A Study of the Compartimentalized Knapsack Problem with Additional Restrictions

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1 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS VOL 8 NO 3 JUNE A Stud of the Comprtmetlzed Kpc Problem wth Addtol Retrcto R Hoto N Mcul d A oro Abtrct The Comprtmetlzed Kpc Problem h bee reported the lterture to geerte cuttg ptter of problem two tge The problem h cotred ce whch re codered lmt o the umber of comprtmet d tem the pc A exct lgorthm tht volve the reoluto of vrou pc d heurtc bed o upper boud h lred bee developed I th pper we preet the problem wth mthemtcl model d propoe ew trtege for reolvg the cotred ce Keword Heurtc pc comprtmetlzed colum geerto I INTRODUÇÃO ROLEMAS d mochl [ 4 5 8] ão mplmete Petuddo devdo u preeç em úmer plcçõe [] Exte um vrção do problem cláco deomdo problem d mochl comprtmetd [7] cuj dé cote em cotrur o teror de um mochl de cpcdde cohecd comprtmeto de cpcdde decohecd porém lmtd etre um vlor mímo e um vlor máxmo cujo objetvo é o de mxmzr utldde totl Mtemtcmete ej { N N } um prtção do cojuto N do ídce do te em ue cd elemeto d prtção é deomdo grupmeto A utldde de um tem * de ídce N erá repreetd por u e eu peo * por A cpcdde d mochl erá repreetd por * L turlmete N > L e < L pr N A prtção { N N } duz prtção { V V } em ue de ídce V V V e ode V é o cojuto de ídce de comprtmeto cotruído com te de ídce em N tedo em vt ue cd comprtmeto deve ter te proveete de um memo grupmeto Um comprtmeto de cpcdde L V é tl ue ode 0 < Lm < Lmx L ão lmtte tero Ete trblho cotou com o poo fcero do CNP e d Dh Optmzto ue cedeu o Xpre-MP pr mulçõe R Hoto é Profeor Adjuto do Deprtmeto de Mtemátc d Uverdde Etdul de Lodr Lodr Prá rl hoto@uelbr N Mcul tu o Progrm de Egehr de Stem e Computção d COPPE Uverdde Federl do Ro de Jero Ro de Jero Ro de Jero rl mcul@coufrjbr A oro tu Uverdde Tecológc Federl do Prá Lodr Prá rl drboro@utfpredubr turlmete N L m e < Lmx pr N Du vráve de decão erão eceár ue dcrá o úmero de te de ídce N o comprtmeto de ídce V e ue dcrá o úmero de comprtmeto de ídce V mochl A retrção fíc de um comprtmeto erá ecrt como δlm N δl mx ode L é N cpcdde do comprtmeto e δ V é um vrável lógc pr grtr vbldde cujo vlor é e o comprtmeto fo cotruído e 0 o co cotráro A retrção fíc d mochl erá ecrt como ( ) ( ) V N V L N A utldde de um comprtmeto de ídce V erá defd como v u N det form o objetvo d mochl erá ecrto como z ( u ) V N ( u ) V N Flmete o modelo de um mochl comprtmetd tem o egute o formto [8 0 3]: mxmzr ujeto : ( ) z ( u ) V N V N ( u ) V () N ( ) L () V N Lm N δl mx V δ (3) δ {0 } N e V (4) O cláco problem d mochl é etão um co prtculr em ue prtção de N é utár L m 0 e Lmx L Mochl comprtmetd ão comu em problem de corte ode o proceo de cortgem ocorre em du ou m fe [8 9] A bordge form de mochl comprtmetd form preetd pel prmer em [7] Atulmete peu e cocetrm o co retrto e o reultdo m recete etão em [0 3] Ete etudo tu dcm ue o trblho futuro bordrão o co bdmeol

