IMPLEMENTAÇÃO DE UM SISTEMA DE CONTROLE DE UM PÊNDULO INVERTIDO

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ Programa de Pó-Graduação em Engenharia Elétrica RICARDO RIBEIRO IMPLEMENTAÇÃO DE UM SISTEMA DE CONTROLE DE UM PÊNDULO INVERTIDO Itajubá - MG 007

2 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ Programa de Pó-Graduação em Engenharia Elétrica Ricardo Ribeiro IMPLEMENTAÇÃO DE UM SISTEMA DE CONTROLE DE UM PÊNDULO INVERTIDO Diertação areentada ao Programa de Pó- Graduação em Engenharia Elétrica da Univeridade Federal de Itajubá como requiito arcial ara obtenção do título de Metre em Engenharia Elétrica Área de Concentração: Automação e Sitema Elétrico Indutriai Orientador: Prof Carlo Alberto Murari Pinheiro, Dr Itajubá - 007

3 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página AGRADECIMENTOS Eu gotaria de agradecer imenamente ao Sr David W Deley cujo trabalho dionibilizado na Internet foi motivo de etímulo e referência ara o etudo efetuado Ete enhor, memo tendo ouco temo dionível, emre eteve dioto a eclarecer minha dúvida e quetionamento e me aconelhou na dificuldade ara imlementação de um trabalho de concluão de curo de graduação, baeado em um modelo or ele deenvolvido Sou batante grato ao memo que diô ublicamente eu trabalho ara que todo udeem utilizálo em nenhuma retrição; Ao rofeor e amigo Luiz Eduardo Borge, que me etimulou a realizar a equia e uortou meu deejo em realizar ete metrado Furtei de minha mulher e meu filho recioa hora durante o último ano ara me dedicar ao etudo Algun dee momento foram dedicado ao deenvolvimento dee trabalho Vário dee eiódio foram deendido em longa hora na Internet bucando or referência ou então no laboratório da emrea onde trabalho ara imlementação e enaio do rotótio deenvolvido ara a diertação Sou eternamente grato a todo ele, Betânia, Pedro e Gabriel ela conceõe que me fizeram; A emrea Noveli do Brail Ltda, em eecial na figura do Sr Roberto Marino Rocha, Ângelo Francico Arguele, Daniel R Freire e Ubiratan M Comino ela ceão da intalaçõe do laboratório eletrônico, onde realizei o enaio e tete do modelo e ela liberação de hora emanai ara que eu udee freqüentar a aula na univeridade; Ao meu amigo e colega Luiz Cláudio do Santo, Thiago Mikail Oliveira, Sérgio Tenório do Santo, Ângelo Roemberg Belló Teixeira, Geovane Sebatião Roque do Nacimento e Thoma Albert de Lima Camo elo uorte na quetõe técnica e rática, bem como no comentário e interee elo trabalho que me etimularam a terminá-lo com emenho e energia; Ao meu orientador e amigo, Prof Dr Carlo Alberto Murari Pinheiro, ela aciência e atentação em urir minha lacuna de conhecimento e exeriência, na análie e correção do

4 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 3 texto da diertação, bem como na informaçõe e conelho que auxiliaram na elaboração do modelo final e ua realização rática E finalmente, ao criador, que ao me reentear com caracterítica eoai eenciai, me eninou a imortância de utilizá-la em roveito da evolução individual e da humanidade; A TODOS A MINHA ETERNA GRATIDÃO Ricardo Ribeiro Março - 007

5 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 4 DEDICATÓRIA Dedico carinhoamente ete trabalho à minha mãe Por ter ido algo que me cutou muito a coneguir, devo a ela o arendizado e exemlo do valor do eforço e da eritência

6 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 5 RESUMO A utilização de itema de controle automático encontra-e difundida no dia-a-dia de toda a ociedade deenvolvida Ete itema agem como elemento catalizadore da romoção do rogreo e do deenvolvimento em geral O exemlo do itema de controle de um êndulo invertido é muito citado em livro e artigo técnico referente ao uo de malha de controle com realimentação, eecialmente ara itema inerentemente intávei, como é o cao A razão ela qual ee itema é de interee ara etudo do onto de vita da tecnologia de controle, é que ele ilutra a dificuldade rática aociada com alicaçõe de itema de controle no mundo real Por exemlo, o modelo reultante é muito imilar ao uado ara etabilização de foguete em vôo, no oicionamento de guindate eeciai, etc Ete trabalho vilumbra contruir um itema de controle de um êndulo invertido uando comonente imle, uma alicação rática ara que oam er tetada e comarada divera etratégia de controle alternativa Com eta finalidade foi contruído um equeno rotótio uando arte de ucata de uma imreora ara comutadore eoai A arte eletrônica neceária ara oerar o itema foi contruída utilizando comonente de fácil aquiição Como lataforma de deenvolvimento do algoritmo de controle utilizou-e um microcomutador eoal e um oftware de imulação e controle comercial frequentemente utilizado em univeridade e ecola técnica Para a interface entre o comutador e a intrumentação eletrônica do itema foi emregada uma laca de aquiição de dado de baixo cuto Na modelagem do itema deenvolvido e na etaa de intonia da malha de controle reultante, foram emregado método conhecido da teoria de controle O reultado rático obtido foram bon, indicando a otencialidade rática da roota do trabalho

7 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 6 ABSTRACT The ue of automatic control ytem i found to be fully read out through our daily ue in all the develoed ocietie Such ytem work a catalyzing element to romote the rogre and develoment The examle of the Inverted Pendulum ytem i largely mentioned in book and technical article about feedback control loo, eecially thoe intrinically untable, jut like in thi work The reaon why uch ytem i relevant for control ytem tudie i that it illutrate the difficultie aociated with the alication of control ytem in the real world For examle, the final model i much imilar to thoe ued for rocket tabilization, oitioning of ecial crane, etc Thi tudy ought to create an inverted endulum control ytem uing imle analog comonent, one ractical alication which allow the teting and benchmarking of different control trategie For thi uroe a rototye wa build uing an old eronal comuter rinter frame All the neceary electronic circuit were deigned, mounted and teted uing next-door ho comonent A a latform for develoing the control algorithm, a eronnel microcomuter wa required Alo a imulation and control oftware largely utilized by Univeritie and technical chool wa ued For interfacing the comuter to the electronic there wa been ued a low-cot commercial data acquiition board In modeling the ytem and in the control loo tuning hae, there had been ued known method of the control theory The ractical reult achieved were good enough indicating the trength of the rooal of thi reent work

