CONTROLE PREDITIVO EPSAC APLICADO AO RASTREAMENTO DE TRAJETÓRIA DE ROBÔS MÓVEIS

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1 CONTROLE PREDITIVO EPSAC APLICADO AO RASTREAMENTO DE TRAJETÓRIA DE ROBÔS MÓVEIS ÍTALO J. L. BATISTA 1, BISMARK C. TORRICO 1, GIOVANNI C. BARROSO Laboatóio de Automação e Robótica, Depto. de Eng. Elética, Univesidade Fedeal do Ceaá Caixa Postal 6007, , Fotaleza, CE, BRASIL s: italoloiola@gmail.com, bismak@dee.ufc.b, gcb@fisica.ufc.b Abstact This pape pesents a obust pedictive contol algoithm applied to the poblem of tacking tajectoies of mobile obots. The algoithm studied (EPSAC) pesents popeties pedictive output that is intinsic to the MPC, making it vey efficient to the poblem, because the futue path efeences ae known, as well as the ability to conside estictions duing the calculation of the contol law an explicit way. Thus, we pesent the simplicity of the design of this contolle, both fom the standpoint of tune as the point of view of the poject. Simulation esults show the advantages of the fowad algoithm discussed to anothe contolle ecently poposed in the liteatue. Keywods mobile obots, tacking, EPSAC. Resumo Este atigo apesenta um algoitmo de contole peditivo obusto aplicado ao poblema de asteamento de tajetóias de obôs móveis. O algoitmo estudado (EPSAC) apesenta popiedades de pevisão de saída que é intínseco ao MPC, tonando muito eficiente ao poblema, pois as efeências de tajetóia futua são conhecidas, bem como a capacidade de considea estições duante o cálculo da lei de contole de uma foma explícita. Dessa foma, apesenta-se a simplicidade do pojeto deste contolado, tanto do ponto de vista de sintonia quanto do ponto de vista do pojeto. Resultados de simulação mostam as vantagens do algoitmo abodado fente a outo contolado poposto ecente na liteatua. Palavas-chave obôs móveis, asteamento, EPSAC. 1 Intodução Os obôs móveis tem uma vasta gama de aplicações, incluindo a exploação, obsevação, busca e mapeamento nos mais divesos tipos de ambiente. (Zheng e Gao, 2005). Potanto, o movimento de alta pecisão do obô móvel em um ambiente desconhecido é desejável em muitas aplicações. Uma das dificuldades no contole de obôs móveis enconta-se no fato de seem plantas não quadadas, nomalmente possuem apenas dois gaus de libedade (velocidade linea e velocidade de otação) paa contole de locomoção, enquanto tem tês gaus de libedade, x, y e θ em seu posicionamento (Zheng e Gao, 2005), neste caso há mais vaiáveis a seem contoladas do que vaiáveis de contole. Além disso, apesa da apaente simplicidade do modelo cinemático de um obô móvel com odas, sob a hipótese de que não haja deslizamento da base do obô, é imposta ao sistema uma estição nãoholonômica. Poblemas de contole não-holonômicos são bastante desafiadoes, o que tona ainda uma áea de pesquisa muito ataente no campo de contole (Zheng e Gao, 2005). Um estudo completo dos poblemas de contole não-holonômicos foi apesentado em Kolmanovsky e McClamoch (1995). Duante os últimos 30 anos, extensos tabalhos de pesquisa têm se dedicado ao poblema de contole de asteamento de tajetóia paa obôs móveis nãoholonômicos. Na maioia dessas pesquisas, as entadas de contole são obtidas usando uma combinação de feedfowad, calculados a pati de uma tajetóia de efeência e uma lei de contole ealimentada, estas estatégias incluem: lineaização do modelo cinemático (Oiolo, et al., 2002), lineaização de input-output (Kim e Oh,1999), abodagem backstepping (Chwa, 2010), contole po modos deslizantes (Bloch e Dakunov, 1996), contole obusto (Belin e Fank, 1991) e