3 Polinômios Ortogonais e Quadratura Gaussiana

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1 3 Polinômios Ortogonis e Qudrtur Gussin A idei principl d Expnsão do Cos Polinomil (ECP) reside n proximção de um função qudrticmente integrável (que represent síd de um modelo físico) por meio de um som nit de funcionis ortogonis. Isto quer dizer que um função M(x) pode ser representd como um som de um conjunto único de coecientes, i, junto com um bse de polinômios ortogonis proprid, {Φ i } i=0, tl que M(x) = i Φ i (x). i=0 A representção cim, ssume que bse de polinômios é ortogonl no intervlo [, b], com respeito um função peso w(x), tl que Φ n ; Φ m = onde δ nm = represent delt de Kronecker. Φ n (x)φ m (x)w(x)dx = δ nm, (3-1) { 0 se n m, 1 se i = j. Logo, podemos relcionr os polinômios ortogonis com o conceito de qudrtur Gussin. De fto, s integris d eq. (3-1) podem ser clculds trvés de um qudrtur Gussin ssocid o ECP. Note que o cálculo desss integris ocorre por meio de um seleção reduzid de pontos em que função M será vlid. Além d preocupção com o custo computcionl, os resultdos obtidos usndo qudrtur de Guss são mis extos em relção às técnics de integrção numéric trdicionis, como por exemplo, Regr de Simpson ou regr trpezoidl. Portnto, neste cpítulo, vmos introduzir o conceito de sequênci de polinômios ortogonis, logo destcremos os polinômios ortogonis clássicos, e em seguid bordremos s qudrturs de Guss ssocids estes polinômios: Guss-Legendre, Guss-Lguerre, e Guss-Hermite. Nosso foco é o cso de um dimensão, isto quer dizer, polinômios em R.

2 Polinômios Ortogonis Os polinômios ortogonis têm origem de um certo tipo de frções contínus, que crreg o nome de Stieltjes. Apesr d proximidde dos conceitos de frções contínus e o problem de momentos, frções contínus têm sido grdulmente bndonds. Em seu lugr, propriedde de ortogonlidde em si mesm tem sido tomd como básic (Szego, 1939). Nest seção denimos os polinômios ortogonis e lgums de sus proprieddes. Especicmente, serão expostos os principis resultdos dos polinômios ortogonis com relção à qudrtur de Guss. Comecemos por denir o conceito de momentos de um distribuição e, em seguid, o conceito de ortogonlidde. Denição 3.1 Sej b (um intervlo [, b]). Considere α(x) um função α(x) : [, b] R rel limitd, tl que α não é constnte no intervlo berto (, b). Os momentos de um distribuição são denidos d seguinte mneir: µ k = x k dα(x), k = 0, 1, 2,. Se os momentos µ k são nitos, então dα(x) é chmd de distribuição (medid positiv) no intervlo berto (, b). Sej w : (, b) R um função peso, se w for contínu, então dα(x) = w(x)dx, x (, b). Portnto, w(x)dx 0 em (, b). Ao longo dest dissertção w sempre será um função contínu. Sej P n o espço liner de tods s combinções lineres de polinômios de gru no máximo n, é dizer, P n = spn{x k : k = 0, 1,, n}. Os elementos de P n tmbém chmdos de polinômios de gru n, denotdos por P n (x), podem ser escritos como P n (x) = x n x n = n k x k, n 0. k=0 Denição 3.2 (Sequênci de Polinômios Ortogonis- SPO) Sej P n (x) um elemento de P n, dizemos que sequênci de polinômios, {P n (x)} n=0, é ortogonl com relção à função peso w(x) no intervlo berto (, b) se:

