DOS MÉTODOS DE REFATORIZAÇÃO DE MATRIZES NA RESOLUÇÃO DE SISTEMAS MATRICIAIS

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1 Wso opes D Mmbro DOS MÉTODOS DE REFTORIZÇÃO DE MTRIZES N RESOÇÃO DE SISTEMS MTRICIIS Pofíc versdde Cóc de Ms Gers Beo Horzoe

2 Wso opes D Mmbro DOS MÉTODOS DE REFTORIZÇÃO DE MTRIZES N RESOÇÃO DE SISTEMS MTRICIIS Dsserção presed o Progrm de Pós-Grdção em Egehr Eérc d Pofíc versdde Cóc de Ms Gers Cmps Corção Ecrísco Áre de Cocerção em Ssems de Poêcs como reqso prc pr obeção do gr de mesre em Egehr Eérc sob oreção do Prof Dr Robero de Mr Nes Medes e co-oreção do Prof Dr z Do Brbos Terr Pofíc versdde Cóc de Ms Gers Beo Horzoe

3 grdecmeos À Des por sempre me evr o coo qdo o cmho é áspero os oredores Prof Dr Robero de Mr Nes e Prof Dr z Do Brbos Terr qe verm pcêc e dedcção em orer-me es ref o Gerdo Mge dos os Sv qe com s d coseg dgr ese rbho ref qe d q ve mo qe preder os professores do mesrdo qe com dedcção o rscorrer do crso verm ppe mpore pr rezção dese rbho

4 Pr mes fhos Mosés e Mes

5 RESMO Ese rbho prese méodos dreos pr soção d eqção mrc b com esprs e qdrd O procedmeo predome pr soção será decomposção de em m prodo D evdo sempre qe possíve err esprsdde d mrz ordedo- Ic-se o esdo peo méodo de Gss é fmee ober-se os méodos de reforzção prc os qs zm os fores D d mrz pr referem s erções em gs de ses eemeos Dscem-se mbém com ms dehes os méodos de compesção e o méodo de Bee es de se chegr os méodos de reforzção prc I e II pr mrzes esprss O resdo dos eses de reforzção prc I e II dc qe ees são sgfcvmee ms efcees qe s éccs cmee preseds e qe êm o poec de ceerr soção de dversos probems

6 BSTRCT Ths work preses drec mehods o sove he mrc eqo b wh sqre d sprse The m w o sove s sppored b he decomposo of D prodc vodg o chge he sprs of he mr hrogh he ordeo of he begg of hs work ws sed he Gss mehod order o ge pr reforzo h pdes he fcores D of mr showg he rsformos of some eemes of so wh des ws dscssed boh mehods of compeso d he mehod of Bee before rrvg o he prcs I d II reforzo mehods for sprse mrces The cocsos for he prc refcorzo ess I d II show h he re more efces h he mehods preseed before d he c so cceere he soos of he probems

7 IST DE FIGRS FIGR Grfo de m rede de eerg eérc com cco ós8 FIGR Mrz ssocd o grfo d fgr 8 FIGR Árvore ssocd à mrz d Fgr prdo dos ós e 8 FIGR Rede de eerg eérc com modfcção de m rmo - FIGR Rede de eerg eérc com modfcções de dos rmos - e - FIGR Esrr d mrz dmâc od: rede com cco ós FIGR Esrr d mrz dmâc od: rede de cco ós com coeão dos ós e FIGR 8 Rede referee à mrz d rede od modfcd FIGR Esqem de forzção h speror /co feror FIGR Rede od com ós FIGR Esrr esprs d mrz FIGR Tbe de cmhos referees à rede od d FIG FIGR Gráfco do cmho com ós árvore FIGR Rede de eerg eérc com ós ode ão fo fe m ordeção prév dos mesmos8 FIGR Esrr d mrz cosegd o se forr mrz d rede od cm presedo f-s FIGR Grfo do cmho sem ordeção árvore de ós FIGR Rede de eerg eérc com ós ode fo fe ordeção de gr mímo FIGR 8 Esrr d mrz o se forr mrz pós ordeção observdo o gr mímo Nese cso prece pes m f- FIGR Grfo pós se fzer m ordeção de gr mímo árvore c/ ós

8 SMÁRIO INTRODÇÃO CPÍTO - FTORÇÃO COMPET MÉTODO DE GSS Forção compe méodo de Gss gormo Méodo de Gss Eempo Decomposção e D 8 Eempo Vre do méodo de Gss presed por W F Te e ses cobordores Eempo 8 Grfos CPÍTO - MÉTODO DE COMPENSÇÃO Méodo de Compesção Modfcção por rmo oredo Modfcção por ó oredo Eempo 8 CPÍTO - MÉTODOS DE REFTORIZÇÃO PRCI Méodo de reforzção prc smpes Decomposção em bocos Eempo Méodo de reforzção prc smpes com rro espec8 Observções do qe ocorre qdo se decompõe em D 8

9 CPÍTO - MÉTODO DE BENNETT Méodo de Bee Prov do processo Eempo gormo 8 Eempo CPÍTO - MÉTODOS DE REFTORIZÇÃO PRCI I E II Méodos de reforzção prc I e II Ordeção dos ós por gr mímo Méodo de reforzção prc I Méodo de reforzção prc II8 Eempo: méodo de reforzção prc I8 CONCSÃO REFERÊNCIS BIBIOGRÁFICS PÊNDICE I8 PÊNDICE II 8

10 INTRODÇÃO s áres de esdo cos probems evovem soção de ssems eres são várs s como progrmção er áse de esrrs eor dos grfos soção mérc de eqções dferecs ssems de rsmssão e dsrbção de eerg eérc ere ors Ese rbho r dos ssems eres d form b ode são cohecds s mrzes e b de pos e m respecvmee mrz do po é soção procrd esprs Vo-se o eresse pr ssems de grde pore ode em ger mrz é Cocer-se eção soção de probems de rede de eerg eérc ode é mrz ds dmâcs é o veor ds esões e b o veor ds correes pode ser mbém mrz cob J do modeo er de rede de eerg eérc P V J dervdo d Q θ formção ão er de poêcs verss esão Sedo fpqvθ ode f é m fção veor Qdo são proeds frs mpções rede o mesmo com dção o remoção de hs o rsformdores hverá erções ds dmâcs; ogo mrz será modfcd É mpore observr qe ess erções evm ovos cácos qe crrem mdçs o empo de compção e o espço de memór egdos obrgdo procr de méodos efcees pr soção de probems com mrzes modfcds

11 Como ese sso ão se ecor dssemdo os vros procr-se descrever ddcmee os város méodos e comprá-os ere s Com o desevovmeo ceífco gs méodos fcrm obsoeos porém êm cráer sem dode o eresse o se esdo Nese rbho são rdos pes os méodos dreos Form feos esdos comprdo o desempeho do méodos dreos e ervo soção de eqção b empregdo-se s mesms codções de ese ger cocsão f é qe os méodos dreos d são ms rápdos embor o méodo ervo se ms fác de se mpemer [Moce] O obevo ger dese rbho é orgzr ddcmee m úco eo os méodos dreos de reforzção de mrzes soção de ssems mrcs Os obevos específcos são: Dr codções pr sr o méodo deqdo verfcdo s vges qe esem em cd m Verfcr s vges de se sr D em vez de sr vers sr o méodo de Bee [Bee] empregdo o progrm mpemedo compcomee meodoog dod cosse pesqs bbográfc o se esdo e seeção pesqs bbográfc cocer-se em pbcções do IEEE como mbém em vros de Ágebr er corbção dese rbho c erpreção e regsro ssemáco de bbogrf peree e pcções dos méodos de reforzção de mrzes pr pemeo de ssems de eerg eérc ém do ms o rbho pode corbr como cevo o desevovmeo de ovs pesqss