contole po lógica fuzzy (Amoozga et al., 2012). Apesa de que nos tabalhos citados anteiomente a tajetóia de efeência futua é conhecida, essa infomação não é usada em sua totalidade pelas estatégias de contole. Uma técnica que pemite leva em conta a efeência futua é o contole peditivo baseado em modelo (MPC, Model Peditive Contol) (Camacho e Bodons, 2004). além de apesenta às seguintes vantagens em elação as leis clássicas: os ajustes são elativamente simples, pois há uma edução na quantidade de paâmetos de ajuste e consequentemente na complexidade computacional, o caso multivaiável (sistema MIMO) pode se tatado de uma foma simples; intoduz pé-alimentação de foma natual paa compensa petubações mensuáveis no caso de modelos lineaes sem estições; o contolado esultante é linea; sua extensão paa o tatamento de estições é conceitualmente simples e podem se incluídas sistematicamente duante o pojeto; é muito eficiente quando as efeências futuas são conhecidas; intinsecamente tem compensação paa os tempos motos (Camacho e Bodons, 2004). Técnicas de MPC são hoje bastante popula no meio acadêmico, bem como na indústia. Muitas implementações bem-sucedidas já foam elatadas, Difeentes estatégias de MPC têm sido popostas ao poblema de asteamento de tajetóia. Em Klanca e Skjanc, 2007), (Raffo et al., 2009), (Gu and Hu, 2006) abodam técnicas de MPC baseado em um modelo lineaizado em coodenadas locais do obô uma função de custo quadática é minimizada e o eo de asteamento e contole é penalizados. Um

2 modelo linea em coodenadas locais pemite o uso de algoitmos de otimização convexos e diminui consideavelmente o esfoço computacional necessáio. Esquemas de contole peditivo paa obôs móveis baseado em algoitmos de otimização não-linea são abodados em Dixon et al. (2001) e Ma et al. (2012). Alguns tabalhos mostam como melhoa a obustez quando as incetezas são consideadas (Yoo, 2010). No entanto, os esultados destas abodagens não-lineaes apesentam um alto custo computacional, dificultando a implementação em tempo eal embacado. Neste tabalho é aplicado e analisado um algoitmo de contole peditivo paa asteamento de tajetóias de obôs móveis, usando a técnica EPSAC com estições, baseado em um modelo linea do obô em coodenadas locais, tata-se de uma fomulação que não impõe nenhuma estutua ao modelo do pocesso e ofeece uma foma simples e eficaz ao cálculo do contole ótimo. O desempenho de asteamento e esfoço de contole do EPSAC é compaado com uma fomulação padão de MPC linea, baseado no método de lineaizações sucessivas ao longo da tajetóia de efeência (MPC-LS). Em compaação com as atuais estatégias MPC padão, EPSAC considea o pocesso pevisões de saída como sendo a soma de duas pates: um temo que é independente das ações de contole futuas e um temo que depende lineamente das ações de contole futuas. Isto pemite obte uma solução analítica no caso do contole sem estições ou uma solução de pogamação quadática no caso do contole com estições. Em ambos os casos, isto leva a uma solução ápida ao poblema de MPC, com um softwae de baixa complexidade em compaação com as soluções mais geais de otimização (Keyse, 2003). Tabalhos envolvendo EPSAC em difeentes aplicações são elativamente aos e espasos. Os tabalhos efeenciados anteiomente tatam da aplicação de contole peditivo a obôs móveis, mas nada foi encontado elacionado ao mesmo poblema usando a estatégia EPSAC. A apesentação deste atigo tem a seguinte sequência. Na Seção 2, o modelo cinemático do obô é apesentado. A Seção 3 aboda a fomulação de um MPC linea baseado em um modelo com lineaizações