3 31 P n ; P m = P n (x)p m (x)w(x)dx = 0, qundo n m. (3-2) N Denição 3-2 os polinômios são vlidos em um vriável x contínu. Por outro ldo, est pode ser reescrit pr o cso discreto. Dí, que eq. (3-2) pode ser redenid como M P n (x) ; P m (x) = P n (x i )P m (x i )ω(x i ). (3-3) i=1 Observe que em quisquer ds dus representções, eq. (3-2) e eq. (3-3), ω(x) é um função peso positiv. Além disso, os limites de integrção e b n eq. (3-2), e o limite M n eq. (3-3), podem ser nitos ou innitos. Por outro ldo, um ds mneirs de construir um sequênci de polinômios ortogonis, P 0 (x), P 1 (x),, P j (x), com relção o produto interno 3-2 é trvés do Processo de Ortogonlizção de Grm- Schmidt (Homn & Kunze, 1961) como visto no n Seção 9.3 do Apêndice. De fto, considere o conjunto de potêncis n não negtivs de x {1, x, x 2, x 3, x 4,..., x n }, linermente independente (l.i.). Em seguid, clculmos os polinômios P 0 (x), P 1 (x), P 2 (x),..., P n (x), d seguinte form: P 0 (x) = 1, e pr n = 1, 2, 3,, P n (x) = x n + α 0 P 0 (x) + α 1 P 1 (x) + + α n 1 P n 1 (x), onde os α i são os coecientes esclres d expnsão por polinômios ddos por α k = x k ; P k, k = 0, 1, 2,, n 1. P k ; P k Denição 3.3 (Sequênci de polinômios ortonormis) Considere o cenário d Denição 3.2. Um sequênci {P n (x)} n=0 é um sequênci de polinômios ortonormis se: P n ; P m = { 0 se n m, 1 se n = m. A sequênci de polinômios ortonormis será denotd por {P n(x)} n=1.

4 32 A continução são presentds lgums proprieddes interessntes dos polinômios ortogonis. Teorem 3.1 Os polinômios P 0 (x), P 1 (x),, P n (x), pertencentes um sequênci de polinômios ortogonis {P k (x)} n k=0 em P n são l.i. no P n. Demonstrção: Ver, e.g., Kubrusly, 2011, p. 63 e p.349. O fto que o espço P n sej gerdo pels potêncis x k com k = 1,, n, junto com o Teorem 3.1, nos diz que os polinômios ortogonis P k (x), onde k = 0, 1, 2,, n, com P k (x) P n formm um bse pr o espço liner P n. Por outro ldo, o Teorem 3.2 mostr que os polinômios de dus sequêncis de polinômios ortogonis, que tenhm o mesmo gru, denids com mesm função peso w(x) no intervlo [, b] são iguis, exceto por um ftor constnte. Teorem 3.2 Sejm {P n (x)} n=0 e {Q n(x)} n=0 dus sequêncis de polinômios ortogonis com relção função peso w(x) no intervlo [, b]. Então, P n (x) = c n Q n (x), com c n R, n N. Demonstrção: Ver, e.g., Chihr, 1978, p. 9. A su vez, norm de um polinômio P n (x) em {P n (x)} n=0, pode ser denid como P n (x) = P n (x) ; P n (x). Logo, pr encontrr sequênci de polinômios ortonormis {P n(x)} n=1, bst dividir cd polinômio por su norm: P n(x) = P n(x) P n (x). Por outro ldo, existe um mneir de construir qulquer polinômio ortogonl (que pode representr um form eciente do ponto de vist computcionl) por meio de um relção de recorrênci, n qul só precismos dos primeiros três polinômios pr ter denid qulquer SPO. Isto, é formlmente denido no seguinte teorem. Teorem 3.3 (Relção de Recorrênci de 3 Termos) Se {P n (x)} n=0 é um sequênci de polinômios ortogonis no intervlo berto (, b) reltiv à função peso w(x), então:

5 33 com P n+1 (x) = (α n x β n )P n (x) γ n P n 1 (x), n 0, (3-4) P 1 (x) = 0, P 0 (x) = 0. Além disso, os termos α n, β n e γ n são constntes, pr n 0, denidos por: α n = n xp n ; P n 0; β n = γ n n 1 P n ; P n, e γ n = γ n γ n 1 P n ; P n P n 1 ; P n 1 0. Demonstrção: Ver, e.g., Gutschi, 2004, p. 8. Pr construirmos sequênci de polinômios ortogonis mônicos, representdos por { Pn (x) }, prtir dos polinômios ortogonis {P n=0 n(x)} n=0 com relção função peso w(x), bst dividirmos cd P n pelo correspondente coeciente principl, ou sej, P n (x) = P n(x) n, n 1. De mneir similr, podemos presentr um resultdo equivlente o Teorem 3.3 só que pr polinômios mônicos {P n (x)}. Teorem 3.4 Se {P n (x)} n=0 é um sequênci de polinômios ortogonis no intervlo berto (, b) com respeito à função peso w(x), então: P n (x) = (x β n ) P n (x) γ n Pn 1 (x), (3-5) com P 1 (x) = 0, P 0 (x) = 1, e onde β n, γ n são constntes pr n 1, tl que x Pn ; β n = P n Pn ; P, n e γ n = Pn ; P n Pn 1 ; P n 1 0. Demonstrção: A prov deste teorem é imedit d denição dos polinômios ortogonis mônicos e do Teorem 3.3.

