Introdução ao Problema de Sturm-Liouville

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1 Cpítulo 18 Introdução o Problem de Sturm-Liouville Conteúdo 18.1 Comentários Iniciis O Problem de Sturm Soluções Fundmentis e Funções de Green A Função de Green. Resolvendo o Problem de Sturm O Teorem de Green O Problem de Sturm-Liouville Proprieddes Básics dos Auto-Vlores e Auto-Funções de Problems de Sturm-Liouville A Simplicidde dos Auto-Vlores O Lem de Green Relidde dos Auto-Vlores e Auto-funções. Ortogonlidde de Auto-funções Proprieddes dos Autovlores A Equção Integrl de Fredholm Um Aplicção do Problem de Sturm-Liouville Métodos Vricionis de Determinção de Autovlores Comentários Finis Um Problem de Sturm-Liouville Singulr Exercícios Adicionis APÊNDICES A Prov do Teorem Existênci e Unicidde B Prov d Proposição C Comentário Sobre o Determinnte Wronskino D Demonstrção do Teorem D.1 Prov d Desiguldde 18.D.17) Opresente cpítulo é dedicdo o problem de Sturm1-Liouville2, um clássico problem d teori ds equções diferenciis, com diverss plicções em Físic. Historicmente o problem de Sturm-Liouville engendrou um série de desenvolvimentos que conduzirm, no começo do século XX, o nscimento de um nov e importnte áre d Mtemátic, Análise Funcionl, áre ess que é de importânci fundmentl pr Físic Quântic. Há um vst litertur sobre o problem de Sturm-Liouville, sendo seus rudimentos trtdos n grnde miori dos livros dedicdos à teori ds equções diferenciis ordináris. Pr um referênci gerl sobre o problem de Sturm-Liouville regulr, centrd em spectos nlítico-funcionis, vide [16]. Pr um referênci recente, vide [364]. No presente cpítulo trtremos pens de problems de Sturm-Liouville de segund ordem, i.e., envolvendo equções diferenciis lineres de segund ordem, e nos restringiremos tmbém um clsse de problems ditos regulres. Pr problems de Sturm-Liouville de ordem superior, vide [167]. N Seção , págin 86, n Seção 15.1, págin 677, ssim como n Seção 16.4, págin 751, são feits lgums generlizções problems não-regulres Comentários Iniciis Inúmeros problems em Físic envolvem resolução de equções diferenciis ordináris lineres de segund ordem e o estudo de proprieddes geris de sus soluções. De modo gerl, um equção diferencil desse tipo é d form 1 Jcques Chrles Frnçois Sturm ). 2 Joseph Liouville ). u + 1 x)u + x)u = gx), 18.1) 831

2 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 6 de bril de 218. Cpítulo /2349 onde g, e 1 são certs funções conhecids de números reis em n miori dos csos) números reis, ds quis eventulmente exige-se certs condições como continuidde, diferencibilidde etc.). A função u represent lgum grndez físic e equção 18.1) é expressão mtemátic de um lei físic que ess grndez deve obedecer. Em muitos csos função u é definid em um intervlo fechdo finito [, b] d ret rel, b >, e é obrigd stisfzer certs condições nos extremos desse intervlo. Tis condições são chmds de condições de contorno. Condições de contorno são ditds ou por leis físics ou por restrições físics ou geométrics que devem ser imposts nos pontos e b à grndez representd por u. O cso mis típico é quele no qul impõe-se que função u ou su primeir derivd ou combinções lineres de mbs) ssumem certos vlores fixos nos pontos e b. Há tmbém muits situções ns quis função u é definid em intervlos semi-infinitos, como [, ) ou infinitos, como, ), e s condições imposts podem exigir, por exemplo, que u se nule no infinito, que sej limitd ou que sej de qudrdo integrável. No presente cpítulo não trtremos de tis csos. Condições de contorno lineres e homogênes Há muitos tipos distintos de condições de contorno. De prticulr importânci são s condições de contorno lineres que, no cso de equções de segund ordem, têm seguinte estrutur. A função u está definid em um intervlo finito [, b] e pr certs constntes reis dds α 1, α 2, β 1, β 2, ϕ 1 e ϕ 2 tis que α 1, α 2 ), ), β 1, β 2 ), ) função u deve stisfzer o pr de condições α 1 u)+α 2 u ) = ϕ 1, 18.2) β 1 ub)+β 2 u b) = ϕ ) Condições de contorno desse tipo são dits lineres devido à dependênci liner em u do ldo esquerdo de 18.2) e 18.3). Estremos interessdos prticulrmente em condições do seguinte tipo: suporemos que u está definid em um intervlo finito [, b] e que pr certs constntes reis α 1, α 2, β 1 e β 2 tis que α 1, α 2 ), ), β 1, β 2 ), ) função u stisfç o pr de condições α 1 u)+α 2 u ) =, 18.4) β 1 ub)+β 2 u b) =. 18.5) Condições de contorno lineres desse tipo são dits homogênes devido o ldo direito de 18.4) e 18.5) ser zero. Condições de contorno são restrições de crucil importânci n resolução de equções diferenciis. Pr verificr ess importânci, fç os seguintes exercícios simples: E Exercício. Verifique que o problem de determinr um função u tl que u = tl que u ) = e u 1) = 1 não tem soluções. E Exercício. Verifique que o problem de determinr um função u tl que u = tl que u ) = e u 1) = tem infinits soluções. E Exercício. Verifique que o problem de determinr um função u tl que u + u = com u) = ϕ 1 e uπ) = ϕ 2 tem infinits soluções se ϕ 1 = ϕ 2 e não tem solução se ϕ 1 ϕ 2. Um teorem sobre existênci e unicidde de soluções Os exemplos dos exercícios cim mostrm que questão d existênci e unicidde de soluções em problems que envolvem condições de contorno não é um questão trivil. É importnte nesse contexto mencionr um teorem, o Teorem 18.1, bixo, o qul express certs condições necessáris e suficientes pr grntir existênci e unicidde de soluções. Antes de enunciá-lo precismos do seguinte fto. Lem 18.1 Sej equção diferencil liner homogêne de segund ordem u + 1 x)u + x)u =, onde e 1 são funções reis e contínus definids num intervlo finito e fechdo [, b]. Sejm u 1, u 2 dus soluções linermente independentes dess equção definids em [, b] e sejm v 1 e v 2 dus outrs soluções linermente independentes d

