Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ
|
|
- Olívia Melgaço Flores
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Anotções sobre somtórios- nível médio Rodrigo Crlos Silv de Lim Universidde Federl Fluminense - UFF-RJ rodrigo.uff.mth@gmil.com
2 1
3 Sumário 1 Somtórios Operdor diferenç e E Delt de Kronecker Potênci ftoril Definição de somtório Exercícios Equivlênci entre definições de somtório Notção compct versus reticêncis Primeirs técnics de Somtório Som telescópic ou som d diferenç Diferenç do somtório Primitiv finit Fórmul de Interpolção de Newton
4 Cpítulo 1 Somtórios Esse texto ind não se encontr n su versão finl, sendo, por enqunto, constituído pens de notções informis. Sugestões pr melhori do texto, correções d prte mtemátic ou grmticl eu grdeceri que fossem envids pr meu Emil rodrigo.uff.mth@gmil.com. 1.1 Operdor diferenç e E O operdor diferenç é de fundmentl importânci no trtmento de somtórios, com ele expressmos propriedde que veremos ind nesse texto que é chmd de som telescópic, com qul é possível descobrir fórmuls fechds pr lguns somtórios. Definição 1. Dd um função f : R R definimos o operdor que lev um função f : R R em um função f : R R dd por f(x) := f(x + 1) f(x). Definição 2 (Potêncis de ). Definimos 0 f(x) = f(x) n+1 f(x) = n f(x + 1) n f(x). 3
5 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 4 Definição 3 (Operdor E.). Ddo h R definimos o operdor E h que lev funções f : R R em um função E h fr R, dd por E h f(x) = f(x + h). Observe que f(x) = f(x + 1) f(x) então escrevemos = E Delt de Kronecker Definição 4 (Delt de Kronecker). Ddos, b em um conjunto qulquer A não vzio, definimos função δa A R como δ (,b) = 0 se b. se = b. δ (,b) = Potênci ftoril Definição 5 (Potênci ftoril ). Definimos potênci ftoril de psso h e expoente n e bse x como com n N, x, h R. n 1 x (n,h) = (x kh) Com n = 0 usmos o produto vzio 1 x (0,h) = (x kh) = 1. Usremos em especil o cso de h = 1 n 1 x (n,1) = (x k).
6 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 5 Definição 6 (Potênci ftoril expoente negtivo). Podemos definir potênci ftoril pr vlores inteiros, definindo pr n N. x ( n, h) = x ( n, 1) = 1 (x + h) (n, h) 1 (x + 1) (n, 1) Observe que el é válid pr n = 0 tmbém pois x ( 0, h) = 1 = Propriedde 1. x ( n, h) represent o produtório x ( n, h) = Propriedde 2. Vle propriedde pr p inteiro. 1 = 1 (x + h) (0, h) n 1 (x + h)(x + 2h)...(x + nh) = 1 (x + hk) (x + b) (p+1, ) (p, ) = (p + 1)(x + b) 1.3 Definição de somtório Vmos começr definindo somtório recursivmente. Definição 7 (Somtório). +p g(k) = g() se p = 0 +p +p 1 [ f(k)] + f( + p) se p > 0 Z, p N. f deve ser um função definid num conjunto que contenh 1 [, + p] Z, em gerl nesse texto vmos considerr f definid em Z ou em R tomndo vlores num conjunto A munido de um dição +, que possu s proprieddes comuttiv + b = b + 1 Usremos notção [, + p] Z := [, + p] Z, em gerl [, b] A := [, b] A
7 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 6, ssocitiv, existênci de elemento neutro 0 ( + b) + c = + (b + c) + 0 = 0 e existênci de inverso ditivo pr cd elemento do conjunto = 0 onde, b e c são elementos rbitrários do conjunto A. Tis proprieddes dizem que (A, +) é um grupo belino. A poderi ser, por exemplo, o conjunto dos números complexos C, dos números reis R ou dos inteiros Z. N miori dos csos iremos considerr f : Z R. +p Em f(k) chmmos o número de limite inferior do somtório o número +p=b de limite superior, f(k) é chmdo termo do somtório e k rgumento, índice ou vriável, nesse cso diremos que estmos plicndo o somtório de f(k) com k vrindo de té b. O número inteiro + p é igul um número inteiro b ssim escrevemos podemos escrever tmbém f(k), qundo ficr clro que estmos plicndo com k vrindo. f(k) f(k) pr simbolizr O somtório definido cim represent formlmente som f() + f( + 1) f(b 1) + f(b). Ess notção pr somtórios é chmd de notção sigm, letr é um letr greg miúscul que é corresponde noss letr S, tl notção foi introduzid por Leonhrd Euler ( ), mtemático suíço considerdo um dos mtemáticos mis prolíficos d históri. Euler introduziu s notções f(x) pr função, e pr o número 1 irrcionl que é vlor d série, i pr unidde imginári, número cujo qudrdo k! é 1 entre outrs notções.
8 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 7 Alguns utores usm o índice i no somtório f(k), normlmente não usremos índice i, deixndo ess letr reservd pr o número complexo. Vejmos lguns exemplos de somtórios. i= Exemplo f(k) + f( + 1) = f() + f( + 1) f(k) + f( + 2) = f() + f( + 1) + f( + 2) Um exemplo com números Exemplo 2. 3 k= 2 = 1 k= 2 2 f(k) + f(3) = k= 2 1 f(k) + f(2) + f(3) = k= 2 f(k) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 2 k= 2 0 f(k) + f(1) + f(2) + f(3) k= 2 f(k) + f( 1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = = f( 2) + f( 1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3). Proprieddes do somtório. As proprieddes nest seção são s proprieddes básics pr mnipulção de soms, sendo que miori - se não tods - s outrs proprieddes neste texto são decorrentes dels. Vmos então enuncir e demonstrr s proprieddes básics de somtório que serão usds nesse texto! As demonstrções mis básics serão feits usndo indução, iremos sempre mnipulr os somtórios prtir d definição por recorrênci, não usremos reticêncis pr simbolizr os somtórios. Propriedde 3 (Vriável mud). f(y) y= Se os somtórios estão sendo tomdos em limite iguis e com mesm função, não import o símbolo usdo pr vrição, s soms são iguis.
