Uma abordagem da lógica fuzzy no ensino médio

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1 Uma abordagem da lógca fuzz no ensno médo Catharna O. Corcoll Spna (Unv. Estadual Paulsta e Fundação Ed. de arretos - São Paulo/rasl) Rodne Carlos assanez (Unversdade Federal de Santo ndré São Paulo/rasl) Mara do Carmo Santos Domte (Unversdade Federal Paulsta USP São Paulo/rasl) Resumo: O uso cada vez mas ntenso de concetos subjetvos - provenentes da lógca fuzz - aplcados a problemas reas nos motvou a desenvolver procedmentos para a ntrodução destas déas no âmbto do ensno médo. O projeto propõe ncalmente o estudo de conjuntos fuzz que podem ser entenddos com exemplos - de varação populaconal, de controle de pragas e de epdemas. Posterormente, usar as operações fuzz Sup ( Λ ) e Inf ( Λ ) em produtos de matrzes para realzar dagnóstcos e avalações subjetvas. s stuações abordadas já estão na lteratura (arros e assanez, 2006), entretanto não como fonte para o Ensno Médo. Um dos objetvos prncpas deste trabalho é contrapor a crença de exatdão da matemátca clássca com os resultados provenentes de lógca subjetva, utlzando concetos aproprados para os estudantes destas séres: teora dos conjuntos, relações e funções, matrzes, equações de dferenças e outros. Palavras Chave: Lógca Fuzz, Educação Matemátca, Desenvolvmento do pensamento matemátco. Introdução: certeza ou verdade assm como a dúvda ou ncerteza tem estado no centro das atenções da epstemologa do conhecmento. Na flosofa grega, Platão localza a certeza no mundo das déas em contraponto com o mundo sensível (dos sentdos), no qual teríamos somente aproxmações de resultados obtdos no mundo das déas. Os sofstas, por exemplo, tnham como objetvo transformar modos de argumentação em verdades uma postura cétca dante do conhecmento como absoluto/objetvo. Neste movmento de busca da essênca do conhecmento, a Matemátca tem sdo como nstrumento - uma lnguagem - para esclarecer/analsar as teorzações. De todo modo, a busca da verdade ou certeza tem levado, númeras vezes, ao desenvolvmento de evdêncas opostas, proporconando estudos (matemátcos) de dstntos tpos de ncertezas. ncerteza, provenente da aleatoredade de eventos, ocupa um lugar de destaque no elenco da matemátca com ênfase na área de estudos probablístcos. Teora da Probabldade tem como foco central a explcação da possível ocorrênca de cada evento, baseada numa dstrbução de ocorrêncas passadas. Nesta perspectva, quando modelamos certas stuações

2 da realdade, as varáves lngüístcas estão, mutas vezes, carregadas de subjetvdade - não dspondo de dstrbuções estatístcas ou aleatóras. Nestes casos, as qualfcações de tas varáves são dstngudas por meo de graduações ou de meas-verdades. É neste contexto de ncerteza que a lógca fuzz tem contrbuído com sua lnguagem conjuntsta, na qual cada elemento é provdo de um grau de pertnênca ao conjunto. Tal déa, formalzada por Zadeh em 1965, tem evoluído muto em termos de aplcações em problemas da realdade, dada a sua característca de graduar soluções como medda de credbldade. ssm, a solução de um modelo matemátco não é reconhecda como boa ou rum - como na lógca arstotélca bvalente mas, sm, aceta com algum grau de credbldade pelo usuáro. Lógca Fuzz como modelos de stuações No cotdano, as ações humanas controlam os mas dversos sstemas do mundo real por meo de nformações mprecsas. Cada ndvíduo funcona como uma caxa preta : recebe nformações que são nterpretadas segundo seus parâmetros e então decde qual attude tomar. (arros e assanez, 2006). Os sstemas baseados em regras fuzz permtem o tratamento e manpulação de nformações ncertas e mprecsas, as quas estão representadas por uma famíla de conjuntos fuzz. Tas sstemas oferecem uma forma sstemátca para a modelagem de processos cujas nformações a respeto dos mesmos são fornecdas de forma qualtatva. Dentro deste contexto, a representação do sstema pode ser feta através de varáves lngüístcas representadas por números fuzz que expressam o comportamento do sstema. Para obter a formulação matemátca de um conjunto fuzz, Zadeh baseou-se no fato de que qualquer conjunto clássco pode ser caracterzado por sua função característca 1 se x expressa por: χ ( x) =. 0 se x O objetvo desta função é ndcar se um elemento x de U pertence ou não a, dependendo da magem em {0, 1}. ssm, a função característca descreve completamente o conjunto, uma vez que ndca quas elementos do conjunto U são elementos de (Slva, 2005). Porém, em alguns casos, esta relação de pertnênca representa uma smplfcação da realdade. Uma relação entre duas espéces de anmas, por exemplo, desgnada como presapredador consdera que, nas relações entre estas espéces essas característcas podem estar assocadas com a sua dade. Isto sgnfca que esses anmas seram consderados presa ou predador com mas ou menos ntensdade de acordo com a sua dade. Sendo assm, duas χ

