1 RETENÇÃO DA ÁGUA NO SOLO

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1 ÁGUA NO SOLO Pul Lenel Librdi Descrevem-se inicilmente s spects básics d retençã d águ n sl, ntdmente teri d cpilridde, visnd principlmente à determinçã d curv de retençã d águ n sl pels métds clássics d funil e d câmr de pressã de r cm plc prs. Índices pr quntificr águ n sl, em especil rmzengem d águ, sã definids em seguid. A vliçã d energi d águ n sl pel mdel ds ptenciis e quntificçã d mviment d águ n sl pels equções de flux sã trtds cm cert detlhe. O text termin cm um discussã resumid respeit d blnç de águ n sl. 1 RETENÇÃO DA ÁGUA NO SOLO Nesse estud, sl será cnsiderd simplesmente cm um cnjunt de prtículs sólids de diverss frms e tmnhs, entremeds pr prs intercnectds tmbém de diverss frms e tmnhs. Pde-se dizer, prtnt, que sl é cmpst bsicmente de dus prtes: prte sólid, denmind sólids d sl, prtículs d sl u ind mtriz d sl, e prte nã cupd pels sólids, denmind espç prs u prs d sl. Nrmlmente espç prs d sl n cmp é cupd pr quntiddes vriáveis de um sluçã qus u águ n sl e de um sluçã gss u r n sl; sl nest situçã é chmd de sl nã sturd. O sl cm seu espç prs ttlmente chei de águ é chmd de sl sturd. Dis sã s prcesss que explicm retençã d águ num sl nã sturd. N primeir deles, retençã crre ns chmds prs cpilres d sl e pde ser ilustrd pel fenômen d cpilridde, qul está sempre sscid um interfce curv águ-r. N segund prcess, retençã crre cm filmes de águ press às superfícies ds sólids d sl, pel fenômen d dsrçã. Desses dis fenômens, mis relevnte é d cpilridde dí ser devtd ele um item especil, seguir, sb títul tensã superficil e cpilridde.

2 2 Pul Lenel Librdi Cm relçã prcess de dsrçã d águ sbre s superfícies sólids, três sã s mecnisms principis prpsts pr explicá-l, sber: 1. A superfície ds mineris de rgil é cbert cm átms de xigêni e grups xidrils negtivmente crregds devid à substituiçã ismrf de cátins. Desse md, cri-se redr ds prtículs desses mineris um cmp elétric cuj intensidde decresce cm distânci d superfície d prtícul. Devid à nturez diplr ds mléculs de águ, els se rientm neste cmp elétric e experimentm um frç n direçã d superfície d prtícul, qul decresce grdulmente cm distânci d superfície té se trnr nul num pnt em que nã há mis influênci d cmp. 2. Os pres de elétrns nã cmprtilhds d átm de xigêni ds mléculs de águ pdem ser eletricmente tríds cátins trcáveis que pdem estr dsrvids sbre superfície d rgil, u sej, s cátins que sã retids à superfície negtivmente crregd de rgil ( cncentrçã iônic é crescente n direçã d superfície sólid) csinm tmbém dsrçã ds mléculs de águ. 3. Finlmente, s mléculs de águ pdem ind ser tríds às superfícies sólids pels frçs de Lndn-vn der Wls, que sã frçs de curt lcnce e decrescem rpidmente cm distânci d superfície, de md que um cmd muit fin é dsrvid dess mneir redr ds prtículs de sl. É imprtnte refrçr que ess películ de águ dsrvid às superfícies ds sólids d sl pssui, cm resultd dests frçs de dsrçã, um energi ptencil extr, um vez que, se fstrms um determind prçã dess películ um distânci dentr d ri de çã dests frçs e bndnrms, el vlt à psiçã riginl reliznd um trblh. 1.1 Tensã superficil e cpilridde A se clcr um ds extremiddes de um tub cpilr de vidr dentr de um recipiente cm águ, bserv-se que águ sbe n tub e entr em repus um determind ltur cim d superfície d águ n recipiente. Se em vez de águ fr utilizd mercúri, bserv-se que nível de mercúri dentr d tub cpilr se estbiliz um distânci bix d seu nível n recipiente. N primeir cs, diz-se ter crrid um scensã cpilr e n segund um depressã cpilr. A

3 Pul Lenel Librdi 3 explicçã destes fenômens cpilres é feit cm bse num prpriedde sscid cm superfície livre de qulquer líquid, denmind tensã superficil. A tensã superficil result d existênci de frçs de trçã de curt lcnce entre s mléculs d líquid chmds frçs mleculres de Lndn-vn der Wls de cesã, frçs mleculres de cesã u simplesmente frçs de cesã. A distânci limite de tuçã dests frçs, ist é, distânci máxim que um mlécul cnsegue exercer trçã sbre s utrs, delimit um esfer de ri r cnhecid pel nme de esfer de çã ds frçs mleculres u simplesmente esfer de çã mleculr. Pr águ, r nã excede 0,05 µm. Nests cndições, mléculs cm M1 u M2 (Figur 1), cujs esfers de çã mleculr se encntrm ttlmente dentr d líquid, trem e sã tríds simetricmente pr tds s mléculs vizinhs e frç resultnte sbre els é nul. Entretnt, em qulquer mlécul cuj esfer de çã nã estej inteirmente n interir d líquid, cm M3, pr exempl, s frçs sbre el nã se equilibrm. Iss prque clt inferir d esfer de çã (áre hchurd, Figur 1) está chei de mléculs que trem tl mlécul, ms clt crrespndente superir, cind fr d líquid, nã está chei de mléculs cm inferir pr trí-l. Cm cnsequênci, est mlécul é tríd pr interir d líquid pel resultnte desss frçs de cesã nã equilibrds. Est resultnte é entã nul ns mléculs lclizds prtir de um distânci r d superfície d líquid pr bix e ument ns lclizds prtir dest distânci pr cim, tingind um máxim ns mléculs d superfície (mlécul M 4, Figur 1). Em tds s mléculs situds n cmd superficil de espessur r u cmd tiv de um líquid, tum, prtnt, frçs que tendem puxá-ls pr interir d líquid cusnd, cm iss, um enrme pressã, dirigid pr interir d líquid, chmd pressã intern P'. Assim, td líquid, lém d pressã tmsféric, que tu externmente sbre su superfície, está sujeit tmbém à pressã intern P' riund ds frçs mleculres de cesã nã equilibrds n cmd tiv. Pr águ, P' 1700 MP. Além diss, pel çã desss frçs, superfície d líquid se cntri minimiznd su áre e dquire um energi ptencil extr que se põe qulquer tenttiv de distendê-l, u sej, crrend um distensã, tendênci d superfície é sempre vltr à psiçã riginl. Em utrs

4 4 Pul Lenel Librdi interfce líquid-gás cmd { r tiv M 2 M 4 r esfer de çã mleculr r M 3 F 2 = 0 F F 4 3 r M 1 F 1 = 0 Figur 1 Frçs intermleculres. plvrs, devid esss frçs, superfície d líquid se trn cntrátil. A ess energi ptencil extr dquirid pel superfície d líquid, devid às frçs mleculres de cesã nã equilibrds n cmd tiv, dá-se nme de energi ptencil superficil. Esse ft mstr que superfície de qulquer líquid está num estd de cnstnte tensã pel que, se trçrms um linh rbitrári de cmpriment L sbre superfície de um líquid, superfície de cd ld d linh pux superfície d ld pst cm um frç resultnte igul F perpendiculr à linh e prlel à superfície (Figur 2). A rzã F/L é definid cm tensã superficil (σ) d líquid, ist é: F σ =. (1) L A dimensã d tensã superficil é, prtnt, frç pr unidde de cmpriment (N/m). Um cnsequênci imprtnte dest tensã superficil ds líquids, e que é básic pr entendiment ds fenômens cpilres, é ft de que se superfície de um líquid deixr de ser

