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1 Anotções sobre somtórios- nível médio Rodrigo Crlos Silv de Lim Universidde Federl Fluminense - UFF-RJ

2 1

3 Sumário 1 Somtórios Operdor diferenç e E Delt de Kronecker Potênci ftoril Definição de somtório Exercícios Equivlênci entre definições de somtório Notção compct versus reticêncis Primeirs técnics de Somtório Som telescópic ou som d diferenç Diferenç do somtório Primitiv finit Fórmul de Interpolção de Newton

4 Cpítulo 1 Somtórios Esse texto ind não se encontr n su versão finl, sendo, por enqunto, constituído pens de notções informis. Sugestões pr melhori do texto, correções d prte mtemátic ou grmticl eu grdeceri que fossem envids pr meu Emil 1.1 Operdor diferenç e E O operdor diferenç é de fundmentl importânci no trtmento de somtórios, com ele expressmos propriedde que veremos ind nesse texto que é chmd de som telescópic, com qul é possível descobrir fórmuls fechds pr lguns somtórios. Definição 1. Dd um função f : R R definimos o operdor que lev um função f : R R em um função f : R R dd por f(x) := f(x + 1) f(x). Definição 2 (Potêncis de ). Definimos 0 f(x) = f(x) n+1 f(x) = n f(x + 1) n f(x). 3

5 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 4 Definição 3 (Operdor E.). Ddo h R definimos o operdor E h que lev funções f : R R em um função E h fr R, dd por E h f(x) = f(x + h). Observe que f(x) = f(x + 1) f(x) então escrevemos = E Delt de Kronecker Definição 4 (Delt de Kronecker). Ddos, b em um conjunto qulquer A não vzio, definimos função δa A R como δ (,b) = 0 se b. se = b. δ (,b) = Potênci ftoril Definição 5 (Potênci ftoril ). Definimos potênci ftoril de psso h e expoente n e bse x como com n N, x, h R. n 1 x (n,h) = (x kh) Com n = 0 usmos o produto vzio 1 x (0,h) = (x kh) = 1. Usremos em especil o cso de h = 1 n 1 x (n,1) = (x k).

6 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 5 Definição 6 (Potênci ftoril expoente negtivo). Podemos definir potênci ftoril pr vlores inteiros, definindo pr n N. x ( n, h) = x ( n, 1) = 1 (x + h) (n, h) 1 (x + 1) (n, 1) Observe que el é válid pr n = 0 tmbém pois x ( 0, h) = 1 = Propriedde 1. x ( n, h) represent o produtório x ( n, h) = Propriedde 2. Vle propriedde pr p inteiro. 1 = 1 (x + h) (0, h) n 1 (x + h)(x + 2h)...(x + nh) = 1 (x + hk) (x + b) (p+1, ) (p, ) = (p + 1)(x + b) 1.3 Definição de somtório Vmos começr definindo somtório recursivmente. Definição 7 (Somtório). +p g(k) = g() se p = 0 +p +p 1 [ f(k)] + f( + p) se p > 0 Z, p N. f deve ser um função definid num conjunto que contenh 1 [, + p] Z, em gerl nesse texto vmos considerr f definid em Z ou em R tomndo vlores num conjunto A munido de um dição +, que possu s proprieddes comuttiv + b = b + 1 Usremos notção [, + p] Z := [, + p] Z, em gerl [, b] A := [, b] A

7 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 6, ssocitiv, existênci de elemento neutro 0 ( + b) + c = + (b + c) + 0 = 0 e existênci de inverso ditivo pr cd elemento do conjunto = 0 onde, b e c são elementos rbitrários do conjunto A. Tis proprieddes dizem que (A, +) é um grupo belino. A poderi ser, por exemplo, o conjunto dos números complexos C, dos números reis R ou dos inteiros Z. N miori dos csos iremos considerr f : Z R. +p Em f(k) chmmos o número de limite inferior do somtório o número +p=b de limite superior, f(k) é chmdo termo do somtório e k rgumento, índice ou vriável, nesse cso diremos que estmos plicndo o somtório de f(k) com k vrindo de té b. O número inteiro + p é igul um número inteiro b ssim escrevemos podemos escrever tmbém f(k), qundo ficr clro que estmos plicndo com k vrindo. f(k) f(k) pr simbolizr O somtório definido cim represent formlmente som f() + f( + 1) f(b 1) + f(b). Ess notção pr somtórios é chmd de notção sigm, letr é um letr greg miúscul que é corresponde noss letr S, tl notção foi introduzid por Leonhrd Euler ( ), mtemático suíço considerdo um dos mtemáticos mis prolíficos d históri. Euler introduziu s notções f(x) pr função, e pr o número 1 irrcionl que é vlor d série, i pr unidde imginári, número cujo qudrdo k! é 1 entre outrs notções.

