4 Modelagem Numérica. φ φ

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1 4 Modelagem Numérica O modelo matemático apresetado o capítulo aterior foi resolvido com o código comercial FLUENT, o ual é baseado o método de Volumes Fiitos (Patakar, 1980). Para resolver umericamete as euações de coservação, estas precisam ser trasformadas em sistemas de euações algébricas. A técica de volumes fiitos cosiste em dividir o domíio computacioal em volumes de cotrole e itegrar temporalmete e espacialmete cada euação de trasporte em cada volume de cotrole, estabelecedo uma euação discreta ue expresse a lei de coservação em cada um deles. 4.1 Discretização Temporal A discretização temporal evolve a itegração de cada termo das euações difereciais um itervalo de tempo t. No presete trabalho utilizou-se itegração implícita de primeira ordem (Euler implícito). Seja a E. 4.1, uma expressão geérica para a evolução de uma gradeza escalar ualuer φ o tempo: φ =ψ t ( φ) (4.1) A variável φ o ovo istate de tempo +1 é obtida avaliado a fução ψ (ue iclui ualuer discretização espacial) o istate +1, etão, a itegração implícita de primeira ordem é dada por: ( φ ) φ φ = t ψ (4.2) A E. 4.2 deve ser resolvida iterativamete em cada itervalo de tempo ates de passar para o seguite. O método totalmete implícito tem a vatagem ue é sempre estável, idepedete do tamaho do passo de tempo.

2 Capítulo 4. Modelagem Numérica Discretização Espacial A discretização espacial do fluxo covectivo-difusivo foi realizada mediate o esuema QUICK (Quadratic Upwid Implicit Differecig Covective Kiematics). O esuema QUICK tradicioal foi desevolvido por Leoard (1979). Este é um esuema de seguda ordem, ue leva em cota a ifluêcia de até dois vizihos a motate da face, para a iterpolação da gradeza de iteresse, combiado com a idéia do esuema Upwid. Segudo a Fig. 4.1(a) e Fig. 4.1(b), a discretização para a face e é feita com as seguites restrições: Se u) e > 0 φ e = (φ W, φ P, φ E,). (4.3) Se u) e < 0 φ e = (φ P, φ E, φ EE,). a) Caso ρ u) e > 0 b) Caso ρ u) e < 0 Figura 4.1- Discretização esuema QUICK Este procedimeto é feito de forma aáloga para as outras faces. Os esuema tipo- QUICK (Leoard e Mokhtari, 1990) são baseados uma média poderada etre o esuema upwid de seguda ordem e iterpolações cetrais. No FLUENT, a variável φ e (cosiderado um escoameto uidirecioal a face e, com u) e > 0) pode ser escrita como segue: φ xe θ xp + x xp φ + x + x φe + x + 2 x x W P P ( 1 θ ) φp φ xw + xp xw + xp e = P W E P E (4.4)

3 Capítulo 4. Modelagem Numérica 49 Um valor de θ = 0 forece um esuema de difereças cetrais de seguda ordem e um valor de θ = 1 forece um esuema Upwid de seguda ordem. O esuema QUICK tradicioal é obtido substituido-se o valor de 1/8 para θ. A implemetação o FLUENT utiliza uma variável ue é o valor de θ depedete da solução, escolhido de forma a ão itroduzir ovos potos limites a solução. O esuema QUICK tradicioal é utilizado em malhas estruturadas, euato ue o FLUENT utiliza o esuema Upwid de seguda ordem em malhas ão estruturadas ou híbridas, as faces de células ão hexaédricas e os limites das partições uado se usa uma simulação em paralelo. 4.3 Acoplameto Velocidade-Pressão Para resolver o acoplameto velocidade pressão, utilizou-se um método seüecial, pertecete a uma classe de métodos chamados de projeção (Chori, 1968). Neste algoritmo, a restrição de coservação de massa (cotiuidade) do campo de velocidades é atigida resolvedo-se uma euação de correção de pressão. A euação de correção de pressão é deduzida das euações de coservação de uatidade de movimeto liear e de cotiuidade de forma a garatir ue o campo de velocidades, corrigido pela pressão, satisfaça a cotiuidade. No presete trabalho, o algoritmo selecioado foi PISO (Pressure Implicit with Splittig Operators) de Issa (1986). Este algoritmo pode ser cosiderado como uma extesão do algoritmo SIMPLE (Patakar, 1980) para escoametos trasietes, e evolve um passo preditor e dois passos corretores, aumetado assim seu redimeto. O esuema de iterpolação da pressão utilizado foi o PRESTO (Pressure Staggerig Optio), ue usa um balaço de cotiuidade discreto um volume de cotrole deslocado com relação à face para ecotrar a pressão, de forma semelhate ao empregado com malhas deslocadas para resolver os campos de escoameto. 4.4 Discretização Temporal do Método VOF A discretização temporal do método VOF foi baseada o método explícito, i.e., ão é ecessário efetuar iterações em cada passo de tempo porue a saturação