sucessivas. A Seção 4 desceve a teoia da estatégia de contole EPSAC que fundamenta este tabalho, além da fomulação do algoitmo paa o obô móvel. Os esultados obtidos de simulação são discutidos e analisados na Seção 5. Finalmente na Seção 6 são apesentadas as conclusões e popostas futuas. se encontada em Campion et al. (1996). Assume-se um obô móvel tal como epesentado na Figua 1. Os movimentos de otação e tanslação são efetuados po dois motoes de coente continua acoplados dietamente às odas de tação do obô, e outas duas odas apenas paa apoio. Figua 1. Sistema de coodenadas do obô móvel. Paa desceve a posição da platafoma, o ponto C é consideada como um ponto de efeência. As coodenadas deste ponto são epesentadas como (X (t), Y (t)). O ângulo ente o eixo longitudinal do obô e o eixo hoizontal é o ângulo de oientação e dado po θ(t), que se supõe esta na faixa de -π θ π. Além disso, v(t) e ω(t), na Figua 1, epesentam a velocidade linea e angula do obô, espectivamente. O sistema de coodenadas XY denota um efeencial inecial, enquanto xy epesenta a coodenada de movimentação da platafoma em elação ao ponto C. As equações que egem cinemáticas de movimento do obô estão descitas como (1):!X = v(t)cos(!(t)) Y! = v(t)sin(!(t))! = w(t) ou, numa foma mais compacta, como (1)!x = f (x,u) (2) x desceve a configuação (posição e oientação) e u = [v w] T é a entada de contole, em que v e w, são a velocidade linea e angula, espectivamente. Se o pecuso de efeência do obô é consideado (X (t), Y (t)), então as outas caacteísticas cinemáticas de efeência tajetóia podem se obtidas po (3)-(5): 2 Modelagem do Robô Nesta seção, o modelo cinemático do obô móvel é descito consideando as estições não-holonômicas. O modelo matemático peciso é necessáio paa simula o compotamento do obô e paa o cálculo das pedições do MPC. Um estudo completo sobe a modelagem cinemática de obôs móveis com odas pode v (t) = ±! X (t) 2 +! Y (t) 2 Y w (t) =!! (t) X! (t)! X!! (t) Y! (t)!x (t) 2 + Y! (t) 2! (t) = atan2(! Y (t),! X (t)) (3) (4) (5)

3 v (t), ω (t), θ (t) são as efeências de velocidade linea, velocidade angula e oientação do obô, espectivamente. Em (2), o sinal + coesp ao movimento paa a fente, enquanto o sinal - é utilizado movimento paa tás. Confome descito nas póximas seções, no MPC um modelo de pevisão é usado e a lei de contole é calculada no tempo disceto. Assim, uma epesentação de tempo disceto do modelo tona-se necessáio. Consideando-se um peíodo de amostagem T, um instante de amostagem k e aplicando a apoximação de Eule paa (1), obtém-se o seguinte modelo de tempo disceto paa o movimento do obô:! x(k +1) = x(k) + v(k)cos!(k)t # " y(k +1) = y(k) + v(k)sin!(k)t # $!(k +1) =!(k)+ w(k)t ou, numa epesentação compacta, x(k +1) = f d (x(k),u(k)) (6) O poblema de asteamento de tajetóia pode se definido como enconta um lei de contole de tal foma que, x(k)! x (k) = 0 x é conhecido, a tajetóia de efeência é pé-deteminada. Nessa seção, um algoitmo de MPC linea com estições usando um método de lineaizações sucessivas (MPC-LS) ao longo da tajetóia de efeência seá apesentado paa o poblema de asteamento de tajetóias de obôs móveis não-holonômicos. Esse modelo lineaizado pode se obtido consideando-se um modelo de eo ente o obô e o obô de efeência vitual (Kühne et al., 2004). Expandindo o lado dieito da equação (2) em séies de Taylo em tono do ponto (x ef, u ef ) e desconsideando os temos de odem supeio, segue-se que:!f (x,u)!x = f (x,u )+!x!f (x,u) +!u x=x (u " u )+ u=u x=x (x " x )+ u=u (8) Discetizando a equação (8) pelo método de Eule, tem-se o