5 Pul Lenel Librdi 5 Superfície livre de um líquid F L F Linh rbitrári de cmpriment L Figur 2 - Definiçã d tensã superficil de um líquid. pln, surge um nv pressã p que pde tur n mesm sentid que pressã P' que é que crre num superfície cnvex, u pstmente P' cm num superfície côncv. A primeir situçã (superfície cnvex) está ilustrd n Figur 3 n qul: ABCD é um pequen prçã (infinitesiml) d superfície; R 1 e R 2 seus dis ris principis de curvtur (qulquer superfície curv pequen é crcterizd pr dis ris principis de curvtur); σdl 1, dus frçs de tensã superficil (ver equçã 1), que tum ns rcs psts e iguis AB e DC, de cmpriment infinitesiml dl 1 ; e σdl 2, dus frçs de tensã superficil que tum ns rcs psts e iguis AD e BC, de cmpriment infinitesiml dl 2. Cm se pde ver, devid únic e exclusivmente à curvtur d superfície, ests qutr frçs, resultntes d tensã exercid pel restnte d superfície ABCD ns rcs AB, DC, AD e BC, dquirem um resultnte infinitesiml df = df 1 + df 2 (Figur 3) que é, prtnt, cus d surgiment d pressã p. Cm bse nesss infrmções, pde-se deduzir (Librdi, 2012) que: p = σ R1 R2, (2)

6 6 Pul Lenel Librdi ist é, nv pressã p cusd pel curvtur d superfície está relcind cm tensã superficil d líquid e s ris de curvtur d superfície curv. H σdl 1 N AR σdl 1 I N B AR σdl 2 σdl 1 H G E N σdl 2 σdl 2 AR G σdl 1 LÍQUIDO df 2 σdl 1 A O C σdl 2 df 1 σdl 2 LÍQUIDO R 2 LÍQUIDO E df I R 1 σdl 2 R 1 D R 2 O 1 σdl 1 O 1 O 2 O 2 () AB=DC=EG=dl AD=BC=HI=dl 1 2 Figur 3 - Prçã infinitesiml de um superfície curv. (b) A superfície d Figur 3, qul tem mbs s ris de curvtur de um mesm ld, é chmd de superfície sinclástic e pressã extr cusd pel curvtur d superfície é, cm se cbu de mstrr, dd pel equçã (2). Nte-se ind que, pel ft de superfície ser cnvex, prtnt, cm s dis ris n ld d líquid, resultnte df, e cnseqüentemente p, tu fvr de P'. Cm iss, pde-se dizer que pressã intern que tu num superfície cnvex de um líquid é igul P' + p (Figur 4b). Cnsidernd mesm superfície ABCD d Figur 3, ms que invés de cnvex sej côncv, cheg-se mesm resultd pr p (equçã 2) prque est superfície tmbém é sinclástic; n entnt, neste cs, pel ft de s dis ris ficrem n ld d r, verificse que resultnte df, e cnseqüentemente p, tu cntr pressã P' pel que pressã intern num superfície côncv de um líquid é igul P' - p (Figur 4c). Evidentemente, se superfície fr pln df = 0 e p = 0 e, prtnt, pressã intern é igul P' (Figur 4). Qund superfície curv tem seus ris de curvtur em lds psts, ist é, um estendend-se pr líquid e utr pr r (Figur 5), pr rcicíni semelhnte cheg-se à fórmul

7 Pul Lenel Librdi 7 p p P' - p P' P' P' P' + p () interfce pln (b) interfce cnvex (c) interfce côncv Figur 4 - Pressã intern num superfície: pln (), cnvex (b) e côncv (c). p = σ 1 1 R1 R2, (3) n qul R 1 é sempre cnsiderd cm ri de curvtur menr e R 2 ri de curvtur mir. Prtnt, df 1 > df 2 e sentid d frç df 1 é invers d sentid d frç df 2. Est superfície é cnhecid pel nme de superfície nticlástic e nel p pde tur tnt cntr cm fvr de P' u mesm té ser nul qund R 1 = R 2. Pr um superfície esféric que é brigtrimente sinclástic, R 1 = R 2 =R e, prtnt, 2σ p =. (4) R As equções (2), (3) e (4) sã chmds de equçã de Lplce.

8 8 Pul Lenel Librdi AR R 2 df 2 LÍQUIDO df 1 R 1 Figur 5 - Superfície nticlástic. Após ests cnsiderções respeit ds superfícies curvs ds líquids, surge de imedit pergunt. Quis sã s situções em que superfície livre de um líquid deix de ser pln? Qund se clc águ pur num cp de vidr limp, nt-se que próxim d su prede superfície d águ se encurv pr cim. N cs de clcr-se mercúri n cp bserv-se que curvtur d superfície é vltd pr bix. Observ-se tmbém que n cs d águ superfície se dere vidr, pss que n cs d mercúri existe um tendênci pr su superfície se fstr d vidr. Estes fts mstrm que qund se tem um líquid djcente um prede sólid, nã smente s frçs mleculres de Lndn-vn der Wls de trçã cesiv entre s mléculs d líquid sã imprtntes, senã tmbém s frçs mleculres de Lndn-vn der Wls de trçã desiv entre s mléculs d sólid e s d líquid. Evidentemente n cs d águ em vidr s frçs desivs sã dminntes, enqunt que n cs de mercúri em vidr dminm s frçs de cesã d líquid. Pde-se gr explicr s fenômens d cpilridde. Será vist cs d scensã cpilr, de mir interesse; n cs d depressã cpilr rcicíni é mesm. Imgine-se, entã, que um tub cpilr de vidr é clcd verticlmente dentr de um vsilh cm águ (Figur 6). Assim que tub tc n superfície d águ, s mléculs de su prede intern trem s mléculs d superfície d águ fzend cm que el se curve pr cim num menisc côncv. (Figur 6).

9 Pul Lenel Librdi 9 Est curvtur pr cim fz cm que, de crd cm fórmul de Lplce, pressã intern n menisc (côncv) n tub cpilr se trne menr d que pressã intern n interfce águ-r pln n vsilh. Cnsidere-se dis pnts n águ dentr d vsilh d Figur 6, um bix d menisc côncv recém-frmd n tub cpilr (pnt A) e utr n mesm pln hrizntl d pnt A, ms bix d superfície pln (pnt B). Percebe-se que, n situçã d Figur 6, líquid nã se encntr em equilíbri prque pressã em B é mir d que em A e iss fz cm que águ sej empurrd pr cim n tub cpilr té um ltur h (Figur 6b) qund pressã em A se igul à pressã em B e líquid tinge situçã de equilíbri d Figur 6b. Prtnt, n cndiçã de equilíbri d Figur 6b: P + P'+ ρ gz = P + ( P' p) + ρ gh+ ρ gz u dnde p = ρ gh, (5) p h =, (6) g ρ send, evidentemente, h ltur d scensã cpilr d águ, ρ densidde d águ e g celerçã d grvidde. N cs em que superfície côncv é esféric e de ri R (Figur 7), result, pel substituiçã d equçã (4) n equçã (6), que Pr utr ld, d Figur 7: 2σ h =. (7) gr ρ r R =, (8) csα

10 10 Pul Lenel Librdi P 0 P'-p... h P 0 P 0 P 0 P 0 P 0 z P'-p... A B... P'... z A... B P' () (b) Figur 6 - Ascensã d águ num tub cpilr: () frmçã d menisc côncv, (b) scensã. em que r é ri d tub cpilr cilíndric e α ângul de cntt qul, cm se pde ver, é ângul frmd n líquid entre pln tngente à superfície d líquid n pnt de cntt e prede d tub. O pnt de cntt P é linh de cntt em crte (Figur 7) e linh de cntt é linh cmpst pels pnts cmuns às três fses: sólid (vidr), líquid (águ) e gss (r). Substituind equçã (8) n equçã (7): 2σ csα h =. (9) gr ρ As equções 6, 7 e 9 sã chmds indistintmente de equçã de Kelvin d cpilridde. Mires detlhes deste ssunt pdem ser encntrds, pr exempl, em Kirkhm & Pwers (1972) e Librdi (2012).