8 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 7 Índice Geral i Lita de Abreviatura, Sigla e Convençõe Ortográfica 9 ii Lita de Figura 1 iii Lita de Tabela 14 1 Introdução 15 Reenha Bibliografia 17 3 Modelagem do Sitema Prooto 4 31 Modelagem do êndulo invertido 7 3 Modelagem do conjunto Amlificador-Motor-Carro 30 4 Etimação do Parâmetro do Modelo Etimação do arâmetro do modelo do êndulo 33 4 Etimação do arâmetro do conjunto Amlificado-Carro-Motor 41 5 Análie do Modelo da Planta Identificada 48 6 Projeto e Imlementação do Sitema 50 7 Reultado Prático Obtido 57 8 Concluão 65 Bibliografia 67 Anexo 73 A1 Análie alternativa coniderando o atrito vicoo da hate com o ar 73 A Conideraçõe obre o atrito etático e dinâmico do motor e do Carro 77 A3 Programa ara identificação do arâmetro do êndulo 79 A4 Programa ara cálculo do arâmetro do controlador PID 8

9 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 8 A5 Programa de extração do dado do bloco coedata 83 A6 Folha de dado do ervo-otenciômetro de recião Sectrol

10 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 9 i Lita de Abreviatura, Sigla e Convençõe Ortográfica i1 Abreviatura e Sigla a A B = contante = amlitude do inal enoidal alicado ao amlificador = amortecimento combinado do motor e do carro B c B m B r c g dx d X dy d Y dx cg m K B = JR a B J m Bc J r = contante de amortecimento vicoo do carro = contante de amortecimento vicoo do motor = contante de amortecimento vicoo do eixo do ervo-otenciômetro = centro de gravidade = rimeira derivada de X = egunda derivada de X = rimeira derivada de Y = egunda derivada de Y = rimeira derivada de Xcg d X cg = egunda derivada de Xcg dy cg = rimeira derivada de Ycg d Y cg = egunda derivada de Ycg E = força contra-eletromotriz no motor e F g H I I a I m = erro de etado etacionário = força tranmitida a correia de tranmião = aceleração da gravidade = força na direção horizontal = momento de inércia do êndulo (ml /3 ara uma hate uniforme) = corrente de armadura do motor = momento de inércia do motor J = Inércia combinada do motor e do carro ( J = I m Mr ) K K a = Amlitude máxima do inal enoidal amortecido obtido no enaio do êndulo = ganho contante do amlificador

11 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 10 Ra J K c = contante de amortecimento vicoo ( K c = ) K K r K m K t K x l M M m r R a t a t T d T r T t V V i V o X cg X Y cg Y Φ Θ = contante de tenão induzida no motor = contante de torque do motor = contante do trandutor de oição utilizado no enaio (Volt/m) = metade do comrimento do êndulo = maa do carro = máximo ico da variável a er controlada = maa do êndulo = onto de ivotamento do eixo do êndulo = raio efetivo do eixo do motor ( X = r Φ) = reitência de armadura do motor = temo de amotragem do itema de controle = temo de acomodação da variável a er controlada = torque requerido do motor = torque reitente no eixo do motor = torque total requerido do motor = força na direção vertical = tenão de entrada do amlificador = tenão de aída do amlificador = coordenada no eixo X do centro de gravidade = coordenada no eixo X do onto de ivotamento = coordenada no eixo Y do centro de gravidade = coordenada no eixo Y do onto de ivotamento = ângulo do eixo do motor = ângulo do êndulo com relação à linha vertical a m

12 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 11 i Convençõe Ortográfica itálico ubcrito variávei e termo em língua etrangeira índice

13 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 1 ii Lita de Figura Figura 1 Pêndulo tíico Figura Princíio de oeração e alicaçõe rática do mancai tio Friction Pendulum Figura 3 Exemlo de alicaçõe rática do mancai tio Friction Pendulum Figura 4 Modelo imlificado da utentação do coro humano Figura 31 Fluxograma oeracional do rojeto Figura 3 Rereentação em diagrama de bloco do itema de controle Figura 33 Sitema de coordenada do conjunto do êndulo invertido Figura 41 Pêndulo livre Figura 4 Dioição do equiamento ara o levantamento do arâmetro do itema Figura 43 Reultado do enaio do êndulo Figura 44 Fluxograma do rograma ara identificação do arâmetro do êndulo Figura 45 FFT do inal obtido no enaio do êndulo Figura 46 Sinai original (vermelho) e filtrado (azul) em função do número de amotra Figura 47 Dado reai e curva etimada do enaio do êndulo Figura 48 Comonente báica da reota em freqüência do itema Figura 49 Detalhe do carro com o trandutor de oição linear Figura 410 Diagram de Bode do enaio do conjunto amlificador-motor-carro Figura 411 Modelo comleto da lanta identificada Figura 51 Modelo fatorado da lanta identificada Figura 5 Reota da lanta em comenação a uma excitação tio degráu Figura 61 Modelo da malha de controle reultante Figura 6 Lugar da raíze do itema comenado Figura 63 Protótio do êndulo invertido montado Figura 64 Carro e o ervo-otenciômetro Figura 65 Etrutura do hardware do itema Figura 66 Circuito eletrônico do amlificador Figura 67 Circuito do amlificador eletrônico montado dentro da carcaça da imreora Figura 71 Imlementação do controlador ara o enaio de avaliação de deemenho do itema Figura 7 Comortamento do rotótio real a alicação de um ulo na entrada Figura 73 Modelo de imulação do itema real

14 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 13 Figura 74 Reultado da imulação do modelo quando alicado um ulo na entrada Figura 75 Comortamento do rotótio a uma erturbação manual na hate Figura 76 Configuração do itema de controle coniderando um ditúrbio externo Figura 77 Modelo ara a análie de ditúrbio externo alicado ao itema Figura 78 Reultado da imulaçao de um ditúrbio externo alicado ao itema Figura 79 Comortamento do rotótio real ao er etimulado or uma referência enoidal Figura 710 Comortamento do rotótio ara vário valore de referência de oicionamento Figura A11 Ação da reitência do ar contra o movimento livre da hate do êndulo Figura A1 Decomoição de força do atrito vicoo com o ar Figura A1 Aecto da informação da oição do carro durante o enaio em freqüência Figura A Hiteree no inal de realimentação de oição do carro durante o enaio em freqüência

15 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 14 iii Lita de Tabela Tabela 41 Dado do enaio do conjunto amlificador-motor-carro