12 Orgzção do eo presee Dsserção esá orgzd em cco cpíos: Cpío : O cpío prese o méodo de Gss pr soção de ssem b como mbém decomposção de em D e m vre do méodo de Gss fe por WF Te Ee rodz o coceo de grfos ssocdos à mrz Cpío : cpío cosder s modfcções d mrz modfcções ess fes por ó o rmos oredos prr d eqção mrc b cheg-se à form [ I ] b rvés de dedções memács dé prcp é orr o cáco de rápdo e efcee Mosr-se qe bs rmzer m úc vez e sr ese fo cd modfcção efedverfc-se qe pode-se rmzer mbém s verss de e pr ccr o vor de Fz-se com eempos Cpío O cpío mosr qe o méodo de reforzção smpes é ms coveee pos o méodo de reforzção com rro espec degrd esprsdde d mrz Mosr-se qe pr soção do ssem deve-se decompor mrz em D por bocos É fe decomposção d mrz em bocos fzdo-se com m eempo pcdo o méodo

13 Cpío O cpío mosr qe Joh M Bee sbsdo por C Y mrz chego à dedde C Y [ C Y ] Y Verfc-se qe ão é ecessáro rmzer vers d mrz cd modfcção É sfcee rmzer vers de m úc vez o qe é fdme pr compção É desevovdo m gormo pr chegr à decomposção d mrz C Y em D sdo o D d mrz e é mosrdo qe vers compe d mrz modfcd pode ser evd cd erção Iso perme rmzer pes os fores D d mrz Cpío O cpío mosr qe o se err m o ms hs/cos de m mrz é fedo somee m sbgrpo de hs/cos sbseqüees Mosr-se vgem de order m mrz es de forá- em pos proporco meos preechmeos s posções ode mrz possí cmee eemeos os o se fzer decomposção ssocção qe se fz de m mrz com m grfo mosr s vges qe esem ordedo mrz es de forá- pos o úmero de* fs é meor com ordeção prév Fmee prese-se cocsão s referêcs bbográfcs e o pêdce * f-s eemeos ão os

14 CPÍTO FTORÇÃO COMPET MÉTODO DE GSS Nese cpío serão dscdos os méodos dreos pr soção de m ssem b ere ees o méodo de Gss como mbém m vre dese méodo presed por WF Te [Te] o q decompõe mrz em Irodz-se mbém ssocção de m fgr so é m grfo er G com m mrz T ssocção se fz ecessár pr os esdos dos cpíos poserores Forção compe méodo de Gss Pr resover o ssem er b ode é é e b é s-se o méodo de emção de Gss [eo 8] Ese méodo cosse em pcr à mrz compe C [ / b] s chmds rsformções eemeres sobre s hs sber: T rocr de posção s hs e ; b λ T somr à h h mpcd por λ R

15 Spõe-se qe mrz se qe pes rsformção b se ecessár m codção sfcee pr sso é qe se smérc defd posv o qe se dgomee dome > Nese méodo resove-se eqção er b rvés de operções eemeres efeds sobre s hs d mrz e b é qe se obdo m ssem eqvee o ddo de soção med o peo meos ms smpes decomposção rgr d mrz por Gss [eo8]é fe pe emção dos eemeos bo d dgo prcp em ods s cos O méodo é dreo porém é eo O empo de compção é grde e ocp mbém grde espço de rmzemeo Como s mrzes de dmâc são esprss e smércs pode-se ober gms vges soção dos probems prmer e ms evdee é grde ecoom de memór possíve de ser obd qdo rmzem-se pes os eemeos ão os segd vgem é redção do empo de compção m ercer é redção do erro de rredodmeo O méodo de Gss ede desrr esprsdde d mrz ee sbmed Ereo m coroe pode ser eercdo sobre o processo de rgrzção o qe ão pode ser feo o cso de mrzes ches es qe se dê m eempo de pcção do méodo de Gss deve-se comer rês esqems qe evm à soção d eqção b pr sfcr opção por ese méodo Iverer epcmee mrz dos coefcees o cso mrz b b Ese esqem é coveee porqe:

16 versão d mrz ege m úmero de operções bse grde em reção oros esqems; versão desró esprsdde ds mrzes; o cúmo de erros de rredodmeos dre o processo de versão pode zr os resdos obdos sobredo qdo se r de ssems de grde pore b dmr m soção promd e ober rvés de gormo deqdo promções mehores é qe m deermdo ídce de precsão se gdo Ese esqem em vges ms é coveee Qdo se rmzem pes os eemeos ão os d mrz de coefcees o rmzemeo é compco e é feo por hs e cos so é os eemeos fcm dsrbídos eormee dfcdo s oczção pr se ober mrz rspos de o vers d rspos prese-se mbém ecessvo empo de compção qdo hover ecessdde de soções repeds pos cd soção evove repeção com ovos ddos de odo o processo ervo Em sm os méodos ervos êm desvges em reção os méodos dreos[moce] como mbém versão mpíc d mrz c Trsformr o ssem er ddo rvés de operções rmécs eemeres é qe se obdo m ssem eqvee ms de soção med o peo meos ms smpes méodos dreos O méodo dreo prcp é o méodo de Gss qe prese ms vges sobre os oros pos é ms precso e esprsdde d mrz é meos fed Cosder-se o sege gormo:

17 gormo Méodo de Gss Se Noções: ídces ferores dcm ordem de h e co do eemeo respecvmee; ídces sperores represem o esdo do eemeo so é o úmero de rsformções sofrds por ese eemeo o decorrer de m processo qqer; ídce speror zero dc qe o eemeo se ecor com o se vor c Fzedo k cção do codor de h; Som-se h k de mpcd por às hs k o se k k ccm-se: k k : k ; k k k k k k b k b k k h b k Iso res emção de k ds -k eqções sbseqüees à k-ésm Fzedo k k e do pr Sbsdo os vores dos k á ccdos k-ésm eqção e resovedo pr k Iso eqve se ccr: k kk b k k k k k Fzedo k k Se k FIM Seão Ese gormo de Gss ormmee presedo err de ágebr er [eo 8] ege qe mrz ser rgrzd se rmzed egrmee

18 memór do compdor O rmzemeo h por h o cso de mrzes esprss dfc oczção dos eemeos de m dd co Pode-se verfcr qe o úmero de operções rmécs evovdo o méodo de Gss é meor qe o úmero de operções ecessárs à versão de m mrz Em se rdo de m mrz esprs s vges são bem ms sgfcvs Eempo pcção do gormo m ssem de qro cógs Pode-se escrever o ssem form mrc b Como s operções de emção evovem pes os coefcees e os ermos depedees b pr fm de eposção será sfcee rbhr com mrz med [ ] b / [ ] b / pcdo o gormo em-se:

19 ; T T ; T T T 8 Cáco de : sedo 8 b b b - b - Decomposção e D [ Moce8] pode ser redzd à form rgr speror:

