Programa de Apoio à Produção de Material Didático. Eliete Maria Gonçalves Vanilda Miziara Mello Chueiri TRIGONOMETRIA

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2 Prgrm de Api à Prduçã de Mteril Didátic Eliete Mri Gnçlves Vnild Mizir Mell Chueiri TRIGONOMETRIA Sã Pul 008

3 Pró-Reitri de Grduçã, Universidde Estdul Pulist, 008 G65t Gnçlves, Eliete Mri Trignmetri / Eliete Mri Gnçlves [e] Vnild Mizir Mell Chueiri Sã Pul : Cultur Acdêmic : Universidde Estdul Pulist, Pró-Reitri de Grduçã, p ISBN Trignmetri I Títul II Chueiri, Vnild Mizir Mell CDD 56 Fich ctlgráfic elbrd pel Crdendri Gerl de Biblitecs d Unesp

4 Universidde Estdul Pulist Reitr Mrcs Mcri Vice-Reitr Hermn Jcbus Crnelis Vrwld Chefe de Gbinete Kléber Tmás Resende Pró-Reitr de Grduçã Sheil Zmbell de Pinh Pró-Reitr de Pós-Grduçã Mrilz Vieir Cunh Rudge Pró-Reitr de Pesquis Jsé Arn Vrel Pró-Reitr de Etensã Universitári Mri Améli Máim de Arúj Pró-Reitr de Administrçã Juli Cezr Durign Secretári Gerl Mri Dlv Silv Pgtt Cultur Acdêmic Editr Prç d Sé, 08 - Centr CEP: Sã Pul-SP Telefne: () -77

5 APOIO: FUNDAÇÃO EDITORA DA UNESP CGB - COORDENADORIA GERAL DE BIBLIOTECAS COMISSÃO EXECUTIVA Elizbeth Berwerth Stucchi Jsé Rbert Crrê Sglietti Klus Schlünzen Junir Lenr Mri Tnuri APOIO TÉCNICO Ivnette de Mtts Jsé Welingtn Gnçlves Vieir PROJETO GRÁFICO

6 PROGRAMA DE APOIO À PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO Cnsidernd imprtânci d prduçã de mteril didáticpedgógic dedicd ensin de grduçã e de pós-grduçã, Reitri d UNESP, pr mei d Pró Reitri de Grduçã (PROGRAD) e em prceri cm Fundçã Editr UNESP (FEU), mntém Prgrm de Api à Prduçã de Mteril Didátic de Dcentes d UNESP, que cntempl tets de pi às uls, mteril udivisul, hmepges, sftwres, mteril rtístic e utrs mídis, sb sel CULTURA ACADÊMICA d Editr d UNESP, dispnibiliznd s luns mteril didátic de qulidde cm bi cust e editd sb demnd Assim, é cm stisfçã que clcms à dispsiçã d cmunidde cdêmic mis est br, Trignmetri, de utri ds Prfessrs Dr Eliete Mri Gnçlves e Dr Vnild Mizir Mell Chueiri, d Fculdde de Ciêncis d Cmpus de Buru, espernd que el trg cntribuiçã nã pens pr estudntes d UNESP, ms pr tds queles interessds n ssunt brdd

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8 SUMÁRIO Apresentçã 9 Trignmetri n triângul retângul Arcs e ânguls Funções trignmétrics Funçã sen Funçã cssen Funçã tngente 8 Funçã ctngente 5 5 Funçã secnte 57 6 Funçã cssecnte 60 7 Eercícis 6 Relções trignmétrics 8 Relções fundmentis 8 Relções cnseqüentes 85 Eercícis 87 5 Reduçã de rcs qudrnte 95 6 Fórmuls de trnsfrmçã 05 6 Adiçã e subtrçã de rcs 05 6 Multiplicçã de rcs 6 Eercícis 5 6 Trnsfrmçã de sm em prdut 8 7 Equções trignmétrics 7 8 Funções trignmétrics inverss 9 8 Intrduçã 9 8 Funçã invers 0 8 Funções trignmétrics inverss 8 Funçã rc-sen 8 Funçã rc-cssen 8 Funçã rc-tngente 7 8 Funçã rc-ctngente 9 85 Funçã rc-secnte 5 86 Funçã rc-cssecnte 5 87 Eercícis 57 9 Referêncis Bibligráfics 6 Sbre s Autrs 65

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10 APRESENTAÇÃO A lng ds últims ns, vem-se cnsttnd que muits luns ingressntes ns curss superires d áre de Ciêncis Ets têm presentd flhs de frmçã mtemátic, tnt cnceituis, qunt de rcicíni lógic u de trquej lgébric Assim, prcess de ensin e prendizgem fic prejudicd, especilmente ns disciplins d primeir n desses curss Nests, s deficiêncis presentds pels luns qunt s cnteúds mtemátics fundmentis têm cusd séris prblems Tem-se cnsttd que grnde prte ds clurs tem flhs u descnhece esses cnceits fundmentis e, pr cnseqüênci, utrs relcinds Cm bjetiv de uilir s luns n estud ds funções trignmétrics, desenvlveu-se este tet, presentnd sus definições e cnceits relcinds, cm eempls cmentds e representçã gemétric Cm presentçã de eercícis detlhdmente reslvids, bjetivuse mstrr estudnte estrtégis de resluçã e encminhment, chmnd tençã pr s errs mis freqüentes, usnd td mecnicism necessári pr que ele tente tds s pssgens, u sej, td lgebrism utilizd que ele, muits vezes, descnhece Em sum, pretende-se que lun, revend bjetivmente esses cnteúds já trtds nterirmente n Ensin Médi, revisite s cnceits e dmine s técnics de que necessit pr bem - cmpnhr que é discutid ns disciplins de seu curs de grduçã Assim, este é um tet de cmpnhment pr s disciplins ds curss d áre de Ciêncis Ets que utilizem s cnceits qui - brdds, que pde ser cnsultd pel lun sempre que necessitr

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12 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO A trignmetri, cm se pde deduzir d própri plvr, trt d determinçã ds elements de um triângul D pnt de vist etimlógic, plvr trignmetri signific medid ds triânguls, send frmd pr três rdicis gregs: tri: três ; gns: ângul ; metrein: medir Os primeirs estuds sbre trignmetri tiverm rigem ns relções eistentes entre lds e ânguls em um triângul, empregds pel strônm greg Hiprc, pr vlt d n 0 C, que rgnizu diverss tbels relcinnd s rzões trignmétrics cm ânguls Hje em di, s rzões trignmétrics mis utilizds sã três: sen, cssen e tngente Eistem vestígis de um estud de trignmetri entre s bbilônis, que usvm pr reslver prblems prátics de nvegçã, strnmi e grimensur Além desss plicções, s funções trignmétrics tmbém têm ppel imprtnte n estud de tds s tips de fenômens vibrtóris: sm, luz, eletricidde etc Trignmetri n triângul retângul Cnsidere-se triângul retângul ABC, ret em A (Figur ) Sej medid d ângul lds s seguintes relções: FIGURA A ĈB Pdem-se estbelecer entre seus () Sen de : é rzã entre medid d ctet pst ângul Ĉ e medid d hiptenus, dentd pr sen Assim:

13 AB ctet pst c sen CB hiptenus () Cssen de : é rzã entre medid d ctet djcente ângul Ĉ e medid d hiptenus, dentd pr cs Assim: CA ctet djcente b cs CB hiptenus () Tngente de : é rzã entre s medids d ctet pst e d ctet djcente ângul Ĉ, dentd pr tg Assim: AB ctet pst c tg CA ctet djcente b A esss rzões dá-se nme de rzões trignmétrics Observe-se que, qund se fl em hiptenus e em ctets, está-se referind às sus medids Eempls: ) Determinr s vlres de sen, cssen e tngente ds ânguls d triângul retângul ABC, send que um ds ctets mede cm e hiptenus mede 5 cm FIGURA O triângul descrit n enuncid pde ser representd gemetricmente, cm mstr Figur Um vez que um ds ctets tem medid cm, pde-se pensr, pr eempl, que b cm; cm hiptenus tem medid 5 cm,

