Prova 3 Matemática. N ọ DE INSCRIÇÃO:

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1 Prova QUESTÕES OBJETIIVAS N ọ DE ORDEM: NOME DO CANDIDATO: N ọ DE INSCRIÇÃO: IINSTRUÇÕES PARA A REALIIZAÇÃO DA PROVA Cofira os campos N ọ DE ORDEM, N ọ DE INSCRIÇÃO e NOME, coforme o que costa a etiqueta fiada em sua carteira Cofira se o úmero do gabarito deste cadero correspode ao costate a etiqueta fiada em sua carteira Se houver divergêcia, avise, imediatamete, o fiscal É proibido folhear o cadero de provas ates do sial, às 9 horas 4 Após o sial, cofira se este cadero cotém 0 questões objetivas e/ou qualquer tipo de defeito Qualquer problema, avise, imediatamete, o fiscal 5 O tempo míimo de permaêcia a sala é de h após o iício da resolução da prova 6 No tempo destiado a esta prova, está icluído o de preechimeto da Folha de Respostas 7 Trascreva as respostas deste cadero para a Folha de Respostas A resposta correta será a soma dos úmeros associados às proposições verdadeiras Para cada questão, preecha sempre dois alvéolos: um a colua das dezeas e um a colua das uidades, coforme eemplo ao lado: questão, resposta 09 (soma das proposições 0 e 08) 8 Se desejar, trascreva as respostas deste cadero o Rascuho para Aotação das Respostas costate esta prova e destaque-o, para retirá-lo hoje, esta sala, o horário das h5mi às h0mi, mediate apresetação do documeto de idetificação do cadidato Após esse período, ão haverá devolução 9 Ao térmio da prova, levate o braço e aguarde atedimeto Etregue ao fiscal este cadero, a Folha de Respostas e o Rascuho para Aotação das Respostas Corte a liha potilhada RASCUNHO PARA ANOTAÇÃO DAS RESPOSTAS PROVA N ọ DE ORDEM: NOME: UEM Comissão Cetral do Vestibular Uificado

2 MATEMÁTICA Rascuho Questão 0 Cosiderado, em um sistema ortogoal de coordeadas Oy, os gráficos das fuções reais f e g, defiidas o itervalo real [ 6, 6], assiale o que for correto 0) Os potos (, y ) do gráfico de f para os quais 6 4satisfazem a equação y ) A fução soma f + g é ijetora em [ 6, 6] 04) Se c [, 6], etão, gc ( 4) 0 08) Se [, 6], etão, a fução produto de f e g é tal que ( f g)( ) 0 6) O úmero real zero ão pertece ao cojuto imagem da fução composta f g Vestibular de Verão/009 Prova

3 Questão 0 Rascuho Assiale o que for correto 0) Se o terceiro coeficiete e o sétimo coeficiete do desevolvimeto de ( + a), cotados a ordem decrescete dos epoetes de, são iguais e equidistates dos etremos, etão, a razão etre o quito e o quarto coeficietes biomiais é igual a 5 4 0) O quadrado de um úmero ímpar é um úmero ímpar 04) 0,8 04 > ) Se 5 e y 5 56, etão, o míimo 5 múltiplo comum de e y é o úmero 5 6) Se π [ 6, π 6], etão, se( +π ) 0 Questão 0 Assiale a(s) alterativa(s) correta(s) 0) O úico úmero real para o qual 0 log 4 8 é um úmero log primo 0) Os valores reais de para os quais a matriz + A 5 7 satisfaz At A, em que At deota a 8 trasposta da matriz A, têm produto igual a 5 a b 04) Eiste uma úica matriz do tipo, em que a, c a b e c são úmeros reais, cuja iversa seja a própria matriz 08) A matriz quadrada A ( a ij) j i, de ordem, defiida por a ij, para todo i, e para todo j,, é solução da equação matricial ka 0 A para alguma costate real k se cos 6) O determiate da matriz sec tg se é -se sec igual a cos, para todo real e π + kπ ( k úmero iteiro) Vestibular de Verão/009 Prova

