Estimativas do rating e vantagem das brancas em torneios de xadrez

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1 Estimativas do ratig e vatagem das bracas em toreios de xadrez Dailo Machado Pires 1 2 Júlio Sílvio de Sousa Bueo Filho 1 1 Itrodução Grades federações esportivas usam sistemas de ratig para medir a força relativa de jogadores e equipes, como exemplo a USCF (Uited States Chess Federatio) e a e a FIDE (Fédératio Iteratioale des Échecs) [6] que usam o sistema ELO [5], e também a FIFA (Fédératio Iteratioale des Footboll Associatio) que se utiliza de um sistema de ratig e há propostas de utilização também do sistema ELO [7]. De uma forma geral os sistemas de ratig servem para relacioar competidores, ão somete o que diz respeito a jogadores e equipes esportivas, mas iclusive produtos comerciais, a partir do qual se estabelece raques relacioados a preferêcia pelo produto, detre outros critérios. A capacidade de predição do sistema ELO e diversas alterativas têm sido propostas a literatura estatística. Talvez a modificação mais importate evolva a adoção de um parâmetro para modelar a vatagem do lace iicial (jogar de bracas o xadrez, ou mado de campo em esportes coletivos) [10]. Neste trabalho aalisamos as partidas referetes a seis dos mais tradicioais toreios de xadrez do mudo. Ode todos os participates são Grades Mestres, ou seja, possuem um título vitalício cocedido pela FIDE que os credeciam como pertecetes ao mais alto ível de jogadores de xadrez. Os toreios escolhidos ocorreram em 2011 e 2012 e foram: a 39 edição do toreio de Dortmud, a 5 edição do Kigs Touramet, a 44 edição do toreio de Biel, a primeira etapa do 4 toreio Grad Prix de Bilbao, o Memorial Mikhail Tal 2011, e por fim o Tata Stell (grupo A) A hipótese que pretedemos testar observado tais delieametos de toreio é a de que a vatagem de bracas ão é relevate. Para tal aalisaremos todos os toreios citados comparado modelos que levam em cota a vatagem das bracas aos que ão o fazem, uma vez testada a hipóteses a respeito da vatagem de bracas, será escolhido um modelo para a predição dos resultados em partidas oficiais. 1 DEX - UFLA. dmachadopires@posgrad.ufla.br 2 Agradecimeto à CAPES pelo apoio fiaceiro ao primeiro autor e à FAPEMIG pelo apoio fiaceiro ao segudo autor. 1

2 2 Material e métodos Cico toreios (realizados em 2011) foram utilizados o processo de iferêcia sobre os ratigs de seus jogadores e um toreio (Tata Steel grupo A, realizado em 2012). foi utilizado para testar se os ratigs iferidos são acurados em relação a real força de cada jogador ao poto de servirem como um razoável preditor de resultados. A descrição completa dos toreio (dados dos jogadores, resultados jogo a jogo, todas partidas completas etc.) pode ser ecotrada em [2] [3] [4] [12]. Os toreios foram aalisados idividualmete e também de forma cojuta, por meio de duas propostas, ode a primeira proposta cosistiu em cocatear os dados dos cico toreios de forma a obter um úico toreio chamado aqui de Supertoreio composto por 22 jogadores. Este Supertoreio foi aalisado como os demais. Já a seguda proposta cosistiu a utilização das matrizes de variâcia e covariâcias e os ratigs estimados dos modelos escolhidos como os mais coeretes, a criação de um sistema de equações ormais correspodetes ao modelo liear geeralizado de Gauss-Markov [11], cujo delieameto resultate é aqui chamado de toreio Combiado (1). γ est. = Xβ + ε; ε N(φ,Ωσ 2 ) (1) em que, uma vez selecioados os melhores modelos para cada toreio, γ est correspode as estimativas de ratigs de todos os toreios combiadas em um úico vetor, Ωσ 2 correspode a matriz de variâcia e covariâcia obtida pela soma direta das matrizes de variâcias e covariâcias dos referidos toreios, X é a matriz de delieameto e β correspode as estimativas de ratigs γ. Tedo em mãos as estimativas de ratigs do supertoeio e do toreio Combiado, utilizou os mesmos como parâmetros do modelo preditor dos resultados do toreio Tata Steel [12]. Para os jogadores deste que ão estavam presetes em ehum dos cico toreios utilizados para iferêcia dos ratigs, foi ecessário uma modificação a escala do seu ratig FIDE por meio de uma ormalização em relação a média e o desvio padrão do toreio, de maeira a ficar em coformidade com os demais ratigs utilizados, pois seu sistema de ratigs é determiado pelo sistema de ratigs Elo, que provém de uma ormal adaptada a uma curva logística de base 10, e este sistema estabelece uma escala própria, que cosidera 2000 como o valor de ratig itermediário. O modelo de aálise assume que a probabilidade do jogador i vecer o jogador j é o modelo de Bradley-Terry [1] dado por: π i j = Pr(i vecer j) = π i 1 =, (2) π i + π j 1 + e ν em que os parâmetros γ i e γ j represetam a força relativa de cada jogador.o modelo é liear o preditor ν γ j +γ i +δ que relacioa a difereça etre as forças dos jogadores e a vatagem 2