8 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 7 Alguns utores usm o índice i no somtório f(k), normlmente não usremos índice i, deixndo ess letr reservd pr o número complexo. Vejmos lguns exemplos de somtórios. i= Exemplo f(k) + f( + 1) = f() + f( + 1) f(k) + f( + 2) = f() + f( + 1) + f( + 2) Um exemplo com números Exemplo 2. 3 k= 2 = 1 k= 2 2 f(k) + f(3) = k= 2 1 f(k) + f(2) + f(3) = k= 2 f(k) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 2 k= 2 0 f(k) + f(1) + f(2) + f(3) k= 2 f(k) + f( 1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = = f( 2) + f( 1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3). Proprieddes do somtório. As proprieddes nest seção são s proprieddes básics pr mnipulção de soms, sendo que miori - se não tods - s outrs proprieddes neste texto são decorrentes dels. Vmos então enuncir e demonstrr s proprieddes básics de somtório que serão usds nesse texto! As demonstrções mis básics serão feits usndo indução, iremos sempre mnipulr os somtórios prtir d definição por recorrênci, não usremos reticêncis pr simbolizr os somtórios. Propriedde 3 (Vriável mud). f(y) y= Se os somtórios estão sendo tomdos em limite iguis e com mesm função, não import o símbolo usdo pr vrição, s soms são iguis.

9 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 8 Lineridde Um operdor T é liner qundo fz T [f(x) + bg(x)] = T f(x) + b.t g(x) vmos mostrr então que o somtório é liner Propriedde 4 (Lineridde do somtório). [f(x) + bg(x)] = c=d+p x=d Com d e c Z.,b R. Ess propriedde diz que c [f(x)] + b d c [g(x)] d [f(d) + bg(d)] + [f(d + 1) + bg(d + 1)] + + [f(c) + bg(c)] = = [f(d) + f(d + 1) +... f(c)] + b[g(d) + g(d + 1) +... g(c)]. Vmos demonstrr por indução. Demonstrção. Por indução sobre p. Pr p = 0 temos (d+0) (d+0) (d+0) [f(x) + bg(x)] = [f(x)] + b [g(x)] = f(d) + bg(d) plicndo definição os dois termos. Hipótese d indução. Pr p = n 1 Prov pr p = n (c=d+n) (d+n 1) [f(x) + bg(x)] = (d+n 1) [f(x)] + b (d+n 1) [f(x) + bg(x)] = [ (d+n 1) [g(x)] ] [f(x) + bg(x)] + f(c) + bg(c)

10 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 9 pel hipótese = (d+n 1) = [f(x)] + b (d+n 1) [ (d+n 1) ] [f(x)] + f(c) [ (d+n 1) ] = [f(x)] + f(c) [ (c) = [g(x)] + f(c) + bg(c) [ (d+n 1) ] + b [g(x)] + bg(c) [ (d+n 1) + b ] [ (c) f(x) + b ] g(x) ] [g(x)] + g(c). Propriedde 5 (Comuttividde). Os somtórios comutm, não import ordem em que você plic dois somtórios o resultdo é sempre o mesmo. d d [ f(k, p)] = [ f(k, p)] p=c p=c Demonstrção. Vmos provr por indução, tomndo d = c + t e induzindo sobre t. Pr t = 0 temos c c [ f(k, p)] = [f(k, c)] = [ f(k, p)] = [f(k, c)] p=c p=c tomndo vlidde pr t, vmos mostrr válid pr t + 1 c+t c+t [ f(k, p)] = [ f(k, p)] p=c p=c temos que mostrr c+t+1 [ f(k, p)] = Aplicndo definição de somtório [ c+t+1 [ c+t+1 p=c p=c c+t f(k, p)] = [ f(k, p)] + f(k, p)] p=c p=c plicndo comuttividde d hipótese f(k, t + 1)] = c+t [ f(k, p)] + f(k, t + 1)] p=c