3 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 6 de bril de 218. Cpítulo /2349 mesm equção no mesmo intervlo. Sejm α 1, α 2, β 1, β 2 constntes tis que α 1, α 2 ), ), β 1, β 2 ), ). Então, α 1 v 1 )+α 2 v det 1) α 1 v 2 )+α 2 v 2) se e somente se det α 1 u 1 )+α 2 u 1) α 1 u 2 )+α 2 u 2). β 1 v 1 b)+β 2 v 1 b) β 1v 2 b)+β 2 v 2 b) β 1 u 1 b)+β 2 u 1 b) β 1u 2 b)+β 2 u 2 b) 18.6) Prov. O espço de soluções linermente independentes de um equção homogêne de segund ordem é bidimensionl 3. Assim, se u 1 e u 2 são dus soluções linermente independentes e v 1 e v 2 tmbém, então pr todo x [, b] vle v 1 x) = γ 11 γ 12 u 1 x), v 2 x) γ 21 γ 22 u 2 x) γ11 γ12 onde γ ij são constntes com det γ 21 γ 22 ). Agor, como fcilmente se constt, α 1 v 1 )+α 2 v 1) α 1 v 2 )+α 2 v 2 ) β 1 v 1 b)+β 2 v 1b) = γ 11 γ 12 α 1 u 1 )+α 2 u 1) β 1v 2 b)+β 2 v 2 b) γ 21 γ 22 α 1 u 2 )+α 2 u 2 ) β 1 u 1 b)+β 2 u 1b) β 1u 2 b)+β 2 u 2 b) e, portnto, 18.6) segue do fto bem conhecido 4 que o determinnte de um mtriz é igul o d su trnspost. Teorem 18.1 Sej equção diferencil liner de segund ordem u + 1 x)u + x)u = gx), 18.7) onde g, e 1 são funções reis e contínus definids num intervlo finito e fechdo [, b]. O problem de encontrr soluções dess equção que stisfçm condições de contorno do tipo α 1 u)+α 2 u ) = ϕ ) β 1 ub)+β 2 u b) = ϕ ) pr certs constntes reis α 1, α 2, β 1, β 2, ϕ 1 e ϕ 2 tis que α 1, α 2 ), ), β 1, β 2 ), ) tem solução únic se e somente se existir o menos um pr de soluções independentes u 1 e u 2 d equção homogêne u + 1 x)u + x)u = 18.1) tis que α 1 u 1 )+α 2 u det 1) β 1 u 1 b)+β 2 u 1b) α 1 u 2 )+α 2 u 2) ) β 1 u 2 b)+β 2 u 2b) Pel Lem 18.1, bst que 18.11) sej stisfeit por um pr de soluções independentes de 18.1), que será stisfeit por todo outro pr de soluções independentes d mesm equção. A demonstrção do Teorem 18.1 é presentd no Apêndice 18.A, págin Pr estudnte pr o qul isso não é obvio, o enuncido preciso é feito n Proposição 13.1, págin Vide Teorem 9.1, págin 36.

4 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 6 de bril de 218. Cpítulo /2349 Exemplo 18.1 No Exercício E. 18.3, págin 832, verificmos que o problem de determinr um função u tl que u + u = com u) = ϕ 1 e uπ) = ϕ 2 ou tem infinits soluções cso ϕ 1 = ϕ 2) ou não tem nenhum solução cso ϕ 1 ϕ 2). Vmos nlisr isso sob luz do Teorem Aqui temos [, b] = [, π]. Com s condições u) = ϕ 1 e uπ) = ϕ 2 tem-se α 1 = β 1 = 1 e α 2 = β 2 =. Dus soluções independentes d equção homogêne u +u = são u 1x) = cosx) e u 2x) = senx). Assim, α 1u 1)+α 2u 1) β 1u 1b)+β 2u 1b) α 1u 2)+α 2u 2) = cos) sen) = β 1u 2b)+β 2u 2b) cosπ) senπ) 1, 1 cujo determinnte é nulo. Logo, condição 18.11) necessári e suficiente pr existênci e pr unicidde de solução) é viold e, portnto, ou solução não existe ou não é únic, como consttdo no referido Exercício. Relcionndo problems com condições de contorno não-homogênes e homogênes Adinte, considerremos pens problems com condições de contorno lineres e homogênes. Por que não considerremos tmbém s condições de contorno não-homogênes? A rzão é que, como veremos, podemos sempre obter soluções de problems com condições de contorno não-homogênes prtir ds soluções de problems com condições de contorno homogênes. A rgumentção é bem simples. Sej w um função em princípio rbitrári dus vezes diferenciável) ms que stisfç α 1 w)+α 2 w ) = ϕ 1, 18.12) β 1 wb)+β 2 w b) = ϕ ) Determinr um função tl w stisfzendo esss condições sempre é possível supondo α 1, α 2 ), ) e β 1, β 2 ), )). Isso pode ser feito, por exemplo, procurndo w n form de um polinômio de gru suficientemente lto pelo menos 3, no cso gerl) e procurndo justr os coeficientes desse polinômio de modo que18.12)-18.13) sejm stisfeits. Pr um tl função w, vmos definir um função hx) d seguinte form: Sej v solução d equção com s condições de contorno homogênes hx) := w x)+ 1 x)w x)+ x)wx). Então, é fácil verificr que função ux) = vx)+wx) stisfz e v + 1 x)v + x)v = gx) hx), 18.14) α 1 v)+α 2 v ) =, 18.15) β 1 vb)+β 2 v b) = ) u + 1 x)u + x)u = gx) α 1 u)+α 2 u ) = ϕ 1, 18.17) β 1 ub)+β 2 u b) = ϕ ) Isso diz-nos, em resumo, que pr resolver problems com condições de contorno não-homogênes é suficiente sber determinr um função como w cim e sber determinr solução de um equção diferencil liner com condições de contorno homogênes. Por ess rzão, dqui por dinte só considerremos problems com condições de contorno homogênes. Reescrevendo equção diferencil n form de Liouville Um observção importnte que devemos fzer sobre equções como 18.1) é que, pr muitos csos, s mesms sempre podem ser reescrits d seguinte form equivlente, conhecid como form de Liouville: px)u ) +qx)u = fx), 18.19)

5 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 6 de bril de 218. Cpítulo /2349 onde px) := exp x 1x )dx ), qx) := px) x) e fx) := px)gx). Dorvnte estremos usndo est form d equção mis frequentemente que form nterior. E Exercício. Verifique equivlênci ds dus forms d equção multiplicndo 18.1) por px) e usndo o fto que, pel definição, p x) = 1x)px). Condições de contorno homogênes crcterizm um espço vetoril Um fto importnte sobre problems com condições de contorno homogênes e que será implicitmente utilizdo no que seguirá é o seguinte: Sejm fixds s constntes α 1, α 2, β 1 e β 2. Se g 1 e g 2 são dus funções dus vezes diferenciáveis definids no intervlo [, b] tis que mbs stisfzem s condições de contorno homogênes 18.4)-18.5) então qulquer combinção liner de mbs γ 1 g 1 x) + γ 2 g 2 x) é tmbém um função dus vezes diferenciável no intervlo [, b] que stisfz s mesms condições de contorno homogênes 18.4)-18.5). E Exercício. Verifique ess firmção. Em outrs plvrs, o conjunto de tods s funções dus vezes diferenciáveis definids no intervlo[, b] que stisfzem s condições de contorno homogênes 18.4)-18.5) é um espço vetoril rel ou complexo, dependente do cso). Esse espço será denotdo qui por Vα 1, α 2, β 1, β 2 ), ou simplesmente por V, qundo não houver confusão. A seguinte proposição, válid pr funções do espço vetoril Vα 1, α 2, β 1, β 2 ), será frequentemente usd no que segue. Proposição 18.1 Se f e g são dus funções quisquer de Vα 1, α 2, β 1, β 2 ), então vlem s relções f)g ) f )g) = e fb)g b) f b)gb) =. 18.2) Prov. Como f e g são elementos de Vα 1, α 2, β 1, β 2 ), vlem f) f ) g) g ) α 1 α 2 = Como α1 α 2 ) ) e β1 determinnte nulo, ou sej, vlem s relções 18.2). β 2 ) ) ), s mtrizes f) f ) e g) g ) e fb) f b) gb) g b) β 1 β 2 =. ) fb) f b) não podem ser inversíveis e, portnto, têm gb) g b) Condições de contorno não-homogênes crcterizm um espço convexo Sejm fixds s constntes α 1, α 2, β 1, β 2, ϕ 1 e ϕ 2. Se g 1 e g 2 são dus funções dus vezes diferenciáveis definids no intervlo [, b] tis que mbs stisfzem s condições de contorno não-homogênes 18.2)-18.3) então qulquer combinção liner convex de mbs γg 1 x) +1 γ)g 2 x), γ 1, é tmbém um função dus vezes diferenciável no intervlo [, b] que stisfz s mesms condições de contorno não-homogênes 18.2)-18.3). E Exercício. Verifique ess firmção. Em outrs plvrs, o conjunto de tods s funções dus vezes diferenciáveis definids no intervlo[, b] que stisfzem s condições de contorno não-homogênes 18.2)-18.3) é um espço convexo. Operdores de Liouville Como iremos dqui por dinte trtr de equções diferenciis d form px)u ) +qx)u = fx), convém introduzir um notção simplificdor: Lu := px)u ) +qx)u.