9 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 8 Lineridde Um operdor T é liner qundo fz T [f(x) + bg(x)] = T f(x) + b.t g(x) vmos mostrr então que o somtório é liner Propriedde 4 (Lineridde do somtório). [f(x) + bg(x)] = c=d+p x=d Com d e c Z.,b R. Ess propriedde diz que c [f(x)] + b d c [g(x)] d [f(d) + bg(d)] + [f(d + 1) + bg(d + 1)] + + [f(c) + bg(c)] = = [f(d) + f(d + 1) +... f(c)] + b[g(d) + g(d + 1) +... g(c)]. Vmos demonstrr por indução. Demonstrção. Por indução sobre p. Pr p = 0 temos (d+0) (d+0) (d+0) [f(x) + bg(x)] = [f(x)] + b [g(x)] = f(d) + bg(d) plicndo definição os dois termos. Hipótese d indução. Pr p = n 1 Prov pr p = n (c=d+n) (d+n 1) [f(x) + bg(x)] = (d+n 1) [f(x)] + b (d+n 1) [f(x) + bg(x)] = [ (d+n 1) [g(x)] ] [f(x) + bg(x)] + f(c) + bg(c)
10 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 9 pel hipótese = (d+n 1) = [f(x)] + b (d+n 1) [ (d+n 1) ] [f(x)] + f(c) [ (d+n 1) ] = [f(x)] + f(c) [ (c) = [g(x)] + f(c) + bg(c) [ (d+n 1) ] + b [g(x)] + bg(c) [ (d+n 1) + b ] [ (c) f(x) + b ] g(x) ] [g(x)] + g(c). Propriedde 5 (Comuttividde). Os somtórios comutm, não import ordem em que você plic dois somtórios o resultdo é sempre o mesmo. d d [ f(k, p)] = [ f(k, p)] p=c p=c Demonstrção. Vmos provr por indução, tomndo d = c + t e induzindo sobre t. Pr t = 0 temos c c [ f(k, p)] = [f(k, c)] = [ f(k, p)] = [f(k, c)] p=c p=c tomndo vlidde pr t, vmos mostrr válid pr t + 1 c+t c+t [ f(k, p)] = [ f(k, p)] p=c p=c temos que mostrr c+t+1 [ f(k, p)] = Aplicndo definição de somtório [ c+t+1 [ c+t+1 p=c p=c c+t f(k, p)] = [ f(k, p)] + f(k, p)] p=c p=c plicndo comuttividde d hipótese f(k, t + 1)] = c+t [ f(k, p)] + f(k, t + 1)] p=c
11 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 10 gor pel lineridde do somtório c+t [ f(k, p)] + f(k, t + 1)] = p=c c+t+1 [ f(k, p)]. p=c Propriedde 6 (Abertur). Ess propriedde mostr que podemos brir um somtório em dois somtórios. p s p f(k) + f(k) k=s+1 Pr p s + 1 e s. É equivlente p k=s+1 p=s+1+t f(k) s f(k) Demonstrção. A demonstrção será feit por indução sobre t, se t = 0 temos s+1 k=s+1 p=s+1 Temos como hipótese d indução pr t temos que provr pr t + 1 s+1+t k=s+1 s+1+t+1 k=s+1 Pel definição de somtório temos que s+1+t+1 k=s+1 s+1+t k=s+1 f(k) s+1+t p=s+1+t+1 f(k) + f(s t + 1) = = p=s+1+t+1 f(k) Propriedde 7 (Mudnç de vriável). s f(s + 1) f(k) s f(k) f(k) s+1+t s b+t +t s f(k) f(k) s+1+t+1 k=s+1 f(k t) s f(k) + f(s t + 1) f(k).
12 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 11 sendo t um número inteiro. Demonstrção. Demonstrção por indução. pr b = temos f() = +t +t vmos tomr por hipótese vlidde pr b = + p e provr pr b = + p + 1 pel definição temos +p+1 +p +p+1 f(k t) = f( + t t) = f() +p+t +t +p f(k) + f( + p + 1) = = +p+t+1 +t +p+1+t +t +p+t +t f(k t) f(k t). f(k t) f(k t) + f( + p t t) Se lgum número inteiro é somdo os limites do somtório o mesmo número deve ser subtrído n função que é somd, por exemplo, se est tomndo somtório sobre um função f(k) com k vrindo de té b, se somr um número t ficndo com somtório de + t té b + t deve-se subtrir esse número t d função que está sendo somd, ficndo f(k t) pr que o somtório continue igul. b+t +t f(k t). Propriedde 8 (produto por 1). Ess propriedde diz que podemos multiplicr os limites do somtório por 1, ficndo então com limites trocdos, simétricos e o somndo multiplicdo por 1 f( k) b
13 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 12 Demonstrção. Por indução, pr b = temos Tomndo como hipótese vlidde pr b vmos provr pr b + 1 f() = f( k) = f() f( k) b+1 b b 1 Pel definição e pel propriedde de bertur temos f( k). b+1 f(k)+f(b+1) = f(b+1)+ f( k) = b b 1 b 1 f( k)+ f( k) = b b 1 f( k). Corolário 1 (Troc de ordem). f( + b k) Demonstrção. Ess propriedde decorre ds proprieddes de mudnç de ordem e produto por ( 1),então vmos demonstrção. Temos que f( k) b fzendo um mudnç de vriável no segundo somtório, somndo + b os limites, ficmos com logo f( (k b)) = f( + b k) f( + b k) e f( + b k) 0 = f(k) f( + b k).
14 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 13 Propriedde 9 (Revertendo ordem d som). Vle propriedde n k f(k, j) = j= n n f(k, j). j= k=j Demonstrção. Vmos provr por indução sobre n, pr n = temos k f(k, j) = j= f(, j) = f(, ) = j= f(k, j) = j= k=j f(k, ) = f(, ). Supondo vlidde pr n, vmos provr pr n + 1 temos que n+1 j= k n+1 n+1 f(k, j) = f(k, j) j= k=j n+1 j= k f(k, j) = n k n+1 f(k, j) + f(n + 1, j) = j= j= n n n+1 f(k, j) + f(n + 1, j) = j= k=j j= = = n j= k=j j= n n f(k, j)+ f(n+1, j)+f(n+1, n+1) = j= n n ( f(k, j) + f(n + 1, j)) + k=j Cso especil se = 0 n+1 k=n+1 n f(k, n + 1) = j= k=j n n f(k, j)+ f(n+1, j)+ j= n n+1 ( f(k, j)) + j= n+1 n+1 = ( f(k, j)). j= k=j k=j n+1 k=n+1 n+1 k=n+1 f(k, n + 1) = f(k, n+1) = n k f(k, j) = j=0 n n f(k, j). j=0 k=j Exercícios 1. Clcule s soms numericmente pel definição de somtório: () (b) 5 ( 1) k 7 k=4 1 k
15 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 14 (c) (d) 3 1 k= 7 3 k, pr n 0, inteiro. k= 3 (e) Todo número rel pertence um e somente um intervlo do tipo [n, n + 1), onde n é inteiro, cd rel nesse intervlo ssocimos o número n pel função 4 x = n, que é chmd de função piso. Clcule som k. 100 (f) Clcule k. O mtemático Guss teri clculdo ess som com 10 nos de idde sem nenhum cálculo. 2. Demonstre s proprieddes usndo definição recursiv de somtório. () Lineridde (cg(k) + df(k)) = c (b) Comuttividde (c) Abertur p=c c (d) Mudnç de vriável (e) Produto por 1 (f) Troc de ordem d f(k, p) = f(k) + (g) Reverter ordem d som n k= b g(k) + d d p=c c k=b+1 b+t +t f( k) f(k, p) f(k) f(k t) f( + b k) j= k f(k, j) = 3. Demonstre usndo s proprieddes nteriores () Demonstre [f(k + 1) f(k)] = f(b + 1) f(). n f(k) j= k=j n f(k, j).