3 das bracas, δ. Os resultados possíveis são: y i j = 0 (vitória das egras), y i j = 1 e y i j = 0.5 (empate). Isto modifica ligeiramete o modelo beta-biomial. O log da verossimilhaça biomial obtido a partir do modelo é dado por : l(π,γ,δ y) c(k) + [y i jk log(π i jk ) + (1 y i jk )log(1 π i jk )], (3) Como os modelos de verossimilhaça são complexos, os potos de máximo ão apresetam solução aalítica explícita, todavia, os estimadores de máxima verossimilhaça podem ser obtidos por optimização umérica (simplex) usado a fução optimize() [9] do R. As derivadas de seguda ordem do log da verosimilhaça (3) são dadas por: γ i 2 γ i δ δ 2 Com essas derivadas parciais é possível a obteção da matriz Hessiaa. [π i jk (1 π i jk )] (4) [π i jk (1 π i jk )] e (5) (π i jk [1 π i jk )]. (6) As estimativas para a estatística Λ = 2 (l(π,γ,δ y) l(π,γ y)) ) foram calculadas para testar a hipótese de que a vatagem das bracas é irrelevate (comparar os dois modelos), para assim poder implemetar o modelo de predição. Estas estimativas foram calculadas o poto correspodete ao estimador de máxima verossimilhaça em cada toreio. Tais estatísticas seguem distribuição aproximada qui-quadrado com 1 grau de liberdade. 3 Resultados e discussões As estimativas da vatagem de bracas (δ) em cada toreio, e valores e probabilidades de sigificâcia da estatística Λ são dados a tabela 1. Como o memorial Tal é um toreio roud- Tabela 1: Estimativas de δ, (vatagem das bracas), Λ e o respectivo valor P, para cada toreio. Dortmud Kigs Biel Bilbao Memorial Tal Supertoreio δ 0,3737 0,5977-0,0797 0,5716-0,0779 0,2645 Λ 0,9271 2,354 0,0039 2,2526 0,0633 2,3098 Valor P. 0,3356 0,1250 0,8489 0,1334 0,8014 1,1285 robi simples, é o pior delieameto para estimar a vatagem das bracas já que se o jogador 3

