CONTEÚDO. XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Problemas e Soluções da Primeira Fase 2

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1 CONTEÚDO XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Problemas e Soluções da Primeira Fase XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Problemas e Soluções da Seguda Fase 6 XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Problemas e Soluções da Terceira Fase 33 XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Problemas e Soluções da Primeira Fase Nível Uiversitário 5 XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Problemas e Soluções da Seguda Fase Nível Uiversitário 57 XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Premiados 66 AGENDA OLÍMPICA 70 COORDENADORES REGIONAIS 7

2 XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Problemas e Soluções da Primeira Fase PROBLEMAS NÍVEL 0) Com segmetos de cm de comprimeto podemos formar triâgulos. Por exemplo, com ove desses segmetos podemos formar um triâgulo eqüilátero de lado 3 cm. Com qual úmero de segmetos a seguir é impossível formar um triâgulo? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 0) Esmeralda compra cico latas de azeite a quatro reais e seteta cetavos a lata, cico latas de leite em pó a três reais e doze cetavos cada e três caixas de iogurte com seis iogurtes cada caixa ao preço de oiteta cetavos por iogurte. Paga com uma ota de ciqüeta reais e quer saber quato irá receber de troco. Qual das expressões aritméticas a seguir represeta a solução para este problema? A) 50 5 (4,70 + 3,) + 8 0,80 B) 5 4, , ,80 50 C) [ 5 (4, ,) ,80] + 50 D) 50 [ 5 (4, ,) ,80] E) 50 [ 5 (4, ,) + 6 0,80] 03) Uma pesquisa foi feita etre pessoas de ambos os sexos, em igual úmero, com a seguite perguta: Etre as cores azul, vermelho e amarelo, qual é a cor que você prefere? Cada pessoa apresetou a sua preferêcia por uma, e só uma, dessas cores. E o resultado da pesquisa aparece os gráficos abaixo: EUREKA! N 30, 009

3 Podemos cocluir que, em relação ao total de pessoas pesquisadas, a ordem de preferêcia das cores é: A) I, II, III B) I, III, II C) II, I, III D) II, III, I E) III, II, I 04) O quociete e o resto a divisão de 6097 por 5 são, respectivamete: A) 043 e B) 044 e 3 C) 43 e D) 044 e E) 44 e 3 05) Numa reuião da comuidade do bairro, cada uma das 5 pessoas presetes recebeu um úmero diferete, a partir do úmero até o 5. Em dado mometo, foi feita uma lista das pessoas com úmero par e das pessoas com úmero múltiplo de 3, que deveriam participar de um projeto. Algumas pessoas reclamaram, dizedo que o seu ome aparecia duas vezes a lista. Quatas pessoas apareceram duas vezes a lista? A) B) 6 C) 0 D) 4 E) 6 06) Sobre uma mesa retagular de uma sala foram colocados quatro sólidos, mostrados o deseho. Uma câmera o teto da sala, bem acima da mesa, fotografou o cojuto. Qual dos esboços a seguir represeta melhor essa fotografia? EUREKA! N 30, 009 3

4 07) Uma classe tem aluos e 8 aluas. Durate as férias, 60% de todos os aluos dessa classe foram prestar trabalho comuitário. No míimo, quatas aluas participaram desse trabalho? A) B) C) 4 D) 6 E) 8 08) Uma ura cotém 008 cartões. Cada cartão recebeu um úmero diferete, a partir do úmero até o 008. Retiram-se dois cartões ao acaso e somam-se os úmeros dos cartões. Quatos úmeros ímpares diferetes podem ser obtidos dessa maeira? A) 004 B) 005 C) 007 D) 008 E) ) Jutado quatro trapézios iguais de bases 30 cm e 50 cm, como o da figura ao lado, podemos formar um quadrado de área 500 cm, com um buraco quadrado o meio. Qual é a área de cada trapézio, em cm? 30cm 45 o 45 o 50 cm A) 00 B) 50 C) 300 D) 350 E) 400 0) Quatos úmeros pares de três algarismos têm dois algarismos ímpares? A) 0 B) 48 C) 00 D) 5 E) 5 5 ) Sabe-se que do coteúdo de uma garrafa echem de um copo. Para 9 6 echer 5 copos iguais a esse, quatas garrafas deverão ser usadas? A) B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 ) Quatos quadrados têm como vértices os potos do reticulado ao lado? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 EUREKA! N 30, 009 4

5 3) A primeira fase da OBM se realiza o dia 4 de juho, um sábado do ao bissexto 008. Daqui a quatos aos o dia 4 de juho será ovamete o sábado? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 4) No deseho temos AE = BE = CE = CD. Além disso, α e β são medidas de âgulos. Qual é o valor da razão α β? A) 5 3 B) 5 4 C) D) 4 5 E) 3 5 5) Na multiplicação ao lado, algus algarismos, ão ecessariamete iguais, foram substituídos pelo sial *. Qual é a soma dos valores desses algarismos? A) 7 B) 7 C) 37 D) 47 E) 57 6) Três amigos moram a mesma rua: um médico, um egeheiro e um professor. Seus omes são: Araldo (A), Beraldo (B) e Ceraldo (C). O médico é filho úico e o mais ovo dos três amigos. Ceraldo é mais velho que o egeheiro e é casado com a irmã de Araldo. Os omes do médico, do egeheiro e do professor, essa ordem, são: A) A, B, C B) C, A, B C) B, A, C D) B, C, A E) A, C, B EUREKA! N 30, 009 5

6 7) Dois cartões iguais têm a forma de um triâgulo retâgulo de lados 5 cm, cm e 3 cm. Esmeralda jutou os dois cartões sobre uma folha de papel e, cotorado as beiradas com um lápis, obteve uma figura como a ao lado, que está fora de escala. Qual é o perímetro dessa figura? A) 8 cm B) 35 cm C) 4 cm D) 43 cm E) 60 cm 8) Qual é o maior úmero de algarismos que devem ser apagados do úmero de 000 algarismos , de modo que a soma dos algarismos restates seja 008? A) 30 B) 60 C) 50 D) 746 E) 00 9) Soiha tem muitos cartões, todos com o mesmo deseho em uma das faces. Ela vai usar cico cores diferetes (verde, amarelo, azul, vermelho e laraja) para pitar cada uma das cico partes do deseho, cada parte com uma cor diferete, de modo que ão haja dois cartões pitados da mesma forma. Na figura abaixo, por exemplo, os cartões são iguais, pois um deles pode ser girado para se obter o outro. Quatos cartões diferetes Soiha coseguirá produzir? A) 6 B) 5 C) 30 D) 60 E) 0 EUREKA! N 30, 009 6

7 0) Três carros com velocidades costates cada um, a mesma estrada, passam o mesmo mometo por Brasilópolis. Ao viajar 00 quilômetros, o carro A passa por Americaópolis, 0 quilômetros à frete do carro B e 50 quilômetros à frete do carro C. Quado o carro B passar por Americaópolis, quatos quilômetros estará à frete do carro C? A) 0 B) 5,5 C) 30 D) 35 E) 37,5 PROBLEMAS NÍVEL 0) Veja o problema No. 4 do Nível. 0) Quatos dos úmeros abaixo são maiores que 0? 3, 4 7, 5 5, 6 3, 7 A) B) C) 3 D) 4 E) 5 03) A) é igual a: 6 6 B) 3 C). 3 6 D) 6 E) 04) Uma grade empresa possui 84 fucioários e sabe-se que cada fucioário fala pelo meos uma das líguas etre Português e Iglês. Além disso, 0% dos que falam Português também falam Iglês e 80% dos que falam Iglês também falam Português. Quatos fucioários falam as duas líguas? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 05) Edmilso, Carlos e Eduardo gaharam um total de R$50,00 lavado carros. Eles gaharam quatidades diferetes de diheiro. Como eles são muito amigos decidiram dividir o diheiro gaho em partes iguais. Para isto, Edmilso deu metade do que gahou para dividir em partes iguais etre Carlos e Eduardo, porém, Carlos tiha muito diheiro e, portato, deu R$ 0,00 a cada um dos outros dois. Fialmete, para que cada um tivesse a mesma quatidade de diheiro, Eduardo deu R$,00 a Edmilso. Quato Eduardo gahou ates da divisão? A) R$ 76,00 B) R$ 5,00 C) R$ 3,00 D) R$ 50,00 E) R$ 00,00 06) Nove úmeros são escritos em ordem crescete. O úmero do meio é a média aritmética dos ove úmeros. A média aritmética dos 5 maiores é 68 e a média aritmética dos 5 meores é 44. A soma de todos os úmeros é: A) 560 B) 504 C) D) 56 E) 70 EUREKA! N 30, 009 7

