Luis Fernando Paullo Muñoz. Análise Dinâmica de Vigas Apoiadas em Fundação Elástica sob a Ação de Cargas Móveis. Dissertação de Mestrado

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1 Luis Ferado Paullo Muñoz Aálise Diâmica de Vigas Apoiadas em Fudação Elástica sob a Ação de Cargas Móveis Dissertação de Mestrado Dissertação apresetada ao Programa de Pósgraduação em Egeharia Civil da PUC-Rio como requisito parcial para obteção do título de Mestre em Egeharia Civil. Orietador: Paulo Batista Goçalves Co-orietador: Ney Augusto Dumot Rio de Jaeiro, março de

2 Luis Ferado Paullo Muñoz Aálise Diâmica de Vigas Apoiadas em Fudação Elástica sob a Ação de Cargas Móveis Dissertação apresetada ao Programa de Pós-graduação em Egeharia Civil da PUC-Rio como requisito parcial para obteção do título de Mestre em Egeharia Civil. Aprovada pela Comissão Examiadora abaixo assiada Prof. Paulo Batista Goçalves Orietador Departameto de Egeharia Civil PUC-Rio Prof. Ney Augusto Dumot Co-orietador Departameto de Egeharia Civil PUC-Rio Prof. Ricardo Azoubel da Mota Silveira Departameto de Egeharia Civil UFOP Prof. João Luis Pascal Roehl Cosultor Idepedete Prof. Raul Rosas e Silva Departameto de Egeharia Civil PUC-Rio Prof. José Eugêio Leal Coordeador Setorial do Cetro Técico Cietífico PUC-Rio Rio de Jaeiro, 05 de março de

3 Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da uiversidade, do autor e do orietador. Luis Ferado Paullo Muñoz Graduou-se em Egeharia Civil o Departameto de Egeharia Civil da UNSAAC (Uiversidad Nacioal de Sa Atôio Abad Del Cusco), em Atualmete tem cotiuado com a liha de pesquisa a área de istabilidade e aálise diâmica ão-liear de estruturas, com o estudo de aálise de vigas submetias a cargas móveis em cotato com fudação elástica ão-liear. Paullo Muñoz, Luis Ferado Ficha Catalográfica Aálise diâmica de vigas apoiadas em fudação elástica sob a ação de cargas móveis / Luis Ferado Paullo Muñoz ; orietador: Paulo Batista Goçalves ; co-orietador: Ney Augusto Dumot f: Il.; 29.7 cm Dissertação (Mestrado) Potifícia Uiversidade Católica do Rio de Jaeiro, Departameto de Egeharia Civil, Iclui referêcias bibliográficas 1. Egeharia civil Teses. 2. Aálise diâmica liear. 3. Aálise diâmica ão-liear. 4. Vigas prismáticas. 5. Fudação ão-liear. 6. Séries de Fourier. 7. Cargas móveis. l. Goçalves, Paulo Batista. II. Dumot, Ney Augusto. III. Potifícia Uiversidade Católica do Rio de Jaeiro. Departameto de Egeharia Civil. IV. Título. CDD: 624 3

4 Aos meus pais, Ferado e Rosa. A miha irmã, Yeseia. 4

5 Agradecimetos A Deus, por permitir-me culmiar mais uma etapa a miha vida. A miha mãe Rosa e ao meu pai Ferado, a quem devo tudo o coseguido a vida. miha irmã Yeseia, que foi e é meu apoio os mometos mais difíceis. Ao Professor Paulo B. Goçalves, pela orietação, sereidade e cohecimetos trasmitidos. À Comissão Examiadora, pelos aportes dados para a melhora do presete trabalho. Aos professores do setor estruturas do DEC da PUC-Rio, pelo esio acadêmico e motivação dada ao logo do mestrado. À UNSAAC (Uiversidad de Sa Atôio Abad del Cusco), pela base ecessária para afrotar o mestrado, em especial ao professor Roehl, Ney e Raul. Aos colegas da PUC-Rio, Alejadra, Eveli, Jackelie Liliaa, Liset, Roxaa, Taia, Carlos, Gio, Ivá, Gerso, Rafael e os demais colegas da Pós, pela ajuda acadêmica, pessoal e pelos mometos de covívio. Ao pessoal admiistrativo do Departameto de Egeharia Civil, em especial a Rita de Cássia, pelo apoio costate. À CNPq e à PUC-Rio, pelo auxílio fiaceiro. A todas as pessoas que de alguma forma cotribuíram com a elaboração deste trabalho. 5