3 espéces, podem se relaconar com dferentes graus. Neste caso podemos dzer que estes conjuntos e estas relações serão fuzz. Deste modo, nos conjuntos fuzz a déa de pertnênca é flexblzada generalzandose a função característca de modo que ela possa assumr um número nfnto de valores dferentes no ntervalo [0,1]. Na fgura 1 buscou-se representar o conjunto fuzz das presas referentes ao sstema presa-predador já menconado. Verfca-se que quando menor for a dade dos anmas, maor será o grau de pertnênca ao conjunto. Entretanto, na dade adulta o grau de pertnênca a este conjunto é bem menor que anteror. Contudo, ao envelhecer poderão ser mas faclmente predados elevando novamente o grau de pertnênca ao conjunto, superando aquele da dade jovem. nálse semelhante pode ser efetuada para o conjunto dos predadores, fgura 2. função que defne o grau de pertnênca de um determnado elemento em um conjunto fuzz é defnda como função de pertnênca. ssm, um conjunto fuzz no unverso U é um conjunto de pares ordenados = { x, ( x)), com x U} ( ϕ onde ϕ é a função de pertnênca de x em. Desta forma, a função de pertnênca assoca com cada elemento x pertencente a U um número real ϕ (x ) no ntervalo [0, 1], que representa o grau de possbldade de que o elemento x venha a pertencer ao conjunto. s funções de pertnênca que representam os conjuntos unão, ntersecção e complementar de conjunto fuzz são dadas por: ( ϕ )( x) max { ϕ ( x), ϕ ( x) } = ϕ ( x) ϕ ( x) = X U ( ϕ )( x) mn { ϕ ( x), ϕ ( x) } = ϕ ( x) ϕ ( x) = X U ϕ, ( x) = 1 ϕ ( x), x U, respectvamente. Partcularmente, se e forem conjuntos clásscos, então as funções característcas das respectvas operações acma defndas satsfazem estas gualdades mostrando a coerênca destas defnções.

