ANÁLISE DA FORMA GEOMÉTRICA DA PARTÍCULA NA APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DISCRETOS - DEM

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1 ANÁLISE DA FORMA GEOMÉTRICA DA PARTÍCULA NA APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DISCRETOS - DEM Elas Gomes dos Santos, salemarab@hotmal.com 1 André Luz A. Mesquta, andream@ufpa.br 1 Luz Morera Gomes, luzmg@ufpa.br 2 Elas Fagury Neto, fagury@ufpa.br 3 Marco Paula Mafra, mpaulo@ufpa.br 3 1 Faculdade de Engenhara Mecânca, Unversdade Federal do Pará (UFPA), Rua Augusto Correa, 01-Guamá. CEP Caxa postal 479. PABX Belém Pará Brasl. 2 Faculdade de Cêncas Exatas e Naturas, Unversdade Federal do Pará (UFPA)-Campus Marabá, Folha 31Quadra 07, Lote especal. CEP Faculdade de Engenhara de Materas, Unversdade Federal do Pará (UFPA)-Campus de Marabá. Folha 17, Quadra e Lote especas. CEP Resumo: Este trabalho apresenta uma análse da varação da forma geométrca da partícula e o comportamento do ângulo de repouso com a aplcação do Método dos elementos Dscretos (DEM).O método DEM é uma ferramenta moderna que está sendo explorada nesse trabalho por ntermédo do códgo comercal EDEM 2.4. A análse parte de um escoamento padrão em caxas de fluxo vsando a aferção do ângulo de repouso. São utlzados quatro formas goemétrcas predefndas. Em cada smulação, os resultados obtdos são apresentados para os ângulos de repouso correspondentes à sua forma. Palavras-chave: Método dos Elementos Dscretos, materas granulares, forma da partícula 1. INTRODUÇÃO O presente trabalho tem a fnaldade de analsar o efeto da forma da partícula em smulações de escoamento de sóldos utlzando o Método dos Elementos Dscretos (DEM Dscrete Element Method). A análse é baseada no escoamento de materal granulado em uma caxa de fluxo com dmensões fxas e na aferção do ângulo de repouso após a establzação da plha dentro caxa. Os resultados são apresentados de acordo com cada forma geométrca que está sendo utlzada na análse. As formas geométrcas apresentam esfercdade varada para um dâmetro equvalente de 10 mm, sendo geradas no escopo das possbldades do códgo comercal EDEM 2.4 (EDEM, 2011). Também, entre as formas geométrcas das partículas, destacamos as possbldades de avalação do atrto de rolamento mplementado no modelo utlzado por Zhou et al (2002). Quanto à forma geométrca das partículas, mutos métodos foram propostos em recentes trabalhos no sentdo de representar de forma sgnfcatva as geometras em aglomerados de partículas. Há regstros na lteratura de métodos que geram de maneras dferencadas os contornos das partículas. Há aqueles que fazem uso de funções matemátcas tas como elpses (não-crcular); círculos; polígonos; superquádrcas, etc., (respectvamente, Tng et al, 1993; Potapov e Campbell, 1998; Barbosa e Ghabouss, 1992; Cleary, 2008). Cada método traz consgo uma característca própra, apresentando suas vantagens e desvantagens em relação ao processo de smulação computaconal, tas como velocdade, tempo de smulação, etc. Em outras palavras, entende-se que cada método tem suas lmtações. Um exemplo da utlzação da forma crcular na captura da forma geométrca da partícula em um sstema bdmensonal é mostrado pela Fg.(1). A Fg.(2) apresenta as partículas que foram utlzadas no presente trabalho para a avalação do efeto da forma da partícula na smulação do escoamento de partculados usando o Método dos Elementos Dscretos.