6 Resumo Paullo Muñoz, Luis Ferado; Goçalves, Paulo Batista (orietador), Dumot, Ney Augusto Dumot (co-orietador). Aálise Diâmica de Vigas Apoiadas em Fudação Elástica sob a Ação de Cargas Móveis. Rio de Jaeiro, p. Dissertação de Mestrado - Departameto de Egeharia Civil, Potifícia Uiversidade Católica do Rio de Jaeiro. A aálise de vigas sobre base elástica submetidas a cargas estáticas e diâmicas tem grade importâcia a egeharia estrutural e forece ferrametas úteis para resolver problemas práticos como o projeto de fudações e vias férreas, etre outros. Um caso particularmete importate é o estudo do comportameto diâmico destes elemetos estruturais a preseça de cargas móveis. Apreseta-se esta dissertação a aálise de vigas prismáticas de comprimeto ifiito repousado sobre uma fudação elástica do tipo Wikler, submetida à ação de cargas móveis e forças axiais de compressão. Cosideram-se cargas cocetradas e uiformemete distribuídas em um trecho fiito de magitude costate ou com variação harmôica. A viga é descrita pela teoria liear de Euler-Beroulli (teoria clássica de vigas) e de Rayleigh (cosiderado iércia rotacioal). A fudação é descrita por uma lei costitutiva ão-liear cúbica. Para o caso liear se obtém uma solução aalítica exata usado trasformadas duplas de Fourier. Emprega-se também o método de Galerki para a aálise do problema liear e ão-liear. Para isto, usam-se como fuções de forma os modos de vibração livre de vigas fiitas e séries de Fourier, sedo o problema resolvido aaliticamete o domíio do tempo o caso liear e, mediate itegração umérica das equações de movimeto o caso ão-liear. Apreseta-se uma aálise paramétrica para o caso liear, comparado os resultados obtidos pelo método de Galerki com a solução exata. Para o caso ão-liear, estuda-se a ifluêcia da ão-liearidade da fudação, do raio de giração da seção da viga, da magitude da força axial compressiva, da velocidade de deslocameto da carga trasversal e da variação da amplitude da carga harmôica, os deslocametos da viga. 6

7 Palavras-chave Aálise diâmica liear; aálise diâmica ão-liear; vigas prismáticas; fudação ão-liear; séries de Fourier; cargas móveis. 7

8 Abstract Paullo Muñoz, Luis Ferado; Goçalves, Paulo Batista (advisor), Dumot, Ney Augusto Dumot (co-advisor). Dyamic Aalysis of a Beam o a Elastic Foudatio uder Movig Loads. Rio de Jaeiro, p. M. SC. Dissertatio - Departameto de Egeharia Civil, Potifícia Uiversidade Católica do Rio de Jaeiro. The aalysis of beams o elastic foudatio subjected to static ad dyamic loads is of great importace i structural egieerig ad provides useful tools to solve practical problems such as the desig of foudatios ad railways, amog others. A particularly importat case is the study of the dyamic behavior of these structural elemets i the presece of movig loads. This dissertatio presets the aalysis of prismatic beams of ifiite legth restig o a Wikler-type elastic foudatio, subjected to the actio of movig loads ad compressive axial forces. Cocetrated ad uiformly distributed loads of a fiite legth with costat magitude or harmoic variatio are cosidered. The beam is described by the liear Euler-Beroulli theory (classical beam theory), cosiderig the effect of rotatioal iertia (Rayleigh theory). The oliear foudatio is described by a cubic costitutive law. For the liear case, a exact aalytical solutio is obtaied usig the Fourier trasform. The Galerki method is also employed for aalyzig both the liear ad oliear problems. For this, the free vibratio modes of simply-supported or clamped beams, Legedre polyomials ad Fourier series are used as iterpolatig fuctios. The resultig discretized equatios of motio are solved aalytically i time domai i the liear case ad by umerical itegratio i the oliear case. A parametric aalysis for the liear case is coducted, comparig the results obtaied by the Galerki method with the exact solutio. For the oliear problem, the ifluece of the oliearity of the foudatio, the radius of gyratio of the beam cross-sectio, the magitude of the axial compressive force, the velocity of the movig load ad the magitude ad frequecy of the movig harmoic loads o the displacemets of the beam are studied i detailed. 8