8 07) Veja o problema No. do Nível. 08) Veja o problema No. 3 do Nível. Sociedade Brasileira de Matemática 09) Os algarismos a, b e c são tais que os úmeros de dois algarismos aa, bc e cb são úmeros primos e aa + bc + cb = aa. Se b < c, etão bc é igual a: A) 9 B) 7 C) 37 D) 9 E) 59 0) Cico iteiros positivos a, b, c, d, e maiores que um satisfazem as seguites codições: a( b + c + d + e) = 8 b( a + c + d + e) = 55 c( a + b + d + e) = 03 d( a + b + c + e) = 43 e( a + b + c + d) = 75 Quato vale a soma a + b + c + d + e? A) 9 B) 6 C) 5 D) 36 E) 49 ) Em um triâgulo ABC foi traçada a altura AH. Sejam M e N potos sobre os lados AB e AC, respectivamete, tais que HM é perpedicular a AB e HN é perpedicular a AC. Achar MN, sabedo que o perímetro do triâgulo órtico do triâgulo ABC é igual a 0. Observação: o triâgulo órtico de um triâgulo é aquele cujos vértices são as iterseções das alturas do triâgulo com os respectivos lados. Pode-se demostrar que o icetro (ecotro das bissetrizes) do triâgulo órtico é sempre igual ao ortocetro (ecotro das alturas) do triâgulo origial. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 ) Quatos úmeros iteiros positivos meores que 500 têm exatamete 5 divisores iteiros positivos? A) 0 B) C) D) 3 E) 4 3) Seja P () a soma dos algarismos pares do úmero. Por exemplo, P ( 34) = + 4 = 6. Qual o valor de P ( ) + P() + P(3) P(00)? A) 00 B) 360 C) 400 D) 900 E) 50 EUREKA! N 30, 009 8

9 4) De quatas maeiras podemos dividir R$ 0,00 em moedas de 0 cetavos e de 5 cetavos, se pelo meos uma moeda de cada valor tem que ser usada? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 5) Sejam a, b, c, d úmeros iteiros tais que a < b, b < 3c, c < 4d. Se d < 40, o maior valor possível de a será: A) 960 B) 959 C) 95 D) 934 E) 97 6) A figura abaixo é um exemplo de um quadrado mágico de ordem 4. A soma dos 4 úmeros em cada liha, colua e diagoal é 34. Etão dizemos que a soma mágica deste quadrado mágico é 34. Supoha que exista um quadrado mágico de ordem 7, formado pelos úmeros iteiros de a 49. Determie sua soma mágica A) 75 B) 450 C) 5 D) 90 E) 00 7) Observe que: = 5, = 3, = 85. Qual o meor valor possível da soma x + y com x, y iteiros positivos tais que x = y? A) 89 B) 50 C) 45 D) 795 E) 03 8) Um úmero de três algarismos é 69 vezes meor que a soma de todos os outros úmeros de três algarismos. Este úmero é: A) 450 B) 785 C) 630 D) 47 E) 55 9) Veja o problema No. 9 do Nível. EUREKA! N 30, 009 9

10 0) Em um triâgulo ABC, A = 0 o e B = 0 o. Se I é o icetro (cetro da circuferêcia iscrita) e O o circucetro (cetro da circuferêcia circuscrita) do triâgulo ABC, qual a medida do âgulo IAO? A) 0 o B) 5 o C) 30 o D) 40 o E) 35 o ) Veja o problema No. 7 do Nível. ) Na figura abaixo os potos A, B, C são colieares, assim como os potos D, E, F. As duas retas ABC e DEF são paralelas. A B C A A A 3 D E F Sedo A, A e A 3 as áreas das regiões destacadas a figura, podemos afirmar que: A) A = A = A 3 B) A = A + A 3 C) A > A + A 3 D) A < A + A 3 E) A = A.A 3 3) O grupo A da última Copa do Mudo de futebol termiou com os seguites resultados: Equipe Número de Potos Áustria 7 Brasil 5 Camarões 4 Diamarca 0 Sabe-se que Áustria e Camarões levaram apeas gol, cada um. Além disso, Brasil e Diamarca marcaram apeas gol, cada um, equato que Áustria marcou 3 gols. Qual o resultado da partida Áustria Diamarca? Observação: o grupo, cada seleção joga com as demais exatamete uma vez e, em cada partida, o time vecedor gaha 3 potos, o perdedor ão gaha em perde potos e, em caso de empate, cada time gaha poto. A) 0 B) C) 0 D) 0 0 E) Nada se pode afirmar. EUREKA! N 30, 009 0

11 4) Abaixo temos um quadrado mágico multiplicativo, ode o produto dos úmeros em cada liha, colua e diagoal é o mesmo e igual ao úmero de quatro dígitos ABCD, ode cada letra represeta um dígito e cada casa cotém um úmero iteiro. Se AC represeta o úmero de dois dígitos o cetro do quadrado, a soma A + B + C + D vale: 4 AC C 4 A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 5) Teho um cubo de madeira, com três faces vermelhas e três faces azuis. O cubo é cortado em = 7 cubos meores. Quatos destes cubos meores têm, pelo meos, uma face vermelha e outra azul? A) 6 B) C) 4 D) 6 E) depede de quais faces do cubo são vermelhas e quais são azuis. PROBLEMAS NÍVEL 3 0) Veja o problema No. 4 do Nível. 0) Sedo x = 0 008, assiale a alterativa que apreseta o maior valor. A) x B) C) D) x E) x xx+ ( ) + x + x + x 03) O úmero iteiro positivo a e o úmero a localizam-se a reta da seguite maeira: Qual é a soma desses dois úmeros? A) B) C) D) 9 E) 9 EUREKA! N 30, 009

12 04) Veja o problema No. 4 do Nível Sociedade Brasileira de Matemática 05) Rafael tem 0 cartões. Cada um tem escrito um dos úmeros 3, 8, 3, 8, 3, 8, 33, 48, 53, 68, e todos os dez úmeros aparecem. Qual o meor úmero de cartões que Rafael pode escolher de modo que a soma dos úmeros os cartões escolhidos seja exatamete 00? A) B) 3 C) 4 D) 5 E) ão é possível obter soma 00 com esses cartões. 06) Em uma pista de corrida, cujo formato é de um polígoo regular de vértices, umerados de até o setido ati-horário, existem três pessoas: Nelly, Sôia e Peha, estado iicialmete todas em um mesmo vértice. Em um dado mometo elas começam a camihar pelos lados do polígoo. Nelly camiha o setido atihorário, equato que Sôia e Peha camiham o setido cotrário. Nelly cruza com Sôia pela primeira vez em um vértice e com Peha dois vértices à frete. A velocidade de Nelly é o dobro da velocidade de Sôia e a velocidade de Sôia é o dobro da velocidade de Peha. Quatos vértices tem o polígoo? A) 30 B) 60 C) 5 D) 0 E) 6 07) Veja o problema No. 6 do Nível. 08) A primeira fase da OBM se realiza o dia 4 de juho, um sábado do ao bissexto 008. Daqui a quatos aos o dia 4 de juho será ovamete o sábado? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 09) Veja o problema No. 4 do Nível. 0) O iteiro é tal que possui 008 divisores a mais que. A soma dos algarismos de é igual a: A) 5 B) 7 C) 9 D) E) ) Quatos dos úmeros, 3, 5, 7, são divisores de ? A) um B) dois C) três D) quatro E) cico ) Veja o Problema No. 5 do Nível. EUREKA! N 30, 009