20 Em ger se mrz poder ser coocd form rgr speror sem rocr s hs eão pode ser ford em ode é rgr feror e em odos os eemeos d dgo gs m O eemeo de bo d dgo prcp v ser m múpo d -ésm qe fo sbrído d -ésm h dre o méodo de Gss Pode-se verfcr qe Pr se ver como es forção fco s-se o processo em ermos de mrzes eemeres Iso é eqvee mpcr mrz à esqerd por mrzes eemeres: E E E Eão E EEE e como s mrzes eemeres são veríves em-se: E E E E ogo Dd forção de m mrz é possíve prossegr e forr em m prodo D ode D é dgo e é rgr speror com odos os eemeos d dgo gs D Tem-se D Tem-se poro qe: mrz é - speror e coém os eemeos qdo se esco mrz méodo de Gss

21 mrz é - feror e represe s eps de emção Ses eemeos < são os smércos dos mpcdoresλ qe precem s operções T λ dgo de são odos gs ; os eemeos d ém dsso soção de b é eqvee à soção dos dos ssems b e sedo o prmero por sbsção progressv e o segdo por sbsção regressv ssm o méodo de emção de Gss é eqvee forr o prodo ode é - feror com dgo ár e é -speror Irodzdo mrz dgo D pode-se escrever D mbém dgo ár; es decomposção é úc [eo 8 cp ] ode em Pode-se mosrr qe o úmero de operções rmécs evovdo soção de b é o mesmo qe o evovdo o méodo de emção de Gss N prác o méodo o D oferece gms vges Por eempo se o resover b pr város vores de b permece erd o méodo é o ms coveee Cso de mrz smérc: Spõe-se qe eqção er b é mrz smérc so é Se D D res de modo qe D Por eempo 8

22 Se m mrz gr speror com odos os eemeos d dgo prcp dferees de zero e m mrz rgr feror com os eemeos d dgo prcp gs m Decompodo em e sbsdo-os o ssem b em-se: b e fzedo em-se b Como é m mrz rgr feror resove-se dremee ccdo por sbsção de cm pr bo m vez deermdo o vor de e sdo mrz rgr speror resove-se or eqção por sbsção de bo pr cm Sem s mrzes: Pr resover m ssem b fz-se s seges cosderções: ; b; om-se e cc-se sdo fórm k k k b

23 e omdo-se cc-se sdo fórm k k k b Eempo T T T T T : Eão b em-se: ogo 8

24 em-se: 8 ogo Como mrz pode mbém ser ford em D ode e são mrzes rgres feror e speror respecvmee com eemeos d dgo prcp áros e D é m mrz dgo em-se mbém: D eão D b D e b Vre do méodo de Gss presed por W F Te e ses cobordores [Te;8] Pr eempfcr cosder-se m ssem b de qro eqções e qro vráves Decompodo em D em-se: d d d d b b b b Fzedo resove-se o ssem D b sdo sbsção progressv por cos de cm pr bo e deermdo o veor Co Co Co Co b d d d d d b b

25 b b b b soção do ssem D b é De fo em-se: d b b d b d b d d b ; d bd ; d d d d d d b d b b d d d d d d b d b d d d d b b d d d d gor resove-se o ssem sdo sbsção por hs

26 h : h : h: h: Eempo Se o ssem O ssem pode ser coocdo form de m eqção mrc b Decompodo em D : Cc-se prmero resovedo o ssem D bpor cos de cm pr bo co ; ; ; co ; ; co ; 8

27 co 8 Resove-se o ssem pr ecorr o qe é soção f: em-se: ; ; Eão soção é: 8 Grfos Nese rbho rodz-se m procedmeo pr se esdr o efeo d esprsdde emção de Gss qe hb escoher-se m esqem de emção ómo e/o deermr se emção é m bordgem prác Iso é feo pe ssocção de m grfo er G m mrz dme-se qe mrz evovd é sfceemee bem codcod de modo qe emção de Gss se sempre possíve m rede de eerg eérc pode ser sd como sedo se própro grfo ão dreco [Szwrcfer 8] No ssem b ssocdo m rede de eerg eérc esrr de esá mmee gd à cofgrção geomérc d rede o se à mer pe q s dverss brrs esão ercoecds depededo compemee dos vores desss coeões Des form é sfcee pr descrever esrr geomérc de m rede

28 sbsr ses compoees por segmeos de re Eses segmeos são deomdos rmos e ses erms ós m ó e m rmo são cdees qdo o ó for m dos erms do rmo Os ós podem cdr em m o ms rmos o coo de ós e rmos qe descrevem esrr opoógc de m rede dá-se o ome de grfo Qdo m ó é emdo coeão qe es es precs ser preechd Iso pode reqerer dção de ovo rmo o grfo redzdo Os ovos rmos correspodem os preechmeos f-s mrz Cd ó é cosderdo m gção própr m ço so é em dmâc própr represed por ode Se m ó é gdo oro em-se dmâc mú represed mbém por ms com O ó é gdo o ó e vce-vers Qdo ão há gções ere os ós o ermo é g zero m cmho de m ó v m ó w é m cde formd por rmos dsos qe êm orgem em v e érmo em w O cmho pode ser fechdo se v w o bero cso coráro m cco é m cmho fechdo v vk sedo vk v e k m grfo é coeo qdo ese m cmho ere cd pr de ós so é prr de m ó rbráro do grfo é possíve cçr odos os dems Cso coráro o grfo é descoeo erdo-se m mrz êm-se modfcções os grfos e serão feds ss hs/cos s hs/cos feds podem ser ecords prdo do cmho do grfo d mrz Qdo ms de m h/co é modfcd s hs/cos feds são orgds pe ão dos cmhos [Becor 8;88] m grfo é chmdo de árvore se ee for coeo e cícco

29 8 Fgr Grfo de m rede de eerg eérc com cco ós FIGR Mrz ssocd o grfo d fgr FIGR Árvore ssocd à mrz d Fgr prdo dos ós e Nese cpío fo presedo o méodo de Gss pr soção do ssem b decomposção de em D e m vre do méodo de Gss fe por W F Te Fo rodzdo o coceo de grfos ssocdo à mrz e ddo m eempo o do méodo de Gss como o de Te

30

31 O CPÍTO MÉTODO DE COMPENSÇÃO O cpío prese dedção e áse do méodo de compesção pr soção efcee de probems de rede evovedo modfcção mrz do ssem b Mosr-se qe s modfcções podem ser fes por rmo o ó oredos No f cheg-se m eqção qe se er cd modfcção ms cc-se e rmze-se vers de somee m vez [sç So Te 8] Méodo de Compesção Ese méodo or o processo de cáco d soção de probems de redes de eerg eérc ms rápdo e efcee e é ms proprdo qdo: s modfcções ão são grdes; b s modfcções ão são permees; c s eqções modfcds ão precsm ser resovds repedmee Cosder-se sege eqção mrc b sedo mrz dmâc d rede de eerg eérc de dmesão mbém de dmesão mrz modfcção evovedo m o ms eemeos d rede o veor ds esões e b o veor ds correes

32 Pr ods s modfcções cdees smércs d mrz om-se M YM ode: Y é m mrz m m coedo s modfcções de sedo m M é mrz coeão de dmesão m Qdo modfcção é por rmo oredo M em cos de erds e s posções reeves No cso de modfcções por ó oredo s cos de M êm m úc erd Modfcção por rmo oredo Qdo m rmos são modfcdos smemee Y é m mrz dgo m m de mdç d dmâc e M como á fo do em m cos com s erds e s posções reeves Prmerocosder-se pes m rmo modfcdo FIG FIGR Rede de eerg eérc com modfcção de m rmo - [ ][ ]

