Conteúdo. Eduardo Germer Guilherme Bertoldo Jonas Joacir Radtke Outubro de 2012

Transcrição

1 Documtação do código Mach-D. Escoamto bidimsioal xtro sobr a part frotal d um corpo d simtria plaa ou axial. Eulr Vrsão: Rvisão - 00; Brach: trasit Eduardo Grmr Guilhrm Brtoldo Joas Joacir Radtk Outubro d 0 Cotúdo Dscrição cocitual. Caractrísticas do uido do scoamto Codiçõs iiciais d cotoro Modlagm matmática. Equaçõs d cosrvação para simtria plaa ou axial Equaçõs d cosrvação para coordadas curvilías ξη Codição iicial Codiçõs d cotoro Cotoro ort Cotoro sul Cotoro lst Cotoro ost Gradzas d itrss ropridads gométricas o sistma ξη Modlagm umérica 7. Itgração das quaçõs d trasport m um volum lmtar Gração da malha Gração dos ós do cotoro ort Gração dos ós do cotoro sul Gração dos ós itrmdiários Aproximaçõs para os trmos gométricos Cálculo d x y os ctroids Cálculo d r as facs ctroids Cálculo das drivadas d x y m rlação a ξ Cálculo das drivadas d x y m rlação a η Cálculo do jacobiao Cálculo das compots do tsor métrico Aproximaçõs para as variávis as facs dos volums rais Acoplamtos prssão-vlocidad SIMLEC prssão-dsidad Equação para a corrção da prssão Aproximaçõs para as codiçõs d cotoro Cotoro ort Cotoro sul Cotoro lst

2 .7.4 Cotoro ost Cato sudost Cato sudst Cato orost Cato ordst Extrapolaçõs das vlocidads odais para os volums ctícios Cotoro ort Cotoro sul Cotoro lst Cotoro ost Catos Cálculo das vlocidads as facs dos cotoros Cotoro ort Cotoro sul Cotoro lst Cotoro ost Extrapolação das tmpraturas odais para os volums ctícios Cotoro ort Cotoro sul Cotoro lst Cotoro ost Catos Extrapolação das prssõs odais para os volums ctícios Cotoro ort Cotoro sul Cotoro lst Cotoro ost Catos Aproximaçõs para as codiçõs iiciais Volums rais Volums ctícios Facs dos volums Cocits do SIMLEC para as facs dos cotoros Cotoro ort Cotoro sul Cotoro lst Cotoro ost Rsolução dos sistmas liars Rsíduos dos sistmas liars Aproximaçõs para as gradzas d itrss Distribuição d tmpratura Distribuição do cocit d prssão Cocit C p Df Algoritmo A Trasformação das quaçõs d trasport do sistma xy para o ξη 9 Dscrição cocitual. Caractrísticas do uido do scoamto. Comprssívl. Cotíuo. Não-rativo 4. Ivíscido 5. Gás trmicamt prfito, isto é, a talpia h a rgia itra ε por uidad d massa são fuçõs apas da tmpratura

3 6. Sm radiação térmica 7. ropridad costat: costat do gás R g 8. ropridads variávis com a tmpratura T : c p : calor spcíco a prssão costat c v : calor spcíco a volum costat γ: razão tr c p c v 9. Sm dissipação viscosa 0. Sm forças xtras. Escoamto stacioário. Escoamto bidimsioal plao ou axisimétrico. Codiçõs iiciais d cotoro. Escoamto stacioário com trasit distorcido.. Escoamto ão prturbado a trada.. Escoamto localmt parabólico a saída. 4. Sm troca d calor com as pards. 5. Com dslizamto do uido sobr as pards. 6. Gradit d prssão, ormal à pard, ulo. 7. Escoamto com simtria bidimsioal plaa ou axial. Modlagm matmática. Equaçõs d cosrvação para simtria plaa ou axial A diâmica do scoamto é dscrita através das quaçõs d Eulr com as hipótss fitas acima. Estas quaçõs podm sr scritas d maira cocisa, tato para a simtria plaa quato axial dtalhs sobr as quaçõs d Eulr m divrsos sistmas coordados podm sr vistos o Apêdic B da Rf. [], como C φ [ ρφ t + ρuφ x + r ] ρrvφ = φ, y od t é o tmpo, x y são as coordadas cartsiaas, o caso da simtria plaa, ou as coordadas cilídricas as dirçõs axial radial, rspctivamt, o caso da simtria axial, u v são as compots do vtor vlocidad as dirçõs d x y, rspctivamt, r = y f, od f = 0 para a simtria plaa f = para a simtria axial ρ é o campo d dsidad. As xprssõs para φ, C φ, φ são dadas a sguir associadas aos pricípios d cosvação da massa, quatidad d movimto rgia. Equação d cosrvação da massa Equação d cosrvação da quatidad d movimto m x Na quação atrior, p é o campo d prssão. φ = C φ = φ = 0 4 φ = u 5 C φ = 6 φ = p 7 x

4 Equação d cosrvação da quatidad d movimto m y Equação d cosrvação da rgia térmica φ = v 8 C φ = 9 φ = p 0 y φ = T C φ = c p φ = p t + u p x + v p y Nas quaçõs atriors, T é o campo d tmpratura c p é o calor spcíco à prssão costat. O cojuto d quaçõs obtidos da quação para φ =, u, v T dv sr complmtado com a quação d stado, qu st projto é a quação d stado dos gass idais od R g é a costat do gás. p = ρr g T, 4. Equaçõs d cosrvação para coordadas curvilías ξη ara ralizar o cálculo umérico, é covit qu as quaçõs d trasport sjam scritas m um sistma coordado curvilío qu s adapt aos cotoros do domíio d cálculo. Sjam ξ η as coordadas curvilías. Etão, com bas a mudaça d coordadas x = xξ, η, y = yξ, η, 5 as quaçõs d cosrvação cam rscritas como C φ [ J od J é o jacobiao da trasformação ρφ t + r ρruφ + r ] ρrv φ = φ, 6 J = [x ξ y η x ηy ξ ], 7 U V são as compots cotravariats do vtor vlocidad sm ormalização métrica α, β γ são compots do tsor métrico dadas por As xprssõs para φ são dadas por U = uy η vx η, V = vx ξ uy ξ 8 α = x η + y η, β = x ξ x η + y ξ y η, γ = x ξ + y ξ. 9 = 0, 0 u = py ξ v = pxη T = J pyη px ξ As trasformaçõs aprstadas acima são dduzidas o Apêdic A.. Codição iicial = y ξ p yη p, p = x η x p ξ, p t u u v v. p = p 4 T = T 5 u = u 6 v = 0 7 4