11 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 10 gor pel lineridde do somtório c+t [ f(k, p)] + f(k, t + 1)] = p=c c+t+1 [ f(k, p)]. p=c Propriedde 6 (Abertur). Ess propriedde mostr que podemos brir um somtório em dois somtórios. p s p f(k) + f(k) k=s+1 Pr p s + 1 e s. É equivlente p k=s+1 p=s+1+t f(k) s f(k) Demonstrção. A demonstrção será feit por indução sobre t, se t = 0 temos s+1 k=s+1 p=s+1 Temos como hipótese d indução pr t temos que provr pr t + 1 s+1+t k=s+1 s+1+t+1 k=s+1 Pel definição de somtório temos que s+1+t+1 k=s+1 s+1+t k=s+1 f(k) s+1+t p=s+1+t+1 f(k) + f(s t + 1) = = p=s+1+t+1 f(k) Propriedde 7 (Mudnç de vriável). s f(s + 1) f(k) s f(k) f(k) s+1+t s b+t +t s f(k) f(k) s+1+t+1 k=s+1 f(k t) s f(k) + f(s t + 1) f(k).

12 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 11 sendo t um número inteiro. Demonstrção. Demonstrção por indução. pr b = temos f() = +t +t vmos tomr por hipótese vlidde pr b = + p e provr pr b = + p + 1 pel definição temos +p+1 +p +p+1 f(k t) = f( + t t) = f() +p+t +t +p f(k) + f( + p + 1) = = +p+t+1 +t +p+1+t +t +p+t +t f(k t) f(k t). f(k t) f(k t) + f( + p t t) Se lgum número inteiro é somdo os limites do somtório o mesmo número deve ser subtrído n função que é somd, por exemplo, se est tomndo somtório sobre um função f(k) com k vrindo de té b, se somr um número t ficndo com somtório de + t té b + t deve-se subtrir esse número t d função que está sendo somd, ficndo f(k t) pr que o somtório continue igul. b+t +t f(k t). Propriedde 8 (produto por 1). Ess propriedde diz que podemos multiplicr os limites do somtório por 1, ficndo então com limites trocdos, simétricos e o somndo multiplicdo por 1 f( k) b

13 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 12 Demonstrção. Por indução, pr b = temos Tomndo como hipótese vlidde pr b vmos provr pr b + 1 f() = f( k) = f() f( k) b+1 b b 1 Pel definição e pel propriedde de bertur temos f( k). b+1 f(k)+f(b+1) = f(b+1)+ f( k) = b b 1 b 1 f( k)+ f( k) = b b 1 f( k). Corolário 1 (Troc de ordem). f( + b k) Demonstrção. Ess propriedde decorre ds proprieddes de mudnç de ordem e produto por ( 1),então vmos demonstrção. Temos que f( k) b fzendo um mudnç de vriável no segundo somtório, somndo + b os limites, ficmos com logo f( (k b)) = f( + b k) f( + b k) e f( + b k) 0 = f(k) f( + b k).

14 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 13 Propriedde 9 (Revertendo ordem d som). Vle propriedde n k f(k, j) = j= n n f(k, j). j= k=j Demonstrção. Vmos provr por indução sobre n, pr n = temos k f(k, j) = j= f(, j) = f(, ) = j= f(k, j) = j= k=j f(k, ) = f(, ). Supondo vlidde pr n, vmos provr pr n + 1 temos que n+1 j= k n+1 n+1 f(k, j) = f(k, j) j= k=j n+1 j= k f(k, j) = n k n+1 f(k, j) + f(n + 1, j) = j= j= n n n+1 f(k, j) + f(n + 1, j) = j= k=j j= = = n j= k=j j= n n f(k, j)+ f(n+1, j)+f(n+1, n+1) = j= n n ( f(k, j) + f(n + 1, j)) + k=j Cso especil se = 0 n+1 k=n+1 n f(k, n + 1) = j= k=j n n f(k, j)+ f(n+1, j)+ j= n n+1 ( f(k, j)) + j= n+1 n+1 = ( f(k, j)). j= k=j k=j n+1 k=n+1 n+1 k=n+1 f(k, n + 1) = f(k, n+1) = n k f(k, j) = j=0 n n f(k, j). j=0 k=j Exercícios 1. Clcule s soms numericmente pel definição de somtório: () (b) 5 ( 1) k 7 k=4 1 k