33 Observ-se qe dmâc ere os ós e md de dcodo e e sbrdo-o de e Cosderm-se dos rmos modfcdos FIG : FIGR Rede de eerg eérc com modfcções de dos rmos - e - M YM ogo mrz com dos rmos modfcdos será:

34 Observ-se qe os são dcodos e e sbrídos de qe prcrmee são os porqe ão há gções ere eses ós Modfcção por ó oredo Es é m modfcção ms ger pos podem ser fes smemee erções em odos os eemeos d mrz ssocdos m ddo coo de ós mrz Y em dmesão m m ode m é o úmero de ós evovdos mrz M em m cos cd m com m úc erd posção reeve como se vê o eempo segr Cosder-se mesm mrz vs o eempo eror Qdo dos ós são evovdos em-se: é mesm mrz ecord qdo modfcção fo fe o rmo - FIG Qdo qro ós são evovdos cosderdo mrz dd o eempo eror e s modfcções qe gor evoverão os ós e em-se:

35 Ms m vez coc-se qe co sedo mesm eror qdo se fez modfcção os rmos - e - FIG Sedo mrz m mrz de dmâc de m rede de eerg eérc e será smérc e esprs prcpmee se rdo de m ssem de grde pore mrz modfcção é d ms esprs e poderá mbém ser decompos m prodo ode é m mrz rgr feror com eemeos áros dgo prcp e é m mrz rgr speror: ' D ode D é mrz dgo e é m mrz rgr speror com os eemeos d dgo gs m Eão D

36 O qe deerm o mehor méodo ser sdo ó oredo o rmo oredo é o gso compco ecessáro pr o processmeo de cd m dees Ese gso me com ordem d mrz modfcção Y Ivers d mrz modfcd Pr resover eqção b deve-se ccr vers Tem-se: I e desevovedo-se formmee em sére de poêcs I I Poro I [ I ] [ ] [ I ] I eão [ I ]b Se M YM eão I M YM M YM Smpfcdo ms dedde cm om-se: C I YM M Y dode: Y I YM M C ogo:

37 YM M YM M I MCM se em e Y M YM M I MC dode M C YM M I Y M C M YM M M Y M : : Eão em-se qe: M C M Podo : M M M Z M Vem: Y Z Y I C pós modfcção soção é: b M C M Pode-se escrever mbém: b M CM I Se vem eão: b M C M I b M C M b M C M I dé é orr o processo de cáco de rápdo e efcee vers de será ccd somee m vez e rmzed Verfc-se qe s verss qe se devem ccr são mee esprss e s ors operções ecessárs são somee dção e mpcção de mrzes

38 São mosrds bo s esrrs d dmâc od com cco ós es e depos de se fzer modfcção so é es de gr o ó o ó Pode-se verfcr como fcrm mbém s esrrs ds mrzes dmâcs es e depos d modfcção FIGR Esrr d mrz dmâc od: rede com cco ós FIGR Esrr d mrz dmâc od: rede de cco ós com coeão dos ós e

39 8 Esrr d mrz dmâc: Esrr d mrz dmâc: Eempo Cosderdo-se s esrrs ds fgrs e dá-se o eempo sege rbdo vores mércos; Cosder-se m rede de eerg eérc de ós poro mrz é e s mrzes e b são cd m Pode-se mbém ese cso er cd mrz e b é so é se é de ordem s mrzes e b podem ser m ode m É eresse observr qe se êm várs combções possíves prcpmee se é m úmero grde e decompodo em em-se:

40 e e 8 Cosder-se por eempo [ ] Y fzedo m gção do ó o ó e como fo vso cm mrz de coeão é M e como [ ] Y Y Z I C em-se: [ ] M M Z [] [] [] C

41 MCM E: ] [ b MCM I sedo qe é o veor ds esões e b o veor ds correes Resovedo- por pres em-se: MCM 8 MCM M C M I MCM I

42 MCM I gor pode-se ccr s esões sdo eqção: } { b b MCM I

43 s esões serão poro: e Pr cd cso específco de modfcção d rede o processo pode ser dvddo em ds fses: Fse preprór: cáco d vers de cáco de e e ss verss e cáco ds mrzes C e Z; Fse soção: ecorr o veor rvés d eqção: I MCM b Pr ors modfcções o ssem ão será ecessár versão d ov mrz d rede mrz c será verd e rmzed m úc vez como mbém s verss de e e s eves modfcções serão ccds coforme s fses cm Como se pode observr efe-se smpesmee mpcção de mrzes cd ov modfcção Nese cpío form cosderds modfcções d mrz modfcções ess fes por ós o rmos oredos prr d eqção mrc b chego-se à fórm [ I ] b rvés de dedções memács dé prcp é orr o cáco de rápdo e efcee Iso é possíve pos bs rmzer m úc vez e sr ese fo cd modfcção efed Verfco-se qe pode-se rmzer s verss de e qe mbém permem o cáco de d eqção mrc

44 CPÍTO MÉTODOS DE REFTORIZÇÃO PRCI Qdo o úmero de erções d mrz o ssem b ão é peqeo s modfcções são permees e ão há ecessdde de se resover o ssem repedmee os méodos de reforzção prc são ms efcees reforzção prc é pcáve qqer mrz ão sgr ms ese cpío cosder-se qe e se mrz dos coefcees de m rede od Vê-se ese cpío como se fz decomposção por bocos pr ccr reforzção d sbmrz qe fo modfcd Méodo de reforzção prc smpes Ese méodo refor somee sbmrz qe coém os eemeos modfcdos d mrz Os eemeos d mrz for d sbmrz ão são erdos[brdw8] O probem dese méodo é qe o mho d sbmrz e coseqeemee o rbho de reforzção são fecdos pe posção dos eemeos modfcdos mrz Se os eemeos modfcdos esverem prómos do opo d mrz poc o ehm vgem é cçd ese méodo Se FIGR 8 Rede referee à mrz d rede od modfcd

45 Se B sbmrz de qe coém os eemeos qe serão modfcdos e ees se ecorm pre feror o qe é voso pos pode-se reforr somee sbmrz qe ese cso é de ordem meor qe mrz B [ ][ ] e em-se poro: B B Decomposção em bocos Pr se forr pes sbmrz B fz-se decomposção d mrz em bocos: ode: é veríve é r r veríve é r -r e é -r -r Prov-se qe: I r I r ode C C Demosrção Tem-se:

46 Ir : C Ir C dode: C Spõe-se qe: o se modfc-se pes o boco B Ir Eão I D r Ode: D B so é com e D De b vem b Podo z vem z b ssm pr resover b ch-se em boco e resove- se z b pr chr z chdo-se z resove-se Z z ode Z Zé r e Z é -r D e D B Se Y ode Y é r e Y é -r Eão Y z dá: Y Y DY z z pós chr Y em-se Y z Y

47 Em Y Z D fz-se w Y resovedo Y chr se pode w ccdo Z e w w Y D o o o o o Eempo Se resoção do ssem b ode form fes modfcções pes o boco Se ode: e Tem-se: ; e Cosder-se qe modfcção fo gção do ó o ó ode eão com B decompodo em em bocos pode-se escrever eqção: b ms como em-se b e fzedo z vem z b