5 Figura : Esquma dos cotoros do domíio d cálculo..4 Codiçõs d cotoro.4. Cotoro ort.4. Cotoro sul p = p 8 T = T 9 u = u 0 v = 0 ˆ p = 0 ˆ T = 0 ˆ u = Cotoro lst Escoamto localmt parabólico: u φ = 0, φ {p, T, u, v} Cotoro ost.5 Gradzas d itrss ˆ φ = 0, φ {p, T, u} 6 v = 0 7 As pricipais variávis d itrss st trabalho são a distribuição d prssão tmpratura sobr a suprfíci do corpo propridads locais, bm como o cocit d arrasto frotal propridad global. A distribuição d prssão srá dada m trmos do cocit d prssão C p, dido por od q é a prssão diâmica, C p = p p q, 8 q = ρ u. 9 O cocit C p a distribuição d tmpratura podm sr obtidos facilmt após a solução das quaçõs d trasport. O cocit d arrasto C D é dido como C D = Fx, 40 A b q od F x é a compot da força do uido sobr o corpo a dirção do scoamto st caso axial A b é a ára da bas do corpo. Nas coordadas cartsiaas, a compot F i[] da força do uido ivíscido sobr o corpo é dada por F i = pda i, 4 S 5

6 od a itgração dv sr fita sobr toda a suprfíci do corpo. Nst projto, é d itrss apas a força qu ag sobr a suprfíci frotal. Lvado-s m cota qu a força é causada pla prssão apas, o cocit d arrasto associado à força sobr a suprfíci frotal é scrito como od CDf p é a compot do arrasto causado pla prssão a suprfíci frotal. Utilizado as simplicaçõs das simtrias plaa axial, CDf p é scrito como C p Df = f q r f+ b C Df = C p Df 4 lr 0 p p r dy dx. 4 dx Com bas o sistma coordado ξη cosidrado qu a pard do corpo stja sobr uma liha η stddo-s d ξ i a ξ f, tão é possívl scrvr C p Df = f q r f+ b ξf.6 ropridads gométricas o sistma ξη ξ i p p ry ξ dξ. 44 Sja r o vtor posição d um poto cujas coordadas são x, y. Em trmos dos vtors uitários i j, as dirçõs do ixo x y, rspctivamt, lmbrado qu x = xξ, η y = yξ, η, o vtor posição é dado por r = xξ, ηi + yξ, ηj. 45 Com bas a q. 45, os vtors E ξ E η, tagts às lihas d η ξ costats, rspctivamt, são dados por E ξ = r = x ξi + y ξ j, 46 E η = r = xηi + yηj. 47 or outro lado, os vtors E ξ E η, ormais às lihas d ξ η costats, rspctivamt, são dados por od foram usadas as rlaçõs d trasformação[] lmbrado qu J é o jacobiao da trasformação E ξ = ξ = x i + j = Jyηi xηj, y 48 E η = η = x i + y j = J y ξi + x ξ j, 49 x y x y = Jy η, 50 = Jx η, 5 = Jy ξ, 5 = Jx ξ, 5 J = [x ξ y η x ηy ξ ]. O produto itro tr os vtors das qs satisfazm às sguits propridads od No sistma coordado ξη, o gradit d uma fução φξ, η ca E i E j = δ j i, Ei Ej = gij, Ei E j = g ij, 54 g ξξ = γ = x ξ + y ξ, 55 g ξη = β = g ηξ = x ξ x η + y ξ y η, 56 g ηη = α = x η + y η 57 g ξξ = J α = J x η + y η, 58 g ξη = J β = g ηξ = J x ξ x η + y ξ y η, 59 g ηη = J γ = J x ξ + y ξ. 60 φ = E ξ φ + Eη φ. 6 6

7 Modlagm umérica. Itgração das quaçõs d trasport m um volum lmtar No método dos volums itos, as quaçõs d trasport dvm sr itgradas m cada volum lmtar do domíio d cálculo m um itrvalo d tmpo [t t, t]. A Fig. ilustra um volum lmtar o sistma coordado xy o corrspodt volum o sistma trasformado ξη. No sistma coordado trasformado, a itgração sobr o volum a Sistma cartsiao b Sistma curvilío Figura : Volum d cotrol gérico o sistma coordado cartsiao a o sistma curvilío b. lmtar sobr o itrvalo d tmpo é dada pla xprssão t t t η ξ od [ ] rprsta o trmo a sr itgrado. Com o auxílio da aproximação totalmt implícita para a itgração tmporal, t t η s t t ξ w πr [ ] dξ dη dt, 6 ψt dt = ψt + O t, 6 da rgra do rtâgulo para a itgração spacial, η ξ ψξ, ηdξdη = ψξ, η + O + O 64 η s ξ w od ψ é uma fução gérica as quaçõs d trasport 6 cam C φ [ r ρφ ρφ + ρruφ + J t = ξ ξ w, = η η s, 65 ] ρrv φ = r φ + O t + O + O. 66 O ídic a Eq. 66 idica o valor da variávl o istat t t a ausêcia dst ídic idica o valor da variávl o istat t. ara lvar m cota o balaço d cada propridad φ o volum lmtar, as drivadas m rlação a ξ η a Eq. 66 são aproximadas m trmos dos valors das fuçõs as facs, d modo qu o qu coduz a [ Mφ C φ M φ + t ψ = ψ = Ṁφ Ṁwφw ψ ψw ψ ψs + + O 67 + O, 68 ] Ṁφ Ṁsφs = r φ + O t + O + O 69 7

8 od M = As xprssõs para φ são ρr J, Ṁ = ρru, Ṁ w = ρru w, Ṁ = ρrv, Ṁ s = ρrv s. 70 = 0 7 u = py ξ py ξ s pyη pyη w 7. Gração da malha v = pxη pxη w.. Gração dos ós do cotoro ort px ξ px ξ s T = p p u u v v. 74 J t 7 aξ ξ ξi xξ = l a + l r l a, ξ i ξ ξ f 75 ξ f ξ i x lr yξ = l b, 76 l a od a ξ é um parâmtro livr. S a ξ =, tão há uma distribuição uiform m x, s a ξ >, há uma coctração d ós próximos à origm... Gração dos ós do cotoro sul od a ξ s é um parâmtro livr idêtico a a ξ... Gração dos ós itrmdiários Há três possibilidads para a gração dos ós itrmdiários: aξ ξ s ξi xξ = l r, ξ i ξ ξ f 77 ξ f ξ i yξ = gx, 78. Distribuição uiform Sjam x i, y i x f, y f potos do cotoro sul ort, rspctivamt. A distribuição d ós o sgmto d rta qu u sts potos é dada por η ηi xη = x f x i + x i, η i η η f, 79 η f η i η ηi yη = y f y i + y i, η i η η f. 80 η f η i. Distribuição tipo progrssão gométrica Sjam x i, y i x f, y f potos do cotoro sul ort, rspctivamt. A distribuição d ós o sgmto d rta qu u sts potos é dada por ψ k = ψ f ψ i q k + ψ i, k, ψ {x, y}, 8 r q od rprsta o úmro d volums tr os cotoros sul ort, x f x i + y f y i r =, 8 a a é a largura dos volums cotíguos ao cotoro sul q é obtido através da solução da quação hq = q + r q = 0. 8 A solução dsta quação é obtida itrativamt através do método d Nwto: od q = 0.5 s > r q = caso cotrário. q i+ = q i hqi, i =,,, 84 h q i 8