6 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 6 de bril de 218. Cpítulo /2349 L pode ser entendido como o operdor diferencil liner L := d dx px) d dx ) +qx). L é liner pois clrmente tem-se Lαu+βv) = αlu+βlv pr quisquer constntes α e β e quisquer funções dus vezes diferenciáveis) u e v. Adinte, usremos tmbém o operdor diferencil prcil L x := x px) x ) +qx). Os operdores L e L x são por vezes denomindos operdores de Liouville. Pr uso futuro, observemos que se Fx, y) é um função dus vezes diferenciável, então vle ) b L Fx, y)dy = L x Fx, y)dy ) Após ests observções podemos pssr trtr nosso problem de form mis sistemátic. * 18.2 O Problem de Sturm Definição do problem Entende-se como o Problem de Sturm o problem de determinr s soluções d equção diferencil px)u ) +qx)u = fx), ou sej Lu = f, 18.22) pr u definid no intervlo fechdo finito [, b] R, < b, com s condições de contorno lineres e homogênes onde o seguinte estrá sendo suposto: As funções p, q e f são reis e contínus em [, b]. α 1 u)+α 2 u ) =, 18.23) β 1 ub)+β 2 u b) =, 18.24) A função p é diferenciável em [, b] e estritmente positiv: px) >, x [, b]. As constntes α 1, α 2, β 1 e β 2 são reis e tis que α 1, α 2 ), ) e β 1, β 2 ), ). As condições cim são essenciis ms não delimitm ind totlmente o Problem de Sturm, pois é preciso impor restrições que grntm existênci e unicidde de soluções do mesmo. Como prendemos do Teorem 18.1, devemos impor ind que α 1 u 1 )+α 2 u 1 det ) β 1 u 1 b)+β 2 u 1 b) onde u 1 e u 2 são dus soluções independentes quisquer d equção homogêne Lu =. * α 1u 2 )+α 2 u 2 ), 18.25) β 1u 2 b)+β 2 u 2 b) Um vez delinedo o qudro onde iremos trblhr, pssemos o importnte conceito d função de Green que nos levrá à solução do problem de Sturm.

7 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 6 de bril de 218. Cpítulo / Soluções Fundmentis e Funções de Green Comecemos com lgums definições geométrics que usremos. Denotremos por Q o qudrdo fechdo do plno R 2 definido por { } Q := [, b] [, b] = x, y) R 2 : x b e y b. O qudrdo berto Q é definido por Q :=, b), b) = { } x, y) R 2 : < x < b e < y < b. O conjunto dos pontos de Q de Q ) pr os quis x = y é dito ser digonl principl de Q de Q ). Denotremos por R o conjunto formdo por Q sem su digonl principl. Como é fácil ver { } R := x, y) R 2 : < x < y < b ou < y < x < b. Soluções fundmentis e funções de Green Um função de dus vriáveis Hx, y) com x, y [, b] é dit ser um solução fundmentl do problem de Sturm delinedo cim se stisfizer s seguintes condições: 1. H é contínu em Q e dus vezes diferenciável em R, ms sus derivds prciis não são necessriemente contínus n digonl principl de Q. 2. L x Hx, y) = pr todos x, y) R. 3. Pr tod função g : [, b] R, contínu, função pr x [, b]. Hx, y)gy) dy stisfz ) b L Hx, y)gy) dy = gx) 18.26) O item 2, cim, diz-nos que um solução fundmentl é o que se denomin um solução frc d equção L x H = em Q, ou sej, um solução dess equção, não em todo Q ms em um conjunto cujo fecho é Q. Um função de dus vriáveis Gx, y) com x, y [, b] é dit ser um função de Green 5 do problem de Sturm que delinemos cim se G for um solução fundmentl do problem de Sturm e se função ux) := stisfizer s condições de contorno 18.23)-18.24). Gx, y)fy) dy 18.27) As definições cim dizem que se G for um função de Green do problem de Sturm em questão, então 18.27) é solução desse problem, pois stisfz equção Lu)x) = fx) pr x [, b] e stisfz s condições de contorno 18.23)-18.24). Logo dinte mostrremos como construir função de Green de um problem de Sturm e, consequentemente, como obter su solução por 18.27). Antes, fçmos lguns comentários sobre noção de solução fundmentl. Soluções fundmentis e distribuição delt de Dirc. O significdo d função de Green ) b Um solução fundmentl H de um problem de Sturm deve ser tl que L Hx, y)gy) dy = gx) pr tod g contínu. Isso prece prdoxl, pois se fosse verdde que ) b L Hx, y)gy) dy = 5 George Green ). L x Hx, y)gy)dy, 18.28)

8 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 6 de bril de 218. Cpítulo /2349 como 18.21) sugere, o ldo direito deveri ser nulo, pois supomos tmbém que L x Hx, y) = pr x y. O ponto é que iguldde 18.28) não é verddeir como está presentd, pois dissemos que s derivds prciis de H não são contínus n digonl x = y e, portnto, L x H não está definid ness digonl, pois envolve derivds prciis segunds de H. O que definição de solução fundmentl subentende, porém, é que vle L x Hx, y) = δx y) 18.29) em todo Q, onde δ é distribuição delt de Dirc 6. Com esse entendimento, teremos então que ) b L Hx, y)gy) dy = L x Hx, y)gy)dy = δx y)gy)dy = gx), 18.3) em concordânci, portnto, com 18.26). Assim, podemos resumir nosss definições dizendo que um solução fundmentl do problem de Sturm é um função que stisfz 18.29) e que um função de Green do problem de Sturm é um função Gx, y) que stisfz 18.29) e s condições de contorno 18.23)-18.24) n vriável x. A relevânci d função de Green de um problem de Sturm é que mesm depende do operdor L x e, portnto, ds funções p e q) e ds condições de contorno escolhids, ms não depende d função f. Como se percebe contemplndo 18.27), Gx, y) define o quão grnde é influênci que o vlor de f no ponto y exerce sobre solução u no ponto x. Dess form, G conteri em si informções fundmentis sobre como um sistem físico descrito por um função u, e regido pel equção Lu = f, sob s condições de contorno prescrits, rege à influênci de um estímulo externo definido por um função f. Um desenvolvimento mis mplo ds noções de solução fundmentl e função de Green em um contexto mis gerl que o presente e tendo como ponto de prtid relção 18.29) é presentd n Seção 39.4, págin Vide tmbém Seção 21.11, págin 988, pr um trtmento mis prático e informl. Pr nosso interesse presente questão que gor se impõe é: possuem problems de Sturm funções de Green? A respost é positiv, como veremos no que segue A Função de Green. Resolvendo o Problem de Sturm Pr construirmos função de Green de um problem de Sturm fremos uso do seguinte resultdo importnte, o qul é um consequênci diret d condição 18.25): Proposição 18.2 Com s definições e hipóteses cim, existem funções v 1 e v 2, independentes, definids no intervlo [, b], tis que Lv 1 =, Lv 2 = e tis que e Esss funções stisfzem α 1 v 1 )+α 2 v 1) = 18.31) β 1 v 2 b)+β 2 v 2b) = ) det, ou sej v 1x)v 2x) v 2 x)v 1x), 18.33) v 2 x) v 2x) pr todo x [, b]. Além disso, vle tmbém que α 1 v 2 )+α 2 v 2 ) e que β 1v 1 b)+β 2 v 1 b). 6 Pul Adrien Murice Dirc ).