48 Cáco de z eqção z b; z z z z z eão z Como z pss-se o cáco de ode : B D D D Z Y fordo D em o o pode-se resover eqção Z o o e w o o o Z w o w w Z w w w o Y Z Y poro soção será: e

49 8 Méodo de reforzção prc smpes com rro espec Ese méodo sper o probem do méodo eror forçdo os eemeos qe precsm ser modfcdos pr pre feror d mrz O rro espec me efcêc d reforzção; porém ee pode degrdr esprsdde e mer o rbho compco pr operções progressvs e regressvs ém dsso ese méodo resrgese pcções ode s posções dos eemeos d mrz modfcd podem ser prevss ecpdmee [Brdw 8] Observções do qe ocorre qdo se decompõe em D N rsformção de em D mrz rgr feror e mrz rgr speror ão mêm o mesmo gr de esprsdde d mrz precem em eemeos ão os < ode correspodee de é o Eses eemeos qe srgem em são os f-s preechmeos qe correspodem ovs gções o se emr gs ós Pr se cosegr mmzr o úmero de f-s esem éccs qe podem ser sds em coo com forção de procrdo preservr esrr esprs de s mrzes de cdêc smércs podem er m esrr corremee descr por grfos ão oredos se mpc qe mbém é dferee de zero Sempre qe hover m segmeo oredo de pr hverá ecessrmee oro oredo de pr fo qe pode ser descro por m segmeo ão oredo

50 O cpío rês mosr qe o méodo de reforzção smpes é ms coveee pos o méodo de reforzção com rro espec degrd esprsdde d mrz Mosr-se qe pr soção do ssem deve-se decompor mrz em D por bocos mbém como se decompõe por bocos m mrz e fz-se com m eempo pcdo o méodo

51 CPÍTO MÉTODO DE BENNETT O cpío mosr m méodo egehoso devdo Bee [Bee] zdo pr zr os fores D de m mrz modfcd Cheg-se à zção dos fores sem err mrz do ssem b Nee mbém pode-se ver o gormo qe perme ess erções prr ds verss ds mrzes D e Méodo de Bee Qdo dco-se à mrz peo méodo de composção coc-se qe: I Com sbsção de CY por cheg-se or dedde efedo s operções bo: [ ] [ ] [ ] [ ] ] [ Y Y C Y Y C Y Y C Y Y C Y CY I C CY CY I CY

52 Pode-se ver como fc vers de m mrz modfcd qdo cresce-se à mrz o ermo CY Não é ecessáro rmzer vers d mrz cd modfcção bs pes rmzer vers de m úc vez; com so o úmero de operções dm o qe é fdme pr compção Spõe-se qe se decompos o prodo D Se for modfcd pe dção de CY é deseáve mbém ser cpz de modfcr D de modo se ober decomposção D de CY Pr se evr vers compe d mrz modfcd od vez qe há m erção rbh-se com os fores rgres s oções: Pr cr o processo do cáco de D d mrz modfcd rodze-se represe mrz obd d mrz dde I pe sbsção d -ésm co de I pe -ésm co de represe mrz obd d mrz dde I pe sbsção d -ésm h de I pe -ésm h de K é -ésm h de K K é -ésm co de K Tmbém são váds s propreddes: I I De fo em-se:

53 ogo: I e poro: I I B I Se é e B é mrz obd de pe pcção d rsformção eemer T so é B T eão B E ode E é mrz T I Tem-se: Poro: E I ode E E h h mpcd por é mrz eemer obd de I somdo à

54 Dode J I E E I Eempo: pr I Vem mbém s propreddes: C I I D I Se m mrz de ordem ford em m prodo D d d d d D e

55 Fzedo: d obém-se e [ ] ém dsso se é prcod em sbmrzes em-se G F H Eão e em-se d: H GF H GF Referdo-se como escreve se H GF Eão: s operções cm repeds em forecem e d Com repeções dcos compe-se o processo e deerm-se D

56 Prov do processo Tem-se: I I K I Ode GF K pos [ ] F e G Poro GF H e GF H ssm GF H

57 Eempo Decompodo o prodo D em-se : e D Tom-se: d e [ ] [ ] [ ] 8 8 og ; GF H H GF o G e F H G F [ ] [ ] [ ] [ ] GF e H G F d GF H [ ] eão:

58 ed No procedmeo com mrz modfcd CY prmer h e prmer co evm medmee d e qe são prmer co de o prmero ermo d mrz D e prmer h de cosderdo-se qe CY D Fzedo-se C Y d B em-se: B B Como é possíve ober D de cohecedo-se o mesmo pode ser feo pr D e d mrz C Y B Eempo: Pr α I I β B d C Y Se C D YC E eão: m DY Dk Yk Y k C k k m m k m m Y k Ck E C Y k m m k ; Y k C k d Y C e como d em se qe d d Y C Por coveêc compco cem-se os veores:

59 8 C Y q o Y C q C p o C p gormo ; ; ; ; ; ; ; ; ; processo o reor C C p q d C C p Y d q d Y Y Y Y Y q q C Y q fm D d p Y D d p p C p q p Y Y C C se Defe < <

60 Se e C forem smércs e Y o gormo se smpfc e o úmero de operções é dvddo em ds pres Iso coece os probems qe evovem s redes de eerg eérc pos s mrzes dmâcs são smércs é mrz de coeão M e M Y é so M Y Eempo Sem s mrzes 8 8 Y Y C C D [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Y Y Y Y Y Y ey Cáco de Cáco de: e

61 [ ] [ ] [ ] [ ] 8 8 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 8 8 Y q q p p C ey d q p Cáco dec

62 [ ] [ ] 8 e Cáco de [ ] [ ] [ ] 8 8 d q q p p C e d q p Cáco dec Tem-se: D 8 8 Pode-se verfcr qe D C Y

63 Nse cpío mosr-se qe Joh M Bee sbsdo por mrz C Y chego à dedde C Y [ C Y ] Y Mosr-se mbém qe ão é ecessáro rmzer vers d mrz cd modfcção é sfcee rmzer vers de m úc vez o qe é fdme pr compção Com o desevovmeo de m gormo chego-se à decomposção d mrz C Y em D prr de D d mrz É possíve evr vers d mrz modfcd C Y sdo D d mrz permdo resover o ssem mrc cd modfcção e mbém o méodo fo eempfcdo

64 CPÍTO MÉTODOS DE REFTORIZÇÃO PRCI I E II Os méodos de reforzção prc I e II form mpsodos pe observção de qe erção em m h/co de m mrz fe somee m sbgrpo de hs/cos sbseqüees Nese cpío cosder-se mbém vgem qe ese em se order mrz es de forá- em pr mmzr os "f-s"[ Brdw8] Méodos de reforzção prc I e II efcees: gs mehormeos orm os méodos de reforzção prc I e II ms mrz org é orgzd sem evr em cosderção s modfcções frs Nehm ó é forçdo pr for d orgzção drecod pe esprsdde d mrz Somee os fores erdos mrz são zdos ão mpordo posção dos eemeos mesm Se mrz é defd posv e smérc mrz é rspos d mrz ms ão é smérc; é dêc em reção à esrr esprs reforzção prc pode ser pcd qqer mrz ão sgr ms ese cpío cosder-se qe e se mrz dos coefcees de m rede od

