MODELO EFICIENTE PARA O CÁLCULO DA PROPAGAÇÃO DE ONDAS ACÚSTICAS EM ÁGUAS POUCO PROFUNDAS UTILIZANDO O MÉTODOO DAS SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS

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1 MODELO EFICIENTE PARA O CÁLCULO DA PROPAGAÇÃO DE ONDAS ACÚSTICAS EM ÁGUAS POUCO PROFUNDAS UTILIZANDO O MÉTODOO DAS SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS E. G. A. Costa, L. Godinho, A. Peeia, J. A. F. Santiago Pogama de Engenhaia Civil, COPPE Univesidade Fedeal do Rio de Janeio, CP 68506, CEP , Rio de Janeio, RJ, Basil. {edmundo_costa@coc.uf e santiago@coc.uf.b} o CICC, Depatamento de Engenhaia Civil, Univesidade de Coimba, Coimba, Potugal. {lgodinho@dec.uc.pt e apeeia@dec.uc.pt} Resumo Neste atigo se apesenta uma fomulação numéica eficiente, no domínio da feqüência, que pemite detemina a popagação de ondas acústicas em águas pouco pofundas. As geometias bidimensionais analisadas são compostas po difeentes egiões com geometias distintas. O Método das Soluções Fundamentais (MFS) é utilizado paa modela a popagação de ondas nestas egiões, sendo desenvolvida uma fomulação que eque apenas a consideação de intefaces veticais ente as sub- obtidas a pati de egiões com geometias difeentes. As funções de Geen usadas neste tabalho são difeentes técnicas, tais como: a epansão das autofunções que são utilizadas paa obte a solução fundamental paa a egião com fundo ígido hoizontal e supefície live e na egião efeente ao fundo ígido inclinado, a função é obtida atavés de um somatóio de modos nomais desacoplados. Os esultados obtidos são compaados com outos métodos numéicos designadamente o método dos elementos de contono e o método dos modos nomais acoplados (coupled nomal modes). A aplicabilidade do modelo é ainda demonstada atavés do cálculo de espostas no domínio da feqüência paa difeentes dimensões da egião do fundo inclinado. Palavas-chave: Método das Soluções Fundamentais, Funções de Geen, águas pouco pofundas. Abstact In this aticle, an efficient numeical fequenc domain fomulation is poposed to investigate the acoustic wave popagation in shallow wate. Two-dimensional sstems composed of diffeent egions with diffeent bottom slope ae analzed. The Method of Fundamental Solutions (MFS) is used to model wave popagation in thesee egions and onl the vetical intefaces between egions of diffeent configuations ae discetized. The Geen s functions used in this wok ae obtained fom diffeent techniques, such as: the eigenfunction epansions that take into account the pesence of flat igid bottom and fee suface; though the sum of uncoupled nomal modes in the egion elated to the sloping bottom. The esults obtained ae compaed with the bounda element method and the coupled nomal modes method. The applicabilit of the model is futhe demonstated b calculating the fequenc domain esponses fo diffeent dimensions of the egion with sloping bottom. Kewods: Method of Fundamental Solutions, Geen s Functions, shallow wate.