14 vem: b + c c b c Entã: b cm sen Bˆ sen ; 5 cm 5 c 7cm 7 cs Bˆ cs ; 5cm 5 b cm tg Bˆ tg c 7cm 7 Pr utr ld, vem: c 7cm 7 sen Ĉ seny ; 5cm 5 b cm cs Ĉ cs y ; 5cm 5 c 7cm 7 tg Ĉ tgy b cm c 7 cm ) Em um triângul ABC, ret em Bˆ, sbe-se que hiptenus mede 7,5 cm e que sen  0, 6 Determinr qunt mede cd ctet deste triângul A prtir d Figur, tem-se que: senâ 0,6 b0,6 b Cm b 7,5 cm, vem: (7,5 cm)0,6 6,5 cm FIGURA

15 ) Um triângul retângul ABC é ret em Bˆ Sbe-se que tg  e que um ds ctets mede 5 cm Determinr perímetr d triângul Cnsidere-se Figur Tem-se: FIGURA Tmnd medid c cm send igul 5 cm, vem: tg  c 5cm c Prtnt: b + c c 5 cm Lg, perímetr d triângul é: P [ ] ( )cm FIGURA 5 Observçã: cnsidere-se triângul retângul ABC d Figur 5 Têm-se: sen  e cs Ĉ sen  csĉ ; b b

16 5 c c cs  e sen Ĉ cs  senĉ b b Cm s medids de Â, Bˆ e Ĉ smm 80 e Bˆ é ret, entã 0  + Ĉ 90, u sej, esses ânguls sã cmplementres Cnclui-se que, se s medids de dis ânguls smm 90, sen de um deles é igul cssen d utr Eempls: ) Ns figurs seguintes, determinr que se pede: () sen Ĉ, send dd que cs Bˆ 8 FIGURA 6 Send 0 Bˆ + Ĉ 90, segue-se que sen Ĉ csbˆ 8 (b) ( ) cs, send dd que sen 0, 5 FIGURA 7

17 6 Send Bˆ Ĉ , segue-se que cs ( ) sen 0, 5 ) Determinr: () ( 90 ) cs, sbend que sen 0, 599 Tem-se: cs( 90 ) cs58 sen 0, 599 (b) cs, sbend que sen( 90 ) 0, 76 Tem-se: cs sen( 90 ) 0, 76 Observções: ) O sen fi definid cm send rzã entre medid d ctet pst e medid d hiptenus num determind triângul retângul Cnsidernd triângul ABC, retângul em A, d Figur 8, tem-se: b c sen ; cs FIGURA 8 Cm se viu, sen fi definid cm um rzã trignmétric, ist é, sen é um númer, um vlr resultnte de um divisã (rzã) entre s medids de dis lds de um triângul Ms, se um ds lds ument, s demis lds tmbém umentm e, curismente, rzã entre ctet pst e hiptenus mntém-se, ist é, vlr d sen depende, em últim instânci, só d medid d ângul (que pr su vez cntrl s medids ds lds desse triângul) Se fr fid um ds ânguls menres que ângul ret (pr eempl, ângul de medid ) e, prtir desse triângul, frem gerds utrs triânguls, esticnd s lds, ms mntend ângul, s

18 7 b c vlres ds rzões sen e cs permnecerã cnstntes Cm, em qulquer triângul retângul, hiptenus é ld que tem mir medid, tem-se: 0 < < 90 0 < sen < E qul é vlr d sen de 90º? Esse é um cs que se pde chmr de especil, pis em relçã ângul ret nt-se que hiptenus é ctet pst, ist é medid d ctet pst medid d hiptenus CB e, prtnt, sen de 90º é etmente Cnclusões nálgs pdem ser btids pr cssen d ângul de medid ) N triângul ABC, ret em Bˆ (Figur 9), clculr-se-á vlr d epressã ( Â) ( cs Â) sen +, indicd pr sen  + cs  Dentnd pr A medid d ângul Â, tem-se: c sena e cs A b b Entã: c + c b sen A + cs A + b b b b Esse resultd nã depende d ângul Â, u sej, ess epressã é válid sempre Assim, se é medid de um ds ânguls guds de um triângul retângul, tem-se: sen + cs FIGURA 9 Tmbém se bserv que tga ; pr utr ld, tem-se: c

19 8 sena b csa c c b Cnclui-se, ssim, que sen tg cs Eempls: sena tga, u, genericmente flnd: csa ) Se α e β sã s medids de dis ânguls guds de um triângul retângul e sbe-se que sen α, determinr cs α, tg α, sen β, cs β e tg β Cm α + β 90, segue-se que cs β senα Entã, vem: 8 sen β + cs β sen β cs β senβ 9 9 Um vez que cs α senβ, segue-se que csα Prtnt, vem: senα tg α csα e senβ tgβ csβ ) Clculr sen 5, cs 5 e tg 5 Cnsidere-se um qudrd cuj ld tem medid uniddes de cmpriment O Terem de Pitágrs permite clculr medid d dignl d qudrd, cnfrme mstr Figur 0

20 9 FIGURA 0 N triângul ABC, tem-se: + d d ; ssim, vem: sen5 cs5 tg5 ; d ; d sen5 cs5 ) Clculr sen 0, cs 0, tg 0, sen 60, cs 60 e tg 60 Sej ABC um triângul eqüiláter, cuj ld mede uniddes de cmpriment Cd um de seus ânguls interns tem medid 60 (Figur ) D triângul retângul AHC, tem-se: + h h Assim, desse mesm triângul, cnclui-se que: sen60 cs60 h ; ; h

21 0 tg60 sen60 cs60 FIGURA Um vez que , segue-se que: cs0 sen60 ; sen0 cs60 ; sen0 tg0 cs0

22 ARCOS E ÂNGULOS Arc de circunferênci É cd um ds prtes em que um circunferênci fic dividid pr dis de seus pnts (Figur ) FIGURA Observçã: se A B, esses pnts determinm dis rcs: um rc nul e um rc de um vlt Medid de um rc AB é númer rel, nã negtiv (u sej, mir u igul zer), rzã entre rc e um rc unitári u, nã nul e de mesm ri Em ntçã mtemátic, se escreve: rc( AB) rc u ( ) FIGURA

23 A medid d cmpriment d rc AB pde ser feit utiliznd-se qulquer unidde pr medir seu ri, cm metr, centímetr etc As uniddes de medid mis usuis de rcs de circunferênci sã gru e rdin Gru: rc de um gru ( 0 ) crrespnde d circunferênci 60 n qul está cntid rc ser medid (Figur ) Lg, circunferênci tem 60 0 Um pergunt que se pde fzer é: pr quê dividir circunferênci em 60 prtes iguis? A Históri d Mtemátic respnde ess questã As referêncis vltm-se s bbilônis, pv que viveu entre 000 C e 000 C e que, pr mtivs prátics, crirm um sistem de numerçã segesiml (bse 60) O númer 60 pssui um grnde quntidde de divisres distints, sber:,,,, 5, 6, 0,, 5, 0, 0, 60, rzã frte pel qul este númer tenh sid dtd Além diss, dividir um círcul em 6 prtes iguis er lg muit simples pr s especilists dquel épc, send pssível que se tenh usd númer 60 pr representr /6 d ttl que pssu ser 60 Outr ft que pde ter influencid n esclh d númer 60 é, nquel épc, estimv-se que mviment de trnslçã d Terr em vlt d Sl se relizv em um períd de primdmente 60 dis Hiprc (n sécul II C) mediu durçã d n cm grnde etidã bter 65,67 dis (vlr tulmente estimd em 65, dis) É bem prvável que sistem segesiml tenh influencid esclh d divisã d círcul em 60 prtes iguis, ssim cm divisã de cd um desss prtes em 60 prtes menres e, tmbém, n divisã de cd um desss subprtes em 60 prtes menres (s bbilônis usulmente trblhvm cm frções cujs denmindres erm ptêncis de 60) Ds epressões primeirs menres prtes prtes minute prime segunds menres prtes prtes minute secunde surgirm, prentemente, s plvrs minut e segund Assim, usse unidde de medid de ângul cm grus, minuts e segunds A unidde de medid de ângul d Sistem Interncinl é rdin, unidde lterntiv crid pel mtemátic Thms Muir e pel