65 Ordeção dos ós por gr mímo Se é mrz dmâc de m rede ordeção dos ós em o propóso de mmzr o precmeo de eemeos ão os qe srgem s mrzes e em posções ode mrz org esem eemeos os: são os "f-s" [Te8] O processo de ordeção por gr mímo cosse em emerr os ós d rede em ordem crescee de ses grs O gr de m ó é ddo peo úmero de gções qe ee poss Iso é o mesmo qe emerr s hs/cos d mrz de cordo com o úmero de eemeos ão os for d dgo pós order mrz sdo o méodo de gr mímo e será orgzd em íves em form de verdo Cd m desses íves será referdo com h/co [Brdw8]fg Eemeos de hs horzos Eemeos de hs vercs b Pre d mrz qe será rbhd h/co qe esá sedo erd FIGR Esqem de forzção h speror /co feror o se modfcr h/co em egro somee m sbgrpo ds hs/cos sbseqüees será fedo

66 Pr zção dos ovos méodos z-se m esqem qe perme m cáco efcee do cmho de reforzção Nese cpío é sdo o esqem h speror/co feror É eresse observr qe erção de m h/co fe somee m sbgrpo de hs/cos sbseqüees Iso pode ser vso o eempo ddo bo pr m rede de doze ós FIG 8 FIGR Rede od com ós Pode-se formr m be e m grfo ode se verfc o cmho so é seqüêc qe cd ó em rede Tbe bo O grfo do cmho é forecdo pe be como pode ser cosegdo mbém rvés d mrz O grfo em m sedo do ó de meor merção pr o de mor merção Qdo o ó ão é coecdo dremee o ó sege s-se o "f"[te8]

67 eemeo org o eemeo ovo f s 8 o o FIGR Esrr esprs d mrz Tbe de cmhos Nó Pr ómo Nó Nó Pr ómo Nó FIGR Tbe de cmhos referees à rede od d FIG 8 FIGR Grfo do cmho com ós árvore

68 Cosderdo como eempo erção dos eemeos h/co os fores d mrz fedos podem ser ecordos dremee prr d mrz FIG N verdde os fores modfcdos esão oczdos s hs/cos s hs/cos feds podem mbém ser ecords prr do cmho do grfo d mrz FIG O cmho cosse de ós ecordos dre o rçdo do cmho prdo de m ó é o úmo ó em ordem crescee Qdo ms de m h/co é modfcd s hs/cos feds são orgds pe ão dos cmhos Por eempo: sem s erções s hs/cos e Os fores modfcdos esrão oczdos s hs/cos s ors hs/cos permecerão erds Méodo de reforzção prc I composo: O méodo de reforzção prc I rbh ods s hs/cos o cmho Prmero psso: defcr ods s hs/cos o cmho composo; Segdo psso: ecorr o cmho composo pr esss hs/cos podedo ssm sber qs serão s hs/cos sbseqüees qe serão erds; Tercero psso: rbhr pes com sbmrz ode se ecorm s hs/cos qe serão modfcds Pode se perceber vgem qe se cosege ese méodo em reção o méodo de compesção Fz-se es m ordeção d mrz es de forá- pr se mmzr o mámo os "f-s" o mesmo empo qe se defc sbmrz qe será formd pes hs/cos qe serão modfcds

69 8 Méodo de reforzção prc II O méodo de reforzção prc II é m vre do méodo de Bee o q o cmho de forzção é zdo pr defcr s hs/cos qe devem ser zds É mpore mbém order mrz pr mmzr os "f-s" e pr qe s mrzes e ehm o mor úmero de eemeos os possíves o se zrem os fores D d mrz modfcd rbh-se pes s hs/cos qe serão zds devdo à modfcção de m o ms h/co Eempo: méodo de reforzção prc I Cosder-se m rede de eerg eérc com ós FIG ode ordeção ão fo efed 8 FIGR Rede de eerg eérc com ós ode ão fo fe m ordeção prév dos mesmos

70 o o o s f ovo eemeo org eemeo o FIGR Esrr d mrz cosegd o se forr mrz d rede od cm presedo f-s FIGR Grfo do cmho sem ordeção árvore de ós 8

71 Com ordeção de gr mímo em-se ordeção mosrd FIG Pode-se verfcr qe o úmero de f-s dm de rês pr m FIGR Rede de eerg eérc com ós ode fo fe ordeção de gr mímo o f ovo eemeo org eemeo o FIGR 8 Esrr d mrz o se forr mrz pós ordeção observdo o gr mímo Nese cso prece pes m f- 8

72 FIGR Grfo pós se fzer m ordeção de gr mímo árvore com ós Pode-se represer por m ssem rede de eerg eérc cosderd cm pós ordeção rbdo-se vores às dmâcs e às correes cosderdo como cógs s esões em-se: E poro em-se eqção mrc b ode: 8

73 b e Pr eempfcr spoh-se qe fo fe m erção h/co de úmero Observdo s FIG o 8 pode-se ver qe es erção rá modfcr pes s hs/cos e Iso perme rbhr pes sbmrz qe evove ess hs/cos Decompõe-se mrz em por bocos e

74 8 8 b e em bocos eão b Fzedo em-se b Cáco de : 8 8 I I Tem-se: 8 8 e Cáco de : eão em-se : 8 8 Y Y

75 ode Y e Y 8 Como Y e Y B eão : B 8 8 pr ccr 8 decompõe-se mrz B em o o o o Pode-se escrever eão Y e fzedo o z o z Y o z z 8 ogo z 8 o fzedo os rredodmeos em-se Y Y Y eão:

76 Temos poro: qe é soção do ssem ddo Mosr-se ese cpío qe o se err m o ms hs/co de m mrz são fedos somee m sbgrpo de hs/cos sbseqüees e mbém vgem de order m mrz es de forá- em pos proporco meos preechmeos f-s ds posções de eemeos os mrz qe precem s mrzes e qdo se efe decomposção

77 CONCSÃO O méodo de compesção é proprdo às pcções ode o úmero de mdçs é peqeo s modfcções ão são permees e s eqções modfcds ão precsm ser resovds repedmee O méodo d reforzção smpes refor somee sbmrz qe coém os eemeos d mrz modfcd e ese méodo se os eemeos modfcdos esverem o opo d mrz ão ese vgem em sá-o O méodo de reforzção smpes com rro espec forç os eemeos pr pre feror d mrz porém pode err sermee esprsdde d mrz e resrge-se às pcções ode posção dos eemeos d mrz modfcd pode ser prevs ecpdmee O méodo de Bee z os fores D d mrz modfc e vgem é qe ão precs rmzer vers d mrz modfc cd modfcção fe bs pes rmzer vers m úc vez Pode-se evr vers compe d mrz modfcd e cheg-se os fores D d mrz modfcd rvés dos fores D d mrz c Os méodos de reforzção prc I e II são sgfcvmee ms rápdos qe os méodos erores efcêc derv dos coceos de cmho receemee desevovdo O méodo de reforzção prc I refor seevmee m sbgrpo de hs/cos d mrz modfcd so é somee o sbgrpo qe sofre modfcções o se err m o ms h/cos O méodo de reforzção prc II é o de Bee modfcdo qe z o cmho pr err seevmee fores mrcs poro os dos úmos méodos são ms sdos