4 Questão 04 Rascuho Um quadrado de papelão tem 50 cm de lado De cada um de seus catos, é retirado um quadrado cujo lado mede cm Após a retirada destes quatro quadrados, o papelão restate é dobrado para formar uma caia sem tampa, a forma de um paralelepípedo retâgulo Cosidere V( ) o poliômio que represeta o volume da caia Sobre o problema, assiale a(s) alterativa(s) correta(s) 0) V( ) é um poliômio de quarto grau 0) Para que V( ) faça setido fisicamete, ou seja, represete uma medida de volume, o domíio de V é { /0< < 5} 04) V( ) é divisível por 5 08) V( ) possui três raízes distitas 6) Se a caia tem área de 00 cm, etão, 0 cm Questão 05 Cosiderado a esfera E de raio 0 cm, π, e,7, assiale a(s) alterativa(s) correta(s) 0) Um cilidro circular reto cujo diâmetro da base e cuja altura têm a mesma medida, iscrito a esfera E, tem um volume de 500 π cm 0) A medida do raio da base de um coe circular reto com altura de 0 cm, circuscrito à esfera E, é igual a 0 cm 04) A circuferêcia C que delimita o círculo de iterseção da esfera E com um plao α, cuja distâcia ao cetro da esfera E mede 4 cm, tem raio medido 8 cm 08) Se o cetro da esfera E pertece a um plao, etão, a iterseção deste com a esfera E é um círculo de área meor do que 00 cm 6) A área da superfície da esfera E é maior do que a área da superfície total de um tetraedro regular, cuja aresta mede 0 cm Vestibular de Verão/009 Prova 4

5 Questão 06 Rascuho Uma empresa possui 5 fucioários, divididos igualmete em quatro categorias: diamate, ouro, prata e broze Cada fucioário possui um cartão de idetificação Em cada categoria, os cartões são umerados de a, e os cartões diamate e ouro são vermelhos, equato os cartões prata e broze são bracos Em uma festa da empresa, com todos os fucioários presetes, os cartões foram reuidos em uma ura para o sorteio de diversos brides Baseado-se essas iformações, assiale a(s) alterativa(s) correta(s) 0) Se retirar-se um cartão ao acaso, a probabilidade de ele ser de úmero é de 0) Se retirar-se um cartão ao acaso, a probabilidade de ele ser de úmero, ou é de 04) Se retirar-se um cartão ao acaso, a probabilidade de ser um cartão diamate ou um cartão de úmero é de 4 08) Se retirar-se cartões cosecutivamete, a probabilidade de que o primeiro seja braco, o segudo seja um cartão diamate e o terceiro seja um de úmero é de, cosiderado que cada 04 cartão sorteado seja reposto à ura, ates da retirada do seguite 6) Se retirar-se um cartão ao acaso, e verificar-se que ele é vermelho, a probabilidade de que ele seja um cartão diamate de úmero é de Vestibular de Verão/009 Prova 5

6 Questão 07 Rascuho Cosidere uma sequêcia ifiita de círculos C, C, C,, tagetes us aos outros e com os cetros colieares Cada círculo C cotém em seu iterior um quadrado iscrito Q Se o primeiro círculo tem de raio cm e o raio de C é metade do raio de C, para, assiale a(s) alterativa(s) correta(s) 0) A sequêcia { d }, em que d é a medida do diâmetro do círculo progressão aritmética 0) A soma das medidas dos diâmetros 04) A medida da área de C, para,,, é uma C é π cm d é 4 cm 08) A sequêcia { p }, em que p é a medida do comprimeto de cada círculo uma progressão geométrica de razão 6) A sequêcia { a }, em que quadrado Q, para,, geométrica de razão 4 C, para,,, é a é a medida da área do, é uma progressão Questão 08 Cosiderado z e z dois úmeros compleos distitos etre si, cujas represetações geométricas em um sistema ortogoal de coordeadas são simétricas em relação ao eio das abscissas, marque a(s) alterativa(s) correta(s) 0) Se z + i, etão, z + i 0) z z 04) z + z 0 08) Se z é a raiz de um poliômio com coeficietes reais, etão, z também é raiz deste poliômio 6) Se O é a origem do sistema ortogoal de coordeadas, etão, os potos que represetam O, z e z, o sistema ortogoal, são potos colieares Vestibular de Verão/009 Prova 6

7 Questão 09 Rascuho Cosiderado f e g fuções reais, defiidas por f( ) + e g ( ), para todo real, assiale a(s) alterativa(s) correta(s) 0) [ f( )] [ g( )], para todo real 0) f ( ) f( ), para todo real 04) Para todo real, tem-se que g ( ) 0 08) Para todo real, tem-se que [ f ( )] + [ g( )] g( ) 6) g( ) g( ), para todo úmero real Questão 0 Sedo a, a, a,, a m valores reais e idicado sua média aritmética por MA e sua mediaa por ME, assiale o que for correto 0) A média aritmética dos valores b i a + i k em que k é uma costate real ão-ula e i,,,, m é igual a MA 0) A mediaa dos valores b i a i + k em que k é uma costate real ão-ula e i,,,, m é igual a ME + k 04) A mediaa dos valores c i ra i em que r é uma costate real e i,,,, m é igual a ME 08) A média aritmética dos valores c i ra i em que r é uma costate real e i,,,, m é igual a r MA 6) Se acrescetarmos mais um valor real a m + à sequêcia de valores dados, etão, a mediaa da sequêcia de valores a, a, a,, a m, a m+ será diferete de ME Vestibular de Verão/009 Prova 7

