Teoremas de Green e Stokes

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1 Análise Mtemátic III Teorems de Green e Stokes Mnuel Guerr Conteúdo 1 Teorem de Green 2 2 Teorem de Stokes 8 ibliogrfi 12 Índice remissivo 13 1

2 Os Teorems de Green e Stokes relcionm o vlor de integris o longo de curvs com certos integris em superfícies. O Teorem de Green grnte que som dos integris o longo ds curvs que limitm um região do plno é igul o integrl de um cert função n região limitd por esss curvs. O Teorem de Stokes generliz est idei curvs contids em superfícies do espço R 3. 1 Teorem de Green Começmos por presentr um versão elementr do Teorem de Green Teorem 3. Este Teorem será em seguid generlizdo pr obter o resultdo principl dest Secção Teorem 6. A versão elementr do Teorem de Green decorre dos dois Lems que se seguem. Lem 1 Considerem-se dus funções de clsse C 1, α, β : [, b] R, tis que α x < β x, x ], b[. Sej { x, R 2 : x [, b], α x β x }. Qulquer que sej função de clsse C 1, f : R, verific-se fr f x, dx f x, dx d. emonstrção. A fronteir de dmite decomposição em qutro curvs simples orientds fr C 1 C 2 C 3 C 4, em que C 1 {t, α t, t [, b]}, C 2 {b, α b + t β b α b, t [, 1]}, C 3 { + b t, β + b t, t [, b]}, C 4 {, β + t α β, t [, 1]} verifique que s prmetrizções indicds preservm orientção hbitul positiv pr f r. Então, f x, dx f x, dx + f x, dx + f x, dx + f x, dx fr C 1 C 2 C 2 C 2 b f t, α t, 1, α t dt+ + 1 f b, α b + t β b α b,, β b α b dt+ + b f + b t, β + b t, 1, β + b t dt+ + 1 f, β + t α β,, α β dt b b f t, α t dt b f t, β t f t, α t dt f x, dx d. f + b t, β + b t dt b βt αt f t, d dt 2

3 Lem 2 Considerem-se dus funções de clsse C 1, α, β : [, b] R, tis que α x < β x, x ], b[. Sej { x, R 2 : [, b], α x β }. Qulquer que sej função de clsse C 1, f : R, verific-se fr f x, d f x, dx d. emonstrção. A demonstrção deste Lem é um repetição d demonstrção do Lem 1. A fronteir de dmite decomposição em qutro curvs simples orientds, fr C 1 C 2 C 3 C 4, em que C 1 {α + t β α,, t [, 1]}, C 2 {β t, t, t [, b]}, C 3 {β b + t α b β b, b, t [, 1]}, C 4 {α + b t, + b t, t [, b]} verifique que s prmetrizções indicds preservm orientção hbitul positiv pr f r. Então, f x, d f x, d + f x, d + f x, d + f x, d fr C 1 C 2 C 2 C 2 b, f α + t β α, β α, dt+ + 1, f β t, t β t, 1 dt+ + b, f β b + t α b β b, b α b β b, dt+ + 1, f α + b t, + b t α + b t, 1 dt 1 b f β t, t dt b f β t, t f α t, t dt f x, dx d. f α + b t, + b t dt b βt αt f x, t dx dt Juntndo os Lems 1 e 2, obtém-se primeir versão do Teorem de Green: Teorem 3 Teorem de Green Considere-se um conjunto berto, R 2, e suponh-se que existem funções de clsse C 1, α 1, β 1 : [ 1, b 1 ] R, α 2, β 2 : [ 2, b 2 ] R, tis que α 1 t < β 1 t, t ] 1, b 1 [ ; α 2 t < β 2 t, t ] 2, b 2 [ ; fr { x, R 2 : x [ 1, b 1 ], α 1 x β 1 x } { x, R 2 : [ 2, b 2 ], α 2 x β 2 }. Então, quisquer que sejm s funções de clsse C 1, P, Q : R, verific-se Q x, P x, P x, dx + Q x, d dx d. 3