78 REFERÊNCIS BIBIOGRÁFIC [sç 8] Osç B So &WF Te Sprs-reed Compeso Mehods For Modfed Nework Soos IEEE Trscos o Power pprs d Ssems vops- N M 8 [Bee ] Bee Joh M "Trgr Fcors of Modfed Mrces" Nmersche Mhemk -pp- [Becor 8] Becor Rmo d vrdo Ferdo Pre verso of sprse mrces IEEE Trscos o Power Ssems vo PWRS Feb-8 pp-8 [Becor 88] Becor Rmo effce hersc orderg gorhm for pr mr refcorzo IEEE Trscos o Power ssems vo gs 88 [Brdw 8] BrdwVdmr & Ch M Sherm "Pr Mr Refcorzo"- IEEE Trscos o Power SsemsvopWRS- Febrr 8- pp- [Derker 8] Derker P F d Vom Wm Dscree Mhemc Hrcor Brce Jovovch Iero Edo 8 [Dff 8] Dff J F Ersm M d Red J K Drec Mehods for Sprse Mrces Oford vers Press Oford 8 [George 8] George d w J W H Comper Soo of rge Sprse Posve Defe Ssems Predce-H Egewood Cfs N J8 [Gombc 8] Gombc Mr Ches gorhmc Grph Teor d Perfec Grphs cdemc Press 8 [Gsvso ] Gsvso F G Some Bsc Techqes for Sovg Sprse Ssems of Eqos Sprse Mr d her ppcos Rose D J d Wowghb R eds Pem Press New York pp - [eo 8] eo Seve J er Ágebr wh ppcos Prece-H Egewood Cfs N J 8 [Moce 8] Mocecr José Fo de Crg em Rede de Eerg Eérc Ed Edgrd Bücher d São Po 8 [Moce] B vesen sd d Moce Crc Evo of Drec d Ierve Mehods for Sovg b Ssems m Power Fow Ccos d Cogec ss IEEE Trscos o Power SsemsVoNo M [Morozowsk 8] Morozowsk Mrco Fho Mrzes Esprss em Redes de Poêc Téccs de Operção- vros Téccos e Ceífcos Edor S/ 8 [So ] So N & Te W F Techqes for epog he sprs of he ework dm New YorkDec

79 8 [Szwrcfer 8] Szwrcfer Jme z Grfos e gormos compcos Edor Cmpos d Segd Edção 8 [Te] Te W F d Wker J W Drec Soos of Sprse Nework Eqo b Opm Ordered Trgr Fcorzo Proceedgs of he Ise of Eecrc d Eecrocs Egeers New York :8 [Te 8] Te W F Brdw V d Ch S M Sprse Vecor Mehods IEEE Trscos o Power pprs d Ssems vo: PS- Feb 8

80

81 PÊNDICE I Processo dehdo pr mosrr qe [ ] GF H F G H

82 8 Pode-se verfcr qe: : : e se coce se em eâo

83 8 PÊNDICE II Impemeção compco do Méodo de Bee ggem Deph Bord do Brs d FrmPrcp; erfce ses Wdows Messges Sss Vrs Csses Grphcs Coros Forms Dogs SdCrs Bos ECrs RDce Tmers MPer Mes P_MMe; cos sze ; pe Tmr rr[szesze] of dobe; pe c rr[] of eger; pe TCoer csstthred prve hormsecmsec: word; proeced procedre Eece; overrde; // Méodo do procedre cor; pbc cosrcor Cree; ed; pe Tpr csstthred prve proeced procedre Eece; overrde; // Méodo do procedre cor; pbc cosrcor Cree; ed; pe TFrmD csstform Pe: TPe; BB: TBB; Ed: TEd;

84 8 Ed: TEd; Ed: TEd; Ed: TEd; Ed: TEd; Ed: TEd; be: Tbe; be: Tbe; be: Tbe; be: Tbe; be: Tbe; be: Tbe; Memo: TMemo; BB: TBB; be: Tbe; Tmer: TTmer; fpmme: fpmme; rqvo: TMeIem; Imporo: TMeIem; N: TMeIem; Sr: TMeIem; OpeDog: TOpeDog; procedre BBCckSeder: TObec; procedre BBCckSeder: TObec; procedre SrCckSeder: TObec; procedre ImporoCckSeder: TObec; prve prhred: booe; fco Mdco co b cob: eger; m mb: TMr; vr r cor: eger; prm: eger: TMr; fco MM co b cob: eger; m mb: TMr; vr r cor: eger: TMr; fco MMVor co: eger; m: TMr; vr r cor: eger; vor: dobe; prm: eger: TMr; fco MTrspos co: eger; vr r cor: eger; m: TMr: TMr; Fco eddosmr: srg; ddos: srg; vr m com: eger; vr m: mr: booe; fco IsereEspcovor: eger: srg; { Prve decros } pbc { Pbc decros } ed; vr FrmD: TFrmD; mpemeo {$R *dfm} fco TFrmDIsereEspcovor: eger: srg;

85 8 vr : eger; s: srg; beg s: ''; for : o vor do s: s ' '; res: s; ed; Fco TFrmDMMcobcob: eger; m mb: TMr; vr r cor: eger: TMr; vr mr: TMr; v: eger; : dobe; beg f co <> b he e; r: ; cor: cob; for : o do for : o cob do beg : ; for v: o co do : m[v] * mb[v]; mr[]: ; ed; res: mr; ed; fco TFrmDMTrspos co: eger; vr rcor: eger; m: TMr: TMr; vr mr: TMr; : eger; beg r: co; cor: ; for : o r do for : o cor do mr[]: m[]; res: mr; ed; Fco TFrmDMdco co b cob: eger; m mb: TMr; vr r cor: eger; prm: eger: TMr; vr mr: TMr; : eger; beg f <> b or co <> cob he e;

86 8 r: ; cor: cob; for : o do for : o co do f prm he mr[]: m[] mb[] ese mr[]: m[] - mb[]; res: mr; ed; Fco TFrmDMMVor co: eger; m: TMr; vr r cor: eger; vor: dobe; prm: eger: TMr; vr mr: TMr; : eger; beg r: ; cor: co; for : o do for : o co do f prm he mr[]: vor * m[] ese f prm he mr[]: m[] / vor ese f m[] <> he mr[]: vor / m[] ese mr[]: ; res: mr; ed; Fco TFrmDeDdosmr: srg; ddos: srg; vr m com: eger; vr m: mr: booe; vr verro: eger; eg: booe; res: srg; beg res: fse; eg: fse; : ; : ; res: ''; for : o eghddos do beg f ddos[] [''''''''] he beg res: res ddos[]; ed

87 ese f ddos[] ';' he beg f eg he beg m[]: srofo'-' res; eg: fse; ed ese m[]: srofores; res: ''; c; c; f he verro: ese f <> verro he beg res: re; showmessge'mr ' mr ' vád'; e; ed; : ; ed ese f ddos[] '-' he eg: re ese f ddos[] ' ' he beg f res <> '' he beg f eg he beg m[]: srofo'-' res; eg: fse; ed ese m[]: srofores; res: ''; c; ed; ed; ed; f res <> '' he beg f eg he beg m[]: srofo'-' res; eg: fse; ed 8