2 Fgura 1. Modelo 2D: Círculos nscrtos dentro da secção de uma partícula para captura da forma (Fonte: Ashmawy et al, 2003) Fgura 2. Formas das partículas usadas na análse do ângulo de repouso - dametro equvalente de 10 mm 2. MÉTODO DEM O método DEM tem larga aplcação no tratamento de materas granulados. Ao contráro do Método dos Elementos Fntos (FEM), o método DEM trata de um sstema não-contínuo. Nele consderam-se forças de contato e de nãocontato (eletromagnétca, caplardade) entre cada partícula. O método DEM se tornou uma poderosa ferramenta para as ndústras que trabalham com materal granulado devdo à sua dnâmca, que envolve as propredades físcas e mecâncas dos materas, tas como, atrto de rolamento e deslzamento. Nesse sentdo, os projetos de engenhara ganharam maor confança, com ganhos na redução dos rscos em suas análses (Grma et al., 2011). Com o ajuste dos parâmetros da modelagem, atrto de rolamento, atrto de deslzamento, da análse da varação no tamanho da partícula, etc., os modelos numércos DEM podem predzer resultados mportantes para a engenhara pela calbração dos resultados numércos com o expermental. O método DEM é flexível e o desafo recará comumente em ajustar propredades para os modelos de equações (Levy e Oo, 2011). Para uso do método, exstem város códgos comercas que se utlzam de parâmetros de entrada dferentes, mas passíves de calbração. Neste trabalho é utlzado o códgo EDEM 2.4.(EDEM, 2011) Método usado: Hertz-Mndln com atrto de rolamento Este modelo ncorpora ao modelo padrão Hertz-Mdln (Mndln, 1949; Mndln e Deresewcz, 1953), o atrto de rolamento. Ele, além de relaconar o atrto de rolamento com a velocdade relatva, utlza o mesmo torque para o contato entre as partículas e j. A Fg. (3) a segur mostra a representação bdmensonal do modelo. O torque M,j é utlzado nesse modelo toda vez em que os efetos do atrto de rolamento é mportante, como é este caso. M, j rfnr (1) Sendo μ r, coefcente de atrto de rolamento, ω, o vetor velocdade angular untáro e R a dstânca do ponto de contato ao centro de massa da partícula. Fgura 3. Representação da forças de contato entre as partículas e j (Zhou et al, 1999) Zhou et al (1999) apresenta as equações utlzadas no modelo:

3 dv m m g ( F F F F ) (2) k cn, dn, ct, dt, dt j1 d I ( T M ) (3) k dt j1 Onde m é a massa da partícula V é velocdade escalar, responsável pela translação da partícula I é o momento de nérca da partícula velocdade angular, responsável pela rotação da partícula Fcn, é a força normal de contato entre as partículas e j Fdn, é a força normal de amortecmento entre as partículas e j Fct, é a força tangencal de contato entre as partículas e j Fdt, é a força tangencal de amortecmento (dampng) entre as partículas e j T torque, causa a rotação da partícula em um ponto de contato e não no centro da partícula M força relatva ao torque que se opõe a rotação de uma partícula (rollng frcton) n e t são as deformações tangencal e normal. A Tab.(1) mostra as equações envolvdas no cálculo numérco. Tabela 1. Componentes das Forças e Torques que atuam sobre uma partcula Fonte: Zhou et al ( ) É mportante observar que o modelo empregado por Zhou, dfere do modelo usado pela Eq. (1). O modelo da equação (1) será usado neste trabalho em substtução ao da Tab.(1). Para melhor compreensão, Khan e Bushell (2005), comentam o modelo usado por Zhou et all (1999) sobre a aplcação do de atrto de rolamento. Na década de 90 Zhou et al empregaram em suas análses dos modelos para o atrto de rolamento, propostos, respectvamente, por (Beer e Johnson, 1976, e Brllantov e Poschel, 1998) ambos na análse do ângulo de repouso. M F (4) r cn, M V F (5) ' r, cn,, j Onde μ r e μ r são os coefcentes de atrto de rolamento, V ω, é o módulo da velocdade relatva tangencal em vrtude da velocdade angular, F cn, é a força de contato normal entre as partículas e j e é o vetor versor velocdade angular.