4 emonstrção. st plicr os Lems 1 e 2. Pr obter um versão mis gerl do Teorem de Green vmos proceder do seguinte modo: primeiro verificmos que o resultdo do Teorem 3 se plic triângulos Lem 4. epois usmos o fcto de qulquer polígono fechdo poder ser decomposto em triângulos pr provr que o resultdo do Teorem 3 tmbém se plic polígonos fechdos Lem 5. Finlmente, usmos o fcto de qulquer curv de clsse C 1 poder ser proximd por curvs poligonis pr provr versão gerl do Teorem Teorem 6. Lem 4 Sej R 2, um triângulo. Quisquer que sejm s funções de clsse C 1, P, Q : R, verific-se Q x, P x, P x, dx + Q x, d dx d. fr emonstrção. Se um dos ldos de é prlelo o eixo dos, então pode representr-se n form { x, R 2 : x [, b], α 1 + m 1 x α 2 + m 2 x }, e o Lem 1 grnte que fr P x, dx P x, dx d. Se nenhum dos ldos de é prlelo o eixo dos, então pode ser decomposto em dois triângulos, 1 2 que prtilhm um ldo prlelo o eixo dos e cujos interiores não se intersectm. Sej L o ldo comum os dois triângulos. Tendo em cont que cd um dos triângulos confere L orientção opost àquel conferid pelo outro triângulo, obtém-se P x, dx P x, dx + P x, dx fr fr 1 1 P x, fr 2 dx d + 2 P x, dx d P x, dx d. Um rciocínio nálogo plicdo triângulos com ldos prlelos o eixo dos xx prov que Q x, Q x, d dx d. fr Lem 5 Sej R 2, um conjunto berto limitdo cuj fronteir é um polígono. Quisquer que sejm s funções de clsse C 1, P, Q : R, verific-se Q x, P x, P x, dx + Q x, d dx d. fr emonstrção. Se fronteir de é poligonl, então existe um conjunto finito de triângulos, i, i 1, 2,..., m, tis que m i, int i int j, i j. 4

5 Nests condições, verific-se st então provr que Q x, fr P x, dx d P x, dx + Q x, d m m Q x, i fr i P x, dx d. P x, dx + Q x, d. Sem perd de generlidde podemos, supor que dois triângulos distintos prtilhm um vértice ou um ldo ou não se intersectm se dois triângulos prtilhm pens prte de um ldo, podemos subdividi-los de modo stisfzer est condição. Considere-se j {1, 2,..., m 1}, tl que fr j i P x, dx + Q x, d j fr i P x, dx + Q x, d. j Se fr j+1 fr i contém pens um número finito de pontos, então iguldde j+1 fr j+1 P x, dx + Q x, d i fr i P x, dx + Q x, d. 1 é imeditmente stisfeit. Suponh-se que j+1 prtilh um ldo com i. Sej esse ldo L. A j j condição int j+1 int i implic que int j+1 e int i são seprdos por L. Logo, orientção conferid L por j+1 é opost à orientção que lhe é conferid por j j i, o que implic que s prcels j+1 P x, dx + Q x, d do somtório L fr i P x, dx + Q x, d j cncelm. Por outro ldo, o fcto de int j+1 e int i serem seprdos por L implic que j+1 todo L, com possível excepção ds sus extremiddes está contido em int i. Isto prov que iguldde 1 se verific tmbém neste cso. A versão gerl do Teorem de Green tom seguinte form: Teorem 6 Teorem de Green Considere-se um conjunto berto limitdo, R 2, cuj fronteiro é união finit de curvs simples fechds seccionlmente de clsse C 1. Quisquer que sejm s funções de clsse C 1, P, Q : R, verific-se fr P x, dx + Q x, d Q x, P x, dx d. emonstrção. Considere-se decomposição fr m C i, em que C i, i 1, 2,..., m são curvs simples fechds seccionlmente de clsse C 1, munids d orientção conferid por. Pr cd um dests curvs sej γ i : [, L i ] C i, um prmetrizção de C i pelo seu comprimento, 5