9 . Distribuição tipo li d potêcia. Sjam x i, y i x f, y f potos do cotoro sul ort, rspctivamt. A distribuição d ós o sgmto d rta qu u sts potos é dada por αη η ηi xη = x f x i + x i, η i η η f, 85 η f η i αη η ηi yη = y f y i + y i, η i η η f, 86 η f η i od o cocit α η é ajustado pla fórmula α η = xf x i +y f y i log a log η f η i d modo qu a largura dos volums cotíguos ao cotoro sul sja smpr a.. Aproximaçõs para os trmos gométricos As aproximaçõs a sguir são basadas as coordadas dos vértics d um volum d cotrol gérico do sistma coordado ξη, coform a Fig.. 87 Figura : Volum d cotrol gérico o sistma coordado curvilío.. Cálculo d x y os ctroids Aproximação para as coordadas dos ctroids m todos os volums d cotrol rais: ψ = ψ + ψw + ψs + ψsw 4 + O + O, ψ {x, y}. 88 É possívl utilizar também um método qu mprga uma média podrada. Nst caso, o quadrilátro, Fig., é divido m dois triâgulos formados plos vértics sw, s sw, w. As coordadas dos ctroids dos dois triâgulos são calculadas através da média aritmética das coordadas dos sus vértics m sguida as coordadas do ctroid do quadrilátro são calculadas com a média podrada dos ctroids dos triâgulos, utilizado como pso a ára d cada triâgulo, ou sja, ψ = ψ +ψ s+ψ sw A + ψ+ψw+ψsw A A + A, ψ {x, y}, 89 od A é a ára do triâgulo formado plos vértics sw, s, i.., A = x s x sw y s y sw 0 x x sw y y sw 0 A é a ára do triâgulo formado plos vértics sw, w, i.., A = x x sw y y sw 0 x w x sw y w y sw 0. 9 A ordm do rro dsta aproximação aida ão foi avaliada. 90 9

10 .. Cálculo d r as facs ctroids Simtria plaa f = 0 Nst caso tm-s: r = r = r =. 9 Simtria axial f = Aproximação para r as facs lst d todos os volums rais dos volums ctícios do cotoro ost: r = y + ys + O. 9 Aproximação para r as facs ort d todos os volums rais dos volums ctícios do cotoro sul: r = y + yw A aproximação para r as facs ost sul d todos os volums rais é dada por: + O. 94 r w = r W, r s = r S. 95 Nos ctroids dos volums rais, tm-s r = y Cálculo das drivadas d x y m rlação a ξ ara as facs ort d todos os volums rais dos volums ctícios do cotoro sul: ψ ψ ψw = + O, ψ {x, y}. 97 ara as facs sul d todos os volums rais: ψ s ψ =, ψ {x, y}. 98 ara as facs lst dos volums rais, xcto as do cotoro lst: ψ ψe ψ = + O, ψ {x, y}. 99 ara as facs lst dos volums rais do cotoro lst: ψ ψw 4ψ + ψ = od ψ w = ψ = S ψw + ψsw ψ + ψs + O, ψ {x, y}, 00 + O, 0 + O. 0 ara as facs ost dos volums rais do cotoro ost: ψ ψ ψw = + 4ψ ψ w = + O, ψ {x, y}. 0 ara as facs ost d todos os volums rais: ψ w ara os ctroids d todos os volums rais: ψ = W = ψ ψw ψ W, ψ {x, y} O, ψ {x, y}. 05 0

11 ..4 Cálculo das drivadas d x y m rlação a η ara as facs lst d todos os volums rais dos ctícios do cotoro ost: ψ ψ ψs = + O, ψ {x, y}. 06 ara as facs ort d todos os volums rais, xcto as do cotoro ort: ψ ψn ψ = + O, ψ {x, y}. 07 ara as facs ort dos volums rais do cotoro ort: ψ ψs 4ψ + ψ = + O, ψ {x, y}, 08 od ψ s = ψs + ψsw ψ + ψw + O, 09 ψ = + O. 0 ara as facs sul dos volums ctícios do cotoro sul: ψ ψ ψs = + 4ψ ψ s = + O, ψ {x, y}. ara as facs sul d todos os volums rais: ψ s ara os ctroids d todos os volums rais: ψ =..5 Cálculo do jacobiao S ψ =, ψ {x, y}. ψ ψs ara as facs lst d todos os volums rais dos ctícios do cotoro ost: S + O, ψ {x, y}. J = [x ξ y η x ηy ξ ]. 4 ara as facs ost d todos os volums rais: J w = J W 5 ara as facs ort d todos os volums rais dos ctícios do cotoro sul: ara as facs sul d todos os volums rais: ara os ctroids d todos os volums rais:..6 Cálculo das compots do tsor métrico J = [x ξ y η x ηy ξ ]. 6 J s = J S. 7 J = [x ξ y η x ηy ξ ]. 8 ara a fac lst d todos os volums rais dos ctícios do cotoro ost: α = x η + yη. 9 ara a fac ost d todos os volums rais: α w = α W. 0 ara a fac lst d todos os volums rais dos ctícios do cotoro ost: β = x ξ x η + y ξ y η. ara a fac ost d todos os volums rais: β w = β W. ara a fac ort d todos os volums rais dos ctícios do cotoro sul: β = x ξ x η + y ξ y η. ara a fac sul d todos os volums rais: β s = β S. 4 ara a fac ort d todos os volums rais dos ctícios do cotoro sul: γ = x ξ + yξ. 5 ara a fac sul d todos os volums rais: γ s = γ S. 6