2 70 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS VOL 8 NO 3 JUNE 00 Abordge form podem er ecotrd em [ ] Além d Itrodução ete texto ecotr-e orgzdo em Seção II ode é preetdo o co retrto do problem com decrção de heurítc Seção III em ue é fet um dcuão obre o uo de Gerção de Colu pr o cálculo de lmtte uperore Seção IV ul decrevemo o reultdo de mulçõe e Seção V com cocluõe II O CASO RESTRITO Em plcçõe prátc [8 0] é comum coderr retrçõe dco comprtmetção de um mochl detre u detcmo: ) A utdde de cd tem de ídce N ue compõe mochl deve er lmtd d V ) A utdde de comprtmeto mochl deve er lmtd F V ) A utdde de te em cd comprtmeto V deve er lmtd N F Am o co retrto de um mochl comprtmetd é ecrto como: mxmzr z ( u ) V N ( u ) V (5) N ujeto : d V N (6) ( ) V N ( ) V L (7) N δlm δlmx V (8) N F V (9) N F V (0) δ {0 } N e V () A Algortmo de Decompoção do Problem Pr cd em todo comprtmeto de cpcdde L { Lm Lm Lmx} V é vável to é N L Am dgmo ue o úmero totl de comprtmeto váve ue evolvem reolução de um mochl comprtmetd ej computável Nete co ugermo decompor o problem em du etp [9]: prmer ão reolvd vár mochl ue rão cotrur ete comprtmeto egud um progrm ler tero e ecrregrá de ecolher o comprtmeto ue deverão compor mochl Vejmo o lgortmo propoto: Pr cd comprtmeto vável de cpcdde L V e reolv egute mochl de vráve clzd com retrção dcol ue forecerá cofgurção e o vlor de utldde v do comprtmeto: mxmzr v u N () ujeto : () N L (3) F (4) N 0 d N (5) Reolv o egute PLI e obteh comprtmetção: mxmzr z v V v V (6) ujeto : (6) V d V N (7) L V L V L (8) F (9) V V V (0) O cálculo d mochl do Po pode er ubttuído pelo cálculo de lmtte uperore v [8 0] reduzdo muto o tempo de procemeto lém dto relxção cotíu do PLI do Po pode er reolvd pelo Método do Smplex forecedo m um ltertv de obter um lmtte uperor [9] Heurítc de w Cpcdde Um ltertv propot por Mrue [3] cote em reduzr o epço de buc cotrudo o melhor comprtmeto pr cdde pré-defd Vejmo: Fç W e ; Pr ; Fç L Lmx e j ; 3 Euto L > Lm e j w fç 3 Reolv o egute problem d mochl: mxmzr v u N ujeto : N L N F 0 d N 3 Iclu o ídce do comprtmeto cotruído em W V ; 33 Fç L ( ) ; N

3 HOTO et l: A STUDY OF THE COMPARTIMENTALIZED 7 34 Fç j j e ; 3 Reolv o egute progrm ler tero: mxmzr z v W ujeto : d W N L W W L F W Em [3] o utore dcutem o deempeho de outr heurítc e egudo ele ue preetou melhor performce fo de cdde com w 5 O utore tmbém reltm terem troduzdo um cojuto dcol de comprtmeto ob o u ão e exge ue repectv cpcdde etej lmtd C Heurítc de w Cpcdde Modfcd Em [9] é decrto um problem de corte em bob de ppel ode o proceo de cortgem ocorre em du fe O utor decreve modfcçõe o procedmeto de gerção de colu [3 5] ode o gerdor de colu é um mochl com objetvo e retrção fíc ão-lere emelhte à mochl comprtmetd porém em retrçõe de grupmeto A prtr d dé cotd em [9] deevolvemo um heurítc pr o co retrto d comprtmetção de um mochl No heurítc comb o prmero po d heurítc do melhor comprtmeto pr cdde [3] com um procedmeto de relmetção do cojuto de comprtmeto ue é bedo o fto de ue o úmero máxmo de comprtmeto ue podem er cotruído mochl com te dexdo em N é p m{ L/ L mx { d }} Vejmo heurítc: m N Fç W e ; Pr ; Fç L Lmx e j ; 3 Euto L > Lm e j w fç 3 Reolv o egute problem d mochl: mxmzr v u N ujeto : L N N 0 d F N 3 Iclu o ídce do comprtmeto cotruído em W V ; 33 Fç L ( ) ; N 34 Fç j j e ; Pr Fç p m{ L/ L m mx N { d }} ; Pr j p Reolv o egute progrm ler tero: mxmzr z v W j u N ujeto : W j d N L j L W N m N δ mx δl L ( ) δ j F W N F δ {0 } N e W Se um ovo comprtmeto fo cotruído etão clu eu ídce em W ; III COMPARTIMENTAÇÃO E GERAÇÃO DE COLUNAS No po do Algortmo de Decompoção o por co erão clculd ( L ) mx L m mochl trtdo-e do úmero totl de comprtmeto ue pode er excevmete lto Nete co relxção cotíu do PLI (6)-(0) do po ão pode er reolvd com o Método do Smplex m pode er reolvd por Gerção de Colu [3 5] No tuto de ecrever o problem ecudáro ue gerrá colu dgmo ue N { } e codere ue π ( π π π π π ) o vetor do multplcdore Smplex A colu ue pretedemo gerr pr oo PLI tem o egute pecto α ( ) T L V Oberve ue e N N etão 0 det form v u u e o cuto reltvo ocdo α N erá: πα v πα v π π L π v π π π v π π π u π ( π π u) Coderdo ue o progrm ler (6)-(0) do po é de mxmzção bemo ue e πα v 0 pr tod colu de ídce d prtção ão-bác do Smplex (mbolzremo por V N prtção ão-bác e por V bác) etão correte olução é ótm Am co

4 7 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS VOL 8 NO 3 JUNE 00 m{ πα v} m π ( π π u) VN VN m m π ( π π u) V V N 0 etão correte olução erá ótm Por outro ldo m m π ( π π u) V V N m mx π ( π π u) V V N m mx ( π ( π π u) ) V V N m m π ( π π u) V V N π m m ( u π π ) V V N π m mx ( u π π ) V V N m πα v 0 é euvlete : Portto { } VN m mx ( u π π ) V V N π No mometo de gerr colu α o ídce do comprtmeto ão é relevte pr o proceo m o gerdor de colu terá o egute pecto: m mx ( u π π ) N ujeto : ( ) T L comp er um colu ue repreet um comprtmeto de cpcdde L comp ode Lm Lcomp Lmx Reumdo mpobldde de ur o Método do Smplex pr reolver relxção cotíu do PLI (6)-(0) ugermo utlzção de Gerção de Colu [3 5] coforme o procedmeto: Ecotre um prtção cl ( N ) pr mtrz d relxção cotíu do PLI (6)-(0) Note ue colu de repreetm comprtmeto c ue podem er homogêeo (compoto por pe um tpo de tem) Fç PARE flo; 3 Euto PARE flo fç 4 Clcule o vetor π de multplcdore Smplex; 5 Clcule olução bác ( ) T d d d L F ; 6 Pr gere colu α ( ) T Lcomp reolvedo o egute problem de mochl: mxmzr z ( u π π ) m ujeto : L N comp N m comp mx L L L 7 Se { z } F N N π etão PARE verdde e vá o po 3 { correte olução d relxção cotíu é ótm} eão vá o po 8; 8 Determe Dreção Smplex λ α ; 9 Se λ < 0 etão PARE verdde e vá o po 3 {o problem ão tem olução ótm ft} eão vá o po 0; 0 Determe o ídce r d colu de r d be: ( r) ( ) m λ > 0 N ; λr λ Atulze e ; Retore o po 4; IV SIMULAÇÕES Nó efetumo mulçõe utlzdo o olver Xpre- MP [7] um Petum 4 Hper-Thredg de 30 GHz com G de RAM Form gerdo exemplre letormete d egute form: ctegor (5/5) com 5 grupmeto de 5 te cd ctegor (0/5) com 0 grupmeto de 5 te cd ctegor (5/0) com 5 grupmeto de 0 te cd e ctegor (0/5) com 0 grupmeto de 5 te cd O ddo do exemplre form defdo como: L ; L m 0000 ; L mx 5000 ; F e F 6 ; u [ Lmx Lmx ] dtrbuído uformemete com e < ode { } e { } Pr cd ctegor germo 040 exemplre 0 pr cd ecolh de e e pr comprçõe tommo méd do objetvo dete 0 exemplre O objetvo médo d bordge decrt form ormlzdo pelo objetvo médo do PLI (6)-(0) do Po