13 3) O úmero de soluções reais do sistema a = b + b = c + c = a + é igual a: A) 0 B) C) D) 4 E) 8 4) Araldo, Beraldo, Ceraldo e Deraldo baralharam as 5 cartas de um baralho e distribuíram 3 cartas para cada um. Araldo ficou surpreso: Que estraho, ão teho ehuma carta de espadas. Qual a probabilidade de Berardo também ão ter cartas de espadas? A) 39! 6!5! 6! B) 3!39! C) 5) Veja o problema No. 9 do Nível. 39!39! 6!5! D) 6!6! 3!39! E) 39! 3! 5! 6) Dado o quadrilátero ABCD tal que CAD = 5, ACD = 45 e BAC = BCA = 0, qual o valor do âgulo DBC? A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60 7) No triâgulo PQR isósceles, com PQ = PR = 3 e QR =, a tagete à sua circuferêcia circuscrita o poto Q ecotra o prologameto do lado PR em X. O valor de RX é: A) B) C) D) E) ) Dado um triâgulo ABC de lados AB = 3, BC = 4 e AC = 5. Sejam R e R, respectivamete, os raios da circuferêcia iscrita e da circuferêcia com cetro R sobre o lado BC que passa por B e é tagete ao lado AC. A razão vale: R A) B) C) D) E) ) Qual o úmero de soluções reais do sistema x + y y = x e + y = x, EUREKA! N 30, 009 3

14 ode x represeta a parte iteira de x? A) 0 B) C) D) 4 E) ifiitas 0) Um úmero de quatro dígitos é dito paladio se é múltiplo de 9 e ehum de seus dígitos é ulo. Quatos úmeros paladios existem? A) 84 B) 04 C) 849 D) 09 E) 79 ) Cosidere a fução f, defiida o cojuto dos úmeros reais e satisfazedo f ( x) = cx, para todo x 3/. Determie o úmero de tais fuções f para as x + 3 quais f (f (x)) = x, para todo x tal que f (f (x)) está bem defiida. A) 0 B) C) D) 4 E) ifiitas. ) O briquedo favorito de Cícero é um coe reto de vidro com 5 cm de altura. Cícero echeu o coe com areia até a altura de 3 cm, como mostrado a figura. Em seguida, Cícero fechou a base do coe e virou-o de cabeça para baixo, como idicado a figura. A que altura da base do coe, em cm, ficou a marca de areia? 3 cm? Figura A) B) C) E) Figura D) ) Veja o problema No. 4 do Nível. 4) Cosidere 0 pessoas, todas de alturas diferetes, as quais devem ficar em fila de tal modo que, a partir da pessoa mais alta, as alturas devem decrescer para ambos os lados da fila (se a pessoa mais alta for a primeira ou a última da fila, EUREKA! N 30, 009 4

15 todas as pessoas a partir dela devem estar em ordem decrescete de altura). Obedecedo essas codições, de quatos modos essas pessoas podem ficar em fila? A) 56 B) 768 C) 60 D) 5 E) Veja o problema No. 0 o Nível. GABARITO NÍVEL (6º. ou 7º. Aos) ) A 6) E ) C 6) C ) C 7) B ) E 7) C 3) B ou D 8) C 3) C 8) D 4) A 9) E 4) D 9) C ou D 5) C 0) D 5) C 0) E NÍVEL (8º. ou 9º. Aos) ) D 6) B ) A 6) A ) B ) C 7) E ) D 7) A ) B 3) C 8) C 3) C 8) B 3) B 4) D 9) C 4) E 9) C ou D 4) B 5) C 0) D 5) E 0) C 5) E NÍVEL 3 (Esio Médio) ) D 6) C ) D 6) C ) B ) A 7) B ) B 7) B ) C 3) D 8) C 3) E 8) B 3) B 4) D 9) E 4) D 9) C 4) D 5) D 0) A ou B 5) C ou D 0) E 5) D EUREKA! N 30, 009 5

16 XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Problemas e Soluções da Seguda Fase PROBLEMAS NÍVEL PARTE A (Cada problema vale 5 potos) 0. Nicaor quer completar o Sudoku ao lado, de modo que em cada liha (fileira horizotal) e cada colua (fileira vertical) apareçam todos os úmeros de a 6. Qual é a soma de todos os úmeros que faltam para completar o Sudoku? A partir das igualdades e = 8 = 8, = 6 = 8, = 4 = 8 3, 007 = 8 N, podemos escrever 009 = 4 N (N + ). Qual é o valor de N? 03. Certo baco brasileiro obteve um lucro de R$ 4,08 bilhões ao fial do primeiro semestre de 008. Esse valor represeta um aumeto de,5% em relação ao resultado obtido o mesmo período do ao passado. Qual é a soma dos dígitos do úmero iteiro que represeta, em reais, o lucro desse baco o primeiro semestre de 007? 04. A piscia do clube que Esmeralda freqüeta tem a forma de um hexágoo (polígoo com seis lados), com um âgulo itero de 70º, os demais âgulos de 90º e os quatro lados meores com metros cada. Esmeralda costuma adar pelo meio da piscia, a partir do poto A, descrevedo o trajeto represetado, a figura, pelo âgulo reto ABC, em que AB = BC. EUREKA! N 30, 009 6

17 Certo dia, ela adou por esse trajeto 4 vezes, isto é, foi e voltou vezes. Quatos metros ela percorreu? 05. Com o diheiro que Carlihos tiha, poderia ter comprado 600 gramas de queijo ou 400 gramas de presuto. Usado esse diheiro, ele resolveu comprar quatidades iguais de presuto e queijo. Quatos gramas de cada item ele comprou? 06. Quatos úmeros iteiros maiores que zero e meores que 00 possuem algum divisor cuja soma dos dígitos seja 5? PROBLEMAS NÍVEL PARTE B (Cada problema vale 0 potos) PROBLEMA Zeziho tem 37 cartões quadrados de lado 6 cm e cartões quadrados de lado 9 cm. Ele quer colar esses cartões lado a lado, sem sobrepô-los em deixar buracos, formado quadrados maiores. a) Apresete, através de desehos, duas maeiras diferetes de Zeziho costruir um quadrado de lado 7 cm. b) Quatos cartões são ecessários para costruir o quadrado com a maior área possível? PROBLEMA Para costruir o arrajo triagular de letras ao lado, que tem 008 lihas, obedeceu-se a uma certa regra. a) Quatas vezes a palavra OBM aparece completamete a maior colua desse arrajo? b) Quatas vezes a letra O aparece o arrajo? PROBLEMA 3 Em Ferius, os potos do domió vão de 0 a 7, ao cotrário de um domió comum, em que os potos vão de 0 a 6. Uma peça do domió de Ferius é chamada importate se a soma de seus potos é par. Por exemplo, os seguites domiós são importates: EUREKA! N 30, 009 7