12 .4 Aproximaçõs para as variávis as facs dos volums rais No squma co-localizado d variávis, as fuçõs suas drivadas as facs do volum lmtar dvm sr xprssas m trmos das rspctivas variávis o ctroid dos volum sus vizihos. ara garatir a stabilidad do squma umérico, a aproximação para a fução φ os trmos advctivos os trmos do lado squrdo da Eq. 69, xcto os da drivada tmporal sobr as facs srá fita utilizado o squma UDS com corrção adiada para o CDS, isto é, φ = φ + φ E + ˆβ ˆα φ m E φ m + ˆβ O + ˆβO 7 od φ w = φ = φ s = + ˆα ˆα + ˆαw φ W + ˆαw + ˆα φ + ˆα + ˆαs φ S + ˆαs ˆα = sg U, ˆα w = φ + ˆβ ˆα w φ m φ m W + ˆβ O + ˆβO 8 φ N + ˆβ ˆα φ m N φ m + ˆβ O + ˆβO 9 φ + ˆβ ˆα s φ m φ m S + ˆβ O + ˆβO 0 sg Uw, ˆα = sg V, ˆα s = sg Vs, 0 ˆβ é a costat d acoplamto tr os squmas UDS CDS o ídic m idica qu a variávl foi obtida do último ívl itrativo. ara os dmais trmos, utiliza-s o squma CDS puro, isto é, as fuçõs as facs cam od φ = φ w = φ = φ s = φe + φ φw + φ φn + φ + O + O + O 4 φs + φ + O. 5 Isrido-s as aproximaçõs 7-5 as quaçõs , obtém-s o sistma liar A φ s φ S + A φ wφ W + A φ φ + A φ φ E + A φ φ N = b φ 6 A φ Cφ Ṁs s = + ˆαs A φ Cφ Ṁw w = + ˆαw A φ = A φ = C φ Ṁ C φ Ṁ ˆα ˆα A φ = Cφ M t b A φ b 4 b φ = Cφ Mφ + ω φ + r φ t + O t + ˆβ [O + O] + ˆβ [ O + O ] 4 Na Eq. 4, ω φ é a cotribuição da corrção adiada: [ ] ω φ = C φ ˆβ Ṁ ˆα φm φ m E + Ṁw ˆαw φm φ m W + Ṁ ˆα φm φ m N + Ṁs ˆαs φm φ m S. 4 As ovas xprssõs para φ são = 0 u = y ξ p N + p y ξ s p + p S yη pe + p yη w p + pw v = xη pe + p xη w p + pw x ξ p N + p x ξ s p + p S T = p p u u v v. 47 J t

13 .5 Acoplamtos prssão-vlocidad SIMLEC prssão-dsidad Cosidr os sistmas liars 6 obtidos das quaçõs do movimto para u v,.g., A φ φ + b A φ b φnb = M φ t + ω φ + r φ, φ {u, v}. 48 Dados os cocits A φ trmos fots b φ dos sistmas liars, caso um campo d prssão p corrto sja prscrito, tão o campo d vlocidads u v, obtidos da q. 48, bm como o campo d dsidad ρ, obtido da quação d stado ρ = p R, gt 49 dvm satisfazr a quação da cotiuidad r ρ ρ + ρru ρru w + ρrv ρrv s = J t Ocorr qu o campo d prssão ão é cohcido a priori. Dst modo, s um campo d prssão stimado p for prscrito, também srão obtidos das quaçõs campos d vlocidad u v dsidad ρ stimados, isto é, A φ φ + b A φ b φ NB = M φ t + ω φ + r φ, φ {u, v} 5 ρ = p R, 5 gt qu ão cssariamt satisfarão a quação da cotiuidad. Como a quação a cotiuidad dv sr smpr satisfita, la pod sr utilizada para dtrmiar o dsvio da prssão p, isto é, p = p p. 5 Mas para isto, é cssário cotrar uma rlação tr os campos d dsidad d vlocidad com o dsvio da prssão, ou sja, ρ = ρp, u = up, v = vp. 54 Nsta sção as rlaçõs 54 srão dtrmiadas, para qu a próxima sção sjam utilizadas para dtrmiar, a partir da quação da cotiuidadad, uma quação para a corrção da prssão. O acoplamto prssão-dsidad é obtido dirtamt da quação d stado 49 Como a prssão srá calculada o ctroid dos volums d cotrol, tão ρ = p R = p + p gt R = gt ρ + p R. 55 gt ρ = ρ + g p, 56 od g =. 57 R gt or outro lado, a quação da cotiuidad são cssárias as dsidads as facs do volum d cotrol. Estas podm sr obtidas da dsidads os ós 56 por itrpolação. Nst trabalho srá mprgado o squma UDS com corrção adiada para o CDS para ralizar a itrpolação, isto é, ρ = + ˆα ρ + ˆα ρ E + ˆβ ˆα ρ m E ρ m + ˆβ O + ˆβO, 58 ρ w = + ˆαw ρ W + ˆαw ρ + ˆβ ˆα w ρ m ρ m W + ˆβ O + ˆβO, 59 ρ = + ˆα ρ + ˆα ρ N + ˆβ ˆα ρ m N ρ m + ˆβ O + ˆβO, 60 ρ s = + ˆαs ρ S + ˆαs ρ + ˆβ ˆα s ρ m ρ m S + ˆβ O + ˆβO. 6 Combiado a q. 56 com as qs. 58-6, obtém-s ρ = ρ + + ˆα g p + ˆα ρ w = ρ w + + ˆαw g Wp W + ˆαw ρ = ρ + + ˆα g p + ˆα g Ep E + ˆβ g p + ˆβ O + ˆβO, 6 O + ˆβO, 6 g Np N + ˆβ O + ˆβO, 64

14 od ρ = ρ w = ρ = ρ s = ρ s = ρ s + + ˆαs g Sp S + ˆαs g p + ˆβ O + ˆβO, 65 + ˆα ρ + ˆα + ˆαw ρ W + ˆαw + ˆα ρ + ˆα + ˆαs ρ S + ˆαs ρ E + ˆβ ˆα ρ m E ρ m + ˆβ ρ + ˆβ ˆα w ρ m ρ m W + ˆβ O + ˆβO, 66 O + ˆβO, 67 ρ N + ˆβ ˆα ρ m N ρ m + ˆβ O + ˆβO, 68 ρ + ˆβ ˆα s ρ m ρ m S + ˆβ O + ˆβO. 69 O acoplamto prssão-vlocidad é obtido subtraido-s a q. 5 da 48, o qu produz A φ φ + b A φ b φ NB = r φ, φ {u, v}. 70 Na aproximação SIMLEC, cosidra-s φ = φ NB, 7 d modo qu u = u r u + A u + 7 b Au b v = v r v + A v +. 7 b Av b As qs. 7 7 rprstam o acoplamto prssão-vlocidad para as vlocidads odais. Na quação da cotiuidad, cotudo, são cssárias as vlocidads sobr as facs do volum lmtar. odria-s obtr a vlocidad as facs através da itrpolação das vlocidads odais 7 7, a xmplo do qu foi fito para a dsidad. Etrtato, é rcomdado[] utilizar o sguit procdimto. Supoha qu s dsja dtrmiar a fórmula para o acoplamto prssão-vlocidad para a vlocidad a fac lst φ. Ao ivés d s fazr a itrpolação sobr as vlocidads d volums vizihos φ φ E, faz-s a itrpolação tr os sistmas liars das quaçõs do movimto para os volums vizihos, A φ φ + A φ b φnb = M φ + ω φ + r φ, φ {u, v} 74 t b A φ E φe + A φ b φnb = M Eφ E + ωe φ + r EE φ, t b E φ {u, v}. 75 Somado as qs aplicado as sguits aproximaçõs [ ] A φ φ + A φ E φe = A φ + A φ φ + O, 76 E M φ + M Eφ E = [M + M E] φ + O, 77 r φ + r E φ E = r φ + O, 78 obtém-s [ ] A φ + A φ φ + A φ b E φnb + A φ b φnb b b E = M + ME φ t + ω φ + ωe φ + r φ, φ {u, v}, 79 od φ rprsta a aproximação d φ a fac lst. ara s obtr o acoplamto prssão-vlocidad, assum-s qu um campo d prssão p tha sido aplicado a quação do movimto 79, o qu coduz a [ ] A φ + A φ φ + A φ b E φ NB + A φ b φ NB = M + ME φ t Subtraido a q. 80 da q. 79 utilizado a aproximação SIMLEC b b E + ω φ + ω φ E + r φ, φ {u, v}. 80 φ NB = φ, 8 4

