlos, v. 4, n., p. 93-, jan.-ar. 7

10 Sanos, olosimo e Moa Sore os auores agner Baracho dos Sanos Sergio Brandão da Moa ompanhia Enérgeica de Minas Gerais EMIG, Geração e ransmissão S.A., Engenharia de Manuenção da ransmissão, Av. Baracena,, 3º andar, Ala B, EP 39-3, Belo Horizone, MG, Brasil, waracho@cemig.com.r, sergio@cemig.com.r Enrico Anonio olosimo Universidade Federal de Minas Gerais UFMG, Deparameno de Esaísica, Insiuo de iências Exaas, ampus Pampulha, Pampulha, EP 37-9, Belo Horizone, MG, Brasil enricoc@es.ufmg.r Agradecimenos: À ediora e a dois revisores cujas sugesões melhoraram a qualidade do arigo e amém às valiosas sugesões do Prof. Gusavo L. Gilardoni do deparameno de Esaísica da Universidade de Brasília. A pesquisa de Enrico olosimo foi parcialmene financiada pelo NPq (olsa de pesquisa 358/3-). Receido em 6/3/6 Aceio em 3//6 Ges. Prod., São arlos, v. 4, n., p. 93-, jan.-ar. 7