18 a) Quatas peças diferetes possui o domió jogado em Ferius? b) Quatas dessas peças são importates? c) Qual é a soma dos potos de todas as peças importates? PROBLEMAS NÍVEL PARTE A (Cada problema vale 5 potos) 0. Sejam x e y úmeros reais positivos satisfazedo as equações x + y = e x + y =. Calcule o valor de. 8 xy 0. Um viajate, que se ecotrava perdido a floresta, adou metro para o Leste, metros para o Norte, 3 para o Oeste, 4 para o Sul, 5 para o Leste, 6 para o Norte,..., 006 metros para o Norte, 007 para o Oeste e 008 para o Sul. Calcule, em metros, o valor iteiro mais próximo da distâcia etre as posições iicial e fial do viajate. 03. Os úmeros α e β são as raízes da equação x x = 0. Calcule α + 5 β. 04. Em um triâgulo ABC, seja D um poto sobre o lado BC tal que DB = 4, DA = 3 e DC = 4. Sabedo que o círculo circuscrito ao triâgulo ADB tem raio igual ao do círculo circuscrito ao triâgulo ADC, calcule a área do triâgulo ABC. 05. Dado um úmero atural N, multiplicamos todos os seus algarismos. Repetimos o processo com o úmero obtido até obtermos um úmero com um algarismo. Este úmero será chamado de primitivo de N. Por exemplo, como 37 = 4 e 4 = 8, cocluímos que o primitivo de 37 é 8. Calcule a soma dos algarismos do maior úmero atural com todos os algarismos diferetes cujo primitivo é ímpar. EUREKA! N 30, 009 8

19 PROBLEMAS NÍVEL PARTE B (Cada problema vale 0 potos) Sociedade Brasileira de Matemática PROBLEMA Ecotre todos os triâgulos retâgulos, de lados com medidas iteiras, os quais a área tem valor umérico igual ao do perímetro. PROBLEMA No quadro egro são escritos os úmeros,,3,4,...,008. Pedro e Igor jogam um jogo ode eles apagam alteradamete um úmero por vez até sobrarem apeas dois úmeros. Se a difereça etre estes dois úmeros for múltiplo de 009, Igor vece. Caso cotrário, quem vece é Pedro. Sabedo que Pedro é o primeiro a jogar, diga quem possui a estratégia vecedora. Justifique sua resposta. PROBLEMA 3 Seja ABC um triâgulo acutâgulo com BC = 5. Seja E o pé da altura relativa ao lado AC e F o poto médio do lado AB. Se BE = CF = 4, calcule a área do triâgulo ABC. PROBLEMA 4 Um país tem 8 cidades, A, A,..., A 6, B, C, ligadas por rodovias de mão dupla satisfazedo as seguites codições: B e C são ambas ligadas às cidades A, A,..., A 6, mas ão são ligadas uma à outra; A, A,..., A 6 são ligadas duas a duas. Calcule o úmero de maeiras distitas de viajar de carro de B a C, sem passar duas vezes por uma mesma cidade. PROBLEMAS NÍVEL 3 PARTE A (Cada problema vale 5 potos) 0. Um trapézio isósceles ABCD, com lados paralelos AB e CD, é tal que a diagoal BD mede 00 m e o âgulo BDC mede 30. Seja S a área do trapézio em m. Determie S Se x é um úmero real, deotamos por x o maior iteiro que é meor ou igual a x. Por exemplo, =, π = 3 e, = 3. Calcule o valor da soma Um iteiro positivo é chamado de auto-replicate se os últimos dígitos de formam o úmero. Por exemplo, 5 é auto-replicate pois 5 = 65. Determie EUREKA! N 30, 009 9

20 a soma de todos os úmeros auto-replicates com exatamete 4 dígitos (isto é, úmeros auto-replicates com ). 04. Quatas permutações de,, 3,..., 9 há com a propriedade de que, para todo i < 9, os úmeros que aparecem etre i e i + (ode i pode aparecer tato ates como depois de i + ) são todos meores do que i? Por exemplo, é uma permutação com esta propriedade. 05. Supoha que α é raiz de algum poliômio ão-ulo com coeficietes racioais. O poliômio miimal de α é o poliômio de meor grau m(x) tal que: m( α ) = 0; mx ( ) é Môico (isto é, o seu coeficiete líder é ) e todos os seus coeficietes são racioais. Por exemplo, o poliômio miimal de é x. Determie o produto dos coeficietes ão ulos do poliômio miimal de PROBLEMAS NÍVEL 3 PARTE B (Cada problema vale 0 potos) PROBLEMA Determie todos os iteiros positivos m e tais que m + 6 = 3 PROBLEMA Determie a quatidade de fuções f :{,,3,4,5} {,,3,4,5} tais que f ( f( x)) = f( x) para todo x {,,3,4,5}. PROBLEMA 3 Um trapézio ABCD, com lados paralelos AB e CD, está iscrito em uma circuferêcia de raio 5. Sabe-se que CD é um diâmetro e a altura desse trapézio é 4. Seja E um poto o arco meor determiado por A e B e sejam F e G os potos AF BG de iterseção de ED e EC com AB, respectivamete. Calcule. FG PROBLEMA 4 Em uma matriz o elemeto a liha i e colua j é o úmero i + j (as EUREKA! N 30, 009 0

21 lihas e coluas são umeradas de a 008). Escolhem-se 008 elemetos desta matriz de modo que ão haja dois elemetos escolhidos uma mesma liha ou colua. Os elemetos são multiplicados. Qual o meor produto que se pode obter desta forma? Soluções Nível Seguda Fase Parte A Problema Resposta [9] A soma de todos os úmeros do Sudoku completo é igual a 6 vezes a soma dos úmeros em cada liha, ou seja, 6 ( ) = 6 = 6. A soma dos úmeros que já estão escritos o Sudoku é 35. Logo a soma dos úmeros que faltam para completar o Sudoku é6 35 = [004] Temos: 009 = 4 N (N + ) ( 009 )( 009+ ) = 4N(N + ) = 4N(N + ) N( N + ) = = N( N + ) N = 004 Soluções alterativas: a solução Cada liha pode ser associada a um úmero ímpar e a um múltiplo de 8 da seguite forma: a liha temos o quadrado de = (o lado esquerdo da igualdade) e 8 vezes (o lado direito da igualdade), a liha temos o quadrado de 3 = e 8 vezes, a liha 3 temos o quadrado de 5 = 3 e 8 vezes 3 e assim sucessivamete, até chegarmos à liha N ode temos o quadrado de 007 = N e 8 vezes N. Assim, N = 007 N = 008 N = 004. a solução Cada liha pode ser associada um múltiplo de 8 da seguite forma: a liha temos 8 vezes (o lado direito da igualdade), a liha temos 8 vezes, a liha 3 temos 8 vezes 3 e assim sucessivamete, até chegarmos a última liha, ode 009 temos = 8 N, que é a liha = 004, ou seja, N = 004. EUREKA! N 30, 009

22 3 a solução Temos: = 8 N ( )( ) = 8 N 406= 8 N N = [] Seja x o lucro desse baco o primeiro semestre de 007, em bilhões de reais. Logo x +, 5% x = 4, 08 x + 0, 05x = 4, 08, 05x = 4, 08 x = 4, 008 bilhões de reais, ou seja, o lucro foi de R$ ,00, cuja soma dos dígitos é. 04. [44] A partir das iformações dadas, cocluímos que a figura ID = DE = EF = FG = metros e que A é o poto médio de ID, ou seja, AD = 6 metros e, da mesma forma, FC = 6 metros. Logo AB = BC = + 6 = 8 metros e, portato, Esmeralda adou 4 (8 + 8) = 4 36 = 44 metros. I D E F G Q 05. [40] Supodo que Carlihos tem Q reais, o preço do grama de queijo é 600 e Q o preço do grama de presuto é. Seja m a quatidade, em gramas, de queijo e 400 de presuto que Carlihos comprou. Dessa forma: Q Q m + m = Q m + = m = = = = Portato ele comprou 40 gramas de cada item. 06. [34] São os múltiplos de 5, que esse itervalo são 9; os múltiplos de 4, que são 6 (pois o 70 já foi cotado); os múltiplos de 3, que são 4; os múltiplos de 3, que são 3 e, fialmete, os múltiplos de 4, que são. Note que o úico múltiplo de 50 o itervalo, que é o próprio 50, já foi cotato os múltiplos de 5. Portato ao todo são = 34 úmeros. EUREKA! N 30, 009