16 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 15 (b) Ess propriedde é chmd de som telescópic e f(k + 1) f(k) pode ser denotdo como f(k + 1) f(k), f(b + 1) f() pode ser escrito como f(k) b+1, então propriedde pode ser escrit f(k) b [f( + b k) + f(k)]. (c) Se f é um função ímpr então (d) Se f é um função pr então n k= n n k= n 0 f(0) + 2 (e) A função delt de kronecker é definid como { 0 se n k δ (n,k) = 1 se n = k n f(k). Demonstre que se n é um número tl que n b, n Z então f(k)δ (n,k) = f(n). 1.4 Equivlênci entre definições de somtório Conseguimos demonstrr propriedde de bertur trvés d definição de somtório, gor mostrremos que definição de somtório pode ser demonstrd com propriedde de bertur, isto é, são equivlentes. f(x) = s f(k) + k=s+1 f(k). Com s, b s + 1, b,, s Z e com condição inicil c f(c). k=c c Z. Pr demonstrr outr definição bst tomr b = s + 1, ficmos então com o somtório b 1 f(x) = f(k) + b 1 f(k) + f(b). k=b
17 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 16 Definição 8. Fremos mis um expnsão de definição 0 Se > b. Diremos nesse cso que temos um somtório sobre o conjunto vzio, pois som é sobre o conjunto A = {k N k b}, se > b esse conjunto é vzio, por exemplo se = 3 e b = 2 o conjunto A = {k N 3 k 2} =, simbolizmos ess propriedde como 0. k Ess definição permite brir por exemplo escrever n n 1 f(k) + f(n) Mesmo qundo n = 0 pois temos 0 1 f(k) + f(0) Como 0 > 1 o termo com esses limites é 0, então 0 1 f(k) + f(0) = f(0). O somtório pode ser berto por vlores menores, n n f(0) + f(k) Se n = 0 temos Pel definição. 0 0 f(0) + f(0) + 0 = f(0) Definição 9. Somtório sobre função constnte. Se temos um função constnte c, escrevemos o somtório c
18 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 17 Propriedde 10. n 1 = n pr todo n nturl, demonstrmos por indução, pr n = 0, temos iguldde, pois temos somtório sobre conjunto vzio sendo 0, sej gor válid pr n, vmos demonstrr pr n + 1 n+1 1 = n = n Notção compct versus reticêncis Neste texto decidimos usr notção compct de somtório, quse sempre, o invés de usr reticêncis (pontinhos) o mnipulr os somtórios. N seção nterior demonstrmos proprieddes básics pr mnipulr soms usndo notção compct. Usndo els seremos cpzes de clculr tods ( ou quse tods) soms que precem neste texto. A notção compct pode ser útil pr economizr espço, não precisndo escrever pontinhos e vários termos somdos n k = n. Ao usr pontinho, deve-se escrever o termo gerl do que se está somndo, pr evitr mbiguiddes, por exemplo n n seri um mneir válid pr escrever som k, porém Figur 1.1: Proibido uso de pontinhos
19 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 18 não seri um mneir válid pr expressr som finit, tnto pelo motivo de precer expressr um som de infinitos termos, qunto pelo fto de que não sbemos expressão gerl do termo que está sendo somdo, poderi ser som de um sequênci (x n ) tl que x 1 = 1, x 2 = 2 e x 3 = 300, por exemplo. Se o termo gerl não é ddo, sequênci poderi ser de vários tipos distintos. Um som infinit deveri ser express d form n + onde n simboliz o tipo de termo que está sendo somdo, nesse cso som é infinit, n notção compct seri k. 1.5 Primeirs técnics de Somtório Som telescópic ou som d diferenç Propriedde 11 (Teorem fundmentl do cálculo de diferençs finits, prte I -Som telescópic.). Dedução ondef(x) b+1 f(x) = f(x) x= b+1 = f(b + 1) f() e f(x) = f(x + 1) f(x). f( + 1) f() f( + 2) f( + 1) f( + 3) f( + 2). f(b) f(b 1) f(b + 1) f(b) Somndo esses termos ficmos com f(b + 1) f()
20 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 19 Demonstrção. b 1 f(x) = f(x + 1) f(x) = f(x + 1) + f(b + 1) f(x) f() = x= x= x= x= x=+1 fzendo um mudnç de vriável no segundo somtório b 1 b 1 = f(x + 1) + f(b + 1) f(x + 1) f() = f(b + 1) f(). x= x= Lemm 1. h(x) = 0, b Z h(x) = 0 x Z Demonstrção. Se h(x) = 0 pr todo x inteiro vmos provr que h(x) = 0. Por indução, no cso de b = temos h(x) = h() = 0 Vmos tomr como hipótese vlidde pr b h(x) = 0 e provr pr b + 1 Temos que b+1 h(x) = Agor vmos provr que se então Tome b =, ssim temos b+1 h(x) = 0. h(x) + h(b + 1) = = 0. h(x) = 0, b Z h(x) = 0 x Z. h(x) = h() = 0 Como ess iguldde vle pr todo inteiro, então função é igul zero pr todo inteiro.
21 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 20 Teorem 1 (Teorem fundmentl do cálculo de diferençs finits, prte II). Se g(x) = f(x) b+1, b Z = f(x) = g(x) x Z Demonstrção. Considere g(x) f(x), então g(x) = f(x) + h(x) tomndo o somtório temos g(x) = que é diferente de pois se fosse igul, o termo f(x) + h(x) = f(x) f(x) b+1 h(x) b+1 + h(x) seri igul zero pr todo e b inteiros, e pelo lem implicri h(x) = 0 pr todo inteiro x ssim terímos iguldde g(x) = f(x) Diferenç do somtório Vmos plicr o operdor o limite superior do somtório, chmndo o somtório com limite superior x de f(x) x x+1 x f(x) = d(k) = d(k) d(k) = x x d(k)+d(x+1) d(k) = d(x+1) = Ed(x). plicndo n+1 no limite superior, temos x x n+1 f(x) = n+1 d(k) = n [ d(k)] = n [d(x + 1)]. Então temos que o operdor plicdo no limite superior do somtório devolve função somd plicd no limite superior. Porém se função que estiver sendo somd tenh lgum dependênci com o limite superior ficmos com x x+1 x x x f(x) = d(k, x) = d(k, x+1) d(k, x) = d(k, x+1)+d(x+1, x+1) d(k, x) =. x d(k, x) + d(x + 1, x + 1).
22 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 21 Agor vmos plic o limite inferior do somtório. x x x x x f(k) f(k) f() f() Então vle n f(n + 1) = Ef(n) o operdor delt destrói somtórios. Lemm 2. h(x) = 0 h(x) = c x Z Demonstrção. Se h(x) = c x Z temos h(x) = h(x + 1) h(x) = c c = 0. Agor, se temos h(x) = 0 x Z isso implic h(x + 1) h(x) = 0 = h(x + 1) = h(x) x Z, chmndo esse vlor de c, temos que h(x) = c x Z. Teorem 2. f(x) = g(x) x Z = f(x) = g(x) + c Demonstrção. Se f(x) g(x)+c então f(x) = g(x)+c+h(x), com h(x) um função não constnte, plicndo o operdor em mbos os ldos temos f(x) = g(x)+ h(x), pelo lem nterior, como h(x) não é constnte h(x) 0 pr lgum x, logo f(x) g(x). Demonstrção.[2] Sej função h(x) = f(x) g(x) plique o operdor Delt de mbos os ldos, h(x) = f(x) g(x) = 0, pois f(x) = g(x) com isso pelo lem temos que h(x) = c = f(x) g(x), logo f(x) = g(x) + c. Demonstrção.[3] f(x) = g(x) plicndo o somtório em mbos ldos com x vrindo de 0 té n 1, temos n 1 n 1 f(x) = f(n) f(0) = g(x) = g(n) g(0) sse x=0 x=0 f(n) = g(n) + f(0) g(0) = g(n) + c logo f(x) = g(x) + c onde c = f(0) g(0).
