DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA DE ALTURAS SIGNIFICATIVAS E PERÍODOS DE PICO DE ONDAS NA BACIA DE CAMPOS

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1 Coyright 004, Intituto Braileiro de Petróleo e Gá - IBP Ete Trabalho Técnico Científico foi rearado ara areentação no 3 Congreo Braileiro de P&D em Petróleo e Gá, a er realizado no eríodo de a 5 de outubro de 005, em Salvador. Ete Trabalho Técnico Científico foi elecionado e/ou reviado ela Comião Científica, ara areentação no Evento. O conteúdo do Trabalho, como areentado, não foi reviado elo IBP. O organizadore não irão traduzir ou corrigir o texto recebido. O material conforme, areentado, não neceariamente reflete a oiniõe do Intituto Braileiro de Petróleo e Gá, Sócio e Rereentante. É de conhecimento e arovação do() autor(e) que ete Trabalho erá ublicado no Anai do 3 Congreo Braileiro de P&D em Petróleo e Gá DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA DE ALTURAS SIGNIFICATIVAS E PERÍODOS DE PICO DE ONDAS NA BACIA DE CAMPOS Eric Oliveira Ribeiro 1, Joé Antônio Moreira Lima 1, Lui Manoel Paiva Nune 1 e Luiz Alexandre de A. Guerra 1 1 PETROBRAS Centro de Pequia e Deenvolvimento Leooldo Américo M. de Mello, Ilha do Fundão Quadra 7 /n, Rio de Janeiro RJ CEP eric_oliveira@etrobra.com.br, jamlima@etrobra.com.br, lmanoel@etrobra.com.br e laguerra@etrobra.com.br Reumo Sabendo-e do caráter etocático da onda de gravidade gerada elo vento, torna-e imortante o conhecimento da ditribuiçõe etatítica de ua roriedade, tai como altura ignificativa (H ) e eríodo de ico (T ) em rojeto off-hore da indútria do etróleo. A ditribuição conjunta de robabilidade de H e T auxilia na definição do clima de onda, oibilitando a interolação deta roriedade onde exite auência de regitro e ainda ermite a etimativa de H S e T extremo. Um modelo de ditribuição conjunta do tio Weibull-Lognormal com arâmetro etimado elo método do momento foi imlementado com uceo ara o dado de onda da Bacia de Camo. Foi utilizada uma ditribuição de Weibull ara H e uma ditribuição Lognormal ara T condicionada à clae de H. Foram uado dado de onda medido na Bacia de Camo e reultado de modelo numérico de geração de onda. O reultado encontrado motram um bom ajute tanto da ditribuição de Weibull ara H quanto da ditribuição Lognormal ara T. Palavra-Chave: Ditribuição Conjunta De Probabilidade; Altura Significativa (H ); Período de Pico (T ), Ditribuição de Weibull, Ditribuição Lognormal. Abtract To undertand the tochatic behavior of gravity wave, it i imortant to evaluate the joint robability ditribution of arameter uch a Significant Wave Height (H ) and Peak Period (T ) for offhore oil indutry roject. The joint robability ditribution i ued to characterize the wave climate, to fulfill ga of wave meaurement and to etimate extreme curve of H and T. A Weibull-Lognormal joint robability ditribution model wa uccefully fitted to Camo Bain wave data. The Weibull ditribution wa alied to the H data and the Lognormal ditribution wa fitted to the T data. Concerning the wave data, it wa ued meaured wave data and the reult from a wave generation numerical model for Camo Bain. The reult reent a good fitting for both the Weibull ditribution adjuted to H and the Lognormal ditribution alied to T. Keyword: Joint Probability Ditribution; Significant Wave Height (H ); Peak Period (T ); Weibull Ditribution: Lognormal Ditribution.

