Sistema Avançado de Previsão de Vendas para as Lojas Pingo Doce do Grupo Jerónimo Martins

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1 ASSOCIAÇÃO DE POLITÉCNICOS DO NORTE (APNOR) INSTITUTO POLITÉCNICO DO PORTO Sisema Avançado de Previsão de Vendas para as Lojas Pingo Doce do Grupo Jerónimo Marins Amílcar Nuno da Silva Mala Disseração apresenada ao Insiuo Poliécnico do Poro para obenção do Grau de Mesre em Logísica Orienada por: Professora Douora Parícia Alexandra Gregório Ramos Poro, Abril de 2013

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3 Sisema Avançado de Previsão de Vendas para as Lojas Pingo Doce do Grupo Jerónimo Marins Amílcar Nuno da Silva Mala Orienada por: Professora Douora Parícia Alexandra Gregório Ramos Poro, Abril de 2013

4 RESUMO Dada a aual conjunura nacional e mundial, orna-se cada vez mais imporane er em aenção aos desperdícios e excessos das empresas. Torna-se enão relevane, nos empos de hoje em dia, pensar em esraégias alernaivas para a redução dos cusos das empresas, principalmene na área da logísica, sabendo que, ese deparameno em em média, um peso de cerca de 33% nos cusos oais das empresas. O objeivo dese esudo é, esudar o aual modelo de previsões das lojas Pingo Doce do Grupo Jerónimo Marins, analisando os resulados de aprovisionameno, denro de um espaço aé cinco anos para rás. Com iso, procurar-se analisar os méodos aplicados e a evolução dos mesmos, podendo assim, esudar o mecanismo de previsões de vendas que a empresa aualmene uiliza, enando depois adapar um sisema de previsões melhorado e mais avançado, de modo a que: (1) se enha a cereza que as lacunas são minimizadas, (2) se possa criar um méodo mais avançado que permia correlacionar variáveis enando anever o comporameno do cliene/consumidor, (3) se possa poseriormene, adapar a um nível mais macro denro da empresa Jerónimo Marins. PALAVRAS-CHAVE Gesão de Logísica; Previsão de Vendas; Esaísica Aplicada; Redução de Cusos. I

5 SUMARIA Dada la siuación acual a nivel nacional como a nivel mundial, cada vez es más imporane presar aención a los desechos y el exceso en las empresas. Enonces llega a ser relevane en los iempos de hoy, pensar en esraegias alernaivas para reducir los cosos empresariales, especialmene en el área de la logísica, a sabiendas de que ese deparameno iene un peso medio de alrededor del 33% de los coses oales de empresas. El objeivo de ese rabajo es el esudio de las predicciones de los modelos acuales de Pingo Doce Grupo Jerónimo Marins, analizando los resulados de la ofera, denro de un período de iempo de hasa cinco años arás. Con eso, raamos de analizar los méodos uilizados y la evolución, para así poder esudiar el mecanismo de las previsiones de venas que la empresa implemena acualmene y luego raar de adapar un sisema para mejorar las previsiones para que: (1) iene asegurarse de que las brechas se reducen al mínimo, (2) se puede crear un méodo más avanzado que permie correlacionar raar de predecir el comporamieno del cliene/consumidor, (3) puede ser adapado poseriormene a un nivel más macro denro de la empresa Jerónimo Marins. PALABRA-LLAVE Gesión Logísica; Pronosicar Venas; Esadísica Aplicada; Reducción de Coses. II

6 SUMMARY Given he naionally and globally curren siuaion, i becomes increasingly imporan o pay more aenion o wase and excess in he companies. I hen becomes relevan in he imes of oday, hink of alernaive sraegies o reduce business coss, especially in he logisics area, knowing ha his deparmen has an average weigh of abou 33% in he oal coss of companies. The aim of his work is o sudy he curren forecas model of he company Pingo Doce of Jerónimo Marins, by analyzing he resuls of provisioning, wihin a space of ime up o five years behind. Wih his, we will analyze he mehods used and heir evoluion, hus being able o sudy he curren mechanism of sales forecas ha he company currenly implemens and hen ry o adap a forecas sysem improved so ha: (1) he gaps of he forecas sysem are minimized, (2) o be possible creae a more advanced forecas mehod ha allows correlae wih oher variables rying o predic he clien/consumer behavior, (3) o be subsequenly adaped o a more macro level in he Jerónimo Marins company. WORD-KEY Logisics Managemen; Sales Forecasing; Applied Saisics; Cos Reducion. III

7 Algo só é impossível aé que alguém duvide e acabe provando o conrário. Alber Einsein IV

8 Aos meus avós, pais e irmãos. V

9 AGRADECIMENTOS Aos meus avós e pais, que esiveram sempre presenes quando necessiei e que me encorajaram e deram condições para seguir a minha formação académica. Aos meus irmãos pelo apoio, amizade e carinho que me deram força durane oda a minha vida académica. Aos meus colegas e amigos pelo incenivo, amizade e riqueza de experiência de rabalho que muio valorizaram esa disseração. À Professora Parícia Ramos, por er aceiado orienar ese rabalho e por odo o apoio presado sempre que soliciado. Aos demais professores do Insiuo Superior de Conabilidade e Adminisração pela aprendizagem e desenvolvimeno académico. E a odos que, direa ou indireamene, colaboraram na execução dese rabalho. VI

10 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS AE Análise Exponencial AIC Criério de Informação de Akaike AICc Criério de Informação de Akaike corrigido AR Auo Regressive BIC Criério de Informação Bayesiano ETS ExponenTial Smoohing FAC Função de AuoCorrelação FACP Função de AuoCorrelação Parcial MA Moving Average MAE Mean Absolue Error MAPE Mean Absolue Percenage Error MASE Mean Absolue Scaled Error ME Mean Error MPE Mean Percenage Error RMSE Roo Mean Squared Error SKU Sock Keeping Uni VII

11 ÍNDICE Lisa de Abreviauras e Siglas... VII Lisa de Figuras... X Lisa de Tabelas... XI I - INTRODUÇÃO Enquadrameno Moivação para o Problema Objeivos do Trabalho Esruura do Documeno... 4 II MÉTODOS DE PREVISÃO Inrodução aos Méodos de Previsão O Carácer Relevane das Previsões de Vendas Quando e o Que Prever? Diferenes Perspeivas de Previsão: Qualiaiva e Quaniaiva Eapas em Previsão Tópicos Básicos de Previsão Esaísicas Descriivas Transformações e Ajuses Avaliação dos Erros de Previsão Diagnósicos dos Resíduos Inervalos de Previsão Alisameno Exponencial Inrodução Alisameno Exponencial Simples Méodo de Tendência Linear de Hol Méodo de Tendência Exponencial Méodo de Tendência Exponencial Amorecida Méodo Sazonal de Hol-Winers Modelos de Espaço de Esado Inovaivos Modelos ARIMA Inrodução Esacionaridade e Diferenciação Modelos Auoregressivos Modelos de Médias Móveis VIII

12 Modelos Auoregressivos e de Médias Móveis Modelos Auoregressivos e de Médias Móveis Sazonais Esimação e Seleção de Ordem III CASO DE ESTUDO Conjuno de Dados Análise Exploraória...51 IV PREVISÃO DE VENDAS PARA AS LOJAS PINGO DOCE Modelação por Alisameno Exponencial Séries Não Sazonais Séries Sazonais Modelação ARIMA Séries Não Sazonais Séries Sazonais Comparação de Modelos Sisema Auomáico de Previsão...80 V CONCLUSÕES BIBLIOGRAFIA IX

13 LISTA DE FIGURAS Figura 2.1. Produção de Peróleo Arábia Saudia Figura 2.2. Série não esacionária em média (Caiado, 2012) Figura 2.3. Série esacionária em média (Caiado, 2012) Figura 2.4. Série não esacionária em variância (Caiado, 2012) Figura 2.5. Série não esacionária em média e variância (Caiado, 2012) Figura 2.6. AR(1) e AR(2) Figura 2.7. MA(1) e MA(2) Figura 2.8. Séries simuladas de modelos SARMA esriamene sazonais Figura 2.9. FAC e FACP de série simulada de modelo SARMA Figura 3.1. Gráficos da série de Arroz Caçarola 1KG - loja de 1000m Figura 3.2. Gráficos da série de Arroz Caçarola 1KG - loja de 2000m Figura 3.3. Gráficos da série de Arroz Caçarola 1KG - loja Híper Figura 3.4. Gráficos da série de Arroz Pingo Doce 1KG - loja de 1000m Figura 3.5. Gráficos da série de Arroz Pingo Doce 1KG - loja de 2000m Figura 3.6. Gráficos da série de Arroz Pingo Doce 1KG - loja Híper Figura 3.7. Gráficos da série de Água Luso 1,5LT - loja de 1000m Figura 3.8. Gráficos da série de Água Luso 1,5LT - loja de 2000m Figura 3.9. Gráficos da série de Água Luso 1,5LT - loja Híper Figura Gráficos da série de Água Pingo Doce 1,5LT - loja de 1000m Figura Gráficos da série de Água Pingo Doce 1,5LT - loja de 2000m Figura Gráficos da série de Água Pingo Doce 1,5LT - loja Híper Figura 4.1. Ambiene de modelação e previsão Figura 4.2. Arroz Caçarola 1KG (1000m 2 ) - modelo ETS (M,N,M) Figura 4.3. Arroz Caçarola 1KG (2000m 2 ) - modelo ARIMA(0,1,1) Figura 4.4. Arroz Caçarola 1KG (híper) - modelo ETS (M,N,M) Figura 4.5. Arroz Pingo Doce 1KG (1000m 2 ) - modelo ETS (M,N,M) Figura 4.6. Arroz Pingo Doce 1KG (2000m 2 ) - modelo ETS (A,N,A) Figura 4.7. Arroz Pingo Doce 1KG (híper) - modelo ETS (M,N,M) Figura 4.8. Água Luso 1,5LT (1000m 2 ) - modelo ETS(A,N,N) Figura 4.9. Água Luso 1,5LT (2000m 2 ) - modelo ARIMA (1,0,0)(1,0,1) Figura Água Luso 1,5LT (híper) - modelo ARIMA (0,1,4)(1,0,0) Figura Água Pingo Doce 1,5 LT (1000m 2 ) - modelo ARIMA (2,0,0)(1,1,1) Figura Água Pingo Doce 1,5 LT (2000m 2 ) - modelo ETS (A,N,A) Figura Água Pingo Doce 1,5 LT (híper) - modelo ETS (M,A,M) X