6 preservndo orientção de C i. Considerem-se prtições dos intervlos [, L i ], t i, < t i,1 <... < t i,ki L i. Sej P i o polígono que se obtém unindo sequencilmente por segmentos de rect os pontos γ i t i,j, j, 1, 2,..., k. Sem perd de generlidde, podemos supor que {γ i t i,j, j, 1, 2,..., k i } contém todos os pontos em que C i intersect lgum outr curv, C h, e todos os pontos de junção dos segmentos de clsse C 1 que constituem C i. Fzendo prtição suficientemente fin é possível grntir que P i P j C i C j, i j. Considere-se seguinte prmetrizção de P i : η i t γ i t i,j + t t i,j t i,j+1 t i,j γ i t i,j+1 γ i t i,j, t [t i,j, t i,j+1 ], j, 1, 2,..., k i 1. Então, qulquer que sej ε >, tod prtição suficientemente fin verific η i t γ i t < ε, η i t γ i t < ε, t [, L i ]. 2 Logo, qulquer que sej ε >, tod prtição suficientemente fin verific P x, dx + Q x, d P x, dx + Q x, d < ε. 3 C i P i Sejm A i, i, respectivmente, região contid do ldo esquerdo de C i e P i, de cordo com s orientções cim tribuíds ests curvs. Então, desiguldde 2 implic que, qulquer que sej ε >, tod prtição suficientemente fin verific C A i \ i i \A i < ε. Isto grnte que, qulquer que sej ε >, tod prtição suficientemente fin verific Q x, P x, dx d < ε. 4 O Lem 5 grnte que A i \ i i \A i m P x, dx + Q x, d P i m Q x, i P x, dx d. A desiguldde 3 grnte que, qulquer que sej ε >, tod prtição suficientemente fin verific m m P x, dx + Q x, d P x, dx + Q x, d P i C i < ε. Por outro ldo, Qx, \ m i \ m m P x, Qx, m i i \ dx d m P x, i Qx, dx d + Qx, Qx, A i\ i i\a i P x, m P x, P x, i \ dx d dx d Qx, dx d m 6 P x, dx d A i \ i i \A i Qx, P x, dx d.

7 Logo, desiguldde 4 grnte que, qulquer que sej ε >, tod prtição suficientemente fin verific Q x, P x, Q x, P x, dx d dx d m i < ε. qui decorre que fr P x, dx + Q x, d Qx, P x, dx d m P i P x, dx + Q x, d m i Qx, P x, Como ε pode ser escolhido rbitrrimente pequeno, isto prov o Teorem. dx d + 2ε 2ε. Exemplo 7 Clculr o integrl C 2 sin x dx + cos xd, em que C é fronteir do rectângulo [, π] [, 1], percorrid no sentido hbitul. Aplicndo o Teorem de Green, obtém-se sin x dx + cos xd cos x 2 sin x dx d C [,π] [,1] π 1 2 d dx 2π. Um plicção comum do Teorem de Green consiste em substituir um determind curv o longo d qul se pretende clculr um integrl por outr que o longo d qul o integrl sej mis fácil de clculr. Vej-se o seguinte exemplo: Exemplo 8 Clculr o integrl C x dx x x 2 d, { } em que C é elipse x, R 2 : x , percorrid no sentido directo. A elipse C dmite prmetrizção γ t 4 cos t, 2 sin t, t [, 2π]. Clculr directmente o integrl 5 trvés dest prmetrizção consiste em clculr o integrl 2π 2 sin t 16 cos 2 t + 4 sin 2 t 4 sin t 4 cos t 16 cos 2 t + 4 sin 2 2 cos t dt t 2π cos 2 t dt. O Teorem { de Green não permite } trnsformr o integrl 5 num integrl duplo sobre o domínio A x, R 2 : x , porque função F x, x 2 + 2, x x não é de clsse C 1 em A nem sequer está definid no ponto x,,. No entnto, função F é de clsse C em qulquer domínio que não contenh origem. Em prticulr, é de clsse C no domínio } {x, R 2 : x , x