2 3 o Congreo Braileiro de P&D em Petróleo e Gá 1. Introdução A ditribuição conjunta de robabilidade de altura ignificativa (H ) e eríodo de ico (T ) é de uma imortância ara o entendimento do clima de onda de uma determinada região. Atravé deta metodologia, odem-e inferir valore extremo de H juntamente com eu reectivo T. Outra vantagem é a interolação de H e T. Exemlo de alicação rática ão a análie de eforço extremo, fadiga e etabilidade de uma etrutura oceânica que requerem informaçõe obre o etado de mar. Neta alicaçõe, o eríodo T ão tão imortante quanto a altura H mai elevada, oi deendendo do eríodo de ocilação natural da etrutura, eta ode er reitente a uma onda elevada, no entanto, vir a e intabilizar com uma onda de altura não muito exreiva que oua um T bem róximo ao eu eríodo de ocilação natural. Portanto a análie da ditribuição conjunta de robabilidade de H e T vem ao encontro da egurança e do uorte ara o deenvolvimento de rojeto de engenharia na indútria do etróleo. O ajute de ditribuiçõe bi-variada ara altura e eríodo de onda não é aunto comletamente egotado na literatura técnico-científica, e encontra-e em contante evolução, conforme areentado, or exemlo, em Mathien & Bitner-Gregeren (1990) e Ferreira e Guede Soare (00). O trabalho areentado nete artigo é ioneiro na alicação de um modelo bi-variado de robabilidade ara eta região do Oceano Atlântico, utilizando tanto dado medido de onda como dado obtido de modelo numérico de geração de onda.. Objetivo O objetivo dete trabalho de Pequia e Deenvolvimento (P&D) foi deenvolver um modelo de ditribuição conjunta de robabilidade de altura ignificativa H e eríodo de ico T que e ajutae ao dado da Bacia de Camo. Para tal, foram realizada comaraçõe do reultado obtido entre o modelo Weibull-Lognormal com etatítica de extremo tradicional ara H e o reultado obtido com o modelo de ditribuição conjunta Lognormal bivariada. 3. Metodologia 3.1. Dado Utilizado Com relação ao dado de onda utilizado ara a análie etatítica e robabilítica, foram utilizado dado medido na Bacia de Camo e dado etimado or modelo numérico de geração de onda. A mediçõe na Bacia de Camo foram realizada atravé de bóia direcionai (heave, itch, roll) e radar de onda MIROS (enoriamento remoto atravé de microonda). Como ouca mediçõe direcionai etão dionívei ara a região, foi muito imortante comlementar o dado com reultado de uma recontituição hitórica de 11 ano do clima de onda na Bacia de Camo atravé de um modelo de 3 a. geração lenamente eectral de alta reolução comatível com o modelo WAM (Wave Ocean Model). Ete modelo foi decrito or Lima et al (001), e fornece dado de boa qualidade ara inferência etatítica. Ao todo, o dado utilizado erfazem um total de 13 ano e meio, incluindo dado modelado e medido. A fig. 1 indica o onto uado da malha de alta reolução do modelo. Figura 1: Malha de alta reolução do modelo utilizado ara recontituição do clima de onda na região udoete do Oceano Atlântico Sul. O onto vermelho indica a oição elecionada na Bacia de Camo Ditribuição de Weibull Pode-e ajutar uma ditribuição de robabilidade de Weibull com trê arâmetro ara a ditribuição marginal de altura ignificativa H, cuja função acumulada de robabilidade é dada or:

3 3 o Congreo Braileiro de P&D em Petróleo e Gá F( H h Ho Hc Ho γ > h ) = 1 ex{ ( ) (1) onde: Hc é o arâmetro de ecala, Ho é o arâmetro de local, e γ é o arâmetro de forma (ou inclinação). Em algun texto de etatítica e robabilidade, o denominador da exreão ode er decrito como um único valor α=(hc-ho) conforme Brodtkorb et al. (000), denominado arâmetro de ecala, ma ito não altera o reultado da ditribuição. A função denidade de robabilidade de Weibull é dada or: f H γ h Ho ( h ) =.