4 A jogou com as peças bracas cotra o jogador B, eles ão irão jogar ovamete com as cores ivertidas. Tais resultados são idicativos que tato em toreios idividualmete aalisados como aalisados em cojuto, a vatagem das bracas ão foi relevate. É certo que esta relevâcia variou com os toreios e toreios maiores apresetaram maior tedêcia a revelar efeito da vatagem das bracas. É apresetado a tabela 2 as estimativas de ratigs obtidas para os jogadores de cada um dos cico toreios disputados em 2011, jutameto com o supertoreio e o toreio combiado. Todos utilizados o processo de iferêcia por meio do modelo sem o parâmetro de vatagem de bracas. Tabela 2: Estimativas de ratig (γ s ) obtidas os diferetes toreios estudados icluido o Supertoreio e o toreio Combiado. Dortmud Kigs Biel Bilbao Memorial Tal Supertoreio Combiado ANAND ,0189 0,0886 0,0409 0,0406 ARONIAN ,0197 0,5003 0,3630 0,2467 CARLSEN - 0,4776 0,7871 0,3615 0,4979 0,6143 0,5156 CARUANA , ,0602-0,1133 GELFAND ,3331-0,0750-0,3785 GIRI 0, ,1203 0,1303 IVANCHUK - -0,4002-0,1901 0,2922 0,0636 0,0083 KARJAKIN - 0, ,2885 0,4498 0,3452 KRAMNIK 0, ,3415-0,0252 0,2059 MEIER -0, ,6438-0,6174 MOROZEVICH - - 0, ,3636 0,4442 NAKAMURA -0,1237-0,2248-0,0188-0,5548-0,1738-0,2192 NEPOMNIACHTCHI ,2927 0,4246 0,2696 NISIPEANU - -0, ,3671-0,4603 PELLETIER , ,9021-1,1416 PONOMARIOV 0, ,1325 0,1303 QUANGLE 0, ,0393 0,3134 RADJABOV - -0, ,2658-0,2817 SHIROV - - 0, ,2990 0,2565 SVIDLER ,0841-0,0508 0,0540 VACHIER - - 0, ,1450 0,0721 VALLEJO , ,4835-0,4952 Uma comparação direta destes valores com a escala origial de ratig fica prejudicada, mas pode-se corrigir as estimativas de forma a obter uma boa estimativa em relação a escala origial do ratig adotada pela FIDE. Em geral as estimativas de ratig apresetaram correlações acima de 98% com o modelo usual (Elo, sem vatagem das bracas) e são reflexos da falta de relevâcia do parâmetro adicioal. Verifica-se que estimativas dos toreio Combiado e do Supertoreio apresetaram uma correlação 0, , idicado uma grade coformidade etre ambos os modelos. As estimativas de ratigs (γ s ) desses dois modelos são utilizadas a tetativa de predizer os resultados do toreio TATA STEEL (grupo A) [12] por meio do modelo de Bradley-Terry. Esse toreio foi realizado em jaeiro de 2012 e evolveu 14 dos melhores jogadores da atualidade, ode se cofrotaram ao logo de 91 partidas. Mediate os resultados observados o log da verossimilhaça para o toreio Combiado foi de 67,27291 com o erro associado de 0, , equato que para o Supertoreio foi de 66,8468 com o erro associado de 0,

5 4 Coclusões Notamos um idício de que o as estimativas obtidas através do Supertoreio apresetam melhor coformidade com a força relativa real de cada jogador.uma vez que o erro das estimativas é ligeiramete meor o modelo Combiado ão compromete o idício verificado através do log da verosimilhaça. Ambos os modelos aida ão se mostraram bos preditores de resultados em partidas de toreios futuros, fato que leva a ecessidade de aalises em toreios maiores, para se obter resultados mais coclusivos,pois o cojuto das evidêcias levatadas pelos toreios de partidas pesadas é aida vago, mas a vatagem das bracas parece ser maior que em toreios de partidas rápidas como os aalisados pelos autores em 2011 [8]. Referêcias [1] BRADLEY, R. A.; TERRY, M.E. The rak aalysis of icomplete block desigs. Biometrika, v.39 p [2] CHESSBASE, Dispoível em: < em: 5 Abr [3] CHESSGAMES, t Dispoível em: < em: 5 Abr [4] CHESSRESULTS, Dispoível em: < em: 5 Abr [5] ELO, A.E.,The ratig of chess players past ad preset. Arco Publishig, New York, [6] FIDE. Dispoível em :< Acessado em: 5 Abr [7] FIFA. Dispoível em:< Acessado em: 5 Abr [8] PIRES,D.M.;FILHO, J.S.S.F. Vatagem das bracas em partidas rápidas de xadrez. Poster. I 56 RBRAS, 14 SEAGRO. Marigá, [9] OPTIMIZE. Dispoível em :< Acessado em: 6 de Abr [10] KAGGLE. Dipoível em :< Acessado em 22 fev [11] SEARLE,S.R.Liear Models.New York: J.Wiley, p. [12] TATA STELL. dispoível em :< Acessada em: 6 Abr