15 obtém-s [ A φ + b Ou, d maira mais xplícita, A φ b + A φ + b ] A φ b E φ = r φ, φ {u, v}. 8 od φ é obtido da q. 80 M +M E φ φ t b Aφ = φ = φ r φ + [ A φ + b Aφ b + A φ + ], φ {u, v}. 8 b Aφ b b φ NB E b Aφ b φ NB + E ωφ + ωe φ + r φ [ ], φ {u, v}. 84 A φ + A φ Equaçõs aálogas às qs são obtidas para as dmais facs substituido os ídics E plos ídics das facs corrspodts. or coviêcia, são rptidas as aproximaçõs para a fac ort od φ é obtido d φ = E φ = φ r φ + [ A φ + b Aφ b + A φ + ], φ {u, v}. 85 b Aφ b M +M N φ t b Aφ b φ NB N b Aφ b φ NB + N ωφ + ωn φ + r φ [ ], φ {u, v}. 86 A φ + A φ As aproximaçõs para a fac ost podm sr obtidas lmbrado-s qu a fac ost do volum é igual a fac lst do volum W, isto é, [φ w] = [φ ] W. 87 Raciocíio aálogo val para a fac sul, As aproximaçõs para φ φ são dadas abaixo [ ] u p = y ξ p yη [ ] v p = x η x p p E p ξ = x η [ ] u p = y ξ p p N p yη = y ξ [ ] v p = x η x p ξ = y ξ p NE + p N p SE p S 4 N [φ s] = [φ ] S. 88 = x η p NE + p E p NW p W 4 y η p E p x ξ p NE + p N p SE p S 4 y η p NE + p E p NW p W 4 x ξ p N p + O + O, 89 + O + O, 90 + O + O, 9 + O + O. 9 Nas aproximaçõs d φ volvdo p, as drivadas p p 9 são dsprzadas, d modo qu as dsjadas quaçõs para o acoplamto prssão-vlocidad para as vlocidads as facs cam u = u + d u p p E, 94 v = v + d v p E p, 95 u = u + d u p N p, 96 v = v + d v p p N, 97 od d u = d v = d u = r y η / A u + b b Au + A u +, b Au b E 98 r x η / A v + b b Av + A v +, b Av b E 99 r y ξ / A u + b b Au + A u + b Au b, 00 N 5

16 od d v = As vlocidads cotravariats as facs cam r x ξ / A v + b Av b U = U + d U U w = U w + d U w V = V + d V V s = V s.6 Equação para a corrção da prssão + d V s Como apotado a sção atrior, a quação da cotiuidad + A v + b Av b N. 0 p p E, 0 p W p, 0 p p N, 04 p S p, 05 d U = d u y η + d v x η, 06 d U w = d u w y η w + d v w x η w, 07 d V = d v x ξ + d u y ξ, 08 d V s = d v s x ξ s + d u s y ξ s 09 U = u y η v x η, 0 U w = u w y η w v w x η w, V = v x ξ u y ξ, V s = v s x ξ s u s y ξ s. r ρ ρ + ρru ρru w + ρrv ρrv s = 0, 4 J t pod sr trasformada m uma quação para a corrção da prssão. ara ralizar sta trasformação é cssário cohcr as fórmulas d acoplamto prssão-dsidad prssão-vlocidad. Além disso, é cssário liarizar os trmos qu volvam produtos d dsidad da vlocidad para qu s possa obtr um sistma liar. A liarização utilizada srá a sguit, proposta por Maliska[], ρru = ρ m r U + ρ r U m ρ m r U m, 5 ρru w = ρ m w r wu w + ρ wr wu m w ρ m w r wu m w, 6 ρrv = ρ m r V + ρ r V m ρ m r V m, 7 ρrv s = ρ m s r sv s + ρ sr sv m s ρ m s r sv m s, 8 od o ídic m idica o valor da variávl obtido da última itração. Isrido-s as aproximaçõs 5-8 a quação da cotiuidad 4 lvado-s m cota o acoplamto prssão-dsidad , bm como o acoplamto prssão-vlocidad 0-05, obtém-s o sguit sistma liar para a corrção da prssão od A p A p = g [ r J t + + ρm r d U + ρ m w r wd U w A p p + A p w p W + A p p E + A p s p S + A p p N = b p, 9 + ˆα ru m ˆαw rwu m w + ρm r d V + ρ m s r sd V s + + ˆα rv m ] ˆαs rsvs m, 0 w = ρm w r wd U w + ˆαw rwuw m g W, = ρm r d U + ˆα ru m g E, A p s = ρm s r sd V s + ˆαs rsvs m A p A p g S, = ρm r d V + ˆα rv m g N, 4 [ b p r ρ ρ = + ρm r U ρ m w r wuw J t + ρm r V ρ m s r ] sv s + ρm ρ r U m ρ m w ρ w r wu m w + ρm ρ r V m ρ m s ρ s r svs m. 5 6

17 .7 Aproximaçõs para as codiçõs d cotoro.7. Cotoro ort Nst cotoro é possívl scrvr od Utilizado a discrtização lmbrado qu p = p + p, obtém-s p = 0: T = T : u = u : v = 0:.7. Cotoro sul φ s = φ, φ {p, T, u, v}, 6 φ + φ S v = 0. 7 = φ + O 8 A p =, A p S =, dmais A p = 0, b p = 0. 9 A T =, A T S =, dmais A T = 0, b T = T. 0 A u =, A u S =, dmais A u = 0, b u = u. A v =, A v S =, dmais A v = 0, b v = 0. ˆ p = 0 Obsrvado qu o cotoro sul é uma liha d η costat, tm-s qu o vtor uitário ˆ ormal ao cotoro é dado por ˆ = Eη E η. Combiado a q. 6, isto é, φ = E ξ φ + φ Eη, com a q., obtém-s para a codição d cotoro da prssão g ξη p + p gηη = 0 4 ou od foram usadas as qs Aplicado as aproximaçõs p p p p β + γ = 0. 5 = = pn p a q. 5 obsrvado qu p = p + p, obtém-s A p =, Ap N = + O, 6 pne + pe pnw pw 4, dmais Ap = 0, b p = p N p β od o ídic m idica o valor da variávl obtido da última itração. A p =, ˆ T = 0 Aalogamt ao caso atrior, tm-s Ap N =, dmais Ap = 0, b p + O, 7 p m NE + p m E p m NW p m W, 8 γ 4 = p N p. 9 A T =, AT N =, dmais AT = 0, b T = β TNE m + TE m γ TNW m TW m A T =, AT N =, dmais AT = 0, b T =