4 Para descrever o conhecmento sobre os fenômenos em estudo utlza-se varáves lngüístcas ou varáves fuzz. Estes termos, traduzdos por conjuntos fuzz, estão relaconados através de uma proposção fuzz. Estas proposções conectam as varáves através de operadores lógcos como: e, ou, então e compõem um conjunto de regras fuzz conhecdo como base de regras. Desta forma por exemplo, para modelarmos as les que descrevem o crescmento de populações baseado em regras fuzz teremos para a varável lngüístca população o conjunto de termos (modfcadores lngüístcos) relaconados a ela: baxa (), méda (M), alta () altíssma (L) podemos compor a segunte base de regras: R 1 : Se a população (X) é baxa () então a varação é baxa () R 2 : Se a população (X) é méda (M) então a varação é méda (M) R 3 : Se a população (X) é alta () então a varação é alta () R 4 : Se a população (X) é altíssma (L) então a varação é alta () partr desta é possível estabelecer um conjunto de relações ou operações que consste em combnar um ou mas conjuntos fuzz vsando a obtenção de um únco conjunto fuzz (conjunto solução). s operações báscas referentes às relações fuzz são especfcadas smlarmente àquelas defndas para os conjuntos fuzz. O racocíno aplcado para obtenção do conjunto solução agrega por meo do operador lógco ou, modelado pelo operador máxmo e, em cada regra, os operadores lógcos e e então são modelados pelo operador mínmo. O processo descrto é denomnado de método de nferênca de Mandan. Por fm, há uma transformação nversa do domíno fuzz para o domíno do mundo real, para que ocorra o acoplamento entre saídas do algortmo fuzz e as varáves de atuação (Shaw e Smões, 1999). Para tanto, pode-se utlzar o método do centro de gravdade. s fguras 3 e 4 lustram este processo. Fg. 3 ( u) = V{ x X }{ M ( x, u) ( x)} Na modelagem de fenômenos reas se além de quantfcar seus elementos qusermos quantfcar as característcas que os determnam devemos ncorporar parâmetros fuzz aos modelos clásscos. Desta forma, por exemplo, para modelos dscretos de dnâmca Fg. 4

5 populaconal (de Malthus) os parâmetros fuzz serão ntroduzdos através de equações de dferenças da forma P = P + P n +1 n n onde a varação n P da população com base na densdade da mesma é uma função baseada em proposções fuzz. través da tabela e do gráfco (fguras 5 e 6) comparamos as soluções obtdas através do modelo fuzz e do modelo determnístco. Estes resultados evdencam que ao utlzarmos parâmetros subjetvos na modelagem de fenômenos obtemos resultados smlares aos obtdos com dados reas. Períod Censo demog. Modelo fuzz o Fg. 5 Fg. 6 O modelo SI de epdemologa, utlzado para descrever a dnâmca de doenças transmtda dretamente através da nteração entre ndvíduos suscetíves e nfectados também pode ser modelado através de equações de dferenças, x t + 1 xt = f ( xt ), em que a função f ( x) = x é defnda por parâmetros fuzz tendo como base de regras proposções do tpo: R 1 : Se nfeccoso é então a varação é pequena R 2 : Se nfeccoso é então a varação é pequena, SUSCETÍVEIS INFECTDOS O dagrama acma (Fgura 7) representa este modelo onde S é a proporção de ndvíduos suscetíves e I é a proporção de ndvíduos nfectados. No modelo presa-predador os parâmetros fuzz são determnados a partr do potencal de presa e do potencal de predador. O esquema abaxo (fgura 8) lustra a dnâmca presapredador e os parâmetros (taxas) a serem consderados na elaboração do modelo. PRES FILHOTE PRES DULT PRES VELH a k 1 k 2 µ Fg. 7 α 1 Fg. 8 β PREDDOR FILHOTE PREDDOR DULT λ λ 1 2 PREDDOR VELH ν

6 a : Taxa de nataldade de presas, α : Taxa de comlança (mortaldade de presas em cada estágo ), k : Taxa de transferênca do estágo para (+1) para presas, β : Taxa de nataldade de predadores (taxa de transformação de massa), λ : Taxa de transferênca do estágo para (+1) para predadores, μ : Taxa de mortaldade natural das presas, υ : Taxa de mortaldade natural dos predadores e x 1 = flhote de presa, x 2 = presa adulto (jovem), x 3 =presa velho ou doente, 1 = flhote de predador, 2 =predador jovem e 3 =predador velho. Sendo: Px = Px x + Px x2 + Px 3 (potencal de presa) P 1 x P P P 3 3 = (potencal de predador) α = αp P (taxa de comlança) x β P Σα P x x = f ( 2 ) s equações que modelam a dnâmca acma descrta, podem ser expressas por: x 1 (+1)=ax 2 ()-α 1 x 1 ()-k 1 x 1 () 1 (+1)= βpy Σα Px x -λ 1 1 ()-ν 1 () x 2 (+1) = k 1 x 1 () - α 2 x 2 () - k 2 x 2 () x 3 (+1)=k 2 x 2 ()-α 3 x 3 ()-μx 3 () Os gráfcos (fguras 9, 10 e 11) lustram este modelo. 2 (+1)=λ 1 1 ()-λ 2 2 ()-ν 2 () 3 (+1) = λ 2 2 () - ν 3 () Fg. 9 Fg. 10 Fg. 11 segur desenvolvemos um exemplo completo do processo de modelagem através de um modelo de controle fuzz de pragas. O esquema abaxo (fgura 12) representa esquematcamente um sstema fuzz dscreto. Fg. 12

