RESPOSTA DINÂMICA SOBRE UMA HASTE EM QUEDA LIVRE CHOCANDO-SE TRANSVER- SALMENTE CONTRA UM APOIO RÍGIDO

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1 RESPOSTA DINÂMICA SOBRE UMA HASTE EM QUEDA LIVRE CHOCANDO-SE TRANSVER- SALMENTE CONTRA UM APOIO RÍGIDO ALEXANDRE U. HOFFMANN 1, ANG CHONG. 1. Grupo de Mecâica Aplicada, Programa de Pós-graduação em Egeharia, Uiversidade Federal do Pampa, Aveida Tiaraju, N 810, Cep: Alegrete, RS, BRASIL s: alexadre.hoffma@ibiruba.ifrs.edu.br. Grupo de Mecâica Aplicada, Programa de Pós-graduação em Egeharia, Uiversidade Federal do Pampa, Aveida Tiaraju, N 810, Cep: Alegrete, RS, BRASIL s: agchog@uipampa.edu.br Abstract The preset study is aimed to mathematically model the physical pheomeo that occurs he a cylidrical metal rod hits i free fall ru up agaist a rigid base exactly i the ceter of its legth, this is cosidered o-deformable rigid base. A closed aalytical solutio foud is the dyamic respose of the pheomeo, despite beig i the form of series, oly the first to items are sigificat, ad the others are discarded. This rod o its surface must ithstad abrasio, so it has hardess greater tha the hardess foud i its core. The aser foud eables us to seek a fudametal solutio for the aalysis of failures i mechaical compoets that udergoes this type of request. Thus, e fid the critical regios o the stem, here tesios are far greater tha the yield stress of the material ad could cause surface cracks. It is oteorthy that the solutio developed is oly valid ithi the elastic limit of the material ad oly util the momet he the reversal of movemet occurs beam. KeyordsClosed aalytical solutio, dyamic respose, theory of Euler Beroulli s beam, shock. Resumo O presete estudo, tem por objetivo modelar matematicamete o feômeo físico que ocorre quado uma haste cilídrica metálica, em queda livre choca-se cotra uma base rígida exatamete o cetro de seu comprimeto, esta base rígida é cosiderada ideformável. A solução aalítica fechada ecotrada é a resposta diâmica do feômeo, apesar de estar a forma de séries, apeas os dois primeiros ites são sigificates, e os outros podem ser desprezados. Esta haste em sua superfície precisa suportar o desgaste por atrito, sedo assim, ela possui uma dureza maior que a dureza ecotrada o seu úcleo. A resposta ecotrada os permite buscar uma solução fudametal para a aálise de falhas em compoetes mecâicos que sofrem este tipo de solicitação. Assim, ecotramos as regiões críticas a haste, ode as tesões são bem maiores que a tesão de escoameto do material, podedo vir a ocasioar tricas superficiais. Vale salietar, que a solução desevolvida só é válida detro do limite elástico do material e somete até o istate que ocorre a iversão de movimeto da viga. Palavras-chave Solução aalítica fechada, resposta diâmica, teoria das vigas de Euler Beroulli, choque. 1 Itrodução Feômeos de impacto acotecem frequetemete os processos de produção idustrial. Por exemplo, podemos citar o processo de moagem das rochas hospedeiras de miério de ferro, ode esferas ou hastes cilídricas de aço são abadoadas de certa de altura e trasformam sua eergia potecial em eergia de deformação causado a fratura das rochas mierais, quebrado-as em pedaços meores. Para desevolver esta atividade, estes compoetes mecâicos são submetidos a codições abrasivas severas além de eorme impacto. Buscado melhorar a resistêcia ao desgaste, a superfície da haste geralmete é tratada termicamete, aumetado-se a dureza da sua superfície. Cotudo, com o aumeto da dureza poderá ocorrer uma dimiuição da teacidade à fratura da haste, causado quebra da mesma, ocorredo uma parada ão programada o fluxo de produção, oerado ecoomicamete aida mais o processo de extração do miério de ferro. Para balacear esta relação etre dureza e teacidade, é fudametal cohecer comportameto diâmico de uma haste chocado-se com rochas. Este estudo aalisou o caso em que uma haste cai de certa altura e choca-se trasversalmete cotra uma rocha, exatamete a metade de seu comprimeto. Esta rocha foi cosiderada como sedo uma base rígida, ideformável. Baseado a teoria das vigas de Euler Beroulli, este trabalho obteve uma solução fechada em termos de tempo para a viga durate o choque que ocorre etre ela e a base rígida. Na literatura há soluções sobre uma massa que se choca uma viga (Lee, 195; Karues, 1960; Liu, 1988) e também uma viga que se choca com outra viga (Xu, 001), cotudo os autores deste trabalho, ão ecotraram artigos publicados sobre o caso ivestigado.