11 Pul Lenel Librdi 11 r R α α P Figur 7 - Detlhe d superfície d líquid n cpilr cm ângul de cntt α. Além ds mecnisms de retençã é tmbém imprtnte cnhecer s índices que sã utilizds pr quntificr águ n sl. 1.2 Quntificçã d águ n sl Sej um mstr de sl cuj vlume V é, evidentemente, igul à sm d vlume de seus sólids Vs e vlume de seus prs Vp, ist é, V = V s + V p. (10) Estnd mstr nã sturd e chmnd de V e Vr s vlumes de águ e de r, respectivmente, presentes n interir d espç prs dest mstr, num determind mment, é clr que V = V + V (11) p r e, prtnt, V = V + V + V. (12) s r Pr sls de estrutur rígid (nã expnsíveis), Vp = V + Vr = cnstnte e, prtnt, qund V ument (u diminui), Vr diminui (u ument) d mesm vlr. Pr sls expnsíveis, entretnt, Vp e prtnt tmbém V vrim cm V, u sej, umentm cm ument de V e diminuem cm

12 12 Pul Lenel Librdi diminuiçã de V; cnsequentemente, pr estes sls, s equções (10), (11) e (12) cntinum válids, ms V e VP vrim em funçà de V. Igulmente, se fr chmd de m mss dest mstr de sl nã sturd num dd mment, de ms mss de seus sólids e de m e mr s msss de águ e de r presentes n interir d seu espç prs, n referid mment, evidentemente, m = m + m + m. (13) s Entretnt, em cmprçã cm mgnitude de ms+m, mr pde ser cnsiderd sempre desprezível, pel que tnt pr sl sturd cm pr sl nã sturd, r m = m s + m. (14) sl: A prtir desss infrmções pde-se, gr, definir s índices que quntificm águ n - Cnteúd de águ n sl à bse de mss U É, pr definiçã, quciente d mss de águ presente num mstr de sl num determind instnte e mss de sólids d mstr: U 1 [ kg ] m = kg (15) m s u, tend em vist equçã (14), U 1 [ kg ] m ms = kg. (16) m s É imprtnte esclrecer que, pel ft de U nã ser um frçã (prte de um unidde), nã deveri ser express em prcentgem, muit embr iss sej muit cmum! Observe-se, tmbém, que nã há necessidde de qulquer infrmçã dicinl qund se utiliz U pr quntificr águ em sls expnsíveis.

13 Pul Lenel Librdi 13 - Cnteúd de águ n sl à bse de vlume θ É quciente d vlume de águ presente num mstr de sl num determind instnte e vlume d mstr, u sej, V 3 3 [ m ] θ = m (17) V u, lembrnd que densidde d águ ρ = m/v e tend em vist equçã (14), 3 3 [ m ] m ms θ = m. (18) ρv Cm θ é um frçã (prte de um unidde), ist é, mstr qunt de V é V num determind instnte, pde perfeitmente ser express tmbém em prcentgem, bstnd pr iss multiplicr pr 100 resultd btid pels equções (17) u (18). O cnteúd de águ θ pde ser clculd prtir d determinçã d cnteúd de águ U e d densidde d sl ρ. Cm, pr definiçã, densidde de um crp é rzã d mss pel vlume d crp, entã n cs, pr nss crp prs sl = sólids + prs de mss ms e vlume V, m s 3 [ kg ] ρ = m. (19) V Assim, dividind equçã (17) pel equçã (15), tend em cnt s definições de ρ e ρ, verificse fcilmente que ρ θ = U. (20) ρ É imprtnte bservr que, pr sls expnsivs, vlr de θ deve sempre vir cmpnhd d vlr de ρ e vlr de ρ sempre cmpnhd d vlr d cnteúd de águ, n mment de mstrgem. Dividind mbs s membrs d equçã (11) pr V, Vp V Vr = +, (21) V V V

14 14 Pul Lenel Librdi verific-se que quntidde Vp/V é um frçã que mstr qunt d vlume d mstr de sl é vlume de prs, send, pr iss, denmind prsidde d sl α: V p 3 3 [ m ] α = m (22) V e que quntidde Vr/V é um frçã que mstr qunt d vlume d mstr de sl é vlume de r, num dd instnte, send denmind, pr esse mtiv, prsidde de erçã αr: V r 3 3 [ m ] α r = m. (23) V A substituiçã ds equções (17), (22) e (23) n equçã (21) mstr que α = θ +. (24) α r Pr est expressã (24), percebe-se que ) qund θ = 0 result que α = αr (numericmente): sl cmpletmente sec e b) qund αr = 0 result que α = θs (numericmente), send θs = cnteúd de águ à bse de vlume n sl sturd. Explicitnd Vp d equçã (10) e dividind mbs s membrs d equçã resultnte pr V, btém-se Send V α =1 s. (25) V 3 [ kg ] ms ρ s = m (26) V s densidde ds sólids u densidde ds prtículs d sl, deduz-se fcilmente que, pel substituiçã ds equções (19) e (26) n equçã (25), ρ α =1. (27) ρ s sl. Será mstrd, seguir, utr md tmbém muit utilizd de quntificr águ n

15 Pul Lenel Librdi 15 - Armzengem u ltur de águ n sl Sej um perfil de sl n cmp e que, num determind mment, lng de su prfundidde Z, determinem-se vlres de θ distâncis tã próxims entre si qunt pssível de tl mneir que, num gráfic de θ em funçã de Z, cnjunt ds pnts btids resulte num curv cntínu representnd um dd funçã θ = θ (Z). Tl gráfic recebe nme de perfil d cnteúd de águ n sl à bse de vlume (Figur 8). Pde-se bter áre prximd sb curv deste gráfic n intervl de 0 L [m] de prfundidde, dividind- em pequens retânguls cm mstr Figur 8, tl que, evidentemente, Áre prximd = n i= 1 θ ( Z ) Z, (28) * i i * send θ ( Z i ) e Z = Z Z 1, s cnteúds de águ à bse de vlume e s increments de i i i prfundidde i, respectivmente. Se númer de pequens retânguls n tender pr infinit (n ) e Zi máxim tender pr zer [( Zi)m 0], btém-se áre ext sb curv θ = θ (Z) de 0 L, Áre ext = n ( Z ) i m n 0 i= 1 * ( Zi ) Zi lim θ (29) u, cm um ntçã mis cmpct, Áre ext = L θ( Z) dz (30) 0 e lê-se integrl de θ(z)cm relçã Z de 0 L. Pel definiçã d cnteúd de águ à bse de vlume θ (equçã 17), pde-se escrever integrnd d equçã (30) cm dv dv dh θ ( Z) dz = dz = dz = dz = dh. dv AdZ dz Nest expressã, A é um áre de sl rbitrári representtiv d perfil de cnteúd de águ (Figur 8), dv é element de vlume de águ existente n element de vlume de sl dv = AdZ e dh é ltur de águ definid pr dv (dentr de dv) pr unidde de áre de sl (A).

16 16 Pul Lenel Librdi A z = 0 z* 1 θ * i θ(m 3 m -3 ) z 1 z* 2 L zi z i z i-1 z* i z i ( z * i, θ* i ) z n = L Z(m) Figur 8 Perfil d cnteúd de águ sl à bse de vlume. Prtnt, vltnd à equçã (30), verific-se que h L L = θ ( Z) dz [ mágu] 0. (31) Fi clcd subíndice L em h pr indicr que se trt d vlr de h pr cmd 0 L d perfil de sl. Pr um cmd L qulquer de sl, ntçã h L. A quntidde hl, dd pel expressã (31), represent, prtnt, extmente áre sb curv d gráfic d cnteúd de águ θ em funçã d prfundidde d sl Z e é igul à ltur de águ que cmd 0 L m d perfil de sl rmzen, n mment ds medids de θ pr btençã d funçã θ(z). É, pr iss, denmind rmzengem u ltur de águ n sl. Um spect imprtnte respeit d rmzengem de águ é que será mstrd seguir.