2 E. G. A. Costa, L. Godinho, A. Peeia, J. A. F. Santiago Intodução A descição do campo sonoo geado po uma fonte acústica em um oceano pode se obtida atavés da equação da onda (domínio do tempo) ou da equação de Helmholtz (domínio da feqüência). A compleidade dos poblemas acústicos impossibilita gealmente a obtenção de uma solução analítica paa as equações difeencias paciais que govenam os fenômenos físicos desses poblemas, fazendo com que a única altenativa viável paa analisa esses poblemas sea a utilização de métodos numéicos. O livo de Jensen et al. [] discute com detalhe os difeentes métodos que foam investigados po pesquisadoes ao longo dos anos. De fato, muitos pesquisadoes vêm analisando o campo de pessão em tais configuações usando difeentes estatégias. O método dos modos nomais acoplados desenvolvido po Evans [], que considea o canal subdividido em um númeo finito de colunas adacentes, tem sido amplamente utilizado paa estes poblemas [3-4], atavés do código COUPLE [5]. Este modelo considea o acoplamento total ente os modos e é capaz de lida com os efeitos de backscatteing. Muitos modelos também têm sido desenvolvidos com base nos métodos numéicos bem estabelecidos na liteatua, tais como: o Método dos Elementos Finitos, o Método dos Elementos de Contono e o Método das Difeenças Finitas. Uma visão geal dos métodos numéicos mais comuns utilizados em acústica subaquática pode se encontada no atigo de Buckingham [6]. Dente os divesos métodos eistentes, o Método dos Elementos de Contono (Bounda Element Method - BEM) é ecomendável paa modela domínios homogêneos infinitos, uma vez que a condição de campo infinito seá automaticamente satisfeita e apenas os contonos intenos pecisam se discetizados, eduzindo consideavelmente o tamanho do sistema de equações lineaes. No entanto, a aplicação do BEM é estita ao conhecimento pévio das soluções fundamentais e das integais singulaes. Apesa dessas dificuldades, o método foi aplicado com sucesso à poblemas de ondas acústicas em águas asas po Dawson e Fawcett [7]. Em 000, Santiago e Wobel [8] utilizaam a técnica de sub-egião na fomulação dos elementos de contono paa a análise de popagação da onda acústica -D em águas asas com topogafia iegula no fundo do ma. Godinho et al. [9] também analisaam a popagação de ondas acústicas utilizando uma fomulação do BEM, geado po uma fonte pontual em um canal de fluido -D com uma defomação ígida no fundo, cua pate infeio foi modelada utilizando as condições de contono de Neumann. Nos últimos anos as técnicas sem malha têm despetado bastante inteesse da comunidade científica, tabalhando em poblemas de popagação de ondas acústicas. Estes métodos não eigem discetização eplícita do domínio, são computacionalmente eficientes e habitualmente equeem uma fomulação matemática simples [0-]. Dente essas técnicas numéicas o Método das Soluções Fundamentais (Method of Fundamental Solutions - MFS) paece se muito adequado quando poblemas de popagação de ondas acústicas consideando geometias egulaes são analisados, supeando mesmo o igo do BEM []. Neste atigo seá analisada a popagação de ondas acústicas em águas asas usando uma fomulação no domínio da feqüência baseada no MFS. A configuação analisada combina as egiões de uma cunha e de um canal, onde o fundo é sempe consideado ígido e a supefície live. Aqui a técnica de sub-egião e as soluções fundamentais [3-5] são empegadas paa tona possível usa apenas um númeo limitado de intefaces vituais. As vantagens do modelo poposto, tais como a sua estabilidade, a pecisão e um custo computacional mais baio, são ilustados atavés da ealização de compaações com outos métodos bem estabelecidos na liteatua, tais como: o método dos modos nomais acoplados ( coupled nomal modes ) e o BEM.