23 Soluções Nível Seguda Fase Parte B PROBLEMA a) Os desehos mostram as duas formas de costrução dos quadrados. Elas são as úicas possíveis. De fato, sedo x o úmero de quadrados de lado 6 cm e y o úmero de quadrados de lado 9 cm usados para costruir um lado de 7 cm, temos: 9 x 6x + 9y = 7 x + 3y = 9 y = Como x e y são iteiros ão egativos, 3 podemos substituir x apeas por 0,,, 3 ou 4. As úicas soluções para essa situação são x = 0 e y = 3 ou x = 3 e y =, represetadas os desehos. b) Repetido mais 3 vezes a seguda costrução acima, obtém-se um quadrado de lado 54 cm, com a utilização de 36 cartões de lado 6 cm e 0 cartões de lado 9 cm, sobrado apeas cartão de lado 6 cm e cartão de lado 9 cm. Esse quadrado é o maior que se pode costruir, usado-se o maior úmero de cartões, 56 cartões. De fato, como os quadrados costruídos com os cartões devem ter lados com medidas iteiras, cocluímos que o quadrado maior do que o costruído deveria ter lado de 60 cm, pelo meos, já que o cartão meor tem lado 6 cm. Como = 684 cm é maior do que = 7 cm, que é a soma das áreas dos quadrados que sobraram, cocluímos que realmete o quadrado de lado 54 cm é o maior que se pode costruir usado o maior úmero de cartões. PROBLEMA a) A maior colua tem 008 letras e OBM é um bloco de 3 letras. Como 008 = , o úmero de vezes em que a palavra OBM aparece completamete a maior colua é 669. b) Da esquerda para a direita, fazedo a cotagem ao logo das flechas, a primeira passa por 008 letras O. Como a seguda iicia 3 lihas abaixo, ela passa por = 005 letras O. Nesse padrão, a próxima passará por 00 letras O, a seguite, por 999, e assim até a última flecha, que passará por. Portato o úmero de vezes que a letra O aparece o arrajo é EUREKA! N 30, 009 3

24 (008 + ) = = PROBLEMA a) Há = 8 peças com quatidades diferetes de potos em cada lado e 8 com quatidades iguais, ou seja, o domió de Ferius tem = 36 peças diferetes. Outra solução: O domió comum possui 8 peças. Como existem mais 8 ovas peças que possuem alguma casa marcado 7 potos, o domió de Ferius tem = 36 peças diferetes. b) Como a soma de um par e um ímpar é ímpar e há 4 quatidades ímpares de potos (, 3, 5, 7) e 4 quatidades pares de potos (0,, 4, 6), há 4 4 = 6 peças que ão são importates. Logo existem 36 6 = 0 peças importates. c) Cada quatidade de potos aparece exatamete 9 vezes. Assim a soma dos potos de todas as peças é 9 ( ) = 5. A soma dos potos de todas as peças que ão são importates é 4 ( ) =, pois cada quatidade de potos aparece exatamete 4 vezes em peças que ão são importates. Assim, a soma pedida é 5 = 40. Soluções Nível Seguda Fase Parte A Problema Resposta De obtemos ( ) = x + y = x + y ( xy) = ( xy), 8 ( xy ) =, e daí xy = 0. O deslocameto líquido do viajate a direção Leste-Oeste foi de ( 3 ) + (5 7) ( ) = ( ) + ( ) ( ) = vezes EUREKA! N 30, 009 4

25 Aalogamete, o deslocameto líquido a direção Norte-Sul foi de 004. Portato, pelo teorema de Pitágoras a distâcia etre as posições iicial e fial do viajate é 004. Observe agora que, como,44, temos ,656. Para ter certeza se estamos usado uma aproximação boa o suficiete, basta checar se 49,5 < 004 < 40, quer dizer, se ( ) 49,5 < 004 < 40. Mas é fácil efetuar os cálculos e verificar que essas desigualdades realmete se verificam. Logo, a melhor aproximação pedida é 40 metros. 03. Veja que α + β = e 3 α = α α = α( α + ) = α + α = α +, 4 3 α = α α = α(α + ) = α + α = 3α +, 5 4 α = α α = α(3α + ) = 3α + α = 5α + 3. Aalogamete, β = β β = (5β + 3)( β + ) = 5β + 8β + 3 = 3β Portato, 3α + 5β = 3(5α + 3) + 5(3β + 8) = 65( α + β) + 79 = = Como os dois círculos circuscritos são iguais, segue do teorema do âgulo iscrito que ACB ABC = e, com isso, AB = AC. A B M D C Seja AM a altura relativa ao lado BC. Como ABC é isósceles de base BC, segue que AM também é mediaa, e daí MC = 9. Portato, MD = 5 e, pelo teorema de EUREKA! N 30, 009 5

26 Pitágoras, AM =. Fialmete, a área do triâgulo ABC é ( AM )( BC ) = ( )( 8 ) = Para que o primitivo de um úmero seja ímpar, todos os seus algarismos precisam ser ímpares, pois o produto de um úmero par por um úmero qualquer é sempre um úmero par. Assim, só os restam os algarismos, 3, 5, 7 e 9 para costruir o úmero pretedido. Por outro lado, como os algarismos precisam ser todos diferetes, o úmero terá, o máximo, 5 algarismos. Cotudo, qualquer úmero com 5 algarismos ímpares e todos distitos tem primitivo 0. De fato, o produto dos úmeros, 3, 5, 7 e 9 é 945 e seu primitivo é 0. O maior úmero com 4 algarismos ímpares e todos diferetes é 9753, mas esse úmero tem primitivo 0. O úmero que o atecede e tem seus 4 algarismos ímpares e distitos é 975, e seu primitivo é 5. Portato, a soma de seus algarismos é =. Soluções Nível Seguda Fase Parte B SOLUÇÃO DO PROBLEMA : Os catetos do triâgulo medem a e b, e a hipoteusa mede c. Como a área e o perímetro são iguais, temos, ab = a + b + c e daí c= ab a b. Usado o teorema de Pitágoras, segue que a + b = ( ab a b) = a + b + ab a b b a+ a b, 4 ou aida 8ab 4ab 4ba+ ab = 0.. Dividido por ab, obtemos a 4 b 4 = 8, de maeira que a 4 divide 8. Portato, os possíveis valores de ( )( ) a são, 3, 5, 6, 8 e. Determiado os valores de b e c, ecotramos os triâgulos de lados 5,, 3 ou 6, 8, 0. SOLUÇÃO DO PROBLEMA : Note que ( x) x ( x) 009 = , um múltiplo de 009. Assim, sempre que Pedro apagar um úmero, x digamos, basta Igor apagar o úmero (009 x). Desse modo, o fial restarão dois úmeros cuja difereça é um múltiplo de 009. EUREKA! N 30, 009 6

27 SOLUÇÃO DO PROBLEMA 3: A D F E B C Seja D o pé da perpedicular baixada de F a AC. Pelo teorema de Pitágoras, segue que EC = BC BE = 5 4 = 3. Por outro lado, por semelhaça de triâgulos temos FD = BE = e AE = DE. Portato, DC = CF FD = 4 = 3, e daí DE = 3 3, de maeira que AE = Fialmete, [ ABC] = ( AE + EC) BE = ( ) 4 = SOLUÇÃO DO PROBLEMA 4: Há duas escolhas evolvidas e que determiam a maeira de viajar de B a C: por quais detre as cidades A,..., A 6 devemos passar, e em que ordem. Digamos que escolhamos passar por exatamete k detre as cidades A,..., A 6, com k 6; o úmero de modos de escolher as k cidades é 6. Por outro lado, após k escolhermos as k cidades, devemos escolher em que ordem vamos visitá-las, o que correspode a k! possibilidades. Logo, o úmero de modos de viajar de B a C é ! 6! 6! 6! k! = = = 956. k= k k= ( 6 k )! 5! 4! 0! Soluções Nível 3 Seguda Fase Parte A Problema Resposta EUREKA! N 30, 009 7