9 Keywords Liear dyamic aalysis; Fourier series; oliear dyamic aalysis; beams; oliear foudatio; movig loads. 9

10 Sumário Resumo 6 Abstract 8 Sumário 10 Listas de Figuras 14 Listas de Tabelas 18 Lista de Símbolos 19 1 Itrodução Revisão Bibliográfica Objetivos Orgaização e Descrição do Trabalho 29 2 Formulação do Problema Dedução da Equação de Movimeto de uma Viga sobre Fudação Elástica Cosideração da Fudação Elástica Modelo de Wikler Modelos de dois parâmetros Modelo de Filoeko-Borodich Modelo de Heteyi Modelo de Pasterak Escolha do modelo de fudação elástica Mudaça de Coordeada do Espaço para Cosideração de Cargas Móveis 35 10

11 3 Solução Aalítica Exata para Viga Ifiita o Caso Liear Solução por Trasformada Dupla de Fourier Resposta para Carga Cocetrada: Resposta para Carga Cocetrada Harmôica Resposta para carga cocetrada costate Resposta para Carga Uiformemete Distribuída Resposta para carga distribuída uiforme harmôica Resposta para carga distribuída uiforme costate Avaliação Numérica da Resposta Aalítica Exata por FFT e IFFT Trasformada discreta rápida iversa IFFT uidimesioal Avaliação umérica da resposta por IFFT uidimesioal 44 4 Solução Aproximada pelo Método de Galerki Método dos Resíduos Poderados Método de Galerki Discretização do Domíio Ifiito em um Domíio Fiito Aproximado Solução Aproximada Cosiderado Simetria da Resposta Aproximação por modos de vibração de viga bi-egastada Aproximação por poliômios de Legedre: Aproximação por modos de vibração de viga bi-apoiada Solução Aproximada Cosiderado Resposta Assimétrica Aproximação por série completa de Fourier Aproximação por poliômios ortogoais 55 5 Exemplos Numéricos do Caso Liear Comparação Etre a Solução Exata e a Solução Aproximada Simétrica Comparação etre as fuções de aproximação para uma viga com carga cocetrada estática Ifluêcia do úmero de fuções de aproximação N Ifluêcia do comprimeto de itegração L Covergêcia da aproximação para uma viga com carga cocetrada estática Escolha do tipo de fução de aproximação para o caso simétrico 61 11