4 3. SIMULAÇÃO DEM 3.1. Escoamento em Caxa de Fluxo A Fg.(4) mostra a geometra da caxa de fluxo utlzada na análse do trabalho. As Fgs.(5) e (6) mostram os resultados da calbração do método tomando como referênca o trabalho de Zhou et al (2002); enquanto a Fg.(7) mostra o volume das caxas antes da descarga para cada uma das formas de partículas estudadas. Com base no trabalho de Cundall e Strack (1979) a caxa de fluxo deste trabalho tem dmensões de 400 mm de comprmento, 400 mm de altura e 40 mm de largura. Uma placa nteror dvde a caxa à mea altura, onde se formará a zona de estagnação das partículas (Zhou et al, 1999). Nesta há duas saídas lateras para escoamento do materal quando este é gerado sobreposto a placa medana atngndo a altura de 120 mm. As saídas lateras possuem dmensões planares de 40 x 50 mm e são abertas para fora, na dreção do exo Y. Incalmente, com as duas saídas lateras fechadas, os granulados de forma esférca (Fg. 2-a) são ajustados com a geração de partículas randômcas, sem sobreposção, a partr da placa nteror até anteceder aproxmadamente o valor de 80 mm do topo da caxa. Após esta etapa, as partículas esfércas repousam por um tempo de 1s (um segundo), establzando-se antes da abertura nstantânea das duas saídas lateras. Estes mesmos procedmentos repetem-se para as demas formas geométrcas que estão sendo analsadas. Após a abertura nstantânea das saídas lateras, algumas partículas das bordas da caxa ncam o escoamento, deslocando-se para a parte nferor da caxa de fluxo por ação da gravdade. As partículas das bordas nteragem com as demas em sua vznhança que por sua vez propaga as suas propredades mecâncas. O efeto global resultante desse sstema apresenta-se em duas partes da caxa conforme mostra a Fg.(5). A plha de partículas que fca mantda sobre a placa medana da caxa possue forma semelhante a um trângulo, quando vsualzado por uma perspectva frontal da caxa, de onde extra-se o valor para o ângulo de repouso. No trabalho do Zhou et al (2002), Fg.(6), fo utlzado o valor de 0,05 para o atrto de rolamento entre partículas e 0,4 para o atrto de deslzamento, sendo obtdo um ângulo de repouso de de 28,2 graus (Fgs.(5) e (6)). Entretanto, após a calbração para a forma esférca, todas as demas formas geométrcas predefndas neste trabalho, estão sob as mesmas condções estabelecdas pelos dados da Tab. (Tabela 2). A calbração apresentou uma dferença de aproxmadamente 1 grau. A Eq. (4), apresentado no trabalho de Zhou et al (2002), fornece um valor numérco do ângulo de repouso para os dados da Tab.(2), gual a 28,46º graus. Segundo o ctado autor, esta equação é um modelo numérco para predzer o ângulo de repouso em caxas de fluxos que apresentam a razão entre a * espessura da caxa e o dâmetro da partícula (w/d) gual a (4) d s, pp s, pw r, pp s, pw Onde, μ s,pp, μ s,,pw, são, respectvamente, os atrtos de deslzamento nas nterações entre partículas e das partículas com a parede; e μ r,pp, μ r,pw são, respectvamente, os coefcentes de atrto de rolamento entre as nterações entre partículas e partículas com a parede. Fgura 3.Geometra utzada na análse dos ângulos de repouso

5 (a) (b) (c) Fgura 4. Perspectva frontal - Formação do ângulo de repouso e calbração do método DEM: (a) antes da descarga; (b), durante a descarga; (c), após a descarga com aferção do ângulo de repouso 28,7º Fgura 5. Resultado da Calbração com as smulações. Fonte: Zhou et al (2002). Tabela 2.Varáves e parâmetros físcos utlzados na calbração e na análse das formas geométrcas com dâmetro equvalente a 10 mm para a obtenção do ângulo de repouso de 28,7 graus Varável \ Materal Esferas de vdro (partícula) Caxa de vdro (parede) Coefcente de Posson (v) 0,3 0,3 Módulo de csalhamento (G) 8,31e+07 8,31e+07 Densdade (ρ) 2500 kg/m kg/m 3 Interação Partícula-partícula Partícula-parede Coefcente de resttução 0,5 0,25 Coefcente de atrto estátco (μ s ) μ s,pp = 0,4 μ s,pw = 0,6 Coefcente de atrto de rolamento(μ r ) μ r,pp = 0,05 mm μ r,pw = 0,1 mm 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES Foram analsadas quatro formas de partículas ndvdualmente com propredades fxas (com exceção para a posção da partícula) em cada smulação com a fnaldade de testar seus efetos relaconados com o ângulo de repouso empregando o método DEM de nteração, Hertz-Mndln com atrto de rolamento. Cada forma da partícula fo smulada três vezes. O ângulo de repouso médo obtdo para cada uma das formas analsadas é apresentado na Tab.(3), juntamente com o número de partículas necessáras para manter o mesmo nível da camada de partículas na caxa superor.