15 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 14 (c) (d) 3 1 k= 7 3 k, pr n 0, inteiro. k= 3 (e) Todo número rel pertence um e somente um intervlo do tipo [n, n + 1), onde n é inteiro, cd rel nesse intervlo ssocimos o número n pel função 4 x = n, que é chmd de função piso. Clcule som k. 100 (f) Clcule k. O mtemático Guss teri clculdo ess som com 10 nos de idde sem nenhum cálculo. 2. Demonstre s proprieddes usndo definição recursiv de somtório. () Lineridde (cg(k) + df(k)) = c (b) Comuttividde (c) Abertur p=c c (d) Mudnç de vriável (e) Produto por 1 (f) Troc de ordem d f(k, p) = f(k) + (g) Reverter ordem d som n k= b g(k) + d d p=c c k=b+1 b+t +t f( k) f(k, p) f(k) f(k t) f( + b k) j= k f(k, j) = 3. Demonstre usndo s proprieddes nteriores () Demonstre [f(k + 1) f(k)] = f(b + 1) f(). n f(k) j= k=j n f(k, j).

16 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 15 (b) Ess propriedde é chmd de som telescópic e f(k + 1) f(k) pode ser denotdo como f(k + 1) f(k), f(b + 1) f() pode ser escrito como f(k) b+1, então propriedde pode ser escrit f(k) b [f( + b k) + f(k)]. (c) Se f é um função ímpr então (d) Se f é um função pr então n k= n n k= n 0 f(0) + 2 (e) A função delt de kronecker é definid como { 0 se n k δ (n,k) = 1 se n = k n f(k). Demonstre que se n é um número tl que n b, n Z então f(k)δ (n,k) = f(n). 1.4 Equivlênci entre definições de somtório Conseguimos demonstrr propriedde de bertur trvés d definição de somtório, gor mostrremos que definição de somtório pode ser demonstrd com propriedde de bertur, isto é, são equivlentes. f(x) = s f(k) + k=s+1 f(k). Com s, b s + 1, b,, s Z e com condição inicil c f(c). k=c c Z. Pr demonstrr outr definição bst tomr b = s + 1, ficmos então com o somtório b 1 f(x) = f(k) + b 1 f(k) + f(b). k=b

17 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 16 Definição 8. Fremos mis um expnsão de definição 0 Se > b. Diremos nesse cso que temos um somtório sobre o conjunto vzio, pois som é sobre o conjunto A = {k N k b}, se > b esse conjunto é vzio, por exemplo se = 3 e b = 2 o conjunto A = {k N 3 k 2} =, simbolizmos ess propriedde como 0. k Ess definição permite brir por exemplo escrever n n 1 f(k) + f(n) Mesmo qundo n = 0 pois temos 0 1 f(k) + f(0) Como 0 > 1 o termo com esses limites é 0, então 0 1 f(k) + f(0) = f(0). O somtório pode ser berto por vlores menores, n n f(0) + f(k) Se n = 0 temos Pel definição. 0 0 f(0) + f(0) + 0 = f(0) Definição 9. Somtório sobre função constnte. Se temos um função constnte c, escrevemos o somtório c