7 dotamos para varáves de entrada a: Densdade de árvores nfestadas: P e a Varação da Densdade de Infestação: P. s varáves P e P são dadas em porcentagem p e podem assumr valores entre 0% e 100%. partr de nformações obtdas com especalstas defnmos as varáves em termos lngüístcos e as modelamos por subconjuntos fuzz trangulares e por suas funções de pertnêncas. O conjunto de termos assocados a cada varável fuzz do processo é dada por: Dens. Árvores nfestadas:p Var. da dens. de nfestação: P Controle da Infestação: (C) Densdade baxíssma (P b ) Densdade muto baxa (P b ) Densdade baxa (P m ) Densdade méda (P ma ) Densdade méda alta (P a ) Densdade alta (P at ) Varação de densdade quase nula (V O ) Varação de densdade muto baxa (V b ) Varação de densdade baxa (V b ) Varação de densdade méda (V m ) Varação de densdade alta (V a ) Varação de densdade muto alta (V at ) Varáves de entrada do modelo Funções de Pertnênca para Controle de Pulgões: Controle nulo (C o ) Controle muto baxo (C b ) Controle baxo (C b ) Controle médo (C m ) Controle médo alto (C ma ) Controle alto (C a ) Controle muto alto (C at ) Varáves de saída do modelo P Densdade de pulgões ϕ ( 27) = 0,27 / ϕ 0,4 / ϕ P ma P a Fg. 13 ϕ ( P ) P ma p 15 se p [15; 22,5] 7,5 30 p = se p [22,5; 30] 7,5 0 se p [15; 30] Expressão 1 Varação da densdade de pulgões Funções de pertnênca do controle Se 20< p<30 então: 30 p p 20 ϕ P ( p ) = / Vb / V Fg. 14 m Fg. 15 s regras fuzz do sstema possuem o segunte formato, se P é densdade méda alta (P ma ) e P é varação densdade méda (V m ) então o controle é médo alto (Cma). tabela que sntetza todas as possíves regras fuzz é dada por:

8 P/P P b P b P m P ma P a P at V o C o C o C b Cb C m C ma V b C o C b C b C m C ma C a V b C o C b C b C m C ma C a V m C b C b C m C ma C a C at V a C b C b Cm C ma C a C at V at C b C m C ma C a C at C at ase de regras Fg. 16 Os cálculos contdos nas fguras 13, 14 e 15 tem o objetvo de lustrar o processo de nferênca fuzz de Mandan (fg. 16). Por exemplo, se P=27 os úncos conjuntos fuzz atngdos são P ma e P a. Para achar o grau de pertnênca de 27% ao conjunto P ma utlzamos a função de pertnênca dada pela expressão 1 desta forma, para P=27 teremos ϕ ma ( 27) = = 0,4. Procedmento análogo é efetuado para obtenção dos demas graus 7,5 de pertnênca. O símbolo não ndca qualquer tpo de adção apenas conecta os conjuntos atngdos. Em seguda aplcamos o operador MX-MIN para obtenção da resposta desejada. Observe o exemplo numérco a segur: Po=18 (18% das árvores estão nfestadas em t 0 ) Logo: ϕ P (18)=[0,27/ Pm + 0,4/ Pma] Seja po=38 (janero) então ϕ p(38)= [0,2/Vm + 0,8/Va]

