REFLEXÕES SOBRE O CONCEITO DE CENTRO DE GRAVIDADE NOS LIVROS DIDÁTICOS

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1 Cênca & Ensno, vol. 2, n. 2, junho de 2008 ARTIGOS REFLEXÕES SOBRE O CONCEITO DE CENTRO DE GRAVIDADE NOS LIVROS DIDÁTICOS André K. T. Asss e Fábo. M. d. M. Ravanell O Centro de Gravdade O centro de gravdade é menconado em quase todos os lvros de mecânca do ensno médo e do ensno unverstáro. Mas nem sempre há uma defnção clara deste conceto. Mutas vezes não se apresenta nenhum procedmento expermental sobre como localzar na prátca este ponto para um corpo rígdo. Uma dscussão detalhada deste conceto, dos procedmentos expermentas para localzá-lo e de suas orgens hstórcas encontra-se em (ASSIS, 2008a e 2008b). Neste trabalho vamos nos concentrar na análse de como este conceto é tratado em alguns lvros ddátcos relevantes, já que este é um dos temas mas mportantes de toda a mecânca clássca. A defnção do conceto de centro de gravdade é atrbuída a Arqumedes (287 a.c a.c.), embora este conceto não apareça defndo explctamente em nenhum de seus trabalhos anda exstentes. Por outro lado, Heron (prmero século d.c.), Papus (tercero século d.c.) e Smplco (sexto século d.c.), que tveram acesso às obras de Arqumedes hoje perddas, apresentam em seus trabalhos que chegaram até nós algumas nformações sobre como Arqumedes pode ter defndo este conceto, (HEATH, 1921, págs. 24, 302, e 430), (HEATH, 2002, págs. clxxx-clxxx), (DIJKSTERHUIS, 1987, págs. 17, 47-48, , , e ), (ASSIS, 2008a, págs ) e (ASSIS, 2008b, págs e ). Em termos modernos este conceto pode ser defndo com as seguntes palavras: O centro de gravdade de um corpo rígdo é o ponto tal que, se magnarmos o corpo suspenso por este ponto e com lberdade para grar em todos os sentdos ao redor deste ponto, o corpo assm sustentado permanecerá em repouso e preservará sua posção orgnal, qualquer que seja a orentação do corpo em relação à Terra. Quando este ponto se localza no espaço vazo (o centro de uma arruela, por exemplo) é necessáro supor uma conexão rígda lgando o centro de

2 Cênca & Ensno, vol. 2, n. 2, junho de 2008 gravdade ao corpo para magná-lo sustentado por este ponto. A orgem deste conceto é expermental. A déa da exstênca do centro de gravdade pode ser obtda a partr do equlíbro de corpos rígdos que podem grar ao redor de pontos, de exos ou de hastes fxas em relação à Terra. No que dz respeto ao centro de gravdade, em geral defne-se que um corpo está em equlíbro quando suas partes permanecem em repouso em relação à Terra. A própra etmologa da palavra equlíbro traz em s a déa de centro de gravdade, pos a raz latna combna as palavras gual com peso. Para obter a localzação do centro de gravdade expermentalmente utlza-se essencalmente um resultado já conhecdo por Arqumedes e que ele expressou com as seguntes palavras em seu trabalho Sobre a Quadratura da Parábola, (MUGLER, 1971a, pág. 171) e (DUHEM, 1991, pág. 463): Todo corpo, suspenso por qualquer ponto, assume um estado de equlíbro tal que o ponto de suspensão e o centro de gravdade do corpo estejam ao longo de uma mesma lnha vertcal; pos esta proposção já fo demonstrada. Infelzmente a prova teórca que Arqumedes forneceu para este resultado fundamental também não aparece em nenhum de seus trabalhos que chegaram até nós. Mas é utlzando este resultado que se encontra expermentalmente o centro de gravdade de qualquer corpo rígdo. O procedmento é o segunte: Suspende-se o corpo por um ponto A tal que o corpo tenha lberdade para grar em qualquer dreção e aguarda-se que atnja o equlíbro em relação à Terra. Traça-se uma prmera vertcal a partr deste ponto A quando o corpo está em equlíbro. A vertcal é obtda como sendo a reta ao longo de um fo de prumo em repouso em relação à Terra. Depos se escolhe um outro ponto B do corpo que não esteja ao longo desta prmera vertcal. Suspende-se o corpo por este segundo ponto B e aguarda-se o novo equlíbro. Traça-se uma segunda vertcal passando por este segundo