28 0. Seja P a projeção ortogoal de B sobre CD. A B 00 D 30 P C CD AB AB + CD Temos que CP = logo PD = CP + AB =. Assim, a área do trapézio é: AB + CD S = BP = BP PD= (00 se30 ) (00 cos30 ) = m e portato S 3 = Observe que para i temos = i i < i+ i < ( i+ ) e assim há ( ) 4 4 i+ i úmeros tais 4 que = i. Portato a soma pedida é: = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 03. Seja um iteiro de 4 dígitos. Temos que é auto-replicate se e somete se 4 4 é divisível por 0000, isto é, ( ) e 5 ( ). Como e são primos etre si, temos 4 possibilidades: 4 e ( ) e 5 ( ) 4 4 e 5 ( ) 4 ( ) e A primeira possibilidade implica que 0, o que é impossível pois Da mesma forma, a seguda ão ocorre. EUREKA! N 30, 009 8

29 4 Na terceira possibilidade, de 5 ( ) temos que = 65k + para algum k iteiro e que 65k + 0(mod6) k + 0(mod6) k 5(mod6) Assim, k = para algum iteiro e = 65( ) + = E como , a úica possibilidade é = Fialmete, para a quarta possibilidade, temos que = 65k, k iteiro, e que 0(mod6) k (mod6). Assim, k = + 6, iteiro, e = 65( + 6 ) = Como , ão há soluções este caso. Logo o úico úmero auto-replicate de 4 dígitos é Da propriedade, decorre que 9 só pode aparecer ou como primeiro ou como último elemeto da permutação e que os elemetos de a 8 formam uma permutação com a mesma propriedade. Assim, o úmero pedido é o dobro do úmero de permutações de,,...,8 com a mesma propriedade. Da mesma forma, o úmero de permutações de,,.., 8 com a propriedade é o dobro do úmero de permutações de,,.., 7 com a propriedade. Repetido o raciocíio, cocluímos 8 que o úmero pedido é portato = Seja α = Temos α = ( ) ( ) ( ) α = α α + 54 = 3 α 3 Agora faça 8 y = α. Temos ( ) y+ 54 = 3 y ( ) y+ 3 = y y + 9y + 35y+ 7= 0 ( y+ )( y + 8y+ 7) = 0 Como α, e portato y, são reais e y + 8y+ 7= 0 ão tem raízes reais, cocluímos que y = e portato α = 3 8 (pasmem!). Assim, α é raiz do 3 poliômio x + 8 = 0, que é o poliômio miimal de α já que x = 0 ão possui raízes racioais. EUREKA! N 30, 009 9

30 Soluções Nível 3 Seguda Fase Parte B SOLUÇÃO DO PROBLEMA : Olhado a equação módulo 7, temos: m 3, porém m só poderá ser cogruete a 0,,,4 equato que se for ímpar 3 só poderá ser cogruete a 3, 5, 6, etão deverá ser par. Logo existe 0 tal que = 0. Voltado à equação origial temos: m + 6 = 3 3 m = 6 3 m 3 + m = 6. Como m e são ( )( ) 0 iteiro positivos, logo o módulo de ( 3 0 m) é meor que ( m) ( 3 0 m ) é positivo e 6 = 7 3, etão temos as opções: 3 +, e como m = e 3 + m = 6 3 = 8 e m= 80 0 = 4 e m= 80 = 8 e m = m = 7 e m = 3 3 = 5e m = 8. Não há solução iteira. Logo m = 80 e = 8 é a úica solução. SOLUÇÃO DO PROBLEMA : f f x = f x etão a imagem de f deverá só coter potos fixos. Para que ( ( )) ( ) Utilizado esse fato temos: Com 5 potos fixos a imagem teremos fução possível. 5 Com 4 potos fixos a imagem teremos 4 = 0 fuções 5 Com 3 potos fixos a imagem teremos 3 = 90 fuções Com potos fixos a imagem teremos = 3 fuções 5 4 Com poto fixo a imagem teremos = 5 fuções 4 logo o total de fuções f satisfazedo f ( f( x)) = f( x) igual a 96. EUREKA! N 30,

31 SOLUÇÃO DO PROBLEMA 3: A E F G B D O C Como ABE ADE (ambos exergam o arco AE ) temos que FBE FDA e portato FB BE = () FD DA Aalogamete, das semelhaças EBG ACG, AEG CBG e AEF DBF obtemos respectivamete BG EB = () CG AC AE AG = (3) CB CG AE AF = (4) DB DF Assim, utilizado o fato que ABCD é isósceles (de modo que AD = BC e BD = AC) temos () e (4) AF BG AE DF CG EB = FG FG DB AC () e (3) ( AE CG)( DF EB) AD AG BF = = AC FG AC FG AD ( AF + FG)( BG + FG) = AC FG EUREKA! N 30, 009 3

32 AD FG( AF + FG + BG) + AF BG = AC FG AD AF BG = AB + AC FG Em suma, temos AF BG AD AF BG = AB + FG AC FG AF BG AD AB = FG AC AD Utilizado o fato de que ABCD é isósceles com base CD = 50 e altura 4, aplicado Pitágoras várias vezes é fácil calcular AB = 4, AD = 30, AC = 40. AF BG Assim, = 8. FG SOLUÇÃO DO PROBLEMA 4: Vamos mostrar que o meor produto é obtido quado tomamos os elemetos da diagoal pricipal. Neste caso, o produto é dado por 008 ( + )( + )(3 + 3)...( ) = 008! Supoha que todos os elemetos (, ), (, ),..., (i, i ) teham sido escolhidos mas que os elemetos as i ésimas liha e coluas sejam (i, j) e (k, i) com j e k maiores ou iguais a i +. Vamos mostrar que trocado estes dois elemetos por (i, i) e (k, j) obtemos um produto meor. De fato, para isto devemos mostrar que ( i+ i)( j+ k) < ( i+ j)( i+ k) ( i j+ k) < i + ( j+ k) i+ jk i j k i jk ( + ) + > 0 ( i j)( i k) > 0 O que é verdade, já que i j< 0 e i k < 0. EUREKA! N 30, 009 3

33 XXX OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Problemas e Soluções da Terceira Fase NÍVEL (6 o. e 7 o. Aos) PROBLEMA Um quadrado de lado foi dividido em sete regiões retagulares que ão se sobrepõem, coforme a figura. Uma delas é um quadrado de vértice C, cuja área é metade da área de cada um dos dois retâgulos vizihos; outra é um quadrado de vértice A, cuja área é metade da área de cada um dos dois retâgulos vizihos. A B D C a) Mostre que o quadrilátero destacado é um quadrado. b) Calcule a área do quadrado destacado. PROBLEMA Esmeralda escolhe um úmero iteiro positivo qualquer e realiza a seguite operação com ele: cada um de seus algarismos é trocado pelo seu sucessor, com exceção do 9, que é trocado por 0. Em seguida, os evetuais zeros que aparecem à esquerda são elimiados. Por exemplo, ao se realizar a operação o úmero obtém-se 4064 (ote que os dois zeros à esquerda gerados pelos dois primeiros algarismos 9 foram elimiados). A operação é repetida até que se obteha 0. Por exemplo, começado com 889, obtemos a seqüêcia de úmeros 889, 990,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 a) Apresete a sequêcia de úmeros quado o primeiro úmero é 008. EUREKA! N 30,