12 Aálise paramétrica para viga com carga móvel distribuída de magitude costate Ifluêcia do raio de giração Ifluêcia da rigidez da fudação Ifluêcia da velocidade do carregameto Comparação Etre a Solução Exata e a Solução Aproximada com Formulação Assimétrica Comparação etre as fuções de aproximação para uma viga com carga cocetrada móvel Ifluêcia do úmero de fuções de aproximação N para velocidade igual à velocidade crítica Ifluêcia do comprimeto de discretização L para velocidade maior que a velocidade crítica Escolha do tipo de fução de aproximação para o caso assimétrico Aálise paramétrica, para viga com carga móvel distribuída e assimetria a resposta Ifluêcia do úmero de fuções de aproximação N para velocidade maior à velocidade crítica Ifluêcia da velocidade do carregameto e raio de giração, os deslocametos máximos Ifluêcia da força axial e a rigidez da fudação Ifluêcia da força axial a velocidade crítica Cosiderações Fiais da Aálise Liear 74 6 Formulação para Aálise com Fudação Não-Liear Fudação Elástica Não-Liear Equação de Movimeto Não-liear Adimesioal Solução Aproximada Não-liear Adimesioal pelo Método de Galerki Solução aproximada ão-liear com simetria a resposta Solução aproximada ão-liear com assimetria a resposta Resolução do Sistema de Equações por Itegração Numérica

13 7 Exemplos Numéricos do Caso Não-Liear Ifluêcia da Não-liearidade da Fudação o Caso simétrico, Para Carga Distribuída Costate Ifluêcia do sial do parâmetro de rigidez ão-liear da fudação Ifluêcia a fase trasiete Ifluêcia a cofiguração deformada a fase permaete Ifluêcia da ão-liearidade e da iércia rotacioal os deslocametos a fase permaete Ifluêcia da Não-liearidade da Fudação para Altas Velocidades e Carga Distribuída de Amplitude Costate Ifluêcia da ão-liearidade da fudação a cofiguração deformada da fase permaete Ifluêcia da ão-liearidade e variação de velocidade Aálise Não-Liear com Carga Harmôica Aálise ão-liear com carga harmôica estacioária Ifluêcia a fase trasiete e fase permaete Ifluêcia da freqüêcia de excitação os deslocametos máximos Aálise ão-liear com carga harmôica móvel Ifluêcia os deslocametos para baixas velocidades Ifluêcia os deslocametos para altas velocidades Ifluêcia da velocidade os deslocametos máximo Coclusões e Sugestões Coclusões Sugestões para Trabalhos Futuros Referêcias Bibliográficas

14 Listas de Figuras Figura 2.1 Porção de viga prismática, apoiada sobre fudação elástica com amortecimeto viscoso, submetida a carregameto trasversal e força axial. 30 Figura 2.2 Diagrama de corpo livre de um elemeto diferecial de viga sobre base elástica. 30 Figura 2.3 Modelo de fudação elástica de Wiklxer. 32 Figura 2.4 Modelo de fudação elástica de Filoeko-Borodich. 33 Figura 2.5 Modelo de fudação elástica de Pasterak. 34 Figura 3.1 Viga submetida a carga móvel cocetrada. 39 Figura 3.2 Viga submetida a carga móvel uiformemete distribuída. 41 Figura 3.3 Porção de viga ifiita avaliada a IFFT. 44 Figura 4.1 Domíio discreto cetrado com respeito à origem. 48 Figura 4.2 Forma das fuções de aproximação, cosiderado modos de vibração de metade de viga bi-egastada. 50 Figura 4.3 Forma das fuções de aproximação cosiderado a metade de viga bi-egastada. 51 Figura 4.4 Forma das fuções de aproximação, cosiderado modos de vibração de metade de viga bi-apoiada. 51 Figura 5.1 Comparação etre a resposta exata e resposta aproximada simétrica usado os modos de viga bi-egastada: C = 0.01Cr, L = 2.5m, V = Figura 5.2 Comparação etre a resposta exata e resposta aproximada simétrica usado poliômios de Legedre: C = 0.10Cr, L = 2.5m, V = Figura 5.3 Comparação etre a resposta exata e resposta aproximada simétrica usado modos de viga bi-apoiada: C = 0.1Cr, L = 2.5m, V =