88 8 ese m[]: srofores; res: ''; ed; m: ; com: ; ed; procedre TFrmDBBCckSeder: TObec; cos ds: eger ; vr d d r r: mr; c p q p q: rr[sze] of Tmr; c cd c c cd c: c; cc c c cp cq cp cq: rr[sze] of c; f g c c: eger; resp h: srg; beg prhred: fse; coercree; f eddos''edtec[]c[] he e; f eddos'd'edtecd[]cd[]d he e; f eddos''edtec[]c[] he e; f eddos''edtec[][]c[][][] he e; f eddos'c'edtecc[][]cc[][]c[] he e; f eddos'y'edtec[][]c[][][] he e; //Cáco de e c : ; memoescer; memoesdd'restdo'; repe memoesdd' '; memoesdd'pr I ' osr; memoesdd' '; for : o c[][] - do beg r: MMvorc[][][]c-[][]; for : o c[][] do [][][]: r[][] [][][]; c[][]: ; c[][]: - ; r: MMvorc[][][]c-[][]; for : o c[][] do [][][]: r[][] [][][]; c[][]: ; c[][]: - ;

89 88 ed; memoesdd'' osr ' '; resp: ' '; for f: o c[][] do beg for g: o c[][] do beg resp: resp h formfo'#####'[][f][g]; h: sereespco - eghformfo'#####'[][f][g]; ed; memoesddresp; resp: ' '; h: ''; ed; memoesdd''; memoesdd'y' osr ' '; resp: ' '; for f: o c[][] do beg for g: o c[][] do beg resp: resp h formfo'#####'[][f][g]; h: sereespco - eghformfo'#####'[][f][g]; ed; memoesddresp; resp: ' '; h: ''; ed; memoesdd''; // cáco de ** e ** for f: o c[] do for g: o c[] do f f g he beg [fg]: ; [fg]: ; ed; p[]: MMc[][]c[][]cc[][]cc[][][]c[]cp[][]cp[][]; cp[][]: ; p[]: MTrsposcp[][]cp[][]cp[][]cp[][]p[]; r: MMc[][]cp[][]cp[][][]p[]c; d[][]: d[][] r[][c]; r: MTrsposcc[][]cc[][]cc[]; q[]: MMc[][]c[]rcq[][]cq[][]; q[]: MTrsposcq[][]cq[][]cq[][]cq[][]q[]; c[]: c[]; c[]: c[];

90 8 c[]: c[]; c[]: c[]; cd[]: cd[]; cd[]: cd[]; for : o c[][] - do beg r: MMc[][]cq[][]cq[][][]q[]c; [][]: [][] / d[][] * r[][c]; r: MMc[][]cp[][]cp[][][]p[]c; [][]: [][] / d[][] * r[][c]; ed; : ; memoesdd'd*' osr '' osr ' '; resp: ' '; for f: o do beg for g: o do beg resp: resp h formfo'#####'d[f][g]; h: sereespco - eghformfo'#####'d[f][g]; ed; memoesddresp; resp: ' '; h: ''; ed; memoesdd''; memoesdd'**' osr ' '; resp: ' '; for f: o c[] do beg for g: o do beg resp: resp h formfo'#####'[f][g]; h: sereespco - eghformfo'#####'[f][g]; ed; memoesddresp; resp: ' '; h: ''; ed; memoesdd''; memoesdd'**' osr ' '; resp: ' '; for f: o do beg for g: o c[] do beg resp: resp h formfo'#####'[f][g]; h: sereespco - eghformfo'#####'[f][g]; ed; memoesddresp; resp: ' '; h: '';

91 ed; memoesdd''; //Cáco de c r: MMcq[][]cq[][]cp[][]cp[][]q[]p[]c; r: MMvorcrc / d[][]; c[]: Mdcocc[][]cc[][]cc[]rcc[][]cc[][]; memoesdd'c' osr ' '; resp: ' '; for f: o cc[][] do beg for g: o cc[][] do beg resp: resp h formfo'#####'c[][f][g]; h: sereespco - eghformfo'#####'c[][f][g]; ed; memoesddresp; resp: ' '; h: ''; ed; memoesdd''; c; c[][]; p[]: MMc[][]c[][]cc[][]cc[][][]c[]cp[][]cp[][]; cp[][]: ; p[]: MTrsposcp[][]cp[][]cp[][]cp[][]p[]; r: MMc[][]cp[][]cp[][][]p[]c; d[][]: d[][] r[][c]; // cose; for : o c[] do for : o c[] do beg f he beg [][]: ; [][]: ; ed; f > he beg [][]: ; d[][]: ; ed; f < he beg [][]: ; d[][]: ; ed; ed;

92 memoesdd' '; memoesdd'restdo'; memoesdd'* '; resp: ' '; for : o c[] do beg for : o c[] do beg resp: resp h formfo'#####'[][]; h: sereespco - eghformfo'#####'[][]; ed; memoesddresp; resp: ' '; h: ''; ed; memoesdd''; memoesdd'd* '; resp: ' '; h: ''; for : o c[] do beg for : o c[] do beg resp: resp h formfo'#####'d[][]; h: sereespco - eghformfo'#####'d[][]; ed; memoesddresp; resp: ' '; h: ''; ed; memoesdd''; memoesdd'* '; resp: ' '; h: ''; for : o c[] do beg for : o c[] do beg resp: resp h formfo'#####'[][]; h: sereespco - eghformfo'#####'[][]; ed; memoesddresp; resp: ' '; h: ''; ed; // merebed: fse; prhred: re; ed; procedre TFrmDBBCckSeder: TObec; beg TPRINTICree;

93 ed; procedre TCoerEece; beg cor; ed; procedre TPRINTIEece; beg cor; ed; procedre TCoercor; beg msec: ; m: ; sec: ; hor: ; whe o frmdprhred do beg cmsec; f msec he beg msec: ; csec; ed; f sec he beg sec: ; cm; ed; f m he beg m: ; chor; ed; FrmDbeCpo: formdeme'hh::ss:zzz'ecodemehormsecmsec; FrmDbeRefresh; ed; ed; procedre prcor; beg TRY frmdmemoessvetofe'pt'; ECEPT END; ed; cosrcor TCoerCree; beg hered CreeTre; { Chm o coror herddo Ee rá emporrmee coocr o hred em esdo de esper pr depos eecá-o }

94 FreeOTerme : Tre; // ber o obeo pós ermr Pror : Tpower; { Cofgr s prordde s de processos do Ssem operco } Resme; // Ic o Thred ed; cosrcor prcree; beg hered CreeTre; { Chm o coror herddo Ee rá emporrmee coocr o hred em esdo de esper pr depos eecá-o } FreeOTerme : Tre; // ber o obeo pós ermr Pror : Tpower; { Cofgr s prordde s de processos do Ssem operco } Resme; // Ic o Thred ed; procedre TFrmDSrCckSeder: TObec; beg sefcose; ed; procedre TFrmDImporoCckSeder: TObec; vr f: efe; s: srg; beg f opedogeece he f opedogfenme <> '' he beg ssgfefopedogfenme; resef; RedF S; EdTe : S; RedF S; edte: s; RedF S; edte: s; RedF S; edte: s; RedF S; edte: s; RedF S; edte: s; ed; ed; ed

95 EEMPO: Se mrz D D Y D

96 pcção do progrm o eempo d pág eror: RESTDO Pr I Y - - D* ** -8 - ** -8 - C Pr I

97 Y - - D* ** ** C Pr I Y D* ** **

98 C Pr I Y - D* 8 ** ** C RESTDO * D* 8

99 8 *