ESCOLA SUPERIOR NÁUTICA INFANTE D. HENRIQUE VIBRAÇÕES MECÂNICAS TEXTOS DE APOIO. Prof. Victor Franco Correia ENIDH,

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1 ESCOLA SUPERIOR NÁUTICA INFANTE D. HENRIQUE VIBRAÇÕES MECÂNICAS TEXTOS DE APOIO Prof. Vicor Franco Correia ENIDH, Índice:. SISTEMAS COM UM GRAU DE LIBERDADE. Vibrações livres não amorecidas. Vibrações livres amorecidas.3 Resposa a uma soliciação harmónica de ampliude consane.4 Resposa a uma soliciação harmónica devida a massas roaivas desequilibradas.5 Resposa a um movimeno harmónico da base de supore.6 Transmissibilidade. Isolameno de vibrações. SISTEMAS COM N GRAUS DE LIBERDADE. Sisemas com graus de liberdade. Vibrações livres não amorecidas. Modos naurais. Modelo simplificado da suspensão de um veículo Página

2 SISTEMAS COM UM GRAU DE LIBERDADE VIBRAÇÕES LIVRES NÃO AMORTECIDAS Considere-se o modelo simplificado de um sisema com um grau de liberdade. Ese sisema não dispõe de amorecimeno, não havendo por isso dissipação de energia (sisema conservaivo. Quando não exisem forças perurbadoras aplicadas ao sisema, mas a massa M é sujeia a um deslocameno x e velocidade x& iniciais, sendo depois abandonado a si próprio, ocorrem vibrações livres. Massa Mola No caso de não haver amorecimeno, a equação que rege o movimeno é: M & x ( x( 0 ( raa-se de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear, cuja solução é da forma: s x ( C e ( subsiuindo em ( obém-se: M s 0, donde s ± i ± i ωn com ωn (3 M M A resposa do sisema será enão dada por iω n iωn x( C e C e (4 ou aendendo a que: ± iω e n cos ωn ± i sen ωn, vem x ( A cos ωn A sen ωn (5 Página

3 Esa solução represena um movimeno harmónico simples, cuja frequência angular, medida em radianos, por unidade de empo, é dada por ω n M (6 A frequência ω n é designada por frequência naural do sisema. O empo necessário para complear uma oscilação complea é definido pelo período T, que corresponde ao empo que decorre enre dois insanes consecuivos para os quais o oscilador harmónico ainge o mesmo esado (i.e. mesma posição e mesma velocidade, sendo dado por T π ωn É por vezes, usual represenar a frequência naural em ciclos por segundo (Hz. Nese caso a frequência naural é referenciada por emos f n e dado que um ciclo corresponde a π radianos, fn ωn. π T As consanes A e A de (5 são calculadas a parir das condições iniciais do problema. Admiindo-se que, para o insane inicial, 0 : x ( x(0 e x &( x& (0, obém-se: A x(0 e A x& (0 ωn, e assim a equação (5 será dada por x( x(0. cos ωn x& (0 ωn sen ωn (7 Página 3

4 VIBRAÇÕES LIVRES AMORTECIDAS Considere-se agora o modelo simplificado de um sisema com um grau de liberdade com amorecimeno do ipo viscoso. Quando o sisema mecânico vibra, dissipa-se energia devido às forças de amorecimeno e assim, quando a vibração é livre, a sua ampliude vai decrescendo com o empo. Amorecedor Mola Massa A equação do movimeno é dada por M & x ( C x& ( x( 0 (8 que é uma equação diferencial linear ordinária de segunda ordem e coeficienes consanes, cuja solução é da forma s x ( A e e após subsiuição na equação anerior (8, vem A e s ( M s C s 0 e dado que o ermo s A e, não pode ser nulo para odos os valores de, vem M s C s 0 (9 que é conhecida por equação caracerísica do sisema. As raízes desa equação são s, C ± C 4 M (0 M e assim 3 casos se podem dar: Página 4

5 . C > 4 M - Ambas as raízes são reais. A força de amorecimeno é a principal força que governa o sisema e ese diz-se Super-amorecido.. C < 4 M - As duas raízes são complexas conjugadas. As forças de inércia prevalecem nese caso e o sisema diz-se Sub-amorecido. 3. C 4 M - A raiz quadrada é nula e êm-se duas raízes reais iguais. Nese caso dizse que o amorecimeno do sisema é críico, por consiuir o limie enre os dois casos aneriores. Verifica-se assim que para qualquer sisema vibraório, se pode definir um coeficiene de amorecimeno críico dado por C c 4 M C c M M Cc M ωn ( em que ω n é a frequência naural do sisema não amorecido. Pode ainda definir-se o chamado facor de amorecimeno, como a relação enre o amorecimeno efecivo de um sisema e o seu amorecimeno críico C ζ Cc C M ωn ( e assim, com base nesa definição, o amorecimeno críico corresponderá a ζ. Inroduzindo as condições para o insane inicial, 0 : x ( x(0 e x &( x& (0, as soluções da equação (8 serão dadas por. Sisema com amorecimeno críico ζ : [ x(0 ( ω x(0 ] ω x( e n & n (3 Página 5