34 b) Mostre que, idepedete do úmero iicial, após uma quatidade fiita de operações Esmeralda obtém 0. PROBLEMA 3 Jade tem peças iguais 3 e quer utilizá-las para cobrir um tabuleiro 3, sedo um iteiro positivo. Por exemplo, para = 4 ela pode cobrir o tabuleiro da seguite maeira: a) Determie de quatas maeiras Jade pode fazer a cobertura para =,, 3, 4, 5, 6, 7. b) De quatas maeiras Jade pode cobrir o tabuleiro para = 5? PROBLEMA 4 Cosidere o seguite hexágoo: Com cópias desse polígoo podemos cobrir todo o plao, sem sobreposições, como mostra a figura a seguir. a) É possível cobrir o plao com cópias de um petágoo regular? EUREKA! N 30,

35 Observação: um polígoo é regular quado todos os seus lados são de mesma medida e todos os seus âgulos iteros são iguais. b) Seja ABCDE um petágoo com todos os lados iguais e tal que a medida do âgulo itero os vértices A e B são m ( Aˆ) = 00 e m ( Bˆ) = 80. Mostre como é possível cobrir todo o plao com cópias desse petágoo, sem sobreposições. PROBLEMA 5 Vamos chamar de garboso o úmero que possui um múltiplo cujas quatro primeiras casas de sua represetação decimal são 008. Por exemplo, 7 é garboso pois é múltiplo de 7 e começa com 008. Observe que = a) Mostre que 7 é garboso. b) Mostre que todos os iteiros positivos são garbosos. TERCEIRA FASE NÍVEL (8 o. e 9 o. Aos) PRIMEIRO DIA PROBLEMA Em cada casa de um tabuleiro, colocamos um dos úmeros,,3,4, de modo que cada casa tem exatamete uma casa viziha com o mesmo úmero. É possível fazer isso quado a) = 007? b) = 008? Observação. Duas casas são vizihas se possuem um lado em comum. PROBLEMA Seja P um petágoo covexo com todos os lados iguais. Prove que se dois dos âgulos de P somam 80 graus, etão é possível cobrir o plao com P, sem sobreposições. PROBLEMA 3 Prove que existem ifiitos iteiros positivos tais que 5 é um iteiro. EUREKA! N 30,

36 TERCEIRA FASE NÍVEL (8 o. e 9 o. Aos) Sociedade Brasileira de Matemática SEGUNDO DIA PROBLEMA 4 Mostre que se p,q são iteiros positivos primos tais que etão r é primo. r = p p + + q q é iteiro, PROBLEMA 5 Seja ABC um triâgulo acutâgulo e O, H seu circucetro e ortocetro, respectivamete. Sabedo que AB = BH = OB, calcule os âgulos do triâgulo ABC. PROBLEMA 6 Sedo A um cojuto de úmeros iteiros, defiimos S(A) como o cojuto formado pelas somas de dois elemetos, ão ecessariamete distitos e D(A) como o cojuto formado pelas difereças de dois elemetos, ão ecessariamete distitos. Por exemplo, se A = {,, 3, 0} etão S(A) = {, 3, 4, 5, 6,,, 3, 0} e D(A) = { 9, 8, 7,,, 0,,, 7, 8, 9}. Mostre que existe um cojuto fiito A tal que S(A) tem o máximo 0 97 elemetos e D(A) tem o míimo 0 00 elemetos. TERCEIRA FASE NÍVEL 3 (Esio Médio) PRIMEIRO DIA PROBLEMA Vamos chamar de garboso o úmero que possui um múltiplo cujas quatro primeiras casas de sua represetação decimal são 008. Por exemplo, 7 é garboso pois é múltiplo de 7 e começa com 008. Observe que = Mostre que todos os iteiros positivos são garbosos. PROBLEMA Sobre uma reta há um cojuto S de 6 potos. Destes, 4 são escolhidos ao acaso e pitados de azul; os demais são pitados de verde. Prove que existe um segmeto que cotém exatamete 3 potos de S, sedo pitados de azul e pitados de verde. EUREKA! N 30,

37 PROBLEMA 3 Sejam x, y, z reais quaisquer tais que x + y + z = xy + yz + zx. Ecotre o valor míimo de x y z + + x + y + z + TERCEIRA FASE NÍVEL 3 (Esio Médio) SEGUNDO DIA PROBLEMA 4 Seja ABCD um quadrilátero cíclico e r e s as retas simétricas à reta AB em relação às bissetrizes iteras dos âgulos CAD e CBD, respectivamete. Sedo P a iterseção de r e s e O o cetro do círculo circuscrito a ABCD, prove que OP é perpedicular a CD. PROBLEMA 5 Prove que para quaisquer iteiros a > e b > existe uma fução f dos iteiros positivos os iteiros positivos tal que f ( a f( )) = b para todo iteiro positivo. PROBLEMA 6 O profeta veusiao Zabruberso eviou a seus discípulos uma palavra de 0000 letras, sedo cada uma delas A ou E: a Palavra Zabrúbica. Seus seguidores passaram a cosiderar, para k 0000, cada palavra formada por k letras cosecutivas da Palavra Zabrúbica uma palavra profética de tamaho k. Sabe-se que há o máximo 7 palavras proféticas de tamaho 3. Determie o úmero máximo de palavras proféticas de tamaho 0. SOLUÇÕES TERCEIRA FASE NÍVEL (6 o. e 7 o. Aos) PROBLEMA SOLUÇÃO DE LUCAS CAWAI JULIÃO (CAUCAIA CE) a) Vamos chamar o lado do quadrado de vértice C de x, e o lado do quadrado de vértice A de y. Como os retâgulos que estão vizihos a esses quadrados têm o dobro da área deles, etão eles irão ter a largura com a mesma medida dos quadrados e comprimeto, igual ao dobro do lado do quadrado. Veja a figura: EUREKA! N 30,

38 A y y x B y y x y x x x y x D x x C Podemos ver que um lado do quadrado maior mede 3x. Para calcularmos o lado do quadrilátero cetral, basta retirarmos o que ão pertece a ele. Logo, retiraremos x + y. Mas isso ocorrerá dos dois lados, etão os dois lados do quadrilátero destacado são iguais a x y. Assim temos que ele é um quadrado. b) Como um lado do quadrado maior é, e já havíamos falado que também é igual a 3x. Logo x = 4. Mas também podemos perceber que a medida x é 8 equivalete a 3y. Como x = 4, etão y =. 3 Agora, como o lado do quadrado destacado é x y, etão sua área é ( x y ). Substituido x e y, e resolvedo temos que a área do quadrado destacado é PROBLEMA SOLUÇÃO DE LARA VIANA DE PAULA CABRAL e RAFAEL RODRIGUES ROCHA DE MELO (FORTALEZA CE) a) A sequecia é 008, 39, 40, 533, 644, 7553, 8664, 9775, 886, 997, 8, 9, 0 b) Idepedete do dígito que ocupa a ª posição do úmero, após uma certa quatidade de operações, ele chegará a 9 e, basta mais uma operação para ele chegar a 0, que desaparecerá, e o úmero ficará assim com um dígito a meos. Em seguida, idepedete do dígito que agora ocupa a ª posição, após uma certa quatidade de operações ele também chegará a 9 e, logo depois, a 0, que também desaparecerá, e o úmero terá assim outro dígito a meos. Cotiuado esse processo até o úmero ter um úico dígito, esse dígito também chegará a 9 e, depois, a 0, ecerrado o processo. EUREKA! N 30,