ponto B. O cruzamento das duas vertcas é o centro de gravdade G do corpo. A defnção matemátca moderna do centro de gravdade é obtda a partr da le da alavanca. Arqumedes expressou-a com as seguntes palavras na Proposção 6 de seu trabalho Sobre o Equlíbro dos Planos, (DIJKSTERHUIS, 1987, pág. 289): Grandezas comensuráves se equlbram em dstâncas nversamente proporconas a seus pesos. Vamos supor que temos dos pesos P1 e P2 dependurados em uma haste rígda horzontal de peso desprezível. Esta haste pode grar ao redor de um exo horzontal perpendcular a ela passando pelo fulcro da alavanca. Vamos supor que as dstâncas horzontas destes dos corpos à projeção vertcal do plano que passa pelo exo de rotação sejam dadas por d1 e d 2, respectvamente. A le afrma que eles vão permanecer em equlíbro ao serem soltos do repouso se

3 Cênca & Ensno, vol. 2, n. 2, junho de 2008 P 1 d = 2, (1) P 2 d 1 Pela condção expermental menconada anterormente por Arqumedes (de que todo corpo, suspenso por qualquer ponto, assume um estado de equlíbro tal que o ponto de suspensão e o centro de gravdade do corpo estejam ao longo de uma mesma lnha vertcal), vem que o centro de gravdade deste sstema de dos corpos tem de estar ao longo da vertcal que passa pelo fulcro. Vamos magnar a haste da alavanca ao longo do exo x e chamar de xcg à posção do centro de gravdade, com x1 e x2 sendo as posções dos corpos 1 e 2 em relação à orgem 0 do exo x. Com sto a equação acma pode ser colocada na forma de uma defnção matemátca do centro de gravdade, a saber, P P 1 2 CG. (2) 2 x x CG x x 1 Isto mplca que x P P CG x1 + x2. (3) P1 + P2 P1 P2 Vamos agora utlzar o prncípo de superposção para generalzar a expressão acma para N corpos. Este prncípo afrma que os pesos agem de forma ndependente entre s, tal que podemos somar suas contrbuções no sentdo de fazer a alavanca grar. Generalzando então a relação acma para as três coordenadas espacas e utlzando o prncípo de superposção vem que o centro de gravdade de um conjunto de N pontos materas pode ser defndo matematcamente como (sendo P o peso do corpo localzado no vetor posção r em relação à orgem 0 do sstema de coordenadas, com total do sstema): r CG N = 1 P P T r N P T P = 1, (4) sendo o peso Mundos de tal conceto analsaremos alguns lvros ddátcos representatvos do ensno médo e superor. O crtéro para a escolha destes lvros fo a relevânca que eles parecem ter no ensno de físca no Brasl. Lvros Ddátcos O lvro ddátco tem papel destacado no ensno, sobretudo na educação básca, na qual este serve como gua para a elaboração das aulas, resolução de exercícos e rotero de estudos. O contato do estudante com o conteúdo da dscplna ocorre mutas vezes predomnantemente através do lvro ddátco. Incemos com a análse de alguns lvros de ensno médo. É nesta etapa que geralmente o estudante depara-se com a físca pela prmera vez. Consderamos as

4 Cênca & Ensno, vol. 2, n. 2, junho de 2008 seguntes obras: FERRARO e SOARES (2003), PARANÁ (2004), SAMPAIO e CALÇADA (2003), e MÁXIMO e ALVARENGA (2006). Em FERRARO e SOARES (2003, pág. 383) o centro de gravdade é descrto em uma observação no decorrer do texto: O ponto de aplcação do peso de um corpo extenso é chamado centro de gravdade (CG). Para os corpos homogêneos e que apresentam smetra, o centro de gravdade concde com o centro geométrco. Os autores não dscutem como encontrar expermentalmente onde se localza o CG no caso de corpos sem smetra. Mas tarde os autores dscutem o equlíbro de corpos (FERRARO e SOARES, 2003, pág. 392). Ao analsar um corpo colocado sobre uma superfíce nclnada com atrto os autores menconam que o corpo não tomba quando a reta vertcal que passa pelo CG está dentro da base de apoo do corpo, sendo que o corpo tomba quando esta vertcal fca fora da base. Na legenda da Fgura que acompanha esta dscussão afrmam: Quanto mas baxo estver o centro de gravdade com relação à superfíce e quanto maor for a base de apoo, maor é a establdade do corpo. Na págna segunte apresentam