24 físic Jmes T Thmsn, de frm independente N verdde, term rdin preceu pel primeir vez num trblh de Thmsn, em 87 Até finl d sécul XIX, erm pucs s que usvm ess nmencltur Outrs terms pr rdin erm: Pi-medid, circulr u medid rcul, que mstr frm lent cm que se dá lterçã de certs hábits Rdin: um rdin ( rd) é um rc unitári cuj cmpriment é igul ri d circunferênci n qul está cntid rc ser medid Em utrs plvrs, se fsse pssível esticr rc e medir cmpriment d segment s btid, esse cmpriment seri igul ri r d circunferênci (Figur ) FIGURA Em qulquer circunferênci, rzã entre seu cmpriment e seu diâmetr é cnstnte Ess cnstnte é númer irrcinl Chmnd de C cmpriment de um circunferênci e send d seu diâmetr, tem-se: C C d r d Assim, pr determinr qunt vle rc de um vlt, u sej, um rc de circunferênci, em rdins, prcede-se d seguinte mneir: rc de medid rd tem cmpriment r; rc de circunferênci tem cmpriment r Entã, pr um simples regr de três, btém-se:

25 rd r α rd r α r rd rd r Dess frm, pr um circunferênci qulquer, tem-se que 60 crrespndem rd, u sej, 80 crrespndem rd Prtnt, trnsfrmçã d medid de um rc dd em grus pr rdins (e vice-vers) é feit plicnd-se um regr de três Eempls: ) Eprimir 0 em rdins Fz-se seguinte regr de três: 80 0 rd rd 0 0 rd rd ) Eprimir rd em grus 80 Tem-se: 0 0 rd rd 80 ) Eprimir rd em grus Nvmente, fz-se: 0 rd rd Neste cs, pr se bter vlr d rc em grus, recrre-se vlr de, que cm se sbe, é um númer irrcinl e vle, primdmente,,6 Entã, vem: ,6 Pr se efetur ess divisã, é precis lembrr que 0 tem 60 (sessent minuts) e tem 60 (sessent segunds) Assim, fz-se: 0

26 Ângul centrl Um ângul centrl é quele que pssui vértice n centr de um circunferênci (Figur ) FIGURA A Figur mstr ângul centrl θ, u sej, AÔB, que determin n circunferênci rc AB A medid d ângul θ é igul à medid d rc AB que ele determin sbre circunferênci cm centr n vértice Observções: ) Cm se viu, medid de um ângul θ é igul à medid d rc AB que ele determin sbre circunferênci cm centr n vértice Assim, se unidde de medid fr gru e rc AB medir, pr eempl, 60, entã ângul θ tmbém medirá 60 Se unidde de medid fr rdin e rc AB medir, pr eempl, rd, en- 6

27 6 tã ângul θ tmbém medirá rd 6 ) Nã se deve cnfundir medid de um rc cm medid d cmpriment desse rc Pr eempl, n Figur 5, s rcs AB e CD têm mesm medid θ, ms nã têm mesm cmpriment FIGURA 5 FIGURA 6 ) Chmnd de s cmpriment de um rc e de θ su medid em rdins, send r medid d ri d circunferênci, tem-se seguinte crrespndênci: cmpriment d rc r medid d ângul centrl cmpriment d rc s medid d ângul centrl θ

28 7 r θ s r θ N Figur 6 tem-se rc de medid θ e cmpriment s Tem-se: s s r θ, u θ r Eempls: ) Em um circunferênci que tem 8 cm de diâmetr, um rc tem cm de cmpriment (Figur 7) Qul é medid, em rdins, d ângul centrl crrespndente? Tem-se: ri d circunferênci mede cm Entã: cm 6 θ rd cm 7 FIGURA 7 ) Determinr qunt vle ri de um circunferênci, sbend que um rc que mede 0 cm de cmpriment crrespnde um 5 ângul centrl de rd 6 5 Têm-se: θ rd e s 0 cm Entã: 6 s 0 s r θ r r cm θ 5 6

29 8 Arc rientd É um rc de circunferênci sbre qul se dt um sentid (Figur 8) O sentid que se cnsider psitiv é ntihrári Medid lgébric d rc rientd é medid d rc gemétric AB multiplicd pr + u pr, cnfrme sentid sej psitiv u negtiv Ntçã: AB Ns Figurs 8 e 9 têm-se, respectivmente: AB + medid d rc AB; BA - medid d rc AB FIGURA 8 FIGURA 9

30 9 Arc trignmétric Se tem-se um rc AB cuj medid, em rdins, n sentid psitiv, é 0, send 0 0 <, rc trignmétric AB é cnjunt ds númers d frm: + k ( Ζ) 0 k Observ-se, ssim, que, pr cd vlr de k, ssume um vlr numéric diferente, que recebe denminçã de determinçã psitiv u determinçã negtiv, cnfrme k sej psitiv u negtiv, cm descrit seguir: k 0 0 determinçã psitiv d rc AB k 0 + determinçã psitiv d rc AB k 0 + determinçã psitiv d rc AB k determinçã negtiv d rc AB k determinçã negtiv d rc AB Eempls: ) Determinr determinçã psitiv ds rcs seguintes 8 () 8 Efetund-se divisã de 8 pr, vem: + Assim, tem-se: + + Lg, determinçã psitiv d rc dd é 0 5 (b) 5 Efetund-se divisã de 5 pr, btém-se: + Entã:

31 0 Assim, determinçã psitiv d rc dd é (c) 5 Nesse cs, tem-se: Prtnt, (d) 6 9 Pde-se escrever: + Prtnt, tem-se: Iss signific que rc tem rientçã negtiv, crrespndend 7 um rc de circunferênci + um rc de medid, n sentid 6 negtiv Assim, pr se determinr determinçã psitiv, subtri-se esse rc de, que é medid d rc de circunferênci Arcs côngrus Dis rcs sã côngrus se sus medids presentm diferenç múltipl de (u 60 ) É clr que dis rcs côngrus têm mesm rigem e mesm etremidde Eempls: ) 5 e 75 5 ) e :

32 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Cicl trignmétric É um circunferênci rientd de ri unitári, n qul se fi um pnt A pr rigem de tds s rcs Estbelecend um sistem de crdends crtesins rtgnis cm rigem n centr d cicl trignmétric, este fic dividid em qutr regiões, chmds qudrntes, pels pnts A (,0), B ( 0,), A (,0) e B ( 0, ) A cicl trignmétric sã sscids qutr eis pr estud ds funções trignmétrics, cnfrme mstr Figur FIGURA As secntes e s cssecntes sã estudds, respectivmente, ns eis ds cssens e ds sens, cnfrme se verá dinte Funçã Sen Cnsidernd-se, n cicl trignmétric, um rc rientd AM de medid, qul determin segment rientd OM, prjeçã deste segment sbre ei ds sens é segment rientd OM Pr definiçã, tem-se que sen AM OM, u sej,

33 sen OM (Figur ) Observe que, dd um númer rel qulquer, sempre se pde sscir ele um rc AM, de medid, e, esse rc, pde-se ss- cir um únic númer rel y OM Tem-se, ssim, um funçã, chmd funçã sen, ist é: f : R R y sen() FIGURA Pr su definiçã, fic clr que vlr d sen de um rc nunc será mir d que e nunc será menr d que, já que cicl trignmétric tem ri Além diss, bserv-se que rcs que têm mesm etremidde pssuem sens iguis Assim, cd vlt cmplet n cicl trignmétric, s vlres d sen cmeçm se repetir Diz-se, entã, que funçã é periódic, de períd, que é medid de um rc de circunferênci Têm-se, ind, s seguintes infrmções sbre ess funçã: f sen Vê-se, Pridde: pr verificr pridde, fz-se: ( ) ( ) n cicl trignmétric presentd n Figur, que sen OM e que sen( ) OM OM Cnclui-se, ssim, que sen sen( ) Lg, f ( ) f ( ), u sej, f é um funçã ímpr e, prtnt,

34 seu gráfic present simetri em relçã à rigem d pln crtesin FIGURA Sinl: pel definiçã d funçã sen, est é psitiv n e qudrntes e negtiv n e qudrntes Gráfic: em gerl, estud-se funçã sen pr rcs n intervl [ 0, ], já que, cnfrme dit nterirmente, funçã é periódic de períd, que signific que seu gráfic se repete cd intervl de mplitude rdins Assim, tm-se, inicilmente, M A; depis, pnt M se mviment sbre cicl trignmétric n sentid nti-hrári (psitiv), té cmpletr um vlt Anlisnd que crre cm segment OM e cnsidernd s chmds rcs ntáveis, tem-se seguinte tbel: 0 y O gráfic de f é mstrd n Figur