2 Materiais e Métodos.1 Estudo sobre vibrações laterais em vigas Para aplicarmos a teoria das vigas de Euler Beroulli, devemos cosiderar as seguites premissas, da teoria elemetar das vigas: Existe um eixo a viga que ão sofre tração ou compressão, e o eixo x, será posicioado ao logo deste eixo. As seções trasversais perpediculares ao eixo eutro o estado ão torcido da viga permaecem plaas e perpediculares ao eixo eutro deformado, o que sigifica que o cisalhameto pode ser descosiderado. O material é liearmete elástico e as propriedades da viga são homogêeas em todas as direções. Supodo que a haste caia livremete de uma altura h e choca-se em seu cetro com uma base rígida, ideformável, como mostra a figura 1, podemos observar a haste o mometo exato do choque, totalmete a horizotal, e em questão de istates, ela esta fletida. Figura 3. Diagrama de corpo livre Sedo que M(x,t) é o mometo fletor, V(x,t) é a força de cisalhameto e f(x,t) é a força extera por uidade de comprimeto da viga, sedo a força de iércia que age sobre o elemeto: A xdx x, t (1) t Ode, ρ é a desidade da massa, e A(x) é a área da seção trasversal da viga. Utilizado a teoria das vigas de Euler Beroulli, têm-se as relações: M V x, t x, t () x Figura 1. Haste sofredo o impacto e cosequetemete a deflexão Para uma abordagem mais efática, iremos dividir a haste exatamete o poto O que esta sobre a base rígida, cosiderado etão que a haste possui um vículo este poto, sedo deomiada de extremidade fixa e a extremidade B como sedo a livre, coforme mostrado a figura. M, x x, t EI( x) x t (3) Deomia-se E como módulo Youg do material e I(x) é o mometo de iércia da seção trasversal da haste. Através da seguda lei de Neto obtemos a equação de movimeto da viga como: EI ( x, t) A x, t f x, t x t () Para o caso de vibração livre, f(x,t) = 0; a equação de movimeto tora-se: (, ), c x t x t 0 (5) x t Ode c, é uma costate: Figura. Haste sofredo o impacto e cosequetemete a deflexão Podemos etão aalisar um pequeo comprimeto da haste, chamado de dx, assim, pela figura 3, podemos observar o diagrama de corpo livre: EI c (6) A

3 . Solução de vibração livre Utilizado o método de separação de variáveis, podemos determiar a solução para vibração livre como: x t xt t, (7) Substituido a equação (7), a equação (), e rearrajado os termos, obtemos duas equações a forma: d dx x d T dt t x 0 (8) t 0 T (9) determiada pelo método de superposição de modo, para que isto seja possível cosideramos que a deflexão da viga seja: x, t xq t (15) Ode q (t) é a coordeada geeralizada do eésimo modo de vibração e (x) é o eésimo modo ormal ou fução característica que satisfaz a equação (8). Levado a expressão (15) à equação (0) e através da ortogoalidade de fuções (x), ecotramos a equação: ode t q q Q (16).. Assim, as frequêcias aturais da viga são calculadas pela equação (10): b l 0 dx (17) EI A EI A (10) Por cosequêcia a solução para as equações podem ser expressas como sedo: x C 1 cosh C seh C 3 cos C se (11) C 1, C, C 3, C são costates diferetes e podem ser determiadas por codições de cotoro. Segudo a teoria clássica de