SIMULAÇÃO DO ÂNGULO DE REPOUSO ESTÁTICO DE RESÍDUO DE ACEROLA EMPREGANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS DISCRETOS RESUMO

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1 SIMULAÇÃO DO ÂNGULO DE REPOUSO ESTÁTICO DE RESÍDUO DE ACEROLA EMPREGANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS DISCRETOS K. G. SANTOS 1, M. C. C. FRANCISQUETTI 2, L. V. FERREIRA 2, R. C. SANTANA 2, M. A. S. BARROZO 2 1 Unversdade Federal do Trângulo Mnero, Departamento de Engenhara Químca 2 Unversdade Federal de Uberlânda, Faculdade de Engenhara Químca e-mal: kassagsantos@gmal.com RESUMO O ângulo de repouso estátco é uma característca própra do materal partculado e é uma função da densdade da partícula, área superfcal e forma, além do coefcente de atrto do materal. Neste trabalho, o ângulo de repouso estátco de sementes de acerola foram obtdos expermentalmente e por smulação smulados empregando o Método de Elementos Dscretos, através do software EDEM. As forças de contato entre as partículas foram representadas pelo Modelo Hertz-Mndln. A fm de verfcar como os parâmetros do modelo de força de contato nfluencavam o valor do ângulo de repouso, a técnca de planejamento composto central fo empregada para delnear as smulações. Os resultados mostraram que quas os parâmetros que mas nfluencam o comportamento granular da acerola. Também fo possível encontrar um conjunto de valores para os parâmetros que produzram um resultado smulado muto próxmo ao valor expermental. 1 INTRODUÇÃO O conhecmento da dnâmca das partículas em equpamentos como secador em tambor rotatvo, letos fxo e letos móves, pode favorecer o projeto e otmzação de dversos processos nesses equpamentos, desde que sejam calbrados os parâmetros de força de contato entre as partículas. A descrção matemátca do escoamento de sstemas multfáscos granulares é atualmente uma ferramenta com grande potencal para auxlar na compreensão do processo de transporte de sóldos. Essa modelagem é complexa e pode ser efetuada por dferentes abordagens (Lagrangeana e a Eulerana), que apresentam vantagens e lmtações (SANTOS et al., 2009). Nas smulações de sstemas multfáscos pela abordagem Euler-Lagrange, o movmento de cada partícula é descrto pela equação de Newton (balanço de forças). Sempre que surgr uma resultante de forças, ocorrerá uma varação da quantdade de movmento, ocasonando uma aceleração da partícula. Há duas vas de acoplamento entre a fase partculada e fluda. A va únca (one way) consdera apenas a nfluênca do fludo sobre a partícula, por meo da força de arraste. Já o acoplamento por duas vas (two way) é aquele em que além da nfluênca do fludo sobre a partícula, esta também nfluenca a dnâmca do fludo através da nclusão de termos fonte nas equações de Naver-Stokes, que descrevem o movmento do fludos Newtonanos. Quando o sstema a ser smulado é de empacotamento denso, o acoplamento entre a fase fluda e partculada é de duas vas e as forças de contato partícula-partícula

2 nterferem sgnfcatvamente na dnâmca das partículas e do fludo. O Método de Elementos Dscretos (DEM) tem se mostrado uma boa alternatva para a modelagem de sstemas partculados densos, pos contablza o efeto do tamanho e da forma real da partícula, além de permtr uma modelagem detalhada da colsão entre as partículas com outras partículas e com a parede do recpente (SILVÉRIO et al., 2014). No entanto, a abordagem DEM necessta de uma calbração préva dos parâmetros do modelo de força de contato entre partículas, a fm de que o choque destas na smulação seja smlar ao que ocorre expermentalmente. Para tal, empregam-se testes expermentas smples, como por exemplo os ângulos de repouso estátco e dnâmco das partículas. Sendo assm, o objetvo deste trabalho consste na calbração dos parâmetros do modelo de força de contato de partículas do resíduo de acerola, empregando testes de ângulo de repouso estátco. Esta calbração fo realzada por meo de smulações DEM e é necessára para as futuras etapas de smulação desse materal em outros equpamentos, como o leto de jorro. A fm de verfcar como os parâmetros do modelo de força de contato nfluencavam o valor do ângulo de repouso, a técnca de planejamento composto central fo empregada para delnear as smulações. Como as partículas do resíduo de acerola são úmdas, as forças de contato entre as partículas foram representadas pelo Modelo Hertz-Mndln com Modelo Coesvo JKR. 2 O MÉTODO DE ELEMENTOS DISCRETOS O Método de Elementos Dscretos (DEM) envolve a descrção do movmento de cada partícula no escoamento e a modelagem da colsão entre as partículas e os contornos rígdos, sendo o método mas adequado para ldar com problemas de natureza descontínua, e ao mesmo tempo com grandes níves de deformação, como é o caso do escoamento granular. A metodologa DEM e suas varantes estão bem estabelecdas e são descrtas em detalhes por Cleary (2008). O algortmo do DEM é bastante smples e pode ser descrto conforme mostra ao esquema da Fgura 1. Fgura 1 - Etapas báscas do cclo de cálculo do Método de Elementos Dscreto O modelo de contato, usado para contablzar as forças de nteração entre duas esferas rígdas que pertencem a duas dferentes partículas, é baseado no modelo de Hertz-Mndln, que caracterza as nterações por meo de três coefcentes: coefcente de resttução, coefcente de atrto estátco e coefcente de atrto de rolamento. No modelo de colsão de Hertz-Mndln, a componente normal da força é baseada na teora de contato de Hertz (1882), enquanto a força tangencal é baseada no trabalho de Mndln (1949). Tanto no cálculo da força normal, quanto da tangencal, há um termo de amortecmento do sstema, relaconado ao coefcente de resttução (TSUJI et al., 1992), que relacona a velocdade de separação e a velocdade de aproxmação de uma ou mas partículas em uma colsão.