3 Acústica 0, a 3 de Outubo, Évoa, Potugal Fomulação do Método das Soluções Fundamentais. Definição da equação de Helmholtz Considee o poblema de popagação de ondas acústicas em águas pouco pofundas -D, com um fundo que consiste de segmentos hoizontais e inclinados e um domínio de popagação que pode se descito usando váias sub-egiões, como mostado na Figua. Assume-se que o domínio é ecitado po uma fonte linea que pode esta em qualque uma das sub-egiões. Γ L Ω Fonte Supefície live Fundo Γ F Figua Geometia do poblema. Sob tais condições, é possível considea que a equação que govena este tipo de poblema é conhecida, sendo habitualmente designada na liteatua como equação de Helmholtz. Esta pode se escita como: f φ( ) + k φ( ) = Qδ (, ), numa egião Ω ξ () f f onde φ( ) é o potencial de velocidade, Q é a magnitude da fonte concentada em ξ, δ ( ξ, ) é a função delta de Diac e k = ω c é o númeo de onda, sendo ω a feqüência angula e c a velocidade do som na água. As condições de contono a segui se aplicam ao poblema acima: condição de Diichlet, φ ( ) = 0, sobe a supefície live do contono Γ L ; condição de Neumann, φ( ) n = 0, no contono infeio Γ F ; e a condição de adiação de Sommefeld no infinito. Nestas epessões, n é o veto nomal que aponta paa foa do domínio e i=. Sabe-se que, paa o eemplo de um canal, a condição de adiação de Sommefeld (lim [ φ( ) i kφ( )] = 0) pode não se suficiente paa gaanti que o poblema sea bem epesentado (ve, po eemplo, Fi e Main, [6], Buchanan et al. [7], Aens et al. [8]). Na vedade, quando uma solução fundamental G( ) pode se escita como um somatóio de contibuições de modos nomais Gm ( ), a condição de adiação de Sommefeld deve se satisfeita paa cada modo m, e conseqüentemente a condição de adiação de Sommefeld pode se eescita como lim [ G ( ) m i kmgm ( )] = 0, onde k m é o númeo de onda hoizontal paa o modo m.. Solução numéica do poblema Nesta fomulação o domínio acústico seá dividido em n sub-egiões Ω (com =,, n, espectivamente), tal como ilustado na Figua. Dento de cada uma dessas sub-egiões, é possível defini funções de Geen, tendo em conta as seguintes condições de contono: (a) nas sub-egiões com um fundo inclinado, uma solução fundamental que satisfaz dietamente o fundo inclinado ígido e a 3

4 E. G. A. Costa, L. Godinho, A. Peeia, J. A. F. Santiago supefície live é consideada, e (b) nas sub-egiões com um fundo hoizontal, uma solução que satisfaz dietamente as condições do fundo ígido hoizontal e da supefície live do ma é empegada. O uso dessas funções eque apenas a definição de um conunto de contonos fictícios veticais ( Γ, Γ,, Γ ), conectando sub-egiões adacentes, ao longo dos quais os pontos de colocação n- ( PC, PC,, PC ) seão localizados (ve Figua ). n- Supefície live FVn FV FV Fontes Vituais Ω Ω n Fonte Ω Figua Geometia do modelo MFS. Dento de cada sub-egião, o MFS pemite que a esposta sea obtida atavés de uma combinação linea de funções de Geen, simulando o campo acústico dento de cada sub-egião po meio de um conunto de fontes vituais localizados foa de cada uma dessas sub-egiões, a uma distância fia a pati das intefaces veticais que as dividem. Consideando-se a sub-egião Ω, delimitada po Γ no seu lado dieito e po Γ no seu lado esquedo, dois conuntos de FV e FV fontes vituais, posicionadas foa da egião, são usados paa desceve o campo acústico dento de cada sub-egião, confome ilustadas na Figua. Paa cada subegião, o potencial de velocidade num ponto inteno k pode então se escito como: FV f ( k ) a Ω G Ω ( Ω, ) ( ) (, ), egião l kl l k ϑ G Ω kf k φ = ξ + ξ Ω (a) l= FV + FV Ω Ω Ω Ω f k l kl l k ϑ kf k l= φ( ) = a G ( ξ, ) + ( ) G ( ξ, ), egião Ω ( =,, n ) (b) onde FVn Ωn Ωn Ωn Ωn f k al Gkl l k ϑ n Gkf k l= φ( ) = ( ξ, ) + ( ) ( ξ, ), egião Ω (c) ; f ξ é a fonte eal com coodenadas ( f, f ) Ω l ξ efee-se à fonte vitual l colocada foa da sub-egião Ω ao longo de um contono fictício (paa evita singulaidades), e colocadas ente a supefície live e o fundo ígido (que sea no fundo inclinado ou hoizontal), isto é, dento do domínio onde a solução fundamental é válida; vituais de Fundo Γ n PCn a Ω l Γ PC Γ é a amplitude a se