35 FIGURA FIGURA 5 Observçã: pde surgir, qui, seguinte pergunt: e se fsse definid um cicl trignmétric diferente, cm ri, pr eempl? O sen ssumiri vlr em e vlr - em e estri, prtnt, vrind de -? Bem, se sen fr tmd cm send medid d segment de ret OM, cm n Figur, esquecend td um trjetóri nterir, estri crret Estri crret, ms nã seri sen que clssicmente se cnhece, pis, qund se iniciu estud d trignmetri, sen fi definid cm send rzã entre medid d ctet pst ângul e medid d hiptenus

36 5 num determind triângul retângul Sbe-se que um circunferênci tem 60º, ist é, se se fizer, pr eempl, um ângul α vrir de 0 60º ter-se-á um vlt (circunferênci) cmplet e, cnseqüentemente, ness circunferênci, sempre se pderá, prtir d ângul α, recuperr um triângul retângul (Figur 5) Tmnd-se um ri qulquer pr ess circunferênci (pr eempl, r ), ter-se-á hiptenus d triângul OM M (retângul em M ) cm medid uniddes e, ssim, sen d ângul α será M M Pr utr ld, tmnd-se ri d circunferênci igul (u sej, cicl trignmétric cm definid), hiptenus d triângul terá medid e vlr d sen será M M, que é igul à medid d segment OM, e que é etmente rdend d pnt M Assim, rdend d pnt M só representrá vlr d sen de α se circunferênci fr cicl trignmétric (u sej, se ri d circunferênci fr igul ) Nte-se, prém, que, independentemente d medid d ri, ângul α nã se lter e, prtnt, em qulquer circunferênci, sen de α será mesm Etmente pr iss, sen de nunc será mir que (mesm que circunferênci tenh ri mir que ) Eempls: ) Estudr funçã y f ( ) + sen, pr 0 É útil cnstruir um tbel, nde se tribuem s vlres pr, btend-se s de sen e de y + sen, mstrd bi sen y + sen

37 6 A Figur 6 mstr s gráfics ds funções pr efeit de cmprçã y sen e y + sen, Tem-se: Dmíni: ( f ) R D FIGURA 6 Pridde: f ( ) + sen( ) sen f ( ) f ( ) e f ( ) f ( ), u sej, funçã nã é pr, nem ímpr Vê-se, ssim, que FIGURA 7

38 7 Imgem: pel gráfic, bserv-se que cnjunt imgem d funçã dd é Im ( f ) [, ] Iss signific que s vlres d funçã dd frm trnsldds de uniddes, n direçã psitiv d ei Oy, em relçã à funçã y sen Períd: nã sfreu lterçã, u sej, é igul ) Estudr funçã y f ( ) sen, pr 0 Assim cm se fez n eempl nterir, cnstrói-se um tbel, - tribuind-se vlres cnvenientes pr vriável e btend-se, em crrespndênci, s vlres de sen e de sen, cm se vê n tbel seguinte sen y sen Tem-se, ssim, gráfic d Figur 7 Pde-se bservr que: Dmíni: D ( f ) R Prtnt, funçã é ímpr Imgem: pel gráfic, bserv-se que cnjunt imgem d funçã dd é Im( f ) [, ] Iss signific que s vlres d funçã dd frm multiplicds pr uniddes, cnsidernd-se s vlres d funçã y sen Períd: nã sfreu lterçã, u sej, é igul Pridde: f ( ) sen( ) sen f ( ) ) Estudr funçã y f ( ) sen( ), pr 0 N cs dest funçã, é útil cnstruir-se um tbel tribuind, primeirmente, vlres pr rc ( ), d qul se clculrá sen, e depis, prtir deles, bterem-se s vlres de e de y sen( ), s quis serã utilizds pr cnstruir gráfic d funçã dd, cm se segue:

39 8 y sen( ) Lcliznd, n pln crtesin Oy s vlres de e de y que cnstm d tbel cim, tem-se gráfic de f, mstrd n Figur 8 N cs dess funçã, tem-se: Dmíni: D ( f ) R FIGURA 8 Pridde: f ( ) sen( ) sen( ) f ( ) Prtnt, funçã é ímpr Imgem: pel gráfic, bserv-se que cnjunt imgem d funçã dd é Im( f ) [,], u sej, nã sfreu lterçã em relçã à imgem d funçã y sen Períd: gráfic d funçã dd mstrd n Figur 8 trn evidente que períd se lteru Pde-se bservr que há um repeti- 0,, que indic que períd çã d curv depis d intervl [ ]

40 9 d funçã é Iss crreu prque rc fi multiplicd pr y f sen é: De md genéric, períd d funçã ( ) ( ) p, nde 0 N cs d funçã deste eempl, tem-se: p ) Estudr funçã y f () sen Tmbém qui se cnstrói um tbel tribuind, primeirmente, vlres pr rc, d qul se clculrá sen, e depis, prtir deles, btêm-se s vlres de e de y sen : y sen Lcliznd, n pln crtesin Oy s vlres de e de y que cnstm d tbel cim, tem-se gráfic de f, presentd n Figur 9 Tem-se, gr: Dmíni: D ( f ) R 0

41 0 FIGURA 9 Pridde: f ( ) sen Prtnt, funçã nã é pr, nem ímpr um vez que f ( ) f ( ) e f ( ) f ( ) Imgem: pel gráfic, bserv-se que cnjunt imgem d funçã dd é Im( f ) [,], u sej, nã sfreu lterçã em relçã à imgem d funçã y sen Períd: pel gráfic d funçã dd mstrd n Figur 9 nt-se que períd nã se lteru O que huve é que gráfic d funçã está trnsldd de uniddes, n sentid psitiv d ei O, em relçã à funçã y sen Iss crreu prque se subtrírm u- niddes rc Pr ver que períd cntinu send igul, pde-se fzer: 9 p, ist é, cnsideru-se vlr finl tribuíd à vriável, mens vlr inicil

42 Funçã cssen Cnsidernd-se, n cicl trignmétric, um rc rientd AM de medid, qul determin segment rientd OM, prjeçã deste segment sbre ei ds cssens, é segment rientd OM Pr definiçã, tem-se que cs AM OM, u sej, cs OM (Figur 0) FIGURA 0 Observe que, dd um númer rel qulquer, sempre se pde sscir ele um rc AM, de medid, e, esse rc, pde-se ss- cir um únic númer rel y OM Tem-se, ssim, um funçã, chmd funçã cssen, ist é: f : R R y cs() Assim cm crre cm funçã sen, vlr d cssen de um rc estrá sempre entre - e, já que cicl trignmétric tem ri D mesm frm, rcs que têm mesm etremidde pssuem cssens iguis Assim, cd vlt cmplet n cicl trignmétric, s vlres d cssen cmeçm se repetir Cnclui-se, entã, que funçã é periódic, de períd

43 Têm-se, ind, s seguintes infrmções sbre ess funçã: f cs Vê-se, Pridde: pr verificr pridde, fz-se: ( ) ( ) n cicl trignmétric presentd n Figur, que cs OM e que cs ( ) OM ; lg, cs cs( ) Lg, f ( ) f ( ), u sej, f é um funçã pr e, prtnt, seu gráfic present simetri em relçã ei Oy d pln crtesin FIGURA Sinl: pel definiçã d funçã cssen, est é psitiv n e qudrntes e negtiv n e qudrntes Gráfic: em gerl, estud-se funçã cssen pr rcs n intervl [ 0, ], já que funçã é periódic de períd, que signific que seu gráfic se repete cd intervl de mplitude rdins Assim, tm-se, inicilmente, M A; depis, pnt M se mviment sbre cicl trignmétric n sentid nti-hrári (psitiv), té cmpletr um vlt Anlisnd que crre cm segment OM e cnsidernd s rcs ntáveis, tem-se: 0 y 0-0

44 A Figur present gráfic de f FIGURA Anlisnd-se gráfic, bserv-se que cnjunt imgem d funçã cssen é Im( f ) [,], ist é, - cs, pr td númer rel Além diss, vê-se que funçã é decrescente n e qudrntes e crescente n e qudrntes Eempls: ) Estudr funçã y f ( ) + cs, pr 0 Cnstrói-se um tbel, nde se tribuem s vlres pr, btend-se s de cs e de y + cs, cm se segue: cs y + cs A Figur mstr s gráfics ds funções y + cs Tem-se: D f Dmíni: ( ) R y cs e