14 LISTA DE TABELAS Tabela 2.1. Taxonomia dos méodos de alisameno exponencial (adapado de Hyndman, 2012) Tabela 2.2. Modelos ETS com erros adiivos (Hyndman, 2012)...34 Tabela 2.3. Modelos ETS com erros muliplicaivos (Hyndman, 2012) Tabela 3.1. Alguns produos das caegorias Águas, Higiene Oral, Produos Básicos e Sobremesas das lojas Pingo Doce Tabela 4.1. Modelo ETS para a série de Arroz Caçarola 1KG (1000m 2 ) Tabela 4.2. Modelo ETS para a série de Arroz Caçarola 1KG (2000m 2 ) Tabela 4.3. Modelo ETS para a série de Arroz Caçarola 1KG (híper) Tabela 4.4. Modelo ETS para a série de Arroz Pingo Doce 1KG (1000m 2 ) Tabela 4.5. Modelo ETS para a série de Arroz Pingo Doce 1KG (2000m 2 ) Tabela 4.6. Modelo ETS para a série de Arroz Pingo Doce 1KG (híper) Tabela 4.7. Modelo ETS para a série de Água Luso 1,5LT (1000m 2 ) Tabela 4.8. Modelo ETS para a série de Água Luso 1,5LT (2000m 2 ) Tabela 4.9. Modelo ETS para a série de Água Luso 1,5LT (híper) Tabela Modelo ETS para a série de Água Pingo Doce 1,5LT (1000m 2 ) Tabela Modelo ETS para a série de Água Pingo Doce 1,5LT (2000m 2 ) Tabela Modelo ETS para a série de Água Pingo Doce 1,5LT (híper) Tabela Modelo ARIMA para a série de Arroz Caçarola 1KG (1000m 2 ) Tabela Modelo ARIMA para a série de Arroz Caçarola 1KG (2000m 2 ) Tabela Modelo ARIMA para a série de Arroz Caçarola 1KG (híper) Tabela Modelo ARIMA para a série de Arroz Pingo Doce 1KG (1000m 2 ) Tabela Modelo ARIMA para a série de Arroz Pingo Doce 1KG (2000m 2 ) Tabela Modelo ARIMA para a série de Arroz Pingo Doce 1KG (híper) Tabela Modelo ARIMA para a série de Água Luso 1,5LT (1000m 2 ) Tabela Modelo ARIMA para a série de Água Luso 1,5LT (2000m 2 ) Tabela Modelo ARIMA para a série de Água Luso 1,5LT (híper) Tabela Modelo ARIMA para a série de Água Pingo Doce 1,5LT (1000m 2 ) Tabela Modelo ARIMA para a série de Água Pingo Doce 1,5LT (2000m 2 ) Tabela Modelo ARIMA para a série de Água Pingo Doce 1,5LT (híper) Tabela Medidas de avaliação dos erros de previsão do conjuno de ese (1000 m 2 ) Tabela Medidas de avaliação dos erros de previsão do conjuno de ese (2000 m 2 ) Tabela Medidas de avaliação dos erros de previsão do conjuno de ese (híper) XI

15 I - INTRODUÇÃO 1.1. ENQUADRAMENTO Hoje em dia orna-se relevane descrever a imporância de se er uma visão fuura da empresa e uma previsão no curo, médio e longo prazo, como algo sempre fundamenal para minimizarmos os erros e aingirmos os objeivos das empresas. Será esa visão que nos permiirá saber ou er uma ideia, por exemplo, onde a empresa gosaria de se ver daqui a 5 anos. Ter uma ideia do que o fuuro possa reservar, ajuda as empresas a que possam prever e omar decisões. Ter uma noção, de que possam exisir faores, em deerminados aconecimenos, que possam muias vezes esar inerligados com o funcionameno da empresa, muias das vezes permie às empresas ober mais informação, para uma omada de decisão mais acerada, congruene e precisa. Em empos de crise, como os de hoje em dia, as empresas êm de se preparar cada vez mais no senido de conhecerem bem o erreno por onde caminham. O conrário seria um fuuro desconhecido, pesado e impreciso. A globalização é já uma realidade que facilia cada vez mais o desenvolvimeno, o progresso, a comunicação, as parcerias, a ransmissão de conhecimenos e de informação. Exise, conudo, uma cera endência para se depender do exerior ou de ouros. A aual crise económica, não deixa muias dúvidas da imporância do sucesso dos parceiros mundiais das empresas, nem das auais dificuldades que as empresas se deparam cada vez mais, no senido de as obrigar a procurar novas soluções. Ao nível logísico das empresas, é imporane que se enha um sisema eficaz e eficiene, ou seja, baixo em desperdícios e com uma boa gesão, uma boa filosofia na omada de decisão para o funcionameno da empresa. A problemáica das previsões de vendas no conexo logísico, é um faor basane relevane nas omadas de decisão, ano a nível diário como a curo, médio e longo prazo, uma vez que, nos permie anecipar, precisar e, diminuir os excessos. Na sua origem, a palavra logísica vem do grego logos, que significa discurso, razão, rácio, racionalidade, o que deriva ambém da palavra grega logisiki, ermo esse, que significa conabilidade e organização financeira. Inicialmene, a ciência da logísica que raava da movimenação, do suprimeno e manuenção, era descria essencialmene nas forças miliares no erreno. Poseriormene foi adapada para as organizações no senido de melhorar a gesão 1

16 dos fluxos de maeriais, desde o pono de parida da maéria-prima, aé aos produos acabados. Os sisemas de previsão, são uma das ferramenas do sisema logísico. O conceio de logísica em vindo a adquirir novos significados, nomeadamene, novos pesos à medida que se enende a sua imporância para o bom funcionameno da empresa. Meaforicamene, a logísica pode ser comparada com o coração de uma empresa que, bombeia eficazmene o sangue, por oda a mesma, garanindo assim, o bom funcionameno dos fluxos, de maeriais, de recursos humanos, de informação e financeiros. É porano, a ciência que permie, para além do eficiene e eficaz funcionameno da empresa, consiga ambém maner uma relação eficaz enre preço, qualidade e empo MOTIVAÇÃO PARA O PROBLEMA A moivação para ese problema desenvolve-se principalmene em duas quesões imporanes: uma pela pare financeira da empresa, que ajuda a odos os colaboradores denro dela a rabalhar de forma mais eficaz e moivada, garanindo assim, o seu crescimeno e susenabilidade fuura. E oura pela pare de se poder ober e aplicar uma omada de decisão, mais fácil, acerada e precisa, no senido de se alcançar os objeivos desejados. Nese senido, o objeivo dese esudo é fazer um pono de siuação ao nível das esraégias de Gesão de Logísica no âmbio das previsões de vendas e, apurar algumas lacunas que possam evenualmene exisir. Exisindo essas lacunas, e com a possibilidade de as eliminar, a empresa poderá assim beneficiar de uma redução de cusos que a poderão levar à criação de valor e de vanagem compeiiva perane a concorrência e beneficiar ambém, de um serviço mais eficaz, juno do cliene/consumidor, aumenando com isso, a sua fidelização à marca. Prever o comporameno do cliene nunca foi arefa fácil, aendendo que, cada vez mais nos empos que correm ele fica mais ineligene e mais exigene. Conudo, com a possibilidade de se esudar o comporameno do mesmo aravés de vários dados, ese erro de previsão pode diminuir consideravelmene, ornando-se mais precisa a sua previsão. Conudo, não basa apenas prever, uma procura normal para deerminado produo quando ese pode esar correlacionado com ouros faores como, conjunuras económicas, promoções e desconos, publicidade, ec. Será ese o desafio que se apresenará nese rabalho, ou seja, esudar o comporameno do cliene/consumidor, no senido de analisar a sua migração, ou não, para produos de marca própria, dada a aual conjunura económica, por exemplo. 2

17 Dependendo sempre dos resulados que se possam conseguir com ese rabalho, se os mesmos revelarem aspeos posiivos bem reforçados, haverão sugesões para rabalhos fuuros no senido de se prever o comporameno da procura nos produos concorrenes e complemenares, em aluras que se façam promoções. O conhecimeno deses comporamenos orna-se relevane, quando falamos de uma empresa de dimensões como o Grupo Jerónimo Marins, para que a mesma possa manipular as suas variáveis anecipadamene anevendo, para promoções de produos, saber a relação do cuso publicidade vs procura, no senido de oimizar o funcionameno da empresa. As vanagens serão, um aprovisionameno mais eficaz, minimizando ruuras de sock e socks jus in case, e a demasiada ofera originando com isso, a ocupação de espaço precioso OBJETIVOS DO TRABALHO A previsão da procura no comércio de realho é um dos aspeos fundamenais que esá na base da omada de decisões de esraégia e de planeameno de operações das organizações empresariais. Previsões de vendas precisas podem ajudar a ornar mais eficiene o funcionameno da cadeia de abasecimeno, especialmene em grandes empresas com uma quoa de mercado significaiva. De uma má previsão poderá resular um sock não desejável que afeará direamene o lucro e a posição compeiiva da empresa. Nese rabalho preende-se melhor o sisema de previsão de vendas das Lojas Pingo Doce do Grupo Jerónimo Marins, desenvolvendo um módulo de previsão avançada, de apoio ao já exisene, que permia ober previsões da procura ao nível loja/sku (Sock Keeping Uni) mais precisas. A conceção desse módulo respeiará o formao do sisema já exisene, de modo a que ese possa evenualmene ser inegrado, caso seja esse o desejo da empresa. Objeiva-se que ese módulo de previsão avançada permia uma oimização do Sisema de Planeameno e Gesão de Encomendas das lojas Pingo Doce do Grupo Jerónimo Marins. Esá provado que a Gesão de Logísica em um impaco significaivo nos cusos das empresas. Geralmene esses cusos êm um peso que varia enre 5 a 35% dos cusos das vendas, dependendo de faores como o ipo de negócio ou o valor dos maeriais e produos em causa, sendo a conceção das mercadorias a principal responsável por grande pare dos cusos (Cooper, 1990). O principal objeivo é oferecer ao Grupo maior consisência no mercado de rabalho, ou seja, enar eliminar as gorduras que possam exisir. A realidade exige que as empresas, em 3

18 vez de procurarem e implemenarem esraégias com cusos associados para aumenarem os seus lucros, cada vez mais procurem esraégias racionais para reduzir gorduras e, com isso, cusos, aumenando desa forma as margens de lucro ESTRUTURA DO DOCUMENTO As vendas no comércio de bens e serviços perencem a um ipo especial de séries emporais que normalmene conêm ambos os padrões de endência e sazonalidade, para além de ouros aspeos, apresenando desafios para o desenvolvimeno eficaz de modelos de previsão. Os principais desafios que serão abordados no desenvolvimeno do Sisema de Previsão Avançada são: Oimização da previsão da procura ao nível loja/sku; Previsão da reação do consumidor aos produos face a migrações dos mesmos para ouros produos concorrenes, dada a aual conjunura económica; Análise do efeio que as migrações para ouros produos geram sobre a procura dos ouros produos da mesma caegoria; Previsão da procura de novos produos e produos sazonais; Inegração do Módulo de Previsão Avançada desenvolvido no Sisema de Previsão e Gesão de Encomendas das Lojas. O desenvolvimeno do Sisema de Previsão Avançada proposo compreenderá a uma análise da performance do Sisema de Previsão de Vendas das Lojas Pingo Doce e o levanameno dos aspeos dese sisema que poderão ser oimizados no conexo dos desafios já mencionados. Após a análise do Sisema de Previsão de Vendas das Lojas Pingo Doce exisene, iniciar-se-á o desenvolvimeno do Módulo de Previsão Avançada. Esse módulo proóipo basear-se-á, numa primeira fase, em rês lojas de dimensões disinas do Pingo Doce que, compreenderão 4 produos de duas caegorias diferenes, sendo uma de classe sazonal e a oura não sazonal, compreendidas em lojas de dimensões de 1000m 2, 2000m 2 e um Híper. Numa primeira fase enar-se-á oimizar a previsão da procura ao nível loja/sku dos produos mais comuns, aplicando e esando vários méodos de previsão avançada. Concluída 4