6 34 Os zeros dos polinômios ortogonis têm um ppel fundmentl no cálculo ds integris de interesse. Com efeito, os produtos internos, vistos no cpítulo nterior, são denidos por meio de integris, s quis podem ser clculds numericmente por meio de qudrturs Gussins (que serão vists o nl deste cpítulo). Além disso, ests qudrturs utilizm os zeros dos polinômios ortogonis como os pontos d proximção dest integrl. Dito isso, vmos estbelecer então lgums proprieddes dos zeros dos polinômios ortogonis. Em seguid, vmos enuncir o Teorem de Seprção. Teorem 3.5 Se P n (x) P n (x) é um SPO no intervlo berto (, b) com relção função peso w(x), então os zeros de P n (x) são reis, distintos e pertencem o intervlo (, b). Demonstrção: Ver, e.g., Chihr, 1978, p. 27. Teorem 3.6 (Teorem de Seprção) Se x 0 =, x n+1 = b e x 1 < x 2 < < x n são zeros dos polinômios P n, então existe um único zero de P n+1 pr cd subintervlo berto (x j, x j+1 ), j = 0, 1,, n. Demonstrção: Ver, e.g., Chihr, 1978, p. 28. A seguir presentmos um lgoritmo eciente pr clculr os zeros dos polinômios ortogonis, chmdo o Método dos Autovlores. Teorem 3.7 Os zeros {x i } n i=0 do polinômio ortogonl P n+1(x) são os utovlores d seguinte mtriz Jcobin simétric tri-digonl: δ 0 ɛ 1 ɛ 1 δ 1 ɛ 2 J n+1 = ɛ n 1 δ n 1 ɛ n onde α j, β j, γ j são os coecientes d relção de recorrênci d form. (3-4) tis que δ j = β j α j, j 0; ɛ j = 1 α j 1 αj 1 γ j α j, j 1. ɛ n δ n Demonstrção: Ver, e.g., Shen et l., 2011, p. 55. mtriz: No cso de polinômios mônicos, os zeros podem ser obtidos pel seguinte

7 35 β 0 γ1 γ 1 β 1 γ2 J n+1 = γn 1 β n 1 γn γn onde β j e γ j são os termos que precem n eq. (3-5). Alem disso, se Wn+1W = dig(λ 1, λ 2,, λ n+1 ), onde W represent mtriz trnspost de W, e W W = I é mtriz identidde n + 1 n + 1, então os zeros dos polinômios são x j = λ j. β n 3.2 Polinômios Ortogonis Clássicos Com teori de polinômios ortogonis, o próximo psso será estbelecer clsse de polinômios ortogonis que será utilizd neste trblho. Especilmente, vmos destcr os polinômios contínuos de Legendre, Lguerre, e Hermite denidos num intervlo x b especíco. Tis polinômios form considerdos por Szego (1939) como polinômios ortogonis clássicos. Os polinômios de Legendre, denotdos por {Le n (x)}, n = 0, 1, 2,..., formm um bse ortogonl pr L 2 [ 1, 1] com respeito à função peso ω(x) = 1, qul é ssocid com densidde d distribuição Uniforme (Le Mitre & Knio, 2010). Estes polinômios podem ser denidos de diverss mneirs. O Teorem 3-4 grnte que podemos deni-los por meio d fórmul recursiv: Le n+1 (x) = 2n + 1 n + 1 xle n(x) n n + 1 Le n 1(x); n > 0, (3-6) com Le 0 (x) = 1 e Le 1 (x) = x, tl que o coeciente principl é ddo por: n = (2n)! 2 n (n!). (3-7) 2 Dí, relção de ortogonlidde pr os polinômios de Legendre Le n é Le n, Le m = 1 1 Le n(x)le m (x)dx = 2 2n+1 δ nm. A seguir, presentmos os sete primeiros polinômios de Legendre, que são representdos grcmente n gur 3.1. Le 0 = 1 Le 1 = x Le 2 = 1 2 (3x2 1)