6 . Sisema super-amorecido ζ > : ζω x ζω x x e n &(0 n (0 ( x(0.cosh ω ζ ω ζ n sinh n ωn ζ (4 3. Sisema sub-amorecido ζ < : ζω x(0 ζω x(0 x( e n & n x(0.cos ω ζ sin ω ζ n n ωn ζ (5 Para o caso do sisema super-amorecido, ζ >, o sisema não ende a oscilar, uma vez que as funções hiperbólicas de variável real não são periódicas. Para o caso do sisema sub-amorecido, ζ <, a resposa dada por (5 descreve um movimeno periódico de frequência ωa ωn ζ afecado por um facor de aenuação, cujo valor é dado por: ζ ωn e. A frequência ω a é designada por frequência naural amorecida e verifica-se que é menor que a frequência naural do sisema não amorecido ω n. Nas figuras seguines apresenam-se exemplos de sisemas vibraórios, respecivamene, super-amorecidos com ζ >, com amorecimeno críico i.e. com ζ e sub-amorecidos com 0 < ζ <. Apresenam-se curvas que ilusram os efeios da variação da velocidade inicial, v 0 x(0 &, frequência naural ω n e facor de amorecimeno ζ. Página 6

7 Sisema super-amorecido - ζ > Página 7

8 Sisema com amorecimeno críico - ζ Página 8

9 Sisema sub-amorecido - 0 < ζ < Página 9

10 Dos casos aneriores, o único em que esamos ineressados corresponde à siuação em que ζ <. Nese caso o movimeno é vibraório e a resposa do sisema, equação (5, pode ser escria sob a forma ζ ω x( e n x& (0 ζω x x n (0 (0 ωn ζ sin ωn ζ ϕ (6 em que ϕ represena o ângulo de fase inicial, sendo dado por x(0 ωn ζ ϕ an x& (0 ζ ωn x(0 (7 x( T a ζ ωn A. e (0 (0 (0 x& ζω A x nx ωn ζ x i x i O período da vibração amorecida T a é dado por π π T a (8 ωa ωn ζ A relação enre as ampliudes dos deslocamenos correspondenes a dois picos sucessivos (separados no empo por T a segundos é designada por axa de amorecimeno da vibração e é dada por Página 0

11 xi xi e e ζ ωn i ζ ωn ( i Ta e ζ ωn Ta (9 e chama-se decremeno logarímico das vibrações à grandeza xi π ζ δ ln ζ ωn Ta ζ ωn π xi ωa ζ (0 O decremeno logarímico pode ser obido para dois picos separados por n periodos, e nese caso eremos xi δ ln xi n ζ ωn n Ta π ζ ωn ωa n n π ζ ζ ( O número de ciclos n necessário para reduzir a ampliude de um facor N é dado por xi xi n N n δ e ou δ N n ln ( Para pequenos valores de ζ pode admiir-se que δ π ζ ou δn n π ζ. (3 Página

12 RESPOSTA A UMA SOLICITAÇÃO HARMÓNICA DE AMPLITUDE CONSTANTE f( Consideremos o sisema com um grau de liberdade, com amorecimeno viscoso, perurbado por uma soliciação harmónica Massa de inensidade F e de frequência ω, do ipo f ( F senω Amorecedor Mola A equação diferencial do movimeno será dada por M & x ( C x& ( x( F senω f ( (4 Subsiuindo f ( F sen ω por imaginária, vem f i ω F e e considerando apenas o coeficiene da pare M & iω x& C x& x F e (5 A solução complea da equação (5 consise na soma da solução da equação homogénea, com a solução paricular cuja forma será i ω x X e (6 A solução complea da equação (4 é dada por ζω F x( e n ( A cos ωa A sen ωa sen( ω α (7 ( Cω ( Mω Termo ransiório (Solução da equação homogénea Termo esacionário ou permanene (Solução paricular Página