5 HOTO et l: A STUDY OF THE COMPARTIMENTALIZED TAELA I RESULTADOS PARA A CATEGORIA (5/5) w5 w0 mod w5 Gerção Colu 0 930% 9358% 9838% 07% % 9460% 9906% 05% % 96% 988% 033% % 9778% 9989% 04% % 988% 997% 056% % 9735% 9935% 05% % 9785% 9997% 060% % 970% 9895% 068% % 9705% 9958% 047% % 986% 995% 04% % 9789% 9948% 005% % 9765% 9958% 079% % 9840% 999% 045% % 976% 9999% 070% % 9858% 9967% 033% % 989% 994% 03% % 9938% 997% 07% % 9884% 997% 05% % 9785% 9999% 03% % 986% 9999% 034% % 9978% 9999% 045% % 989% 9959% 05% % 9898% 9996% 067% 06 98% 9848% 9999% 00% % 9638% 9999% 046% % 9976% 9999% 037% TAELA III RESULTADOS PARA A CATEGORIA (5/0) w5 w0 mod w5 Gerção Colu % 9993% 999% 09% 03 90% 987% 9976% 088% % 9843% 9965% 050% % 9904% 9949% 07% 06 95% 9904% 9943% 039% % 989% 9963% 03% % 9943% 9979% 096% 0 879% 947% 987% 03% % 95% 9867% 078% % 9733% 994% 04% % 985% 9867% 03% % 980% 99% 093% % 99% 9950% 04% % 9907% 9967% 095% % 984% 9938% 063% % 9769% 9938% 087% % 9866% 99% 05% % 993% 9945% 034% % 990% 9999% 059% % 999% 995% 06% % 9969% 9968% 03% % 9974% 9875% 034% % 997% 9999% 033% 06 99% 9995% 9997% 05% % 9973% 9998% 040% % 9999% 9999% 069% TAELA II RESULTADOS PARA A CATEGORIA (0/5) w5 w0 mod w5 Gerção Colu % 998% 996% 095% % 9853% 997% 045% % 9938% 998% 00% % 9977% 99% 06% % 99% 998% 059% % 9948% 9977% 030% % 9950% 9983% 08% 0 930% 969% 9909% 053% % 979% 996% 00% % 989% 9985% 05% % 993% 996% 08% % 9960% 996% 059% % 9863% 9976% 078% % 9935% 9987% 03% % 989% 9974% 045% % 999% 9945% 00% % 9979% 9986% 09% % 996% 9989% 03% 07 99% 995% 9989% 08% % 9943% 9968% 06% % 9869% 9998% 03% % 9995% 9999% 05% % 9957% 9997% 05% % 9979% 9999% 00% % 993% 9999% 080% % 988% 9997% 063% TAELA IV RESULTADOS PARA A CATEGORIA (0/5) w5 w0 mod w5 Gerção Colu 0 903% 9847% 996% 057% % 9753% 9939% 090% % 9534% 9878% 06% % 9760% 9900% 063% % 9583% 9867% 068% % 9597% 9886% 069% 08 98% 9783% 9943% 074% 0 898% 9098% 983% 087% % 94% 988% 098% % 95% 9770% 045% 05 93% 964% 989% 035% % 970% 996% 08% % 9793% 9867% 06% % 984% 9940% 06% % 9634% 988% 077% % 9805% 998% 00% % 98% 99% 095% % 9844% 993% 095% % 9930% 998% 06% % 985% 9945% 095% % 9939% 9985% 06% 04 98% 9700% 9900% 0307% % 9977% 9998% 035% % 9944% 9994% 044% % 9904% 999% 083% % 997% 9997% 06%

6 74 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS VOL 8 NO 3 JUNE 00 V CONCLUSÕES Nete rtgo preetmo o etudo ue efetumo obre comprtmetção de mochl ue é um exteão do problem cláco Fzemo decrção mtemátc de um decompoção do modelo (5)-() preetmo Heurítc de w Comprtmeto [3] e ugermo modfcçõe el pr melhorr o gp em relção o objetvo do PLI (6)-(0) o ue fo obervdo pelo reultdo d mulçõe ue efetumo Tmbém preetmo cot ue o permtu clculr lmtte uperore por meo do Método do Smplex ou pel Técc de Gerção de Colu [3 5] ode o problem ecudáro é um m{mx} Um ugetão ue regtrmo é de explorr um brchd-prce [8] etrtég de Gerção de Colu fm de obter oluçõe váve do problem Outr form de obter oluçõe váve cote em utlzr colu obtd durte o proceo de gerção de colu pr tetr obter um comprtmetção Ito pode er feto pel reolução do PLI (6)-(0) porém um epço de buc reduzdo REFERÊNCIAS [] J R row The pc hrg problem Operto Reerch [] G Dtzg Dcrete vrble extremum problem Operto Reerch [3] G Dtzg d P Wolfe Decompoto prcple for ler progrm Operto Reerch [4] Fujmoto M d T Ymd A exct lgorthm for the pc hrg problem wth commo tem Europe Jourl of Opertol Reerch [5] P C Glmore d R E Gomor A ler progrmmg pproch to the cuttg toc problem Operto Reerch 9(6) [6] M Hf d S Sdf The pc hrg problem: exct lgorthm Jourl of Combtorl Optmzto [7] R Hoto M N Arele e N Mcul O problem d mochl comprtmetd Reltóro Técco Deprtmeto de Mtemátc Cetro de Cêc Ext Uverdde Etdul de Lodr Lodr PR rl 999 [8] R Hoto O problem d mochl comprtmetd plcdo o corte de bob de ço Tee de Doutormeto COPPE/UFRJ Egehr de Stem e Computção Ro de Jero RJ rl 00 [9] R Hoto F Spoldor e F Mrue Reolvedo Mochl Comprtmetd Retrt XXXVII Smpóo rlero de Peu Opercol [0] R Hoto M N Arele d N Mcul The Comprtmetled Kpc Problem: ce tud Europe Jourl of Opertol Reerch [] R E Johto d L R Kh oud for eted pc problem Europe Jourl of Opertol Reerch [] E Y L A bblogrphcl urve o ome well-ow otdrd pc problem INFOR 36(4) [3] F P Mrue d M N Arele The cotred comprtmetled pc problem Computer & Operto Reerch Volume 34 Iue [4] S Mrtello d P Toth Kpc Problem: Algorthm d Computer Implemetto New Yor Wle IterScece 990 [5] D Pger Algorthm for pc problem PhD The Deprtmet of Computer Scece Uvert of Copehge Copehge Demr 995 [6] H Shch d T Tmr Poloml tme pproxmto cheme for cl-cotred pcg problem Jourl of Schedulg [7] Xpre-Moel Uer Gude Dh Optmzto Ic Eglewood Clff USA 008 [8] H H Ye N Y Som d N Mcul A lgorthm for determg the K-bet oluto of the oe-dmeol pc problem Peu Opercol v 0 p [9] E J Z Row d colum geerto techue for multtge cuttg toc problem Computer & Operto Reerch Robo Hoto ceu em São Joé do Ro Preto São Pulo rl o 9 de Agoto de 969 Grduou-e chrel em Mtemátc Uverdde Etdul Pult em 993 Metre em Mtemátc Aplcd e Computcol Uverdde de São Pulo em 996 e Doutor em Egehr de Stem e Computção Uverdde Federl do Ro de Jero em 00 Trblh o Deprtmeto de Mtemátc d Uverdde Etdul de Lodr ode é Profeor dede 996 e coorde o Progrm de Pó-Grdução em Mtemtc Aplcd e Computcol Seu teree etão relcodo com Peu Opercol Nelo Mcul Flho ceu em Lodr Prá rl o 9 de Mrço de 943 Grduou-e em Egehr de M e Metlurg pel Uverdde Federl de Ouro Preto em 965 Metre (DEA) em Mtemátc Ettítc Uverte de Pr VI (Perre et Mre Cure) em 967 Doutordo em Egehr de Produção pel Uverdde Federl do Ro de Jero em 975 e Dplôme d'hbltto à Drger de Recherche (DHR) e Scece de l Geto Uverté Pr-Duphe (Pr IX) em 988 Trblh como Profeor Ttulr o Progrm de Egehr de Stem e Computção d COPPE Uverdde Federl do Ro de Jero Seu teree ão Progrmção Mtemátc Otmzção Combtór Mtemátc d Computção Computção ológc e Geometr Computcol O Profeor Mcul é um do precurore d Peu Opercol o rl pou úmero prêmo e título cetífco como Medlh d Ordem Ncol do Mérto Cetífco (rl) e Chevler de l'ordre Ntol du Mérte (Frç) Adr oro ceu em Ctduv Prá rl o de Jero de 976 Grduou-e em Mtemátc (Lcectur) Uverdde Etdul do Oete do Prá em 997 e Metre em Educção Mtemátc Uverdde Etdul de Lodr em 004 Trblh Uverdde Tecológc Federl do Prá ode é Profeor dede 006 Seu teree cocetrm-e em Modelgem Mtemátc e Aplcçõe