45 FIGURA Pridde: f ( ) + cs( ) + cs f ( ) f ( ) e f ( ) f ( ) Assim, tem-se que, u sej, funçã nã é pr, nem ímpr Imgem: pel gráfic, bserv-se que cnjunt imgem d funçã dd é Im( f ) [, 0] Iss signific que s vlres d funçã dd frm trnsldds de unidde, n direçã negtiv d ei Oy, em relçã à funçã y cs Períd: nã sfreu lterçã, u sej, é igul ) Estudr funçã y f ( ) cs + Cnstrói-se um tbel tribuind, primeirmente, vlres pr rc + pr, prtir deles, bterem-se s vlres de e de y cs + Em seguid, lclizm-se, n pln crtesin Oy, s vlres de e de y que cnstm d tbel e btém-se grá-

46 fic de f (Figur ) 5 + y cs Tem-se: Dmíni: ( f ) R D FIGURA Pridde: f ( ) cs + Prtnt, f ( ) f ( ) e f ( ) f ( ), u sej, funçã nã é pr, nem ímpr Imgem: pel gráfic, bserv-se que cnjunt imgem d funçã dd é Im( f ) [,], u sej, nã sfreu lterçã em relçã à imgem d funçã y cs Períd: bservnd gráfic d Figur, nt-se que períd

47 6 nã se lteru Huve pens um trnslçã d gráfic d funçã de uniddes, n sentid negtiv d ei O, em relçã à funçã y cs, prque se smrm uniddes rc Pr ver que períd cntinu send igul, pde-se fzer: 5 5 p +, ist é, cnsideru-se vlr finl tribuíd à vriável mens vlr inicil ) Estudr funçã y f ( ) cs Um vez que funçã cssen é pr, tem-se que cs cs Assim, estudr-se-á funçã y cs, cnstruind-se um tbel nde se tribuem vlres pr rc pr, prtir deles, bterem-se s vlres de e de y, cnfrme mstr tbel: y cs Lcliznd, n pln crtesin Oy, s vlres de e de y que cnstm d tbel cim, tem-se gráfic de f, presentd n Figur 5

48 7 Tem-se: Dmíni: ( f ) R D FIGURA 5 Pridde: f ( ) cs cs f ( ) funçã é pr Imgem: cnjunt imgem d funçã dd é Im( f ) [, ], u sej, fi mdificd em relçã à imgem d funçã y cs, já que, lém de se smr um unidde à funçã cssen, est ind fi multiplicd pr Esss perções crretm, respectivmente, trnslçã e mpliçã d imgem d funçã, cm se pde cnsttr n gráfic Períd: gráfic d funçã dd mstrd n Figur 5 trn evidente que períd se lteru, prque rc fi multiplicd pr De md genéric, tem-se que períd d funçã f ( ) cs( ) é: p, nde 0 N cs d funçã deste eempl, tem-se: p 6

49 8 Funçã Tngente Cnsidere-se cicl trignmétric, n qul se trçu ei ds tngentes, e um rc rientd AM, de medid, de md que etremidde M d rc nã cincid cm pnt B ( 0,) e nem cm B 0,, u sej, medid d rc é tl que pnt ( ) + k ( k Ζ) Este rc determin segment rientd OM ; cnsidernd-se ret que pss pels pnts O e M, est intercept eis ds tngentes n pnt T, determinnd segment rientd AT (Figur 6) Pr definiçã: tg AM AT, u sej, tg AT FIGURA 6 Observe que, dd um númer rel + k ( k Ζ), sempre se pde sscir ele um rc AM, de medid, e, esse rc, pde-se sscir um únic númer rel y AT Tem-se, ssim, um funçã, chmd funçã tngente, ist é:

50 f : D R, y tg() 9 nde D R / + k ( k Ζ) Observ-se que rcs que têm mesm etremidde pssuem tngentes iguis e que dis rcs cujs medids diferem de rdins (u múltipls de rdins) têm mesm tngente Iss signific que funçã tngente é periódic, de períd Têm-se, ind, s seguintes infrmções sbre ess funçã: f tg Vê-se, Pridde: pr verificr pridde, fz-se: ( ) ( ) n cicl trignmétric presentd n Figur 7, que que tg( ) AT AT ; lg, tg tg( ) Um vez que f ( ) f ( ) tg AT e, cnclui-se que f é um funçã ímpr e, prtnt, seu gráfic present simetri em relçã à rigem d pln crtesin FIGURA 7 Sinl: pel definiçã d funçã tngente, est é psitiv n e qudrntes e negtiv n e qudrntes Gráfic: eempl ds demis funções trignmétrics, estud-se, 0, Cm em gerl, funçã tngente pr rcs n intervl [ ]

51 50 funçã é periódic de períd, seu gráfic se repete cd intervl de mplitude rdins Tmnd-se pnt M sbre cicl trignmétric, de md que M nã cincid cm s pnts B e B', e mvimentnd- n sentid nti-hrári (psitiv), té cmpletr um vlt, tem-se seguinte tbel: 0 δ + δ δ + δ y 0 + nã está definid nã está definid - 0 FIGURA 8 Nest tbel, δ represent um infinitésim, u sej, δ, pr e- empl, represent um rc cuj medid é infinitmente próim de rdins, ms é menr d que Anlgmente, + δ represent um rc cuj medid é infinitmente próim de rdins, ms

52 é mir d que rdins O gráfic de f é mstrd n Figur 5 8 Pr ele, vê-se que cnjunt imgem d funçã tngente é cnjunt ds númers reis, ist é, Im ( f ) R Além diss, vê-se que funçã é sempre crescente Eempl: estudr funçã y f ( ) tg( ) O prcediment é nálg já dtd pr s funções sen e cssen Entretnt, pr que sej pssível clculr tngente d rc ( ), é necessári que esse rc sej diferente de + k ( k Ζ) Assim, tem-se: + k ( k Ζ) + k ( k Ζ) Entã: D ( f ) R / + k ( k Ζ) Assim, tribuem-se vlres pr rc ( ), btend-se, em seguid, vlres pr, cm se segue ( ) y tg( ) δ δ + nã está definid δ + δ δ δ + nã está definid δ + δ + - 0

53 5 Tem-se, ssim gráfic d Figur 9, prtir d qul, têm-se s cnclusões pr funçã FIGURA 9 Pridde: f ( ) tg( ( ) ) tg( ) f ( ), u sej, funçã é ímpr Imgem: eempl d funçã y tg, tem-se Im ( f ) R Períd: gráfic d funçã dd mstrd n Figur 9 mstr que períd se lteru, prque rc fi multiplicd pr De m- f tg é: d genéric, tem-se que períd d funçã ( ) ( ) p, nde 0 N cs d funçã deste eempl, tem-se: p Ctngente Cnsidere-se, n cicl trignmétric, ei ds ctngentes e um rc rientd AM, de medid, de md que etremidde M d,0 A,0, rc nã cincid cm pnt A ( ) e nem cm pnt ( ) u sej, medid d rc é tl que k ( k Ζ) Este rc de-

54 5 termin segment rientd OM ; tmnd-se ret que pss pels pnts O e M, est intercept eis ds ctngentes n pnt C, determinnd segment rientd BC (Figur 0) Pr definiçã: ct g AM BC, u sej, ct g BC FIGURA 0 Observe que, dd um númer rel ( k ( k Ζ) ), sempre se pde sscir ele um rc AM, de medid, e, esse rc, pdese sscir um únic númer rel y BC Tem-se, ssim, um funçã, chmd funçã ctngente, ist é: f : D R, y ct g() nde D { R; k, k Ζ} Assim cm crre cm funçã tngente, rcs que têm mesm etremidde pssuem ctngentes iguis e dis rcs cujs medids diferem de rdins (u múltipls de rdins) têm mesm ctngente Iss signific que funçã ctngente é periódic, de períd Têm-se, ind, s seguintes infrmções sbre ess funçã: f ct g Vê- Pridde: pr verificr pridde, fz-se: ( ) ( )

55 5 se, n cicl trignmétric presentd n Figur, que ct g BC e que ct g( ) BC BC, e, prtnt, ct g( ) Lg, f ( ) f ( ) ct g, u sej, f é um funçã ímpr e, prtnt, seu gráfic present simetri em relçã à rigem d pln crtesin FIGURA Sinl: pel definiçã d funçã ctngente, est é psitiv n e qudrntes e negtiv n e qudrntes Gráfic: ssim cm ns demis funções trignmétrics, estud-se, em gerl, funçã ctngente pr rcs n intervl [ 0, ] Cm funçã é periódic de períd, seu gráfic se repete cd intervl de mplitude rdins Tmnd-se, sbre cicl trignmétric, pnt M, nã cincidente cm s pnts A e A', e mvimentnd- n sentid nti-hrári (psitiv), té cmpletr um vlt, tem-se seguinte tbel: 0 y nã está definid 0 + δ δ nã está definid + δ δ nã está definid