16 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 15 CAPÍTULO 1 Introdução A Engenharia de Controle e Automação é um camo excitante no qual e odem alicar divero conhecimento de engenharia, oi ela ermeia vária área do aber humano Foi fácil erceber durante ete trabalho como a dicilina do curo de engenharia e ajutam dentro dee grande cenário que é a natureza Divera área como eletrônica, mecânica, cálculo e outra e comlementam de uma forma harmonioa no deenvolvimento de uma alicação de engenharia O engenheiro dea eecialidade trabalha com enore, motore, bem como circuito eletrônico, neumático, hidráulico, etc É uma grande oortunidade ara exandir o horizonte além do círculo univeritário No cao eecífico dee trabalho, o êndulo invertido é um mecanimo com caracterítica dinâmica intrinecamente intável e rereenta uma lataforma útil ara o etudo de muito outro mecanimo comlexo Uma analogia imle é a brincadeira de equilibrar um lái ou um cabo de vaoura na onta do dedo Para coneguir uma condição relativamente etável é neceário ficar contantemente movendo a mão de forma a manter o eixo do cabo de vaoura na roximidade da ua oição vertical Um êndulo invertido tíico é um dioitivo fíico que e conite de uma barra cilíndrica, uualmente metálica, a qual é livre ara movimentar em torno de um onto fixo Ee onto é montado em um carro que or ua vez é livre ara mover na direção horizontal O carro é acionado or um motor que ode exercer uma força variável no delocamento do memo A hate naturalmente tende a cair, oi ua oição vertical é uma condição de equilíbrio intável Ua-e uma malha de controle com o objetivo de etabilizar a hate do êndulo na oição vertical Io é oível exercendo-e uma força atravé do movimento do carro que tende a contrabalançar a dinâmica natural do êndulo A intenidade da força ode er controlada a artir da informação da oição angular da hate

17 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 16 É neceário que o itema êndulo-carro-motor eja modelado como um itema linear e todo o eu arâmetro identificado ara que e oa rojetar um controlador a fim de etabilizá-lo Eta diertação é o reultado de mai de quatro ano de equia que e iniciou omente or curioidade e culminou com ete trabalho de diertação de metrado O roceo de equia teve como fonte rincial à dezena de artigo dionívei ela internet A comlementação do exerimento foi uortada ela literatura cláica utilizada em quae todo o curo de engenharia O rimeiro caítulo tratam da hitória do êndulo e da referência de trabalho geralmente de metrado ou doutorado encontrado No caítulo eguinte rocede-e a modelagem do rotótio que foi montado, a identificação do arâmetro do modelo atravé de enaio e o rojeto de um controlador PID Foram utilizada vária hora de enaio em bancada do laboratório executando divera exeriência e arimorando-e o reultado obtido Por alguma veze foi neceário reviar o cálculo e até memo a modelagem ara identificar a dicreância de algun reultado, que muita veze initiam em não e areentar da forma eerada No caítulo finai ão areentado o reultado obtido, concluõe, referência bibliográfica e anexa

18 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 17 CAPÍTULO Reenha Bibliográfica Um êndulo convencional ideal (figura 1) conite de uma artícula uena or um fio inextenível e de maa derezível Quando afatado de ua oição de equilíbrio e olto, o êndulo ocilará em um lano vertical ob a ação da gravidade, o movimento é eriódico e ocilatório, endo oível determinar o eríodo do movimento reultante Figura 1 - Pêndulo tíico O arâmetro e variávei referente a figura 1 ão: l o comrimento do êndulo; m a maa da artícula; Θ o ângulo do fio com a vertical A força que atuam em m ão o eo ( mg ) e a tração da corda (T ) O movimento ocilatório do itema erá em torno de um arco de círculo de raio l A comonente da força eo mg ode er decomota em uma comonente radial de módulo igual a mg co Θ e uma comonente tangencial igual a mgenθ A comonente radial da reultante é a força centríeta que mantém a artícula na trajetória circular A comonente tangencial é a força retauradora, onde o inal negativo indica que F e oõe ao aumento de Θ A força retauradora não é roorcional ao delocamento angular Θ, ma im a

19 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 18 enθ O movimento, ortanto, não é harmônico imle Entretanto, e o ângulo Θ for uficientemente equeno a função enθ erá aroximadamente igual a Θ, e o delocamento ao longo do arco erá x = lθ Aim obtém-e (1) x g F = mgθ = mg = m x l l (1) Para equeno delocamento, a força retauradora é roorcional ao delocamento e tem o entido ooto ao memo Eta é exatamente a condição ara e ter movimento harmônico imle e, de fato, a equação (1) tem a mema forma que a equação F = kx, com mg/l rereentando a contante k Para equena amlitude o eríodo T (temo de um ciclo) de um êndulo obtém-e na equação () O eríodo T indeende da maa m da artícula uena Ea caracterítica erviu com bae ara a contrução do rimeiro relógio mecânico, onde mecanimo com mola mantinham e ajutavam a ocilaçõe de êndulo ara mediçõe de temo T m = π = π k m mg l T l = π () g Durante o último trê éculo o êndulo foi o mai confiável medidor de temo, endo ubtituído aena na última década or ocilaçõe atômica ou eletrônica Para um relógio de êndulo er um medidor de temo recio a amlitude do movimento deve er mantida contante, aear da erda or atrito afetarem todo o itema em i Variaçõe na amlitude tão equena quanto 4 ou 5, fazem um relógio adiantar cerca de quinze egundo or dia, o que não é tolerável memo em um relógio caeiro Para manter contante a amlitude é neceário comenar com eo ou mola, fornecendo energia adicional que comena a erda devida ao atrito O êndulo invertido é um itema inerentemente intável e batante comlexo ara e analiar or meio de eu modelo matemático comleto Vário equiadore já abordaram ete itema de divera maneira diferente Sobhani 31 motrou que ee mecanimo é muito bom

20 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 19 ara exemlificar itema intrinecamente intávei A rimeira abordagem ara etabilização dete itema foi decrita or Roberge 6 em ua tee The Mechanical Seal Exitem vária alicaçõe rática que utilizam o conceito envolvido no etudo de êndulo Uma imlementação relativamente recente é o controle da ocilação de arranha-céu Na atualidade engenheiro e arquiteto têm urreendido o mercado de contruçõe com edifício de altura cada vez maiore Eta contruçõe tendem a areentar o inconveniente de e tornarem vulnerávei a açõe de vento cauando ocilaçõe deagradávei, e em algun locai do mundo endo até memo erigoa Uma olução criativa adotada foi intalar grande contraeo móvei no too dete edifício de forma que com o auxílio de acionamento hidráulico ele oam e mover de um lado ara o outro comenando a ação da força do vento, reduzindo dete modo a amlitude do movimento da etrutura Nete contexto também foram deenvolvida técnica ara roteção de edifício em regiõe roena à ocorrência de terremoto Em 1985 Zaya 34 deenvolveu um conceito original de um mecanimo ara roteção ímica denominada mancai Friction Pendulum Ete mecanimo ode er utilizado na roteção de edifício, onte e intalaçõe indutriai contra abalo ímico São utilizada dua laca metálica uma lana e outra convexa Uma efera colocada entre a laca, em cada onto de utentação da etrutura, ermite que o conjunto eja rotegido e movimentando uavemente obre a bae de aoio no olo durante o tremore de um terremoto Ete conceito ode er viualizado atravé da figura, ermitindo que o olo e movimente em danificar a etrutura Figura - Princíio de oeração e alicaçõe rática do mancai tio Friction Pendulum