18 ˆ u = 0 Em trmos das compots cotravariats, o vtor vlocidad u pod sr scrito como u = J UE ξ + V E η. 4 No cotoro sul o vtor ormal é dado pla q., logo, sobr st cotoro val V = v x ξ u y ξ = 0. 4 A codição d cotoro 4 é utilizada dirtamt as quaçõs d trasport ão forc uma fórmula para s dtrmiar xplicitamt u v. D fato, stas gradzas são irrlvats a obtção dos campos os ós dos volums d cotrol. O qu ralmt importa é a codição V = 0. Como é cssário spcicar os cocits fots para os volums ctícios do cotoro sul, aplicam-s as xtrapolaçõs u = u N + O, 44 v = v N + O, 45 cojugadas à aproximação à q. 4, para s obtr φ = φn + φ + O, 46 A u =, A u N =, dmais A u = 0, b u = 0 47 A v =, A v N =, dmais A v = 0, b v = Cotoro lst Escoamto localmt parabólico para todas as variávis Utilizado as qs. 4 6, obtém-s Aplicado as aproximaçõs à q. 50, obtém-s para T, u v od φ φ u φ = 0, φ {p, T, u, v}. 49 u φ w = w w = = U φ + V φ = w φ φw + O, 5 φnw + φn φs φsw 4 A φ =, Aφ W =, dmais Aφ = 0, b φ = Vw φ m N + φ m NW φ m S U w 4 Fórmulas simplicadas: + O, 5 φ m SW, φ {T, u, v}, 5 U w = u w y η w v w x η w, V w = v w x ξ w u w y ξ w. 54 A φ =, Aφ W =, dmais Aφ = 0, b φ = 0, φ {T, u, v}. 55 No caso da prssão, dv-s lvar m cota a rlação p = p + p, o qu produz A p =, Ap W =, dmais Ap = 0, b φ = p p W Vw p m N + p m NW p m S U w 4 p m SW. 56 A p =, Ap W =, dmais Ap = 0, b φ = p p W. 57 8

19 .7.4 Cotoro ost ara p, T u a codição d simtria é ˆ φ = 0, φ {p, T, u}, 58 od ˆ é o vtor ormal ao cotoro ost. Uma vz qu o cotoro ost é uma liha d ξ costat, tm-s Combiado a q. 6, isto é, φ = E ξ Eξ ˆ = E ξ φ + Eη com a q. 59, obtém-s para a codição d cotoro 58 g ξξ φ + φ gξη = 0 60 ou od foram usadas as qs Aplicado as aproximaçõs φ φ à q. 6, obtém-s para T u φ, 59 φ φ α β = 0. 6 = = φe φ + O 6 φne + φn φse φs 4 + O 6 A φ =, Aφ E =, dmais Aφ = 0, b φ = β φ m NE + φ m N φ m SE φ m S, φ {T, u}. 64 α 4 Fórmulas simplicadas: A φ =, Aφ E =, dmais Aφ = 0, b φ = 0, φ {T, u}. 65 No caso da prssão, dv-s lvar m cota a rlação p = p + p, o qu produz A p =, Ap E =, dmais Ap = 0, b p = p E p β p m NE + p m N p m SE p m S. 66 α 4 A p =, Ap E A codição d cotoro para v é aproximada por =, dmais Ap = 0, b p = p E p. 67 d modo qu v = ve + v + O = 0, 68 A v =, A v E =, dmais A v = 0, b v = Cato sudost No volum ctício do cato sudost é fita a xtrapolação φ = φn + φe + φne d modo qu os cocits dos sistmas liars d T, u v são dados por + O + O, φ {p, T, u, v}, 70 A φ =, dmais A φ = 0, b φ = φm N + φ m E + φ m NE, φ {T, u, v}. 7 No caso da prssão, lvado-s m cota a rlação p = p + p, tm-s A p =, dmais A p = 0, b p = pm N + p m E + p m NE p N + p E + p NE. 7 A p =, dmais A p = 0, b p =

20 .7.6 Cato sudst No volum ctício do cato sudst é fita a xtrapolação φ = φn + φw + φnw d modo qu os cocits dos sistmas liars d T, u v são dados por + O + O, φ {p, T, u, v}, 74 A φ =, dmais A φ = 0, b φ = φm N + φ m W + φ m NW, φ {T, u, v}. 75 No caso da prssão, lvado-s m cota a rlação p = p + p, tm-s.7.7 Cato orost A p =, dmais A p = 0, b p = pm N + p m W + p m NW No volum ctício do cato orost é fita a xtrapolação φ = p N + p W + p NW. 76 A p =, dmais A p = 0, b p = φs + φe + φse d modo qu os cocits dos sistmas liars d T, u v são dados por + O + O, φ {p, T, u, v}, 78 A φ =, dmais A φ = 0, b φ = φm S + φ m E + φ m SE, φ {T, u, v}. 79 No caso da prssão, lvado-s m cota a rlação p = p + p, tm-s.7.8 Cato ordst A p =, dmais A p = 0, b p = pm S + p m E + p m SE No volum ctício do cato ordst é fita a xtrapolação φ = p S + p E + p SE. 80 A p =, dmais A p = 0, b p = 0. 8 φs + φw + φsw d modo qu os cocits dos sistmas liars d T, u v são dados por + O + O, φ {p, T, u, v} 8 A φ =, dmais A φ = 0, b φ = φm S + φ m W + φ m SW, φ {T, u, v}. 8 No caso da prssão, lvado-s m cota a rlação p = p + p, tm-s A p =, dmais A p = 0, b p = pm S + p m W + p m SW p S + p W + p SW. 84 A p =, dmais A p = 0, b p = Extrapolaçõs das vlocidads odais para os volums ctícios Após corrigir as vlocidads odais dos volums rais p, é cssário corrigir o campo d vlocidad dos volums ctícios com bas as codiçõs d cotoro..8. Cotoro ort u = u Utilizado a aproximação 8, tm-s v = 0 Utilizado a aproximação 8 a q. 7, tm-s u = u S + u + O. 86 v = v S + O. 87 0

21 .8. Cotoro sul Com bas as qs , tm-s para u u = u N + O 88 Com bas as qs , tm-s para v.8. Cotoro lst Com bas a q. 50 aproximaçõs 5 5, tm-s para u v v = v N + O 89 φ = φ W Vw φ N + φ NW φ S φ SW + O + O, φ {u, v}. 90 U w 4 φ = φ W + O? + O?, φ {u, v} Cotoro ost Com bas a q. 6 aproximaçõs 6 6, tm-s para u Com bas a q. 68, tm-s para v.8.5 Catos u = u E β u N + u NE u S u SE + O + O. 9 α 4 u = u E + O? + O?. 9 v = v E + O. 94 ara os catos sudost, sudst, orost ordst, valm, rspctivamt, as xtrapolaçõs 70, 74, Cálculo das vlocidads as facs dos cotoros.9. Cotoro ort u = u. 95 v = V = v x ξ u y ξ Cotoro sul.9. Cotoro lst.9.4 Cotoro ost u = u + un. 98 v + vn v =. 99 V = u = u + ue. 0 v + ve v =. 0 U = u y η v x η. 0 u + ue u =. 04 v = U = u y η v x η. 06