3 A força normal ( ) é uma função da sobreposção na dreção normal ( n ) dada por: Fn E R n (1) 3 no qual o módulo Equvalente de Young ( e o rao equvalente ( ) são defndos como: j E E E j R F n E ) (2) R R R (3) j onde E,, R e,, são o modulo de Young, razão de Posson e o rao de cada partícula em contato. Adconalmente, há a força normal de amortecmento ( ) dada por: E j j 5 ln e F 2 (2 E R ) m 6 ln e R j d F n d rel n n n 2 2 onde 1 m m m (4) é a massa equvalente, é velocdade relatva na dreção normal e e é o coefcente de resttução. A força tangencal depende da sobreposção na dreção tangencal ( ) e constante de rgdez ( ): t t t t n S t F S 8G R (5) no qual é o módulo csalhante. A força de amortecmento tangencal, conhecda também como força de repulsão, é dada por: F G 5 ln e 2 6 ln e S m d rel t t t 2 2 F t t (6) rel sendo t, a velocdade relatva tangencal. A força tangencal é lmtada pelo atrto estátco defndo por Coulomb ( sfn), onde é o coefcente de atrto estátco. s O coefcente de atrto de rolamento modela o efeto da rugosdade da superfíce de partículas não esfércas. De fato, como a partícula rregular é representada por um conjunto de esferas (método multesfera), elas não podem rolar umas sobre as outras sem a defnção deste coefcente. Para tal, o coefcente de atrto de rolamento ntroduz um torque artfcal que no modelo de contato que se opõe ao movmento de rolamento, como segue: rfr n (7) no qual é o coefcente de atrto de rolamento, é a dstânca entre o ponto de contato e o centro de massa da partícula e é a vetor untáro da velocdade angular no ponto de contato. Para contablzar o efeto de coesão entre as partículas, que é sgnfcatvo no caso de pós e materas úmdos, emprega-se o Modelo Johnson-Kendall-Roberts (JKR), que realza aos mesmos cálculos que o modelo Hertz-Mndln (sem deslzamento na parede) para representar a força elástca tangencal, a força de dsspação normal e tangencal. Para contablzar a coesão, a força de elástca na dreção normal ( ) é baseada na teora reportada por Johnson, Kendall e Roberts (1971). Essa força depende da sobreposção ( ) e da energa de superfíce ( ) da segunte forma: r R F JKR 3 2 4E 3 FJKR 4 E a a (8) 3R 2 a 4 a E (9) R O valor máxmo da força coesva ocorre quando as partículas não estão em contato e é dado por: F 3 2 pullout R (10)

