Lista 01 - Estimação por MQO

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1 Exercício 01 Lista 01 - Estimação por MQO (a) Temos que o sial esperado para β 1 é egativo pois, dado que temos um úmero limitado de miutos a semaa, se mativermos todas as demais variáveis costates, uma alocação de mais horas para o trabalho leva, cosequetemete a uma alocação meor de horas para o soo. (b) Com relação a β 3, espera-se que esse seja positivo pois pessoas de mais idade tetem a alocar mais tempo para o soo que os joves. Com relação a β 2, espera-se que esse seja egativo, dado que para se obter aos de estudo deve-se alocar tempo para essa atividade e, matedo tudo mais costate, isso leva a um meor tempo para o soo. (c) Dado que sleep totwrk = 0, 148 Além disso, temos que 5h = 300mi, temos que Exercício 02 sleep = 0, = 44, 3 mi/semaa (a) Não, pois dado que estamos lidado com quatidade de miutos por semaa de um aluo e essas são todas as atividades que esse aluo pode realizar durate a semaa, ão é possível aumetar a quatidade de miutos alocados em cada uma dessas atividades matedo as demais costates (ceteris paribus). Para que se possa aumetar a quatidade de miutos alocadas é ecessário dimiuir em mesmo motate a quatidade de miutos alocadas em outra atividade. (b) Esse modelo viola a hipótese de que a matriz X de regressores deve possuir posto colua cheio pois temos que é possível ecotrar uma relação liear etre as coluas. 1

2 Para o caso do modelo proposto pelo exercício, temos que essa relação liear é dada por: sleep + study + work + leisure = 1 Ou seja, a soma dessas variáveis dividida pela quatidade total de miutos existete a semaa ( = ) resulta a colua de 1 s da matriz X resposável pela estimação do itercepto do modelo. (c) Uma das formas de se corriguir esse problema é omitido uma atividade praticada por esse estudate. Exercício 03 Dado o modelo y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x 3 + u Podemos reescreve-lo a forma matricial, sedo essa Y = Xβ + u Assim, temos que o estimador de míimos quadrados ordiários é dado por: ˆb = (X X) 1 X Y substituido Y, temos ˆb = (X X) 1 X [Xβ + u] ˆb = (X X) 1 X Xβ + (X X) 1 X u ˆb = β + (X X) 1 X u passado a esperaça, temos E(ˆb X) = E(β + (X X) 1 X u X) E(ˆb X) = β + (X X) 1 X E(u X) e como E(u X) = 0 E(ˆb X) = β ou seja, ão viesado. 2

3 Assim, temos que ˆθ = ˆβ 1 + ˆβ 2 passado a esperaça codicioal, temos E(ˆθ X) = E( ˆβ 1 + ˆβ 2 X) E(ˆθ X) = E( ˆβ 1 X) + E( ˆβ 2 X) Como garatimos que o estimador de MQO é ão viesado, podemos E(ˆθ X) = β 1 + β 2 Ou seja, temos que o estimador ˆθ é ão viesado para a soma dos betas. Exercício 04 (a) Heterocedasticidade: o estimador de MQO cotiua ão-viesado porém temos que as estatísticas t e F deixam de ser cofiáeis. Matematicamete, isso pode ser visto por: ˆb = (X X) 1 X Y como já demostrado, temos que ˆb = β + (X X) 1 X u Utilizado da hipótese de ormalidade mais que os erros são heterocedásticos, temos que u N(0, σ 2 Ω). Assim, aalisado os mometos de ˆb, temos E(ˆb) = β como já demostrado e V ar(ˆb) = V ar[β + (X X) 1 X u] V ar(ˆb) = V ar[(x X) 1 X u] 3

4 V ar(ˆb) = (X X) 1 X σ 2 ΩX(X X) 1 Assim, o estimador para a variâcia de ˆb tora-se viesado, comprometedo a iferêcia estatística. (b) Dado o modelo y = β 0 x 1 + β 2 x 2 + ɛ, se estimarmos somete y = β 0 x 1 + ν, temos que ν = β 2 x 2 + ɛ. Assim, passado a esperaça esse segudo erro, obtemos E(ν) = E(β 2 x 2 + ɛ) = E(β 2 x 2 ) Ou seja, temos que a esperaça dos erros é diferete de zero. Com isso, temos que E(ˆb X) = β + (X X) 1 X E(ν X) Assim, o estimados de MQO tora-se viesado. (c) Como mostrado o Exercício 02, temos que a matriz X deixa de ser posto cheio a colua e, cosequetemete, também tora-se sigular. Assim, temos que X tora-se ão iversível, assim, temos que ão é possível o cálculo da matriz (X X) 1, ão se torado possível o cálculo do estimador de MQO. Exercício 05 Podemos represetar o modelo de mqo em forma matricial. somete uma observação i, temos Pegado y i = β x i + u i Ode a metriz x i = [1 x 1i ] e β = [β 0 β 1 ]. Assim, podemos mostrar que o estimador é ão viesado, pois temos que E( ˆβ X) = E E( ˆβ X) = E ( ) i=1 (z i z)y i ( ) i=1 (z i z)(β x i +u) 4

5 E( ˆβ X) ( β ) ( ) i=1 = E (z i z)x i i=1 (z i=1 i z)x i + E (z i z)u i E( ˆβ X) = β + i=1 (z i z) E(u X) Como temos que E(u X) = 0, temos o resultado fial que E( ˆβ) = β. Prática 01 Parte empírica Todo o Script colocado aqui é partido do pré-suposto que o aluo já setou a pasta de Work Dirctory pelo comado setwd. A resolução e explicação desse script foi realizada em aula. Leitura dos dados: dados = read.table("sleep75.txt", header=t, sep=" t", dec =",") attach(dados) (a) item.a = lm(sleep totwrk + educ + age) (b) item.b.i = lm(sleep educ + age) v.hat = item.b.i$residuals item.b.iii = lm(totwrk educ + age) w.hat = item.b.iii$residuals item.b.v = lm(v.hat w.hat) 5