deteminada de cada uma das fontes Ω ; ϑ é a sub-egião em que a fonte eal é posicionada e é o opeado lógico AND, f de modo que ϑ = se ϑ = e ϑ = 0 se ϑ ; G Ω ( ξ, ) é o campo incidente elativo ao potencial de velocidade geado pela fonte eal quando colocado na sub-egião kf k PC Pontos de Colocação Ω ; ( ξ, ) G Ω Ω kl l k efee-se a função de Geen da sub-egião Ω. Detalhes sobe a fomulação matemática dessas funções de Geen seão abodados na póima seção. Deivando as epessões (a), (b) e (c), a componente nomal do potencial de velocidade em elação à inteface ente as sub-egiões pode se obtida. É impotante nota que a dieção nomal é 4

5 Acústica 0, a 3 de Outubo, Évoa, Potugal sempe na dieção hoizontal (). Se fo imposto, em cada ponto de colocação, a continuidade do potencial de velocidade e da deivada nomal do potencial de velocidade, um sistema de equações ( PC + PC + + PCn-) ( FV + FV + + FVn-), do tipo A = b seá obtido. Uma vez que este sistema de equações sea esolvido, o potencial de velocidade em qualque ponto inteno pode se calculado atavés das epessões (a), (b) e (c). É impotante nota que, paa este poblema, a matiz A é quadada, uma vez que o númeo de fontes vituais é duas vezes o númeo dos pontos de colocação. Neste caso, o sistema de equação linea é esolvido po eliminação de Gauss, mas deve-se nota que, de acodo com tabalhos publicados (ve, po eemplo, Chen et al. [9], Tadeu et al. [0], ou Banett et al. []), esultados impecisos podem se obtidos, sempe que a distância ente as fontes vituais e a inteface vetical fo muito gande, devido ao mal-condicionado do sistema de equação. Uma análise mais detalhada da influência desta distância na pecisão dos esultados seá apesentada mais adiante. 3 Soluções fundamentais 3. Solução analítica do canal com a supefície live e o fundo ígido hoizontal A solução analítica definida como G (, ) M ξ e sua deivada nomal em elação à inteface vetical, G ( ξ, ) M, as quais satisfazem eatamente a condição de contono efeente à supefície live e o fundo ígido hoizontal do ma, confome mostado na Figua 3(a), em temos de modos nomais podem se escitas como [4]: G m ξ i e G ( ξ, ) = sin k ( Y ) sin k ( Y ) (3a) k M m F ξ m F H m= M ( ξ, ) ik sgn( ) sin ( F ) sin ( F ) m ξ = ξ k m Y ξ k m Y e H m= onde H é a pofundidade do canal, km ik m (3b) Y F é a coodenada da supefície live e os paâmetos π = m e km = k km são os númeos de onda vetical e hoizontal, espectivamente. H Supefície live Supefície live R (, ) R θ ' θ ' F (, ) ξ ξ H F Fundo Fundo θ 0 a) b) Figua 3 Geometia de cada sub-egião, onde as funções de Geen são empegadas: a) configuação do canal com a supefície live e o fundo ígido hoizontal e b) configuação da cunha com a supefície live e o fundo ígido inclinado. 5

6 E. G. A. Costa, L. Godinho, A. Peeia, J. A. F. Santiago 3. Solução analítica de uma configuação em foma de cunha com a supefície live e o fundo ígido inclinado cunha A solução analítica, G ( ξ, ), confome mostada na Figua 3(b), usada neste atigo, satisfaz eatamente a condição de contono efeente à supefície live e o fundo ígido inclinado do ma. Essa cunha solução e a sua deivada nomal em elação à inteface vetical, G ( ξ, ), são epesentadas pelas seguintes epessões [3, 5]: iπ Gξ J k H k (4a) () (, ) = ν ( < ) ν ( > ) sin( νθ )sin( νθ ) θ0 m= G( ξ, ) iπ ν () = J ν ( k) Hν ( k ') cos νactan sin ( νθ ) + θ 0 m= k () + ( Jν ( k ) Jν ( k )) Hν ( k ') sin ( νθ + ) sin νactan, if < G( ξ, ) iπ ν () = J ν ( k) H0 ( k ') cos ν actan sin ( νθ ) + θ 0 m= () () ( ν ( ') ν + ( ')) k H k H k + J ( k ) ν sin ( νθ ) sin ν actan, if > ' onde θ 0 é o ângulo fomado ente o fundo e a supefície live, J ν é a função de Bessel do pimeio () tipo e odem ν, H ν é a função de Hankel do pimeio tipo e odem ν ; = min(, ), > (4b) < = ma(, ), = + e = + são as distâncias do ecepto e da fonte ao vétice da cunha e θ e θ são as pofundidades angulaes do ecepto e da fonte. As odens das funções de ν = m θ. Bessel e Hankel são, paa