17 Pul Lenel Librdi 17 p Referind-se nvmente gráfic d Figur 8, pde-se bter vlr médi prximd * * * θ de θ = θ (Z) n intervl de 0 L [m], tirnd médi ds vlres θ ( ), θ ( ), ( ) * ( ) θ de θ (Z): Z n n Z 1 Z 2 θ,..., θ( Z i ) i= θ p = 1 n. (32) Evidentemente, θpserá tnt mis próxim d vlr médi verddeir θ de θ =θ(z) n mesm intervl 0-L, qunt mir fr númer de pnts n tmds pr tirr médi. Fzend cm que s pnts Z0, Z1,..., Zn distem um d utr de Z = cnstnte e multiplicnd numerdr e denmindr d segund membr d equçã (32) pr esse vlr ( Z), btém-se: n θ( Z * i ) Z i=1 θ p =. (33) n Z O denmindr d equçã (33), n Z = L 0 = L, é cmpriment d intervl (= cmd de sl) lng d qul é tird médi, independentemente d vlr de Z e d númer de pnts n. Se gr n e Z 0, numerdr d expressã (33) prxim-se d integrl d equçã (30) e tem-se que Z 3 u, tend em cnt equçã (31), que L θ ( Z) dz θ = 0 (34) L h L = θl. (35) Evidentemente, se h L fr medid em dis instntes diferentes, btém-se vriçã de rmzengem d águ n sl hl, pr h = ( θ θ )L, (36) L f i

18 18 Pul Lenel Librdi sendθ f cnteúd de águ n sl à bse de vlume médi verddeir n instnte finl e θ i cnteúd de águ n sl à bse de vlume médi verddeir n instnte inicil (clculds pel equçã 34). Se fr utilizd cnteúd de águ médi prximd (clculd pel equçã 32) ns equções (35) e (36), tem-se é clr s vlres prximds de hl e hl, respectivmente. 2 Energi d águ n sl Td crp n nturez pssui um prpriedde denmind energi qul é nrmlmente subdividid em três frms principis: energi cinétic, resultnte d velcidde instntâne d crp em relçã lgum referencil extern ele, energi ptencil, resultnte d psiçã instntâne d crp em relçã cmps de frç (grvitcinl, elétric, eletrmgnétic, etc), tmbém externs ele, e energi intern, sscid mviment e psiçã ds mléculs, átms, elétrns, etc. de que se cnstitui mtéri d crp, incluind diverss frms cm energi térmic, energi químic, energi nucler, etc.. É imprtnte esclrecer que em td estud cm quisquer dests frms de energi, nunc se trblh cm vlr bslut de energi (prque é prticmente impssível cnhecê-l), ms sempre cm um diferenç de energi entre dus situções, um tmd cm referênci. Referind-se à energi ptencil, cm pdem tur cncmitntemente mis de um cmp de frç extern, resultnd, prtnt, em mis de um tip de energi ptencil, será qui utilizd term energi ptencil ttl pr indicr sm ds diverss tips u cmpnentes de energi ptencil tuntes. 2.1 Ptencil ttl d águ n sl A águ n sl será qui estudd, d pnt de vist energétic, segund um mdel n qul se cnsider sempre dus situções cm águ em equilíbri. Ums ds situções é águ n sl prprimente dit, ist é, dentr d sl. A utr situçã é mesm águ (cm mesm energi intern que águ n sl), ms fr d sl, denmind águ pdrã e definid cm águ livre, de mesm energi intern que águ n sl e em cuj superfície pln, cincidente cm referênci grvitcinl, tu pressã tmsféric d lcl nde medid é feit. Prtnt, em mbs s

19 Pul Lenel Librdi 19 situções, ssume-se que energi intern d águ é mesm, ist é, mesm tempertur, mesm cncentrçã slin, enfim tud é igul n que diz respeit às cndições energétics interns d águ. De crd cm este mdel, prtnt, únic diferenç que existe entre s águs ns dus situções de equilíbri (n sl e pdrã), sã s cmps de frç externs els. Cm tendênci universl de qulquer crp n nturez, entre dus situções de equilíbri, é mver-se de nde su energi ptencil ttl é mir pr nde el é menr, mesm crre cm águ n sl. N entnt, n cs d águ n sl, é mis cnveniente utilizr energi ptencil ttl d águ pr unidde de mss de águ u energi ptencil ttl específic d águ (J kg -1 ), resultnd que mviment d águ n sl se dá sempre d psiçã nde su energi ptencil ttl específic é mir pr psiçã nde el é menr. O cnceit de ptencil ttl d águ n sl fi intrduzid cm intuit de estbelecer sentid d mviment d águ entre dus psições num mei prs, sem cnhecer s vlres individuis d energi ptencil ttl específic d águ em cd psiçã. Assim, send ε energi ptencil ttl específic d águ (em equilíbri) n sl e ε energi ptencil ttl específic d águ (em equilíbri) pdrã, diferenç ε ε é, pr definiçã, ptencil ttl d águ n sl φ t : φ φ ε ε [J kg -1 ]. (37) t = Cnsidernd, gr, dus psições A e B n perfil d sl, ns quis evidentemente ( ) = εa εe φt( B) εb ε t A =, entã φ t ( A) φt( B) = ( εa ε ) ( εb ε0) = εa εb 0, u sej, cm energi ptencil ttl específic d águ pdrã deve ser mesm ns dus psições, medind-se ptencil ttl nesss dus psições btém-se vlr d diferenç εa - εb pr mei d diferenç φ t (A) - φ t (B), sem necessidde de se cnhecer individulmente εa e εb. Desse md, se num determind mment φ t (A) >φ t (B), mviment d águ é de A pr B prque ε A > εbe se φ t (B) >φ t (A), de B pr A prque ε B > εa. Qund φ t (A) = φ t (B), temse evidentemente um cndiçã em que nã há mviment de águ entre A e B, prque εa = εb (equilíbri). É imprtnte lembrr nesse mment que, pr mviment crrer, é precis que hj um cntínu de águ entre s psições A e B.

20 20 Pul Lenel Librdi Cd tip de energi ptencil que estiver tund n águ dentr d sl d rigem um ptencil cmpnente d ptencil ttl d águ n sl, evidentemente tmbém express n unidde energi/mss (J kg -1 ). Entretnt, s ptenciis d águ n sl (ttl e cmpnentes) pdem tmbém ser expresss cm bse n vlume (J m -3 ) e n pes (J N -1 ) d águ e é fácil verificr que: ) pr trnsfrmr vlr de um ptencil n unidde J kg -1 n unidde J m -3, bst multiplicr vlr em J kg -1 pel densidde d águ ρ e b) pr se bter vlr n unidde JN -1, bst dividir vlr em Jkg -1 pel celerçã d grvidde g u dividir vlr em J m -3 pel densidde d águ e pel celerçã d grvidde. Assim, pr um dd medid M1 [J kg -1 ] de ptencil, tem-se que: send M [ Jkg ] = M [ Jm ] = M [ JN ] (38) 1 M2 M 1 2 = ρ e M = 3 M1 / g u M /. 3 = M2 ρ g Pr exempl, cnsidernd ρ = 1000 kg m -3 e g = 9,8 N kg -1, result que 10 J kg -1 = 10 4 J m -3 = 1,02 J N -1. Pr utr ld, J m -3 = N m m -3 = N m -2 = P e J N -1 = N m N -1 = m, ist é, unidde energi/vlume é igul à unidde de pressã e unidde energi/pes é igul à unidde de cmpriment. Prtnt, expressã (38) pde tmbém ser escrit cm 3 1 M 1[ Jkg ] = M2[ P] = M3[ m]. (39) Send um unidde de pressã, vlr d ptencil M2[P] pde ser cnsiderd cm idêntic vlr d pressã de um clun de águ cusd pel cmp grvitcinl terrestre ρgh [P], em que h é ltur d clun de águ (m águ), u sej, M2[ P] ρ gh[ P]. (40) Dividind expressã (40) pr ρg result que [ mágu] M3[ m] h (41) vist que M2/ρg = M3. Ou sej, vlr d medid M3 [J N -1 ] u M3 [m] é idêntic vlr d pressã de um ltur de águ h [m águ], pdend-se, prtnt, dizer que M3 [J N -1 ]= M3 [m]=m3 [m águ].