9 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 6 de bril de 218. Cpítulo /2349 A demonstrção dess proposição encontr-se no Apêndice 18.B, págin 867. Construção d função de Green Além d equção consideremos tmbém equção diferencil homogêne px)u ) +qx)u = fx), 18.34) px)u ) +qx)u = ) Pel Proposição 18.2, existem soluções independentes v 1 e v 2 d equção homogêne, tis que v 1 e v 2 stisfzem s seguintes condições de contorno: α 1 v 1 )+α 2 v 1 ) =, 18.36) β 1 v 2 b)+β 2 v 2b) = ) Note-se que 18.36) é um restrição à função v 1 no ponto enqunto que 18.37) é um restrição à função v 2 no ponto b. Com o uso desss funções vmos construir um solução do problem de Sturm. Afirmmos que função de Green do problem de Sturm considerdo é função de dus vriáveis Gx, y), com x [, b] e y [, b], definid d seguinte form: v 1 x)v 2 y) p)w), pr x y b, Gx, y) := 18.38) v 1 y)v 2 x) p)w), pr y x b, onde Wx) é o chmdo determinnte Wronskino 7, ou função Wronskin, definido 8, neste cso, por Note-se que, por 18.33), Wx) pr todo x [, b]. v 1 x) v Wx) := det 1x) = v 1x)v 2 x) v 2x)v 1 x) ) v 2 x) v 2 x) Que 18.38) de fto stisfz s condições definidors d função de Green será provdo no que segue. Antes de prosseguirmos, porém, vmos demonstrr um fto simples sobre função Wronskin, sber vmos mostrr que função px)wx) é constnte no intervlo [, b]. Isso signific provr que px)wx)) =. De fto, pw) = p W +pw = p v 1 v 2 v 1 v 2)+pv 1 v 2 v 1 v 2) = p v 1 v 2 v 1v 2 )+pv 1v 2 +v 1 v 2 v 1v 2 v 1v 2) = p v 1 v 2 v 1 v 2)+pv 1 v 2 v 1 v 2) = v 1 p v 2 +pv 2 ) v 2p v 1 +pv 1 ) = v 1 pv 2) v 2 pv 1) = v 1 qv 2 +v 2 qv 1 =, 18.4) 7 Conde Josef Hoëné de Wronski ). 8 No Apêndice 18.C, págin 868, mostrmos relção entre ess definição de determinnte Wronskino e quel introduzid no Cpítulo 13, págin 535 vide págin 544).

10 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 6 de bril de 218. Cpítulo 18 84/2349 onde, n penúltim iguldde, usmos o fto que v 1 e v 2 stisfzem equção homogêne. Assim, provmos que, pr todo x [, b], tem-se px)wx) = p)w) = pb)wb). Ddo que s funções v 1 e v 2 são contínus, é fácil ver que G é igulmente contínu no qudrdo Q onde está definid. Entretnto, s derivds prciis G x e G y de G não são contínus em Q, presentndo um descontinuidde o longo d digonl principl de Q os pontos x, y) Q com x = y). Como esse fto terá consequêncis dinte, vmos nos dedicr estudr ess descontinuidde com mis detlhe. Ddo que v 1 e v 2 são diferenciáveis, é clro que v 1x)v 2 y) p)w), pr x < y b, G x x, y) := v 1 y)v 2 x) p)w), pr y < x b ) Note que, nest últim expressão, excluímos os pontos pr os quis x = y, onde G x não está definid. Entretnto, pesr de G x não estr definid nesses pontos, os limites limg x x+ǫ, x) e limg x x ǫ, x) existem ms são, porém, ǫ ǫ distintos, o mesmo se dndo com os limites limg x x, x+ǫ) e limg x x, x ǫ) qui ǫ > ). Ddo que, pr qulquer ǫ ǫ ǫ >, tem-se x+ǫ > x e x ǫ < x, segue que bixo, todos os limites são tomdos com ǫ > ) e que Anlogmente segue que e que Portnto, segue que lim G xx+ǫ, x) = v 1x)v 2x) ǫ p)w) 18.42) lim G xx ǫ, x) = v 1 x)v 2x) ǫ p)w) ) lim G xx, x ǫ) = v 1x)v 2x) ǫ p)w) 18.44) lim G xx, x+ǫ) = v 1 x)v 2x) ǫ p)w) ) lim G xx+ǫ, x) limg x x ǫ, x) = v 1x)v 2x) v 1x)v 2 x) ǫ ǫ p)w) = Wx) p)w) = 1 px), 18.46) pois, como vimos, pr qulquer x [, b] tem-se p)w) = px)wx). De mneir idêntic, segue que lim G xx, x ǫ) limg x x, x+ǫ) = 1 ǫ ǫ px) ) As relções 18.46) e 18.47) mostrm-nos que, de fto, G x é descontínu n digonl de Q e nos dizem tmbém quão grnde é o slto ddo pel função G x qundo se cruz digonl de Q no ponto x, x). N região < x < y < b teremos, segundo definição de G, ) v1 x) v 2 y) L x Gx, y) = L x p)w) pois Lv 1 = e n região < y < x < b teremos L x Gx, y) = L x v1 y) v 2 x) p)w) ) = Lv 1)x) v 2 y) p)w) = v 1y) Lv 2 )x) p)w) tmbém pois Lv 2 =. Pr provr que G é um solução fundmentl rest estudrmos o que ocorre qundo x = y e estbelecermos que L x Gx, y) = δx y). Isso será obtido provndo que função ux) definid por =, =, ux) = Gx, y) fy) dy 18.48)

11 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 6 de bril de 218. Cpítulo /2349 stisfz equção não-homogêne 18.22). Posteriormente mostrremos que 18.48) stisfz s condições de contorno 18.23)-18.24). Isso diz-nos que G definid em 18.38) é função de Green do problem de Sturm e que 18.48) é solução procurd do mesmo. Esss firmções são conhecids como Teorem de Green e serão provds n Seção Observe-se que 18.48) pode ser escrit como ux) = v 2 x) x v 1 y) fy) dy + v 1x) v 2 y) fy) dy. p)w) p)w) x Finlizmos comentndo que função de Green de um problem de Sturm tmbém pode ser escrit em termos de um expnsão envolvendo uto-vlores e uto-funções de um problem de Sturm-Liouville. Isso será presentdo n expressão 18.12), págin 855. Esse últim expressão é ind mis relvnte que 18.38), pois é válid em situções mis geris, por exemplo, em problems em mis de um dimensão. Um trtmento mis detlhdo ds funções de Green é presentdo no Cpítulo 39, págin 19, e n Seção 21.11, págin O Teorem de Green Vmos qui demonstrr o Teorem de Green menciondo cim. Precismos pr tl clculr pu ) +qu = pu +p u +qu pr ux) dd por 18.48) e demonstrr que isso é igul fx). Ddo que G tem derivds prciis descontínus, é conveniente escrever x ux) = Gx, y) fy) dy + Gx, y) fy) dy ) x Em cd um dos pedços em que quebrmos integrl cim tem-se que G x é contínu. Dí, segue que x u x) = Gx, x)fx)+ G x x, y) fy) dy Gx, x)fx)+ x G x x, y) fy) dy = x G x x, y) fy) dy + x G x x, y) fy) dy. 18.5) E Exercício. Justifique s expressões cim. De form inteirmente nálog tem-se que x u x) = limg x x, x ǫ)fx)+ ǫ = fx) x px) + G xx x, y) fy) dy + x onde, n últim iguldde, usmos 18.47). G xx x, y) fy) dy limg x x, x+ǫ)fx)+ ǫ x G xx x, y) fy) dy G xx x, y) fy) dy, 18.51) E Exercício. Justifique s expressões cim. Dest form, temos que px)u +p x)u +qx)u = px) px) fx)+ x [ ] px)g xx x, y)+p x)g x x, y)+qx)gx, y) fy) dy + x [ ] px)g xx x, y)+p x)g x x, y)+qx)gx, y) fy) dy )