15 Figura 5.4 Comparação etre a resposta exata e resposta aproximada simétrica: a) modos de viga bi-egastada; b) poliômios de Legedre; c) modos de viga bi-apoiada; C = 0.01Cr, V = 0, N = Figura 5.5 Covergêcia do deslocameto máximo. 60 Figura 5.6 Comparação do deslocameto vertical a fase permaete etre a solução aalítica e Galerki: C = 0.01Cr, V = m/s, P = - 2MN, N = 15, L = 3m. 62 Figura 5.7 Resposta a fase permaete para distitos valores de k: C = 0.01Cr, V = m/s, P = 0, N = 50, L=5m, r = 0.0 m. 63 Figura 5.8 Deslocametos máximos para distitos valores de k e r: C = 0, V = m/s, P = 0, N = 50, L = 5m. 63 Figura 5.9 Deslocametos máximos para distitos valores de k e V. C = 0, r = 0.08 m, P = 0, N = 50, L = 5m. 64 Figura 5.10 Deslocameto máximo em fução de V para distitos valores de r: C = 0.05Cr, P = -2MN, N = 50, L = 8m. 65 Figura 5.11 Comportameto da deformada solução aalítica para distitos valores de velocidade, quado C = 0.05Cr, P = -2MN e r = 0.08m. 66 Figura 5.12 Comparação etre a resposta exata e resposta aproximada assimétrica por poliômios de Legedre: C = 0.05Cr, L = 5m, V = 170m/s (V/V cr = 1), r = Figura 5.13 Comparação etre a resposta exata e resposta aproximada assimétrica por séries de Fourier. C = 0.05Cr, L = 5m, V = 170m/s(V/V cr = 1), r = Figura 5.14 Comparação etre a resposta exata e resposta aproximada assimétrica por poliômios de Legedre. C = 0.05Cr, N = 6, V = 170m/s, r = Figura 5.15 Comparação etre a resposta exata e resposta aproximada assimétrica por séries de Fourier: C = 0.05Cr, N = 15, V = 170m/s(V/V cr = 1), r = Figura 5.16 Comparação etre a resposta aalítica e a resposta aproximada assimétrica por séries de Fourier: C = 0.05Cr, L = 15m, r = 0m, P = -2MN, V = 180m/s(V/V cr = 1.1)

16 Figura 5.17 Deslocametos máximos em fução da Velocidade para distitos valores de r: C = 0.05Cr, P = -2MN, N = 50, L = 8m. 72 Figura 5.18 Deslocametos máximos para distitos valores de k e P: C = 0, r = 0.08 m, V = 50m/s, N = 50, L = 5m. 73 Figura 5.19 Velocidade crítica em fução da força axial: C = 0.05C r, N = 50, L = 8m. 74 Figura 7.1 Variação de deslocameto máximo em fução da carga para valores positivos de β 3 : ζ = 0, C 1 = 0.05C 1 cr, f 1 = 0, P 1 = 0, ρ = 0, N= Figura 7.2 Variação de deslocameto máximo em fução da carga para valores egativos de β 3, (ζ=0), C 1 =0.05C 1 cr, f 1 =0, P 1 =0, ρ=0 N=15. Figura 7.3 Fase trasiete do deslocameto em ζ=0. C 1 = 0.01C 1 cr, f 1 = 20, P 1 = 0, ρ = 0, N = 15 e 86 8 β = x Figura 7.4 Deslocametos adimesioais a fase permaete: f 1 = 40, ρ = 0, C 1 = 0.05C 1 cr, P 1 = , N = 15, 8 β = x Figura 7.5 Ifluêcia da ão-liearidade e da iércia rotacioal da viga os deslocametos a fase permaete: C 1 = 0.05C 1 cr, f 1 = 40, P 1 = , N = 15, 6 β = x Figura 7.6 Deslocameto máximo em fução de ρ: C 1 = 0.05C 1 cr, f 1 = 8 40, P = , N = 15, β 3 = x Figura 7.7 Deslocameto vertical adimesioal para velocidade crítica: C 1 = 0.04C 1 r, f 1 = 25.25(f 1= f 1cr ), P 1 = , N = 15, ρ = Figura 7.8 Deslocameto adimesioal para velocidade superior à crítica: C 1 = 0.04C 1 cr, f 1 = 25.0 (f 1 =1.2 f 1cr ), P 1 = , N = 15, ρ = Figura 7. 9 Deslocameto máximo em fução da velocidade. C 1 = 0.04C 1 cr, P 1 = , N = 15, ρ = Figura 7.10 Fase trasiete do deslocameto em ζ = 0, C 1 = 0.01C 1 cr, f 1 = 0, P 1 = 0, N = 20, ρ = 0, f = 70 Hz. 95 Figura 7.11 Fase Permaete do deslocameto em ζ = 0: C 1 = 0.01C 1 cr, f 1 = 0, P 1 =0, N = 20, ρ=0, f = 70 Hz