23 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS Primitiv finit Definição 10. Um primitiv finit de um função f(x) é um função g(x) tl que g(x) = f(x) Exemplo 3. g(x) = x é um primitiv finit de f(x) = 1 pois, g(x) = 1 = f(x), pr tod constnte c, x + c tmbém é primitiv finit de f(x) = 1. Definição 11. Sendo g(x) um primitiv finit de f(x), pr tod constnte c, g(x) + c, tmbém é primitiv de f(x), pois [g(x) + c] = g(x) = f(x) fmíli de primitivs finits de f(x) será representd por f(x) = g(x) + c usremos notção f(x) x pr representr que o somtório indefinido é em relção vriável x. Um primitiv finit de f(x) será denomind somtório indefinido de f(x), f(x) será chmdo de somtório indefinido de f(x) e o somtório chmdo de somtório definido. f(x) Observe que se temos um primitiv finit de f(x), podemos resolver o somtório em qulquer intervlo inteiro, pois temos g(x) tl que g(x) = f(x), plicmos o somtório em mbos ldos b+1 g(k) = g(k) = f(k). Isto é se temos o somtório indefinido de f(x) f(x) = g(x) pssmos pr o somtório definido d seguinte mneir b+1 f(x) = g(x) = g(b + 1) g() x=
24 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 23 Temos f(x) = g(x) + c e g(x) = f(x) substituindo, temos g(x) = g(x) + c pr clculr o somtório definido trvés do indefinido, podemos tomr c = 0 pois qulquer outro vlor se nul qundo se tom limites no somtório. D iguldde f(x) = g(x) + c, plicndo em mbos ldos temos f(x) = [g(x) + c] = g(x) = f(x) logo f(x) = f(x). Propriedde 12 (O somtório indefinido é liner). f(x) + bg(x) = f(x) + b g(x) Demonstrção. Aplicndo delt em mbos termos temos f(x) + bg(x) = f(x) + bg(x) ( f(x) + b g(x)) = f(x) + b g(x) = f(x) + bg(x) logo vle propriedde. 1.7 Fórmul de Interpolção de Newton Vmos deduzir informlmente fórmul de interpolção de Newton, que permite escreve um sequênci como som ds sus diferençs. De = E 1 tem-se + 1 = E, elevndo n, tem-se n ( ) n E n = ( + 1) n = k k plicndo em f(0) tem-se E n f(0) = f(n) = n ( ) n k f(0). k
25 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 24 Vle então que f(n) = n ( ) n k f(0). k
Elementos de Análise - Lista 6 - Solução
Elementos de Análise - List 6 - Solução 1. Pr cd f bixo considere F (x) = x f(t) dt. Pr quis vlores de x temos F (x) = f(x)? () f(x) = se x 1, f(x) = 1 se x > 1; F (x) = se x 1, F (x) = x 1 se x > 1. Portnto
Leia maisRecordando produtos notáveis
Recordndo produtos notáveis A UUL AL A Desde ul 3 estmos usndo letrs pr representr números desconhecidos. Hoje você sbe, por exemplo, que solução d equção 2x + 3 = 19 é x = 8, ou sej, o número 8 é o único
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EXAME DE QUALIFICAÇÃO PARA O MESTRADO EM MATEMÁTICA PRIMEIRO SEMESTRE DE 2015 13 de Fevereiro de 2015 Prte I Álgebr Liner 1 Questão: Sejm
Leia maisTeorema Fundamental do Cálculo - Parte 2
Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Teorem Fundmentl do Cálculo - Prte 2 No teto nterior vimos que, se F é um primitiv de f em [,b], então f()d = F(b) F(). Isto reduz o problem de resolver
Leia maisIFRN Campus Natal/Central. Prof. Tibério Alves, D. Sc. FIC Métodos matemáticos para físicos e engenheiros - Aula 02.
IFRN Cmpus Ntl/Centrl Prof. Tibério Alves, D. Sc. FIC Métodos mtemáticos pr físicos e engenheiros - Aul 0 Séries de Fourier 3 de gosto de 08 Resumo Neste ul, vmos estudr o conceito de conjunto completo
Leia maisÁrea entre curvas e a Integral definida
Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Áre entre curvs e Integrl definid Sej S região do plno delimitd pels curvs y = f(x) e y = g(x) e s rets verticis x = e x = b, onde f e g são funções
Leia maisComprimento de arco. Universidade de Brasília Departamento de Matemática
Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Comprimento de rco Considerefunçãof(x) = (2/3) x 3 definidnointervlo[,],cujográficoestáilustrdo bixo. Neste texto vmos desenvolver um técnic pr clculr
Leia maisEQUAÇÃO DO 2 GRAU. Seu primeiro passo para a resolução de uma equação do 2 grau é saber identificar os valores de a,b e c.
EQUAÇÃO DO GRAU Você já estudou em série nterior s equções do 1 gru, o gru de um equção é ddo pelo mior expoente d vriável, vej lguns exemplos: x + = 3 equção do 1 gru já que o expoente do x é 1 5x 8 =
Leia mais(x, y) dy. (x, y) dy =
Seção 7 Função Gm A expressão n! = 1 3... n (1 está definid pens pr vlores inteiros positivos de n. Um primeir extensão é feit dizendo que! = 1. Ms queremos estender noção de ftoril inclusive pr vlores
Leia maisTeorema Fundamental do Cálculo - Parte 1
Universidde de Brsíli Deprtmento de Mtemátic Cálculo Teorem Fundmentl do Cálculo - Prte Neste texto vmos provr um importnte resultdo que nos permite clculr integris definids. Ele pode ser enuncido como
Leia mais2.4 Integração de funções complexas e espaço
2.4 Integrção de funções complexs e espço L 1 (µ) Sej µ um medid no espço mensurável (, F). A teori de integrção pr funções complexs é um generlizção imedit d teori de integrção de funções não negtivs.
Leia maisIntegral. (1) Queremos calcular o valor médio da temperatura ao longo do dia. O valor. a i
Integrl Noção de Integrl. Integrl é o nálogo pr unções d noção de som. Ddos n números 1, 2,..., n, podemos tomr su som 1 + 2 +... + n = i. O integrl de = té = b dum unção contínu é um mneir de somr todos
Leia maisMAT Complementos de Matemática para Contabilidade - FEAUSP 1 o semestre de 2011 Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira INTEGRAL
MAT 103 - Complementos de Mtemátic pr Contbilidde - FEAUSP 1 o semestre de 011 Professor Oswldo Rio Brnco de Oliveir INTEGRAL Suponhmos um torneir bert em um recipiente e com velocidde de escomento d águ
Leia maisFÓRMULA DE TAYLOR USP MAT
FÓRMULA DE TAYLOR USP MAT 5 SEVERINO TOSCANO DO REGO MELO. Polinômios de Tylor A ret tngente o gráfico de um função f derivável em um ponto define função de primeiro gru que melhor proxim função em pontos
Leia maisBhaskara e sua turma Cícero Thiago B. Magalh~aes
1 Equções de Segundo Gru Bhskr e su turm Cícero Thigo B Mglh~es Um equção do segundo gru é um equção do tipo x + bx + c = 0, em que, b e c são números reis ddos, com 0 Dd um equção do segundo gru como
Leia maisCálculo de Limites. Sumário
6 Cálculo de Limites Sumário 6. Limites de Sequêncis................. 3 6.2 Exercícios Recomenddos............... 5 6.3 Limites de Funções.................. 7 6.4 Exercícios Recomenddos...............