( ) Hc Ho Hc Ho h Ho.ex{ ( ) Hc Ho γ 1 γ () Para garantir a indeendência etatítica, o conjunto de dado de altura ignificativa foi dividido or faixa de direção, comreendendo onda vindo da direçõe N, NE, E, SE, S, SW e W-NW. Por exemlo, no conjunto de onda vindo de SE (direção verdadeira 135º) foram elecionada toda a onda vinda do etor 115,5 até 157,5 grau. No cao da direção W-NW, o etor etende-e de 47,5º até 337,5º. Além dio, oteriorrmente, foram elecionado, ara cada etor de direção, valore máximo numa janela de 5 dia, como forma de garantir que a onda ertenciam a evento extremo ditinto. 3.. Ditribuição Conjunta de Altura Significativa e Período de Pico do tio Weibull-Lognormal Para cálculo da ditribuição conjunta de H e T erá adotado um rocedimento indicado em DNV (00) e IOS (004), no qual a ditribuição conjunta é obtida elo roduto da ditribuição marginal de H e a ditribuição condicional de T or faixa de H : f h, t ) = f ( h ). f ( t h ) (3) H, T ( H T H O rimeiro termo do lado direito f H (h ) é dado ela ditribuição marginal de Weibull fornecida ela equação () do item anterior. O egundo termo do lado direito é dado ela ditribuição Lognormal de T condicionada a faixa de H decrita ela equação abaixo: 1 (log( t ) µ T ( h )) h ) = ex{ } (4) σ ( h ). t. π. σ ( h ) T H ( t T T f onde µ T é a média e σ T é o devio adrão do logaritmo neeriano do eríodo de ico ara a faixa de altura ignificativa h recrita. O valore de µ T e σ T ão calculado or faixa de h atravé de uma regreão uando o dado de onda or faixa de direção da Bacia de Camo. Metodologia imilar é decrita em Mathien & Bitner-Gregeren (1990) Ditribuição Conjunta de Altura Significativa e Período de Pico do tio Lognormal bivariada Ochi, (1978a aud Reko et. al., 001) introduziu o uo de uma ditribuição Log-normal bi-variada ara ditribuição conjunta de H e T. A função de denidade de robabilidade ode er ecrita como: f ( H, T 0,5 ) = H T πδ δ H T *... 1 ρ 0,5 (logt λt ) ρ(logt )(log ) (log λt H λh H λh...ex + 1 ρ H δ δ δ T T δ H ) (5) onde λ Η, λ T, δ H e δ T ão o arâmetro de local e ecala da funçõe de denidade de robabilidade de H e T reectivamente. O arâmetro ρ é o coeficiente de correlação linear entre a dua variávei e ode er ecrito da eguinte forma: Cov(log( T ),log( H )) ρ = δ δ T H (6)

4 3 o Congreo Braileiro de P&D em Petróleo e Gá 3. Reultado O tete de aderência χ (qui-quadrado), utilizado ara verificar a hiótee de que o dado odem er ajutado or uma determinada ditribuição, indicou um bom ajute da ditribuição de Weibull ao dado de H (fig. ). O ajute da ditribuição Lognormal a ditribuição de altura não areentou valore aceitávei do tete de aderência χ. Porém em relação ao dado de T a ditribuição Lognormal areentou nívei de aderência aceitávei. Figura : Denidade de robabilidade do dado de onda de H da direção SE (udete) (em azul) e a função denidade de robabilidade da ditribuição de Weibull (em vermelho) A comaração entre a ditribuiçõe conjunta de Weibull- Lognormal e Lognormal bi-variada evidencia um comortamento ditinto da curva de robabilidade (fig. 3). Na ditribuição Weibull- Lognormal a curva areentam uma inflexão mai bruca aó alcançar o valore máximo de H, o que reulta numa redução de H ara eríodo de onda mai longo (fig.3 ainel direito). Io não e oberva no comortamento da curva Lognormal bi-variada que areentam H maiore ara eríodo mai longo (fig.3 ainel equerdo). Além dio, na ditribuição Lognormal a curva de robabilidade e etendem ara regiõe de baixa ocorrência de regitro de onda, como ode-e obervar na fig.3, ainel direito, na extenão da curva de 90%. A fig.4 indica a curva extrema de H e T, obtido atravé do ajute Weibull-Lognormal ara a direção udete (SE), uando um ajute de curva ela rotina dflot do acote WAFO, deenvolvido ela Lund Univerity, conforme Brodtkorb et al (000). Figura 3: Curva de ditribuição de robabilidade conjunta ara o etor SE (udete) de H e T. Ditribuição Lognormal bivariada (ainel equerdo) e Weibull-Lognormal (ainel direito). O onto em vermelho indicam o regitro de onda na Bacia de Camo.