17 Figura 7.12 Variação do deslocameto máximo em fução de f: f 1 =0, P 1 = 0, C 1 = 0.05C 1 cr, 3 = x10 10 β. 97 Figura 7.13 Deslocameto vs ζ: C 1 = 0.05C 1 cr, f 1 = 5, P 1 = , ρ = 0.008, f = 50Hz, t = 0.505s (tempo ode há um máximo de amplitude). 98 Figura Deslocameto vs ζ: C 1 = 0.05C 1 cr, f 1 = 10, P 1 = , ρ = 0.008, f = 50Hz, t = 0.506s (tempo ode há um máximo de amplitude). 99 Figura Deslocameto máximo em fução da velocidade: P1 = , C1 = 0.05C1cr, ρ = 0.008, f = 50Hz

18 Listas de Tabelas Tabela 5-1 Parâmetros do sistema 56 Tabela 5-2 Covergêcia do método de Galerki o cálculo do deslocameto máximo. 60 Tabela 5-3 Parâmetros de carregameto distribuído. 61 Tabela 7-1 Parâmetros adimesioais para aálise do comportameto simétrico. 84 Tabela 7-2 Parâmetros adimesioais para aálise do comportameto assimétrico. 90 Tabela 7-3 Parâmetros adimesioais para aálise de carga harmôica estacioária

19 Lista de Símbolos a Extesão do carregameto trasversal uiforme; A Amplitude arbitrária da fução de aproximação φ ; A j(ζ ) Fução que descreve os modos de vibração simétricos a coordeada adimesioal; B j (ζ ) Fução que descreve os modos de vibração ati-simétricos a coordeada adimesioal; C Coeficiete de amortecimeto; Ccr Parâmetro adimesioal de amortecimeto; C 1 Coeficiete de amortecimeto; C 1 cr Coeficiete de amortecimeto crítico; D Rigidez à flexão; D Eésimo coeficiete de amortecimeto em equação de movimeto; Ds E EqL j Eésimo coeficiete de amortecimeto em equação de movimeto adimesioal; Módulo de elasticidade de Youg; Parcela liear de sistema de equações difereciais EqNL j Parcela ão-liear de sistema de equações difereciais f Freqüêcia de excitação de carregameto harmôico. f 1 Parâmetro adimesioal de velocidade de carregameto; f 1 cr Parâmetro adimesioal de velocidade crítica; f i Valor i-ésimo de fução discreta; f (η) Fução arbitrária depedete da coordeada móvel; f (t) Fução arbitrária depedete do tempo; f (x) Fução arbitrária depedete da coordeada x; F Fução resposta de uma equação diferecial; FR Resultate do carregameto distribuído; F Valor eésimo de fução trasformada discreta; F (ξ ) Trasformada de Fourier da fução f(η); Fa ( x, t) Fução de força de amortecimeto em qualquer poto da viga; Fi ( x, t) Fução de força de iércia em qualquer poto da viga; G Rigidez da fudação ao cisalhameto; H (..) Fução Heaviside; I Mometo de iércia da seção da viga; j Ídice cotador de uma série de elemetos; k Coeficiete de rigidez liear da fudação; k Coeficiete de rigidez ão-liear da fudação; 3 19