19 esa fase, deixar-se-á algum erreno culivado para sugesões de rabalhos fuuros, caso a empresa decida adoar o novo modelo de previsão em rabalho, nomeadamene: (1) a previsão da reação do consumidor aos produos face a variações de preço, campanhas promocionais e markeing para que o preço dos produos, as campanhas promocionais e o efeio do markeing possam ser planeados e a procura previsa ao nível das lojas; (2) a análise do efeio que a variação de preço de um produo gera sobre a procura de ouros produos da mesma caegoria, concorrenes e complemenares para que seja possível anecipar a variação da procura de um produo quando um ouro relacionado é promovido e, (3) a previsão da procura de novos produos e produos sazonais. Os méodos de previsão desenvolvidos nese conexo erão por base os dados hisóricos preexisenes das vendas dos produos das lojas em esudo. Concluído o desenvolvimeno do Módulo de Previsão Avançada seguir-se-á uma fase de ese do mesmo onde se prevê que alguns aspeos possam ser melhorados. Concluída a fase de ese do Módulo de Previsão Avançada elaborar-se-á um relaório dos resulados obidos no rabalho e far-se-á uma apresenação dos mesmos nas insalações do Grupo Jerónimo Marins, se esse for o desejo dos responsáveis do mesmo. O 1º Capíulo engloba a presene inrodução, indicando a moivação para o problema, os objeivos, méodos e a esruura do documeno. No Capíulo 2 apresena-se uma breve descrição dos principais méodos de previsão dando-se relevância à imporância de prever numa organização empresarial bem como às diferenes eapas de previsão. No 3º Capíulo apresena-se uma caraerização do conjuno de dados abordado nese rabalho focada numa análise exploraória. No 4º Capíulo, a aplicação do modelo de simulação ou seja, a Previsão de Vendas para as Lojas Pingo Doce onde se realizará a caraerização do problema de esudo, no senido de se averiguar e descobrir os melhores méodos de previsão. Finalmene apresenarei no úlimo Capíulo, as respeivas conclusões e rabalhos fuuros. 5

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21 II MÉTODOS DE PREVISÃO 2.1. INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS DE PREVISÃO O CARÁCTER RELEVANTE DAS PREVISÕES DE VENDAS Desde sempre, na gesão das empresas, se recorreu a previsões, sejam de caráer quaniaivo ou qualiaivo, para que se possa omar uma decisão racional e precisa. Iso permie-nos saber se o plano a realizar será o mais eficaz, ajusar o plano à aual previsão, que sejamos mais realisas em deerminar cenários, desde aos mais pessimisas como aos mais oimisas e, o que se aproxima mais com a realidade. Permie-nos porano saber quais os limies e barreiras, saber qual a força, a esperança e as expecaivas a deposiar nas ações da gesão das empresas (Enders, 1995; Pindyck, 1998). Exise uma cera endência, pelo menos no nosso país e em alguns da Europa, em fazerse mais especulações do que esaísicas propriamene dias (Caiado, 2011). Talvez seja por isso que enconremos mais arigos de opinião do que informações pormenorizadas. Ou seja, exise aqui uma cera sobrevalorização nas reflexões qualiaivas, comparado com os arigos empíricos. A especulação é o que nos permie elaborar a perguna de parida: o que aconecerá a, daqui a ano empo? Qual será a procura de um novo produo? A parir daqui, exise porano odo um longo caminho a percorrer, desde ao levanameno de dados concreos que possam faciliar as resposas às pergunas de parida, às modelações e eses e, conclusões, nomeadamene para se poder responder, prever e olhar fuuramene. Na economia e ciências afins markeing, gesão, finanças, ec., os números e as previsões são faores cruciais na implemenação das suas aividades lançameno de um novo produo, remodelação de um exisene, a simples procura de dado produo em deerminado empo, ec... São ciências que, vivem meramene deses faores e que não poderiam viver sem eles. Exisem previsões em que os dados são difíceis, por escassez, por subjeividade ou mesmo por dificuldade de os apurar, conudo, não prever é sempre pior do que se fazer uma previsão consciene, pelo simples fao de não se insinuar que o que aconecerá amanhã, será o mesmo que aconeceu hoje (Johnson, 1994). Hoje em dia, as empresas vão enconrando as suas vidas relaivas às previsões, cada vez mais faciliadas no pono de visa que, vivemos na denominada Era da Informação, ou seja, para além de cada vez exisirem mais méodos, mais sofwares que nos permiem, de forma mais 7

22 práica e fácil aceder a alguns méodos de previsão, por exemplo o Excel, o alcance da informação desses méodos e de ouros aconecimenos, ajudam sempre para uma omada de decisão mais precisa e acerada. A não realização de uma previsão significa por omissão que se esá a assumir que o fuuro será como o presene e que, as decisões do gesor serão baseadas no vazio ou nas condições auais (Winklhofer, 1996). Hoje em dia já não exisem razões para não se realizar uma previsão quaniaiva em vez de nos apoiarmos meramene em especulações. Os gesores de markeing e vendas, principalmene nese caso, os gesores de vendas e logísica, êm de elaborar semanal ou mensalmene previsões de vendas para cada um dos arigos ou serviços da empresa analisando assim, as ondulações da procura e da ofera. O objeivo é claro, er um sisema eficaz eviando assim, os excessos, as ruuras e o desconenameno dos clienes/consumidores (Menzer, 1995; Menzer, 1997). Quando uma empresa decide elaborar uma aividade fuura, a previsão de vendas é dos primeiros ponos de parida para o plano. Esas aividades carecem quase sempre de algum invesimeno ou, de alguma preparação e, esamos a falar dos recursos mais imporanes que as empresas dispõem, ou seja, dos recursos financeiros, humanos e de empo. Sendo assim, orna-se impossível aingir os objeivos sem uma previsão devidamene fundamenada. Cabe ao deparameno de markeing e vendas, esar aualizado dos planos de objeivos, de campanhas e promoções dos produos e novos produos. Esas previsões devem er em consideração vários faores como por exemplo, os cusos, economias de escala, o preço de venda ao público, as campanhas de markeing, a sazonalidade, as alerações no produo e fluuações conjunurais. Resumindo, os gesores de markeing, mediane o plano de previsão de deerminado bem, fixam objeivos de vendas e de crescimeno e, conhecendo ou, endo uma ideia mais real do mercado, podem moivar os vendedores para alcançar esses objeivos e aé supera-los. Ao deparameno da área financeira, cabe conhecer as previsões de vendas dos produos e serviços da empresa para poder preparar as conas de exploração e os orçamenos de previsão de cusos e proveios. Na generalidade, os orçamenos são anuais e êm um horizone emporal denro de 1 a 5 anos (Cooper, 1990; Caiado, 2002). 8

23 Ao gesor de compra e produção cabe-lhe planear e organizar, no senido das vendas de cada SKU (sock keeping uni), odo o processo de aquisição de mercadorias, maérias-primas e equipamenos necessários à produção e comercialização, porano, os meios (Caiado, 2008). Finalmene, cabe ao deparameno de logísica, assegurar a armazenagem, o processo de encomendas e o ranspore dependendo sempre da procura dos clienes, para eviar ruuras de sock e excessos do mesmo o que, geraria, respeivamene uma insaisfação por pare do cliene e, ocupação de espaço desnecessário em armazém com socks moros. A disponibilização dos socks ambém é da compeência dese deparameno, no senido de analisar os produos com mais roação e armazena-los em locais de mais saída e para os de menos roação. Tudo iso implica er um sisema devidamene previso, calculado e, só depois, especulado se necessário. Acima de udo, odos eses deparamenos esão inerligados. A imporância da ransversalidade de deparamenos no que oca a, parilha de informação, para omadas de decisão. Tudo iso faz pare de odo um processo logísico da empresa, desde ao fluxo de informação, financeiro, de recursos humanos e de produos QUANDO E O QUE PREVER? Alguns esudos aponam que a maioria dos gesores e empresários endem a ser basane oimisas nas previsões para as suas empresas. As consequências a isso podem gerar recursos valiosos mal empregues e udo o que isso implica. Torna-se de uma imporância fundamenal, esimar o risco de incereza para empresas que rabalhem com gesão de socks de produos acabados e das compras (Gugarai, 2003; Hill, 2008). O comporameno do consumidor poderá ser sempre uma variável difícil de definir conudo, e de um modo geral, quano maior for a procura para uma empresa, menor será a incereza das previsões. Alguns esudos aponam que exise algum desfasameno enre o que o cliene ou poencial cliene diz e no que coloca em práica, exemplo disso foi o esudo de mercado elaborado pelas companhias de elemóveis que, no final os resulados desse mesmo esudo, revelaram esarem disanes dos esperados. Exisem ouros faores que influenciam direamene o comporameno dos consumidores, como as más noícias, crises económicas e políicas, guerras e greves. Em empos deses, as empresas endem a adapar os seus produos e preços a esas siuações o que, pode gerar um comporameno da procura muio diferene e impreciso comparado com aneriores esudos. 9

24 Todo o regiso de informação é imporane para mais arde se poder realizar previsões e omadas de decisão. As previsões podem ser de curo, médio e longo prazo, sendo de 6 meses a 1 ano, 2 a 3/4 anos, e mais de 5, respeivamene (Hogarh, 1981). O regiso de informação, seja das vendas como de cusos de publicidade, aluras promocionais, serão dados fulcrais para que, 4/5 anos mais à frene, se possa prever com erros de previsão reduzidos, garanindo mais os resulados das empresas DIFERENTES PERSPETIVAS DE PREVISÃO: QUALITATIVA E QUANTITATIVA Os méodos de previsão podem ser divididos em duas caegorias no enano basane diferenes. Eses méodos podem apoiar-se em duas perspeivas disinas, a qualiaiva e a quaniaiva (Caiado, 2011; Hyndman, 2012). A abordagem qualiaiva não se baseia em números mas sim em opiniões de pessoas com experiência e conhecimeno na maéria. Ainda assim, esa abordagem pode ser combinada com méodos esaísicos. Ese méodo baseia-se principalmene quando não exisem dados suficienes para se poder elaborar uma previsão quaniaiva, iso é, com dados preexisenes e esaísicos, por exemplo, o lançameno de um novo produo. A perspeiva qualiaiva pode ser uma boa alernaiva quando exisem alerações basane significaivas no comporameno passado das vendas. As écnicas de previsão dos especialisas podem basear-se na opinião dos execuivos, da opinião dos especialisas, da força de vendas e das expecaivas dos consumidores. As opiniões dos execuivos e dos especialisas, baseiam-se mais numa previsão feia auonomamene por cada gesor execuivo (comercial, financeiro, markeing e vendas, produção e logísica) que, depois de reunidos e apresenadas as previsões, o direor geral oma uma decisão. É um méodo basane simples conudo, carece de alguma fala de racionalidade quando ouras variáveis podem esar correlacionadas. A força de vendas por ouro lado, um ouro méodo qualiaivo, passa pela opinião dos vendedores que, por esarem em permanene conaco com os clienes, conferem-lhes ceros privilégios ano de informação como de inuição. Conudo, exise uma endência para olhar à úlima venda realizada, ou não, e assumir daí um resulado o que pode originar algum desfasameno final. Por fim, neses que são apresenados, vem o méodo das expecaivas dos consumidores. Ese méodo não é mais do que enar passar quesionários aos possíveis 10