8 Então, o Teorem 6 grnte que x dx Ms, fr x x C x x d x x x dx d. 6 x x x 2 x x x , pelo que iguldde 6 se reduz x dx x x d + C 1 x dx x x 2 d, + 2 em que C 1 é circunferênci de rio 1 centrd n origem, percorrid no sentido retrógrdo. Est iguldde é equivlente C x dx x x d C 2 x dx x x d, em que C 2 é circunferênci de rio 1 centrd n origem, percorrid no sentido directo. Então, usndo prmetrizção η t cos t, sin t, t [, 2π], obtém-se C x dx x x d 2π 2 Teorem de Stokes sin t cos 2 t + sin 2 t cos t sin t cos 2 t + sin 2 cos t dt t 2π 1 dt 2π. O Teorem de Stokes é um generlizção do teorem de Green curvs contids num superfície que pode não ser um plno. Tl como o Teorem de Green, relcion o integrl o longo de um curv com um determindo integrl n região limitd por ess curv. Antes de poder formulr o teorem é necessário definir o que se entende por um região de um superfície contid em R 3. efinição 9 Sej A R 3, um elemento de superfície simples de clsse C 1. iz-se que um conjunto A é um região de A se A dmitir um prmetrizção de clsse C 1, φ : R 3, pr qul existe um conjunto berto limitdo, U, tl que U, φ U. Então, chm-se bordo d região o conjunto φ fr U. A orientção nturl de é orientção conferid cd um ds curvs simples que o constituem por um prmetrizção γ t φ η t, em que η é um prmetrizção de um ds curvs que constituem fr U e preserv orientção hbitul de fr U. Exemplo 1 O conjunto é um região d superfície cilíndric { } x,, z R 3 : x , x z 2 1 A { x,, z R 3 : x }. Com efeito, A dmite prmetrizção de clsse C φ α, h cos α, sin α, h, α [, 2π[, h R. 8

9 Então, { φ φ } α, h : cos α sin 2 α + h 2 1 { [ α, h : α π 3, π 3 φ { α, h : α ], 2 cos α 1 h 2 cos α 1 } ] π 3, π [, 2 cos α 1 < h < 2 cos α 1}. 3 O bordo de é { cos [ α, sin α, 2 cos α 1, α π 3, π ]} { cos [ α, sin α, 2 cos α 1, α π 3 3, π ]}. 3 Pr formulr o Teorem de Stokes necessitmos ind d seguinte definição: efinição 11 Considere-se um função de clsse C 1, F : R 3 R 3. Chm-se rotcionl de F à função F : R 3 R 3, definid por F3 F F 2, F 1 F 3, F 2 F 1. 7 A notção F provém d semelhnç entre o ldo direito de 7 e definição do produto externo. Com efeito, se identificrmos o operdor com o vector,, e mnipulrmos os seus elementos como se fossem coordends reis, verific-se F,, F 1, F 2, F 3. Isto é, mnemónic usd pr recordr definição de produto externo pode ser dptd à definição do rotcionl: i j k F det. F 1 F 2 F 3 Exemplo 12 O rotcionl d função F x,, z, z 2, x é F x,, z det i j k z 2 x x 2z,, 1. Podemos interpretr função F como descrição do movimento de um fluido que preenche um dd região do espço. Ness perspectiv, o vector F x,, z indic velocidde de um prtícul do fluido o pssr pelo ponto x,, z. Então, condição F signific existênci de um componente rottiv i.e., existênci de vortices no movimento do fluido. A direcção de F é direcção do eixo de rotção dess componente. O sentido de F corresponde à orientção do eixo em relção à qul rotção se fz no sentido nti-horário. Temos então o Teorem: Teorem 13 Teorem de Stokes Sej A, um região de um elemento de superfície de clsse C 2. Suponh-se que o bordo de A é união de um número finito de curvs simples fechds seccionlmente de clsse C 1. Então, qulquer que sej função de clsse C 1, F : A R 3, verific-se F ds F n ds. A A 9