8 Questão Rascuho Para assialar a(s) alterativa(s) correta(s), cosidere o sistema S de equações lieares as icógitas reais, y e z, dado por + y S: + z 0, em que a é uma costate real y + az 0) (, y, z ) (,, ) é uma solução do sistema S 0 0) A matriz dos coeficietes A 0, associada 0 a ao sistema S, tem determiate igual a a 04) Para cada costate real a, o sistema S tem ifiitas soluções 08) Se a, o sistema S é equivalete ao sistema + y y + z y + z 6) Para algum valor real de a, ( yz,, ) (, a, ) é solução do sistema S + a + a + a Questão Assiale a(s) alterativa(s) correta(s) 0) O domíio da fução real f defiida por é { / ou 4} f( ) 4 0) Os úmeros reais a e b em que a fução p ( ) + a+ b satisfaz p( ) 0 e p () 4 têm soma igual a 5 04) O cojuto-solução, o cojuto dos úmeros reais da iequação 4, coicide com o cojutosolução da iequação ) Para a fução real g defiida por g ( ) + 8, tem-se que < ( g g) (0) < 4 6) A fução h defiida por h ( ) 5+ 0 satisfaz à codição h( ) 0 e o seu gráfico, em um sistema ortogoal de coordeadas Oy, itercepta o eio das abcissas em três potos distitos Vestibular de Verão/009 Prova 8

9 Questão Rascuho Cosidere um sistema ortogoal de coordeadas Oy em que a uidade em cada eio coordeado é padroizada em cm Cosiderado, esse sistema, as retas r: y e s: y 0,5 e, idicado por A o poto de iterseção das retas r e s, por B o poto do eio das ordeadas que pertece à reta r e por C o poto da reta s de abcissa 400, assiale a(s) alterativa(s) correta(s) 0) Os âgulos iteros do triâgulo ABC são agudos 0) A distâcia de A a C mede da medida da distâcia 4 de A a B 04) A área do triâgulo ABC é cm 08) A distâcia do poto A ao poto médio M do segmeto BC mede 00 cm 6) A circuferêcia de equação ( ) ( y ) circuscreve o triâgulo ABC Questão 4 Uma fábrica produz tecidos do tipo A e do tipo B O tecido A é produzido as cores braca (Ab), vermelha (Av) e preta (Ap), equato que o tecido B é produzido as cores ciza (Bc) e marrom (Bm) Os preços de cada tipo de tecido e cor são idicados com a letra P precededo as letras que idicam o tipo e a cor do tecido Cosiderado que PAv e PAp são, respectivamete, 0 % e 50 % mais caros do que PAb, e que PBm é 0 % mais caro do que PBc, assiale o que for correto 0) PBc 0,8 PBm 0) PAv é 0 % mais barato do que PAp 04) No atedimeto a um pedido de compra de tecidos do tipo B, o vededor troca as cores e etrega 50 m da cor ciza e 40 m da cor marrom, torado o pedido 0 % mais barato do que o pedido origial 08) Pedido-se 50 m de Ap e 48 m de Bc, paga-se o mesmo valor do pedido de 75 m de Ab e 40 m de Bm 6) PAb > PAb PBc PBm Vestibular de Verão/009 Prova 9

10 Questão 5 Rascuho Dada a fução trigoométrica f ( ) acos( b+ c), para a qual se sabe que o valor máimo de f ( ) é 6, f (0) 6, o período de f é igual a π, e que a, b e c são costates positivas com c meor que π, assiale a(s) alterativa(s) correta(s) 0) O valor de a é 6 0) O valor de b é 04) O valor de c é π 08) O valor míimo de f ( ) é -6 6) f( ) f( +π) para todo real Questão 6 Dois ciclistas correm em uma pista circular de 000 m de comprimeto; ambos com velocidades costates Partido da mesma posição, quado correm em setidos opostos, eles se ecotram a cada 00 segudos e, quado correm o mesmo setido, um deles alcaça o outro a cada 000 segudos Cosiderado o eposto e π,, assiale a(s) alterativa(s) correta(s) 0) A velocidade do ciclista mais leto é 5,5 m/s 0) Se os dois ciclistas estão corredo o mesmo setido, a partir de um poto de ecotro de ambos, quado o mais rápido tiver dado uma volta completa, o mais leto terá percorrido 900 m 04) Se os dois ciclistas estão corredo o mesmo setido, a partir de um poto de ecotro de ambos, quado o ciclista mais rápido termiar uma volta, o ciclista mais leto terá percorrido um arco de circuferêcia de 8 π rad 08) Se os dois ciclistas estão corredo o mesmo setido, a partir de um poto de ecotro de ambos, quado o ciclista mais rápido termiar uma volta, o setor circular correspodete ao arco percorrido pelo ciclista mais leto tem área de m π 6) Se os dois ciclistas estão jutos, e o mais leto resolve correr diametralmete a pista, equato que o mais rápido cotiua seguido a pista, quado o mais leto chegar ao etremo oposto do diâmetro, o mais rápido já terá passado por este poto Vestibular de Verão/009 Prova 0