6 Fgura 6. Volumes: (a), forma esférca; (b), forma 2; (c), forma 3; (d), forma 4 Para medr os efetos causados na varação das formas geométrcas (forma 1, forma 2, forma 3 e forma 4), a metodologa usada para cração das formas das partículas fo nscrever um número partículas em um dâmetro equvalente de 10 mm, uma alternatva para comparar as esfercdades de cada partícula usada. De manera geral, entendendo que o conceto de esfercdade relacona o quanto a forma de uma partícula se aproxma de uma esfera de dâmetro equvalente, sendo comumente representado pela letra ψ (ψ = 1 para esfera), as smulações sugerem que quanto maor é a esfercdade menor é a dferença entre um ângulo de repouso e outro da comparação de duas formas correspondentes de partículas. As Fgs. (7), (8) e (9) mostram em sequênca os estágos de repouso, escoamento e a zona de repouso das plhas de partículas com as formas geométrcas 2, 3 e 4, respectvamente. Fgura 7. Resultados smulados para a forma 2 Fgura 8. Resulatados smulados para a forma 3 Fgura 9.Resultados smulados para a forma 4

7 Tabela 3. Análse dos ângulos de repouso para as formas geométrcas nscrtas em um dâmetro de 10 mm Geometra DEM Número de Partículas Ângulo de Repouso Forma ,7º Forma ,1º Forma ,6º Forma ,2º Note a varação do ângulo de repouso em função da forma da partícula. O ângulo de repouso aumentou com o número de esferas nscrtas num dâmetro equvalente a 10 mm, sto é, varou com as formas das partículas. Complementando o trabalho de Zhou et al (2002), pode-se auferr que a forma da partícula nterfere nos efetos provocados pelos coefcentes de atrto de rolamento e de deslzamento. A Fg.(11) lustra os resultados médos de todas as smulações com os respectvos ângulos médos de repouso. Fgura 10. Resultados Numércos da Análse da forma da partícula As análses dos resultados numércos para as condções de smulações ndcam, portanto, que a forma da partícula é um parâmetro mportante assm como o tamanho da partícula esférca, os coefcentes de atrto de rolamento, os coefcentes de atrto de deslzamento (entre partículas e partícula-parede), pos claramente mostrou-se está relaconada com a formação do ângulo de repouso. Observa-se que se poderam alterar os parâmetros de calbração do modelo, de tal forma que os resultados poderam se aproxmar mas do expermental, porém fo verfcado em alguns ensaos que o melhor resultado fo sempre o da partícula esférca, consderando que o expermento fo realzado com partículas esfércas. 5. CONCLUSÃO O estudo dos efetos da forma da partícula na obtenção do ângulo de repouso fo o foco prncpal deste trabalho, descrevendo o comportamento das geometras das partículas na análse do ângulo de repouso em escoamento em caxa de fluxo. Com base no expermento realzado por Zhou et al (1999), utlzando esferas, o modelo DEM fo calbrado e os parâmetros de calbração foram então empregados para a smulação de partículas de formatos não esfércos, empregando-se a capacdade de geração do pacote computaconal EDEM. O resultado para a partícula esférca fo em acordo com o expermento de Zhou et al (2002). Para as partículas não esfércas, os resultados de smulação numérca mostraram um grande aumento do ângulo de repouso, ndcando a forte nfluênca do formato da partícula. Conclu-se que a forma da partícula nfluenca os resultados de smulação va Método dos Elementos Dscretos, sendo, portanto, a análse deste efeto uma etapa mportante da defnção dos parâmetros de modelagem. 6. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem a Vale e a FAPESPA pelo apoo fnancero (ICAAF nº 045/2011)