4 No modelo coesvo JKR, a força de frcção depende da parte repulsva postva da força normal. Como resultado, o modelo a força de atrto no modelo JKR fornece maores força de atrto quando a componente de coesão está presente. 3 METODOLOGIA 3.1 Procedmento Expermental O ângulo de repouso estátco é defndo como o ângulo nterno entre a superfíce de uma plha de partículas e a superfíce horzontal e está dretamente relaconado à densdade, área superfcal e formato da partícula, bem como ao coefcente de atrto do materal. As partículas do resíduo de acerola eram compostas bascamente pelas sementes úmdas (cerca de 65% de umdade). Os teste de pcnometra com éter de petróleo resultaram em uma densdade aparente das partículas de 738 kg/m 3. O dâmetro médo de Sauter, obtdo por peneramento, fo de 7,38 ±0,13 mm. A esfercdade das partículas do resíduo fo obtda por meo de um analsador óptco de tamanho de partículas, o HAVER CPA3-2, resultando em no valor de 0,68 ± 0,02. Neste trabalho, o ângulo de repouso estátco fo meddo usando o método do funl fxo, a partr do rao e da altura do cone formado pelas partículas. O valor expermental do ângulo de repouso estátco da acerola fo obtdo pela méda de ses meddas obtdas por meo de análse de magens. 3.2 Procedmento de Smulação O ângulo de repouso estátco fo reproduzdo por meo de smulações computaconas empregando DEM, dsponível no software EDEM 2.3. O passo de tempo em todas as smulações fo fxado 20% acma do passo de tempo crítco calculado pelo tempo de Raylegh. O comportamento de materas granulares é fortemente dependente do tamanho e da forma da partícula, requerendo uma representação realístca da partícula. Nas smulações realzadas, o formato da semente de acerola fo aproxmado pelo método multesfera (Faver et al., 1999). A partícula fo representada por um conjunto de 17 esferas, resultando em uma partícula de volume médo de m 3. A Fgura 2 mostra as resíduo de acerola cradas pelo método multesfera. A smulação do ângulo de repouso estátco consstu no empacotamento de 691 partículas em um clndro de 0,1 m de dâmetro. Em seguda, a parede do clndro fo removda, permtndo a formação da plha de partículas. Fgura 2 - Forma das partículas do resíduo de acerola, obtdas pelo método multesfera. A fm de orentar as smulações e obter um modelo matemátco capaz de ndcar o modo como a varação dos parâmetros de smulação nfluencam no ângulo de repouso estátco, fo proposto um planejamento composto central (PCC) para os quatro parâmetros nvestgados: módulo de csalhamento (G), coefcente de atrto estátco (µs), coefcente de atrto de rolamento (r) e energa de superfíce (). A relação entre os níves do PCC e os valores de cada parâmetro encontram-se na Tabela 1. Valores extremos do PCC foram baseados em trabalhos da lteratura e na faxa possível para varação desses parâmetros. Então, nem todas as combnações entre os parâmetros necessaramente conduzem a resultados fscamente consstentes, mas

5 permtem verfcar o efeto ndvdual dos parâmetros e suas nterações sobre a resposta. Tabela 1 Relação entre os níves do PCC e os valores reas de cada varável. Nível G [Pa] µs r [J/m 2 ] -1,607 1, ,018 0,004 0,002-1,000 3, ,200 0,050 0,024 0,000 6, ,500 0,125 0,060 +1,000 9, ,800 0,200 0,096 +1,607 1, ,982 0,246 0,118 4 RESULTADOS Neste trabalho, foram avalados os efetos dos parâmetros do Modelo Hertz- Mndln com Modelo Coesvo JKR sobre o comportamento do ângulo de repouso estátco smulado do resíduo de acerola, por meo da técnca de superfíce de resposta. A Tabela 2 apresenta o PCC que guou as smulações, na qual também encontram-se os resultados de ângulo de repouso estátco obtdos nas smulações DEM ( ) e o desvo DEM entre o valor expermental e o smulado. O valor expermental do ARE do resíduo de acerola fo de 39,2 ± 1,4. Tabela 2 PCC empregado nas smulações e resultados smulados do ângulo de repouso estátco do resíduo de acerola (com a Razão de Poson constante gual a 0,25; coefcente de resttução de 0,8). X1 Smulação ( [Pa]) (µs) (r) ( [J/m 2 ]) DEM % S ,000-1,000-1,000 31,19 ±0,58 20,36 S 2-1,000-1,000-1,000 1,000 28,39 ±1,89 27,52 S 3-1,000-1,000 1,000-1,000 32,98 ±0,91 15,80 S 4-1,000-1,000 1,000 1,000 43,41 ±2,67-10,83 S 5-1,000 1,000-1,000-1,000 31,39 ±3,65 19,86 S 6-1,000 1,000-1,000 1,000 30,76 ±0,99 21,45 S 7-1,000 1,000 1,000-1,000 42,36 ±0,87 8,15 S 8-1,000 1,000 1,000 1,000 39,89 ±1,46 1,84 S 9 1,000-1,000-1,000-1,000 29,99 ±1,37 23,44 S 10 1,000-1,000-1,000 1,000 31,87 ±1,71 18,63 S 11 1,000-1,000 1,000-1,000 34,88 ±0,24 10,95 S 12 1,000-1,000 1,000 1,000 44,92 ±1,92 14,69 S 13 1,000 1,000-1,000-1,000 34,69 ±0,51 11,44 S 14 1,000 1,000-1,000 1,000 29,89 ±0,35 23,68 S 15 1,000 1,000 1,000-1,000 49,26 ±17,67 25,78 S 16 1,000 1,000 1,000 1,000 39,75 ±6,87 1,49 S 17-1,607 0,000 0,000 0,000 33,75 ±1,45 13,84 S 18 1,607 0,000 0,000 0,000 35,59 ±1,15 9,13 S 19 0,000-1,607 0,000 0,000 0,00 ±0,00 - S 20 0,000 1,607 0,000 0,000 39,09 ±3,79 0,20 S 21 0,000 0,000-1,607 0,000 24,50 ±0,15 37,45 S 22 0,000 0,000 1,607 0,000 50,93 ±5,15 30,04 S 23 0,000 0,000 0,000-1,607 37,15 ±0,20 5,14 S 24 0,000 0,000 0,000 1,607 34,24 ±0,26 12,57 S 25 0,000 0,000 0,000 0,000 31,87 ±0,11 18,62 S 26 0,000 0,000 0,000 0,000 36,71 ±0,20 6,27 S 27 0,000 0,000 0,000 0,000 36,97 ±1,27 5,61 S 28 0,000 0,000 0,000 0,000 36,56 ±0,69 6,65 G X2 X3 X4