viga em balaço (Rao, 008), a equação característica de autovalores: cosh l cos l 1 0 (1) Esta equação é satisfeita por um úmero de, (=1,,3,...), assim: x C se x seh x cos x cosh x Ode C C e, (13) e Q g b l 0 xdx A solução geral da equação (16) é: q ( t ) A cos t B Pelas codições iiciais: Q se t (18) (19) ( x,0) 0; ( x,0) V0 cost. 0) Obtivemos a expressão completa do deslocameto lateral da haste após o choque com a base rígida, como: x, t se x seh x cos x x cosh d 1 g 1 cost V0se t Ode d é igual: (1) C1 sehl sel (1) C cosh l cos l.3 Solução de vibração forçada () Para osso caso, f(x,t) = -ρag = costate 0, A solução da vibração forçada de uma viga pode ser

4 3 Resultados Para realizar esta etapa do trabalho, utilizamos o softare Matlab, possibilitado de uma maeira mais rápida a obteção dos resultados demostrados abaixo. 3.1 Dados Os dados utilizados foram: Meio comprimeto da Haste: l=.1m; Raio da haste: R= 0,0508m; Módulo de elasticidade: E =180 GPa; Desidade da haste: ρ = 7850 kg/m 3 ; Gravidade: g = 9,81 m/s; Altura de queda: h = 6,096m; Velocidade o iicio do impacto: V 0 = 10,9363m/s; 3. Obteção das curvas de distribuição de mometo fletor Segudo a equação (3), o mometo é calculado realizado a seguda derivada de (x,t) em relação a x, sedo assim, temos as figuras abaixo ilustrado os mometos fletores M (x,t) para (=1,,...,10) os istates t= 0,1s mostrado a figura 5, e para t=0,5s é mostrado a figura 6. Figura 6. Mometo fletor o tempo de 0,5 segudos. Observado as figuras ficou claro que apeas para os ites = 1 e, os mometos fletores possuem valores sigificates. Para >, os mometos são quase zero, isto os permite tracar a série da equação (0), quado = sem ocorrer maior erro. A figura 7 mostra a variação dos coeficietes d, que decrescem e se aproxima de zero rapidamete quado aumeta o. Isto evidecia que os ites (x,t) poderão ser desprezáveis quado > Coeficetes d Figura 7 Variação do d em relação 3.3 Obteção dos gráficos de tesões Figura 5. Mometo fletor o tempo de 0,1 segudos. Na figura 6, temos o mometo fletor o tempo de 0,5 segudos. A tesão máxima de tração que ocorre a superfície superior da haste é dada por: M x, tr x, t R x, t EI (3) I x I E força cortate é dada por: V M x, t x, t () x A figura 8 apreseta a distribuição da tesão máxima a superfície superior da barra, variado o tempo de 0 até 0,03 segudos. Através da figura 8,

5 percebemos que a tesão máxima que ocorre a superfície da barra ão ocorre a posição de cotato com o apoio (x=0), mas aproximadamete a 0,9m do apoio. Quado aumeta o tempo, o pico de tesão máxima desloca-se para o apoio. Figura 8. Tesão máxima a haste o itervalo de 0 a 0,03 s. A figura 9, os mostra a força cisalhate a haste, podemos observar que é ula a posição da seção trasversal ode o mometo fletor é máximo. Na figura 11, temos seis curvas de deflexão plotadas em um itervalo de tempo que varia de 0 até 0,5 segudos. Podemos observar este gráfico que coforme aumeta o tempo, a deflexão vai aumetado. d ef l e x a o ( m m ) 0 deflexao vs tempo t=0.000s t=0.100s -000 t=0.00s t=0.300s t=0.00s t=0.500s x(m) Figura 11. Curvas