a condção fundamental de equlíbro de corpos rígdos, a saber: Observe que no equlíbro estável o centro de gravdade fca abaxo do ponto de suspensão. PARANÁ (2004, pág. 104) começa a dscussão sobre o centro de gravdade de uma manera que nos parece adequada, ou seja, a partr de uma experênca smples: Tente levantar uma vassoura com um cordão amarrado em seu cabo de tal forma que ela fque na horzontal. Que dfculdade essa smples ação pode apresentar? Realzando a atvdade sugerda você va conclur que exste apenas um ponto da vassoura no qual o cordão amarrado possblta que ela, ao ser suspensa, fque na horzontal. Esse ponto é denomnado centro de gravdade ou barcentro. Então, podemos defnr que: Centro de gravdade é o ponto em que está concentrado o peso de um corpo. Em seguda ele apresenta o conceto de momento de uma força em relação a um ponto e as condções de equlíbro de um corpo rígdo. Esta nos parece ser uma boa manera de ntroduzr o CG, ou seja, começando com algumas experêncas smples. Quando o corpo está em equlíbro apoado por um ponto, o peso se comporta como se estvesse concentrado em seu centro de gravdade. Mas não se deve tomar sto ao pé da letra, como é feto por mutos alunos do ensno médo, já que o peso atua sobre todas as partes materas do corpo. SAMPAIO e CALÇADA (2003, pág. 149) também seguem o mesmo modelo de defnção, mas sem antes apresentar os dados expermentas: O centro de gravdade (CG) de um corpo é o ponto onde podemos supor aplcado o seu peso do ponto de vsta dos efetos de rotação. Esta defnção não é clara pos não se especfcam quas são estes efetos de

5 Cênca & Ensno, vol. 2, n. 2, junho de 2008 rotação nem o que acontece quando o corpo é apoado por pontos dstntos do CG. Por outro lado, um mérto desta defnção é a afrmação de que podemos supor o peso como estando concentrado no centro de gravdade do corpo, em vez de se dzer que o peso está de fato concentrado neste ponto. Os autores também relaconam o centro de gravdade ao centro de smetra do corpo: Se o corpo for homogêneo e suas dmensões forem pequenas em comparação com o tamanho da Terra, pode-se demonstrar que o centro de gravdade está no centro de smetra do corpo. Não é especfcado com clareza como obter o CG nos casos em que o corpo não é smétrco. Em MÁXIMO e ALVARENGA (2006, págs ) temos dos Apêndces detalhados sobre este tema. O prmero trata do momento ou torque de uma força. Então aparece a segunte defnção: O momento, M, ou torque de uma força F, que atua em um corpo, em relação a um exo que passa pelo ponto O, é defndo pela relação M = F d em que d é a dstânca (perpendcular) de O à lnha de ação de F. No segundo Apêndce são ntroduzdas as condções geras de equlíbro de um corpo rígdo, a saber: F x = 0 e F y = 0 asseguram o equlíbro de translação; M = 0 assegura o equlíbro de rotação. No segundo Apêndce aparece uma seção dedcada ao centro de gravdade. Este conceto é ntroduzdo com as seguntes palavras: Já sabemos que o peso de um corpo é o resultado das ações atratvas da Terra sobre ele. Quando se trata de uma partícula, essa ação será representada por uma força aplcada na partícula. Mas, se as dmensões do corpo não forem desprezíves, as ações atratvas da Terra se farão sobre cada partícula, sto é, essas ações constturão um sstema de forças pratcamente paralelas, aplcadas em partículas dferentes. O peso P do corpo será a resultante desse sstema de forças e o ponto em que podemos supor que essa resultante está sendo aplcada é denomnado centro de gravdade do corpo, como mostra a fg. A-7. Esta é uma apresentação cudadosa, mas sentmos falta de ser apresentado algum procedmento expermental para localzar o centro de gravdade. Quanto aos lvros voltados para o ensno superor, analsamos os seguntes textos: HALLIDAY, RESNICK e WALKER (2002); LUCIE (1980) e TIPLER (1994). Em HALLIDAY, RESNICK e WALKER (2002, págs. 4-5) há um capítulo sobre Equlíbro e Elastcdade, com a Seção 13.3, O Centro de Gravdade. Aqu apresenta-se a segunte concetuação do CG: A força de gravdade (ou força gravtaconal) sobre um corpo de dmensões fntas é a soma vetoral das forças gravtaconas que atuam sobre os elementos ndvduas (átomos) do corpo. Em vez de consderarmos todos esses elementos ndvduas, podemos dzer: A força gravtaconal F que age sobre um corpo g atua efetvamente em um únco ponto, denomnado centro de gravdade (cg) do