6 A Fgura 3 mostra os ângulos de repouso obtdos nas smulações DEM. A partr dos dados da Tabela 2 e Fgura 3, podese observar que o ângulo de repouso estátco smulado vara sgnfcatvamente de uma smulação pra outra, compreendendo valores entre 0 º e 50º. Fgura 3 Ângulos de repouso estátco (ARE) smulados com os parâmetros do PCC (Tabela 2).

7 A Smulação S19 fo a únca em que não se formou uma plha com o materal, mostrando que valores de coefcente de atrto estátco próxmos de zero não permtram a formação da plha de partículas. O maor valor do ARE encontrado fo referente às smulações S15 e S22, sendo esta na condção do maor nível do coefcente de atrto de rolamento. Uma análse de regressão múltpla fo realzada para quantfcar o efeto dos parâmetros do modelo de forças de contato de Hertz-Mndln sobre o ângulo de repouso estátco smulado. A fm de obter a equação que descreve a resposta em função das varáves ndependentes, um teste de hpóteses usando a estatístca t de Student para dentfcar os parâmetros sgnfcatvos. Os coefcentes da equação estmados pelo método de mínmos quadrados com nível de sgnfcânca maor que 10%, (p>0,1) foram neglgencados. A equação de ajuste para o ARE smulado, é dada por (R 2 =0,817): também concluíram eu o ARE aumenta com o aumento do coefcente de atrto de rolamento. A Fgura 4 mostra a comparação do ARE smulado e expermental, no qual podese observar uma grande smlardade no ângulo formado. Fgura 4 Comparação entre os ângulos de repouso estátco: (a) expermental, (b) smulado (S8). (a) DEM 36,37 1, 78X 5, 75X 2, 63X X (11) Pode-se observar que o ARE do resíduo aumenta com o aumento dos coefcentes de atrto estátco e de rolamento, sendo este últmo a varável que mas nfluenca a resposta. Já o aumento do termo de nteração entre o coefcente de atrto estátco e a energa de superfíce dmnuem o valor do ângulo smulado. O coefcente de atrto de rolamento é também conhecdo como a resstênca ao rolamento. Por sso um aumento da resstênca ao rolamento produz uma plha com maor angulação (SOUZA et al., 1995). Zhou et al. (2002) e Santos et al. (2012) smularam o ângulo de repouso estátco de esferas de vdro de dversos dâmetros e (b) Quando comparados os valores smulados e a medda expermental do ARE, as smulações S8 (39,89º) e S20 (39,09 ) foram as que mas se aproxmaram do valor expermental de 39,2, apresentando erro de 1,84% e 0,2% respectvamente. Segundo Zouza et al (1995), o coefcente de atrto estátco pode ser calculado como a tangente do ARE. Assm, o valor expermental do coefcente de atrto estátco sera 0,81, muto próxmo do valor