de deflexões o itervalo de 0 a 0,5s. Para que possamos aalisar o mometo exato quado ocorre o retoro elástico da viga, utilizamos um itervalo de tempo mais refiado, que esta sedo mostrado a figura 13. Figura 9. Força cortate a haste o itervalo de 0 a 0,03 s. Já a figura 10, foi demostrado o gráfico da tesão ormal a superfície da haste, agora o itervalo de tempo etre 0,3 a 0, segudos. Figura 1. Deflexão a barra o itervalo de 0,3 a 0, segudos. Figura 10. Tesão máxima a superfície superior da haste, o itervalo de 0,3 a 0,s. Nela podemos observar que a liha azul represeta o tempo de 0,3 segudos, em seguida temos a liha de cor verde com o tempo de 0,36 segudos. Avaçado aida mais temos a liha em vermelho com o tempo de 0,38 segudos, em seguida esta a liha turquesa clara, com o tempo de 0, segudos ode ocorre a iversão de setido e a haste tede a voltar para a sua posição de repouso. Podemos observar a figura (10), que a tesão máxima ocorre o apoio quado o tempo está em toro de 0,36 segudos, o qual, a tesão é aproximadamete de MPa. É evidete que ates de atigir esta tesão ira ocorrer o colapso da haste. 3. Obteção das curvas de deflexão Cotribuição deste artigo A solução diâmica ecotrada é de suma importâcia para o estudo da relação existete etre a dureza superficial da haste com a sua teacidade à fratura. Esta etapa desevolvida este trabalho será utilizada para o estudo de propagação de tricas a superfície da haste, bem como, para ecotrar uma equação matemática que descreva o melhor perfil de

6 trasição etre a dureza superficial da haste, com sua teacidade a fratura do material do úcleo da haste. 5 Coclusão A solução obtida é aalítica fechada. Apesar de estar a forma de série, apeas os primeiros dois ites são sigificates e os restos poderão ser desprezáveis. A solução poderá servir como uma solução fudametal para aálise de falhas a haste de queda livre e chocado seu cetro com um stop rígido. Agradecimetos Agradecemos a CAPES pelo fiaciameto deste trabalho Referêcias Bibliográficas Filho, E. L. M. (199). Maual de Redação e Estilo, Maltese. Karues, B.; Oat, E.T.; (1960). O the effect of shear o plastic deformatio of beams uder trasverse impact loadig. J. Appl. Mech. Vol.7, 107. Lee, E.H.; Symods, P.S.; (195). Large plastic deformatio of beams uder trasverse impact. J. Appl. Mech. Vol. 19, 308. Liu, J.H.; Joes, N.; (1988). Dyamic respose of a rigid clamped beam struck by a mass at ay poit o the spa. It. J. Solid Struct. Vol., 51. Rao, S. S.: (008). Vibrações Mecâicas. Pearso Pretice Hall, São Paulo SP. Xu, T.X., Yag, J.L. Reid, S.R. (001), Deformable body impact: dyamic plastic behaviour of a movig free±free beam strikig the tip of a catilever beam, Iteratioal Joural of Solids ad Structures, No. 38, pp Boyce,. E.; Diprima, R. C; (011). Equações Difereciais Elemetares e Problemas de Valor de Cotoro. LTC, Rio de Jaeiro RJ. Steart, J. (011). Cálculo. Vol.. Cegage Learig. São Paulo SP. Ato, H.; Bives, I.; Stephe, D. (007). Cálculo. Vol.. Bookma, Porto Alegre RS. Balachadra, B.; Magrab, E. B. (011). Vibrações Mecâicas. Cegage Learig. São Paulo SP.