seguinte modelo linea vaiante no tempo em tempo disceto é dado po:!x(k +1) = A(k)!x(k)+ B(k)!u(k)!x(k) = x(k)! x ef,!u(k) = u(k)! u ef " 1 0!v ef (k) sen! ef (k)t % " cos! $ ' ef (k)t 0 % $ ' A(k) = $ 0 1 v ef (k) cos! ef (k)t ', B(k) = $ sen! ef (k)t 0 ' $ ' $ ' # $ &' # $ 0 T &' Este modelo mais detalhado pode se encontado em Kühne et al. (2004). Dessa foma, é possível tansfoma o poblema de otimização na foma de pogamação quadática. Po isso, intoduziu-se o seguintes vectoes: 3 MPC aplicado à Robôs Móveis As estatégias de contole peditivo utilizam uma lei de contole calculada a pati da minimização de uma função objetivo do tipo: d+n " [ŷ(t + k t)! w(t + k)] 2 +!"[#u(t + k)] (7) k=d+1 Nu!1 em que ŷ é a pedição da saída do pocesso, u é a vaiação do contole, w é a tajetóia de efeência futua, λ é a pação do contole, d é o ataso do sistema, N e Nu são o hoizonte de pedição e de contole, espectivamente. Poém os algoitmos utilizam difeentes pocedimentos paa calcula as pedições da saída ŷ(t + k) e difeentes caminhos paa obte o valo dos contoles ótimos u(t + k) como seá mostado a segui. k=0 Q = diag(q; ;Q) R = diag(r; ;R) Assim, após algumas manipulações algébicas, tem-se que a função custo pode se escita na foma quadática padão (Kühne et al., 2004): com 3.1 MPC-LS

4 4.1 EPSAC 4 EPSAC aplicado à Robôs Móveis A estatégia EPSAC, como descito detalhadamente em Keyse (2003), divide a ação de contole futua em duas pates denominadas entada base u b (t +k) e entada ótima!u (t + k) como mosta a Figua 2. Isto pemite dividi a pedição da esposta futua também em duas pates, uma esposta base e outa ótima. (9) A esposta base, é calculada utilizando a equação (8) e como entada o contole passado e o contole base O contole u b (t + k) pode se definido abitaiamente, dado que!u (t + k) é calculado paa que u (t + k) minimize J. logo minimizando J em elação a u obtém-se o contole ótimo: Finalmente, o contole esultante a se aplicado à planta é: O pocedimento de cálculo de u(t) deve se epetido a cada peíodo de amostagem. 4.2 Algoitmo do EPSAC paa o obô móvel O algoitmo que minimiza u até o valo desejado atavés da escolha de u b paa aplicação no obô móvel está divido nos seguintes passos: 1 o - Inicializações Gea-se uma tajetóia de efeência. Define-se a postua inicial e as estições do obô e os paamentos de ajuste do contolado. 2 o - Cálculo de y b - Seleciona-se o veto de contole base inicial com todos os elementos iguais a Calcula-se a pedição da saída utilizando o contole e saída passada, logo a pedição Figua 2. Conceito das ações do contole base e ótimo. A esposta ótima é calculada utilizando a componente!u (t + k), obtida do pocedimento de otimização descito a segui. A elação ente a saída ótima o contole ótimo!u (t + k) é: G e u é uma matiz constante de dimensão N x N u, calculada a pati do modelo de pedição. A pedição da saída é: e utilizando a entada base u b. Paa o cálculo destas pedições é utilizado o modelo não linea. A matiz dinâmica G é calculada utilizando os paâmetos A(z -1 ) e B(z -1 ) de um modelo linea obtido com a esposta ao degau do sistema em tono ao ponto y(t). 3 o - Cálculo do contole ótimo. Aplica-se o contole e o algoitmo volta ao passo 1 no póximo peíodo de amostagem. Caso contaio u b = u b + u calcula-se y b usando a nova u b e o algoitmo volta ao inicio do passo 2. 5 Resultados de Simulação Substituindo a pedição na função custo Neste item, a estatégia de contole estudada (EP- SAC) é compaada ao algoitmo MPC-LS, a fim de ilusta a melhoia no desempenho de asteamento de tajetóia e a edução do custo computacional.