56 55 Nest tbel, δ represent um infinitésim, u sej, 0 + δ, pr eempl, represent um rc cuj medid é infinitmente próim de 0 rdin, ms é mir d que 0 Anlgmente, δ represent um rc cuj medid é infinitmente próim de rdins, ms é menr d que rdins O gráfic de f é mstrd n Figur FIGURA Anlisnd-se gráfic, bserv-se que cnjunt imgem d funçã ctngente é cnjunt ds númers reis, ist é, Im ( f ) R Além diss, vê-se que funçã é sempre decrescente Eempl: estudr funçã y f () ct g 6 Observe que pr que sej pssível clculr ctngente d rc, é necessári que esse rc sej diferente de k ( k Ζ), u 6 sej: k ( k Ζ) + k ( k Ζ) 6 6 Entã: D ( f ) R / + k ( k Ζ) Atribuind-se vlres 6

57 56 cnvenientes rc, btêm-se vlres pr rc, cm 6 mstr tbel que se segue, e, em seguid, gráfic presentd n Figur Cnclusões: y ct g nã está definid δ + δ δ δ + - nã está definid δ + δ + 0 δ δ + - nã está definid 6 f Pridde: f ( ) ct g ( ) ct g f Prtnt, 6 f f funçã nã é pr, nem é ímpr, pis ( ) ( ) e ( ) ( ) Imgem: Im ( f ) R Períd: vê-se clrmente que gráfic se repete cd intervl de mplitude rdins A primeir curv fi btid pr vlres de 7 entre e rdins Entã: 6 6

58 7 p FIGURA De md nálg, vê-se que segund curv mstrd n Figur 7 fi btid pr vlres de entre e rdins e tem-se: p Funçã Secnte Tmnd-se, n cicl trignmétric, um rc rientd AM de medid, de md que etremidde M d rc nã cincid cm 0, B 0,, u sej, medid d pnt B ( ) e nem cm pnt ( ) rc é tl que + k ( k Ζ), este rc determin segment rientd OM A ret que tngenci cicl trignmétric n pnt M intercept ei ds cssens n pnt S, determinnd segment rientd OS (Figur )

59 58 FIGURA Pr definiçã: sec AM OS, u sej, sec OS Observe que, dd um númer rel + k ( k Ζ), sempre se pde sscir ele um rc AM, de medid, e, esse rc, pde-se sscir um únic númer rel y OS Tem-se, ssim, um funçã, chmd funçã secnte, ist é: f : D R, y sec() nde D R / + k ( k Ζ) Pr su definiçã, fic clr que vlr d secnte de um rc será sempre mir u igul u menr u igul, já que cicl trignmétric tem ri Além diss, bserv-se que rcs que têm mesm etremidde pssuem secntes iguis Assim, cd vlt cmplet n cicl trignmétric, s vlres d secnte cmeçm se repetir, u sej, funçã é periódic, de períd Têm-se, ind, s seguintes infrmções sbre ess funçã: f sec Vê-se, n Figur 5, que Pridde: tem-se: ( ) ( ) sec OS e que sec ( ) OS; lg, sec sec( )

60 59 Lg, f ( ) f ( ), u sej, f é um funçã pr e, prtnt, seu gráfic present simetri em relçã ei Oy FIGURA 5 Sinl: pel definiçã d funçã secnte, est é psitiv n e qudrntes e negtiv n e qudrntes Gráfic: cnsidernd períd de rdins e tmnd pnt M sbre cicl trignmétric, nã cincidente cm s pnts B e B', e mvimentnd- n sentid nti-hrári (psitiv), té cmpletr um vlt, tem-se seguinte tbel: 0 δ + δ δ + δ y + nã está definid nã está definid + Assim cm ns funções tngente e ctngente, δ represent um infinitésim O gráfic de f é mstrd n Figur 6 Anlisnd-se gráfic, bserv-se que cnjunt imgem d funçã secnte é:

61 60 Im( f ) { y R ; y u y }, ist é, Im ( f ) (, ] [, + ) e que funçã é crescente n e qudrntes e decrescente n e qudrntes 6 Funçã Cssecnte FIGURA 6 Cnsidere-se, n cicl trignmétric, um rc rientd AM de medid, de md que etremidde M d rc nã cincid cm,0 A,0, u sej, medid d pnt A ( ) e nem cm pnt ( ) rc é tl que k ( k Ζ) Este rc determin segment - rientd OM ; ret que tngenci cicl trignmétric n pnt M intercept ei ds sens n pnt C, determinnd segment rientd OC (Figur 7) Pr definiçã: cs sec AM OC, u sej, cs sec OC k k Ζ, sempre se Observe que, dd um númer rel ( ( )) pde sscir ele um rc AM, de medid, e, esse rc, pdese sscir um únic númer rel y OC Tem-se, ssim, um fun-

62 çã, chmd funçã cssecnte, ist é: f : D R, y cs sec() D R; k, k Ζ nde { } 6 FIGURA 7 FIGURA 8 Pr su definiçã, fic clr que vlr d cssecnte de um rc

63 6 será sempre mir u igul u menr u igul, já que cicl trignmétric tem ri Além diss, bserv-se que rcs que têm mesm etremidde pssuem cssecntes iguis Assim, cd vlt cmplet n cicl trignmétric, s vlres d cssecnte cmeçm se repetir Diz-se, entã, que funçã é periódic, de períd, que é medid de um rc de circunferênci Têm-se, ind, s seguintes infrmções sbre ess funçã: cs sec cs sec, um vez Pridde: Figur 8 mstr que ( ) que cs sec OC e que cssec( ) OC OC, u sej, f é um funçã ímpr e, prtnt, seu gráfic present simetri em relçã à rigem d pln crtesin Sinl: pel definiçã d funçã cssecnte, est é psitiv n e qudrntes e negtiv n e qudrntes Lg, f ( ) f ( ) Gráfic: cm funçã é periódic de períd, seu gráfic se repete cd intervl de mplitude rdins Tmnd-se pnt M sbre cicl trignmétric, de md que M nã cincid cm s pnts A e A', e mvimentnd- n sentid nti-hrári (psitiv), té cmpletr um vlt, tem-se seguinte tbel: δ y nã está definid + + δ nã está definid + δ δ nã está defi nid O gráfic de f é mstrd n Figur 9; cnclui-se dele que cnjunt imgem d funçã cssecnte é: Im( f ) { y R ; y u y }, ist é, Im ( f ) (, ] [, + ) Além diss, vê-se que funçã é crescente n e qudrntes e decrescente n e qudrntes

64 6 FIGURA 9 7 Eercícis ) Determinr dmíni ds seguintes funções: () y sec( ) Pr que secnte de um rc estej definid, é precis que este sej diferente de + k ( k Ζ) Assim, deve-se ter: + k ( k Ζ) + k ( k Ζ) 8 Entã: D R / + k ( k Ζ) 8 (b) y ct g( ) De md nálg eercíci nterir, deve-se ter: k ( k Ζ) k ( k Ζ), u sej, D R / k ( k Ζ)

65 6 (c) y cs sec Tem-se: k + k + k 8 e prtnt, D R / + k ( k Ζ) 8 ( k Ζ) ) Determinr s vlres de m que stisfçm iguldde: m () sen m Lembrnd que cnjunt imgem d funçã f ( ) sen é [, ], segue-se que vlr d sen de um rc é um númer mir u i- gul - e menr u igul, u sej, sen, u, ind, sen Assim, pr que epressã dd fç sentid, deve-se ter: m m Mneir errd de se reslver esss inequções d gru: multiplicr tds s membrs ds desigulddes pr ( m), u sej: m ( m) m m m ; + m m m reslver seprdmente s seguintes inequções: () + m m m m () m m m m Prcedend dess frm, bserv-se que se s vlres de m devem ser, mesm temp, menres u iguis e menres u iguis, entã sluçã d prblem dd seri: S m R / m Ver-se-á, em seguid, que est sluçã está incmplet, um vez que