Leia maisOs números racionais. Capítulo 3
Cpítulo 3 Os números rcionis De modo informl, dizemos que o conjunto Q dos números rcionis é composto pels frções crids prtir de inteiros, desde que o denomindor não sej zero. Assim como fizemos nteriormente,
Leia maisAULA 1. 1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Linguagem Matemática
1 NÚMEROS E OPERAÇÕES 1.1 Lingugem Mtemátic AULA 1 1 1.2 Conjuntos Numéricos Chm-se conjunto o grupmento num todo de objetos, bem definidos e discerníveis, de noss percepção ou de nosso entendimento, chmdos
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, utilizaremos o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para o cálculo da área entre duas curvas.
CÁLCULO L1 NOTAS DA DÉCIMA SÉTIMA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nest ul, utilizremos o Teorem Fundmentl do Cálculo (TFC) pr o cálculo d áre entre dus curvs. 1. A áre entre dus curvs A
Leia maisMATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES PROF. JORGE WILSON PROFJWPS@GMAIL.COM MATRIZES Definição e Notção... 11 21 m1 12... 22 m2............ 1n.. 2n. mn Chmmos de Mtriz todo conjunto de vlores, dispostos
Leia maisProf. Ms. Aldo Vieira Aluno:
Prof. Ms. Aldo Vieir Aluno: Fich 1 Chmmos de mtriz, tod tbel numéric com m linhs e n coluns. Neste cso, dizemos que mtriz é do tipo m x n (onde lemos m por n ) ou que su ordem é m x n. Devemos representr
Leia maisNOTA DE AULA. Tópicos em Matemática
Universidde Tecnológic Federl do Prná Cmpus Curitib Prof. Lucine Deprtmento Acdêmico de Mtemátic NOTA DE AULA Tópicos em Mtemátic Fonte: http://eclculo.if.usp.br/ 1. CONJUNTOS NUMÉRICOS: 1.1 Números Nturis
Leia maisIntegrais Duplas em Regiões Limitadas
Cálculo III Deprtmento de Mtemátic - ICEx - UFMG Mrcelo Terr Cunh Integris Dupls em egiões Limitds Ou por curiosidde, ou inspirdo ns possíveis plicções, é nturl querer usr integris dupls em regiões não
Leia maisAula 27 Integrais impróprias segunda parte Critérios de convergência
Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci MÓDULO - AULA 7 Aul 7 Integris imprópris segund prte Critérios de convergênci Objetivo Conhecer dois critérios de convergênci de integris imprópris:
Leia maisProva 1 Soluções MA-602 Análise II 27/4/2009 Escolha 5 questões
Prov 1 Soluções MA-602 Análise II 27/4/2009 Escolh 5 questões 1. Sej f : [, b] R um função limitd. Mostre que f é integrável se, e só se, existe um sequênci de prtições P n P [,b] do intervlo [, b] tl
Leia maisProf. Doherty Andrade- DMA/UEM DMA-UEM-2004
Integrção Numéric Prof. Doherty Andrde- DMA/UEM DMA-UEM-4 Preliminres Nests nots o nosso interesse é clculr numericmente integris f(x)dx. A idéi d integrção numéric reside n proximção d função integrnd
Leia maisIntrodução ao estudo de equações diferenciais
MTDI I - 2007/08 - Introdução o estudo de equções diferenciis 63 Introdução o estudo de equções diferenciis Existe um grnde vriedde de situções ns quis se desej determinr um quntidde vriável prtir de um
Leia maisEQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS Um dos grndes problems de mtemátic n ntiguidde er resolução de equções polinomiis. Encontrr um fórmul ou um método pr resolver tis equções er um grnde desfio. E ind hoje
Leia mais16.4. Cálculo Vetorial. Teorema de Green
ÁLULO VETORIAL álculo Vetoril pítulo 6 6.4 Teorem de Green Nest seção, prenderemos sore: O Teorem de Green pr váris regiões e su plicção no cálculo de integris de linh. INTROUÇÃO O Teorem de Green fornece
Leia maisESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX. Introdução. Partição de um Intervalo. Alana Cavalcante Felippe 1, Júlio César do Espírito Santo 1.
Revist d Mtemátic UFOP, Vol I, 2011 - X Semn d Mtemátic e II Semn d Esttístic, 2010 ISSN 2237-8103 ESTUDO SOBRE A INTEGRAL DE DARBOUX Aln Cvlcnte Felippe 1, Júlio Césr do Espírito Snto 1 Resumo: Este trblho
Leia maisUniversidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 - CAPES MATRIZES
Universidde Federl do Rio Grnde FURG Instituto de Mtemátic, Esttístic e Físic IMEF Editl - CAPES MATRIZES Prof. Antônio Murício Medeiros Alves Profª Denise Mri Vrell Mrtinez Mtemátic Básic pr Ciêncis Sociis
Leia mais1. Conceito de logaritmo
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Logritmos Prof.: Rogério
Leia maisMatemática para Economia Les 201. Aulas 28_29 Integrais Luiz Fernando Satolo
Mtemátic pr Economi Les 0 Auls 8_9 Integris Luiz Fernndo Stolo Integris As operções inverss n mtemátic: dição e sutrção multiplicção e divisão potencição e rdicição A operção invers d diferencição é integrção
Leia maisProgressões Aritméticas
Segund Etp Progressões Aritmétics Definição São sequêncis numérics onde cd elemento, prtir do segundo, é obtido trvés d som de seu ntecessor com um constnte (rzão).,,,,,, 1 3 4 n 1 n 1 1º termo º termo
Leia maisÁLGEBRA LINEAR Equações Lineares na Álgebra Linear EQUAÇÃO LINEAR SISTEMA LINEAR GEOMETRIA DA ESQUAÇÕES LINEARES RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS
EQUAÇÃO LINEAR SISTEMA LINEAR GEOMETRIA DA ESQUAÇÕES LINEARES RESOLUÇÃO DOS SISTEMAS Equção Liner * Sej,,,...,, (números reis) e n (n ) 2 3 n x, x, x,..., x (números reis) 2 3 n Chm-se equção Liner sobre
Leia maisInterpretação Geométrica. Área de um figura plana
Integrl Definid Interpretção Geométric Áre de um figur pln Interpretção Geométric Áre de um figur pln Sej f(x) contínu e não negtiv em um intervlo [,]. Vmos clculr áre d região S. Interpretção Geométric
Leia maisIntrodução à Integral Definida. Aula 04 Matemática II Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli
Introdução à Integrl Definid Aul 04 Mtemátic II Agronomi Prof. Dnilene Donin Berticelli Áre Desde os tempos mis ntigos os mtemáticos se preocupm com o prolem de determinr áre de um figur pln. O procedimento
Leia maisFUNÇÃO DO 2º GRAU OU QUADRÁTICA
FUNÇÃO DO º GRAU OU QUADRÁTICA - Definição É tod função do tipo f() = + + c, com *, e c. c y Eemplos,, c números e coeficient termo vr vr iável iável es independen reis indepemdem dependente de te ou te
Leia maisMatrizes. Matemática para Economistas LES 201. Aulas 5 e 6 Matrizes Chiang Capítulos 4 e 5. Márcia A.F. Dias de Moraes. Matrizes Conceitos Básicos
Mtemátic pr Economists LES uls e Mtrizes Ching Cpítulos e Usos em economi Mtrizes ) Resolução sistems lineres ) Econometri ) Mtriz Insumo Produto Márci.F. Dis de Mores Álgebr Mtricil Conceitos Básicos
Leia maisx 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 f(x) 3 4 4,998 5,
- Limite. - Conceito Intuitivo de Limite Considere função f definid pel guinte epressão: f - - Podemos obrvr que função está definid pr todos os vlores de eceto pr. Pr, tnto o numerdor qunto o denomindor
Leia maisTeorema 1. Seja A um anel comutativo. Então A é um domínio de integridade se e somente se A é isomorfo a um subanel de um corpo.