um fundo ígido, dadas po ( ) π 0 4 Compotamento do modelo MFS Paa obseva o compotamento do método paa uma geometia mais elaboada, esta foi constituída po um canal contendo uma elevação peto da egião póima a linha da costa, confome epesentada na Figua 4(a); essa elevação coesponde a uma colina íngeme de 0.00 m de altua definida po um segmento ascendente e outo descendente, cua inclinação dos segmentos é de.3º. Já a egião efeente à cunha apesenta um ângulo de 8.4º e tem um compimento hoizontal de m. A egião do canal tem uma pofundidade de 0.00 m. Esta geometia é definida pelo modelo MFS poposto atavés do estabelecimento de cinco sub-egiões ( Ω a Ω 5 ), como ilustado na Figua 4(a). O sistema consiste de uma fonte posicionada numa pofundidade de 5.00 m e compimento de m a pati do vétice da cunha (Fonte na Figua 4(a)), e as espostas são inicialmente calculadas em uma linha completa de eceptoes localizados a uma pofundidade de.00 m, igualmente espaçados de.00 m. Simulações foam ealizadas paa as feqüências de 00 Hz e 00 Hz, sendo os esultados mostados nas Figua 4(b) e Figua 4(c), espectivamente. Um modelo BEM foi utilizado como solução de efeência. A esposta eibe um compotamento oscilatóio fote paa ambas as 6

7 Acústica 0, a 3 de Outubo, Évoa, Potugal feqüências, devido às múltiplas inteações que ocoem dento do canal. Cuiosamente, paa a feqüência mais baia, as amplitudes menoes são obsevadas imediatamente após a elevação, indicando que esta defomação do fundo (colina íngeme) faz com que a maio pate da enegia sea eflectida de volta. A solução calculada usando o modelo MFS está também epesentada nestas figuas. Os esultados foam calculados usando um total de (paa 00 Hz) ou 4 (paa 00 Hz) pontos de colocação, unifomemente distibuídos ao longo das quato intefaces e consideando as fontes vituais a uma distância fia de 6.00 m de cada inteface. Uma ecelente poimidade ente os dois modelos (MFS e BEM) foi egistada. Line of eceives (depth of.0 m) a) Potencial de velocidade Discepância nomalizada 00 Hz 0.0 m b) b) 00 Hz 0.0 m Souce Souce ( m, 5.00 m) (-6.00 m, 5.00 m) Ω3 Ω Ω Ω5 Ω m 50.0 m 50.0 m 00.0 m 60.0 m 8.4 Y X c) c) Figua 4 Eemplo de veificação, que consiste de um canal com uma colina íngeme póima à cunha: a) a geometia do poblema; b) a esposta ao longo de uma linha hoizontal de eceptoes paa a feqüência de 00 Hz e c) a esposta ao longo de uma linha hoizontal de eceptoes paa feqüência de 00 Hz. Paa uma melho compeensão do compotamento numéico do modelo poposto MFS, um estudo paamético foi também ealizado paa este teste, em que a esposta foi calculada paa uma linha de eceptoes com difeentes distâncias ente as fontes vituais e as intefaces, e paa difeentes númeos de pontos de colocação (usando o mesmo númeo de pontos paa cada inteface). Uma 7

8 E. G. A. Costa, L. Godinho, A. Peeia, J. A. F. Santiago discepância nomalizada, definida como nec MFS BEM nec BEM φ i φ i i φ = i= i, em elação à E = solução de efeência BEM foi calculada. Os esultados destes cálculos são apesentados na Figua 4(b) e Figua 4(c). Os esultados destas figuas, calculados paa 00 Hz e 00 Hz, espectivamente, mostam que a esposta do modelo MFS gealmente convege paa a solução de efeência (discepância decescente) à medida que o númeo de pontos de colocação aumenta, emboa, paa a feqüência de 00 Hz, discepâncias um pouco maioes tenham sido obsevadas. Essas discepâncias maioes podem esta elacionadas com a compleidade do modelo, poém não se deve esquece que a solução de efeência foi também calculada numeicamente. Há, no entanto, uma eceção deste compotamento convegente paa a feqüência mais elevada, a qual ocoe com uma distância de 4.00 m, quando 56 pontos de colocação são utilizados. Paa este caso, a esposta é pio do que a esposta calculada com 8 pontos de colocação, povavelmente devido ao mal-condicionamento do sistema de equações (ve, po eemplo, o tabalho de Chen et al. [9] paa mais detalhes sobe este tipo de compotamento na fomulação MFS). 