Algumas Distribuições de Probabilidade Discretas. p n. (, para todo i = 1,..., n. Os valores da média e da variância desta distribuição são:
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- Luiz Meneses Quintanilha
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1 robbldde e Esís I Aoo Roque Aul Alums Dsrbuções de robbldde Dsres Alums vráves leórs dsres odem ser usds om muo suesso r modelr eros feômeos de eresse ráo, or eemlo, dsrbução boml. Vmos reser lums ds ms mores dsrbuções dsres qu. Dsrbução Uforme Dsre Ese é o so em que s robblddes de que um vrável leór dsre ssum um vlor dere um ojuo de ossblddes são ods us, (, r odo,...,. Os vlores d méd e d vrâ des dsrbução são: ( µ, e (. ( σ µ σ Tee mosrr es úlm ssem omo eerío.
2 robbldde e Esís I Aoo Roque Aul Dsrbução Boml Já esudmos dsrbução boml e vmos fórmul r o álulo d robbldde de k suessos em reeções, om robbldde de um suesso sedo e de um frsso sedo q, ( X k k!! ( k! k k q O álulo do vlor eserdo (ou médo de suessos em reeções e d vrâ ão é ão fál de ser feo e vmos es dr os resuldos qu. orém, vmos lulr µ e σ r lus sos om equeo de mer que um roío duvo ode os levr er s fórmuls ers r qulquer.. Qul é o vlor eserdo de suessos qudo há es um eermeo (? Temos es dus ossblddes, suesso ou frsso. Vmos defr um vrável leór que ode ssumr es dos vlores, qudo há um suesso e 0 qudo há um frsso. Usdo fórmul do vlor eserdo emos eão, µ ( ( (. 0. q ; e vrâ é, σ ( µ ( ( ( ( ( ( ( 0 q ( ( ( q. E qudo, qus os vlores de µ e σ? Nese so, emos rês resuldos ossíves: suessos, ; suesso, ; e 0 suessos, 0. Usdo s fórmuls r µ e σ emos eão:
3 robbldde e Esís I Aoo Roque Aul!!! µ (.. q 0. q q!(!!(! 0!( 0! e, σ 8 q ( µ ( ( ( q ( 0 ( q( ( 8 ( q( q 8 q 8 q 8 q!!(! q 8 q!!(!! q 0!( 0! ( 8 q q 8 q q. r qulquer, méd e vrâ d dsrbução boml vlem: µ e q σ. Dsrbução de osso Es é um more dsrbução de robbldde dsre que é muo usd r modelr oorrê de eveos leóros dero de um ervlo, de emo ou de esço, esefdo. El deve o seu ome o memáo frês osso (78-80, que esudou sus reríss. Se for vrável dsre que dá o úmero de oorrês de um eveo leóro em um ervlo (de emo ou de esço ddo, robbldde de que oorr é dd el dsrbução de osso, ( µ e µ, ode 0,,,,... ( ose e vle romdmee,788.! A ler re µ é hmd de râmero d dsrbução de osso e dá o úmero médo de oorrês do eveo o ervlo em quesão.
4 robbldde e Esís I Aoo Roque Aul ode-se mosrr que ( 0 r odo e que (, de mer que ( ssfz s odções de um dsrbução de robbldde. 0 Um dsrbução de robbldde de osso resul do seue roesso, hmdo de roesso de osso:. A oorrê de um eveo em um ervlo (de esço ou emo ão em qulquer efeo sobre robbldde de oorrê de um seudo eveo, o mesmo ou em qulquer ouro ervlo. Os eveos modeldos or um roesso de osso são deedees.. Ddo um ervlo, um eveo ode oorrer qulquer úmero de vezes dero dele. Não há lme sueror r o úmero de ossíves oorrês do eveo dero de um ervlo.. r um ervlo sufeemee equeo, robbldde de oorrê de um úo eveo dero do ervlo é roorol o ervlo.. r um ervlo sufeemee equeo, robbldde de oorrê de dos ou ms eveos dero do ervlo é desrezível. ode-se mosrr que, r um dsrbução de osso, méd (vlor eserdo e vrâ são us: E ( µ e σ µ. A dsrbução de osso é emred qudo se fz oes de eveos leóros dero de um ero ervlo de emo ou de esço. Vejmos lus eemlos:
5 robbldde e Esís I Aoo Roque Aul. Um ONG dedd à reservção mbel fez um esudo em um áre d M Alâ que esá sedo refloresd e oluu que o úmero médo de esées de u Brsl or Km é ul. Suodo que o úmero de esées de u Brsl or Km d áre esudd obedeç um dsrbução de osso, lule:. A robbldde de se eorr um ou ehum árvore de u Brsl em um áre de Km esolhd o so d áre esudd. Es robbldde é: 0 e e (0 ( 0,5 0,707 0,060 (0,6 0!! %. b. A robbldde de que um áre de Km esolhd o so d áre esudd eh esées de u Brsl. Se o úmero médo de esées de u Brsl or Km é, o úmero médo or Km é.. oro, e ( 0,95 (9,5 %.!. Um omh de seuros fez um esudo sobre o úmero seml de solções de soorro r uomóves reebds dure os úlmos os. A olusão fo que o úmero médo de eddos de soorro or sem é de. A emres osr de sber qul robbldde de que oorrm 0 hmds de soorro róm sem. A oorrê de um eddo de soorro em um sem é um vrável leór que ssfz um dsrbução de osso. oro, robblde desejd é: (0 0 µ e 0! µ 0 e 0! 0,05 (0,5 %. 5