22 .0 Extrapolação das tmpraturas odais para os volums ctícios.0. Cotoro ort Com bas m 8, tm-s.0. Cotoro sul Com bas m 40, tm-s T = T T S + O. 07 T = T N β T NE + T E T NW T W + O + O. 08 γ 4 T = T N + O? + O? Cotoro lst Com bas m 5, tm-s T = T W Vw T NW + T N T SW T S + O + O. 0 U w 4 T = T W + O? + O?..0.4 Cotoro ost Com bas m 64, tm-s T = T E β T NE + T N T SE T S + O + O. α 4 T = T E + O? + O?..0.5 Catos ara os catos sudost, sudst, orost ordst, valm, rspctivamt, as xtrapolaçõs 70, 74, Extrapolação das prssõs odais para os volums ctícios.. Cotoro ort Com bas m 8, tm-s.. Cotoro sul Com bas m 8, tm-s p = p p S + O. 4 p = p N β p NE + p E p NW p W + O + O. 5 γ 4 p = p N + O? + O?. 6.. Cotoro lst Com bas m 56, tm-s p = p W Vw p NW + p N p SW p S + O + O. 7 U w 4 p = p W + O? + O?. 8

23 ..4 Cotoro ost Com bas m 66, tm-s p = p E β p NE + p N p SE p S + O + O. 9 α 4 p = p E + O? + O? Catos ara os catos sudost, sudst, orost ordst, valm, rspctivamt, as xtrapolaçõs 70, 74, Aproximaçõs para as codiçõs iiciais.. Volums rais.. Volums ctícios u = u v = 0 T = T p = p 4 ρ = ρ 5 p = 0 6 Aplicar as xtrapolaçõs fórmulas simplicadas para u, v, T p idicadas as Sçs..8,.0.. Em sguida calcular ρ = p. 7 R gt.. Facs dos volums u = u 8 u = u 9 v = 0 0 v = 0 U = u y η v x η V = v x ξ u y ξ ρ = ρ 4 ρ = ρ 5 Nas facs dos cotoros, u, u, v, v, U, V são calculados como dscrito a Sç..9.. Cocits do SIMLEC para as facs dos cotoros.. Cotoro ort No cotoro ort, tato u quato v são prscritos, dst modo ão dv havr corrção das vlocidads m trmos d p, o qu implica m d u = d v = d V = Cotoro sul Como u v ão são prscritos a fac, mas V o é, tm-s d u = d u N + O, 7 d v = d v N + O, 8 d V = 0. 9 As aproximaçõs 7 8 ão itrfrm o rsultado covrgido, apas a covrgêcia.

24 .. Cotoro lst Como huma compot do vtor vlocidad é prscrita, utilizam-s as aproximaçõs..4 Cotoro ost Nst cotoro v U são prscritos, dst modo, aproxima-s apas d u :.4 Rsolução dos sistmas liars Há quatro sistmas liars a srm rsolvidos, todos da forma d u = d u W + O, 40 d v = d v W + O, 4 d U = d u y η + d v x η. 4 d u = d u E + O, 4 d v = 0, 44 d U = A φ s φ S + A φ wφ W + A φ φ + A φ φ E + A φ φ N = b φ, φ {u, v, T, p }. 6 A rsolução dsts sistmas é fita através do método TDMA liha-a-liha[] ou MSI[4]..5 Rsíduos dos sistmas liars O rsíduo dos sistmas liars R L é dado por od R φ L é dado por R φ L = xcto para a quação da corrção da prssão R L = R u L + R v L + R T L + R p L, 46 A φ φ + b Aφ b φ b b φ b φ R p L = Ap p + b As somas as qs dvm sr fitas sobr todos os volums rais..6 Aproximaçõs para as gradzas d itrss.6. Distribuição d tmpratura A p φ {T, u, v}, 47 b p b b p. 48 ara todas as facs ort dos volums ctícios do cotoro sul a tmpratura é aproximada a fac por No cato sudost a aproximação é T = T + TN + O. 49 o cato sudst T = T s = T + TN + TE + TNE 4 T + TN + TW + TNW 4 + O + O 50 + O + O Distribuição do cocit d prssão No cotoro sul o cocit d prssão é dado por C p = od p é calculado do msmo modo qu a tmpratura, como dscrito a sção atrior. p p q, 5 4

25 .6. Cocit C p Df O cocit C p Df, dado pla q. 44, isto é, C p Df = f q r f+ b ξf ξ i p p ry ξ dξ, 44 é aproximado por CDf p = f p p r q r f+ y ξ + O, 5 b od p + pn p = + O 54 a soma dv sr fita sobr as facs ort d todos os volums ctícios do cotoro sul..7 Algoritmo A Dir os parâmtros uméricos físicos. O: x: Númro d volums a dirção ξ y: Númro d volums a dirção η l a, l b : Dimsõs do domíio l r, r b : Dimsõs do corpo gx: rl do corpo a : Largura dos volums cotíguos à suprfíci gx a ξ : arâmtro d coctração d ós a dirção ξ cotoro ort a ξ s: arâmtro d coctração d ós a dirção ξ cotoro sul u : Vlocidad da corrt livr [m/s] p : rssão da corrt livr [a] T : Tmpratura da corrt livr [K] R g: Costat do gás [J/kg K] t: Icrmto d tmpo [s] ˆβ: Cocit d acoplamto tr os squmas UDS CDS f: Cocit do tipo d simtria f = 0: simtria plaa, f = : simtria axial *: Outros parâmtros d trada B Grar os ós dos cotoros. E: Sç... I: l a, l b, l r, r b, gx, a ξ, a ξ s O: x, y somt para os cotoros C Grar a malha com bas os ós dos cotoros. E: Sç.. I: x, y somt para os cotoros a, f O: x, y D Cálculo das propridads gométricas da malha: - Calcular os ctroids d todos os volums rais. - Calcular r = y f m todos os ctroids facs dos volums rais. - Calcular as métricas x ξ, x η, y ξ y η m todas as facs dos volums rais. 4 - Calcular J m todos os ctroids facs dos volums rais. 5 - Calcular α m todas as facs lst ost dos volums rais. 6 - Calcular β m todas as facs dos volums rais. 7 - Calcular γ m todas as facs ort sul dos volums rais. E: Sç.. I: x, y O: x, y, r, r, r, x ξ, x η, y ξ, y η x ξ, x η, y ξ, y η, J, J, J, α, β, β, γ 5