12 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 6 de bril de 218. Cpítulo /2349 Entretnto, temos que px)g xx x, y)+p x)g x x, y)+qx)gx, y) =, 18.53) e isto vle tnto pr y = [, x) qunto pr y = x, b]. Pr ver isso bst notr, por exemplo, que pr y = [, x) tem-se que px)g xx x, y)+p x)g x x, y)+qx)gx, y) = v 1 y) [ px)v p)w) 2x)+p x)v 2x)+qx)v 2 x) ] =, pois, por hipótese, v 2 é solução d equção homogêne px)v 2 x) + p x)v 2 x) + qx)v 2x) =. O cso y = x, b] é nálogo. E Exercício. Verifique! Assim, retomndo equção 18.52), vemos que px)u +p x)u +qx)u = fx) ) Está, portnto, demonstrdo que função u dd por 18.48) é solução d equção diferencil não-homogêne. Rest provr que ess função u stisfz s condições de contorno 18.4)-18.5). Deixmos importnte verificção desse último fto como exercício. E Exercício. Mostre que 18.48) stisfz s condições de contorno 18.4) 18.5). E Exercício. Considere o problem de Sturm definido pel equção diferencil u x) = fx) no intervlo [, 1] com s condições de contorno u) = e u1) =. Mostre, usndo 18.38), págin 839, que função de Green é dd por xy 1), pr x y 1, Gx, y) = ou sej, Gx, y) = 1 ) x y +2xy x y ) 2 x 1)y, pr y x 1, Constte que função G, cim, stisfz s condições de contorno requerids como função de x). De 18.55) obtém-se y 1, pr x < y 1, G xx, y) xgx, y) = y, pr y < x ) Constte de 18.56) que limg ǫ xx+ǫ, x) lim G ǫ xx ǫ, x) = 1 e lembre-se que no problem trtdo px) 1). Constte de 18.56) que G xx, y) = y 1+Hx y) e obtenh disso que xgx, 2 y) = δx y). Aqui, H é função de Heviside, definid em 13.36), págin 555, ou em ), págin Obtenh explicitmente solução no cso em que fx) = e x clculndo explicitmente ux) = 1 Gx, y)fy) dy = x 1) x ye y dy +x 1 x y 1)e y dy. Constte que expressão ssim obtid relmente stisfz equção u x) = fx) e s condições u) = e u1) =. O problem de Sturm com condições de contorno não-homogênes Com s observções d págin 834 podemos encontrr tmbém soluções de problems de Sturm Lu)x) = fx) com u stisfzendo condições de contorno não-homogênes como 18.2) 18.3). Sej w um função dus vezes diferenciável stisfzendo tmbém 18.12) 18.13). Defin-se hx) := Lw)x). e sej v solução d equção Lv)x) = fx) hx), 18.57)

13 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 6 de bril de 218. Cpítulo /2349 com s condições de contorno homogênes α 1 v)+α 2 v ) =, 18.58) β 1 vb)+β 2 v b) = ) Então, u = v + w stisfz Lu = f e s condições não-homogênes 18.2)-18.3). Agor, pel solução do problem de Sturm homogêneo, sbemos que vx) = Gx, y)fy) hy)) dy, onde G é montd como ntes vide 18.38)) prtir de soluções v 1 e v 2 d equção homogêne Lv 1,2 =, com v 1 e v 2 stisfzendo 18.36) e 18.37), respectivmente. Logo, solução procurd é [ ] ux) = Gx, y)fy) hy))dy +wx) = = Gx, y)fy)dy + Gx, y)fy)dy O Problem de Sturm-Liouville [ wx) wx) Sej o intervlo J := [, b] R e sejm p, q e r funções reis definids em J, tis que Gx, y)hy) dy Gx, y)lw)y)dy p é contínu, diferenciável e estritmente positiv em J, ou sej, px) > pr todo x [, b]. q é contínu em J. r é contínu e estritmente positiv em J, ou sej, rx) > pr todo x [, b]. Pr um função u definid em J que sej pelo menos dus vezes diferenciável, vmos como nteriormente definir o operdor diferencil L por Lu)x) = px)u ) +qx)u. Entende-se por Problem de Sturm-Liouville regulr 91, ou simplesmente Problem de Sturm-Liouville, o problem de se determinr função u definid em J e os números λ tis que seguinte equção diferencil sej stisfeit: Lu)x)+λrx)ux) =, 18.6) com o seguinte tipo de condição de contorno: vmos supor que existm constntes reis α 1, α 2, β 1 e β 2 tis que α 1, α 2 ), ), β 1, β 2 ), ) e tis que o seguinte pr de relções deve ser válido α 1 u)+α 2 u ) =, 18.61) β 1 ub)+β 2 u b) = ) Se λ for um número tl que equção 18.6) sej stisfeit pr lgum função u λ que em gerl dependerá de λ) então diz-se que λ é um uto-vlor do Problem de Sturm-Liouville e u λ é dito ser uto-função ssocid o uto-vlor λ do Problem de Sturm-Liouville. Ess nomencltur surge por nlogi com os conceitos de uto-vlor e utovetor de mtrizes n álgebr liner. Tl se justific pois, definindo-se o operdor M := 1 r L, equção Lu λ+λru λ = escreve-se n form Mu λ = λu λ, que é precismente um equção de utovlores pr o operdor M. Muitos problems de Físic envolvem solução de problems de Sturm-Liouville. For isso, solução de problems de Sturm-Liouville é útil pr resolução de equções não-homogênes como Lu)x) = fx) 18.63) 9 Os trblhos de Sturm e Liouville sobre o problem que é hoje conhecido como Problem de Sturm-Liouville form desenvolvidos entre 1829 e Um problem de Sturm-Liouville singulr será trtdo brevemente à págin 86. ].

14 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 6 de bril de 218. Cpítulo /2349 pr um função f dd, com condições de contorno como 18.61)-18.62). A rzão pr isso reside no fto que, como veremos, função de Green ssocid o problem de Sturm Lu = f com condições de contorno como 18.61)-18.62) pode ser escrit em termos ds uto-funções e dos uto-vlores de um problem de Sturm-Liouville. Exemplo 18.2 No bem-conhecido problem d cord vibrnte vide Seção 21.5, págin 956), descrevendo o movimento trnsversl de um cord homogêne de densidde ρ > e de comprimento L >, estendid entre os pontos e b = +L e submetid um tensão T >, temos que resolver equção de onds 2 u 2 u t 2 c2 x =, c := 2 com x [, b], t R. Pelo método de seprção de vriáveis vide Seção 17.3, págin 774), procurmos soluções d form ux, t) = yx)θt) e obtemos pr θ equção θt)+λc 2 θt) = e pr y equção T ρ, y x)+λyx) =, 18.64) λ sendo um constnte de seprção. Se cord estiver fix em e em b, devemos impor s condições de contorno y) = e yb) =. Esse problem de determinr função y stisfzendo equção 18.64) e s condições de contorno cim é um problem de Sturm-Liouville com px) = 1, qx) =, rx) = 1, α 1, α 2) = 1, ) e β 1, β 2) = 1, ). No cso = e b = L, obtem-se como soluções desse problem de Sturm-Liouville s funções y nx) = sennπx/l) com λ n = nπ/l) 2 pr todo n = 1, 2, 3,... Exemplo 18.3 N Mecânic Quântic, considere o problem de determinr função de ond de um prtícul de mss m movendo-se em um dimensão e constrit um intervlo finito [, b] R por brreirs infinits de potencil em x e x b e sujeit, no intervlo [, b], um potencil Vx). A equção de Schrödinger independente do tempo é 2 d 2 ψ 2m dx 2x) Vx)ψx)+Eψx) =, com x [, b], sendo que, devido às brreirs infinits de potencil, devemos impor s condições de contorno ψ) = e ψb) =. Trt-se de umproblem desturm-liouville com px) = 2, qx) = Vx), rx) = 1, λ = E, α1, α2) = 1, ) e β1, β2) = 1, ). 2m Exemplo 18.4 No problem descrito no Exercício E , págin 118, e no problem descrito no Exercício E , págin 118, devemos plicr o método de seprção de vriáveis pr s equções de ond e de difusão em dus dimensões espciis em coordends polres. Nqueles problems, pr o trtmento d prte rdil devemos resolver equção de Bessel x 2 y x)+xy x)+ α 2 x 2 ν 2) yx) = no intervlo [R 1, R 2], com < R 1 < R 2 <, equção ess que n form de Liouville fic px)y ) +qx)y +λrx)y =, com px) = x, qx) = ν2 x, rx) = x, λ = α2. As condições de contorno são de Dirichlet: yr 1) = yr 2) =. Trt-se clrmente de um problem de Sturm-Liouville regulr pois p e r são estritmente positivos no intervlo [R 1, R 2] com R 1 >. No problem descrito no Exercício E , págin 12, tem-se tmbém um problem de Sturm-Liouville regulr como os cim, ms com condições de contorno mists Proprieddes Básics dos Auto-Vlores e Auto-Funções de Problems de Sturm-Liouville N presente seção presentremos lguns resultdos fundmentis sobre problems de Sturm-Liouville regulres, como descritos cim. Provremos que os uto-vlores são simples não-degenerdos), que são reis, que s uto-funções podem ser escolhids reis e que s mesms stisfzem importntes relções denominds relções de ortogonlidde. Por fim, estbeleceremos lguns resultdos sobre positividde dos utovlores. Como consequênci, demonstrremos n Seção , págin 852, um relção, denomind fórmul de Mercer eq )), entre s funções de Green de problems de Sturm e os utovlores e uto-funções de um problem de Sturm-Liouville. Tnto s relções de ortogonlidde qundo fórmul de Mercer são de grnde relevânci em plicções. Comentmos, ind, que lguns dos resultdos que seguem serão lcnçdos com mis generlidde n Seção 15.1, págin 677, do Cpítulo 15.