8 36 Le3 = 21 (5x3 3x) Le4 = 81 (35x4 30x2 + 3) Le5 = 81 (63x5 70x3 + 15x) Le6 = 1 (231x x x2 5). PUC-Rio - Certificção Digitl Nº /CA Figur 3.1: Polinômios de Legendre A su vez, podemos usr relção de recorrênci mônic d eq. (3-5). Neste cso, usmos eq. (3-6) e o coe ciente principl eq. (3-7) ssocido estes polinômios obtendo: n+1 (x) = (x 0)Le n (x) Le onde βn = 0 A e γn = seguir, n2 n 1 (x), Le 4n2 1 (3-8) 1. 4 n2 descrevemos os polinômios de Lguerre, denotdos por Ln (x), n = 0, 1, 2,... Estes polinômios formm um bse ortogonl pr L2 [0, ] com respeito à função peso ω(x) = exp( x), qul é ssocid com densidde d distribuição Exponencil (Le Mitre & Knio, 2010). Equivlente o nálise feito pr os polinômios de Legendre, podemos de nir os polinômios de Lguerre de mneir recursiv dd no Teorem 3-4. Sejm L1 (x) = 1 x, L0 (x) = 1 e segue que: Ln+1 (x) = (2n + 1 x) Ln (x) nln 1 (x), n+1 (3-9) onde o coe ciente principl é ddo por: n = ( 1)n. (n!) Com isto, podemos mostrr que os polinômios de Lguerre bse ortonorml, isto porque (3-10) Ln formm um

9 37 hln, Lm i = R 0 Ln (x)lm (x) exp( x)dx = δnm. A seguir enuncimos os primeiros sete polinômios de Lguerre, os quis são representdos gr cmente n gur 3.2. L0 = 1 L1 = 1 x L2 = 21 (x2 4x + 2) L3 = 16 ( x3 + 9x2 18x (x4 24 L5 = 1 ( x5 120 L6 = 1 (x6 720 PUC-Rio - Certificção Digitl Nº /CA L4 = 16x3 + 72x2 96x x4 200x x + 120) 36x x4 2400x x2 4320x + 720). Figur 3.2: Polinômios de Lguerre Os polinômios mônicos são obtidos por meio do coe ciente principl d Ln (x) = eq. (3-10), de tl form que Ln (x) n!. Dí, plicndo o Teorem 3.4 ( 1)n podemos obter relção mônic de recorrênci: n+1 (x) = (x (2n + 1))L n (x) nl n 1 (x), L com βn = 2n + 1 e (3-11) γn = n2. Por m, de nimos os polinômios de Hermite. Existem dois tipos de polinômios de Hermite: os probbilísticos e os físicos. O tipo do polinômio está ligdo função peso que o crcteriz. Comecemos por de nir os polinômios Hermite físicos. Estes são denotdos por ω(x) = 1 π Hn (x), e têm função peso dd por: exp ( x2 ),

10 38 onde o x é denido sobre os reis. Note que, est função peso present um similitude com densidde de um distribuição Norml. Estes polinômios podem ser denidos prtir d seguinte relção recursiv d eq. (3-4), de tl form que: H n+1 (x) = 2xH n (x) 2nH n 1 (x), (3-12) com H 0 (x) = 1 e H 1 (x) = 2x; onde o coeciente principl é ddo por: n = 2 n. (3-13) Além disso, norm qudrd dos polinômios de Hermite H n é dd por: h n = H n, H n = 1 π [H n(x)] 2 exp ( x 2 ) dx = 2 n n!, Os primeiros sete polinômios de Hermite físicos são os seguintes: H 0 = 1 H 1 = 2x H 2 = 4x 2 2 H 3 = 8x 3 12x H 4 = 16x 4 48x H 5 = 32x 5 160x H 6 = 64x 6 480x x Se tomrmos eq. (3-12) e dividirmos pelo coeciente principl 2 n+1 obtemos que H n+1(x) 2 n+1 = 2x Hn(x) 2 n+1 2n H n 1(x) 2 n+1. Logo, por meio do Teorem 3.4 podemos obter relção mônic de recorrênci seguir com β n = 0 e γ n = n 2 H n+1 (x) = (x 0) H n (x) n 2 L n 1 (x). (3-14) Por outro ldo, os polinômios de Hermite probbilísticos são denotdos por He n (x). Neste cso, função peso é ( ω(x) = 1 2π exp onde x é denido sobre os reis. Observe que pr este cso, função peso é extmente igul à densidde de um distribuição Norml. Estes polinômios x2 2 podem ser denidos prtir d relção recursiv do Teorem 3.3 como: ) He n+1 (x) = xhe n (x) He n 1 (x), (3-15)