66 65 prcediment dtd está errd Mneir crret de se reslver esss inequções d gru: há dus inequções d gru pr serem reslvids: m m (I) e ( II) m m Su resluçã deve ser feit cm segue m m m + m (I) m m m m 0 m É imprtnte bservr que nã se trt, qui, de reslver seprdmente inequções cm numerdr e denmindr d frçã O que se prcurm sã s vlres d vriável m que trnem frçã mir u igul zer Levnd-se em cnt que sinl de um frçã depende ds sinis de seu numerdr e de seu denmindr, é precis estudr, seprdmente, s sinis ds funções que cmpõem frçã, pr depis estudr sinl d quciente desss dus funções Assim, tem-se: funçã d numerdr: y m Lembrnd que um funçã smente pde mudr de sinl qund seu gráfic intercept ei O, determin-se, primeirmente, zer dess funçã, pr, em seguid, determinr s sinis que el ssume, cm segue: m 0 m Entã, funçã y m pde mudr de sinl pens n pnt m Tmnd-se qulquer vlr de m menr d que, bserv-se que funçã tem sinl psitiv Pr eempl, pr m 0, tem- se y > 0 D mesm frm, tmnd-se qulquer vlr de m mir d que, bserv-se que funçã tem sinl negtiv Pr eempl, pr m, tem-se y < 0 Tem-se, ssim, digrm de sinis d Figur 0 pr funçã y m FIGURA 0

67 66 funçã d denmindr: y m Repetind prcediment nterir, vem: m 0m Assim, s sinis dess funçã sã s mstrds n Figur FIGURA É precis, gr, determinr s vlres de m que trnm frçã mir u igul zer A mneir mis prátic de se fzer iss é clcr s dis digrms presentds ns Figurs 0 e, respeitnd relçã de rdem ds rízes ds dus funções, e dividir s vlres de m d numerdr pels d denmindr em cd intervl entre s rízes Têm-se, entã, s sinis d Figur Ness figur, vê-se que: FIGURA tmnd vlres de m menres d que, s vlres d funçã d numerdr sã psitivs, ssim cm s d funçã d denmindr Assim, quciente entre esses vlres é psitiv; tmnd vlres de m entre e, s vlres d funçã d numerdr sã negtivs, enqunt que s vlres d funçã d denmindr sã psitivs Lg, quciente entre esses vlres é negtiv; tmnd vlres de m mires d que, s vlres ds dus funções sã negtivs e, prtnt, quciente entre esses vlres é psitiv

68 Em 67 m frçã se nul, pis esse vlr nul numerdr d frçã O vlr m deve ser descrtd, pis ele nul den- mindr d frçã, trnnd- sem sentid Entã, s vlres de m que trnm frçã mir u igul zer sã queles que sã menres u iguis u mires d que Reslve-se, gr, utr inequçã: m m m + m (II) 0 0 m m m m 0 m Nvmente, devem ser estudds s sinis ds funções que cmpõem frçã, seprdmente, pr depis estudr sinl d quciente desss dus funções Entã: funçã d numerdr: y m : m 0m Entã, funçã y m pde mudr de sinl pens n pnt m O estud de sinl dest funçã é mstrd n Figur FIGURA funçã d denmindr: y m O estud dess funçã já fi feit nterirmente Assim, determinm-se, gr, s vlres de m que trnm frçã menr u igul zer, levnd-se em cnt s sinis d numerdr e d denmindr, cm mstr Figur Ness figur, vê-se que: tmnd vlres de m menres d que, s vlres d funçã d numerdr sã negtivs e s d funçã d denmindr sã psitivs Assim, quciente entre esses vlres é negtiv; tmnd vlres de m entre e, s vlres ds dus funções

69 68 sã negtivs e, prtnt, quciente entre esses vlres é psitiv; tmnd vlres de m mires d que, s vlres d funçã d numerdr sã psitivs e s d funçã d denmindr sã negtivs, u sej, quciente entre eles é negtiv FIGURA Em m frçã se nul, pis esse vlr nul numerdr d frçã Nvmente, descrt-se vlr m, já que ele nul denmindr d frçã Entã, s vlres de m que trnm frçã menr u igul zer sã queles que sã menres d que u mires u iguis Depis dests dus inequções d gru terem sid reslvids seprdmente, é precis bservr que, pr que se tenh m sen, u sej,, deve se prcurr s vlres de m que stisfçm s dus mesm temp Assim, é precis m fzer um interseçã ds sluções ds dus inequções que frm reslvids A Figur 5 present esss sluções e su interseçã FIGURA 5 Verific-se, finlmente, que s vlres de m que stisfzem s dus

70 inequções sã queles menres u iguis u s que sã mires u iguis, u sej, sluçã prcurd é: 69 S m R / m u m,, + Apens títul de verificçã, cnsidere-se um vlr de m que sej menr d que, pr eempl, m 0 Tem-se: m 0 sen, m 0 u sej, esse vlr de m crret pr funçã sen vlr, que é um vlr pssível Tmnd-se um vlr de m mir d que, pr eempl, m, vem: m sen 0, m que tmbém é um vlr pssível pr funçã sen Pr utr ld, tmnd-se um vlr entre e, pr eempl, m 0,6, tem-se: m 0,6 0, sen, m 0,6 0, que é um vlr bsurd, pis nã há nenhum rc pr qul se tenh sen - Pr m, tem-se: m 0,5 0,5 sen m 0,5 0,5 e, pr m, tem-se: m 0,75 0,5 sen, m 0,75 0,5 u sej, esses vlres de m stisfzem s desigulddes sen Resslte-se que, qund se reslverm s inequções

71 70 m m d mneir errd, bteve-se sluçã S R / Cmprnd ess sluçã cm sluçã crre- t, bserv-se que s vlres de m mires u iguis nã estã cntemplds n sluçã errd Pergunt-se: nde está err n primeir mneir de reslver? O err está em multiplicr s desigulddes pel epressã ( m), prque est epressã pderá ser psitiv u negtiv, dependend ds vlres de m m é mir Pr s vlres de m pr s quis epressã ( ) m d que zer, s desigulddes permnecem cm m mesm sentid, qund multiplicds pr ( m) Entretnt, pr s vlres de m pr s quis est epressã é negtiv, s desigulddes mudm de sentid Iss nã fi lev- m m d em cnsiderçã n primeir frm de fzer, que, pr esse mtiv, nã pssibilitu encntrr utr prte d sluçã, que sã s vlres de m mires u iguis Refirm-se, entã, que primeir frm que s desigulddes frm reslvids está errd m m + (b) cs m De frm nálg à funçã sen, cnjunt imgem d funçã cssen é [, ] e, prtnt, vlr d cssen de um rc é um númer sempre mir u igul - e menr u igul, u sej, cs, u cs Assim, pr que epressã dd fç sentid, deve-se ter: m m + m Têm-se, ssim, s inequções m m + m m + (I) e (II), m m

72 que serã reslvids seprdmente m m + m m + (I), u sej, : m m 7 m m + m m m m m m + + m m m m m A inequçã btid pde ser reslvid cm prcediment utilizd n eercíci d prte () u, nesse cs específic, de um frm mis simplificd, cm segue: bserve que numerdr d inequçã pde ser ftrd n frm: ( m ) m + m ; ssim, inequçã fic: ( m ) 0 m Pr m 0, u sej, pr m, pde-se dividir numerdr e denmindr pel epressã m, btend-se: m 0 m Prtnt, s vlres de m que stisfzem inequçã (I) sã queles que sã estritmente mires d que, já que m deve ser diferente de É clr que se pderi ter dtd prcediment d eercíci d item (), desenvlvid seguir Pr reslver (I), devem-se estudr seprdmente s sinis d numerdr e d denmindr d frçã Entã, vem: funçã d numerdr: y m m + Est funçã d gru tem dis zers iguis, ist é, m é um riz dupl d equçã m m + 0 Assim, estud de sinis d funçã é mstrd n Figur 6 FIGURA 6 funçã d denmindr: y m Tem-se: m 0 m