15 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 6 de bril de 218. Cpítulo / A Simplicidde dos Auto-Vlores Se u 1, u 2 Vα 1, α 2, β 1, β 2 ) são dus uto-funções de um problem de Sturm-Liouville regulr com o mesmo uto-vlor λ, ou sej, Lu 1 +λru 1 = e Lu 2 +λru 2 =, então é fácil verificr que qulquer combinção liner 1 u u 2 é tmbém um elemento de Vα 1, α 2, β 1, β 2 ) e é tmbém um uto-função com uto-vlor λ: L 1 u u 2 )+λr 1 u u 2 ) =. Em outrs plvrs, o conjunto ds uto-funções de um problem de Sturm-Liouville com um mesmo uto-vlor é um espço vetoril. Um questão importnte sobre problems de uto-vlores, como o de Sturm-Liouville, é questão d multiplicidde dos uto-vlores, ou sej, questão de sber, ddo um uto-vlor λ, qul dimensão do espço vetoril de tods s sus uto-funções. No problem de Sturm-Liouville regulr dimensão é sempre igul 1, ou sej, os uto-vlores são simples, ou não-degenerdos. A demonstrção é seguinte. Sejm u 1, u 2 Vα 1, α 2, β 1, β 2 ) não-nuls e tis que Lu 1 +λru 1 = e Lu 2 +λru 2 = pr um ddo λ. Considere-se função u 1 x) u 1 W 12 x) = det x) = u 1x)u 2 x) u 1 x)u 2x). u 2 x) u 2x) Vmos em primeiro lugr mostrr que px)w 12 x) é constnte no intervlo [, b], ou sej, que pw 12 ) =. De fto, pw 12 ) = p W 12 +pw 12 = p u 1 u 2 u 1u 2 )+pu 1 u 2 u 1u 2 ) = p u 1 u 2 u 1 u 2)+pu 1 u 2 +u 1u 2 u 1 u 2 u 1 u 2 ) = p u 1 u 2 u 1 u 2)+pu 1 u 2 u 1 u 2) = u 1 p u 2 +pu 2) u 2 p u 1 +pu 1) = u 1 pu 2 ) u 2 pu 1 ) = u 1 qu 2 +λru 2 )+u 2 qu 1 +λru 1 ) = ) Vmos gormostrrque W 12 b) =. Como cbmosde verque px)w 12 x) é constnte, issoimplic px)w 12 x) = pr todo x [, b]. Como s funções u 1 e u 2 são elementos de Vα 1, α 2, β 1, β 2 ), temos em x = b 11 Agor, como ) β1 β 2 u 1 b) u 1b) u 2 b) u 2 b) β 1 β 2 =. ), segue que det u1b) u 1 b) u 2b) u 2 b) ) =, ou sej, W 12 b) =. Pelo que cbmos de provr, px)w 12 x) = pr todo x [, b]. Como p é estritmente positiv, segue que W 12 x) = pr todo x [, b], ou sej, det ) u1x) u 1 x) u 2x) u 2 x) =, pr todo x [, b]. Isso diz que s dus linhs que formm mtriz cim são, pr cd x [, b], proporcionis um outr, ou sej, existe γx) tl que, por exemplo, u 1 x) = γx)u 2 x) e u 1x) = γx)u 2x) pr cd x [, b]. Derivndo primeir e comprndo à segund, conclui-se que γx) é constnte, ou sej, não depende de x. Assim, verificmos que s funções u 1 e u 2 são múltipls entre si. Com isso, mostrmos que se tivermos dus utofunções com o mesmo uto-vlor s uto-funções são múltipls um d outr e o subespço que mbs germ tem dimensão 1. Em resumo, uto-vlores de problems de Sturm-Liouville regulr são sempre simples, ou não-degenerdos. 11 Um rgumento nálogo funcion tmbém em x =.

16 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 6 de bril de 218. Cpítulo / O Lem de Green Produtos esclres Sej C[, b]) o conjunto ds funções complexs contínus definids no intervlo [, b]. É bem sbido que C[, b]) é um espço vetoril. Pr cd α 1, α 2, β 1 e β 2 o espço Vα 1, α 2, β 1, β 2 ), definido à págin 835, é um subespço de C[, b]). Podemos dotr o espço vetoril C[, b]) de vários produtos esclres 12. Dois deles nos interessrão qui. Pr f, g C[, b]) definimos o produto esclr e tmbém o produto esclr f, g = f, g r = fx) gx) dx, 18.66) fx) gx) rx) dx, 18.67) onde função r é função estritmente positiv crcterizd cim no problem de Sturm-Liouville. Pr o espço liner rel ds funções contínus reis definids no intervlo [, b] podemos tmbém definir os produtos esclres reis e f, g = f, g r = por simplicidde usmos mesms notções, e, r que pr o cso complexo). O Lem de Green O seguinte resultdo será fundmentl pr o que segue: fx) gx) dx, 18.68) fx) gx) rx) dx 18.69) Lem 18.2 Lem de Green) Sejm u e v dus funções definids em J = [, b], que sejm pelo menos dus vezes diferenciáveis e tis que mbs stisfçm condições de contorno como 18.61)-18.62), ou sej, mbs são elementos do espço vetoril de funções Vα 1, α 2, β 1, β 2 ) págin 835). Então, tem-se v, Lu = Lv, u, ou sej, vx) Lu)x) dx = Lv)x) ux) dx. 18.7) Prov do Lem Usndo-se integrção por prtes, tem-se vx) Lu)x) dx = vx)px)u ) dx+ vx)qx)ux) dx = v x)px)u ) dx+ vpu b + vx)qx)ux) dx = upv ) dx+ vpu b v pu b + vx)qx)ux) dx = ux) Lv)x) dx+ vpu b v pu b ) 12 A noção de produto esclr em um espço vetoril foi introduzid n Seção 3.1.3, págin 24.