6 robbldde e Esís I Aoo Roque Aul A o m ode ser fe om um luldor eíf ou om o uso de um rorm esíso ou do MS Eel. Cso ão se eh esso ehum desses reursos, ode-se reorrer um lvro de esís que eh bels ddo os vlores luldos d dsrbução de osso. Usdo o MS Eel, moou-se o seue ráfo ddo dsrbução de robbldde do úmero de eddos de soorro or sem r o eemlo ddo (µ. Dsrbução do úmero seml de eddos de soorro (osso ( Observe que form d dsrbução de osso em lum smlrdde om d dsrbução boml vs erormee. Em lus sos, s dus urvs fm rmee us ddo que ode-se usr dsrbução de osso r romr boml. or eemlo, ese um sução em que um eermeo boml será reedo um rde úmero de vezes om um robbldde eque de suesso d reeção. r orr ms oreo o que esmos dzedo, vmos r o eemlo seue. 6
7 robbldde e Esís I Aoo Roque Aul. Os dmsrdores de um merdde esão eressdos em sber robbldde de que, dos rómos 00 smeos, sejm de rçs om um er doeç oê. A robbldde de que sç um bebê om ess doeç é 0,0 (% e o úmero de reeções de smeos é 00. oro, ese é um roblem que ode ser resolvdo usdo-se dsrbução boml: 00! ( X q!97! 97 00,. O álulo d eressão m ode ser um ouo edoso. or sso, vmos er resolve-lo usdo dsrbução de osso. Vmos suor que os rómos 00 smeos merdde oorrm dero de um eríodo de emo T. A oorrê de um smeo de um rç om doeç oê dero desse ervlo de emo é um eveo leóro e deedee de ouro smeo de um rç om doeç. Vmos subdvdr o ervlo T em equeos ervlos de emo δ de mer que se oss ssumr que robbldde de que oorr um smeo de um rç om doeç dero de δ sej roorol δ e que robbldde de que oorrm dos ou ms smeos de rçs om doeç em δ sej desrezível. Iso os d que odemos usr dsrbução de osso r lulr o úmero de smeos de bebês om doeç oê o ervlo T. r usr dsrbução de osso, resmos sber méd de smeos de rçs om doeç dero do ervlo T. 7
8 robbldde e Esís I Aoo Roque Aul Es méd ode ser obd om fórmul do vlor eserdo do úmero de rçs om doeç oê sds em 00 smeos r dsrbução boml (lembre-se de que o roblem ssfz um dsrbução boml. O vlor eserdo de um vrável boml r reeções om robbldde de suesso (suesso qu é ser um rç om doeç é µ 000,0. oro, usdo fórmul d dsrbução de osso: ( µ e! µ e! 0,06 (6, %. r oferr se ese resuldo é um bo romção r o vlor que er sdo obdo om o uso d fórmul d dsrbução boml, o seu vlor é ( 00,0,0 0,0609 (6,09 %. O erro omedo elo uso d dsrbução de osso é de meos de % (0,66 %. O ráfo seur, mosr s dus dsrbuções (boml e de osso r (o úmero de smeos de rçs om doeç oê vrdo de 0 0. Observe que os oos ds dus dsrbuções em um em m do ouro ( esl do ráfo, ddo que dsrbução de osso foree um óm romção r dsrbução boml ese so. 8
9 robbldde e Esís I Aoo Roque Aul Comrção ere Boml e osso ( Os qudrdos são os oos d dsrbução boml e os losos são os oos d dsrbução de osso. Aromção d Dsrbução Boml el Dsrbução de osso Sej dsrbução boml r suessos em reeções om robbldde de que hj um suesso d reeção: (,! q! ( (! (! (! ( ( (... ( ( (( ( ( (( ( (. Lembrdo que o vlor eserdo d dsrbução boml é µ µ : 9
10 robbldde e Esís I Aoo Roque Aul µ µ µ µ µ µ.(.( (.! (, No lme em que : µ Termos do o ( µ ; µ µ lm ; e lm. µ De mer que: $!#!"! µ µ e! µ (, µ. µ. µ µ. e.. oro, o lme em que ( 0 dsrbução boml é romd el dsrbução de osso. Dsrbução Geomér Suoh um eermeo de Beroull que é reedo várs vezes. Sej robbldde de se ober um suesso e q robbldde de um frsso. Eão, robbldde de que o rmero frsso oorr - ésm reeção é: 0
11 robbldde e Esís I Aoo Roque Aul ( ( ( ( q ;. q (.. q... q! ; ( ; ( ; Defdo vrável leór Y úmero de suessos es do rmero frsso, emos: ( ( ( ( 0 ( ( ( (! ( ( ( ( ( (.. 0 ; ; ; ; A dsrbução ( (, 0,,, Y, é hmd de dsrbução eomér. O seu ome deve-se o fo de que el é formd or um roressão eomér. Cosum-se hmr vrável leór Y de omrmeo de um seqüê de suessos. Noe que robbldde de um ddo omrmeo de um seqüê de suessos ós um frsso mbém ssfz um dsrbução eomér. ode-se mosrr que o vlor eserdo e vrâ de um dsrbução eomér são us :
12 robbldde e Esís I Aoo Roque Aul E ( e ( σ. A fução de dsrbução umuld r dsrbução eomér é: ( 0 ( ( ( ( ( rob ( Y Y F. ( Y F Eerío: Sejm s dus seqüês de DNA vds, or eemlo, de dus esées dferees. As ses dm res de bses que são omus às dus seqüês: Chmdo um seqüê de suesso um reho ds dus seqüês de DNA ujs bes sejm us, lule (Y 0, (Y, (Y e (Y ( ¼:. ( ( 0, ( ( 0,06875; 6 ( ( 0,875; 6 ( ( 0,75; ( (0!