5 Aplicação numéica Uma aplicação numéica do modelo MFS confome descito anteiomente seá agoa apesentada, utilizando váias sub-egiões paa calcula o campo -D de popagação de ondas acústicas geada numa egião póima a linha da costa, cua configuação genéica é apesentada na Figua 5. S 00.0 m Line Linha of de eceives eceptoes 30.0 m S 0.0 m Fluid Fluido c = = m/s m/s.0 m θ θ Figua 5 Geometia paa as simulações. Seá ealizada uma compaação dos esultados calculados usando o método poposto com os obtidos atavés de código bem estabelecido na liteatua. As caacteísticas do domínio de popagação sugeem que a abodagem baseada no cálculo de modos nomais pode se adequada (usando o código COUPLE), que pemite a simulação de sistemas genéicos usando os modos nomais acoplados e epesentando tanto a popagação da onda completa (incluindo o efeito do backscatteing ) ou a popagação da onda apenas em uma dieção. A Figua 6 ilusta as espostas do TL (Tansmission Loss) calculados usando o código COUPLE (gáficos do lado esquedo incluem os efeitos de backscatteing e os gáficos do lado dieito não consideam os efeitos de backscatteing ) e usando o modelo poposto, paa θ =.3 e θ = 3.5, na linha de eceptoes mostada na Figua 5. Feqüências de ecitação paa 00 Hz e 00 Hz foam analisadas paa uma fonte posicionada em S. Paa o cálculo usando o COUPLE, e paa assegua os esultados convegentes e pecisos, foam tomados cetos cuidados especiais com a definição dos paâmetos de entada: em pimeio luga, paa assegua que o fundo eibe um compotamento ígido, velocidade de popagação e densidade muito elevada foam atibuídas a este meio ( 5 0 m s e 0 g cm ); no segundo, a espessua total do fundo ígido foi aumentada até que os esultados convegissem, indicando que o limite infeio 8

9 Acústica 0, a 3 de Outubo, Évoa, Potugal deiaia de influencia nos esultados (uma espessua total de 00 foi usada); no teceio, uma vez que o COUPLE define o fundo inclinado como uma séie de segmentos, um gande númeo de segmentos foi utilizado paa defini o fundo da geometia; e, finalmente, o númeo de modos utilizados no cálculo foi aumentado pogessivamente até que a convegência da esposta fosse obtida (que ocoeu com 00 modos paa 00 Hz e com 60 modos paa 00 Hz). Os gáficos da Figua 6(a) e Figua 6(b) mostam que as soluções calculadas com o COUPLE, consideando a popagação bidieccional das ondas, que coespondem às calculadas utilizando a técnica poposta do MFS, paa ambas as feqüências. É inteessante nota que o COUPLE leva 0 vezes a mais do tempo computacional que a solução do MFS, o que significa que o modelo poposto pode se muito eficiente paa esolve este tipo de poblema. Na Figua 6(a) e Figua 6(b), a solução MFS foi compaada com a solução dos modos acoplados calculado usando o mesmo softwae (COUPLE), mas consideando popagação unidieccional. As espostas são muito difeentes, pois o efeito de backscatteing não foi consideado. No entanto, é inteessante nota que a esposta do COUPLE segue a mesma tendência da esposta do MFS, mas que não apesenta os picos ponunciados geados pelas efleões que ocoe dento do modelo poposto, geando um TL com cuvas mais suaves Tansmission Loss (db) 40 Tansmission Loss (db) Couple - full wave MFS 60 Couple - one wa MFS Range(m) a) a) Range(m) Tansmission Loss (db) Couple - full wave MFS Tansmission Loss (db) Couple - one wa MFS Range(m) Range(m) b) b) Figua 6 Compaação dos esultados do TL usando o MFS e o COUPLE paa uma egião costeia com os ângulos.3 e 3.5 paa as feqüências de: a) θ = θ = f = 00Hz e b) f = 00Hz. 9