5 5.1 Rasteamento de Tajetóia Assim, são mostados os esultados de simulação paa uma tajetóia que apesenta caacteísticas especiais, tais como mudanças de oientação e dieção do obô, úteis paa testa o contolado em difeentes condições de opeação. As estições na amplitudes das vaiáveis de contole são v max = 0,3m/s, v min = -0,3m/s, w max = 0,4ad/s e w min = -0,4 ad/s, consideando-se os limites definidos paa o obô móvel que está sendo desenvolvido paa testes. As condições iniciais do obô e da tajetóia de efeência são definidas como: x(0) = 1m, y(0) = 1m,!(0) =!/2 x (0) = 1m, y (0) = 1m,! (0)=!/2 Os valoes constantes de ambos os contoladoes abodados neste tabalho foam ajustados iguais: N = 5 T = 100ms Q = diag (1,1,0.5) R = 0.1 I 2x2 N é o hoizonte de pevisão e T é o tempo de amostagem. Q e R são as matizes matizes de pação que penalizam o eo de seguimento das velocidades desejadas e o esfoço de contole, espectivamente. As espostas dos algoitmos abodados foam compaados nas Figuas 3-5. Em todos os casos é usado o modelo completo não-linea do obô móvel e a linha tacejada epesenta a tajetóia de efeência. A solução do poblema de otimização é esolvido atavés de um algoitmo de pogamação quadática. Obseva-se que ambos contoladoes são capazes de astea a tajetóia de efeência, pois a postua (posição e oientação) contolada convege paa a tajetóia de efeência, veificando-se fotemente o efeito de pedição, com um tempo de navegação satisfatóio e espeitando as estições impostas, mas o algoitmo EPSAC alcança a tajetóia mais apidamente, com uma apoximação bastante suave. Figua 3. Tajetóia do obô no plano XY. paa zeo, pode-se dize que o valo da função objetivo deve também convege paa zeo. Convém nota que, devido a oientação oiginal, o obô móvel, tem que inicialmente afasta-se da efeência paa lida com as estições não-holonômicas. 5.2 Custo Computacional Figua 4. Sinal de entadas: v e w. Figua 5. Eos. Nessa seção, mosta-se uma análise quanto ao esfoço computacional necessáio paa esolução dos algoitmos abodados, a fim de se veificada a viabilidade destes algoitmos em uma aplicação em tempoeal. Paa isso, o citéio utilizado é o tempo de pocessamento, obtido atavés do tempo médio paa esolve o poblema de otimização duante o asteamento da tajetóia. Assim, com base nestas infomações, é possível avalia a viabilidade de uma aplicação em tempo eal do algoitmo desenvolvido. A Tabela 1 mosta alguns esultados elativos ao custo computacional em função do hoizonte de pevisão. A edução no custo computacional do EPSAC está elacionada com o edução do tamanho da matiz de pedicão, evelando que a aplicação do mesmo em tempo eal, é bem mais viável A Figua 4 mosta a velocidade linea e angula aplicada ao obô, em que o EPSAC apesenta meno oscilação. Na Figua 5 obseva-se o eo de postua obô e uma vez que esses eos de estado convegem

6 Tabela 1. Custo computacional. Tempo de Pocessamento (s) Hoizonte MPC-LS EPSAC Conclusão Neste atigo foi estudada uma estatégia de contole peditivo (EPSAC) aplicada ao poblema de asteamento de tajetóias de obôs móveis nãoholonômicos. O MPC mosta-se como uma das estatégias mais adequadas paa este tipo de poblema, já que apesenta váias vantagens às leis clássicas como expostas: a existência de um citéio de pefomance (a função custo), a geação de tajetóias que são ótimas em elação a este citéio, a capacidade de considea estições de uma foma explícita e a escolha dos paâmetos de sintonia pode se feita de uma foma bastante intuitiva, já que os mesmos se elacionam dietamente com as vaiáveis do sistema. Uma análise do desempenho da técnica