18 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 17 Propriedde 10. n 1 = n pr todo n nturl, demonstrmos por indução, pr n = 0, temos iguldde, pois temos somtório sobre conjunto vzio sendo 0, sej gor válid pr n, vmos demonstrr pr n + 1 n+1 1 = n = n Notção compct versus reticêncis Neste texto decidimos usr notção compct de somtório, quse sempre, o invés de usr reticêncis (pontinhos) o mnipulr os somtórios. N seção nterior demonstrmos proprieddes básics pr mnipulr soms usndo notção compct. Usndo els seremos cpzes de clculr tods ( ou quse tods) soms que precem neste texto. A notção compct pode ser útil pr economizr espço, não precisndo escrever pontinhos e vários termos somdos n k = n. Ao usr pontinho, deve-se escrever o termo gerl do que se está somndo, pr evitr mbiguiddes, por exemplo n n seri um mneir válid pr escrever som k, porém Figur 1.1: Proibido uso de pontinhos

19 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 18 não seri um mneir válid pr expressr som finit, tnto pelo motivo de precer expressr um som de infinitos termos, qunto pelo fto de que não sbemos expressão gerl do termo que está sendo somdo, poderi ser som de um sequênci (x n ) tl que x 1 = 1, x 2 = 2 e x 3 = 300, por exemplo. Se o termo gerl não é ddo, sequênci poderi ser de vários tipos distintos. Um som infinit deveri ser express d form n + onde n simboliz o tipo de termo que está sendo somdo, nesse cso som é infinit, n notção compct seri k. 1.5 Primeirs técnics de Somtório Som telescópic ou som d diferenç Propriedde 11 (Teorem fundmentl do cálculo de diferençs finits, prte I -Som telescópic.). Dedução ondef(x) b+1 f(x) = f(x) x= b+1 = f(b + 1) f() e f(x) = f(x + 1) f(x). f( + 1) f() f( + 2) f( + 1) f( + 3) f( + 2). f(b) f(b 1) f(b + 1) f(b) Somndo esses termos ficmos com f(b + 1) f()

20 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 19 Demonstrção. b 1 f(x) = f(x + 1) f(x) = f(x + 1) + f(b + 1) f(x) f() = x= x= x= x= x=+1 fzendo um mudnç de vriável no segundo somtório b 1 b 1 = f(x + 1) + f(b + 1) f(x + 1) f() = f(b + 1) f(). x= x= Lemm 1. h(x) = 0, b Z h(x) = 0 x Z Demonstrção. Se h(x) = 0 pr todo x inteiro vmos provr que h(x) = 0. Por indução, no cso de b = temos h(x) = h() = 0 Vmos tomr como hipótese vlidde pr b h(x) = 0 e provr pr b + 1 Temos que b+1 h(x) = Agor vmos provr que se então Tome b =, ssim temos b+1 h(x) = 0. h(x) + h(b + 1) = = 0. h(x) = 0, b Z h(x) = 0 x Z. h(x) = h() = 0 Como ess iguldde vle pr todo inteiro, então função é igul zero pr todo inteiro.

21 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 20 Teorem 1 (Teorem fundmentl do cálculo de diferençs finits, prte II). Se g(x) = f(x) b+1, b Z = f(x) = g(x) x Z Demonstrção. Considere g(x) f(x), então g(x) = f(x) + h(x) tomndo o somtório temos g(x) = que é diferente de pois se fosse igul, o termo f(x) + h(x) = f(x) f(x) b+1 h(x) b+1 + h(x) seri igul zero pr todo e b inteiros, e pelo lem implicri h(x) = 0 pr todo inteiro x ssim terímos iguldde g(x) = f(x) Diferenç do somtório Vmos plicr o operdor o limite superior do somtório, chmndo o somtório com limite superior x de f(x) x x+1 x f(x) = d(k) = d(k) d(k) = x x d(k)+d(x+1) d(k) = d(x+1) = Ed(x). plicndo n+1 no limite superior, temos x x n+1 f(x) = n+1 d(k) = n [ d(k)] = n [d(x + 1)]. Então temos que o operdor plicdo no limite superior do somtório devolve função somd plicd no limite superior. Porém se função que estiver sendo somd tenh lgum dependênci com o limite superior ficmos com x x+1 x x x f(x) = d(k, x) = d(k, x+1) d(k, x) = d(k, x+1)+d(x+1, x+1) d(k, x) =. x d(k, x) + d(x + 1, x + 1).