25 consumidores acerca das suas inenções fuuras de compra. Consisindo ainda assim em falar com o cliene final, esudos elaborados provam que exisem diferença no que o consumidor diz, para o que faz iso porque, nem sempre planeiam fazer o que dizem. A abordagem quaniaiva é possível quando exisem dados hisóricos numéricos disponíveis e é razoável admiir que ceros aspeos dos padrões passados maner-se-ão no fuuro. Nese rabalho, uilizar-se-á a abordagem quaniaiva, uma vez que dispomos de informação preexisene e que, nos permie er um risco de incereza mais reduzido dado que rabalharemos com basanes clienes. Uma série emporal consise num conjuno de observações de uma variável, feias em períodos sucessivos de empo, durane um deerminado inervalo. Exemplos disso são: a coação diária de ações, a venda semanal de um produo, o número mensal de dormidas em hoelaria numa região, o lucro anual de uma empresa, a emperaura mínima, máxima e média de uma cidade (Mureira, 1994). A análise de séries emporais considera rês padrões de comporamenais: endências, movimenos oscilaórios ou cíclicos e sazonalidades (Caiado, 2011; Hyndman, 2012). A endência consise no andameno mais noório da série durane um longo período de empo. Os movimenos oscilaórios ou cíclicos esão associados às fases de expansão e recessão dos sisemas económicos. Em ciclos longos, as componenes de endência e cíclica, são difíceis de separar, pelo que se podem omar como uma única componene (endência-cíclica). A sazonalidade consise nas oscilações periódicas que ocorrem semanal, mensal, rimesral ou anualmene. Podem esar associadas com as esações do ano (emperaura do ar, consumo de água/elericidade, urismo, ec.), medidas adminisraivas (início e fim do ano escolar), radições e cosumes sociais ou culurais (aumeno das vendas no período naalício) ou com as variações do calendário (número de dias úeis do mês/semana, número de sábados/feriados no mês) ETAPAS EM PREVISÃO Num processo de previsão de séries emporais, o analisa deve seguir deerminadas eapas fundamenais para a sua execução: a definição do problema, recolha dos dados, análise exploraória, explicação ou modelação, e previsão (Makridakis, 1998; Caiado, 2011). Definição do Problema: dialogando com o cliene, é necessário como e por quem é que as previsões serão uilizadas, e como é que esas se encaixam na organização. 11

26 Recolha de Informação: esa eapa compreende a obenção de: (1) dados numéricos e hisóricos, (2) informação acerca da experiência acumulada por quem uiliza os dados. Frequenemene é difícil ober dados hisóricos suficienes para ajusar um bom modelo de previsão. Ocasionalmene, dados muio anigos não êm uilidade devido às modificações sofridas enreano pela organização e, dados num empo de horizone muio curo, poderá aumenar o risco de incereza. Esima-se que o ideal seja num período de empo, compreendido enre 5 a 10 anos. Análise Exploraória: inicia-se uma represenação gráfica dos dados para a procura de: padrões consisenes, uma endência explícia, sazonalidade evidene, presença de movimenos cíclicos e observações anómalas que necessiam e explicações do cliene e relações enre as variáveis em análise. Escolha e Ajuse de Modelos: nesa fase, preendemos escolher o modelo que melhor se ajusa à previsão. O ipo de modelo depende: dos dados hisóricos disponíveis, da magniude das relações enre a variável de previsão e as variáveis explicaivas, e de como irão ser uilizadas as previsões. Habiualmene compara-se o desempenho enre dois ou rês modelos candidaos. A especificação de cada modelo envolve a deerminação dos respeivos parâmeros que são ajusados aos dados hisóricos disponíveis. Por úlimo, a Uilização e Avaliação do Modelo de Previsão: uma vez escolhido o modelo e esimados os sues parâmeros, ese é enão finalmene usado para ober as previsões. O desempenho do modelo escolhido pode ser avaliado logo que os dados do período de previsão fiquem disponíveis TÓPICOS BÁSICOS DE PREVISÃO ESTATÍSTICAS DESCRITIVAS O analisa em ao seu dispor, vários méodos de previsão, que permiem caracerizar a informação conida num conjuno de dados. As medidas esaísicas univariadas mais uilizadas em previsão são (Dalrymple, 1975; Gardner, 1985; Chafield, 2001; Hamilon, 2006; Wei, 2007; Mureira, 2010; Caiado, 2011; Ramos, 2012): A média; A mediana; Os percenis; 12

27 A variância e o desvio padrão; Auocorrelação; Auocorrelação parcial. As medidas esaísicas bivariadas mais uilizadas em previsão são: Covariância; Correlação. Para calcular os valores médios de uma amosra, considera-se o seguine modelo, em que, N é o nº oal de observações do conjuno de dados univariados e x i a i-ésima observação. A média ou valor médio obém-se da seguine forma: 1 x x ( x x x N)/ N N N i 1 2 i 1 (2.1) A mediana raduz-se no valor que divide um conjuno de dados ordenados (por ordem crescene ou decrescene), em duas pares iguais, seja: x ( N x 2 ) ( N 2 1), se N é par x 2 x, se Né ímpar ( N 1 ) 2 (2.2) Os percenis são úeis para descrever a disribuição do conjuno dos dados, por exemplo, o 90º percenil deermina o 90% menor de dados, ao passo que, o 50º percenil é a mediana. Ainda nos percenis, um ouro indicador esaísico úil para descrever a disribuição do conjuno de dados é a ampliude iner-quaril (inerquarile range ou IQR).A ampliude inerquaril é a diferença enre o 75% percenil (1º quaril) e o 25% percenil (3º quaril). Esa ampliude coném 50% das observações cenrais. Uma oura medida a variabilidade (dispersão) do conjuno de dados, muio uilizada, é o desvio padrão: N 1 2 s ( x i x ) N 1 i 1 (2.3) A variância do conjuno de dados é dada por: N 1 s ( xi x ) N i 1 (2.3.1) 13

28 O desvio padrão em a vanagem, em relação à variância, de ser expresso nas unidades das observações. A covariância é uma esaísica bivariada que mede como duas variáveis variam conjunamene. Habiualmene, a covariância enre duas variáveis x e y, é definida por: N 1 cov ( x x )( y y), (2.4) x y i i N 1 i 1 onde, x e y são, repeidamene, as médias de x e y e N é o número de observações de cada variável. As unidades da covariância são problemáicas (é difícil de inerprear on./ano-mpg). A magniude depende das unidades envolvidas. O coeficiene de correlação, ou simplesmene correlação, resolve o problema de escala da covariância. A correlação enre duas variáveis x e y é definida por: r xy cov S S x xy y N i 1 ( x x )( y y) i N N 2 2 ( x i x ) ( yi y) i1 i1 i (2.5) -1, com: Ao conrário da covariância, a correlação é adimensional. O valor de r x y varia enre 1 e Valores negaivos a indicarem uma relação negaiva (à medida que uma variável aumena, a oura variável diminui), e, Valores posiivos a indicarem uma relação posiiva (à mediada que uma variável aumena, a oura variável ambém aumena). É possível, duas variáveis erem um elevado grau de correlação não linear e um baixo coeficiene de correlação. A auocorrelação é uma esaísica que mede a correlação enre pares de valores de uma série emporal desfasados em 1, 2, ou mais períodos. Por exemplo, r 1 mede a correlação enre y (observação no insane ) e y -1 (a observação no insane -1), r 2 mede a correlação enre y e y -2 (a observação no insane -2), e assim sucessivamene. A auocorrelação para o desfasameno (lag)k, é definida por: r k T k1 ( y y)( y k y), T (2.6) 2 ( y y) 1 14

29 onde T é o número de observações da série emporal k T-1. Ao conjuno das auocorrelações r 1, r 2,, r p (p T-1) de uma série emporal chama-se Função de AuoCorrelação (FAC). Ao gráfico da FAC chama-se correlograma. Nos modelos lineares univariados de séries emporais descreve-se o comporameno da variável em esudo com base exclusivamene nos seus valores passados sendo a principal esaísica de análise a FAC, viso que mede a correlação enre pares de valores da série desfasados em 1, 2 e mais períodos. Para além de se analisar a correlação enre pares de valores da série desfasados ineressa ambém invesigar a correlação enre esses pares depois de eliminado o efeio que sobre elas exercem os valores inermédios. Esa correlação condicional designa-se por Função de AuoCorrelação Parcial (FACP). A esimação da FACP pode feia de modo recursivo usando a expressão seguine: p kk k1 r p r k k1, j k j j 1 k1 1 j 1 p r k1, j j (2.7) com p11 r1 (inicialização) e p p 1, p p 1,, j 1,2,..., k 1. kj k j kk k k j TRANSFORMAÇÕES E AJUSTES Muias das vezes, o analisa, devido a efeios cíclicos, sazonais, ou de calendário, precisa de recorrer aos méodos de decomposição de séries emporais. Ese méodo, permie, por exemplo, na gesão de vendas, eliminar alguns faores aípicos agudos, que possam influenciar em erro, as previsões de vendas, ou seja, ese méodo, não é realmene um méodo de previsão, mas a sua uilidade permie, decompor e isolar as forças componenes das séries emporais, possibiliando uma melhor racionalização do padrão do seu comporameno, de forma a ajudar o rabalho da previsão. Deerminadas ransformações e/ou ceros ajuses nos conjunos de dados, podem conduzir a um modelo de previsão mais simples. Essas ransformações e ajuses podem ser (Caiado, 2011): Transformações maemáicas; 15

30 Ajuses de calendário; Ajuses de população; Ajuses de inflação. O objeivo é simplificar os padrões dos dados hisóricos, removendo fones de variação conhecida, ou enão, ornando o padrão mais consisene ao longo do empo. Séries caracerizadas por padrões mais simples, habiualmene, permiem a obenção de previsões mais precisas. Se os dados mosram uma variação que aumena ou diminui com o nível da série, enão uma ransformação maemáica poderá ser úil. Começando pela ransformação logarímicaw log( y ). Esa ransformação é frequenemene úil, dado que, é basane inerpreável, ou seja, as variações nos dados ransformados, correspondem a variações proporcionais a esas nos dados originais. As ransformações de poência w y. Nese caso, ambém são por vezes uilizadas as raízes quadrada ( p y ), e cúbica ( 3 y ), embora não sejam ão facilmene inerpreáveis. Uma família de ransformações habiualmene uilizada em previsão, é a família de ransformações de Box-Cox, que se designa por: w log( y ), 0, (2.8.) ( y 1)/, 0 onde, é um parâmero real, habiualmene enre -1 e 2. (A ransformação logarímica de base e, as ransformações de poência, com um pequeno ajuse, esão incluídas na família Box- Cox). No caso de uma série sazonal, o valor adequado, é aquele que orna a ampliude da variação sazonal consane ao longo do empo, uma vez que, essa ransformação orna o modelo de previsão mais simples. Analisando um pouco mais ao pormenor, por exemplo, admiindo que a série da produção mensal de uma empresa, 0,3 é o valor adequado, conudo, é preciso er em aenção de quem, qualquer valor enre 0 e 0,5, irá produzir resulados semelhanes. Após a obenção das previsões, usando a série ransformada, é necessário enão, a aplicação a esas, a ransformação inversa. A ransformação de Box-Cox inversa, é dada por: y e w, 0 1/ ( w 1), 0 (2.9) 16