10 E. G. A. Costa, L. Godinho, A. Peeia, J. A. F. Santiago 6 Conclusões Uma fomulação numéica, no domínio da feqüência, com base no Método das Soluções Fundamentais, foi aplicada paa estuda a popagação de ondas acústicas em uma egião póima a linha costeia confinada po uma supefície live e po um fundo ígido consistindo de segmentos hoizontais e inclinados. A fomulação faz uso de funções de Geen apopiadas, e, conseqüentemente, apenas as intefaces veticais ente as egiões em foma de cunha e de canal plano equeem uma inteface vitual. Os testes numéicos consideaam que o atual modelo fonece esultados pecisos. Os esultados analisados neste tabalho evelaam ainda uma boa convegência do método quando o númeo de pontos de colocação e de fontes vituais aumenta e uma boa estabilidade da solução no que diz espeito à distância ente as fontes vituais e a inteface ente as sub-egiões. Os casos ilustados, que coespondem às egiões costeias com númeos vaiáveis de sub-egiões, mostaam que o método pode popociona bons esultados. Esta análise deiou clao que o MFS pode se uma feamenta inteessante paa analisa as espostas de foma eficiente no domínio da feqüência paa as configuações popostas. Agadecimentos O pimeio auto gostaia de agadece ao CNPq pelo apoio financeio pestado a esta pesquisa. Refeências [] Jensen, F.B.; Kupeman, W.A.; Pote, M.B. Computational Ocean Acoustics, Ameican Institute of Phsics, Woodbu, New Yok, 000. [] Evans, R.B. A coupled mode solution fo the acoustic popagation in a waveguide with stepwise depth vaiations of a penetable bottom. J. Acoust. Soc. Am., Vol. 74, 983, pp [3] Jensen, F.B.; Fela, C.M. Numeical solutions of ange-dependent benchmak poblems in ocean acoustics, J. Acoust. Soc. Am., Vol. 87, 990, pp [4] Athanassoulis, G.A.; Belibassakis, K.A.; Mitsoudis, D.A.; Kampanis, D.A.; Dougalis, V.A. Coupled mode and finite element appoimations of undewate sound popagation poblems in geneal statified envionment, J. Comput. Acoust., Vol. 6, 008, pp [5] Evans, R.B.; COUPLE: A use s manual, NORDA TN-33, 986. [6] Buckingham, M.J. Ocean-acoustic popagating models, J. Acoust., Vol. 3, 99, pp [7] Dawson, T.W.; Fawcett, J.A. A bounda integal equation method fo acoustic scatteing in a waveguide with nonplana sufaces, J. Acoust. Soc. Am., Vol. 87, 990, pp [8] Santiago, J.A.F.; Wobel, L.C. A bounda element model fo undewate acoustics in shallow wate, Comput. Model. Eng. Sci., Vol., 000, pp [9] Godinho, L.; Tadeu, A.; Banco, F. 3D acoustic scatteing fom an iegula fluid waveguide via the BEM, Eng. Anal. Bound. Elem., Vol. 5, 00, pp [0] Faiweathe, G.; Kaageoghis, A.; Matin, P.A. The method of fundamental solutions fo scatteing and adiation poblems, Eng. Anal. Bound. Elem., Vol. 7, 003, pp [] Cho, H.; Golbeg, M.; Muleshkov, A.; Li, X. Tefftz methods fo time dependent patial diffeential equations, CMC Comput. Mate. Con., Vol., 004, pp

11 Acústica 0, a 3 de Outubo, Évoa, Potugal [] Godinho, L.; Tadeu, A.; Simões, N. Accuac of the MFS and BEM on the analsis of acoustic wave popagation and heat conduction poblems, in Advances in Meshless Methods, eds. J. Sladek, V. Sladek, Tech Science Pess, 006. [3] Stotts, S. Coupled-mode solutions in genealized ocean envionments, J. Acoust. Soc. Am., Vol., 00, pp [4] Pedeson, T. Modeling shallow wate acoustic wave popagation, MSc Thesis, Univesit of Rhode Island, USA, 996. [5] Buckingham, M.J.; Tolsto, A. An analtical solution fo benchmak poblem : The ideal wedge, J. Acoust. Soc. Am., Vol. 87, 990, pp [6] Fi, G.; Main, S. Vaiational methods fo undewate acoustic poblems, J. Comput. Phs., Vol. 8, 978, pp [7] Buchanan, J.; Gilbet, R.; Wigin, A.; Xu, Y. Maine Acoustics: Diect and Invese Poblems, SIAM, Philadelphia, 004. [8] Aens, T.; Gintides, D.; Lechleite, A. Vaiational fomulations fo scatteing in a theedimensional acoustic waveguide, Math. Methods Appl. Sci., Vol. 3, 008, pp [9] Chen, C.S.; Cho, H.A.; Golbeg, M.A. Some comments on the ill-conditioning of the method of fundamental solutions, Eng. Anal. Bound. Elem., Vol. 30, 006, pp [0] Tadeu, A.; António, J.; Godinho, L. Defining an accuate MFS solution fo.5d acoustic and elastic wave popagation, Eng. Anal. Bound. Elem., Vol. 33, 009, pp [] Banett, A.H.; Betcke, T. Stabilit and convegence of the method of fundamental solutions fo Helmholtz poblems on analtic domains, J. Comput. Phs., Vol. 7, 008, pp