8 encontrado pela smulação 8, consderada uma das duas melhores condções smuladas. Assm, optou-se por escolher os parâmetros dessa smulação como os que melhor representam o contato entre as partículas do resíduo de acerola. 5 CONCLUSÕES Neste trabalho, propôs-se encontrar os parâmetros do Modelo Hertz-Mndln que melhor representam o comportamento fludodnâmco do resíduo de acerola. Para tal, empregou-se na calbração a medda do ângulo de repouso estátco. Um PCC fo proposto para nvestgar os resultados de uma larga faxa dos parâmetros. A análse de regressão múltpla dos ângulos obtdos nas smulações revelaram que neste sstema, o coefcente de atrto de rolamento é o parâmetro que mas nfluenca o ARE. O Aumento dos coefcentes de atrto estátco e de rolamento aumentam o ângulo de repouso smulado. Uma das condções smuladas (S8) fo seleconada por representar adequadamente o ARE e por ter uma coefcente de atrto estátco próxmo do valor expermental. Este tpo de calbração de parâmetros é uma etapa necessára, sendo que os valores desses parâmetros podem ser empregados em smulações de dversos sstemas granulares contendo o resíduo, como é o caso de secadores de letos móves. NOMENCLATURA ARE Ângulo de repouso estátco [ ] e E E j F, F n t E Coefcente de Resttução Módulo de Young das partículas e j e Módulo de Young equvalente [Pa] Forças normal e tangencal [N] d F n dampng force [N] Fpull out pull-out force [N] F JKR Força de contato elástca normal [N] G H 0 R, R, R V d j rel, n rel t Módulo csalhante equvalente [Pa] Altura de leto estátco [m] Rao das partículas e j e rao equvalente [m] Fração volumétrca do resíduo de acerola Componentes normal e tangencal da velocdade relatve [ms -1 ] Símbolos Porosdade ncal do leto, n t, Sobreposção normal e tangencal Sobreposção máxma entre partículas c com força não nula Esfercdade s r, j Coefcente de atrto estátco Coefcente de atrto de rolamento Razão de Posson Torque na superfíce de contato [Nm -1 ] Energa de superfíce ou nterface [Jm -2 ] REFERÊNCIAS CLEARY, P. W. Predctng charge moton, power draw, segregaton and wear n ball mlls usng dscrete element methods. Mn. Eng., v. 11, p. 1061, FAVIER, J.F., ABBASPOUR-FARD, M.H., KREMMER, M., RAJI, A. Shape representaton of ax-symmetrcal, nonsphercal partcles n dscrete element smulaton usng mult-element model partcles. Eng. Computatons, v. 6, p , HERTZ, H. On the contact of elastc solds. J. rene und angewandte Mathematk, v. 92, p , 1882.

9 JOHNSON, K. L.; KENDALL, K.; ROBERTS, D. Surface Energy and the Contact of Elastc Solds. Proceedngs of the Royal Socety of London. Seres A, Mathematcal and Physcal Scences, v. 324, p , AGRADECIMENTOS Os autores agradecem à Capes pela Bolsa de pós-doutorado PNPD Insttuconal e ao CNPq pela Bolsa PIBIC de Incação Centífca. MINDLIN, R.D. Complance of elastc bodes n contact. J. Appl. Mech., v.16, p , SANTOS, E.G.; MESQUITA, A.L.A.; GOMES, L.M.; NETO, E. F.; MAFRA, M.P. Análse da forma geométrca da partícula na aplcação do Método de Elementos Dscretos- DEM. VII Congresso Naconal de Engenhara Mecânca - CONEM, São Lus do Maranhão, SANTOS, K. G.; MURATA, V. V.; BARROZO, M. A. S. Three-dmensonal computatonal flud dynamcs modelng of spouted bed. Can. J. Chem. Eng., v.87, p , SILVÉRIO, B. C.; SANTOS, K. G.; DUARTE, C.R., BARROZO, M. A. S.. Effect of the Frcton, Elastc, and Resttuton Coeffcents on the Flud Dynamcs Behavor of a Rotary Dryer Operatng wth Fertlzer. Industral & Engneerng Chemstry Research, v.53, p , SOUZA, J. S. I.; PEIXOTO, A.M.; TOLEDO, F.F. Encclopéda agrícola braslera: A-B, Vol. 1, EdUSP, TSUJI, Y., TANAKA, T.; ISHIDA, T. Lagrangan numercal smulaton of plug flow of cohesonless partcles n a horzontal ppe. Powder Technol., v. 71, p , ZHOU, Y.C., XU, B.H. YU, A.B.; ZULLI, P., An expermental and numercal study of the angle of repose of coarse spheres. Elsever. Powder Technology, v. 125, p , 2002.