1. Domínios Um domínio de integridde (ou simplesmente domínio) é um nel comuttivo unitário A tl que se, b A e b = 0 então = 0 ou b = 0. Por exemplo Z e Z[X] são domínios e mis em gerl se A é um domínio
Leia maisCÁLCULO I. 1 Funções denidas por uma integral
CÁLCULO I Prof. Mrcos Diniz Prof. André Almeid Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veig Prof. Tigo Coelho Aul n o 26: Teorem do Vlor Médio pr Integris. Teorem Fundmentl do Cálculo II. Funções dds por
Leia maisProblemas e Algoritmos
Problems e Algoritmos Em muitos domínios, há problems que pedem síd com proprieddes específics qundo são fornecids entrds válids. O primeiro psso é definir o problem usndo estruturs dequds (modelo), seguir
Leia maisfundamental do cálculo. Entretanto, determinadas aplicações do Cálculo nos levam a formulações de integrais em que:
Cpítulo 8 Integris Imprópris 8. Introdução A eistênci d integrl definid f() d, onde f é contínu no intervlo fechdo [, b], é grntid pelo teorem fundmentl do cálculo. Entretnto, determinds plicções do Cálculo
Leia maisO conceito de integral e suas propriedades básicas
17 O conceito de integrl e sus proprieddes básics Sumário 17.1 Introdução....................... 2 17.2 Integrl denid de f : [, b] R.......... 5 17.3 Soms de Riemnn.................. 6 17.4 A integrl denid
Leia maisCÁLCULO I. Apresentar a técnica de integração por substituição; Utilizar técnicas apresentadas no cálculo integral.
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeid Auls n o 8: Técnics de Integrção I - Método d Substituição Objetivos d Aul Apresentr técnic de integrção por substituição; Utilizr técnics presentds
Leia maisAprender o conceito de vetor e suas propriedades como instrumento apropriado para estudar movimentos não-retilíneos;
Aul 5 Objetivos dest Aul Aprender o conceito de vetor e sus proprieddes como instrumento proprido pr estudr movimentos não-retilíneos; Entender operção de dição de vetores e multiplicção de um vetor por
Leia maisDefinição: uma permutação do conjunto de inteiros {1, 2,..., n} é um rearranjo destes inteiros em alguma ordem sem omissões ou repetições.
DETERMINANTES INTRODUÇÃO Funções determinnte, são funções reis de um vriável mtricil, o que signific que ssocim um número rel (X) um mtriz qudrd X Sus plicções envolvem crcterizção de mtriz invertível,
Leia maisUniversidade Federal de Pelotas Vetores e Álgebra Linear Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Determinantes
Universidde Federl de Pelots Vetores e Álgebr Liner Prof : Msc. Merhy Heli Rodrigues Determinntes Determinntes Definição: Determinnte é um número ssocido um mtriz qudrd.. Determinnte de primeir ordem Dd
Leia maisObjetivo. Conhecer a técnica de integração chamada substituição trigonométrica. e pelo eixo Ox. f(x) dx = A.
MÓDULO - AULA Aul Técnics de Integrção Substituição Trigonométric Objetivo Conhecer técnic de integrção chmd substituição trigonométric. Introdução Você prendeu, no Cálculo I, que integrl de um função
Leia mais4. Teorema de Green. F d r = A. dydx. (1) Pelas razões acima referidas, a prova deste teorema para o caso geral está longe
4 Teorem de Green Sej U um berto de R 2 e r : [, b] U um cminho seccionlmente, fechdo e simples, isto é, r não se uto-intersect, excepto ns extremiddes Sej região interior r([, b]) prte d dificuldde n
Leia mais1 A Integral de Riemann
Medid e Integrção. Deprtmento de Físic e Mtemátic. USP-RP. Prof. Rfel A. Rosles 22 de mio de 27. As seguintes nots presentm lgums limitções d integrl de Riemnn com o propósito de justificr construção d
Leia maisSERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério da Educação
SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL Ministério d Educção Universidde Federl do Rio Grnde Universidde Abert do Brsil Administrção Bchreldo Mtemátic pr Ciêncis Sociis Aplicds I Rodrigo Brbos Sores . Mtrizes:.. Introdução:
Leia mais3. Cálculo integral em IR 3.1. Integral Indefinido 3.1.1. Definição, Propriedades e Exemplos
3. Cálculo integrl em IR 3.. Integrl Indefinido 3... Definição, Proprieddes e Exemplos A noção de integrl indefinido prece ssocid à de derivd de um função como se pode verificr prtir d su definição: Definição
Leia mais1. Sejam R e S duas relações entre os conjuntos não vazios E e F. Então mostre que
2 List de exercícios de Álgebr 1. Sejm R e S dus relções entre os conjuntos não vzios E e F. Então mostre que ) R 1 S 1 = (R S) 1, b) R 1 S 1 = (R S) 1. Solução: Pr primeir iguldde, temos que (, b) R 1
Leia mais1 Limite - Revisão. 1.1 Continuidade
1 Limite - Revisão O conceito de limite de um função contribui pr nálise do comportmento d função n vizinhnç de um determindo ponto. Intuitivmente, dd um função f(x) e um ponto b que pertence o domínio
Leia maisDiogo Pinheiro Fernandes Pedrosa
Integrção Numéric Diogo Pinheiro Fernndes Pedros Universidde Federl do Rio Grnde do Norte Centro de Tecnologi Deprtmento de Engenhri de Computção e Automção http://www.dc.ufrn.br/ 1 Introdução O conceito
Leia maisAdriano Pedreira Cattai
Adrino Pedreir Ctti pctti@hoocomr Universidde Federl d Bhi UFBA, MAT A01, 006 Superfícies de Revolução 1 Introdução Podemos oter superfícies não somente por meio de um equção do tipo F(,, ), eistem muitos
Leia maisAULA 1 Introdução 3. AULA 2 Propriedades e teorema fundamental do cálculo 5. AULA 3 Integrais indefinidas 7. AULA 4 Integração por substituição 9
www.mtemticemexercicios.com Integris (volume ) Índice AULA Introdução AULA Proprieddes e teorem fundmentl do cálculo 5 AULA Integris indefinids 7 AULA 4 Integrção por sustituição 9 AULA 5 Integrção por
Leia maisMTDI I /08 - Integral de nido 55. Integral de nido
MTDI I - 7/8 - Integrl de nido 55 Integrl de nido Sej f um função rel de vriável rel de nid e contínu num intervlo rel I [; b] e tl que f (x) ; 8x [; b]: Se dividirmos [; b] em n intervlos iguis, mplitude
Leia maisCÁLCULO I. 1 Área entre Curvas. Objetivos da Aula. Aula n o 24: Área entre Curvas, Comprimento de Arco e Trabalho. Calcular área entre curvas;
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeid Aul n o : Áre entre Curvs, Comprimento de Arco e Trblho Objetivos d Aul Clculr áre entre curvs; Clculr o comprimento de rco; Denir Trblho. 1 Áre entre
Leia maisAtividade Prática como Componente Curricular
Universidde Tecnológic Federl do Prná Gerênci de Ensino e Pesquis Deprtmento Acdêmico de Mtemátic Atividde Prátic como Componente Curriculr - Propost - Nome: Mtrícul: Turm: Justique su respost, explicitndo
Leia maisPropriedades Matemáticas
Proprieddes Mtemátics Guilherme Ferreir guifs2@hotmil.com Setembro, 2018 Sumário 1 Introdução 2 2 Potêncis 2 3 Rízes 3 4 Frções 4 5 Produtos Notáveis 4 6 Logritmos 5 6.1 Consequêncis direts d definição
Leia maisXXVIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 3 (Ensino Médio) GABARITO
XXVIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 3 (Ensino Médio) GABARITO GABARITO NÍVEL 3 ) C 6) B ) C 6) D ) D ) C 7) B ) D 7) A ) D 3) C 8) B 3) A 8) D 3) D 4) A 9) B 4) C 9) D 4) E 5)
Leia maisComprimento de Curvas. Exemplo. Exemplos, cont. Exemplo 2 Para a cúspide. Continuação do Exemplo 2
Definição 1 Sej : omprimento de urvs x x(t) y y(t) z z(t) um curv lis definid em [, b]. O comprimento d curv é definido pel integrl L() b b [x (t)] 2 + [y (t)] 2 + [z (t)] 2 dt (t) dt v (t) dt Exemplo
Leia maisx = x 2 x 1 O acréscimo x é também chamado de diferencial de x e denotado por dx, isto é, dx = x.