21 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 0 Figura 3 Exemlo de alicaçõe rática do mancai tio Friction Pendulum Modelo biomecânico do modo de caminhar do ere humano têm alicaçõe em muita área como eorte, fabricação de calçado, robótica, etc A oição ereta etável de um er humano ao caminhar e aroxima muito de um êndulo invertido ivotado em ua articulaçõe A modelagem reultante é conhecida como Pêndulo Invertido Humano (HIP - Human Inverted Pendulum) Um modelo imlificado deta decrição é motrado na figura 4, cujo conceito definiram um novo egmento no etudo da biomecânica com o modelo conhecido como SLIP, um anacronimo de Sring Loaded Inverted Pendulum

22 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 1 Figura 4 - Modelo imlificado da utentação do coro humano Hurt 11 identificou que modelo SLIP contêm o conceito báico utilizado imlicitamente ou exlicitamente na maioria do trabalho obre locomoção com erna (legged locomotion), tanto na área de robótica quanto em biomecânica O modelo SLIP é uma aroximação razoável que decreve o centro de maa do movimento de um animal em caminhada, indeendente do número de erna, tamanho ou do tio de trote Referência báica ão o etudo de Siebert 9 que tratou da quetão de etabilidade em êndulo utilizando o Critério de Routh e também Altendorfer 1, Pareghian 1, Sugihara e Nakamura 3, Lakie et al 13 e Iida et al 1 Outra abordagen do êndulo invertido também ão encontrada em Stang 30, onde em eu rojeto de diertação de metrado modelou e imlementou um rotótio utilizando a abordagem de eaço de etado

23 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página Outro trabalho intereante foi elaborado or Pechman e Cechin Nele é areentada uma técnica utilizando rede neurai recorrente ara analiar o comortamento de um itema de controle de um êndulo invertido e do dado obtido ervem ara identificar o etado de um modelo equivalente Uma variação mai elaborada do controle de um êndulo é areentada or Bugeja 5 no qual o equilíbrio de um êndulo invertido é iniciado com hate na ua oição de decano inferior O algoritmo de controle utiliza técnica de linearização or retroação de etado e conideraçõe obre a energia do itema ara mover a hate até ua oição uerior ara que oa ubequentemente er equilibrada Para o controle do equilíbrio da hate é utilizado um controlador rojetado atravé da técnica de eaço de etado A técnica de controle em cacata é emregada ara reduzir a comlexidade do itema ermitindo que dua malha de controle indeendente ejam imlementada oerando em faixa de aagem (bandwidth) ditinta Åtröm e Furuta 3 areentam uma abordagem ditinta ara o levantamento do êndulo (wing-u) e eu equilíbrio O controle é feito ela informação da energia do êndulo ao invé do dado da ua oição e velocidade O comortamento global da oeração de levantamento da hate é comletamente caracterizado ela razão entre a máxima aceleração da hate ivotada e a aceleração da gravidade No trabalho é motrado, or exemlo, que ara e coneguir o levantamento da hate é uficiente que eta relação eja maior que quatro terço Em adição a ete trabalho ode-e ainda citar Nair e Leonard 16 que realizaram um etudo obre o êndulo de Furuta abordando o aecto do emrego da análie or energia Uma da quetõe tratada nete etudo foi o efeito do atrito que odem rereentar um devio ignificativo no modelo or e tratar de não-linearidade que não ão levada em conideração na modelagen tíica Outro trabalho também abordaram eta quetão como em Abelon, Olon et al 19 e Dietz 7 Há cao no qual o etudo do êndulo foi efetuado ara e averiguar a viabilidade técnica de um determinado tio de equiamento de controle Svenon 33 realizou na tee de metrado a imlementação de um controle de um êndulo invertido em um comutador eoal utilizando o itema oeracional Real Time Linux (RTLinux), analiando a flexibilidade e o deemenho dete itema oeracional em garantir o requiito de temo neceário à itema em temo real Palooli, et al 0 etudaram e utilizaram um oftware de temo real com o memo roóito Sánchez, J et al 7 avaliaram a oibilidade de executar o controle de um êndulo invertido atravé da Internet Projetaram e imlementaram um itema or meio da World Wide Web

24 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 3 Raffai et al 5 etudaram e deenvolveram uma metodologia ara filtragem de freqüência ultra-baixa emregada ara iolação em intrumentação científica de recião ara detecção ímica e análie ótica, utilizando conceito de êndulo invertido Etudo imilare foram realizado or Borg 4 Graer et al 8 etudaram a dinâmica de um êndulo invertido montado obre um eixo motorizado com dua roda e rojetaram um controlador ara acionar o motor do eixo de forma a equilibrar a hate Guangyu et al 9 adataram a hate de um êndulo invertido obre uma junta univeral de forma a ermitir doi grau de liberdade ao rotótio Com bae nete equiamento efetuaram a modelagem e imlementação de um controlador tio neted aturating Poecu et al 4 areentam uma outra variação intereante de uma clae de êndulo denominado double endulum Nete modelo a hate e conite de doi egmento acolado atravé de uma junta e que oui uma mola acolando a dua metade O objetivo, novamente, trata-e em manter ete conjunto equilibrado em ua oição vertical mantendo o centro de maa do conjunto alinhado com a linha normal ao lano do carro Landry et al 14 utilizam um êndulo com doi grau de liberdade acrecentando atrao variávei na realimentação da informaçõe do itema O objetivo do trabalho é identificar técnica ara o controle de itema que ouem atrao Anteriormente Sieber e Kraukof 8 realizaram trabalho analiando a relevancia de atrao na modelagem e controle de itema deta natureza Lundberg e Roberge 15 realizaram uma análie e comaração de uma configuração denominada dual-endulum, que e trata de um carro com dua hate montada obre o memo O objetivo é manter a dua hate equilibrada ao memo temo Craig e Awtar 6 areentaram o trabalho de rojeto e montagem de um êndulo que ao invé de er montado obre um carro é montado obre uma bae giratória (rotary driven) O equilíbrio é coneguido girando-e adequadamente a bae Exitem ainda alicaçõe que utilizam o mecanimo do êndulo ara funçõe nãoconvencionai Hori et al 10 deenvolveram um método ara a medida recia do coeficiente de atrito da uerfície do dente de conjunto de engrenagen em alicaçõe gerai Um êndulo imle é acolado ao conjunto de engrenagen ob tete e colocado a ocilar A ocilação amortecida do conjunto é medida e o coeficiente de atrito calculado ela equação de diiação de energia do êndulo Segundo o autore ete método tem a grande vantagem de oder avaliar o coeficiente de atrito de equena regiõe da engrenagen, até de meno de um grau radiano, e como conequência obter informaçõe obre o atrito total do itema