20 K Ks L m M Eésimo coeficiete de rigidez uma equação de movimeto; Eésimo coeficiete de rigidez uma equação de movimeto adimesioal; Metade do comprimeto de discretização do espaço; Massa da viga por uidade de comprimeto; Eésimo coeficiete de iércia uma equação de movimeto; Ms Eésimo coeficiete de iércia uma equação de movimeto adimesioal; M ( x, t) Fução de mometo fletor em qualquer poto da viga; Número cotador associado a uma equação; N Número total de elemetos associado ao cotador ; P Força axial compressiva; P 1 Parâmetro adimesioal de força axial compressiva; q Itesidade do carregameto uiforme; q ( x, t) Fução do carregameto trasversal arbitrário em coordeadas fixas; q( η, t) Fução do carregameto trasversal a coordeada móvel; q( ζ, t) Fução do carregameto trasversal adimesioalizado; Q Carga trasversal cocetrada; Q 1 Itesidade da carga trasversal distribuída adimesioalizada; Q ( ξ, Ω) Trasformada dupla de Fourier da fução q(η,t); r Raio de giração da seção da viga; R Resíduo a miimizar; Rf ( x, t) Reação da fudação elástica em qualquer poto da viga; PA Eésimo poliômio ati-simétrico de Legedre; PS (η) Eésimo poliômio simétrico de Legedre; t Tempo; T Força de tração; T (t) Amplitude da fução X (η) depedete do tempo; V ( x, t) Esforço cortate em qualquer poto da viga; V Velocidade de deslocameto da carga; Vcr Velocidade crítica; w ( x, t) Campo de deslocametos trasversais em coordeadas fixas; w( η, t) Campo de deslocametos trasversais a coordeada móvel; w* ( ζ, t) Campo de deslocametos trasversais adimesioais; W Eésima compoete complexa da trasformada rápida de Fourier; W ( ξ, Ω) Trasformada dupla de Fourier da fução w(η,t); x Coordeada axial do espaço; x 0 Valor arbitrário costate para a coordeada x; X (η) Eésima fução de aproximação depedete do espaço móvel; X (ζ) Eésima fução de aproximação depedete da coordeada adimesioal; Y Eésima compoete par da trasformada rápida de Fourier; z Coordeada trasversal do espaço; Z Eésima compoete ímpar da trasformada rápida de Fourier; 20

21 Operadores coj (..) Operador que calcula o par cojugado de um úmero complexo; Div (..) Operador que toma a parte iteira um úmero real; I (..) Operador que aplica a trasformada de Fourier; 1 I (..) Operador que aplica a trasformada iversa de Fourier; Símbolos gregos α Parâmetro adimesioal de extesão de carregameto; β 1 Parâmetro adimesioal liear de rigidez da fudação; β 3 Parâmetro adimesioal ão-liear de rigidez da fudação; Γ Domíio arbitrário; δ (..) Fução delta de Dirac; ζ Coordeada adimesioal do espaço móvel; Fração ou icremeto de uma gradeza; η Coordeada do espaço móvel; λ Parâmetro de rigidez usado a resposta de viga ifiita sob carga cocetrada estática; ξ Coordeada trasformada do espaço móvel; θ ( x, t) Campo de rotações em coordeadas fixas o espaço; l Comprimeto de discretização do espaço móvel; ρ Parâmetro adimesioal de iércia rotacioal; Τ 1 Parâmetro adimesioal de iércia traslacioal; φ Eésima fução de aproximação; ψ j (..) Fução de poderação Ψ Fução arbitrária de poderação; Ω Coordeada trasformada do tempo; ω Freqüêcia circular de excitação da carga harmôica; 21

22 Egieers are ot superhuma. They make mistakes i their assumptios, i their calculatios, i their coclusios. That they make mistakes is forgivable; that they catch them is imperative. Thus it is the essece of moder egieerig ot oly to be able to check oe s ow work but also to have oe s work checked ad to be able to check the work of others. Hery Petrosky 22