31 referir que: A ransformação que segue, é a ransformação de poência. Para esa, orna-se relevane Se a série emporal coniver, pelo menos, uma observação negaiva ou nula, a ransformação de poência não é possível, a menos que seja adicionada uma consane a odos os valores da série, de modo a que os orne odos posiivos; Deve-se escolher um valor para simples, uma vez que simplifica as inerpreações; Os resulados de previsão são, habiualmene, relaivamene insensíveis ao valor de ; Habiualmene não exise a necessidade de qualquer ransformação; Por vezes, as ransformações não aleram subsancialmene as previsões, mas provocam um grande impaco nos inervalos de previsão. Por vezes, alguma da variação observada nos dados sazonais, poderá ser consequência de efeios de calendário, agora, o ajuse de calendário ou seja, endo em cona de que, um mês é consiuído por 5 dias da semana úeis, e dois não úeis, ou que, por vezes, num mês enconramos mais fins de semanas do que num ouro e menos dias. Eses simples aconecimenos, podem originar variações basane noórias e implicaivas nas séries emporais. Nese caso, é preferível remover essa variação anes de ajusar um modelo de previsão. São eles: O ajusameno lengh-of-monh, é caracerizado pela ransformação dos dados de uma série mensal, em virude do número de dias do respeivo mês (Caiado, 2011): [ m ] nd Y Y, (2.10) nd onde, nd é a média dos números de dias por mês, (365,25 dias/12 meses = 30,4375), e nd o número de dias do mês. O ajusameno 4 vs. 5 week periods, que baseia-se em corrigir os dados da série mensal, em virude com o número de fins-de-semana (Sábados e/ou Domingos) de cada mês: [ s ] ns Y Y, (2.11) ns onde, ns é o número de fins-de-semana, que exisem em média por cada mês (52,18 semanas/12 meses = 4,348), e ns o número de fins-de-semana do mês. Finalmene, o rading 17

32 day adjusmen, os dias são classificados em dias úeis ou não úeis (rading days), (non rading days), respeivamene, e os dados da série original são ransformados em virude de o número de dias úeis de cada mês/semana: [ d ] ndu Y Y, (2.12) ndu onde, ndu é o número de dias úeis, em média, por mês/semana, e úeis do mês/semana. ndu o número de dias No caso do ajuse de população, admie que, quaisquer dados que sejam afeados pela variação da população, devem ser ajusados para dados per-capia, ou seja, dados por pessoa (ou por mil pessoas, ou por 100 mil pessoas, ou 1 milhão de pessoas, ec.) em vez de no oal. Por exemplo, se se esiver a esudar o número de camas num hospial, numa dada região e ao longo do empo, os resulados são mais fáceis de inerprear removendo o efeio da variação do número de habianes, e considerando o número de camas por mil habianes. Assim poderemos observar, se realmene houve um aumeno real do número de camas, ou se o aumeno acompanhou apenas o aumeno do número de habianes. É possível que o número oal de camas eseja a aumenar, mas o número de camas por mil habianes eseja a diminuir. Iso ocorre quando a axa de crescimeno da população é superior à axa de crescimeno do número de camas do hospial. O ajuse de inflação, abrange, por exemplo, os dados que são afeados pelo valor de mercado do dinheiro, e devem ser previamene ajusados, sendo assim, a forma mais correa de analisar a sua evolução ao longo do empo. Por exemplo, se considerando que o cuso médio de uma casa nova, com deerminada opologia e numa deerminada zona, vem aumenando nas úlimas décadas derivado à inflação. Por essa razão, as séries emporais financeiras, são habiualmene ajusadas ao valor de mercado do dinheiro do ano respeivo. Eses ajuses, são efeuados usando um índice de preços. Para bens de consumo, uiliza-se habiualmene o índice de preços ao consumidor (IPC) AVALIAÇÃO DOS ERROS DE PREVISÃO O responsável pela previsão deve escolher, como foi aneriormene dio, denro dos diferenes méodos de previsão, aquele que lhe forneça uma visão do fuuro mais realisa. Conudo, esa cereza só será possível, com o andar do empo nas vendas em empo real. Em conraparida, o analisa em ainda um ouro méodo, complemenar aos méodos de previsão, 18

33 para averiguar o grau de cereza deses, aravés dos chamados criérios dos erros de previsão. O erro de previsão, sendo definido por (Caiado, 2011; Ramos, 2012): y i o valor observado no insane i e ˆy i a previsão de y i, é e y ˆy (2.13) i i i As medidas de avaliação dos erros de previsão baseadas em e i, esão dependenes da escala dos dados, e não podem ser uilizadas para comparação com ouras séries expressas em escalas diferenes. As medidas dependenes da escala mais uilizadas são baseadas nos erros absoluos e nos erros quadráicos: Erro Médio (Mean Error) e Erro Absoluo Médio (Mean Absolue Error): ME média ( e i ), MAE = média ( i ) e (2.14) Raiz Quadrada do Erro Médio (Roo Mean Squared Error): 2 RMSE = média ( i ) e (2.15) Quando se comparam vários modelos de previsão de um conjuno de dados, o MAE é o mais uilizado, devido à sua facilidade de inerpreação. O erro percenual é dado por: p i ei 100 (2.16) y i Os erros percenuais êm a vanagem de serem adimensionais, sendo porano, habiualmene uilizados para comparar desempenhos de previsão relaivos a diferenes conjunos de dados. A medida mais habiual é designada por: Erro Percenual Médio (Mean Percenage Error) e Erro Percenual Absoluo Médio (Mean Absolue Percenage Error): MPE = média ( p i ), MAPE = média ( i ) p (2.17) referir: No enano, exisem algumas desvanagens nas medidas baseadas em erros percenuais a São infinias ou indefinidas se yi 0, para algum insane i; 19

34 Assumem valores exremos quando yi 0, para algum insane i, Assumem um zero não arbirário; (Exemplo: não fazem senido em previsões de emperaura em escalas Fahrenhei ou Celsius; os ponos zero de ambas escalas não refleem a ausência de emperaura); Pesam mais os erros posiivos do que os negaivos. O Erro Escalado Absoluo Médio pode ser usado em alernaiva ao MAPE, para comparar desempenhos de previsão relaivos a conjunos de dados expressos em escalas diferenes. A ideia é escalar os erros com o MAE de um méodo de previsão simples, do conjuno de reino (definição à frene). Para Séries Temporais Não-Sazonais e Sazonais, o erro escalado q j uiliza previsões naïve sazonais, e é dado respeivamene por: q j T e j T (2.17), 1 y y q j 1 T m T e m1 j y y m (2.18) O Erro Escalado Absoluo Médio (Mean Absolue Scaled Error) é obido por: MASE = média ( q j ) (2.19) O MASE é, respeivamene, inferior ou superior a 1 se a previsão é melhor ou pior do que a previsão média do méodo de previsão mais simples para o conjuno de reino. Analogamene, pode definir-se o erro escalado quadráico médio (Mean Squared Scaled Error) onde os erros (do conjuno de reino ou do conjuno de ese), são quadráicos. Torna-se relevane referir que é incorreo avaliar o desempenho de previsão pelo ajuse do modelo aos dados hisóricos, ou seja, a avaliação do desempenho deve ser efeuada usando dados hisóricos que não foram uilizados no ajuse do modelo. Tipicamene, divide-se o conjuno de dados em dois conjunos: Conjuno de reino, que é uilizado para fazer o ajuse do modelo de previsão; Conjuno de ese, que é uilizado para avaliar o desempenho do modelo de previsão ajusado. Tipicamene, o conjuno de ese consise nos úlimos 20% do conjuno de dados, podendo ese valor ser ajusado em função do número de observações disponíveis e do 20

35 horizone emporal das previsões. No enano, é imporane er-se em aenção às seguines afirmações: Um modelo que se ajusa bem aos dados, pode er um mau desempenho na previsão; Um ajuse perfeio pode sempre ser obido desde que o modelo enha o número suficiene de parâmeros; Um sobre-ajuse do modelo (uilização de um número excessivo de parâmeros), é ão prejudicial, como uma idenificação incorrea dos padrões dos dados DIAGNÓSTICOS DOS RESÍDUOS Em previsão, um resíduo é a diferença enre um valor observado e a sua previsão, baseada em ouras observações: e y ˆy (2.20) i i i Para séries emporais, o resíduo é baseado em previsões a um passo, iso é, ˆy é a previsão de y baseada nas observações y 1, y 2,,y -1. Num bom méodo de previsão é essencial que os resíduos sejam não correlacionados e enham média nula. Se não forem correlacionados, os resíduos conêm ainda informação que deve ser uilizada no cálculo das previsões. Se não iverem média nula, as previsões são enviesadas. Qualquer méodo de previsão que não saisfaça esas propriedades pode ser melhorado. Para a média, não sendo esa nula e sendo de m, deve-se adicionar m a odas as previsões, e o problema do enviesameno fica resolvido. Quano à forma de solucionar a exisência de correlação enre os resíduos, esa irá ser raada mais arde. Em odo o caso, é sempre possível melhorar os méodos de previsão que saisfaçam essas propriedades. É possível er vários méodos de previsão para o mesmo conjuno de dados que saisfaçam esas propriedades. A verificação desas propriedades orna-se relevane para analisar se o méodo de previsão esá a uilizar correamene oda a informação conida nos dados, mas não para selecionar um méodo de previsão de enre vários candidaos. Para além daquelas propriedades, é vanajoso (mas não necessário) que (Ramos, 2012): (1) os resíduos enham variância consane; 21

36 (2) que enham disribuição aproximadamene normal. O cálculo de inervalos de previsão fica faciliado se esas duas propriedades forem saisfeias. A aplicação de uma ransformação aos dados poderá levar a que o méodo de previsão saisfaça esas propriedades. O melhor méodo de previsões para índices do mercado de ações é, habiualmene, o méodo naive, onde cada previsão é igual ao úlimo valor observado. ˆy y 1 (2.21) Assim os resíduos são iguais à diferença enre observações consecuivas: e ˆ y y y y 1 (2.22) Para além da deeção de auocorrelações significaivas aravés da análise visual à FAC, podem ser efeuados eses de hipóeses ao conjuno de valores r k como um cluser, chamados de eses de Pormaneau. Eses eses, não são individuais aos valores de r k viso que se o fossem, pelo seu elevado número, seria provável que pelo menos um deles desse um falso posiivo, o que nos levaria a concluir que os resíduos ainda eriam alguma correlação, quando de fao não seria verdade. Para isso, é necessário esar se as primeiras h auocorrelações são significamene diferenes das que se esperaria ober de uma série ruído branco. Assim sendo, os eses mais uilizados são o ese de Box-Pierce e o ese de Ljung-Box. O ese de Box-Pierce é designado por: h 2 k k1 Q T r (2.23) O de Ljung-Box (mais eficiene) é baseado na esaísica: Q * h 2 rk T( T 2) (2.24) T k k1 onde, h é o lag máximo considerado e T é o número de observações. Sugere-se h=10 para dados não sazonais e h=2m para dados sazonais (m é o período de sazonalidade). Se cada r k é aproximadamene zero, enão Q e Q * serão baixos. Se algum dos r k for elevado (posiivo ou negaivo), enão Q e Q * serão elevados, sugerindo que as auocorrelações não provêm de uma série ruído branco. Mas qual o limie? Se as auocorrelações fossem de uma série ruído branco, enão Q e Q * eriam disribuição 2 x h K ( ), onde K é o número de parâmeros do modelo 22