6 Cênca & Ensno, vol. 2, n. 2, junho de 2008 corpo. Neste caso, a palavra efetvamente sgnfca que se as forças que agem sobre os elementos ndvduas fossem de alguma manera deslgadas e a força F fosse lgada no centro de g gravdade, a força resultante e o torque resultante (em torno de qualquer ponto) atuantes sobre o corpo não se modfcaram. Até agora, supomos que a força gravtaconal F age no centro de massa (cm) do corpo. Isto é equvalente a supor que o centro de gravdade está no centro de massa. Lembre-se de que, para um corpo de massa M, a força F é gual a Mg, onde g é a aceleração que a força produzra se o corpo estvesse em queda lvre. Na demonstração a segur, mostraremos que: Se g for a mesma para todos os elementos de um corpo, o centro de gravdade do corpo (cg) concde com o centro de massa do corpo (cm). Não fca claro na formulação destes autores o que é postulado, o que é resultado expermental e o que é defnção. Já em LUCIE (1980, págs. 80 e 81) encontramos a segunte afrmação depos de se analsar a força e o torque resultantes sobre um sstema de partículas nteragndo com o campo gravtaconal terrestre: Mostramos assm que, do ponto de vsta da nteração gravtaconal, um sstema de partículas em um campo unforme é mecancamente equvalente a uma partícula únca de massa M gual à massa total do sstema, e que concdra com o centro de massa. Por essa razão, e nas condções descrtas (sstema em um campo unforme), o g g centro de massa concde com o chamado centro de gravdade do sstema. Se o campo não for unforme, o sstema não é geralmente equvalente a uma partícula únca, no que dz respeto à nteração gravtaconal; nesse caso não é possível defnr o centro de gravdade. É mportante entender a dferença entre o conceto de centro de massa (que sempre exste) e o de centro de gravdade (que nem sempre exste). Mas adante se faz o segunte comentáro (pág. 134): Se o campo não for unforme, não há, em geral, uma partícula únca que faça o papel de equvalente gravtaconal. O conceto de centro de gravdade não tem então nenhum conteúdo físco. Desde que se entenda que o conceto de mecancamente equvalente apresentado pelo autor se refere não apenas à força resultante sobre um corpo rígdo, mas também ao torque resultante atuando sobre ele, é razoável esta apresentação. TIPLER (1994, págs ) apresenta um capítulo sobre o Equlíbro Estátco de um Corpo Rígdo. Na Seção 9.1, Condções de Equlíbro, são apresentadas as condções necessáras para o equlíbro estátco de um corpo rígdo: 1. A força externa resultante que atua sobre o corpo deve ser nula: F = O torque externo resultante, em relação a qualquer ponto, deve ser nulo: τ = 0. A Seção 9.2 chama-se O Centro de Gravdade. O autor consdera então uma barra rígda sob a ação de duas forças F1 e F2 normas a ela atuando a dstâncas x 1 e res res

7 Cênca & Ensno, vol. 2, n. 2, junho de 2008 x 2 de uma extremdade da barra. Então contnua: A força F = F 1 + F2 provocará o mesmo torque em relação a O se estver aplcada a uma dstânca x r, tal que x r F = F1 x1 + F2 x2 9-3 Podemos usar este resultado para mostrar que as forças da gravdade, exercdas sobre as dversas partes de um corpo, podem ser substtuídas por uma únca força, o peso total, que atua sobre um ponto que denomnamos o centro de gravdade. Na Fgura 9-3 dvdmos um corpo em mutos outros menores. Se as dvsões forem sufcentemente pequenas, podemos consderar os pequennos corpos como partículas. O peso de cada partícula é w e o peso total do corpo é W = w. Generalzando a Eq. 9-3 para este caso de váras forças paralelas e usando a relação F = W, temos para o ponto de aplcação da força resultante X