8 7. REFERÊNCIAS Ashmawy, A. K.; Sukumaran, B.; Hoang, V. V Evaluatng the Influence of Partcle Shape on Lquefacton Behavor Usng Dscrete Element Modelng. Proceedngs of The Thrteenth. Internatonal Offshore and Polar Engneerng Conference (2003) Cleary, P.W The effect of partcle shape on smple shear flows. Elsever. Powder Technology 179, pp Cundall, P. A., and O.D.L. Strack. 1979, A Dscrete Numercal Model for Granular Assembles, Géotechnque, 29, pp EDEM 2.3 User Gude Dem Soluton. Grma, B. A., et al The begnnng of a new era n desgn: Calbrated dscrete element modelng. Dscrete Element modellng. Australan Bulk handng Revew. Setember/October Khan, K. M; Bushell, G Comment on Rollng frcton n the dynamc smulaton of the sandple formaton.. Elsever. Physca A 352, pp Levy, A.; Oo, J. Y., 2011, Dscrete element smulaton: challenges n applcaton and model calbraton, Granular Matter, 13: pp Mndln, R. D., 1949, "Complance of elastc bodes n contact." Journal of Appled Mechancs, vol. 16 (1949): Mndln, R. D., and H. Deresewcz, 1953, "Elastc spheres n contact under varyng oblque forces." ASME, pp Noguera, L. R., et al Uma metodologa para a smulação de chutes de transferênca aplcação para o mnéro de ferro. Zhou, Y.C., et al. 2002, An expermental and numercal study of the angle of repose of coarse spheres. Elsever. Powder Technology 125. pp Zhou, Y.C., et al Rollng frcton n the dynamc smulaton of sandple formaton. Elsever. Physca A 269, pp DIREITOS AUTORAIS Os autores são os úncos responsáves pelo conteúdo do materal mpresso ncluído no trabalho. PARTICLE SHAPE ANALYSIS ON THE APPLICATION OF THE OF DISCRETE ELEMENTS METHOD - DEM Elas Gomes dos Santos, salemarab@hotmal.com 1 André Luz A. Mesquta, andream@ufpa.br 1 Luz Morera Gomes, luzmg@ufpa.br 2 Elas Fagury Neto, fagury@ufpa.br 3 Marco Paula Mafra, mpaulo@ufpa.br 3 1 Faculdade de Engenhara Mecânca, Unversdade Federal do Pará (UFPA), Rua Augusto Correa, 01-Guamá. CEP Caxa postal 479. PABX Belém Pará Brasl. 2 Faculdade de Cêncas Exatas e Naturas, Unversdade Federal do Pará (UFPA)-Campus Marabá, Folha 31Quadra 07, Lote especal. CEP Faculdade de Engenhara de Materas, Unversdade Federal do Pará (UFPA)-Campus de Marabá. Folha 17, Quadra e Lote especas. CEP Abstract: Ths paper presents an analyss of the varaton of the geometrcal shape of the partcle and the behavor of the angle of repose wth the mplementaton of the Dscrete element methode (DEM). The methode DEM s a modern tool that s beng explored n ths work through the commercal code EDEM 2.4. The analyss s based on a standard outlet boxes flow n order to measure the angle of repose. It was employed four predefned shapes. In each smulaton, the results are reported to the angles of repose correspondng to ts shape. Keywords: Dscrete Element Method, granular materals, partcle shape.