25 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 4 CAPÍTULO 3 Modelagem do Sitema Prooto Para comreender e controlar itema comlexo é conveniente obter modelo matemático quantitativo do memo Para ito é neceário analiar a relaçõe entre a variávei do itema e obter um modelo matemático o mai recio oível Geralmente o itema dinâmico ão de natureza contínua no temo, e a equaçõe matemática que o decrevem ão equaçõe diferenciai Pode-e utilizar a tranformada de Lalace ara imlificar a rereentação e o método de olução Na rática a comlexidade do itema reai e o deconhecimento de todo o fatore ertinente ao memo, requerem a introdução de hiótee relativa à ua oeração Aim, freqüentemente erá útil coniderar itema lineare e invariante no temo Uando a lei fíica que decrevem o itema linear equivalente, ode-e obter um conjunto de equaçõe diferenciai lineare E utilizando ferramenta matemática obtém-e a olução que decreve a oeração de um itema devidamente modelado em a neceidade de acear o itema real Em reumo a abordagem báica da modelagem de um itema dinâmico ode er litada como a eguir: 1 Definir o ecoo do itema e do eu comonente eenciai Formular o modelo matemático e litar a hiótee neceária 3 Ecrever a equaçõe diferenciai que decrevem o modelo 4 Reolver a equaçõe em função da variávei de aída de interee 5 Examinar a oluçõe e a hiótee 6 Se neceário arimorar o modelo do itema O fluxograma motrado na figura 31 iluta a etaa eecífica neceária ara a montagem, modelagem e imlementação do controle rooto neta diertação Conforme citado no reumo dete trabalho, erão utilizada arte de uma imreora de comutadore eoai ara imlementar a arte mecânica do itema de êndulo invertido Um amlificador

26 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 5 eletrônico acionara o motor do carro da imreora onde erá fixada a hate do itema Um ervo-otênciômetro fornecera a informação da grandeza fíica a er controlada (a oição da hate) Será utilizado um microcomutador acolado a uma laca de aquiição de dado ara realizar o controlador digital do itema A figura 3 ilutra a malha de controle roota A identificação do arâmetro do itema e o cálculo do ganho do controlador erão realizado or meio de oftware comerciai O róximo iten e caítulo detalharão o rocedimento decrito no fluxograma

27 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 6 Início Aquiição da imreora HP500 e do otenciômetro de recião Projeto e montagem do amlificador e do circuito de interface com o otenciômetro trandutor de oição Modelagem do conjunto do êndulo Modelagem do conjunto do carro/motor Imlementação do modelo comleto em MatLab Traçar o Lugar Geométrico da Raize do itema Enaio com o êndulo Identificação do arâmetro do conjunto do êndulo Enaio com o carro/motor Identificação do arâmetro do conjunto do carro/motor Identificar o modelo de controlador adequado Adicionar o controlador ao rotótio Tetar a oeração do conjunto comleto Oeração Correta? N S Fim Figura 31 Fluxograma oeracional do rojeto ref - Amlificador Motor/Carro Ângulo do êndulo Θ Potenciômetro K ot Figura 3 Rereentação em diagrama de bloco do itema de controle

28 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 7 31 Modelagem do êndulo invertido A figura 33 ervirá como bae ara a modelagem do itema rooto Por meio de relaçõe trigonométrica e da decomoiçõe da força no itema ode e ecrever a exreõe (31) e (3) Y V Θ cg H Ycg l mg X X Xcg Figura 33 Sitema de coordenada do conjunto do êndulo invertido Inicialmente erão motrada a equaçõe que regem o movimento do êndulo A derivada da equaçõe do delocamento ão reectivamente a informaçõe de velocidade e aceleraçõe: X cg ( Θ) = X len ; cg X lco Θ X ( Θ) = ; X cg = X lco( Θ) Θ len( Θ) Θ ; (31)

29 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 8 Y Y cg cg Y cg ( Θ) = Y lco ; = Y len( Θ) Θ ; Y = 0 ; ( Θ) Θ lco( Θ) = len Θ (3) A omatória da força na direção X, denominada como H é dada or (33) e (34) Fx = m X cg (33) H = m X l co( Θ) Θ len( Θ) Θ, ( Θ) Θ m en( Θ) H = m X mlco l Θ (34) A omatória da força na direção Y, denominada como V é exrea or (35) e (36) Fy = my cg (35) V mg = m l en( Θ) Θ lco( Θ) Θ, ( Θ) Θ m ( Θ) Θ mg V = ml en lco (36) A omatória do momento de inércia é modelada or (37) e (38) cg = IΘ M BrΘ (37) ( Θ) Hlco( Θ) Vl en = IΘ B Θ (38) r

30 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 9 Combinando a equaçõe anteriore vem: ( Θ) Hl ( Θ) IΘ BrΘ = Vlen co ; IΘ BrΘ = ml en enθ ( Θ) Θ mlco( Θ) Θ mg l ( ) m X mlco( Θ) Θ mlen( Θ) Θ lco( Θ) ; IΘ BrΘ = ml en l ( Θ) Θ m en( Θ) co( Θ) Θ ( Θ) ml X co( Θ) m co ( Θ) Θ mgl en l ml en Θ ; ( Θ) co( Θ) ( Θ) ml X co( Θ) IΘ B Θ = ml Θ mglen ; r ( I ml ) Θ BrΘ mglen( Θ) = ml X co( Θ) (39) ml Aumindo que a hate é uniforme, que oui momento de inércia 3 Θ é muito equeno vem: 4 ml 3 ( ) BrΘ( t) mglθ( t) = ml X( t) Θ t ; e também que 3Br 3g 3 Θ Θ Θ = X (310) 4ml 4l 4l Viando a obtenção de uma rereentação adrão, ão definido o arâmetro em (311) obtendo a equação (31), onde alicando a tranformada de Lalace reulta em (313) que é a função de tranferência tíica de um itema de êndulo invertido