39 PROBLEMA 3 SOLUÇÃO OFICIAL DA BANCA Seja f o úmero de maeiras possíveis de cobrir o tabuleiro 3. Se a primeira colua é coberta por uma peça vertical, falta cobrir um tabuleiro 3 ( ). Seão, começamos com três peças a horizotal, e falta cobrir um tabuleiro 3 ( 3 ). Assim, temos f = f, + f 3 para todo 4. Como claramete temos f =, - - f = e f 3 =, temos f4 = f3 + f = 3,f5 = f4 + f = 4,f6 = f5 + f 3 = 6,f7 = f6 + f 4 = 9, f = f + f = 3,f = f + f = 9,f = f + f = 8,f = f + f = 4, f = f + f 9 = 60, f3 = f + f 0 = 88,f4 = f3 + f = 9 e, fialmete, f5 = f4 + f = 89. Assim, as respostas são: a),,, 3, 4, 6, 9, respectivamete. b) De 89 maeiras. PROBLEMA 4 SOLUÇÃO OFICIAL DA BANCA a) Não é possível. Para que seja possível cobrir o plao com uma figura, em cada vértice determiado pelas figuras que a cobrem a soma dos âgulos iteros deve ser 80º ou 360º: Soma 80º Soma 360º Todo petágoo pode ser cortado em três triâgulos, de modo que a soma de seus âgulos iteros é 3 80 = 540. Assim, cada âgulo itero de um petágoo regular é 540 = 08. Como 08 < 80 < 08 e 3 08 < 360 < 4 08, 5 ão é possível cobrir o plao com cópias de um petágoo regular. b) Note que, como m ( Aˆ) + m( Bˆ) = 80, EA e BC são paralelos, de modo que EABC é um losago. Assim CE = DE = CD e CDE é um triâgulo equilátero. EUREKA! N 30,

40 Assim é possível cobrir o plao com o petágoo ABCDE, como mostra a figura a seguir: A B E C D PROBLEMA 5 SOLUÇÃO ADAPTADA DA SOLUÇÃO DE GABRIEL YASHIMI BARRÓN TOYAMA (SÃO PAULO SP) a) Observe que dividido por 7 tem resto 3. Assim, é múltiplo de 7 e, portato, 7 é garboso. Na verdade, 7 tem ifiitos múltiplos começados por 008. b) Seja x a quatidade de algarismos de um úmero iteiro positivo y qualquer. Cosidere o resto m da divisão de x por y. Temos 0 m y, e portato y m y. Como y tem x algarismos, y < 0 x, e logo y m y < 0 x. Assim, y m tem o máximo x algarismos, e portato x + ( y m) começa sua represetação decimal por 008. Como x = y z+ m, para algum iteiro z, ( y m) y ( z ) x = + é múltiplo de y, e portato y é garboso. SOLUÇÕES TERCEIRA FASE NÍVEL (8 o. e 9 o. Aos) PROBLEMA SOLUÇÃO DE DANIEL DOS SANTOS BOSSLE (PORTO ALEGRE RS) Perceba que a distribuição dos úmeros o tabuleiro forma domiós, pois a cada casa está associada exatamete uma casa viziha com o mesmo úmero. Logo, para que todos os domiós se ecaixem, deve haver um úmero par de casas o tabuleiro. Assim, é impossível cobrir um tabuleiro EUREKA! N 30,

41 Por outro lado, é possível cobrir um Uma solução é a seguite, bastado repetir o padrão até o fim: Assim, as respostas são: a) Não b) Sim PROBLEMA SOLUÇÃO DE JOÃO LUCAS CAMELO SÁ (FORTALEZA CE) Supoha que os âgulos suplemetares sejam adjacetes. Vamos chamá-los de A e B e os outros de C, D e E. Observe a motagem a seguir: r A B A B A C E C E C B D D D D E C E C E C A B A B A B Como A+ B + C + D + E = 80 (5 ) = 540 e A+ B = 80, temos que C + D + E = 360. Logo, é possível ecaixar os petágoos desta maeira, em faixas. Ao ecaixarmos faixa sobre a outra pelas retas r e s da figura, poderemos cobrir o plao iteiro. Temos agora que aalisar o caso quado os suplemetares (dessa vez A e C ) ão são adjacetes. Sedo B o âgulo do vértice etre A e C, e D e E os outros âgulos, temos a seguite cofiguração: (Lembrado que B + D + E = 360 ) s EUREKA! N 30, 009 4

42 B C A E B E A D C B E D D E B C D = D D A E A C B E B Hexágoo α Vamos mostrar que podemos agrupar vários hexágoos α de modo a cobrir o plao. Basta seguir as faixas abaixo: Faixas: B E D D E B D D B E D D D D E B D D B E D D D D E B Como os âgulos de fora valem 360 B E = D e os da pota também, é possível ecaixar, cobrido todo o plao. EUREKA! N 30, 009 4

43 PROBLEMA 3 SOLUÇÃO DE JOÃO LUCAS CAMELO SÁ (FORTALEZA CE) Seja p um primo 3 e diferete de 5. Temos p ( p ) ( p ) ( p ) 5 5 (5 ) (5 + ) = =. Aalisado módulo p, pelo pequeo p p p p p Teorema de Fermat, 5 (mod p) 5 0(mod p) e p p 5 (mod ) 5 + 0(mod ). p 5 5 p + 5 Assim, é iteiro e é iteiro é iteiro quado = p. p Como existem ifiitos primos p, existem ifiitos que satisfazem a codição do euciado. PROBLEMA 4 SOLUÇÃO DE JOÃO LUCAS CAMELO SÁ (FORTALEZA CE) p + q q Supoha p= q = = q r = q ré primo. p+ q q p + q p q + q q Caso cotrário, = = p q+ p+ q q. p+ q p+ q p+ q Aalogamete, p+ q p. Como p q,( p, q) = ( p, q ) = ( p, q ) =. Logo p+ q ( p, q ) p+ q p+ q. Mas pq,, absurdo. Logo, p= q, e portato r é primo. Obs.: João Lucas utilizou a otação ( ab, ) = mdcab (, ). PROBLEMA 5 SOLUÇÃO DE MARIA CLARA MENDES SILVA (PIRAJUBA MG) A M H C 0 O α = 5 5 = α B EUREKA! N 30,

44 O circucetro é equidistate dos 3 vértices. AB BH = OC = OA = OB =. AB = OB. Aí AB = OB = OB + OA OAB é retâgulo em O pela recíproca do Teorema de Pitágoras. Como OA = OB, ele também é isósceles e OAB = OBA = 45. Seja M o poto médio de AC. OM é perpedicular a AC, e BH OA temos que OM = =. Aí AO é o dobro de OM, logo se ( M AO ) = 0,5 e como π MAO 0,, MAO = 30. Logo OCM = 30, já que COAé isósceles. Assim COA = = 0 e COB = = Fialmete α = = 5. Os âgulos são: = 75, = 45 e = 60. PROBLEMA 6 SOLUÇÃO OFICIAL DA BANCA Cosidere o cojuto C = {0,,3}. Temos SC ( ) = {0,,,3,4,6} e DC ( ) = { 3,,,0,,,3}. Assim, S(C) tem 6 elemetos, equato D(C) tem 7. Vamos agora, para cada iteiro positivo, cosiderar o cojuto A dos aturais com o máximo algarismos a base 7, todos pertecetes a C, isto é, j j j A() = aj 7; aj C,0 j. Dados a= aj 7 e b= bj 7 em j= 0 j= 0 j= 0 A, com a, b C, para 0 j, j= 0 j ( j j) j j a b= a b 7. Assim, temos temos a b ( aj bj) j + = + 7 e j= 0 j S( A) = uj 7, uj S( C),0 j j= 0 j e DA ( ) = vj 7, vj DC ( ),0 j. j= 0 Como S(C) tem 6 elemetos etre 0 e 6, e a represetação em base 7 é úica, S( A ) tem exatamete 6 7 j elemetos. Por outro lado, como = 37, temos j= 0 EUREKA! N 30,