9 que da orgem a c = ma [( 0,2 + 0,27) max C m + (0,2 + 0,4) max C ]/[(0,2 + 0,27) + 0,2 + 0,4)] = 35,6 Procurando dar uma maor abrangênca a utlzação das déas contdas nesta teora dentro de um contexto de ensno regular, através de um exemplo de dagnóstco médco podemos trabalhar a noção de produto cartesano através de um produto cartesano fuzz e das prncpas operações (Max-Mn) sobre matrzes para compor os relaconamentos lógcos entre os termos das varáves lngüístcas. O dagrama abaxo representa, de manera smplfcada, os procedmentos para a realzação destes dagnóstcos. Sntomas ase de Regas: R Dagnóstco Os dados que rão compor a base de conhecmentos que será expressa por meo de relação fuzz encontra-se especfcado no quadro abaxo: U=conjunto dos pacentes; V=conjunto dos sntomas; W=conjunto das doenças. Pacentes P 1, P 2, P 3 e P 4, com sntomas s 1, s 2, s 3, s 4, s 5, s 6, s 7, s 8, s 9, s 10 e s 11, e apresentaram os dagnóstcos d 1, d 2, d 3 e d 4, onde: s 1 = febre; s 2 = cefaléa; s 3 = garganta nflamada; s 4 = exantema; s 5 =gânglo; s 6 =corza; s 7 =conjuntvte; s 8 = língua de morango; s 9 =fotofoba; s 10 =tosse seca; s 11 =vômto; d 1 =scarlatna; d 2 = rubéola; d 3 = sarampo; d 4 = grpe. base de conhecmento é composta pelas relações fuzz S e T, cujas matrzes são as seguntes: Pacentes/Sntomas: S P/S S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S 10 P P P P Pacentes/Doenças: T P/S D 1 D 2 D 3 D 4 P P P P Sntoma/Doença: R=S -1 ot S/d d 1 d 2 d 3 d 4 S S S S S S S S S S S

10 Cada elemento da relação R=S -1 ot ndca o grau de envolvmento de cada sntoma com as dversas doenças consderadas. Como o modelo matemátco que adotado para dagnostcar fo o SoR, então para obter o dagnóstco do pacente P 1, supondo que [P 1 ] é a matrz com os sntomas do pacente P 1 basta calcularmos [P 1 ] o R. Desta forma o resultado obtdo será dado por: R P)( d) = sup [mn[ R( s, d), P( )]] ( { s V } s R ( P) = (0,9;0,3;0,4;0,2) (Doença scarlatna) Da mesma manera podemos obter o dagnóstco para os demas pacentes. Conclusão: partr dos exemplos desenvolvdos pudemos constatar que para os sstemas que utlzam a Lógca Fuzz o processamento de nformações consste em operações que são realzadas sobre conjuntos fuzz. Estes conjuntos são mas abrangentes uma vez que um conjunto clássco é um caso partcular de conjuntos fuzz. pesar dsto, as operações entre estes conjuntos mantém smlardade com as operações realzadas entre conjuntos clásscos. Fnalmente, esta teora permte a utlzação de nformações subjetvas na modelagem de dversos fenômenos. pesar dsto, verfca-se que os resultados obtdos através dos modelos fuzz são coerentes com os resultados obtdos através de modelos clásscos (determnístcos). Referêncas blográfcas: CHCIN, R. J. O. Socedad e Investgacón: orrosdad. Unversdad Central de Venezuela, Comsón de Estúdos Interdscplnares Publcacones, año 2, n.4, octubre MENDOL, M. e SOUZ,.L. Manual do uso da teora dos conjuntos fuzz no MTL 6.1. FEGRI/UNICMP, RROS, L.C., SSNEZI, R. C. Tópcos de Lógca Fuzz e omatemátca. Coleção IMECC. Textos Ddátcos. Vol 5. Campnas: UNICMP, SHW, I. S. e SIMÕES, M. G. Controle e Modelagem Fuzz. São Paulo: Edgard lucher Ltda, São Paulo,1999. SILV, J.D.M. nálse de establdade de sstemas dnâmcos p-fuzz com aplcações em bomatemátca. Tese de Doutorado, IMECC-Uncamp, Campnas,2005. KOSKO,. Fuzz Thhnkng the new scence of fuzz logc. Hperon, New York,1993.