13 robbldde e Esís I Aoo Roque Aul Dsrbução Boml Nev Em muos sos, vrável leór de eresse ão é o úmero de suessos em reeções do eermeo boml, ms qus reeções são eessárs r se r m suessos ão eessrmee em seqüê. Sej m o úmero ré-fdo de suessos. A vrável leór Y é o úmero de reeções do eermeo de Beroull é se r ese úmero de suessos: Y ( robbldde de que s rmers ( reeções hj (m suessos (e, oro, m frssos e de que -ésm reeção hj um suesso. A robbldde de que em ( reeções hj (m suessos é dd or um dsrbução boml, m m ( ( m ( m, (, e robbldde de que -ésm reeção hj um suesso é smlesmee. Loo: ( Y. m m ( ( ( m m m ( ( ( m, m. ode-se mosrr que o vlor eserdo e vrâ d dsrbução boml ev são us :
14 robbldde e Esís I Aoo Roque Aul E m m( ( e σ. Eerío: Um rofessor esá resdo seleor um eque de quro luos r rr de um rojeo de esqus. Os requsos r que um luo re d eque são que ele sej um bom rormdor, sej fluee em lês e eh rdo o m de 7 em um dd mér. A roorção de luos om esss qulfções su uversdde é ul 0%. Qul é robbldde de que eque sej formd qudo o démo ddo for osderdo? Nese so, qudo o démo ddo for osderdo ele ssfrá os requsos eessáros e será o quro dos dez ddos fzê-lo, de mer que eque esrá mod e ão será ms eessáro osderr ovos luos. Iso quer dzer que ses dos ove ddos erores o démo form rejedos. Temos eão: 0, m e 0,. Loo: Y 0 (0 (0, (0,7 (0 ( 9! (0,!6! (0,7 6 0,08. oro, robbldde de que o rofessor os fehr su eque om o démo ddo que reer é de 8%. Dsrbução Hereomér Cosderemos o seue roblem. Um dermeo de um uversdde oém 50 rofessores: 0 mulheres e 0 homes. Desej-s esolher um mosr leór de 5 desses rofessores r formr um omssão r dsur rção de ovs dsls de rdução. Qul robbldde de que ess omssão de o rofessores oeh emee homes?
15 robbldde e Esís I Aoo Roque Aul Como o dermeo em 50 rofessores, o úmero de ossíves omssões dferees oedo 5 rofessores é ddo or ! 5!5! A qudde de mers dferees de se esolher um mosr de 5 rofessores omos emee or homes e mulheres é dd or: 0 0!! No.de mers dferees de se esolher homesde um ol de 0 homes No.de mers dferees de se esolher mulheresde um ol de 0 mulheres 0!! 8! 0!!7! oro, resos r o roblem é: 0 0 rob( homes e mulheres ,6. Qudo emos um oulção oedo N elemeos, dos qus M são osderdos suessos (or eemlo, homes o so eror e N M são osderdos frssos, robbldde de seleormos um mosr leór de elemeos d oulção, sem reosção, oedo emee suessos e frssos é dd el dsrbução hereomér: X ( M N M N! M! ( M! ( N M! (![( N M ( ] N!!( N!!. 5
16 robbldde e Esís I Aoo Roque Aul ode-se mosrr que o vlor eserdo e vrâ d dsrbução hereomér são us : E ( e ( N (, ode N M N σ. Eerío: Suoh que lhe eçm r rerr 5 rs de um brlho orml de 5 rs, sem reosção. Qul robblde de que s 5 rs oehm rs de ouros? Num brlho orml de 5 rs esem rs de d e. oro, osderdo um r de ouros omo um suesso, fórmul d dsrbução hereomér os dá: 9! 9! (!!!6! 0,7. 5 5! 5 5!7! A seur, são ddos ráfos ds dsrbuções dsres reseds: 6
17 robbldde e Esís I Aoo Roque Aul 7
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