31 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 30 3Br ξ n =, 4ml 3g n =, 4l 3 K = (311) 4l Θ ( t) Θ( t) Θ( t) = K X( t) ξ (31) n n Θ( ) K = (313) X( ) ξ n n 3 Modelagem do conjunto Amlificador-Motor-Carro O êndulo invertido é movimentado or carro acionado or um motor de corrente contínua, que or ua vez é controlado or um amlificador eletrônico cujo modelo báico é dado ela relação (314) O motor de corrente contínua tem a equação (315) modelando eu circuito da armadura, onde a exreão (316) rereenta a tenão induzida e (317) a relação da corrente de armadura com o torque reultante V i 1 = Vo (314) K a V o = E iara (315) E = K Φ (316) m i a 1 K = Td (317) t Combinando a equaçõe acima vem: R a KmKt V i = rφ rtd (318) KaKtr Ra

32 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 31 Equacionando o torque total requerido do motor vem T = I Φ B Φ T t m m r O torque reitente no motor ode er exreo or T r = rf A força (F) exercida na correia de tranmião do carro é F = M X Bc X H, H = m X cg Aumindo que m << M imlica que X e ortanto cg X H << M X B X, aim c F = M X B X, c T t = ImΦ BmΦ r M X Bc X Subtituindo na equação (318) vem R a KmKt V i = rφ r ImΦ BmΦ Mr X Bcr X, KaKtr Ra R a KmKt V i = rφ ImrΦ BmrΦ Mr X Bcr X, KaKtr Ra

33 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 3 = c m a t m m t a a i X B r X Mr rφ B R K K rφ I K r K R V (319) São conhecida a eguinte relaçõe: Φ r X = ; rφ X = ; rφ X = Subtituindo na equação (319) vem = c m a t m m t a a i X B r X Mr rφ B R K K X I K r K R V, ( ) = c m a t m m t a a i X r B B R K K X Mr I r K K R V Fazendo Mr I J m = tem-e = 1 r B B R K K J B c m a t m, r K K J R K t a a c = 1, = 1 c i X B X K V Reultando em (30), onde alicando a tranformada de Lalace tem-e (31) que é a função de tranferência do itema amlificador-motor-carro ( ) ( ) ( ) B K V X c i = (30) ( ) B K V X c i = ) ( ) ( (31) No anexo A1 encontra-e a modelagem do itema de êndulo coniderando o atrito do ar do meio ambiente com a hate do itema

34 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 33 CAPÍTULO 4 Etimação do Parâmetro do Modelo 41 Etimação do arâmetro do modelo do êndulo Para a etimação do arâmetro do itema do êndulo invertido erá utilizado um artifício, o itema ode er enaiado como um êndulo convencional Seja o itema ilutrado na figura 41, onde imilarmente à figura 33 erão equacionada a exreõe do modelo matemático do itema V X H Xcg cg l mg Y Y Ycg Θ X Figura 41 Pêndulo livre Equacionando o itema têm-e:

35 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 34 X cg ( Θ) = X len ; cg co Θ X ( Θ) = X l ; X cg ( Θ) Θ len( Θ) = lco Θ ; (41) Y Y cg cg Y cg ( Θ) = Y lco ; = Y len Θ ; = 0 ( Θ) ( Θ) Θ lco( Θ) Y ; = l en Θ ; (4) Fx = m X cg ; H H = m l co( Θ) Θ len( Θ) Θ ; ( Θ) Θ mlen( Θ) = ml co Θ ; (43) Fy = my cg ; V mg = m l en( Θ) Θ lco( Θ) Θ ; ( Θ) Θ m ( Θ) Θ mg V = ml en lco ; (44) M = IΘ B Θ ; cg ( Θ) Hlco( Θ) r Vl en = IΘ B Θ (45) r

36 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 35 Combinando toda a equaçõe vem: ( Θ) Hl ( Θ) IΘ BrΘ = Vl en co ; IΘ BrΘ = mlen Θ mlco( Θ) Θ mlen( Θ) Θ lco( Θ) ; ( Θ) Θ mlco( Θ) Θ mg len( ) l en ( Θ) Θ m en( Θ) co( Θ) Θ mgl en( Θ) ml co ( Θ) Θ IΘ BrΘ = m l ( Θ) co( Θ) mlen Θ ; ( Θ) IΘ Br Θ = ml Θ mglen ; ( I m ) Θ BrΘ mglen( Θ) = 0 l (46) ml Aumindo que a hate é uniforme, que oui momento de inércia 3 equeno o uficiente ara admitir que en ( Θ) Θ, vem: e que Θ é 4 ( ) BΘ( t) mg Θ( t) = 0 ml Θ t r l ; 3 3Br 3g Θ Θ Θ = 0 (47) 4ml 4l Definindo o arâmetro (48) tem-e (49) que é a equação do êndulo convencional, cujo autovalore ão dado or (410) 3Br 3g ξ n =, n = (48) 4ml 4l

37 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 36 Θ ( t) Θ( t) Θ( t) = 0 ξ (49) n n λ = ξ n ± j n 1 ξ (410) Fazendo d = n 1 ξ obtém-e a olução dada or (411) Em geral ( t) d Θ areenta uma reota enoidal de freqüência ( /π) amortecida com um enveloe exonencial ( e ξ n t ) Θ n t ( t) = Ke ( a) ξ en (411) dt Pode er realizado um enaio ara etimar o arâmetro do modelo Para tanto o conjunto do carro foi removido da imreora e oicionado de cabeça ara baixo obre a borda de um uorte de forma que o memo udee e movimentar livremente O enaio foram realizado oicionando-e a hate na oição 90º e oltando-a ara que udeem realizar livremente o movimento ocilatório caracterítico de um êndulo Durante ee eríodo o inal do otenciômetro utilizado como trandutor de oição ângular foi regitrado (figura 43) or meio de um itema de coleta de dado A figura 4 motra a dioição do equiamento ara ee exerimento

38 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 37 Figura 4 Dioição do equiamento ara o levantamento do arâmetro do itema Ângulo Θ [V] 5 Feedback de Poicao Sec t[] Figura 43 Reultado do enaio do êndulo De oe do dado obtido no enaio é oível identificar o arâmetro do modelo Foi deenvolvido um rograma alicativo ara tanto, o qual regitra o ico máximo do inal enoidal reultante do enaio ara roceamento da informaçõe obtida Poteriormente um rocedimento iterativo determina qual o melhor coeficiente ara uma função exonencial de modelagem de maneira que o reultado e aroxime ao máximo do dado medido Entretanto