21 Pul Lenel Librdi 21 A seguir, serã estudds s ptenciis cmpnentes d ptencil ttl d águ n sl Ptencil grvitcinl d águ n sl Sbe-se d Mecânic que energi ptencil grvitcinl de um crp num dd psiçã n cmp de frç grvitcinl d Terr é medid em relçã seu vlr, nul, um distânci infinit d centr d plnet. Pr utr ld, diferenç de energi ptencil grvitcinl Eg entre dus psições n mesm verticl, reltivmente próxims entre si e lclizds pels distâncis rdiis r e r em relçã centr d Terr pde ser escrit cm: E = mg( r r), (42) g send m mss d crp, g celerçã d grvidde, r definind psiçã cnsiderd d crp e r definind psiçã de um referênci reltiv rbitrári denmind Referênci Grvitcinl RG. Prtnt, Eg represent increment de energi ptencil grvitcinl que crp dquire qund de seu deslcment d psiçã r pr psiçã r cntr u fvr frç d grvidde. Cnsequentemente, devid pens à diferenç r r e cnsidernd águ n sl (de mss m) cm send crp em estud, ptencil ttl definid pel equçã (37) trn-se cmpnente ptencil grvitcinl d águ n sl φg n psiçã cnsiderd, qul tend em cnt equçã (42) é dd, n unidde energi/mss, pr: 1 ( r r ) [ J ] φ = ε ε = kg (43) g g g g e, ns uniddes energi/vlume [P] e energi/pes [m m águ], pr e g g g ( r r ) φ = ε ε = ρ g (44) φ g = εg εg = r r, (45) respectivmente, em que ρ = m/v é densidde d águ n sl, cnsiderd cnstnte, εg é energi ptencil grvitcinl específic d águ n psiçã cnsiderd (à distânci rdil r d centr d Terr) eε g é energi ptencil grvitcinl específic d águ n RG (à distânci rdil r d centr d Terr). Chmnd, entã, vlr d distânci (verticl) d psiçã cnsiderd à psiçã d referênci grvitcinl, de Z, ist é,

22 22 Pul Lenel Librdi Z = r, (46) r reescrevem-se s equções (43), (44) e (45) cm: φ g = gz [ Jkg 1 ], (47) e φ g = ρ gz [P] (48) φ = Z [ m mágu], (49) g respectivmente, send que vlr d distânci verticl Z e, prtnt, d ptencil grvitcinl φg, será um vlr psitiv se psiçã cnsiderd estiver cim d RG (r > r), um vlr negtiv se estiver bix d RG (r < r) e um vlr nul se fr cincidente cm cm RG (r = r). Prtnt, pr determinr φg num psiçã cnsiderd n perfil pels equções (47), (48) u (49), é precis pens um régu pr medir distânci verticl Z dest psiçã à RG. É evidente, prtnt, que vlr d ϕg depende d psiçã esclhid pr RG. N entnt, é fácil verificr que vlr d diferenç de ϕg entre dus psições cnsiderds n perfil independe d psiçã d RG, dí ser est rbitrári, cm já mencind, e devend ser cnvenientemente fixd pr cd situçã de cálcul d φg Ptencil de pressã d águ n sl Num sl cm estrutur rígid, este cmpnente d ptencil ttl só se mnifest sb cndiçã de sturçã. Pr defini-l, cnsidere-se Figur 9 que mstr águ em equilíbri num sl sturd. Nest figur, cm se pde ver, ptencil grvitcinl d águ ϕg é menr em A d que em B. Entretnt, cm águ está em repus, seu ptencil ttl ϕt deve ser igul em tds s A pnts d seu crp. Cnsequentemente, se ptencil ttl φ t em A é igul ptencil ttl em B, deve existir utr cmpnente x de ϕt lém de ϕg, ist é, que ϕt = ϕg + x, cuj diferenç xa xb A B é igul em mgnitude ms de sinl cntrári d diferenç φ (ver equçã 50 seguir), u sej, deduzind, send φ t = φg + x, g φg B φ t

23 Pul Lenel Librdi 23 P P P P P P h B h h A B A Z Z B Z A Referênci Grvitcinl Figur 9 - O ptencil de pressã d águ, ϕp=ρgh, num sl sturd. prtnt, u, cnsidernd s psições A e B, φ = φ + x t g φ φ A t B t = φ A g φ B g + x x A B A B e, cm φ = φ pel equilíbri (repus), entã: t t x A x B A B ( φ ) = φ. (50) g A Pel definiçã de ϕg n unidde energi/vlume (equçã 48), tem-se que φ = ρ gz e g g A φ = ρ gz (Figur 9), pel que B g B x A x = ρ g B ( Z Z ) B A u, cm Z B Z = h h, A A B x A x = ρ gh ρ gh, B A B u sej, cm xa, n unidde energi/vlume, é equivlente à pressã de águ ρgha exercid em A e xb equivlente à pressã de águ ρghb exercid em B, tribui-se nme ptencil de pressã d águ

24 24 Pul Lenel Librdi ϕp pr cmpnente x de ϕt, u sej, pr um psiçã qulquer um prfundidde h d sl sturd (Figur 9): p [ P ] φ = ρ gh. (51) Evidentemente, n superfície d águ (h = 0), ϕp = 0. Prtnt, ptencil de pressã d águ n pnt em cnsiderçã num sl sturd é, n unidde energi/vlume, pressã d clun de águ exercid n referid pnt. Trnnd gr explícit águ pdrã n definiçã d ptencil de pressã, em cnfrmidde cm definiçã d ptencil ttl, cnsidere-se esquem d Figur 10 que mstr águ n psiçã cnsiderd (psiçã A) e águ pdrã (psiçã B). P h P P A Águ cm energi ptencil ttl de ttl pressã ε (pnt específic cnsiderd específic ε n pnt A, ε p sb (psiçã pressã cnsiderd cnsiderda) P +P +ρ A gh.) B P RG Figur 10 - Definiçã d ptencil de pressã. Anlisnd est figur, verific-se fcilmente que únic diferenç entre águ n psiçã A e águ n psiçã B é existênci d crg hidráulic h que tu em A; bserve-se que ptencil grvitcinl é nul em mbs s psições. Neste cs, prtnt, pr que ptencil ttl, definid pel equçã (37), trne-se cmpnente ptencil de pressã d águ ϕp n psiçã A, u sej, que φ = φ = ε ε = ε ε, send εp energi ptencil de pressã específic d águ n t psiçã cnsiderd e p cnsnânci cm equçã (51), que p p Águ Águ Á pdrã pdrã cm cm cm energi energi energi ptencil ptencil ptencil ttlde ttl ttl ífic espec ε ε (pnt B) específic pressã específic ε (pnt B, sb (pnt (psiçã pressã B) B) P +P ). ε p ε p energi ptencil de pressã específic d águ pdrã, result, em φ p = εp εp = ρgh [P], (52)

25 Pul Lenel Librdi 25 send que εp só pde ser igul uniddes: P + P' + ρgh e ε p só pde ser igul P + P'. Ns utrs dus ρgh 1 φ p = εp εp = = gh [ Jkg ] (53) ρ e ρgh φ p = εp εp = = h [ m mágu ]. (54) ρ g Nte-se que, se fr permitid um cmunicçã entre A e B, águ fluirá nturlmente n sentid de A pr B prque ε ε = ε ε 0. p p Em fce de su definiçã, ptencil de pressã φp pde ser determind medind cmpriment h d clun de águ que tu cim d psiçã de medid. N cmp, ist é feit inserind um piezômetr n sl, djcente à psiçã nde se desej cnhecer φp, e mede-se prfundidde h d psiçã bix d superfície livre de águ n piezômetr (Figur 11). Prtnt, piezômetr superfície d sl lençl freátic h pnt psiçã em cnsiderd questã Figur 11 - Ilustrçã d medid de φp num determind pnt n sl bix de um lençl de águ, pr mei de um piezômetr.

26 26 Pul Lenel Librdi vlr d ptencil de pressã é sempre psitiv u n mínim igul à zer, u sej, φp 0. A situçã φp = 0 crre qund psiçã cnsiderd cincide cm superfície de águ livre n piezômetr Ptencil mátric d águ n sl Cnsidere-se um determind mstr de sl cm águ n seu espç prs. É fácil verificr que qunt mis sec estiver mstr mir é quntidde de energi necessári pr retirr águ d seu interir. Iss mstr que sl retém águ n seu espç prs cm frçs cujs intensiddes umentm cnfrme seu cnteúd de águ diminui. Esss frçs, pr se mnifestrem devid à presenç d mtriz d sl, sã denminds frçs mátrics, estã relcinds s já mencinds fenômens d cpilridde e dsrçã e dã rigem ptencil mátric que será definid lg seguir. Distinguem-se ssim dis tips de frç mátric: ) frç cpilr, respnsável pel retençã d águ ns prs cpilres ds gregds e b) frç de dsrçã, respnsável pel retençã d águ n superfície ds prtículs d sl. Quntificr cntribuiçã de cd um desses tips de frç n ptencil mátric é prticmente impssível n fix de cnteúd de águ n sl que s plnts nrmlmente se desenvlvem. O que se pde dizer em terms qulittivs é que, lg pós drengem livre de um sl sturd n cmp, s frçs cpilres sã dminntes e que, à medid que sl sec prtir dí, dsrçã vi dquirind mir imprtânci. Pr definir ptencil mátric d águ n sl, cnsidere-se esquem d Figur 12 que mstr águ num sl nã sturd (psiçã A) e águ pdrã (psiçã B), mbs num mesm ct e, prtnt, cm mesm energi ptencil grvitcinl. A únic diferenç entre s dus águs é ft de quel n sl estr sujeit frçs mátrics e ter pr iss su liberdde de mviment reduzid em relçã àquel livre (pdrã). Pr utrs plvrs, águ n sl nã sturd (psiçã A) pssui, pr cus d mtriz, um energi ptencil ttl menr d que águ pdrã (psiçã B). Assim, cm em B águ tem um energi ptencil ttl específic igul à energi ptencil de pressã específic ε = P' (cm n cs d Figur 10) pr ser águ p P + pdrã, em A el tem um energi ptencil ttl específic igul à energi ptencil de pressã