37 de previsão. Rejeiaríamos ambém a hipóese nula ( H : r r... r h 0) com um nível de significância se o valor de Q e Q * excedesse o (1- ) quanil da disribuição (i.e. se o valor-p 0,05, para =0,05). Para eses a dados raw, K=0. x 2 ( h K ), INTERVALOS DE PREVISÃO Uma vez obidas as previsões da série em esudo, é relevane apurar-se os inervalos de previsão, esimando assim um limie inferior e superior enre os quais se espera que o respeivo valor desconhecido se insira, com uma deerminada probabilidade, normalmene ala. Assumindo que os erros de previsão êm disribuição Normal de média zero, o inervalo de previsão aproximado para o próximo eveno é de (Brockwel, 1991; Bowerman, 2005; Caiado, 2011): [ ˆy Z ˆ, ˆy Z ˆ ] (2.25) onde, ˆ é uma esimaiva do desvio padrão da disribuição da previsão e Z é um muliplicador que deermina a percenagem do inervalo de previsão. Os níveis de confiança mais uilizados em inervalos de previsão são 80%, 90%, 95% e 99%, a que corresponde respeivamene os valores de Z iguais a 1.282, 1.645, e Quando o objeivo se prende em prever aconecimenos um passo à frene, (iso é, com o horizone emporal de um período), o desvio de padrão da disribuição da previsão é praicamene igual ao desvio de padrão da disribuição dos resíduos. Iso é, são idênicos se o modelo de previsão não iver parâmeros esimados, iso à semelhança do méodo naïve. O desvio de padrão da disribuição é ligeiramene superior que o desvio padrão dos resíduos quando, esamos perane méodos de previsão em que se envolvam valores esimados, apesar desa diferença ser ignorada. Assim sendo, o desvio padrão dos resíduos, fornece a esimaiva do desvio padrão da disribuição da previsão ˆ, necessária para o cálculo do inervalo de previsão. A fórmula (25), assume que os resíduos não são correlacionados e êm disribuição Normal se, e só se, odas as condições se assegurarem, caso conrário, esa fórmula não pode ser uilizada. 23

38 2.3. ALISAMENTO EXPONENCIAL INTRODUÇÃO Os méodos de alisameno exponencial, apareceram durane a II Guerra Mundial, em 1944 e Rober G. Brown, foi o responsável pelo seu aparecimeno. A necessidade ocorreu derivado aos incêndios nos submarinos, quando enavam enconrar, soluções prevenivas de conrolo para esses mesmos acidenes. Ese modelo, é baseado em ponderadores exponencialmene decrescenes com a aniguidade dos aconecimenos, ou seja, as vendas de produos sazonais, esão mais correlacionadas com os anos homólogos mais recenes, do que com as observações mais anigas ALISAMENTO EXPONENCIAL SIMPLES O mais simples dos méodos de alisameno exponencial, é o méodo de alisameno exponencial simples (AES). É mais adequado, para quando se raa de previsões de séries emporais que não possuam nem um padrão de endência, nem sazonalidade. A Figura 2.1 mosra uma resrição da série emporal da produção de peróleo (em milhões de oneladas) na Arábia Saudia enre 1965 e 2010 relaiva ao período enre 1996 e 2007 (Hyndman, 2012; Ramos, 2012). Figura 2.1. Produção de Peróleo Arábia Saudia. Podemos reparar que, a produção de peróleo ao longo dos anos, não apresena qualquer sinal de sazonalidade e de endência. Assim sendo, poderíamos opar pelo méodo 24

39 naïfe ou pelo méodo da média. Se opássemos pelo primeiro, enão poderíamos considerar as previsões da seguine maneira (Winers, 1960): y y ˆT h T T, (2.26) para h = 1, 2, Ou seja, pelo méodo naïfe, afirmamos que a observação mais recene é a única mais relevane para o fuuro, considerando assim que, odo o peso é dado à úlima observação sendo possível porano, considerar como uma média ponderada. Pelo méodo da média, as previsões fuuras são iguais à média dos dados aneriores, ou seja: ˆ yt h T y ( y1 y2 y3... yt )/T, (2.27) para h = 1, 2, Assim sendo, o méodo da média assume que odas as observações êm um peso igual, considerando assim, um méodo ponderado de igual valor para odos os aconecimenos. O conceio subjacene do Alisameno Exponencial, é aribuir um maior peso às observações mais recenes, em vez das mais anigas. As previsões são calculadas, usando médias ponderadas onde os pesos decrescem exponencialmene com a aniguidade das observações, como podemos observar (Brown, 1963; Gardner, 1995; Gardner, 2006): ˆ y y (1 ) y (1 ) y (1 ) y..., (2.28) 2 3 T 1 T T T 1 T 2 T 3 onde, 0 1 é o parâmero de alisameno (ou amorecimeno) e onde a axa de decrescimeno é conrolada pelo. A forma de AES mais conhecida é a forma de componene cujas equações da previsão e do nível são: ˆ l Equação da previsão: y 1 Equação do nível: 1 l y (1 ) l (2.29) para = 1, 2,, T, onde l é o nível (ou valor alisado) da série no insane e e y l y ˆy, ou seja, o erro de previsão a 1-passo denro da amosra no insane. 1 1 Os erros de previsão denro da amosra conduzem ao ajusameno/correção do nível esimado. Por exemplo, se o erro no insane é negaivo, enão y 1 y, e consequenemene, o nível no insane 1 foi sobresimado. O que significará que o novo nível l será o nível anerior l 1 ajusado para baixo. Quano mais próximo de 1 for o valor ˆ 25

40 de, enão maiores (mais rápidos) serão os ajusamenos. Inversamene, quano mais próximo de 0 for o valor de, menores (mais lenos) serão os ajusamenos MÉTODO DE TENDÊNCIA LINEAR DE HOLT O méodo de endência linear de Hol é uma exensão do AES para permiir a previsão de dados com endência. Ese méodo envolve a equação de previsão e duas equações de alisameno (uma para o nível e oura para a endência), (Ramos, 2012): ˆ h Equação da previsão: y l hb (2.30) l y (1 )( l b ) (2.31) Equação do nível: 1 1 Equação da endência: b ( l l ) (1 ) b, (2.32) * * 1 1 para = 1, 2,, T, onde: l é a esimaiva do nível da série no insane ; b é a esimaiva da endência (declive) da série no insane ; 0 1 é o parâmero de alisameno do nível; * 0 1 é o parâmero de alisameno da endência; h 1 é o passo da previsão denro da amosra. Tal como o AES, a equação do nível mosra que l é a média ponderada enre a observação y e a previsão a 1-passo à frene denro da amosra para o insane ( l l 1). A equação da endência mosra que b é a média ponderada enre a endência esimada no insane, baseada em l l 1, e a esimaiva anerior da endência b 1. Ao conrário do AES, a equação da previsão já não é plana. A previsão h-passos à frene (fora da amosra) obém-se adicionando a úlima esimaiva do nível com a úlima da endência muliplicada por h : ˆ yt h T l T hbt, h 1, 2, 3,... (2.33) Logo, aqui as previsões são função linear de h. 26

41 A forma de correção do erro das equações do nível e da endência do méodo de endência linear de Hol mosram os ajusamenos em ermos dos erros de previsão a 1-passo denro da amosra: l l b e 1 1 b b e * 1 (2.34) para = 1, 2,, T, onde: e y ( l b ) 1 1 y ˆy 1 (2.35) MÉTODO DE TENDÊNCIA EXPONENCIAL Uma variane do méodo de endência linear de Hol é obida permiindo que o nível e o declive sejam muliplicados (em vez de adicionados). As suas equações da previsão, nível e endência são (Ramos, 2012): h Equação da previsão: ˆy h l b (2.36) l y (1 ) l b (2.37) Equação do nível: 1 1 Equação da endência: b l (2.38) * * (1 ) b 1 l 1 para = 1, 2,, T, onde: l é a esimaiva do nível da série no insane ; b é a esimaiva da axa de crescimeno (em ermos relaivos) da série no insane ; 0 1é o parâmero de alisameno do nível; * 0 1é o parâmero de alisameno da endência; h 1é o passo da previsão denro da amosra. A endência da equação da previsão é agora exponencial em vez de linear, e consequenemene as previsões projeam uma axa de crescimeno consane em vez de um declive consane. A forma de correção do erro do méodo de endência exponencial é: 27

42 l l b e 1 1 b b (2.39) * 1 e l 1 para = 1, 2,, T, onde: e y ( l b ) 1 1 y ˆy 1 (2.40) MÉTODO DE TENDÊNCIA EXPONENCIAL AMORTECIDA As previsões geradas pelo méodo de endência linear de Hol apresenam indefinidamene uma endência consane (crescene ou decrescene). As previsões geradas pelo méodo de endência exponencial são ainda mais exremas ao apresenar um crescimeno, ou decrescimeno, exponencial. A evidência empírica mosra que eses méodos endem a sobreprever, especialmene para horizones de previsão longos. Gardner e McKenzie (1985) inroduziram um parâmero que amorece a endência convergindo-a para uma linha plana. Os méodos que incluem uma endência amorecida êm-se mosrado muio eficazes e são indiscuivelmene os méodos individuais mais uilizados quando se preendem previsões auomáicas de uma grande quanidade de séries. Tendência Amorecida Adiiva: Em conjugação com os parâmeros de alisameno 0 1 e * 0 1, o méodo de endência amorecida adiiva inclui ainda um parâmero de amorecimeno 0 1, sendo as suas equações de previsão, nível e endência as seguines: Equação da previsão: 2 h ˆ y h l (... ) b Equação do nível: 1 1 (2.41) l y (1 )( l b ) (2.42) Equação da endência: b ( l l ) (1 ) b (2.43) * * 1 1 para = 1, 2,, T. Se 1 ese méodo equivale ao méodo de endência linear de Hol. As previsões convergem para l b /(1 ), quando h, para qualquer 0 1 T. O consequene efeio erá na medida em que, as previsões de curo-prazo são amorecidas e previsões de longo-prazo são consanes. 28