39 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 38 ara que ee rocedimento funcione corretamente é neceário que o inal a er roceado tenha ouco ruído adicionado que oam macarar o comortamento do itema, fazendo com que o egmento do rograma que identifica o valore máximo faça o roceamento er inadequado Atravé da análie do inal, utilizando a tranformada ráida de Fourier (FFT Fat Fourier Tranform), é oível identificar a freqüência dominante do itema ara que eja ecolhida a caracterítica da filtragem adequada Como a freqüência de ocilação natural do itema identificada ficou abaixo de 1 [Hz], foi imlementado um filtro digital tio Window Sync - Hamming com banda de aagem de 1 [Hz] e freqüência de corte de 3 [Hz] O rograma foi imlementado utilizando o oftware Matlab Seu fluxograma é motrado na figura 44 e ua litagem encontra-e no anexo A3 A figura 45 motra o valor da FFT do inal original coletado e a figura 46 motra o reultado do inal filtrado Um ajute adequado do arâmetro do filtro ermite uma filtragem em defaagen entre o inal de entrada e o de aída do memo Figura 44 - Fluxograma do rograma ara identificação do arâmetro do êndulo

40 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 39 Amlitude [V] 09 FFT do inal do enaio Freqüência (Hz) Figura 45 - FFT do inal obtido no enaio do êndulo Amlitude [V] Figura 46 - Sinai original (vermelho) e filtrado (azul) em função do número de amotra n o de amotra

41 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 40 O valor obtido ara o índice da função exonencial do modelo atravé do algoritmo foi aroximamente 0,19 Com bae nete arâmetro é oível calcular que a amlitude K vale 6,581 A figura 47 motra o gráfico comarativo entre o dado reai e a curva ajuta O dado foram normalizado em ambo o eixo ara melhorar viualização e análie Amlitude [V] 6 5 curva ajutada dado reai Figura 47 - Dado reai e a curva etimada do enaio do êndulo t[] Da figura 43 e 46 obtém-e o eríodo da ocilação do itema que etá em torno de 1,191 egundo ou 5,756 [rd/] Comarando o exoente da equaçõe têm-e (41) e (413) ξ = 0,19 (41) n d = n n ξ (413) Subtituindo o valore vem: ξ = 0,036 e = 5, 79 (414) n

42 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 41 Do comrimento da hate tem-e o arâmetro K =,97 A função de tranferência ara o conjunto do êndulo ode agora então er comletamente definida (415) Θ( ) = X ( ),97 0,3801 7,8678 (415) Adicionalmente um comlemento ao cálculo anteriormente realizado ode er feito De (48) obtêve-e 3Br ξ n = (416) 4ml Como o valore de ξ e n já ão conhecido é oível calcular o valor numérico de B r B r ξ n 4ml = 3 A mediçõe foram efetuada e dela encontrado que m = 0, [Kg] e l = 0,504 [m] Deta forma calcula-e B = 0, 003 [N/rd/] r Ee cálculo ermitem agora que a equação caracteríitica do modelo do êndulo (415) oa er facilmente obtida ara outra hate em a neceidade de realizar novo enaio, batando ara io omente ubtituir o novo valore de m e l em (48) 4 - Etimação do arâmetro do conjunto Amlificador-Carro-Motor É oível determinar exerimentalmente o arâmetro do modelo do conjunto amlificador-motor-carro do itema de êndulo invertido Entre a técnica oívei de erem emregada otou-e or método de reota em freqüência O rocedimento adotado erá de excitar o amlificador do itema com um inal enoidal exreo or (416), onde A rereenta a amlitude do inal de excitação e ua freqüência Alicando a tranformada de Lalace na equação obtém-e (417), e uando a função de tranferência do conjunto reulta em:

43 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 4 Aco( t) V i = ; 416) ) ( = A V i ; (417) ( ) B K A X c = ) ( => ( ) B K A X c = ) ( ) ( (418) Exandindo em fraçõe arciai: ( )( )( ) B j j AKc 1 => B n j n j n AKc 3 1 ; ( ) B j j n = 1 1 ; ( ) B j j n = 1 ; ( )( ) = = B j B j B n ; = ) )( ( 1 ) )( ( 1 ) )( ( 1 ) ( B B j B j j j B j j AK X c ; = ) )( ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( B B j j B j j AK X c ; ( ) ( ) B B AK j j j B j AK X c c = ) ( (419) Alicando a tranformada invera de Lalace vem: ( ) [ ] Bt c t j t j c e B AK e e j B j AK t X = 1 ) ( ; ( ) ( ) Bt c c e B AK t B j AK t X = en ) ( (40)

44 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 43 O último termo da equação (40) tende a zero à medida que o temo aumenta Então retará omente a olução ara o etado etacionário que é dado or (41), onde a variável X rereenta a coordenada do carro no eixo X X AK ( t) = c en( t) ( j B) (41) A reota em freqüência de um itema é rereentada or meio de gráfico da magnitude e da fae ela freqüência da função que rerenta o itema Frequentemente o valore de magnitude ão exreo em decibéi e da freqüência em radiano A exreão (4) motra a relação da magnitude do delocamento do carro com a freqüência de excitação de entrada do itema Mag = 0 log10 1 AKc B j 1 B 1 Mag = 0 log10 AKc 0 log10 0 log10 j 1 (4) B B O gráfico da reota em freqüência, conhecido como diagrama de Bode, ode er decomoto em trê arte A rimeira dela é uma reta com valor 0log AK c /B aralela ao eixo da freqüência A egunda, uma reta com inclinação de -0 [db] or década, tendo o valor de 0[dB] ara = 1 [rd/] E finalmente uma curva definida elo termo 0log j(/b)1 que ode er aroximada or ua aintota A figura 48 ilutra cada uma deta comonente e a reultante Realizando um enaio no conjunto é oível determinar o arâmetro da função de tranferência que modela o memo A idéia é excitar o amlificador com uma forma de onda conhecida, no cao enoidal, e obervar a variaçõe de oição do carro Ea medição da oição foi realizada com o uo de um trandutor de oição em contato que emrega tecnologia magneto-retritiva A figura 49 motra a montagem exerimental detacando-e o trandutor de delocamento linear utilzado no enaio A tabela 41 traz o dado obtido no enaio A reota em freqüência reultante etá ilutrada na figura 410

45 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página log () -0logAK c /B Amlitude (db) log(j( /B)1) -80 Reultante -100 = B 0, Freqüência (rad/) Figura 48 Comonente báica da reota em freqüência do itema Figura 49 Detalhe do carro com o trandutor de oição linear

46 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 45 Tabela 41 - Dado do enaio do conjunto amlificador-motor-carro Frequencia Frequencia Tenão ico-a-ico Delocamento M (Hz) (Rad/) (V) (m) (db)