EPSAC com estições usando um modelo local foi compaado com uma técnica de MPC linea baseada num modelo de lineaizações sucessivas (MPC-LS). As simulações mostam que ambos os contoladoes pemitiam mante as saídas nas efeências desejadas, poém o EPSAC apesenta uma melho pefomance de tajetóia, simplicidade no pojeto e edução do custo computacional. Em tabalhos futuos petende-se estuda detalhadamente as popiedades de ataso, obustez, estabilidade e factibilidade do algoitmo paa popo metodologias paa técnicas de sintonia e estende os esultados paa a fomulação do EPSAC não-linea. Agadecimentos Agadecimento ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e à Coodenação de Apefeiçoamento de Pessoal de Nível Supeio (CAPES) pelo apoio financeio. Refeências Bibliogáficas Amoozga, M. H.; Sadati, S. H. and Alipou, K. (2012) Tajectoy tacking of wheeled mobile obots using a kinematical fuzzy contolle. Int. J. of Robotics and Automation, 27(1): Belin, F. and Fank, P. M. (1991) Robust pedictive obot contol, in Poc. 5th IEEE Int. Conf. Adv. Robot., Pisa, Italy, vol. 2, pp Bloch, A. M. And Dakunov, S. (1996) Stabilization and tacking in the nonholonomic integato via sliding modes, System contol lettes, vol.19, no.2, pp Camacho, E. F. e Bodons, C. (2004). Model Pedictive Contol, 2nd edn, Spinge Velag. Campion, G., Bastin, G. e D Andéa-Novel, B. (1996). Stuctual popeties and classification of kinematic and dynamical models of wheeled mobile obots, IEEE Tansactions on Robotics and Automation 12 (1): Chwa. D. (2010) Tacking contol of diffeentialdive wheeled mobile obots using a backstepping-like feedback lineaization. IEEE Tans. on Systems, Man, and Cybenetics, Pat A: Systems And Humans, 40(6): Dixon, W.; Dawson, D. and Zegeoglu, E. and A. Behal, (2001) Nonlinea Contol of Wheeled Mobile Robots. London, U.K.: Spinge-Velag. Gu, D.-B. and Hu, H.-S. (2006) Receding hoizon tacking contol of wheeled mobile obots, IEEE Tansactions On Contol Systems Technology, vol. 14, no. 4, pp Keyse, R. D. (2003). A `Gent'-le Appoach to Pedictive Contol, in E. P. C. Ltd (ed.), Encyclopedia of Life Suppot Systems (EoLSS), Oxfod. Kim, D. H. and Oh, T. H. (1999) Tacking contol of a two-wheeled mobile obot using inputoutput lineaization, Contol Engineeing Pactice, pp Kolmanovsky I. and McClamoch. N. H. (1995) Developments in nonholonomic contol poblems. IEEE Contol Systems Magazine, 15: Kühne F.; Lages W. F. and Da Silva, J. M. G. (2004) Model pedictive contol of a mobile obot using lineaization, Poc. IEEE Mechaton. Robot., vol. 4, pp , Aachen, Gemany.Klanca, G. and Skjanc, I. (2007) Tacking-eo model-based pedictive contol fo mobile obots in eal time. Int. J. of Robotics and Autonomous Systems, 55: Ma, M. M.; Li, S. and Liu, X.-J. (2012) Tacking Contol and Stabilization of Wheeled Mobile Robots by Nonlinea Model Pedictive Contol Poc. of the 31st Chinese Contol Confeence, vol. 4, pp , Hefei, China. Oiolo, G.; Luca, A. and Vandittelli. M. (2002) WMR contol via dynamics feedback lineaization: Design, implementation, and expeimental validation. IEEE Tans. on Contol Systems Technology, 10: Raffo, G.; Gomes, G.; Nomey-Rico, J.; Kelbe, C. and Becke, L. (2009). A pedictive contolle fo autonomous vehicle path tacking, Intelligent Tanspotation Systems, IEEE Tansactions on 10(1): Yoo, S. J. (2010) Adaptive tacking contol fo a class of wheeled mobile obots with unknown skidding and slipping. IET Contol Theoy and Applications, 4(10): Zheng Q. and Gao, Z. (2005) Motion Contol Design: Poblem and Solutions Intenation Jounal of Intelligent Contol and Systems, vol. 10, no. 4, pp