11 39 Figur 3.3: Polinômios de Hermite probbilísticos com He0 (x) = 1 e He1 (x) = x. A su vez, temos os sete primeiros polinômios de Hermite probbilísticos PUC-Rio - Certificção Digitl Nº /CA podem ser visulizdos n gur 3.3. He0 = 1 He1 = x He2 = x2 1 He3 = x3 3x He4 = x4 6x2 + 3 He5 = x5 10x He6 = x6 15x4 + 45x2 15. Em prticulr, s fmílis de polinômios ortogonis presentds nteriormente são membros do chmdo esquem Askey de polinômios (Askey & Wilson, 1985) que pode ser visulizdo n gur 3.4. Este esquem clssi c polinômios ortogonis hiper-geométricos contínuos e discretos que obedecem certs diferençs e equções diferentes. Um specto importnte d fmíli Askey é que s funções peso de lguns de esses polinômios correspondem distribuições de probbilidde frequentemente usds; que su vez têm um qudrtur Gussin ssocid pr vlir fcilmente os produto internos.

12 40 Figur 3.4: Esquem Askey 3.3 Qudrturs Gussins Em lgum momento, mtemáticos e cientists são confrontdos com integris denids que não são fáceis de clculr nliticmente (mesmo que um função f(x) sej conhecid). Pr superr ess diculdde são usdos métodos numéricos. Integrção numéric envolve substituição de um integrl por um som ponderd. O termo qudrtur é usdo como sinônimo de integrção numéric em um dimensão. Sej f(x) um função denid em um intervlo [, b] e no conjunto de pontos diferentes {x 0, x 1,, x n }, então integrção numéric por proximção pode ser denid como f(x)dx = n w i f(x i ), (3-16) onde os w i são os pesos d qudrtur e x i os pontos d qudrtur. Prticulrmente, n plicção deste trblho é preciso vlir os momentos de um função, que são representdos por meio de integris denids. Existem i=0

13 41 diferentes métodos de integrção numéric pr vlição de integris denids. Os métodos mis usuis são s fórmuls de Newton Cotes e s regrs de qudrtur Gussins, est segund técnic tem bo extidão e, portnto, vmos utilizá-l pr clculr s integris envolvids nos produtos internos que precismos proximr. O mtemático Guss tentndo perfeiçor s técnics de Newton-Cotes formulou regr de qudrtur, que hoje lev seu nome pr o cso em que w(x) = 1, usndo frções contínus (Stoer et l., 2002). A generlizção pr funções com pesos rbitrários surgiu mis trde, em 1877, com contribuição de Christoel e Chebyshev (Gutschi, 2004). Antes de denir qudrtur de Guss, precismos flr um pouco sobre os polinômios de interpolção de Lgrnge. Sej x [, b] e {t 1, t 2,, t n } n 1 um conjunto de números distintos, tl que: F (x) = n (x t i ). i=1 Dí, F (x)/(x t i ) é um polinômio de gru n 1 e lim x t k F (x) x t k = F (t k ) 0. A prtir de um polinômio de gru n 1, denido por: l k (x) = F (x) (x x k )F (x k ), com propriedde l k (x) = δ jk, vmos denir os polinômios de Lgrnge. Sejm {y 1..., y n } um conjunto de esclres, então o polinômio de interpolção de Lgrnge de ordem n pode ser denido como: L n (x) = n y k l k (x), k=1 onde L n (x) tem gru menor ou igul n 1 e stisfz propriedde bixo L n (x j ) = n y k δ k (x) = y j, j = 1, 2,, n. k=1 Este polinômio tem relevânci, pois trvés dele podemos construir um polinômio de gru no máximo n 1 cujo gráco psse trvés dos pontos (x i, y i ), i = 1, 2,, n,