cg X cg W = w x 9-4 A Eq. 9-4 defne a coordenada x do centro de gravdade. O centro de gravdade é o ponto em que atua o peso total de um corpo de modo que o torque que ele provoca, em relação a qualquer ponto, seja gual ao torque provocado pelos pesos das partículas ndvduas que consttuem o corpo. Se a aceleração da gravdade não varar sobre o corpo (como é quase sempre o caso), podemos escrever w = mg e W = Mg e cancelar o fator comum g. Então, X Mg = m gx ou MX cg = cg m x 9-5 Esta é a Eq. 7-3a, que dá a coordenada x do centro de massa. Então, quando a aceleração da gravdade não vara sobre um corpo, o centro de gravdade e o centro de massa concdem. Em nível superor avançado analsamos as obras de KANE e STERNHEIM (1980); GOLDSTEIN (1981); SYMON (1982); FEYNMAN, LEIGHTON e SANDS (1967); THORTON e MARION (1995); e FOWLES e CASSIDAY (1999). FOWLES e CASSIDAY (1999) dscutem apenas o centro de massa, não há menção nesta obra sobre o centro de gravdade, como se pode constatar ao verfcar o índce remssvo bem como nos tópcos referentes a gravdade e centro de massa presentes no texto. KANE e STERNHEIM (1980, pág. 64) defnem o centro de gravdade da segunte manera: O torque ao redor de qualquer ponto produzdo pelo peso de um corpo é gual ao torque devdo a um corpo concentrado de mesmo peso localzado em um ponto chamado de centro de gravdade (C.G.). Para corpos smétrcos de densdade unforme este ponto sera o própro centro geométrco. Caso contráro este ponto podera ser

8 Cênca & Ensno, vol. 2, n. 2, junho de 2008 encontrado expermentalmente segundo o autor usando-se o fato que, para um corpo em equlíbro, a reta que contém o CG e o ponto de suspensão é sempre vertcal e passa pelo CG. Utlzando a le da alavanca o autor chega anda em uma fórmula matemátca para o CG análoga à apresentada acma. Substtundo o peso w por mg, sendo m a massa do corpo e g a aceleração da gravdade, ele observa que o fator g comum pode ser cancelado quando a aceleração da gravdade for constante e tver a mesma dreção para todas as partículas do corpo. Com sto não exstrão dferenças entre o centro de gravdade e de massa. No mas são apresentadas as condções de equlíbro, assm como o centro de gravdade nos seres humanos. O ser humano não é um corpo rígdo. Logo o seu centro de gravdade não está localzado sempre no mesmo lugar em relação ao corpo. O centro de gravdade dependerá da posção nstantânea das partículas do ser humano em questão, como dscutdo pelo autor. GOLDSTEIN (1981, pág. 5) defne matematcamente o centro de massa nos seguntes termos: (...) defnmos um vetor R como a méda dos raos vetores das partículas, ponderados na proporção de suas massas: R = mr = m m r O vetor R defne um ponto conhecdo como o centro de massa, ou mas lvremente como o centro de gravdade, do sstema. Esta formulação M. nos parece nadequada. Para falar do centro de gravdade ele não especfcou resultados expermentas, não relaconou explctamente a massa com o peso através da aceleração da gravdade etc. Também não explcou como se obter na prátca o centro de gravdade de corpos sem smetra. Acredtamos que nenhum estudante consegurá atngr a compreensão do conceto de centro de gravdade ao segur apenas esta formulação. Em THORTON e MARION (1995) não há referêncas sobre centro de gravdade. Ao longo do lvro caracterzase apenas o conceto de centro de massa. FEYNMAN, LEIGHTON e SANDS (1967, Cap. 19) ncam a explcação sobre o centro de massa pela análse de movmentos genércos de corpos sob ação do campo gravtaconal terrestre. A demonstração do centro de massa é feta a partr da resultante de forcas do sstema, sto é, utlzando a mecânca newtonana. No capítulo segunte retoma-se o tema. A localzação do centro de massa é defnda como: R CM = m r São dscutdos alguns aspectos deste conceto, como a necessdade do ponto não pertencer ao corpo, objetos consttuídos por mas de uma parte, bem como objetos smétrcos. Em seguda se afrma que o centro de massa é chamado algumas vezes de centro de gravdade m.