22 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 21 Agor vmos plic o limite inferior do somtório. x x x x x f(k) f(k) f() f() Então vle n f(n + 1) = Ef(n) o operdor delt destrói somtórios. Lemm 2. h(x) = 0 h(x) = c x Z Demonstrção. Se h(x) = c x Z temos h(x) = h(x + 1) h(x) = c c = 0. Agor, se temos h(x) = 0 x Z isso implic h(x + 1) h(x) = 0 = h(x + 1) = h(x) x Z, chmndo esse vlor de c, temos que h(x) = c x Z. Teorem 2. f(x) = g(x) x Z = f(x) = g(x) + c Demonstrção. Se f(x) g(x)+c então f(x) = g(x)+c+h(x), com h(x) um função não constnte, plicndo o operdor em mbos os ldos temos f(x) = g(x)+ h(x), pelo lem nterior, como h(x) não é constnte h(x) 0 pr lgum x, logo f(x) g(x). Demonstrção.[2] Sej função h(x) = f(x) g(x) plique o operdor Delt de mbos os ldos, h(x) = f(x) g(x) = 0, pois f(x) = g(x) com isso pelo lem temos que h(x) = c = f(x) g(x), logo f(x) = g(x) + c. Demonstrção.[3] f(x) = g(x) plicndo o somtório em mbos ldos com x vrindo de 0 té n 1, temos n 1 n 1 f(x) = f(n) f(0) = g(x) = g(n) g(0) sse x=0 x=0 f(n) = g(n) + f(0) g(0) = g(n) + c logo f(x) = g(x) + c onde c = f(0) g(0).

23 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS Primitiv finit Definição 10. Um primitiv finit de um função f(x) é um função g(x) tl que g(x) = f(x) Exemplo 3. g(x) = x é um primitiv finit de f(x) = 1 pois, g(x) = 1 = f(x), pr tod constnte c, x + c tmbém é primitiv finit de f(x) = 1. Definição 11. Sendo g(x) um primitiv finit de f(x), pr tod constnte c, g(x) + c, tmbém é primitiv de f(x), pois [g(x) + c] = g(x) = f(x) fmíli de primitivs finits de f(x) será representd por f(x) = g(x) + c usremos notção f(x) x pr representr que o somtório indefinido é em relção vriável x. Um primitiv finit de f(x) será denomind somtório indefinido de f(x), f(x) será chmdo de somtório indefinido de f(x) e o somtório chmdo de somtório definido. f(x) Observe que se temos um primitiv finit de f(x), podemos resolver o somtório em qulquer intervlo inteiro, pois temos g(x) tl que g(x) = f(x), plicmos o somtório em mbos ldos b+1 g(k) = g(k) = f(k). Isto é se temos o somtório indefinido de f(x) f(x) = g(x) pssmos pr o somtório definido d seguinte mneir b+1 f(x) = g(x) = g(b + 1) g() x=

24 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 23 Temos f(x) = g(x) + c e g(x) = f(x) substituindo, temos g(x) = g(x) + c pr clculr o somtório definido trvés do indefinido, podemos tomr c = 0 pois qulquer outro vlor se nul qundo se tom limites no somtório. D iguldde f(x) = g(x) + c, plicndo em mbos ldos temos f(x) = [g(x) + c] = g(x) = f(x) logo f(x) = f(x). Propriedde 12 (O somtório indefinido é liner). f(x) + bg(x) = f(x) + b g(x) Demonstrção. Aplicndo delt em mbos termos temos f(x) + bg(x) = f(x) + bg(x) ( f(x) + b g(x)) = f(x) + b g(x) = f(x) + bg(x) logo vle propriedde. 1.7 Fórmul de Interpolção de Newton Vmos deduzir informlmente fórmul de interpolção de Newton, que permite escreve um sequênci como som ds sus diferençs. De = E 1 tem-se + 1 = E, elevndo n, tem-se n ( ) n E n = ( + 1) n = k k plicndo em f(0) tem-se E n f(0) = f(n) = n ( ) n k f(0). k

25 CAPÍTULO 1. SOMATÓRIOS 24 Vle então que f(n) = n ( ) n k f(0). k

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