13 em que α é o ângulo de fase (desfasagem relaivamene à força, dado por Cω α an M ω (8 Esa resposa complea, apenas se verifica durane os primeiros ciclos de aplicação da força perurbadora. Nesa primeira fase coexisem as vibrações livres (solução da equação homogénea e a resposa forçada (solução paricular. Devido ao amorecimeno, as vibrações livres acabam por desaparecer e apenas se manêm as vibrações forçadas, com a frequência da força perurbadora. Por isso se designa por regime ransiório da vibração a resposa complea, e por regime permanene ou esado esacionário a resposa que permanece após o desaparecimeno das vibrações naurais do sisema. Vibração livre Vibração forçada Resposa oal Regime ransiório Regime permanene ou esacionário Página 3

14 Na maior pare dos problemas práicos o regime ransiório desaparece muio rapidamene, e desa forma apenas se orna necessário esudar o ermo relaivo ao regime permanene. Assim emos uma resposa forçada cuja ampliude é dada por F X. (9 ( M ω ( Cω Subsiuindo na equação anerior ω β e ω n C ζ Cc C M ωn, com ω n / M, vem F X (30 ( β ( ζβ A relação enre a ampliude X da resposa resulane e o deslocameno que o sisema sofreria se a força F fosse aplicada esaicamene, X s F /, é designada por facor de ampliação Q Q X X s ( β ( ζβ (3 Esa equação esá represenada graficamene na figura seguine, para vários valores de ζ. Ese gráfico ilusra claramene o fenómeno da ressonância, quando a frequência da força perurbadora iguala a frequência naural do sisema, a ampliude da vibração forçada é muio grande para pequenos valores do amorecimeno. Se o amorecimeno não exisisse a ampliude enderia para infinio. Os valores máximos de Q ocorrem quando ω β ωn ζ Página 4

15 Quano maior for o valor do amorecimeno, para menores valores de do facor de ampliação Q que é dado por ω/ ωn ocorre o máximo Q max. ζ ζ Q β ω ω n O ângulo de desfasagem α da resposa em relação à força pode escrever-se sob a forma ζβ α an β (3 e pode ser represenado graficamene como mosra a figura seguine. Página 5

16 ζ 0 α ζ 0 ζ 0 β ω ω n Para uma mais complea compreensão da naureza do fenómeno da ressonância de um sisema sob a acção de uma força harmónica perurbadora, orna-se necessário considerar a resposa dinâmica complea (equação (7 que inclui o ermo ransiório e o ermo permanene. Quando a siuação de ressonância se verifica emos β ou seja ζω X x e ( A A sen s ( n cos ωa ωa cosω (33 ζ Admiindo as condições iniciais x ( 0 x& (0 0 e subsuíndo os valores respecivos para as consanes, emos x( X s ζω ζ e n ω sen ωa cos ωa ζ cos ζ (34 Página 6

17 Se o amorecimeno for pequeno, o ermo em seno conribuirá muio pouco para a resposa, a frequência naural amorecida esará muio próxima da frequência naural não amorecida e o facor de ampliação será aproximadamene obido pela expressão Qres ζ ζ ω ( e n cos ω n (35 Quando o amorecimeno é nulo, ζ 0, a expressão anerior orna-se indeerminada, mas aplicando a regra de L Hopial à indeerminação obém-se Qres n n cos ( senω ω ω n (36 A parir das equações (35 e (36, respecivamene para o sisema amorecido e não amorecido, verifica-se que a ampliude aumena com o empo. No caso do sisema amorecido a resposa ressonane fica limiada, dependendo do facor de amorecimeno. No caso do sisema não amorecido, a resposa aumena como represenado na figura abaixo e provocará o colapso do sisema, caso não se modifique o valor da frequência perurbadora. Q res Página 7

18 RESPOSTA A UMA SOLICITAÇÃO HARMÓNICA DEVIDA A MASSAS ROTATIVAS DESEQUILIBRADAS Aneriormene, admiiu-se que a ampliude da força harmónica perurbadora era independene da frequência de exciação. Quando a força perurbadora é devida à exisência de um componene roaivo desequilibrado, o valor da força ou exciação será proporcional ao quadrado da frequência. M / M / M M Considere-se o sisema esquemáico represenado acima, que represena um sisema com massas roaivas desequilibradas, M que apresenam uma excenricidade do cenro de gravidade igual a l e uma velocidade angular ω (rad/s. A força cenrífuga assim produzida é igual a: M l ω. Admiindo que o sisema em apenas um grau de liberdade e que a sua massa oal é: M M M, e definindo µ M / M, a equação do movimeno é dada por: M & x C x& x µ M l ω senω (37 Esa equação é muio semelhane à equação (4, no enano o faco de exisir um ermo em ω no segundo membro da equação irá inroduzir algumas modificações no comporameno do sisema. Página 8