27 Pul Lenel Librdi 27 P P A B RG P -pp m Pp Águ cm energi ptencil mátric específic ε m (psiçã cnsiderd A - sl nã sturd) Figur 12 - Definiçã d ptencil mátric. Águ pdrã cm energi ptencil de pressã específic (psiçã B) ε p específic ε P = P0 + ( P' pm) menr d que ε p d quntidde pm pr cus d diminuiçã de P pels frçs mátrics: cpilr e/u de dsrçã (desã). Dí dizer-se tmbém que águ em A tem um energi ptencil mátric, nã de pressã, específic ε = P + ( P' p ). m 0 m Prtnt, ptencil ttl definid pel equçã (37) trn-se neste cs cmpnente ptencil mátric d águ n sl φm: φ = ε ε = p, (55) m m p m u sej, φm represent energi ptencil mátric específic d águ n sl em relçã à energi ptencil de pressã específic d águ livre (pdrã) u simplesmente que φm represent energi (ptencil específic) de retençã d águ n sl. N equçã (55), ϕm=-pm [P], pel que ns uniddes energi/mss e energi/pes, ϕm=-pm/ρ e ϕm=-pm/ρg, respectivmente. É fácil perceber que nme ptencil de pressã pderi se mntid pr diferenç εm ε p cujs vlres serim negtivs. Ess nmencltur, ist é, utilizçã de um nme únic (ptencil de pressã) tnt pr sl sturd (vlres psitivs) cm pr sl nã sturd

28 28 Pul Lenel Librdi (vlres negtivs) tem sid dtd pr lguns utres. Aqui, entretnt, será dtd nme ptencil mátric pr sl nã sturd e nme ptencil de pressã pr sl sturd. mátrics (pm=0) cm ( ε < m ε p Pel equçã (55) percebe-se que, nã ser n cs prticulr de usênci de frçs ε m = ε p e entã φ m = 0, ptencil mátric é sempre um quntidde negtiv ). Pr nã trblhr cm númers negtivs, é cmum utilizçã d term tensã d águ n sl τ, ist é, em vez de se dizer, pr exempl, que ptencil mátric d águ n sl φm é -30 kp, diz-se que tensã d águ n sl τ é 30 kp, u sej,τ =-φm. 3 Curv de retençã Cm se cbu de ver (equçã 55), ptencil mátric represent energi ptencil mátric específic (pr unidde de vlume, mss u pes de águ) d águ n sl nã sturd em relçã à energi ptencil de pressã específic (pr unidde de vlume, mss u pes de águ) d águ pdrã. Devid à hetergeneidde ds prs d sl, cm frms e tmnhs muit vriáveis de um sl pr utr, nã é pssível se bter um equçã teóric pr ptencil mátric cm n cs d ptencil grvitcinl e d ptencil de pressã. Entretnt, pr ser este ptencil funçã d cnteúd de águ n sl, send tnt menr qunt mis sec estiver sl, frm desenvlvids prelhs pr mei ds quis se pudesse buscr um crrelçã entre ele e cnteúd de águ n sl. A curv resultnte dess crrelçã recebeu nme de curv de retençã d águ n sl u simplesmente curv de retençã. Os prelhs trdicinis desenvlvids pr determinçã dess curv sã s funis de plc prs (Hines, 1930) e s câmrs de pressãde rcm plc prs (Richrds, 1941, 1947, 1948), s quis têm teri d cpilridde cm bse de seu funcinment. 3.1 Funil de plc prs Pr fcilidde, será cnsiderd n discussã seguir que s meniscs ns tubs cpilres sã esférics. Assim, Figur 13 represent experiment trdicinl de demnstrçã d scensã

29 Pul Lenel Librdi 29 cpilr cm tubs de diverss frms. Nel, enqunt n tub A, cpilr em td seu cmpriment, desnível h se frm nturlmente, ns tubs B e C iss nã é pssível pr cus ds sus prtes nã cpilres. N entnt, se frem preenchids s prtes nã cpilres destes tubs, elevnd nível d superfície d águ n cub té ltur h', ist é, té que prçã cpilr sej tinjid, menisc é frmd e clun é mntid em h, sem necessidde de que nível permneç em h' qul pde, entã, ser rebixd à psiçã riginl esgtnd-se águ trvés d Plc prs h' H h h T A B C D Figur 13 - Tubs cpilres cm diferentes vlumes de águ. trneir T (Figur 13). Imgine-se, n entnt, que nível d superfície d águ n cub d Figur 13 sej mntid ltur h'. Pel equçã de Kelvin, vlr d scensã é h, ms, cm há um cmpriment de tub igul H-h' menr d que h, cim d superfície d águ n cub, evidentemente águ sbe té fim deste cmpriment e dquire um menisc mis pln, cuj ri de curvtur deve ser extmente igul h/(h-h') vezes quele que el dquiriri nrmlmente, ist é, se huvesse um cmpriment mínim h de cpilr cim d superfície pln d águ n cub. Pr exempl, se H-h'=h/2, vlr d ri de curvtur d menisc n extremidde d tub A será dbr

30 30 Pul Lenel Librdi d vlr nrml. Este ft é depreendid fcilmente d equçã (7) de Kelvin segund qul h é inversmente prprcinl R, send 2σ/ρ g cnstnte de prprcinlidde. Anlisnd gr tub C d Figur 13, bserv-se que há cinc pequens tubs cpilres. Em vez de cinc, pderi hver dez, vinte, cem, u muit mis. Um mneir prátic de bter mir númer pssível de cpilres cm n tub C, cnsiste em utilizr um plc prs (de cerâmic, pr exempl) cnfrme tub D d figur. O idel é que plc prs tenh tds s seus prs cpilres iguis, cm mesm diâmetr, ms n relidde iss nã crre; nã sã iguis e nem unifrmes. N entnt, tend plc um espessur pequen (d rdem de 5 mm) e cnsidernd que vlr de h deve ser sempre menr d que vlr máxim clculd pel equçã (56) seguir, pde-se dizer que s meniscs ns seus cpilres cincidem prticmente cm superfície d plc, pr qulquer vlr de h (Figur 13). O tub D d Figur 13 pde ser cnfeccind de tl mneir se trnr um funil de hste prlngd e flexível pr mei d qul se pde umentr u diminuir h pel bixment u elevçã d nível de águ mntid cnstnte em su extremidde pr um dispsitiv simples (Figur 14). Pr ser um funil munid de um plc prs n prte inferir d seu crp, recebe denminçã de funil de plc prs. Cm depreende d equçã (7), ument de h fz cm que s ris de curvtur ds meniscs ns cpilres d plc prs decresçm, ist é, sus interfces sejm puxds pr bix. Ist, entretnt, cntece té limite máxim qund ri de curvtur d menisc ns prs d plc se trn igul ri r ds prs. Ness situçã limite, equçã (7) u (9) de Kelvin se trnm, prtnt, 2σ hmx =. (56) ρgr Um vlr mir d que h mx resultrá em rmpiment ds meniscs e pssgem de r trvés d plc. Prtnt, qunt menr r mir h mx, que tmbém é denmind vlr de entrd de r d plc prs. Entretnt, prticmente, vlr máxim de h que se cnsegue é 8,5 m, mesm que vlr de r permit um h mx mir, devid fenômen d cvitçã. Resumidmente, este fenômen cnsiste n seguinte: à medid que se ument ltur h, pressã intern n menisc diminui (lembre-se que pressã intern n menisc é P p e p = ρgh = increment d pressã