4 Capítulo 4. Modelagem Numérica 50 o passo de tempo atual é determiada baseada somete em dados já cohecidos do passo de tempo aterior. A formulação explícita toma a seguite forma: α + 1 ρ + 1 t α ρ + f f ρ U α, f = 0 (4.5) com +1 sedo o valor o seguite itervalo de tempo t+ t e é valor o tempo atual t, α,f é a saturação da fase avaliada a face, é o volume da célula e U f é o fluxo volumétrico através da face, baseado a velocidade ormal. Quado o esuema explícito é utilizado, a avaliação dos fluxos através faces pelo FLUENT, podem ser iterpolados usado um esuema de recostrução da iterface se houver uma iterface o volume cosiderado ou através de iterpolação de acordo com o esuema de discretização utilizado. O esuema de recostrução de iterface selecioado para ser utilizado o presete trabalho foi o esuema Recostrução Geométrica (Geometric Recostructio) de Yogs (1982), por ser o esuema recomedado por represetar mais precisamete a iterface Esuema de Recostrução Geométrica O esuema de Recostrução Geométrica (Yogs, 1982) assume ue a iterface etre dos fluidos possui uma icliação liear etre cada célula, e usa essa forma liear para calcular a advecção de fluido pelas faces da célula. O primeiro passo o esuema de recostrução é o cálculo da posição da iterface liear relativa ao cetro de cada célula parcialmete cheia, baseado-se os dados de saturação e suas derivadas a célula. O segudo passo é calcular a uatidade de fluido ue é advectado através de cada face, utilizado as iformações da iterface liear calculada, assim como as distribuições das velocidades ormais e tageciais a face. O terceiro passo é calcular a saturação em cada célula, usado um balaço dos fluxos calculados o passo de tempo aterior. A Figura 4.2(a) ilustra a iterface real etre dois fluidos ualuer e a Fig. 4.2(b) apreseta a mesma iterface, recostruída pelo esuema Recostrução Geométrica, idicado ue a ualidade do método é satisfatória.

5 Capítulo 4. Modelagem Numérica 51 a) Iterface real. b) Iterface aproximada Figura 4.2- Formas de iterface etre dois fluidos. 4.5 Solução do Sistema Algébrico A discretização de todas as euações de coservação resulta um cojuto de euações algébricas, o ue leva a uma matriz esparsa de coeficietes. O FLUENT resolve este sistema algébrico liear usado Gauss-Seidel combiado com o algoritmo algébrico de Multigrid de correção aditiva (AMG) de Hutchiso et al. (1986). Este algoritmo é chamado de algébrico por ue os íveis de egrossameto das malhas são gerados sem o uso de geometria ou rediscretização. 4.6 Domíio Computacioal O domíio computacioal foi gerado com GAMBIT, de acordo com o trabalho de Ujag et al. (2008). Cosiste de uma malha de seção trasversal semicircular (domíio simétrico com relação a um plao axial ue passa pelo diâmetro vertical) comprido o suficiete (= 25D) para evolver uma golfada líuida e o ariz de uma bolha de gás com um diâmetro de 0,024m. Para defiir a malha a ser utilizada, realizou-se um teste de malha com três distribuições diferetes (Tabela 4.1). Tabela 4.1- Teste de Malha Total de VC VC a seção trasversal VC a direção axial Malha Malha Malha

6 Capítulo 4. Modelagem Numérica 52 A Fig. 4.3 ilustra a malha utilizada em cada seção trasversal. Em todos os casos as malhas foram costruídas cocetradas a região da parede. Figura 4.3- Domíios Computacioais A malha a direção axial foi costruída de forma ue os meores volumes de cotrole ficassem a parte cetral da tubulação, ode o ariz da bolha deve estar localizado, visado capturar com precisão a iterface etre o líuido e o gás. A Fig. 4.4 apreseta a cofiguração axial da Malha 2, ode para efeitos de visualização, um fator de escala a direção axial de 0,4 foi aplicado. Nesta figura ecotra-se idicada a área de maior iteresse, isto é, região ode dados experimetais de Foseca (2009) ecotram-se dispoíveis ( ± 1D). Uma ampliação da região de iteresse é apresetada a Fig. 4.5, sem utilizar distorção de escala. Esta região é localizada o cetro da tubulação, cetrada em z=0,30 m. Aalisado-se a Fig. 4.5 pode-se observa ue a malha é mais cocetrada a região das paredes, sedo aproximadamete uiforme axialmete. A partir da comparação dos resultados obtidos para o compoete axial da velocidade em diversas seções trasversais, selecioou-se a Malha 2 por apresetar resultados uase coicidetes com os resultados da Malha 3, porém como um esforço computacioal bem meor. Os resultados destas comparações ecotram-se o Apêdice A.

7 Capítulo 4. Modelagem Numérica 53 Figura 4.4- Distribuição axial esuemática da malha Figura 4.5- Distribuição axial da zoa de iteresse 4.7 Iicialização do Problema De acordo com o procedimeto utilizado por Ujag et al. (2008), o domíio computacioal foi iicializado com duas regiões, uma com saturação da água sedo igual a 1 a metade do domíio ue correspode à etrada de água e outra região com saturação igual a 0 correspodete a saída (ar). O campo de velocidades a região líuida foi iicializado com a velocidade de etrada e a região gasosa como uma velocidade igual a zero. O esuema geral do domíio computacioal iicializado é apresetado a Fig Figura 4.6- Esuema de iicialização do domíio computacioal, Ujag et al. (2008).