9 Cênca & Ensno, vol. 2, n. 2, junho de 2008 pelo motvo de que, em mutos casos, a gravdade pode ser consderada unforme. Avala-se também o caso de corpos extensos. Neste caso os autores afrmam que se o corpo for tão grande que a falta de paralelsmo das forças gravtaconas passa a ser mportante, então o centro onde se deve aplcar a força para equlbrá-lo não é smples de ser descrto, afastando-se lgeramente do centro de massa. Nestes casos deve-se dstngur o centro de massa do centro de gravdade. O desenvolvmento do tema por estes autores parte da mecânca newtonana. Não são fetas dscussões hstórcas nem apresentadas experêncas específcas abordando o assunto. O mesmo vale para a maora dos lvros que analsamos. Symon (1982, págs. 261, 291 e 292) dscute ncalmente a estátca de corpos rígdos. Afrma que para um corpo rígdo estar em equlíbro é necessáro que a força resultante sobre ele seja nula, assm como o torque resultante também tem de ser nulo. Depos consdera um caso partcular em que o corpo está próxmo da superfíce da Terra. Mostra então que a força resultante é dada por F = Mg, onde M é a massa total do corpo e g é a aceleração da gravdade que ele consdera constante nesta stuação. Mostra também que o torque resultante é dado por R Mg, onde R = m r / M é o que ele defnu como sendo o vetor posção do centro de massa do sstema. Afrma então que como o torque total é dado pela força Mg atuando no centro de massa, sendo este ponto também chamado de centro de gravdade. No caso de corpos de grandes dmensões afrma que como a aceleração da gravdade não va ser a mesma para todos os pontos, o centro de gravdade não estará, em geral, no centro de massa do sstema. E conclu: O caráter relatvo do conceto de centro de gravdade o torna pouco útl, exceto no caso de uma esfera ou de um corpo em campo gravtaconal unforme. Para dos corpos de grandes dmensões, não se pode, em geral, defnr centros de gravdade úncos, mesmo relatvos um ao outro corpo, à exceção de casos especas, como aqueles em que os corpos estão muto afastados, ou quando um deles é uma esfera. A apresentação deste lvro é clara e com ela é possível chegar a uma boa formulação do conceto de centro de gravdade.