19 A solução da equação (37 será do ipo x ( ω α ( X sen (38 em que µ M l ω X e ( Mω ( Cω Cω α an Mω (39 Noe-se que não se considerou a pare ransiória da resposa dinâmica, uma vez que como se referiu aneriormene, desaparece rapidamene. Tomando β ω/ ωn e ζ C / Cc e noando que ω n / M, podemos escrever X µl β ( β ( ζβ (40 ζβ α an β (4 A figura da página seguine, mosra as curvas valores de ζ. Para um dado sisema, os valores de µ, l, C e X / µ l em função do parâmero β, para vários ω n são consanes e porano esas curvas são gráficos da ampliude da massa vibrane em função da velocidade de roação da massa desequilibrada ω, para vários valores do amorecimeno ζ. Para pequenas velocidade de roação da massa M a massa oal M, move-se muio pouco. A velocidades próximas da frequência naural a ampliude cresce omando valores muio elevados quando o amorecimeno é pequeno. Noe-se que odas as curvas se aproximam assimpoicamene de X / µl, para alas velocidades da massa roaiva. Página 9

20 X / µl β ω/ ω n É ineressane ambém noar que os valores máximos de X / µ l não se verificam para β, nos casos em que exise amorecimeno. Os valores máximos de X / µ l ocorrem quando β. ζ Página 0

21 RESPOSTA A UM MOVIMENTO HARMÓNICO DA BASE DE SUPORTE Um ouro ipo de problema ilusraivo de um sisema sujeio a uma perurbação harmónica, é o caso em que a base de supore do sisema sofre um movimeno harmónico do ipo y Y i ω e A equação diferencial do movimeno dese sisema é ( x& y& ( x 0 M & x C y ou M & x C x& x C y& y (4 A resposa será da forma i ( ω φ x X e (43 subsiuindo em (4 vem ( ζβ X Y (44 ( β ( ζβ ζ β φ an β ( ζβ (45 Página

22 Tomando a relação X/Y obém-se X Y ( ζβ ( β ( ζβ (46 Esa relação, X/Y é designada por Transmissibilidade. As curvas correspondenes à equação (46 esão represenadas abaixo. X/Y β ω/ ω n Página

23 TRANSMISSIBILIDADE. ISOLAMENTO DE VIBRAÇÕES Um dos problemas mais imporanes relacionado com as vibrações forçadas é o da ransmissibilidade. Com efeio é normalmene desejável eviar que as forças de inércia desenvolvidas numa máquina, sejam ransmiidas às esruuras vizinhas. Consideremos de novo o sisema com um grau de liberdade e com amorecimeno viscoso represenado na figura ao lado. As forças são ransmiidas às fundações aravés da mola de rigidez e aravés do amorecedor com coeficiene de amorecimeno C. Amorecedor f( Mola Massa Designando por F ap a força aplicada e por F r a força ransmiida, emos F r x C x& (47 e a ransmissibilidade pode ser calculada pela expressão ( ζ β Fr TR (48 Fap ( β ( ζβ Esa equação esá represenada graficamene na pagina seguine. Noe-se que a represenação gráfica é a mesma que inha sido obida com a equação (46. Página 3

24 TRANSMISSIBILIDADE TR β ω/ ω n Verifica-se que odas as curvas se cruzam no mesmo pono, correspondene a β seja, a força ransmiida só é menor que a força aplicada quando β > de exciação ω é maior que ω n. Quando β ransmiida na oalidade às fundações., ou, ou seja, a frequência, TR e porano a força aplicada é No caso de uma máquina de velocidade consane, a ampliude da força exciadora consane e assim a força ransmiida à fundação F ap é F r é proporcional ao valor de TR. Porano é vanajoso operar uma máquina de velocidade consane sobre um sisema isolador al que ω > ω n. ω Para valores de β >, a força ransmiida ende a decrescer com o aumeno da ωn frequência de exciação ω, independenemene do valor do amorecimeno ζ. É ineressane noar que o amorecimeno não melhora a siuação, i.e. não diminui TR, pelo conrário quano maior é o amorecimeno maior é a força ransmiida. Relembrando, no enano, que ao aumenar a frequência de exciação o sisema erá de passar por uma siuação de ressonância para o caso de amorecimeno nulo, concluímos que um pequeno amorecimeno é desejável. Para além disso o caso de amorecimeno nulo consiui sempre uma idealização que na realidade nunca se verifica, de faco exise sempre algum amorecimeno esruural (hiseréico. Página 4