14 42 onde L n (x) é únic solução (Chihr, 1978). Observe que s fórmuls de Newton-Cotes tem um seleção simples dos pontos onde função f(x) será vlid no intervlo [, b]. Est fmíli de métodos estão bsedos em pontos x i que são denidos prtir de um prtição uniforme do intervlo [, b], o que represent um deciênci do método. Portnto, idei d qudrtur Gussin é ter liberdde de escolher os pontos de vlição x i pr gnhr mis extidão no cálculo de proximção ds integris. Em outr plvrs, lguém poderi se perguntr se é possível integrr extmente um polinômio gru 2n 1 com n vlições. A respost pr est pergunt é rmtiv, e veremos que isto é possível com s regrs de integrção Gussins, tmbém chmds fórmuls de qudrtur Gussin (ver, e.g., Le Mitre & Knio (2010),; Monhm (2011); Stroud & Secrest (1966); Stoer et l. (2002). As regrs de qudrtur são bseds em vlores especiis de pesos, ω i, e bsciss, x i. As bsciss são gerlmente chmds de pontos, nós ou pontos de Guss, e são normlmente pré-clculdos e disponíveis em tbels. Por outro ldo, estes vlores tmbém podem ser clculdos por meio de lgoritmos e códigos. Exemplo 3.1 A regr de qudrtur de dois pontos de Guss pr um função f(x) no intervlo [, b] pode ser vlid por I = f(x)dx ω 1 f(x 1 ) + ω 2 f(x 2 ). Dí, precismos encontrr 4 vriáveis desconhecids: x 1, x 2, ω 1 e ω 2. Tis vriáveis podem ser determinds integrndo um polinômio gerl de ordem 3, f(x) = x + 2 x x 3, o qul tem 4 coecientes. Note que um mior extidão d integrl demnd um número mior de pontos de Guss. A qudrtur de Guss com n pontos está expressdo bixo: I = f(x)dx ω 1 f(x 1 ) + ω 2 f(x 2 ) + + ω n f(x n ). A seleção do n nem sempre é clr, pelo que experimentos são úteis pr observr inuênci d escolh do número de pontos. A integrção Gussin está bsed no uso de polinômios pr proximr o integrndo f(t) sobre o intervlo [ 1, 1]. Assim, extidão dos resultdos depende d seleção do polinômio. Por outro ldo, em muitos csos temos que vlir integris em um intervlo mis gerl. Usremos vriável x no intervlo [, b], e um trnsformção liner pr mper este intervlo pr

15 43 x em intervlo [ 1, 1] pr t. Se integrl não está sobre o intervlo [ 1, 1], então podemos plicr um mudnç de vriável pr re-escrever qulquer integrl sobre [, b] como um integrl sobre [ 1, 1]. Em outrs plvrs, sej x = mt + c, note que se x = e x = b, então t = 1 e t = 1, respectivmente. Dí: e portnto, obtemos: I = f(x)dx = x = b 2 t + b + 2, 1 1 f ( b 2 t + b + ) b 2 2 dt. A form simples d qudrtur Gussin us um ponderção uniforme sobre o intervlo. Os pontos prticulres que temos que vlir f(t) são rízes de um clsse prticulr de polinômios Legendre os quis serão vistos n próxim seção. Se I n é um regr de qudrtur, e ssumimos que est é ext pr todos os polinômios de gru p, então dizemos que I n tem gru de precisão p. N qudrtur Gussin tnto os pontos como os pesos são escolhidos pr mximizr o gru de precisão. O gru do polinômio ument proporcionlmente como o número de pontos usdos n regr d qudrtur. O gru do polinômio é 2n 1, onde n é o número de pontos e este polinômio tem 2n coecientes. Assim, o número de incógnits (i.e., 2n) é igul o número de equções pr obter solução ext. Com nlidde de relcionr s seções nteriores, lembremos que os polinômios ortogonis são clsses de polinômios P n (x) denidos num intervlo [, b] que stisfzem relção de ortogonlidde do Teorem 3-2. Portnto, sem perd de generlidde, vmos considerr integris d form I = f(x)w(x)dx, onde w(x) é função peso não negtiv no intervlo [, b]. Mis um vez, cbe destcr que nosso interesse se encontr pens em vlir integris de funções de polinômios denids nos intervlos onde são denidos s fmílis de polinômios ortogonis de Legendre, Lguerre e Hermite discutids nteriormente. No Exemplo 3.1 zemos menção de um polinômio gerl, ms fltou flr quem er esse polinômio. Sejm x 1 < x 2 < < x n b, n pontos distintos no intervlo [, b]. Pel fórmul de Lgrnge podemos construir o polinômio de interpolção d função f(x) sobre os n pontos distintos x k, k = 1, 2,, n,