47 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 46 Amlitude (db) Freqüência (rad/) 19 Figura 410 Diagrama de Bode do enaio do conjunto amlificador-motor-carro Utilizando a informaçõe do gráfico da reota em freqüência enaida é oível obter o arâmetro do conjunto Em freqüência muito baixa o termo dominante é a reta contante função do ganho (K c ) do itema Ainda em freqüêncai baixa o ólo na origem faz a magnitude do itema cair -0 [db] or década de freqüência Em freqüência mai alta o ólo com arte real negativa do conjunto também faz a curva do módulo cair mai 0 [db] Ito ocorre ara um valor róximo de =19 [rd/], que coincide com o valor numérico do arâmetro B, ortanto: B =19 (43) Para freqüência baixa o terceiro termo da equação (4) tende a valore baixo e ode er derezado Para freqüência abaixo de 0,5 [rd/] o valor da magnitude etá em torno de -13,4 [db] reultando em (44) Sabendo que a amlitude do inal de excitação tem valor A = 1,45 obtém-e (45) Aim a função de tranferência do conjuto é definda or (46) A função de todo o itema fica determinada or (47) e etá ilutrada na figura 411

48 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página log AK c 0log = 13,40 (44) B K = 3,85 (45) c X ( ) = V ( ) i K c = 3,85 ( B) ( B) (46) Θ( ) 3,85,97 G ( ) = = (47) V ( ) ( 19) 0,3801 7, 8678 i V i 3,85 ( 19) X,97 0,3801 7,8678 Θ Figura Modelo comleto da lanta identificada No decorrer do rocedimento de enaio do itema foram detetado algun efeito nãolineare que não erão coniderado no róximo caítulo or quetõe de imlificaçõe No anexo A encontram-e a conideraçõe a reeito dete efeito

49 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 48 CAPÍTULO 5 Análie do Modelo da Planta Identificada No caítulo anterior o rotótio foi modelado e o valore numérico do arâmetro etimado De oe deta informaçõe é oível realizar uma análie comleta do comortamento dinâmico da lanta A função de tranferência da mema ode er fatorada ara melhor viualização (figura 51) V i 3,85 ( 19) X,97 ( 5,475)( 5,094) Θ Figura 51 - Modelo fatorado da lanta identificada É oível identificar claramente a exitência de um ólo no emilano direito (cujo valor é 5,475) caracterizando aim um itema intável (Ogata 18 ) Exite também um ólo na origem que tende a deixar o itema intável Como ilutração, a figura 5 traz a reota do itema a um degrau unitário de excitação Nela oberva-e que o valor do ângulo do êndulo tende a crecer com o temo, caracterizando a tendência de intabilidade dete itema

50 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 49 Amlitude [V] 0 Ste Reone Time (ec) t[] Figura 5 - Reota da lanta em comenação a uma excitação tio degrau Viando a etabilização e o controle da lanta deve-e emregar controladore ou comenadore adequado Exitem vária oçõe de controladore tai como PID (Proorcional-Intergral-Derivativo), de avanço ou atrao de fae (lead/lag), adatativo, utilizando técnica de inteligência artificial, etc

51 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 50 CAPÍTULO 6 Projeto e Imlementação do Sitema Nete trabalho erá imlementada uma malha de controle real ara o itema de êndulo invertido utilizando um controlador PID Otou-e or imlementar o controlador atravé de um microcomutador acolado a uma laca de aquiição de dado O algoritmo de controle erá realizado atravé de um oftware de imulação e controle batante utilizado em muita intituiçõe de enino A vantagem da utilização deta lataforma de deenvolvimento é que outra etratégia de controle odem er facilmente deenvolvida e tetada A eecificaçõe definida ara a malha de controle ão: máximo ico (M ) menor ou igual a 5%; temo de acomodação (t ) em torno de 0, egundo; erro em regime ermanente (e ) róximo de 0,5% Na imlementação real do controlador o temo de amotragem utilizado erá de 0,001 egundo Ee valor é equeno e comarado com a menor contante de temo da lanta identificada Aim a atuação do controlador comutadorizado a er imlementado e aroxima batante da função de um comenador contínuo equivalente A equação (61) motra a função de tranferência tíica de um controlador PID A variável e() conite na informação do erro da malha de controle e u() na variável de atuação do itema O ganho roorcional (K ), integral (K i ) e derivativo (K d ) quando devidamente ajutado definem a dinâmica deejada ara a malha de controle, como o máximo ico etiulado, temo de acomodação, erro em regime, etc u( ) Ki C ( ) = = K Kd (61) e( ) Para itema etávei aroximado or funçõe de egunda ordem e com raíze exrea or (6), exite uma relação entre o máximo ico e o fator de amortecimento (ξ) dado

52 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 51 ela exreão (63) ou (64), e junto com a freqüência natural de ocilação ( ) há uma relação também com o temo de acomodação (exreão (65)) n 1, = ξ n ± jn 1 ξ (6) = e πξ 1 ξ M (63) ( M ) ( M ) ξ ln = π ln (64) t 4 ξ = (65) n A equaçõe (66), (67) e (68) definida or Philli e Harbor 3, ão utilizada ara calcular o ganho tíico de um controlador PID quando conhecida (ou etimada) a função de tranferência do roceo a er controlado K n x lim G( ) H ( ) = 0 1 e (66) K in G ( G( 1 ) H ( 1 )) ( ) H ( ) in( ) 1 ( ) i 1 = (67) 1 1 K co 1 1 K ( G( 1 ) H ( 1 )) K i ( ) H ( ) in( ) in = (68) d 1 G Com a eecificação definida ara o máximo ico (M =0,05) na equação (64) vem: ξ = 0,6901 (69)

53 Univeridade Federal de Itajubá UNIFEI Página 5 (65) vem E juntamente com a informação do temo de acomodação deejado (t =0,) na equação rd n = 8, 98 (610) Para que e oa efetuar o cálculo, um do trê arâmetro do controlador recia er etimado ou adotado (Philli e Harbo 3 ) Deoi de algun exerimento rático foi elecionado o valor (611) ara o ganho integral K = 83 (611) i Da equação (6) tem-e (61), onde o argumento etá em radiano = 0,00 ± 0,97, = 8,98, 334 (61) 1, j 1 Com o valore de (61) na função de tranferência da lanta (47) tem-e (613), onde o argumento etá em radiano G( 1 ) = 0,0136 j0,0131, G ( 1 ) = 0,0189 0, 7664 (613) Subtituindo o valore de (611), (61) e (613) em (67) e (68) vem (614) e (615) K = 39,435 (614) K = 0,8189 (615) d O diagrama em bloco indicado na figura 61 ilutra o modelo da malha de controle reultante Obtendo-e o gráfico do lugar da raíze (figura 6) da malha de controle, nota-e que o ólo dominante eecificado ( 1, ) etão obre a área etável do gráfico e tendem a etarem róximo do onto de oeração deejado No anexo A4 encontra-e um rograma que erve ara auxiliar o cálculo do ganho do controlador PID