11 Questão 7 Rascuho Em uma prova de um cocurso, cada questão possui seis alterativas, que devem ser marcadas Verdadeira (V) ou Falsa (F) Baseado-se essa iformação, assiale a(s) alterativa(s) correta(s) 0) Eistem formas distitas de preecher a resposta de cada questão, usado-se as letras (V) ou (F) 0) Se ehuma questão possui todas as alterativas verdadeiras ou todas as alterativas falsas, eistem 6 formas distitas de preecher as respostas de cada questão 04) Se a prova tem 40 questões, e um cadidato marca a mesma sequêcia de verdadeiros e de falsos em todas as questões, ele com certeza acertará pelo meos uma questão 08) A probabilidade de se acertar uma questão ao acaso é de 64 6) Eistem mais formas de marcar cada questão com uma quatidade maior de verdadeiro (V) do que falso (F) Questão 8 Cosidere o sistema de equações as variáveis e y reais log + y log 5 log 5 log y log ( )log (5 ) 5 Assiale a(s) alterativa(s) correta(s) 0) O par ( y, ) (,) é solução do sistema 0) O sistema possui solução úica 04) Se o par (, y ) é solução do sistema, etão y 4 08) O par ( y, ) (,0) é solução de uma das equações 6) A seguda equação do sistema é equivalete à equação log y Vestibular de Verão/009 Prova

12 Questão 9 Rascuho Um zoológico possui um aquário para eposição de peies o formato de um troco de paralelepípedo, com parte superior retagular aberta e fudo icliado O retâgulo superior tem 5 m de largura e m de comprimeto Duas das paredes têm a mesma forma trapezoidal, com lados paralelos medido m e 6 m A parede frotal trapezoidal do aquário é de vidro, permitido que o público o visualize As demais paredes e, também, o fudo do aquário são revestidos com azulejos quadrados de 0 cm de lado Sabedo-se que, em um certo dia, o aquário cotiha 9m de água, e que se adicioa diariamete um complemeto alimetar à razão de 0 g para cada 0000 litros de água, assiale o que for correto 0) A área lateral do aquário (a área das paredes) é de 9 m 0) Para o revestimeto do aquário, foram utilizados pelo meos 550 azulejos 04) Nesse dia, o ível de água do aquário, em seu poto mais raso, era de 70 cm 08) Nesse dia, foram adicioados meos de 500 g do complemeto alimetar à água do aquário 6) Para o aquário ficar completamete cheio, será ecessária a adição de 6800 litros de água, a mais do que tiha esse dia Questão 0 Cosidere a equação 0 8m, em que é um úmero iteiro positivo, e m é um úmero ímpar positivo Assiale a(s) alterativa(s) correta(s) 0) m 05 0) + m 78 04) m é múltiplo de 5 08) m é múltiplo de 7 6) Se o euciado da questão, a codição m ímpar fosse substituída por m par, a equação teria uma úica solução Vestibular de Verão/009 Prova

13 Trigoometria Aálise Combiatória se( ± y) se()cos(y) ± se(y)cos() cos( ± y) cos()cos(y) se()se(y) tg() ± tg(y) tg( ± y) tg()tg(y) P! A, r! ( r)! MATEMÁTICA Formulário B c ˆB A Â C a, r b Ĉ! ( r)!r! C (a + b) C, a i b i i i 0 Lei dos seos: a b se(â) se(bˆ ) Lei dos cosseos: c se(ĉ) a b + c bc cos(â) Geometria Plaa e Espacial Comprimeto da circuferêcia: C π R d D Área do losago: A (b + B)h Área do trapézio: A Área do círculo: A πr Área lateral do cilidro: A πrh Área do setor circular: Área lateral do coe: A A R α π RG Área da superfície esférica: A 4πR Volume do paralelepípedo: VBh Volume do cubo: V a Volume do prisma: V B h B h Volume da pirâmide: V Volume do cilidro: V πr h Volume do coe: R V π h Volume da esfera: V 4 πr Área total do tetraedro regular: A a Progressões Geometria Aalítica Coversão de uidades Progressão Aritmética (P A): a a + ( )r (a a ) S + Poto Médio do segmeto de etremidades + y + y A(, y ) e B (, y ): M, Área do triâgulo de vértices P(, y ), Q(, y ) e R(, y ) : m 000 l A D, ode D y y y Progressão Geométrica (P G): a a q Distâcia de um poto r: a + by + c 0 : a a q S q, q a S, q < q d P,r P(, y ) à reta 0 0 a + by + c 0 0 a + b Vestibular de Verão/009 Prova