10 emonstrção. Sej S, um elemento de superfície simples que contém A e dmite um prmetrizção de clsse C 2, φ : U S. Sej, um conjunto berto cuj fronteir é união finit de curvs simples fechds de clsse C 1, tl que U, φ A. Considere-se que A e fr dmitem decomposições em curvs simples orientds seccionlmente de clsse C 1, m m A C i, fr C i, C i φ Ci, i 1, 2,..., m. Então, dd um prmetrizção de clsse C 1, η : [, b] C i, função γ : φ η é um prmetrizção de C i. Logo, b b F ds F φ η t φ η t dt F φ η t T φ η t η t dt φ T F φ ds. C i Ci Isto implic F ds A fr φ T F φ ds F φ φ du + F φ φ dv. fr Aplicndo o Teorem 6 o ldo direito dest iguldde, obtém-se F ds F φ φ F φ φ du dv A φ F φ 2 φ + F φ φ F φ F φ T φ F φ φ T φ F φ φ + F φ 2 φ du dv 2 φ 2 φ Tendo em cont que φ é de clsse C 2, o Teorem de Schwrz grnte que 2 φ 2 φ. Logo, T φ F ds F φ F φ T φ du dv A φ1 F1φ + + φ 2 F2 φ F3 φ F3φ F2 φ φ 3 F 2 F 1 F 2 F1 F 3 F 1 F2φ φ2 φ 1 F 1φ F 1φ F2φ + F3 F 2 F 1φ φ1 φ 2 φ1 φ 3 + F1φ φ2 φ 3 φ 3 φ1 φ, φ 2 F 3 F 2 + F1 φ + F3 φ F 1 F 3 F 1 F3φ φ 2 φ2 F3 F 1 F φ φ φ du dv A F 3φ F 2φ F3 φ3 φ 1 + F3φ du dv φ 1 φ, F n ds. + φ3 φ 2 φ + φ2 φ 3 F1φ F2 F 1 φ 1 φ 2 φ 3 du dv. du dv du dv φ1 φ 3 φ 3 φ 1 + φ φ φ du dv 1

11 Exemplo 14 Clculr C F ds, em que F x,, z + z, x + z, x + + z 2 e C é intersecção do cilindro x com o plno x + + z 3, percorrid no sentido dos ponteiros do relógio, do ponto de vist de um observdor colocdo n origem. Considere-se prmetrizção do plno φ u, v u, v, 3 u v. Então, o conjunto { u, v, 3 u v : u 2 + v 2 1 } é um região do plno x + + z 3 e C. Além disso, φ φ i j k det 1 1 1, 1, 1, 1 1 pelo que prmetrizção φ orient o plno de modo que o vector norml pont pr o ldo contrário àquele em que se encontr origem. Isto signific que φ confere orientção desejd. Logo, o Teorem de Stokes grnte que F ds F n ds. C Tendo em cont que i j k F det,, 2, + z x + z x + + z 2 obtém-se F ds,, 2 1, 1, 1 du dv 2π. C {u,v:u 2 +v 2 1} 11

12 Referêncis [1] Colle, S. J.: Vector Clculus. Prentice-Hll. ISN [2] emidovitch,.: Problems e exercícios de nálise mtemátic. 6 Ed., Editor Mir [3] epree, J..; Swrtz, C. W.: Introduction to rel nlsis. John Wile & Sons [4] Postnikov, M.: Leçons de géométrie - Vrétés différentibles. Éditions Mir 199. [5] Spivk, M.: Clculus on mnifolds - A modern pproch to clssicl theorems of dvnced clculus. Addison-Wesle Publishin Compn [6] Webb, J. R. L.: Functions of Severl Rel Vribles. Ellis Horwood

13 Índice ordo de um região, 8 Green Teorem de, 3, 5 Região bordo de um, 8 de um superfície, 8 Rotcionl, 9 Stokes Teorem de, 9 13