Universidde Federl Fluminense Mtemátic II Professor Mri Emili Neves Crdoso Cpítulo Integrl. Diferenciis dy Anteriormente, foi considerdo um símolo pr derivd de y em relção à, ms em lguns prolems é útil
Leia maisObjetivo. Integrais de funções vetoriais. Conhecer a integral de funções vetoriais; Aprender a calcular comprimentos de curvas parametrizadas;
Funções vetoriis Integris MÓDULO 3 - AULA 35 Aul 35 Funções vetoriis Integris Objetivo Conhecer integrl de funções vetoriis; Aprender clculr comprimentos de curvs prmetrizds; Aprender clculr áres de regiões
Leia maisINTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?
INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois
Leia maisINTEGRAIS DEFINIDAS. Como determinar a área da região S que está sob a curva y = f(x) e limitada pelas retas verticais x = a, x = b e pelo eixo x?
INTEGRAIS DEFINIDAS O Prolem d Áre Como determinr áre d região S que está so curv y = f(x) e limitd pels rets verticis x =, x = e pelo eixo x? Um idei é proximrmos região S utilizndo retângulos e depois
Leia maisb a f(x) dx a f(x)dx = 0 f(x)dx a f(x)dx = - b f(x)dx b f(x)dx = c f(x)dx + b f(x)dx ou - f(x)dx ou - f(x)dx f (x) y f (x) 1 DEFINIÇÃO DE INTEGRAL
DEFINIÇÃO DE INTEGRAL Dentro do conceito do cálculo, temos que integrl foi crid pr delimitr áre A loclizd sob um curv f() em um plno crtesino. A f () b A notção mtemátic d integrl cim é: A = b f() d 2
Leia maisApoio à Decisão. Aula 3. Aula 3. Mônica Barros, D.Sc.
Aul Métodos Esttísticos sticos de Apoio à Decisão Aul Mônic Brros, D.Sc. Vriáveis Aletóris Contínus e Discrets Função de Probbilidde Função Densidde Função de Distribuição Momentos de um vriável letóri
Leia maisTeoria VII - Tópicos de Informática
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA ICET Cmpins Limeir Jundií Teori VII - Tópicos de Informátic 1 Fórmuls Especiis no Excel 2 Função Exponencil 3 Função Logrítmic Unip 2006 - Teori VII 1 1- FÓRMULAS
Leia maisDETERMINANTES. Notação: det A = a 11. Exemplos: 1) Sendo A =, então det A = DETERMINANTE DE MATRIZES DE ORDEM 2
DETERMINANTES A tod mtriz qudrd ssoci-se um número, denomindo determinnte d mtriz, que é obtido por meio de operções entre os elementos d mtriz. Su plicção pode ser verificd, por exemplo, no cálculo d
Leia maisMATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari
MATEMÁTICA II Prof. Dr. Amnd Liz Pcífico Mnfrim Perticrrri mnd.perticrrri@unesp.r DEFINIÇÃO. Se f é um função contínu definid em x, dividimos o intervlo, em n suintervlos de comprimentos iguis: x = n Sejm
Leia maisMaterial Teórico - Módulo Triângulo Retângulo, Leis dos Cossenos e dos Senos, Poĺıgonos Regulares. Lei dos Senos e Lei dos Cossenos - Parte 2
Mteril Teórico - Módulo Triângulo Retângulo, Leis dos ossenos e dos Senos, Poĺıgonos Regulres Lei dos Senos e Lei dos ossenos - Prte Nono no utor: Prof. Ulisses Lim Prente Revisor: Prof. ntonio minh M.
Leia maisExercícios. setor Aula 25. f(2) = 3. f(3) = 0. f(11) = 12. g(3) = 14. Temos: 2x 1 = 5 x = 3 Logo, f(5) = 3 2 = 9
setor 07 070409 070409-SP Aul 5 FUNÇÃO (COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES) FUNÇÃO COMPOSTA Sej f um função de A em B e sej g um função de B em C. Chm-se função compost de g com f função h definid de A em C, tl que
Leia maisExercícios. setor Aula 25
setor 08 080409 080409-SP Aul 5 PROGRESSÃO ARITMÉTICA. Determinr o número de múltiplos de 7 que estão compreendidos entre 00 e 000. r 7 00 7 PA 05 30 4 n 994 00 98 98 + 7 05 n + (n ) r 994 05 + (n ) 7
Leia maisMaterial envolvendo estudo de matrizes e determinantes
E. E. E. M. ÁREA DE CONHECIMENTO DE MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS PROFESSORA ALEXANDRA MARIA º TRIMESTRE/ SÉRIE º ANO NOME: Nº TURMA: Mteril envolvendo estudo de mtrizes e determinntes INSTRUÇÕES:. Este
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I 2 o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec
Cálculo Diferencil e Integrl I o Teste - LEAN, MEAer, MEAmb, MEBiol, MEMec de Junho de, h Durção: hm Apresente todos os cálculos e justificções relevntes..5 vl.) Clcule, se eistirem em R, os limites i)
Leia maisResposta: Basta fazer integração por partes. Seja j = 1 (para j 1, o argumento é o mesmo). Logo. i x 1. lim. lim. (R n ), temos.