17 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 6 de bril de 218. Cpítulo /2349 Agor, escrevendo-se explicitmente tem-se que vpu b v pu b = pb)vb)u b) p)v)u ) pb)v b)ub)+p)v )u) ) ) = pb) vb)u b) v b)ub) p) v)u ) v )u) ) Vmos gor provr que os ftores entre prênteses em 18.72) são nulos. Como u e v stisfzem 18.61)-18.62), tem-se v) v ) u) u ) α 1 α 2 ) Como α1 α 2 ) ) e β1 β 2 ) devemos ter = e vb) v b) ub) u b) v) v ) det = e det vb) v b) =, u) u ) ub) u b) β 1 β 2 =. ou sej, v)u ) v )u) = e vb)u b) v b)ub) =. O ldo esquerdo de mbs s expressões são os termos entre prênteses de 18.72). Logo, vpu b v pu b =. Voltndo à 18.71), isso complet demonstrção do Lem de Green. O Lem de Green firm que L é um operdor simétrico em relção o produto esclr definido em 18.66) qundo ge em vetores do subespço Vα 1, α 2, β 1, β 2 ) Relidde dos Auto-Vlores e Auto-funções. Ortogonlidde de Auto-funções Como consequênci do Lem de Green, Lem 18.2, vmos qui demonstrr lgums proprieddes básics comuns todos os problems de Sturm-Liouville regulres, tis como definidos cim. A sber, vmos provr que os utovlores são reis, que s uto-funções podem ser escolhids reis e que s mesms stisfzem um série de relções importntes, denominds relções de ortogonlidde. Relidde dos utovlores Proposição 18.3 Os uto-vlores de um problem de Sturm-Liouville, como descrito cim, são números reis. Prov. Pr provr que os uto-vlores de um problem de Sturm-Liouville são reis, sej λ um uto-vlor e u um correspondente uto-função não-nul. Vmos mostrr que λ λ) ux) 2 rx) dx = ) Como u e r > por hipótese), temos que ux) 2 rx) dx. Portnto, 18.73) diz-nos que λ λ =, ou sej, que λ é um número rel. Pr provr 18.73), notemos que λ λ) ux)ux)rx) dx = ux)λux)rx)) dx λux)rx) ) ux) dx = ux)lux)) dx+ Lux))ux) dx =,

18 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 6 de bril de 218. Cpítulo /2349 pelo Lem de Green, Lem Isso complet prov. Relidde ds uto-funções Proposição 18.4 As uto-funções de um problem de Sturm-Liouville regulr, como descrito cim, podem ser escolhids como funções reis. Prov. Sej u um uto-função de um problem de Sturm-Liouville regulr. Como o uto vlor λ é rel Proposição 18.3), equção Lu+λur = é rel. Assim, tnto prte rel de u qunto su prte imginári são soluções d mesm. Como s constntes α 1, α 2, β 1 e β 2 são reis, tnto prte rel de u qunto su prte imginári stisfzem s condições de contorno nos pontos e b. Acim, provmos que os utovlores não são degenerdos e, portnto, prte rel de u e su prte imginári não são linermente independentes. Portnto, podemos tomr um ou outr como uto-função de um problem de Sturm-Liouville, completndo prov. Observção importnte. Em função do fto descrito n proposição cim, considerremos dorvnte s uto-funções de problems de Sturm-Liouville regulres como sendo funções reis. Relções de ortogonlidde O teorem seguir descreve um propriedde fundmentl de uto-funções de problems de Sturm-Liouville regulres. Teorem 18.2 Sejm u λ1 e u λ2 dus uto-funções reis ssocids dois uto-vlores distintos λ 1 e λ 2, então vle que u λ1 x)u λ2 x) rx) dx = ) Est relção é chmd de relção de ortogonlidde. Prov. Vmos provr que λ 1 λ 2 ) u λ1 x)u λ2 x) rx) dx = ) Como estmos supondo que λ 1 λ 2, ess relção diz então que 18.74) deve ser verddeir. Como λ 1 e λ 2 são reis, o ldo esquerdo de 18.75) pode ser escrito como λ1 rx)u λ1 x) ) u λ2 x) dx u λ1 x) λ 2 rx)u λ2 x) ) dx = Luλ1 x) ) u λ2 x) dx+ u λ1 x) Lu λ2 x) ) dx =, 18.76) pelo Lem de Green que se plic qui sem s conjugções complexs, pois todos os elementos envolvidos são reis). O que vimos no Teorem 18.2 é que uto-funções ssocids uto-vlores distintos de um problem de Sturm- Liouville são ortogonis entre si em relção o produto esclr rel f, g r := fx)gx)rx)dx Proprieddes dos Autovlores Est seção é dedicd o estudo de lgums proprieddes geris dos utovlores de problems de Sturm-Liouville regulres. Algums ds demonstrções serão deslocds pêndices pr não desvir precocemente tenção do leitor pr certos detlhes. O estudo posterior desss demonstrções, porém, é recomenddo. Apresentremos um método pr determinção proximd de utovlores e lgums condições suficientes pr que um problem de Sturm-Liouville regulr tenh pens utovlores positivos. Alguns exemplos ilustrtivos de diverss instâncis serão discutidos.

19 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 6 de bril de 218. Cpítulo /2349 O quociente de Ryleigh. Determinção proximd de utovlores Sej u λ um uto-função tomd dorvnte rel) com uto-vlor λ R, ou sej, tl que pu λ ) +qu λ +λru λ =. Multiplicndo-se ess iguldde por u λ e integrndo-se entre e b, tem-se λ u λ x) 2 rx) dx = u λ x)pu λ ) x) dx Vmos gor integrr por prtes primeir integrl do ldo direito. Temos, Substituindo em 18.77), tem-se λ u λ x) 2 rx) dx = o que permite escrever λ = u λ x)pu λ) x) dx = pu λ u ) b λ x) u λ x) ) 2 px) uλ x) 2 qx)) u λ x) ) 2 px) uλ x) 2 qx)) u λ x) 2 qx) dx ) u λ x) ) 2 px) dx. ] dx+ [p)u λ )u λ ) pb)u λb)u λ b), 18.78) ] dx+ [p)u λ )u λ ) pb)u λb)u λ b) u λ x) 2 rx) dx, 18.79) O ldo direito de 18.79) é denomindo quociente de Ryleigh 13 e desempenh um ppel importnte n nálise de proprieddes dos utovlores de problems de Sturm-Liouville regulres. N Proposição 18.5, por exemplo, usremos 18.78) pr identificr condições suficientes pr que todos os utovlores de um problem de Sturm-Liouville regulr sejm positivos. O quociente de Ryleigh 18.79) é tmbém usdo pr determinção proximd de utovlores prtir de proximntes pr s uto-funções, de prticulr utilidde qundo s soluções de problems de Sturm-Liouville não puderem ser obtids de form explícit. No Exercício E , págin 85, ilustrmos em um situção simples como esse cálculo proximdo de utovlores pode ser feito. A expressão 18.79) será o ponto de prtid pr o estudo de métodos vricionis de determinção de uto-vlores que desenvolveremos n Seção , págin 858. e Retornemos 18.78). Afirmmos que existem constntes γ 1 e γ 2, independentes de u λ, tis que p)u λ )u λ ) = γ 1u λ ) ) pb)u λ b)u λb) = γ 2 u λ b) ) A demonstrção é seguinte. No ponto u λ stisfz α 1 u λ ) + α 2 u λ ) =. Vmos primeiro supor que α 2. Multiplicndo-se expressão por u λ ) obtem-se u λ )u λ) = α 1 α 2 u λ ) 2. Nesse cso, então, tommos γ 1 = p) α1 α 2. Cso α 2 =, relção α 1 u λ )+α 2 u λ ) = diz-nos que u λ) =. Dí, é evidente que p)u λ )u λ) = γ 1 u λ ) 2, pr qulquer constnte γ 1, pois mbos os ldos são nulos. Isso provou 18.8). A demonstrção de 18.81) é nálog, escolhendo-se γ 2 = +pb) β1 β 2, cso β 2. Inserindo 18.8) e 18.81) em 18.78) tem-se λ u λ x) 2 rx) dx = u λ x) ) 2 px) uλ x) qx)) 2 dx+γ 1 u λ ) 2 +γ 2 u λ b) 2, 18.82) 13 John Willim Strutt Lord Ryleigh), terceiro Brão de Ryleigh ). Entre outros feitos científicos, Lord Ryleigh foi o primeiro presentr um explicção de por que o céu é zul esplhmento Ryleigh ) e foi o descobridor do elemento químico Argônio.