43 A forma de correção do erro das equações do nível, e da endência do méodo e do méodo de endência amorecida adiiva, são: l l b e 1 1 b b e * 1 (2.44) para = 1, 2,, T, onde: e y ( l b ) 1 1 y ˆy 1 (2.45) Tendência Amorecida Muliplicaiva: Moivado pelo sucesso do desempenho das previsões do méodo de endência amorecida adiiva, Taylor (2003) inroduziu o parâmero de amorecimeno 0 1 no méodo de endência exponencial, resulando o méodo de endência amorecida muliplicaiva. Equação da previsão: 2 h (... ) ˆy h l b (2.46) Equação do nível: l y (1 ) l 1 b (2.47) 1 * l * Equação da endência: b (1 ) b (2.48) 1 l 1 para = 1, 2,, T. Ese méodo irá produzir previsões ainda mais conservaivas do que o méodo de endência amorecida adiiva, quando comparado com o méodo linear de Hol. A forma de correção do erro das equações do nível e da endência do méodo de endência amorecida muliplicaiva é: l l b e 1 1 b * b 1 e l 1 (2.49) para = 1, 2,, T, onde: e y l b 1 1 y ˆy 1 29

44 MÉTODO SAZONAL DE HOLT-WINTERS Hol e Winers esenderam o méodo de Hol para capar a sazonalidade. O méodo sazonal de Hol-Winers compreende a equação da previsão e rês equações de alisameno uma para o nível l, uma para a endência l e uma para a sazonalidade s, com parâmeros de alisameno *, e respeivamene. O período de sazonalidade, iso é, o período de empo regular (número de observações) em que o fenómeno periódico se repee, é denoado por m. Por exemplo, se a sazonalidade é anual, para dados mensais m = 12, para dados rimesrais m = 4, e para dados semesrais m = 7. Ese méodo é apropriado para séries que apresenam endência linear e movimenos sazonais. Exisem duas varianes dese méodo que diferem na naureza da componene sazonal. O méodo adiivo é uilizado quando as variações sazonais são aproximadamene consanes ao longo da série. Nese méodo, a componene sazonal é expressa em ermos absoluos nas unidades da série, e a equação do nível é sazonalmene ajusada subraindo a componene sazonal. Em cada período de sazonalidade, a soma das componenes sazonais é aproximadamene 0. O méodo muliplicaivo que, é uilizado quando as variações sazonais variam proporcionalmene com o nível da série. Nese méodo, a componene sazonal é expressa em ermos relaivos (percenagem), e a equação do nível é sazonalmene ajusada dividindo a componene sazonal. Em cada período de sazonalidade, a soma das componenes sazonais, é aproximadamene m. A forma de componene para o méodo de Hol-Winers adiivo é: Equação da previsão: ˆ y l hb s (2.50) h mh m l y ( y s ) (1 )( l b ) (2.51) Equação do nível: m 1 1 * * Equação da endência: b ( l l ) (1 ) b (2.52) 1 1 Equação da sazonalidade: 1 1 para = 1, 2,, T, onde: s ( y l b ) (1 ) s (2.53) m 30

45 l é a esimaiva do nível da série no insane ; b é a esimaiva da endência (declive) da série no insane ; s é a esimaiva da sazonalidade da série no insane 0 1é o parâmero de alisameno do nível; * 0 1é o parâmero de alisameno da endência; 0 1é o parâmero de alisameno da sazonalidade; h 1é o passo da previsão denro da amosra, com h [( h 1) mod m] 1. A equação do alisameno para o nível mosra uma média ponderada enre a observação ajusada de sazonalidade ( y s m ) e a previsão não sazonal ( l 1 b 1) para o insane. Por sua vez, a equação do alisameno para a endência é idênica à equação da endência do méodo de endência linear de Hol. A equação do alisameno para a componene sazonal mosra uma média ponderada enre o índice sazonal correne ( y 1 l 1 b 1) e o índice sazonal do insane homólogo do período de sazonalidade anerior (i.e., m insanes anes) s m. A equação da componene sazonal é frequenemene expressa da forma * * s ( y l ) (1 ) s m. m * 0 1 Como habiualmene, a resrição do parâmero de alisameno da componene sazonal é, que corresponde a 0 1. adiivo é: A forma de correção do erro das equações de alisameno do méodo de Hol-Winers l l b e 1 1 b b e * 1 s s e m (2.54) para = 1, 2,, T, onde: e y ( l b s ) y ˆy 1 (2.55) é o erro de previsão 1-passo denro da amosra no insane. 31

46 A forma de componene para o méodo de Hol-Winers muliplicaivo é: Equação da previsão: ˆ y ( l hb ) s (2.56) h mh m y Equação do nível: l (1 )( l 1 b 1) s (2.57) Equação da endência: b * ( l l * ) (1 ) b (2.58) Equação da sazonalidade: s E a forma de correção do erro é: 1 1 y (1 ) s m l 1 b 1 m (2.59) e l l 1 b 1 s b s b s 1 m * e s l m e b 1 1 m (2.60) para = 1, 2,, T, onde e y ( l 1 b 1) s. m Um méodo que é frequenemene o melhor méodo de previsão para dados sazonais, é o méodo de Hol-Winers com uma endência amorecida e sazonalidade muliplicaiva. A forma de componene dese méodo é: Equação da previsão: 2 h ˆ y h [ l (... ) b ] s mhm (2.61) y Equação do nível: l (1 )( l 1 b 1) (2.62) s m Equação da endência: b ( l l ) (1 ) b (2.63) * * 1 1 Equação da sazonalidade: s y (1 ) s m l 1b1 (2.64) para = 1, 2,, T. 32

47 MODELOS DE ESPAÇO DE ESTADO INOVATIVOS Considerando odas as combinações possíveis da componene de endência e da componene sazonal obêm-se 15 méodos de alisameno exponencial diferenes, que se mosram na abela seguine. Tabela 2.1. Taxonomia dos méodos de alisameno exponencial (adapado de Hyndman, 2012). Com base nos méodos de AE é possível definir modelos esaísicos, designados por modelos de espaço de esado, que para além de gerarem as mesmas previsões ponuais, geram ambém inervalos de previsão e permiem a uilização de um criério objeivo de seleção de modelos candidaos. Cada modelo esaísico consise em: uma equação da medida (ou observação) - descreve os dados; uma ou mais equações do esado (ou ransições) descrevem como as componenes ou esados (nível, endência, sazonalidade) não observados variam com o empo. Para cada méodo exisem dois modelos, um com erros adiivos e um com erros muliplicaivos. Cada modelo é idenificado por um erno de leras (E, T, S) que especifica o ipo de cada componene: Erro cujas possibilidades são {A, M}; Tendência cujas possibilidades são {N, A, Ad, M, Md}; Sazonalidade cujas possibilidades são {N, A, M}. 33

48 Exisem 30 modelos de espaço de esado: 15 com erros adiivos e 15 com erros muliplicaivos. Para designar cada modelo uiliza-se a label ETS(,, ), onde ETS significa ExponenTial Smoohing. As duas abelas seguines apresenam as equações de odos os modelos de espaço de esado inovaivos. Tabela 2.2. Modelos ETS com erros adiivos (Hyndman, 2012). Tabela 2.3. Modelos ETS com erros muliplicaivos (Hyndman, 2012). 34

49 Como já referido, a grande vanagem de usar modelos ETS é a possibilidade de uilizar um criério objeivo de seleção de modelos candidaos. Os criérios seguines podem ser uilizados para deerminar qual dos 30 modelos ETS é o mais apropriado para uma dada série emporal (Akaike, 1974). O Criério de Informação de Akaike (AIC) é definido por: AIC 2log( L) 2 k, (2.65) o Criério de Informação de Akaike corrigido (AIC c ), adequado para amosras de dados pequenas, é definido por: AIC c 2( k1)( k2) AIC T k (2.66) E o Criério de Informação Bayesiano (BIC) é definido por: BIC AIC k log( T) 2 (2.67) esimados. onde L é a verosimilhança do modelo e k é o nº oal de parâmeros e esados iniciais O melhor modelo é aquele que em menores valores AIC, AICc e BIC MODELOS ARIMA INTRODUÇÃO Os modelos ARIMA consisem numa oura abordagem esaísica para previsão de séries emporais (Box, 1994). Aliás, o Alisameno Exponencial e os modelos de ARIMA são as duas meodologias mais uilizadas para previsão de séries emporais, proporcionando abordagens complemenares do problema. Enquano que os modelos de alisameno exponencial são baseados na descrição da endência e sazonalidade dos dados, os modelos ARIMA são baseados na descrição das auocorrelações dos dados. Anes de se inroduzir os modelos ARIMA é conveniene abordar o conceio de esacionaridade e a écnica de diferenciação de séries emporais. 35

50 diff(dj) srikes ESTACIONARIDADE E DIFERENCIAÇÃO A esacionaridade de uma série emporal implica média e variância consanes, e covariância independene do empo, dependendo apenas do desfasameno emporal. Em ermos práicos, a esacionaridade de uma série emporal observa-se quando os dados: não apresenam endência crescene ou decrescene nem movimenos periódicos, e fluuam em orno de uma média consane, independene do empo, e a variância das fluuações não se alera ao longo do empo. Nas Figuras 2.2 e 2.3 podem observar-se, respeivamene, uma série não esacionária em média e uma série esacionária em média Ano Figura 2.2. Série não esacionária em média (Caiado, 2012) Dia Figura 2.3. Série esacionária em média (Caiado, 2012). 36

51 Para esabilizar a média de uma série não esacionária em média, podem uilizar-se ransformações de diferenciação. A diferenciação simples (ou de 1º ordem) de uma série emporal consise em ober a diferença enre observações consecuivas, iso é (Peña, 2001): (2.68) y y y 1 Por vezes, a série diferenciada ainda não é esacionária e pode ser necessário diferenciála novamene para ober uma série esacionária. As diferenças de 2ª ordem de uma série correspondem às diferenças das primeiras diferenças (diferenças de 1ª ordem ou diferenças simples): y y y 1 y 2 y 1 y 2 (2.69) Quando uma série apresena um comporameno periódico repeiivo pode-se aplicar uma ransformação de diferenciação sazonal, definida por: y y y m (2.70) onde y mé a observação homóloga de y relaiva ao período sazonal anerior, e m é o nº de observações do período sazonal. O operador araso B (backshif) é uma ferramena úil para a expliciação de modelos de séries emporais. É definido por (Peña, 2001): By (2.71) y 1 Ou seja, aplicar B a uma série em o efeio de arasar os dados 1 insane. Aplicar B duas vezes em o efeio de arasar os dados d insanes: 2 B y B( By ) B y 1 y 2 (2.72) E assim, para dados sazonais por exemplo de periodicidade mensal, m 12, a série referene ao período homólogo do ano anerior pode escrever-se na forma 12 B y y 12 (2.73) Uilizando o operador araso uma diferenciação simples pode, alernaivamene, ser escria na forma seguine 37

52 y y y 1 (1 B) y (2.74) De um modo geral, uma diferença de ordem d pode ser escria na forma: (1 B) d y (2.75) O correlograma ambém é úil para analisar a esacionaridade de uma série. O correlograma de uma série esacionária apresena um decaimeno para zero relaivamene rápido enquano que o correlograma de uma série não esacionária apresena uma decaimeno relaivamene leno. Habiualmene, r 1, é elevado e posiivo para séries não esacionárias. Para esabilizar a variância de uma série não esacionária em variância pode uilizar-se a família de ransformações de Box-Cox inroduzidas na Secção Uma série esacionária em média não é necessariamene esacionária em variância e covariância. Conudo, uma série que não é esacionária em média ambém não é esacionária em variância e covariância. Na Figura 2.4 pode observar-se uma série não esacionária em variância (ainda que esacionária em média) e na Figura 2.5 pode observar-se uma série com endência linear (não esacionária em média) e variância crescene (não esacionária em variância). Figura 2.4. Série não esacionária em variância (Caiado, 2012). 38