LISTA DE EXECÍCIOS 5 - TEOIA DAS DISTIBUIÇÕES E ANÁLISE DE OUIE MAP 57-4 PO: PEDO T P LOPES WWWIMEUSPB/ PPLOPES/DISTIBUICOES Os eercícios seguir form seleciondos do livro do Duistermt e Kolk denotdo por
Leia maisI = O valor de I será associado a uma área, e usaremos esta idéia para desenvolver um algoritmo numérico. Ao
Cpítulo 6 Integrl Nosso objetivo qui é clculr integrl definid I = f(x)dx. (6.1) O vlor de I será ssocido um áre, e usremos est idéi pr desenvolver um lgoritmo numérico. Ao contrário d diferencição numéric,
Leia maisx u 30 2 u 1 u 6 + u 10 2 = lim (u 1)(1 + u + u 2 + u 3 + u 4 )(2 + 2u 5 + u 10 )
Universidde Federl de Viços Deprtmento de Mtemátic MAT 40 Cálculo I - 207/II Eercícios Resolvidos e Comentdos Prte 2 Limites: Clcule os seguintes ites io se eistirem. Cso contrário, justique não eistênci.
Leia maisFunção Modular. x, se x < 0. x, se x 0
Módulo de um Número Rel Ddo um número rel, o módulo de é definido por:, se 0 = `, se < 0 Observção: O módulo de um número rel nunc é negtivo. Eemplo : = Eemplo : 0 = ( 0) = 0 Eemplo : 0 = 0 Geometricmente,
Leia maisMatemática para Economistas LES 201. Aulas 5 e 6 Matrizes Chiang Capítulos 4 e 5. Luiz Fernando Satolo
Mtemátic pr Economists LES Auls 5 e Mtrizes Ching Cpítulos e 5 Luiz Fernndo Stolo Mtrizes Usos em economi ) Resolução sistems lineres ) Econometri ) Mtriz Insumo Produto Álgebr Mtricil Conceitos Básicos
Leia maisCÁLCULO I. Denir o trabalho realizado por uma força variável; Denir pressão e força exercidas por um uido.
CÁLCULO I Aul n o 3: Comprimento de Arco. Trblho. Pressão e Forç Hidrostátic. Objetivos d Aul Denir comprimento de rco; Denir o trblho relizdo por um forç vriável; Denir pressão e forç exercids por um
Leia mais1 ÁLGEBRA MATRICIAL 1.1 TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES. Teorema. Sejam A uma matriz k x m e B uma matriz m x n. Então (AB) T = B T A T
ÁLGEBRA MATRICIAL Teorem Sejm A um mtriz k x m e B um mtriz m x n Então (AB) T = B T A T Demonstrção Pr isso precismos d definição de mtriz trnspost Definição Mtriz trnspost (AB) T = (AB) ji i j = A jh
Leia maisProva Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase
Prov Escrit de MATEMÁTICA A - o Ano 0 - Fse Propost de resolução GRUPO I. Como comissão deve ter etmente mulheres, num totl de pessos, será constituíd por um único homem. Logo, como eistem 6 homens no
Leia maisCálculo integral. 4.1 Preliminares
Cpítulo 4 Cálculo integrl 4. Preinres Considere um decomposição do intervlo [, ] R em su-intervlos d orm [x, x ], [x, x ],..., [x n, x n ], onde = x < x < < x n < x n = e n N. Por um questão de simplicidde,
Leia maisQuadratura por interpolação Fórmulas de Newton-Cotes Quadratura Gaussiana. Integração Numérica. Leonardo F. Guidi DMPA IM UFRGS.
Qudrtur por interpolção DMPA IM UFRGS Cálculo Numérico Índice Qudrtur por interpolção 1 Qudrtur por interpolção 2 Qudrturs simples Qudrturs composts 3 Qudrtur por interpolção Qudrtur por interpolção O
Leia mais3 Teoria dos Conjuntos Fuzzy
0 Teori dos Conjuntos Fuzzy presentm-se qui lguns conceitos d teori de conjuntos fuzzy que serão necessários pr o desenvolvimento e compreensão do modelo proposto (cpítulo 5). teori de conjuntos fuzzy
Leia maisUniversidade Federal do Rio Grande FURG. Instituto de Matemática, Estatística e Física IMEF Edital 15 - CAPES DETERMINANTES
Universidde Federl do Rio Grnde FURG Instituto de Mtemátic, Esttístic e Físic IMEF Editl - APES DETERMINANTES Prof Antônio Murício Medeiros Alves Profª Denise Mri Vrell Mrtinez Mtemátic Básic pr iêncis
Leia maisRelembremos que o processo utilizado na definição das três integrais já vistas consistiu em:
Universidde Slvdor UNIFAS ursos de Engenhri álculo IV Prof: Il Reouçs Freire álculo Vetoril Texto 4: Integris de Linh Até gor considermos três tipos de integris em coordends retngulres: s integris simples,
Leia maisPotencial Elétrico. Evandro Bastos dos Santos. 14 de Março de 2017
Potencil Elétrico Evndro Bstos dos Sntos 14 de Mrço de 2017 1 Energi Potencil Elétric Vmos começr fzendo um nlogi mecânic. Pr um corpo cindo em um cmpo grvitcionl g, prtir de um ltur h i té um ltur h f,
Leia maisTÓPICO. Fundamentos da Matemática II DERIVADA DIRECIONAL E PLANO TANGENTE8. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques
DERIVADA DIRECIONAL E PLANO TANGENTE8 TÓPICO Gil d Cost Mrques Fundmentos d Mtemátic II 8.1 Diferencil totl de um função esclr 8.2 Derivd num Direção e Máxim Derivd Direcionl 8.3 Perpendiculr um superfície
Leia maisEscola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Módulo I: Cálculo Diferencial e Integral
Escol Superior de Agricultur Luiz de Queiroz Universidde de São Pulo Módulo I: Cálculo Diferencil e Integrl Teori d Integrção e Aplicções Professor Rent Alcrde Sermrini Nots de ul do professor Idemuro
Leia mais1 Definição de integral (definida) de Riemann
1 Definição de integrl (definid) de Riemnn Sej seguir sempre f : [, b] R limitd (com [, b] limitdo); logo existem m, M tis que m f(x) M. Definição: chmmos Prtição de [, b] um conjunto finito de pontos
Leia maisAs fórmulas aditivas e as leis do seno e do cosseno
ul 3 s fórmuls ditivs e s leis do MÓDULO 2 - UL 3 utor: elso ost seno e do cosseno Objetivos 1) ompreender importânci d lei do seno e do cosseno pr o cálculo d distânci entre dois pontos sem necessidde
Leia mais4.2. ME TODO DE LAGRANGE
Cpítulo 4 Interpolção 4. Introdução Ddos n + pontos do plno P 0 = (x 0, y 0 ), P = (x, y ),, P n = (x n, y n ), tis que x i x j se i j, nosso principl objetivo neste cpítulo é encontrr um função f (x)
Leia maisUniversidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS Introdução à Lógica - 3 a Prova - Lic. Matemática RESOLUÇÃO - Prof. E.T.Galante
Universidde Federl de Mto Grosso do Sul - UFMS Introdução à Lógic - 3 Prov - Lic. Mtemátic RESOLUÇÃO - Prof. E.T.Glnte 1. (2,0 pontos) Prove ue n 3 + 2n é múltiplo de 3 pr todo n N. (indução 1 form) n
Leia mais