20 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 6 de bril de 218. Cpítulo 18 85/2349 o que permite expressr o quociente de Ryleigh n form γ 1 = λ = u λ x) ) 2 px) uλ x) qx)) 2 dx+γ 1 u λ ) 2 +γ 2 u λ b) 2 u λ x) 2 rx) dx Pr futur referênci lembremos que ns dus últims expressões temos p) α1 α 2, cso α 2, rbitrário, cso α 2 =, e γ 2 = +pb) β1 β 2, cso β 2, rbitrário, cso β 2 = ) O exercício que segue ilustr o uso do quociente de Ryleigh 18.79) ou 18.83) no cálculo proximdo de utovlores. E Exercício-Exemplo. Considere-se o problem de determinr solução d equção u x)+λux) = no intervlo [, 1] sujeit às condições de contorno u) = e u1) =. Trt-se de um problem de Sturm-Liouville regulr definido no intervlo [, b] = [, 1] com px) = 1, qx) = e rx) = 1 pr todo x [, 1], sendo ind α 1, α 2) = 1, ) e β 1, β 2) = 1, ). Como é bem conhecido, os utovlores são λ n = n 2 π 2 com n = 1, 2, 3, 4,..., e s correspondentes uto-funções não-normlizds) são d form u λn x) = sennπx). Tomemos o cso n = 1. A uto-função ext não-normlizd) é u λ1 x) = senπx). Ess função nul-se em x =, em x = 1, é positiv no restnte do intervlo [, 1] e seu máximo igul 1 nesse intervlo. A função u 1) = 4x1 x) possui s mesms proprieddes e pode ser usd como proximnte de u λ1 pr convencer-se, desenhe um gráfico conjunto ds dus funções em [, 1]). Inserindo u 1) em lugr de u λ1 em 18.79) ou 18.83), teremos um proximção pr o utovlor λ 1 = π 2 que pode ser clculd muito fcilmente: π x ) 2 dx x 2 1 x) 2 dx = 1/3 1/3 = 1, o que fornece proximção π 1 3,162, que possui um erro reltivo de pens,66%! Complete os detlhes dos cálculos cim e procure perfeiçor proximção pr π, substituindo u 1) = 4x1 x) por um outro proximnte polinomil melhor. O método ilustrdo no Exercício E , cim, foi desenvolvido por Ryleigh em 187, que sistemtizou-o, gregndo-lhe ideis do cálculo vricionl. Vide Seção , págin 858, ou vide s referêncis [73] ou [277] pr um trtmento sistemático do chmdo método de Ryleigh, ou de Ryleigh-Ritz 14, de determinção de utovlores. Esses métodos são bundntemente empregdos n Mecânic Quântic. Condições suficientes pr positividde dos uto-vlores Em muits plicções de interesse físico ocorre que os uto-vlores de problems de Sturm-Liouville regulres são ou precism ser) números positivos. Vmos presentr gor um conjunto de condições que são suficientes pr grntir isso. Proposição 18.5 Se forem simultnemente válids s condições 1. qx) < pr todo x [, b], 2. α 1 α 2, 3. β 1 β 2, então todos os uto-vlores λ do problem de Sturm-Liouville correspondente são estritmente positivos: λ >. 14 Wlther Ritz ).

21 JCABrt. Nots pr um Curso de Físic-Mtemátic. Versão de 6 de bril de 218. Cpítulo /2349 Prov. A demonstrção é um tnto indiret. Sej u um uto-função tomd dorvnte rel) com uto-vlor λ R, ou sej, pu ) +qu+λru =. Podemos provr que λ > se pudermos grntir que expressão do ldo direito de 18.78) é positiv, que é o que pssmos fzer. No ponto, u stisfz α 1 u)+α 2 u ) =. Tomndo-se o qudrdo dess expressão, tem-se ou sej, Anlogmente, pr o ponto b, Consideremos gor que α 1 α 2 < e β 1 β 2 >. α 2 1u) 2 +α 2 2u ) 2 +2α 1 α 2 u)u ) =, 2α 1 α 2 u)u ) = α 2 1u) 2 +α 2 2u ) 2) ) 2β 1 β 2 ub)u b) = β 2 1 ub)2 +β 2 2 u b) 2) ) A expressão 18.84) ensin-nos que α 1 α 2 e u)u ) têm sinis opostos e 18.85) que β 1 β 2 e ub)u b) têm sinis opostos. Portnto, se tivermos qx) < pr todo x [, b], α 1 α 2 < e β 1 β 2 > som do ldo direito de 18.78) será estritmente positiv. Como ux)2 rx) dx >, já que r é tmbém por hipótese estritmente positiv, segue de 18.78) que λ >. Se α 1 α 2 =, então u)u ) = por 18.84)). Portnto, se dicionlmente tivermos qx) < pr todo x [, b] e β 1 β 2 >, então som do ldo direito de 18.78) será estritmente positiv, o que implic λ >. Anlogmente, se β 1 β 2 =, então ub)u b) = por 18.85)). Assim, se dicionlmente tivermos qx) pr todo x [, b] e α 1 α 2 <, então teremos novmente λ >. Por fim, se α 1 α 2 = e β 1 β 2 =, então u)u ) = e ub)u b) =. Assim, com qx) < pr todo x [, b] teremos novmente λ >. Comentário sobre uto-vlores negtivos É importnte dizer qui que existem problems de Sturm-Liouville regulres onde ocorrem uto-vlores negtivos vide Exercício E , bixo). No Teorem 18.3, págin 852, mostrremos que pesr de ser possível existênci de uto-vlores negtivos, os mesmos não podem ser rbitrrimente negtivos, ou sej, negtivos ms com módulo λ rbitrrimente grnde. Provremos que existe um constnte M tl que λ M. A constnte M pode ser positiv, negtiv ou nul. Em verdde, em um problem de Sturm-Liouville regulr pode ocorrer no máximo um número finito de uto-vlores negtivos. Um exemplo O exemplo seguir reúne situções que ilustrm lguns dos resultdos menciondos cim sobre proprieddes de utovlores de problems de Sturm-Liouville. E Exercício-exemplo. Sej o problem de Sturm-Liouville u + λu =, no intervlo [, 1], com s condições de contorno u) = e β 1u1)+β 2u 1) =. Aqui px) = 1, qx) =, rx) = 1, α 1 = 1 e α 2 =. A identidde 18.78) fic λ 1 ux) 2 dx = 1 u x) )2 dx u1)u 1) ) Cso β 1 =, teremos u 1) =. Cso β 2 =, teremos u1) =. Nesses dois csos, 18.86) fic λ que grnte que λ >. 1 ux) 2 dx = No cso em que β 1 e β 2 são não-nulos, 18.85) diz-nos que 1 u x) )2 dx, λ 1 ux) 2 dx = 1 u x) )2 dx+ 1 2β 1β 2 β1u1) )2 + β 2u 1) ) 2 ) ) Como se vê, se β 1β 2 > tem-se λ >, ms se β 1β 2 < poderemos ter uto-vlores negtivos. Abixo item f), veremos que isso de fto ocorre cso β 2 1 < β 2β 1 <.