16 44 obtendo: I(f) = = = f(x)w(x)dx [ n k=1 n 1 P (x i ) k=1 ] P (x) (x x k )P (x k ) + R n 1(c) w(x)dx P (x) w(x)dx f(x i ) x x k + R n 1 w(x)dx. Logo, podemos re-escrever I(f) como: I(f) = f(x)w(x)dx = n f(x k )ω k + E n (f), (3-17) k=1 cujos pesos ω k, k = 1, 2,, n, são ddos por ω k = 1 P (x k ) Neste cso, o erro de proximção d função seri: E n (f) = P (x) x x k w(x)dx. (3-18) R n 1 w(x)dx. Teorem 3.8 A fórmul de qudrtur d eq. (3-17) com pesos ddos pel eq. (3-18) é ext pr polinômios de gru no máximo 2n 1. Demonstrção: Ver, e.g., Gutschi, 2004, p. 20. Assim, s fórmuls de qudrtur que stisfzem o Teorem 3.8 são conhecids como fórmuls de qudrtur Gussins. 3.4 Alguns exemplos de qudrturs Gussins Com bse nos conceitos denidos ns seções nteriores, presentremos lguns exemplos de qudrturs Gussins. Lembrndo, que pr o problem que estmos interessdos (i.e, simulção de reservtórios de petróleo) decidimos investigr s qudrturs Gussins ssocids os polinômios de Legendre, Lguerre e Hermite. Isto porque s crcterístics de lgums vriáveis que descrevem os reservtórios como por exemplo, porosidde e permebilidde,

17 45 tomm vlores nos intervlos onde estão denidos os polinômios ortogonis em questão. O primeiro exemplo será qudrtur de Guss-Legendre. Neste cso, trblhmos com os polinômios de Legendre Le n (x) que form denidos n eq. (3-6). Lembre que tis polinômios são ortogonis com relção à função peso w(x) = 1 no intervlo [ 1, 1], que su vez é ssocid à densidde de um distribuição Uniforme. Pr construirmos um fórmul de qudrtur Gussin pr este cso, devemos utilizr os zeros desses polinômios como nós e clculr os pesos trvés dos polinômios de Legendre. Assim, consideremos seguinte fórmul de qudrtur onde R n = 1 1 f(x)dx = n ω i f(x i ) + R n, (3-19) i=1 2 n+1 (n!) 4 (2n + 1)[(2n)!] 3 f 2n (ξ), 1 < ξ < 1. (3-20) E n represent o número de pontos de colocção, x i denot coordend do i-ésimo ponto de colocção, e ω i o correspondente peso. Por su vez, R n denot o resto d qudrtur; isto indic que fórmul é precis se o gru mior do polinômio menor que 2n. Enftizndo, temos que s coordends x i são os zeros dos polinômios de Legendre Le n (x), e os pesos são ddos por 2 ω i = (1 x 2 i )[Le n(x i )]. (3-21) 2 No Exemplo 3.2 clculmos um integrl denid em um intervlo [, b] de um função rbitrári por meio do uso d qudrtur de Guss-Legendre. Exemplo 3.2 Consideremos o cso em que n = 3. O cálculo dos nós e dos pesos são feitos por meio d fórmul de qudrtur d eq. (3-19). Como foi menciondo, os nós x 1, x 2 e x 3 são os zeros do polinômio Le 3 (x). D relção de recorrênci d eq. (3-6) temos que: Le 3 (x) = 1 2 (5x3 3x). Os zeros desse polinômios são: 3 x 1 = 5, x 2 = 0 e x 3 = 3 5.

18 46 Logo, podemos substituir n eq. (3-21) os nós nteriores, de form tl que: ω 1 = 5 9, ω 2 = 8 9 e ω 3 = 5 9. Portnto, fórmul de qudrtur b f(x)dx = 5 ) ( ) 3 ( 9 f f(0) f + E 3 5 é precis pr polinômios de gru no máximo 5, isto é, E 3 = 0 se f(x) P 5. No exemplo nterior, os zeros e pesos de qulquer polinômio de Legendre podem ser encontrdos repetindo o processo nterior pr qulquer n, onde foi utilizdo eq. (3-21). No entnto, decidiu-se implementr o método dos Autovlores, pois segundo Shen (2011) o método é considerdo mis elegnte n obtenção dos zeros e pesos d qudrtur Gussin. Neste cso, pel eq. (3-8) temos que β n = 0 e γ n = 1 4 n 2. Em prticulr, Tbel 3.1 contém os zeros e os pesos d qudrtur de Guss-Legendre pr diferentes vlores de n. n = 5 n = 10 n = 15 x i w i x i w i x i w i E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-01 Tbel 3.1: Zeros e pesos pr qudrtur de Guss-Legendre Agor, relizmos um nálise similr pr qudrtur de Guss- Legendre, só que pr o cso d qudrtur de Guss- Lguerre. Em prticulr, lembremos d Seção 3.2, que os polinômios de Lguerre L n (x) são ortogonis com relção à função peso w(x) = exp( x) no intervlo [0, ). 1 Dí, pr 1 Função peso ssocid com densidde d distribuição Exponencil.