73 7 A Figur 7 mstr s sinis dess funçã FIGURA 7 Lg, pr determinr s vlres de m que trnm frçã mir u igul zer utilizm-se s dis digrms presentds ns Figurs 6 e 7, cnfrme mstr Figur 8 FIGURA 8 Ness figur, vê-se que tmnd vlres de m mires d que, s vlres d frçã sã psitivs e tmnd vlres de m menres d que, frçã se trn negtiv O vlr m deve ser descrtd, prque nul denmindr d frçã Assim, cm nterirmente, vê-se que s vlres de m que stisfzem inequçã (I) sã queles que sã estritmente mires d que Reslve-se, gr inequçã: m m m (II) + Tem-se: m m m m m m 0 m m m 0 m m m m Nvmente, pde-se ftrr numerdr d frçã, utiliznd-se, pr iss, s zers d funçã m m y +, que sã m e m Entã, btém-se seguinte frçã: ( ) ( ) m m m m m m + ; Pr m - 0, ist é, pr m, pde-se dividir numerdr e

74 7 denmindr d frçã pr (m ) e vem: m m + ( m ) ( m ) m m m m m + Assim, inequçã 0 reduz-se à inequçã m m 0, u sej, m Prtnt, s vlres de m que stisfzem (II) devem ser menres u iguis, ms devem ser diferentes de Tmbém qui se pderi fzer estud de (II) estudnd, seprdmente, s sinis d numerdr e d denmindr d frçã: funçã d numerdr: y m m + As rízes reis d equçã m m + 0 sã m e m e, prtnt, estud de sinis d funçã é que mstr Figur 9 FIGURA 9 funçã d denmindr: y m Tem-se: m 0 m Os sinis dess funçã sã s d Figur 0 FIGURA 0 Têm-se, ssim, s cnclusões mstrds n Figur FIGURA Ness figur, vê-se que tmnd vlres de m mires d que, s vlres d frçã sã psitivs e tmnd vlres de m menres d que, frçã se trn negtiv O vlr m deve ser descrtd,

75 7 prque nul denmindr d frçã Assim, cm nterirmente, vê-se que s vlres de m que stisfzem inequçã (II) sã queles que sã menres u iguis e diferentes de É precis, gr, cnsiderr interseçã ds sluções ds dus inequções (I) e (II) que frm reslvids A Figur present esss sluções e su interseçã FIGURA Verific-se, finlmente, que s vlres de m que stisfzem s dus inequções sã queles mires d que e menres u iguis, u sej: S { m R / < m } (,] (c) tg m, vlr d tngente de pde ssumir qulquer vlr rel, segue-se que epressã dd tem sentid pr qulquer númer rel m Assim, tem-se S R Lembrnd que, pr td rc tl que + k ( k Ζ) (d) cssec m Nesse cs, cm vlr d cssecnte de um rc tl que k ( k Ζ) é sempre menr u igul - u mir u igul, devem-se impr à epressã dd s cndições: cssec u cssec, ist é, m u m Nvmente, há dus inequções d gru pr serem reslvids Assim, tem-se: (I) m A mneir crret de se reslver um inequçã cm est é que se segue m m + 0 m 0

76 75 É precis, entã, estudr s sinis d funçã y m pr determinr pr quis vlres de m el é menr u igul zer Pr iss, determin-se zer d funçã, que é únic pnt nde funçã pde mudr de sinl Tem-se: m 0 m Assim, estud de sinis d funçã é cm mstr Figur FIGURA Lg, s vlres de m pr s quis funçã é menr u igul zer sã queles mires u iguis, s quis stisfzem, entã, inequçã (I) Reslvend, gr, inequçã (II), vem: ( II) m Tem-se: m m 0 m 0 Pde-se prceder, qui, de dus mneirs; um dels é dividir mbs s membrs pel cnstnte -, lembrnd que sentid d desiguldde fic invertid, u sej: m 0 m 0 e já se tem sluçã d inequçã, ist é, s vlres de m que stisfzem (II) sã s menres u iguis zer A utr frm é mesm que se utilizu pr reslver (I), u sej, estudm-se s sinis d funçã y m : m 0m 0 Prtnt, estud de sinis d funçã é que mstr Figur FIGURA Lg, s vlres de m pr s quis funçã é mir u igul zer sã queles menres u iguis 0, cm já se hvi cncluíd Um vez que devem ser stisfeits s inequções (I) u (II), é precis fzer uniã de sus sluções, indicd n Figur 5 Lg, sluçã gerl é: S m R / m 0 u m,0 + { } ( ] [ )

77 76 FIGURA 5 m + (e) sec m De md nálg eercíci nterir, tem-se que vlr d secnte de um rc + k ; k Ζ é sempre menr u igul - u mir u igul ; ssim, impõem-se à epressã dd s cndições: sec u sec, ist é, m + m + u m m Reslvem-se, prtnt, esss dus inequções d gru m + (I) m Tem-se: m + m + m + + m m m m m m Estudm-se, ssim, seprdmente, s sinis ds funções d numerdr e d denmindr: funçã d numerdr: y m + m + 0 m Entã, funçã y m + pde mudr de sinl pens n pnt m Tem-se, ssim, estud de sinis pr funçã y m + d Figur 6 FIGURA 6

78 77 funçã d denmindr: y m Repetind prcediment nterir, vem: m 0 m Assim, s sinis dess funçã sã queles mstrds n Figur 7 FIGURA 7 Cnsidernd s sinis d numerdr e d denmindr, têm-se s sinis d frçã mstrds n Figur 8 FIGURA 8 Vê-se, entã, que s vlres de m que trnm frçã menr u i- gul zer sã s mires u iguis e menres d que m + (II) m m + m + m + m m m m m O estud de sinis dess frçã é mis simples d que nterir, já que numerdr é um cnstnte sempre psitiv, que crret que sinl d frçã é determind pel sinl d denmindr, que já fi estudd Cnclui-se, ssim, que s vlres de m que trnm frçã mir u igul zer sã s mires d que (já que m deve ser diferente de ) Fz-se, gr, uniã ds sluções ds inequções (I) e (II), cm mstr Figur 9 Cnclui-se, ssim, que cnjunt-sluçã é: S m R / m < u m >, ( + ), qul pde ser escrit, ind, n seguinte frm:

79 78 S m R / m em, ( + ) FIGURA 9 ) É verddeir u fls firmçã: nã eiste tl que cs? f cs é in- É verddeir, pis cnjunt imgem d funçã ( ) tervl [, ], ist é, cs, pr td númer rel Lg, pr nenhum rc ter-se-á cs ) ( ) cs( ) cs? ( ) Nã Um idéi muit cmum é entender cs ( ) cm send cs, que nã é crret Qund se indic cs ( ), está se querend clculr vlr que funçã cssen ssume em rdins (que é próim de rdins) Entretnt, é um rc prói- m de 0 Têm-se: cs( ) rcs de medid rdins e e cs( ) A Figur 50 mstr s FIGURA 50

80 5) Sã verddeirs u flss s firmções seguintes? 79 () cs ( ) cs É fls Lembrnd que cs ( ) cs( ) cs( ) cs, pr qulquer, tem-se: Pr eempl, tmnd-se, vem: ( ) cs cs cs 0 cs e cs cs 0 (b) cs cs É fls Pr qulquer rc de medid, tem-se: cs ( cs ) ( cs ) ( cs ) Pr utr ld, cs cs( ) cs( ) Pr eempl, se cs e cs, vem: cs cs 0 ( ) cs cs cs 0 Iss eemplific ft de que cs( ) lingugem, cs cs cs, u, num bus de

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82 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Relções fundmentis () sen + cs Sej medid d rc OQ PM sen AM ; n Figur, tem-se: OP cs e FIGURA Cnsidernd triângul retângul OMP, tem-se: ( OP) ( PM) ( OM) + As medids OP e PM sã iguis, em vlres bsluts, s vlres de cs e sen, respectivmente Assim, quisquer que sejm s sinis desss funções, vle: sen + cs (b) sen tg cs Sej medid d rc AM, send + k (k Ζ) ; n Figu- r, tem-se AT tg

83 8 FIGURA Um vez que s triânguls OPM e OAT sã semelhntes, tem-se: OP PM PM AT ; OA AT OP AT, PM e OP sã, respectivmente, s vlres bsluts de tg, sen e cs Cm tngente é psitiv u negtiv cnfrme sen e cssen tenhm mesms sinis u sinis cntráris, relçã vle sempre Assim: tg sen cs (c) ct g tg Sej + k e k (k Ζ) medid d rc AM ; n Figur, tem-se: AT tg ; BC ct g Os triânguls retânguls OAT e OBC sã semelhntes, pis s ânguls guds A ÔT e OC B sã cngruentes, send lterns interns de dus prlels crtds pr um trnsversl Entã: BC OB BC ct g OA AT AT tg