26 E Aplicar as codiçõs iiciais. E: Sç... I: u, T, p, R g, x ξ, y ξ, x η, y η O: u, v, T, p, p, ρ, ρ, ρ, u, v, u, v, U, V F Calcular as propridads trmofísicas: I: T O: c p G Iiciar o ciclo d volução tmporal: - Icrmtar o tmpo m t. - Atualizar os campos: I: u, v, T, p, ρ, u, v, u, v O: u, v, T, p, ρ, u, v, u, v - Iiciar o ciclo para rsolução das quaçõs para u, v, T p o istat t: - Atualizar os campos: I: U, V O: U m, V m - Cálculo das propridads trmofísicas o caso d srm variávis: I: T O: c p - Calcular os cocits A u A v fots b u b v dos sistmas liars para u v m todos os volums rais: E: 7-4. I: t, ρ, ρ, ρ, U, V, p, u, u, v, v ˆβ, r, r, r, J, x ξ, y ξ, x η, y η O: A u, b u, A v, b v, ω, u ω v somt para os volums rais 4 - Calcular os cocits A u A v fots b u b v dos sistmas liars para u v m todos os volums ctícios com bas as codiçõs d cotoro simplicadas: E:,, 47, 48, 55, 65, 69, 7, 75, 79, 8. I: u, u, v O: A u, b u, A v, b v somt para os volums ctícios 5 - Calcular os cocits do SIMLEC para as itrfacs dos volums rais: E: 98-0, 06, 08 I: A u, A v r, r, x ξ, y ξ, x η, y η O: d u, d v, d u, d v, d U, d V somt para as itrfacs dos volums rais 6 - Calcular os cocits do SIMLEC para as facs dos cotoros: E: 6-45 I: d u, d v, d u, d v x η, y η O: d u, d v, d u, d v, d U, d V somt para as facs dos cotoros 7 - Calcular g : E: 57 I: R g, T O: g 8 - Calcular os cocits A p da quação da corrção da prssão: E: 0-4 I: g, ρ, ρ, U, V, d U, d V, t r, r, r, J O: A p somt para os volums rais 9 - Rsolvr os sistmas liars para u v para obtr os campos stimados u v : I: A u, b u, A v, b v, u, v O: u, v 6

27 0 - Calcular os rsíduos RL u R L v dos sistmas liars: E: 47 I: A u, b u, A v, b v, u, v O: RL u, RL v - Calcular as vlocidads u, u, v, v, U, V as itrfacs dos volums rais: E: 84, 86, 0, I: ρ, u, v, u, v, A u, A v, u, v, p, ω u, ω v, t r, r, r, J, x ξ, y ξ, x η, y η, x ξ, y ξ, x η, y η O: u, u, v, v, U, V somt para a itrfac dos volums rais - Calcular as vlocidads u, u, v, v, U, V as facs dos cotoros com bas as codiçõs d cotoro: E: I: u, v u, x ξ, y ξ, x η, y η O: u, u, v, v, U, V somt para as facs dos cotoros - Calcular o trmo fot b p da quação da corrção da prssão para os volums rais: E: 5 I: ρ, ρ, ρ, ρ, ρ, ρ, U, V, U, V, t r, r, r, J O: b somt para os volums rais 4 - Iiciar o ciclo da corrção da massa: Calcular os cocits A p fots b p para os volums ctícios coform as codiçõs d cotoro simplicadas: E: 9, 9, 57, 67, 7, 77, 8, 85 I: p O: A p, b p somt para os volums ctícios Rsolvr a quação da corrção da prssão para obtr p : I: A p, b p, p O: p 5 - Calcular o rsíduo R p L do sistma liar para p : E: 48 I: A p, b p, p O: R p L 6 - Corrigir a prssão p a dsidad ρ com o dsvio da prssão p o ctroid d todos os volums: E: 5, 56 I: g, ρ, p, p O: ρ, p 7 - Extrapolar a prssão p para os volums ctícios: E: Sç.. I: p, p O: p 8 - Calcular a dsidad os ctroids utilizado os últimos valors d p T : E: 49 I: T, p R g O: ρ 9 - Corrigir as vlocidads u v os ctroids dos volums rais: E: 7, 7 I: u, v, A u, A v, p r, x ξ, y ξ, x η, x η O: u, v somt para os volums rais 7

28 0 - Corrigir as vlocidads u v os ctroids dos volums ctícios xtrapolação: E: Utilizar as fórmulas simplicadas da Sç..8. I: u, v dos volums rais u O: u, v somt para os volums ctícios - Corrigir as vlocidads u, u, v, v, U, V com o dsvio da prssão p : E: 94-97, 0, 04 I: u, u, v, v, U, V, d u, d v, d u, d v, d U, d V, p O: u, u, v, v, U, V - Atualizar a dsidad as facs utilizado a dsidad vlocidads os ós o squma UDS com corrção adiada para o CDS: E: 58-6 I: U, V, ρ ˆβ O: ρ, ρ - Calcular os cocits A T fots b T da quação da rgia para todos os volums rais: E: 7-4 I: c p, ρ, ρ, ρ, U, V, t, T, T, p, p, u, v ˆβ, r, r, r, J, x ξ, y ξ, x η, y η O: A T, b T 4 - Calcular os cocits A T fots b T da quação da rgia para todos os volums ctícios com bas as codiçõs d cotoro simplicadas: E: 0, 4, 55, 65, 7, 75, 79, 8 I: T, T O: A, b T 5 - Rsolvr a quação da rgia para s obtr T : I: A T, b T, T O: T 6 - Calcular o rsíduo R T L do sistma liar para T : E: 47 I: A T, b T, T O: R T L 7 - Calcular a dsidad os ctroids utilizado os últimos valors d p T : E: 49 I: T, p R g O: ρ 8 - Atualizar a dsidad as facs utilizado a dsidad vlocidads os ós o squma UDS com corrção adiada para o CDS: E: 58-6 I: U, V, ρ ˆβ O: ρ, ρ 9 - Calcular o rsíduo total R L dos sistmas liars para u, v, T p. E: 46 I: R u L, R v L, R p L, RT L O: R L 4 - S o rsíduo dos sistmas liars for mor qu uma tolrâcia prscrita, crrar o ciclo d volução tmporal. H ós-procssamto: calcular as gradzas d itrss salvar os rsultados. 8

29 A Trasformação das quaçõs d trasport do sistma xy para o ξη Rfrêcias [] BIRD, R. B.; STEWART, W. E.; LIGHTFOOT, E. N. Trasport phoma.. d. Joh Wily & Sos, 00. [] LANDAU, L. D.; LIFSHITZ, E. M. Fluid mchaics.. d. Oxford: rgamo rss, 987. v. 6. [] MALISKA, C. R. Trasfrêcia d calor mcâica dos uidos computacioal.. d. Rio d Jairo: LTC, 004. [4] TANNEHILL, J. C.; ANDERSON, D. A.; LETCHER, R. H. Computatioal uid mchaics ad hat trasfr.. d. Taylor & Fracis, 997. [5] FERZIGER, J. H.; ERIC, M. Computatioal mthods for uid dyamics.. d. Sprigr, 00. 9