31 Pul Lenel Librdi 31 intern devid à curvtur d superfície); est diminuiçã d pressã intern fz cm que r e vpr de águ sim d líquid e cncentrem-se sb plc, quebrnd cntinuidde d clun de águ que entã se desprende d plc, nrmlmente qund h 8,5 m. P P P funil de plc prs A P - p plc prs P h tub flexível B P RG () (b) dispsitiv pr mnter nível de águ cnstnte Figur 14 - Funil de plc prs dptd cm um hste flexível: () plc prs cm superfície ds meniscs ns seus prs, pln e (b) plc prs cm superfície ds meniscs ns seus prs, côncv, cm p = ρgh. Referind-se à Figur 14b, percebe-se que n psiçã B se tem águ pdrã cm su interfce pln e que n psiçã A (plc prs) se tem águ n pr cpilr cm su interfce côncv. Devid est curvtur côncv d águ ns prs d plc, energi ptencil mátric específic d águ εm (psiçã A lg bix d cmd tiv) é menr d que energi ptencil de pressã específic d águ pdrã ε p (psiçã B tmbém lg bix d cmd tiv), prque em

32 32 Pul Lenel Librdi A εm = P+P' - p e em B ε p = P+P'. Nte-se que se está cnsidernd pm=p, ist é, que n plc u mtriz prs retençã d águ se dá pens pr cpilridde. Lg, cm bse n equçã (55), φ = ε ε = p [P] (57) m u tend em cnt que cnfrme equçã (5) p = ρgh (Figur 14b), entã m p u ind φ gh m = ρ [P], (58) 1 [ ] p φ m = = gh Jkg (59) ρ p φ m = = h [m mágu]. (60) ρ g Sej gr um mstr de sl de espessur menr pssível z clcd em cntt melhr pssível cm plc prs d funil. A seguir, sej nível de águ n tub flexível elevd té ltur d tp d mstr fim de sturá-l. Depis de cert temp, qund se tem certez que mstr fi bem sturd, sej nível de águ n tub flexível clcd cincidente cm superfície d plc prs, cm que se elimin td águ de fr d mstr e cheg-se à situçã de equilíbri d Figur 15. A seguir, sej nível de águ n tub flexível bixd de um ltur h d plc prs (Figur 15b): cm iss que se fz é um sucçã de h m águ que retir td águ d mstr cm energi ptencil específic de retençã menr d que h, gtejnd- trvés d pequen síd d dispsitiv que mntém nível de águ cnstnte n extremidde d tub flexível. Evidentemente vlr de h plicd deve ser sempre menr d que hmx (equçã 56) d plc, pr que nã hj rmpiment ds meniscs e pssgem de r trvés plc. Atingid equilíbri, ist é, ssim que gtejment prr, situçã d Figur 15b é idêntic d Figur 14b, cm diferenç de que se tem um mstr de sl nã sturd em perfeit cntt cm plc prs, u sej, trvés ds prs d plc águ n funil encntr-se em cntt e em equilíbri cm águ n sl. Lg, s mesms equções (58, 59 u 60) se plicm, u sej, sucçã h [m] u ρgh [P] e gh [Jkg -1 ] cm sinl mens represent ptencil mátric d águ n sl. Pr utrs plvrs,

33 Pul Lenel Librdi 33 ssim que se bix nível de águ n tub flexível de um ltur h (mntend RG cincidente cm A), diminui-se rpidmente vlr de ϕt(b)=0 pr ϕt(b)= ϕg(b)=-h [m] e, cm n ext mment deste prcediment ϕt(a)=0, result que ϕt(a) ϕt(b) e, pr iss, águ cmeç mvimentr-se de A pr B, dessturnd sl que vi dquirind um ptencil mátric ϕm(a) cd vez menr, gtejnd águ retird d sl trvés d pequen síd d dispsitiv que mntém nível de águ cnstnte em B. Este mviment é, entã, reltivmente rápid n iníci [ ϕm(a)=0] e vi diminuind cnfrme sl vi perdend águ [ ϕm(a)<0] té que nvmente ϕt(a)=ϕt(b) cm prd d gtejment (Figur 15b). Nest nv situçã de equilíbri, gr cm RG cincidente só cm B (águ pdrã), ϕt(a)=ϕm(a)+ϕg(a) u ϕt(a)=ϕm(a)+h [m] e ϕt(b)=0. Cm ϕt(a)= ϕt(b), result que ϕm(a)=-h [m] u ϕm(a)=gh [Jkg -1 ] u ind ϕm(a)=ρgh [P], cm ns equções (60), (59) e (58), respectivmente, sem utilizçã d equçã (5). Figur 15 - Prcediment pr medid de φm cm funil de plc prs: () situçã de equilíbri cm mstr de sl sturd (h=0) e (b) situçã de equilíbri cm mstr de sl nã sturd pós plicçã d sucçã h, mstrnd em mbs s situções águ n sl/plc (psicã A) e águ pdrã (psiçã B). Pr elbrçã d curv de retençã d águ n sl cm funil de plc prs, repete-se, pr diverss vlres de h, prcediment indicd n Figur 15 determinnd-se, depis de tingid equilíbri cm cd vlr de h selecind, vlr crrespndente d cnteúd de águ

34 34 Pul Lenel Librdi n sl. Evidentemente, de um md gerl, qunt mir h (u menr φ m ), menr deve ser cnteúd de águ n sl depis d equilíbri. O funil d plc prs é nrmlmente utilizd pr vlres de h menres d que 2 m. 3.2 Câmrs de Pressã Pr vlres de φ m menres d que -2,0 m águ té limite de -150 m águ, pde-se cmpletr curv de retençã n lbrtóri, utiliznd câmrs de r cmprimid munids de plc prs (Figur 16). Cm se pde ver pr est figur, plc prs permite cntt d águ n mstr de sl (psiçã A) cm águ pdrã (psiçã B). Estnd mstr de sl sturd, se plicr um pressã de r P n câmr, td águ n mstr de sl cm energi ptencil específic de retençã menr d que P é retird d mstr e gtej trvés d tub de medidr de pressã câmr de pressã de r P P B P tub de síd de águ P + P mstr de sl A z P - p P - p águ RG plc prs P + P cmpressr de r Figur 16 - Câmr de pressã de r cm plc prs pr elbrçã d curv de retençã. síd d câmr. Além diss, à semelhnç d funil, frmm-se ns cpilres d plc meniscs côncvs ns quis (psiçã A) tu pressã P + P + P p e, cm n águ pdrã (psiçã B) tu pressã P + P, entã, qund prr de gtejr (equilíbri), é clr que P + P + P p = P + P e, send, n unidde energi/ vlume, εm = P + P p (psiçã A) e ε = P' (psiçã B), entã m ε m P = ε p φ = ε ε, que m p P + +. Prtnt, n cndiçã de equilíbri, tem-se, pel definiçã de φm, ist é, p φ = ε ε = P [P]. (61) m m p

35 Pul Lenel Librdi 35 N unidde energi/mss, P 1 φ m = εm εp = [ Jkg ] (62) ρ e, n unidde energi/pes, P 1 φ m = εm εp = [ JN = m = mágu]. (63) ρ g Nte-se que qui tmbém, cm n funil, está-se ssumind que pm=p, ist é, cnsidernd-se pens fenômen d cpilridde. Nte-se ind que cm P + P + P p = P + P n equilíbri, result que P=p. Resumidmente, prcediment de utilizçã d câmr cnsiste em sturr mstr de sl, tmbém neste cs de espessur z menr pssível, plicr pressã de interesse P e pós equilíbri, qund tub de síd prr de gtejr, medir vlr d cnteúd de águ cm que ficu mstr; repete-se prcediment pr váris vlres de P e elbr-se curv. A explicçã d prquê φm = -P cm câmr de pressã pde, à semelhnç de cm se demnstru pr funil, tmbém ser dd d mneir seguir. Percebe-se fcilmente que enqunt tub de síd estiver gtejnd, evidentemente ϕt(a) ϕt(b) e vlr de ϕm estrá diminuind um vez que sl estrá send dessturd. Qund prr de gtejr (equilíbri), vlr de ϕm é tl que cmpens pressã plicd P. Nest cndiçã de equilíbri, prtnt, mstr de sl encntrse nã sturd cm determind ptencil mátric φm; ms fic sujeit tmbém à pressã de r P + P, prtnt, cm um ptencil pneumátic φn = P, pr trtr-se de pressã de r: φ ε ε = ( P + P P P, em que ε = ( P 0 P) = energi ptencil pneumátic específic d n = n n 0 ) 0= n + águ n sl/plc (psiçã A) e ε n = P0 = energi ptencil pneumátic específic d águ pdrã (psiçã B). Prtnt (Figur 16), φ ( A) = φ + φ = φ Pe φ ( B) = 0 t ( ) φ ( B) A t t m n m + φ =, result imeditmente que ϕm=-p, idêntic à equçã (61)!. t. E cm n equilíbri Cmprnd s funcinments d funil e d câmr, verific-se que diferenç entre eles é mneir cm se fz retird d águ d mstr de sl: enqunt que cm funil se plic um sucçã h sb mstr/plc, cm câmr plic-se um pressã P sbre mstr/plc.