53 Figura 2.5. Série não esacionária em média e variância (Caiado, 2012) MODELOS AUTOREGRESSIVOS Num modelo de regressão múlipla, podemos prever a variável dependene usando uma combinação linear de variáveis explicaivas. Num modelo de auoregressão, prevemos a variável em esudo usando uma combinação linear de valores passados dessa variável. O ermo auoregressão indica que é uma regressão da variável com ela própria. O modelo auoregressivo de ordem p ou modelo AR(p), pode ser escrio na forma (Shumway, 2000): y c 1 y 1 2 y 2... p y p (2.76) onde é um ruído branco, p é um ineiro posiivo e 1, 2,..., p são parâmeros reais ep 0. Traa-se de um modelo idênico ao da regressão linear múlipla em que as variáveis explicaivas, são valores desfasados de y. Eses modelos são muio flexíveis para a modelação de uma grande variedade de padrões de séries emporais. Diferenes parâmeros 1, 2,..., p resulam em diferenes padrões de séries emporais. A Figura 2.6 ilusra o comporameno de um: Modelo AR(1): y 2 0,8 y 1 Modelo AR(2): y 8 1, 3 y 1 0,7 y 2, para séries simuladas com 100 observações e com ruído branco com disribuição normal de 2 média 0 e variância 1, i.e. ~ NID(0, ). 39

54 y AR(1) y AR(2) Figura 2.6. AR(1) e AR(2). A variância de, em nada afea o padrão da série, apenas a sua escala. Para um modelo AR(1), y c 1y 1 : Se 1 0, y é equivalene a ruído branco; Se 1 1 e c 0, y é equivalene a um passeio aleaório; Se 1 1 e c 0, y é equivalene a um passeio aleaório com deriva; Se 1 0, y ende a oscilar enre valores posiivos e negaivos. Habiualmene resringem-se os modelos auoregressivos a dados esacionários e, nesse caso são imposas condições aos parâmeros: Para um modelo AR(1): Para um modelo AR(2): 1 2 1, 1 2 1, Para p 3 as condições são basanes mais complexas. O Sofware R (R Sofware) considera esas resrições quando esima o modelo MODELOS DE MÉDIAS MÓVEIS Num modelo de médias móveis prevemos a variável em esudo usando uma combinação linear dos erros de previsão passados. O modelo de médias móveis de ordem q ou modelo MA(q), pode ser escrio na seguine forma: 40

55 y c q q (2.77) onde é um ruído branco, q é um número ineiro posiivo e 1, 2,..., q são parâmeros reais. Torna-se relevane mencionar que cada valor de y pode ser inerpreado como uma média móvel ponderada de erros de previsão passados recenes. Conudo, os modelos de médias móveis não devem ser confundidos com o alisameno por médias móveis. Um modelo de médias móveis é usado para prever valores fuuros, enquano que o alisameno por médias móveis é usado para esimar a componene endência-cíclica de valores passados, daí não poderem ser confundidos. Diferenes parâmeros 1, 2,..., q resulam em diferenes padrões de séries emporais. A Figura 2.7 ilusra o comporameno de um: Modelo MA(1): y 20 0,9 1 Modelo MA(2): y 1 0,8 2 para séries simuladas com 100 observações e com ruído branco com disribuição normal de 2 média 0 e variância 1, i.e. ~ NID(0, ). y MA(1) y MA(2) Figura 2.7. MA(1) e MA(2). A variância de, não afea o padrão da série, apenas a sua escala. Um processo AR esacionário de ordem finia é equivalene a um processo MA de ordem infinia. Por exemplo, para um modelo AR(1), subsiuindo repeidamene, obém-se: 41

56 y y 1 1 ( y ) y y k Se 01 1, o valor de 1 irá diminuir à medida que k aumena. Assim, ober-se-á a expressão seguine: y Ou seja, um processo MA( ). A relação inversa ambém se verifica se o processo MA for inverível, iso é, se saisfazer as seguines condições, que são idênicas às condições de esacionaridade: Para um modelo MA(1): Para um modelo MA(2): 1 2 1, 1 2 1, Assim, um processo MA inverível de ordem finia é equivalene a um processo AR de ordem infinia, AR( ). Os modelos inveríveis êm ainda ouras propriedades maemáicas que os ornam essenciais MODELOS AUTOREGRESSIVOS E DE MÉDIAS MÓVEIS Tal como aneriormene referido, os processos denominados de esacionários e inveríveis podem ser represenados ano na forma auoregressiva como na forma médias móveis. No enano haverá vezes em que um deses processos erá uma represenação mais fidedigna do que o ouro quando ese, devido a um número excessivo de parâmeros, consequenemene conduz a uma perda de eficiência na sua esimação. Nese senido é possível consruir-se um modelo mais preciso que inclua ambos os faores auoregressivo e médias móveis denominado de modelo miso auoregressivo e médias móveis de ordens p e q, respeivamene, cuja represenação simbólica é pelo modelo ARMA(p,q) (Caiado, 2011). O modelo ARMA(1,1) inclui um faor auoregressivo de 1ª ordem e um faor de médias móveis de 1ª ordem e em a represenação: y y 1 1, com (2.78) 42

57 onde é um ruído branco. Ese processo erá de saisfazer as condições seguines: 1 1 e 1 1. À medida que k aumena, a FAC e a FACP do modelo ARMA(1,1) êm um decaimeno gradual (suave, sem quedas bruscas) para zero. O modelo miso auoregressivo e médias móveis ARMA(p,q) em a represenação seguine: y y... y..., (2.79) 1 1 p p 1 1 q q onde é um ruído branco. Esendendo os modelos ARMA a uma imporane classe de modelos lineares para séries não esacionárias obêm-se os modelos ARMA inegrados ou modelos ARIMA. O modelo ARIMA(p,d,q) em a expressão seguine: (1 B... B )(1 B) y (1 B... + B ) (2.80) p d q 1 p 1 q onde (1 B) d y, com d 1 é a série esacionária depois de diferenciada d vezes, 1,... p são os parâmeros auoregressivos e 1,... p os parâmeros de médias móveis. As formas mais simples e frequenes do modelo ARIMA são ARIMA(0,1,0), ARIMA(1,1,0), ARIMA(0,1,1) e ARIMA(1,1,1) (Caiado, 2011) MODELOS AUTOREGRESSIVOS E DE MÉDIAS MÓVEIS SAZONAIS Algumas séries emporais apresenam uma correlação significaiva enre observações desfasadas em s períodos, y, y s, y 2s,..., o que conduz à necessidade de formular modelos que considerem essa correlação, chamados modelos sazonais. O modelo miso auoregressivo e de médias móveis esriamene sazonal de ordens P e Q, ou simplesmene modelo SARMA(P,Q) s apresena-se da seguine forma: y Y Y (2.81) 1 s P Ps 1 s Q Qs com 0 e 0, onde é um ruído branco de média zero. P Q Quer a FAC quer a FACP do modelo SARMA(P,Q) S apresenam um comporameno do ipo exponencial ou sinusoidal amorecido sobre os lags múliplos de s, manendo-se as correlações nulas nos resanes lags (Caiado, 2011). 43

58 Os modelos auoregressivos esriamene sazonais de ordem P e os modelos de médias móveis esriamene sazonais de ordem Q designam-se geralmene por SAR(P) S e SMA(Q) S, respeivamene. A FAC de um modelo SAR(P) S em um decaimeno exponencial ou sinusoidal amorecido sobre os lags múliplos de s, anulando-se nos resanes, e a FACP do SMA(Q) S em uma queda brusca para zero a parir do P-ésimo lag múliplo de s. A FAC do SMA(Q) S em uma queda brusca para zero a parir do Q-ésimo lag múliplo de s, enquano que a FACP em uma queda lena para zero sobre os lags múliplos de s. Como exemplos ilusraivos dese ipo de processos, apresenam-se na Figura 2.8 os cronogramas e respeivas FAC e FACP de duas séries simuladas com 200 observações dos modelos seguines (Caiado, 2011): a) b) SARMA(1,1) 12 : (10,65 B ) y = (1 0, 25 B ) (dados mensais) SARMA(1, 2) 4 : (1 0, 3 B ) y = (1 0, 4B 0,15 B ) (dados rimesrais) 44

59 Figura 2.8. Séries simuladas de modelos SARMA esriamene sazonais. A combinação dos modelos ARMA(p,q) e SARMA(P,Q) s permie ober o modelo muliplicaivo com componenes sazonal e não sazonal SARMA(p,q) (P,Q) s seguine: ou s s ( B) ( B ) y ( B) ( B ) (2.82) p P q Q (1 B B )(1 B B ) y (1 B B )(1 B B ) p s Ps q s Qs 1 p 1 P 1 p 1 Q As FAC e FACP dese ipo de processos caracerizam-se por uma combinação das caracerísicas dos modelos ARMA(p,q) e SARMA(P,Q) s. Como exemplo ilusraivo considere-se uma série simulada do modelo muliplicaivo seguine: 12 SARMA(1,0)(1,0) 12 : (10,7 B)(1 0,25 B ) y cujas FAC e FACP se mosram na Figura 2.9. A FAC apresena um decaimeno sinusoidal amorecido para zero sobre os lags não sazonais e sazonais e a FACP revela auocorrelações significaivas nos lags 1 e 12 e quedas bruscas para zero nos lags não sazonais e sazonais seguines: 45

60 Figura 2.9. FAC e FACP de série simulada de modelo SARMA. Esendendo o modelo SARMA(p,q) (P,Q) s para séries não esacionárias obém-se o modelo muliplicaivo sazonal inegrado ARIMA(p,d,q) (P,D,Q) s que em a seguine equação: ( B) ( B s )(1 B) d (1 B s ) D y ( B) ( B s ) (2.83) p P q Q ESTIMAÇÃO E SELEÇÃO DE ORDEM Uma vez idenificado o(s) modelo(s) candidao(s) a descrever a série em esudo segue-se a eapa da esimação dos respeivos parâmeros. Quando o sofware R esima um modelo ARIMA, uiliza o méodo da máxima verosimilhança (Cryer, 2008). Esa écnica consise em deerminar os valores dos parâmeros que maximizam a probabilidade dos dados observados serem provenienes do modelo esimado. O sofware R repora o valor do logarimo dessa probabilidade log likelihood. O méodo dos mínimos quadrados é alvez o méodo esaísico mais uilizado na esimação de modelos. Conudo, em modelos ARIMA ese méodo não permie ober esimadores consisenes com os verdadeiros parâmeros. Em odo o caso, a exceção reside no caso dos modelos AR(p) em que os esimadores se podem ober por minimização da soma dos quadrados dos resíduos. Idenificados vários modelos candidaos é necessário escolher o melhor modelo. Os criérios de seleção mais habiuais são (Akaike, 1974): 1. Criério de Informação de Akaike (AIC), baseado na quanidade de informação, definido por: AIC 2log( L) 2( p q k 1), (2.84) 46