19 47 construirmos um fórmul de qudrtur Gussin, devemos utilizr os zeros desses polinômios como nós e clculr os pesos trvés dos polinômios de Lguerre. Considere seguinte fórmul de qudrtur f(x) exp( x)dx = 0 i=1 n ω i f(x i ) + R n, (3-22) onde R n = (n!)2 (2n)! f 2n (ξ), 0 < ξ <. (3-23) Com n representndo o número de pontos de colocção, e x i e ω i representndo, respectivmente, os zeros e os pesos. D eq. (3-23), segue que qudrtur pr eq. (3-22) é ext qundo ordem do polinômio, f, é menor que 2n. As coordends x i são os zeros dos polinômios de Lguerre L n (x), e os pesos são ddos por: ω i = (2n!) 2 x i (n + 1) 2 [L n+1 (x i )] 2. (3-24) Como no cso nterior, implementmos um função que represent o Método dos Autovlores pr obtenção dos zeros e pesos d qudrtur Guss-Lguerre. Note que pel eq. (3-14) temos que β n = 2n + 1 e γ n = n 2. N Tbel 3.2 mostrmos os zeros e pesos pr vlores seleciondos de n. n = 5 n = 10 n = 15 x i w i x i w i x i w i E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-19 Tbel 3.2: Zeros e pesos pr qudrtur de Guss-Lguerre Encerremos est seção com qudrtur de Guss-Hermite. Est qu-

20 48 drtur pode ser escrit como: f(x) exp( x 2 )dx = n ω i f(x i ) + R n, (3-25) i=1 onde R n = n! π 2 n [(2n)!] f 2n (ξ), (3-26) pr lgum ξ nito. Assim fórmul é precis se função f(x) tem um ordem menor que 2n. Por outro ldo, s coordends x i são os zeros dos polinômios de Hermite H n (x), e os pesos são ddos pel equção: ω i = 2n 1 n! π n 2 [H n 1 (x i )] 2. (3-27) A Tbel 3.3 mostr os zeros e pesos que precem n eq. (3-25) selecionndo vários vlores de n. n = 5 n = 10 n = 15 x i w i x i w i x i w i E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E 08 Tbel 3.3: Zeros e pesos pr qudrtur de Guss-Hermite Físicos Em lgums plicções é utilizdo fmíli de polinômios de Hermite probbilísticos He n. Portnto, qudrtur usd n eq. (3-25) não coincide com medid positiv no correspondente espço de Hilbert. Ou sej, pr o cso dos polinômios de Hermite probbilísticos qudrtur Gussin n qul estmos interessdos pode ser expressdo como I(f) = 1 2π f(y) exp( y2 )dy. (3-28) 2

21 49 Logo, pr conseguir interpretr os resultdos nteriores, fzemos seguinte mudnç de vriável y = 2x de form tl que trnformmos eq. (3-28) em: I(f) = 1 π f( 2x) exp( x 2 )dx. (3-29) Consequentemente,usndo qudrtur de Hermite físic à integrl nterior obtemos um proximção do tipo: I(f) n ω if(x i), (3-30) i=1 onde ω i ω i / π e x i 2x i. dí, Tbel 3.4 mostr vlores desses zeros e pesos pr diferentes escolhs de n. n = 5 n = 10 n = 15 x i w i x i w i x i w i E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E 09 Tbel 3.4: Zeros e pesos pr qudrtur de Guss-Hermite Probbilísticos Além disso, no cso que estejmos trblhndo com vriáveis letóris Lognorml podemos utilizr qudrtur de Guss-Hermite. Por exemplo, fzendo substituição: obtemos integrl I[f] = 1 π z = ln(x) µ 2σ, f(exp( 2σz + µ)) exp( z 2 )dz, que represent qudrtur de Guss-Hermite pr polinômios físicos.

22 50 Com o mteril presentdo nos cpítulos 1 e 2, temos ferrment mtemátic necessári pr desenvolver técnic d Expnsão de Cos Polinomil. Esse mteril é fundmentl pr lcnçrmos nosso objetivo nl, isto é, propgção de incertezs em reservtórios de petróleo.