36 36 Pul Lenel Librdi Cm n cs d funil pr plicçã de h, que limit vlr de P ser plicd é prsidde d plc. Plcs cm prs pequens suprtm evidentemente um pressã mir P sem rmpiment d menisc ns seus prs cpilres. A pressã de r máxim Pmx que plc suprt é denmind pressã de brbulhment d plc. N cmérci, encntrm-se plcs prss cm pressã de brbulhment de 100, 300, 500 e 1500 kp. Pr vlres de pressã de kp, utiliz-se um câmr de pressã tmbém cnhecid pel nme ppulr de pnel de pressã, pel semelhnç n frm cm pnel de us dméstic. Pr vlres de pressã de kp, utiliz-se um utr câmr, de cnstituiçã mis rbust e frm mis chtd pr suprtr estes lts vlres de pressã. Tmbém n cs ds câmrs de pressã, bm cntt entre plc prs e mstr de sl é primrdil, fim de que cntt hidráulic entre mbs sej sempre mntid. Mdel de vliçã d distribuiçã d tmnh d pr d sl prtir d curv de retençã pel teri d cpilridde Embr cm este mdel nã se pretend quntificr tmnh rel ds prs d sl, cm será esclrecid seguir, ele nã deix de ser um pçã interessnte ser utilizd. N brdgem, será cnsiderd curv de retençã pr secgem. N curv pr mlhgem, rcicíni é mesm pens invertend-se sentid d prcess, ist é, enqunt n curv pr secgem s prs sã esvzids pr ument de tensã, n pr mlhgem s prs sã preenchids cm águ pr diminuiçã de tensã. Inicind desenvlviment d mdel, cnsidere-se gráfic d Figur 17 que mstr um curv de retençã típic tend cm bsciss lgrítm d tensã d águ n sl τ vrind de 0, m águ e cm rdend cnteúd de águ n sl à bse de vlume θ vrind de 0,548 0,252 m 3 m -3, respectivmente, send θ = 0,550 m 3 m -3 cnteúd de águ n sl sturd, numericmente igul à prsidde d sl α. Assim, cm já explicd, qund se plic um sucçã h [m] pr mei d funil de plc prs u um pressã de r P [P] pr mei d câmr de pressã de r cm plc prs, águ n sl fic cm um tensã τ=h [m] u τ=p [P], respectivmente, n equilíbri e, pel mdel, sã esvsids s prs d mstr de ri rs mir d que clculd pel equçã

37 Pul Lenel Librdi 37 r s 2σ = (64) ρ gh qund se utiliz funil u pel equçã r s 2σ = (65) P qund se utiliz câmr. Nte-se que, n relidde, s equções (64) e (65) sã idêntics n frm, vist que P=p=ρgh: que mud, cm já nterirmente esclrecid, é mneir de retirr águ d sl. As equções (64) e (65), cm se pde ntr, sã equçã (9) d cpilridde pr α=0 e vlres de h e P menres d que hmx e Pmx d plc, respectivmente. Figur 17- Curv de retençã d águ n sl (θ em funçã de lg τ). É imprtnte esclrecer que sl nã é um simples tub cpilr, ms um cmpsiçã irregulr de prs e cnis frmds pr seus sólids. Cnsequentemente, é clr que embr n determinçã d curv de retençã pr mei d funil e d câmr de pressã cm plc prs s interfces águ-r ns prs cpilres d sl/plc estejm tds cm mesm vlr de τ, els nã

38 38 Pul Lenel Librdi sã iguis em tds s pnts d sl (nem d plc) e nem se cmdm em prs de secçã trnsversl circulr, pel que vlr de rs que se btém pels equções (64) u (65) só pde ser cnsiderd cm de um ri equivlente sem qulquer tenttiv de quntificçã d ri rel. Dds ests infrmções, elbr-se, prtir d curv d Figur 17, gráfic d Figur 18, n qul se tem, n eix ds bscisss, lgrítm d ri equivlente rs, clculd pel equçã (64) u (65) cnsidernd σ=0,07275 Nm -1, ρ=1000 kgm -3 e g=9,8 ms -2, e, n eix ds rdends, sturçã reltiv Sr, definid pr Sr=(V/VP)= θ/α, u sej, curv d Figur 18 é gráfic d equçã Sr = F(lg rs) n pln (lg rs, Sr). Figur 18 Curv d funçã frequênci cumuld de ris Cnfrme su definiçã, sturçã reltiv é um índice que mede frçã chei de águ d vlume de prs de um mstr de sl. N entnt, pr um dd rs n curv d Figur 18, el cntinu send frçã chei de águ d vlume de prs d mstr, ms neste cs ds prs de ri menr d que rs. Além diss, cm curv dest figur fi cnstruíd prtir d curv de retençã (Figur 17) utiliznd equçã (64) u (65), percebe-se que, pr um vlr de rs tendend

39 Pul Lenel Librdi 39 pr infinit (τ tendend pr zer), sturçã reltiv tende pr unidde (td vlume de prs d mstr chei de águ) e, pr um vlr de rs tendend pr zer (τ tendend pr um vlr muit lt), el tende pr zer (td vlume de prs d mstr sem águ, embr n prátic usul de determinçã d curv de retençã nunc se cheg esvsiment de td vlume de prs d mstr). Pde-se dizer, prtnt, que, n curv d Figur 18, F(lg rs) vri de 0 1 u de 0 100%. Assim, pr qulquer vlr de rs, pr exempl 10 µm, pr qul, pel curv, F(lg 10 µm)=0,615 u 61,5%, diz-se que 0,615 u 61,5% d vlume de prs d mstr está chei de águ e crrespnde vlume ds prs de ri menr d que 10 µm. Percebe-se, prtnt, que independentemente de se cnsiderr prs cheis de águ, funçã F(lg rs) d Figur 18 é rzã entre vlume ds prs de ri menr d que rs e vlume ttl de prs d mstr, qul pdese dizer que é equivlente à rzã entre númer de prs de ri menr d que rs e númer ttl de prs d mstr u ind equivlente à rzã entre númer de ris menres d que rs e númer ttl de ris d mstr e dí, entã, ser chmd de funçã frequênci cumuld de ris d mstr. Prsseguind n desenvlviment d mdel, se equçã Sr=F(lg rs), representd pel curv d Figur 18, fr diferencid cm relçã lg rs, btém-se inclinçã d tngente à curv n pnt (lg rs, Sr), qul é tmbém funçã de lg rs, ist é, dsr/d lg rs= f(lg rs) u df(lgrs) f (lgrs) =. (66) dlgr s A curv de f(lg rs) em funçã de lg rs, cuj gráfic é mstrd n Figur 19, é prtnt curv diferencil d curv d Figur 18 e pel ft de F(lg rs) ter sid denmind funçã frequênci cumuld de ris d mstr, entã f(lg rs), send derivd de F(lg rs) cm relçã lg rs (equçã 66), é chmd de funçã frequênci de ris pr unidde de lg rs d mstr. Assim, prtir d equçã (66), pr dis ris rs1 e rs2 send rs2 rs1, tem-se que lgrs2 f (lgrs ) d lgrs = lgrs 1 lgrs2 F(lgrs ) 2 F(lgrs1) df(lgr ) u f (lgrs ) d lgrs = F(lgrs ) F(lgr ) 2 s. (67) 1 lgrs 1 s