10 Cênca & Ensno, vol. 2, n. 2, junho de 2008 Conclusão As defnções apresentadas nos lvros ddátcos dvergem entre s. Poucos lvros fazem um levantamento hstórco sobre o surgmento do conceto do centro de gravdade, não menconando sequer Arqumedes com relação a este ponto. Em geral eles chegam ao conceto a partr da mecânca newtonana. Não há problemas em relação a sto, mas sera nteressante que fosse feta uma análse crítca do tema. Alguns lvros chegam até mesmo a tomar o centro de gravdade como sendo snônmo do conceto de centro de massa. Mas sto está bem dstante da formulação de Arqumedes. Não há problemas com este procedmento, desde que o tema seja tratado com o devdo cudado. Uma abordagem alternatva sera começar a dscussão do tema apresentando experêncas smples de equlíbro de corpos rígdos. Seram então observadas as prncpas propredades observadas emprcamente. Com sto se podera chegar à defnção concetual do centro de gravdade apresentada no níco deste trabalho. Depos sera apresentada a le empírca da alavanca. Só então se chegara fnalmente à expressão matemátca do centro de gravdade. Esta abordagem está detalhada em Asss (2008a e 2008b). Agradecmentos Um dos autores (FMdMR) agradece à Pró-Retora de Pesqusa e ao Servço de Apoo ao Estudante da Unversdade Estadual de Campnas (PRP/SAE/UNI- CAMP) pela concessão de uma bolsa de ncação centífca durante a qual este trabalho fo concluído. Os autores agradecem aos assessores pelas sugestões construtvas relatvas à prmera versão deste artgo. Bblografa ASSIS, A. K. T. Arqumedes, o Centro de Gravdade e a Le da Alavanca. Montreal: Aperon, 2008a. ISBN: Dsponível em: ASSIS, A. K. T. Archmedes, the Center of Gravty, and the Frst Law of Mechancs. Montreal: Aperon, 2008b. ISBN: Dsponível em: DIJKSTERHUIS, E. J. Archmedes. Tradução: C. Dkshoorn. Prnceton: Prnceton Unversty Press, DUHEM, P. The Orgns of Statcs. Tradução: G. F. Leneaux, V. N. Vaglente e G. H. Wagener, com um prefáco de Stanley L. Jak. Dordrecht: Kluwer, FERRARO, N, G. e SOARES, P. A. T. Aulas de Físca 1. 8ª. ed. São Paulo: Atual, FEYNMAN, R. P., LEIGHTON, R. B. e SANDS, M. The Feynman Lectures on Physcs. Vol. 1. Readng: Addson-Wesley, FOWLES, G. R. e CASSIDAY, G. L. Analytcal Mechancs. 6ª. ed. Orlando: Harcourt Brace, GOLDSTEIN, H. Classcal Mechancs. 2ª. ed. Readng: Addson-Wesley, HALLIDAY, D., RESNICK, R. e WALKER, J. Fundamentos de Físca. Tradução: José Paulo Soares de Azevedo. 6ª. ed. Ro de Janero: LTC, Vol. 2: Gravtação, Ondas e Termodnâmca. HEATH, T. L. A Hstory of Greek Mathematcs, Vol. II: From Arstarchus to Dophantus. Oxford: Clarendon Press, 1921.

11 Cênca & Ensno, vol. 2, n. 2, junho de 2008 HEATH, T. L. (edtor), The Works of Archmedes. New York: Dover, Edtado em notação moderna com capítulos ntrodutóros de T. L. Heath, com um suplemento, The Method of Archmedes, descoberto recentemente por Heberg. Rempressão ntegral da edção de 1897, com o suplemento de KANE, J. W. e STERNHEIM, M. M. Physcs. New York: John Wley & Sons LUCIE, P. Físca Básca. Vol. 2: Mecânca. Ro de Janero: Campus, MÁXIMO, A. e ALVARENGA, B. Curso de Físca, 6ª. ed. São Paulo: Scpone, Vol. 1. MUGLER, C. Les Oeuvres d Archmède. Pars: Budé, Vol. 2: Des Sprales, De l Équlbre des Fgures Planes, L Arénare, La Quadrature de la Parabole. PARANÁ D. N. Físca. 6ª. ed. São Paulo: Átca, SAMPAIO, J. L. e CALÇADA, C. S. Físca. São Paulo: Atual, SYMON, K. R. Mecânca. Tradução: Glson Brand Batsta. Ro de Janero: Campus THORTON, S. T. e MARION, J. B. Classcal Dynamcs of Partcles and Systems. 4ª. ed. San Dego: Harcourt College Publshers, TIPLER, P. A. Físca. 3ª ed. Tradução: Horáco Macedo. Ro de Janero: Guanabara Koogan, Vol. 1: Mecânca. André K. T. Asss é professor do Instuto de Físca da Uncamp. E-mal: asss@f.uncamp.br. Homepage: Fábo M. d. M. Ravanell é estudante do curso de Físca da Uncamp. E-mals: famatos@f.uncamp.br e faboravanell@hotmal.com