5 3 o Congreo Braileiro de P&D em Petróleo e Gá Figura 4 : Curva extrema de H e T baeada na ditribuição conjunta de robabilidade de Weibull-Lognormal ara o diferente temo de recorrência ara o etor SE. 4. Dicuão O reultado encontrado motraram que a ditribuição de Weibull-Lognormal e ajutou melhor ao dado do que a ditribuição Lognormal bi-variada. Io concorda com o reultado encontrado or Mathien & Bitner- Gregeren (1990) que também encontraram o melhor ajute ara o dado de onda da cota da Noruega atravé da combinação da ditribuição de Weibull tri-aramétrica com a ditribuição Lognormal. Em relação ao extremo, obervou-e que a ditribuição Lognormal excedeu a etimativa obtida ela etatítica de extremo tradicional. Segundo Ochi (1978b ) a ditribuição conjunta Lognormal bi-variada não rereenta bem o etado de mar evero. Outra dificuldade é etimar a robabilidade conjunta de H e T diretamente do dado (Ochi, 1998). 4. Conideraçõe Finai Uma ditribuição conjunta de robabilidade do tio Weibull-Lognormal ara H e T, reectivamente foi imlementada com uceo ara o dado de onda da Bacia de Camo. A ditribuição conjunta Lognormal bi-variada não areentou um bom ajute ao dado de onda, ueretimando o valore extremo ara longo eríodo de ico. Ochi (1978b) também encontrou reultado emelhante com dado de onda do Pacífico Norte. No cao da Bacia de Camo, é oível que a maiore altura de onda não ocorram com o maiore eríodo de onda como foi obervado ara todo o etore de direção. Em trabalho futuro, deverá er imlementado o método I-FORM (Invere Firt Order Reliability Method) ara geração da curva extrema de H veru T., conforme Wintertein et al (1994). 5. Agradecimento Agradecimento ao Prof. Carlo Eduardo Parente que elucidou alguma dúvida, a Renato Parkinon Martin e Wellington C. Belo ela revião e auxílio na ecrita do texto, em eecial ao Prof. Carlo Guede Soare ela bibliografia, incentivo e a dicuõe obre ditribuição conjunta de robabilidade e a Váléria Rego elo roceamento do reultado do modelo numérico. Agradecimento também a gerência de Método Científico CENPES/PDP/MC elo uorte financeiro dado a divulgação dete trabalho.

6 3 o Congreo Braileiro de P&D em Petróleo e Gá 8. Referência BRODTKORB, P. A., P. JOHANNESSON, G. LINDGREN, I. RYCHLIK, J. RYDEN AND E. SJO, 000. WAFO A Matlab toolbox for analyi of random wave and load. Proceeding of ISOPE-000-GFC-, 8. DET NORSKE VERITAS (DNV), 00. State of the Art Review on Wave Decrition in Current Deign Practice and Marine Oeration. E.C. Reearch Project Rogue Wave Forecat and Imact on Marine Structure MAXWAVE. DNV reort FERREIRA, J. A. AND C. G. SOARES, 00. Modeling Bivariate Ditribution of Significant Wave Height and Mean Wave Period. Alied Ocean Reearch. Vol. 4, INTERNATIONAL ORGANIZATION FOR STANDARDIZATION (IOS), 004. Petroleum and natural ga indutrie Secific requirement for offhore tructure. Part 1: Metocean deign and oerating conideration. Draft International Standard ISO/DIS LIMA, J.A.M., CARDONE,V.J., VOGEL,M.J. AND SCOFANO,A.M., 001, Wave and Wind Hindcat Study for Southeat Brazil, Proceeding of Offhore Mechanic and Arctic Engineering Conference, aer OMAE MATHISEN, J. AND E. BITNER-GREGERSEN, Joint Ditribution for Significant Wave Height and Wave zero-u-croing Period. Alied Ocean Reearch, Vol1, No.. OCHI, M.K a. Wave tatitic for hi and tructure. Proc. SNAME conf, 86, New York. OCHI, M.K b. On long term tatitic for ocean and coatal wave. In Proc 16 th conf. Coatal Engng,.1, 59-75, Hamburg. OCHI, M.K. (1998). Ocean Wave The Stochatic Aroach. Cambridge Univerity Pre, 331. REPKO, A; GELDER, P.H.A.J.M. VAN; VOORTMAN, H.G; VRIJLING, J.K. (001). Bivariate tatitical analyi of wave climate, In: B.L. Edge (ed.), Proceeding of the International Conference on Coatal Engineering (ICCE) WINTERSTEIN,S. R., UDE, T.C., CORNELL, C.A., BJERAGER, P. AND HAVER, S, Enviromental arameter for extreme reone: Invere form with omiion factor. Structural Safety & Reliability, Schuëller, Shinozuka & Yao (ed.)