25 SISTEMAS COM N GRAUS DE LIBERDADE INTRODUÇÃO Quando um sisema de um grau de liberdade é sujeio a uma perurbação inicial, i.e. afasado da sua posição de equilíbrio e poseriormene liberado, fica sujeio a um movimeno que se pode designar por esado naural de vibração, porque o sisema vibra a uma frequência igual à sua frequência naural. Para um sisema com vários graus de liberdade o esado naural de vibração corresponde a uma cera configuração de deslocamenos, ou modo de vibração do sisema. Um sisema com vários graus de liberdade, não em apenas um esado naural de vibração, mas sim um número finio de modos de vibração conhecidos por modos naurais de vibração. Dependendo da perurbação inicial, o sisema pode ficar a vibrar em qualquer dos seus modos de vibração. A cada modo de vibração corresponde uma única frequência denominada por frequência naural. O sisema possui anas frequências naurais como modos naurais de vibração. A formulação maemáica de um sisema com N graus de liberdade consise em N equações diferenciais ordinárias simulâneas. Assim o movimeno de uma massa depende do movimeno das ouras. Pode demonsrar-se que para uma escolha adequada de coordenadas, designadas por coordenadas naurais ou principais, as equações do sisema de equações diferenciais ornam-se independenes umas das ouras. As coordenadas naurais represenam combinações lineares dos deslocamenos reais das massas discreas e assim o movimeno do sisema pode ser viso como uma sobreposição de coordenadas naurais. As equações diferenciais para as coordenadas naurais possuem a mesma esruura das equações arás apresenadas para os sisemas com um grau de liberdade. Vamos inicialmene analisar sisemas com graus de liberdade e ver como se obém as frequências naurais e os modos de vibração. Página 5

26 SISTEMAS COM GRAUS DE LIBERDADE. VIBRAÇÕES LIVRES NÃO AMORTECIDAS. MODOS NATURAIS x ( x ( 3 M M Considere-se o sisema não amorecido, com dois graus de liberdade, represenado na figura. As equações diferenciais do movimeno dese sisema são dadas por ( x 0 M & x x ( x 0 M & x x 3 (49 que represenam duas equações diferenciais de segunda ordem, homogéneas e simulâneas. Fazendo, 3,, M M, M M e M M 0, emos M&& x x x 0 M && x x x 0 (50 ou sob a forma maricial M 0 0 && x M && x x 0 x 0. (5 Dado que as equações (5 são homogéneas, se x ( e x ( represenam uma solução, enão α x ( e α x ( ambém represenam uma solução, sendo α uma consane arbirária. Ou seja, a solução só pode ser obida denro de um muliplicador escalar consane. Página 6

27 Tem ineresse explorar a exisência de uma solução com caracerísicas especiais, em que as coordenadas x ( e x ( execuem o mesmo ipo de movimeno em função do empo. Um movimeno dese ipo designa-se por movimeno síncrono. Enão podemos escrever x( u p( e x ( u p( (5 em que u e u são ampliudes consanes. Subsiuindo nas equações (50 pode-se enconrar uma solução do ipo λ λ p( A e A e (53 Se λ for negaivo, os expoenes λ são quanidades reais. Se o primeiro ermo de (53 ende para infinio e o segundo ende para zero, exponencialmene. Ese fenómeno não é consisene com o faco de o sisema em análise ser um sisema conservaivo e porano erá de se concluir que λ não pode ser negaivo. Assim λ deverá ser posiivo. Se fizermos λ ω (em que ω é real obém-se iω iω p( A e A e (54 onde A e A são normalmene números complexos consanes. Desenvolvendo esa equação vem p( ( A A cos ω i ( A A senω (55 ou p ( C cos( ω φ com A A C cosφ e i ( A A C sen φ (56 em que C é uma consane arbirária, ω é a frequência do movimeno harmónico e φ é o ângulo de fase, sendo esas rês quanidades iguais para ambas as coordenadas x ( e x (. Página 7

28 Analisemos agora os valores possíveis de λ ω. Consideremos o sisema de equações que se obém por subsiuição de (5 em (50 com λ ω ( ω M u u 0 u ( ω M u 0 (57 Ese é um sisema de duas equações algébricas, homogéneas de variáveis independenes u e u. O sisema possui solução se o deerminane dos coeficienes u e u for zero, ou seja ω M 0 ω M (58 ese deerminane conhecido como deerminane caracerísico é um polinómio do segundo grau em ω, cuja solução é dada por M M M M ω, m 4 MM MM (59 MM ou seja exisem dois valores ω e ω para os quais é possível o movimeno síncrono. ω e ω são as frequências naurais do sisema. Fala-nos ainda deerminar os valores de u e u que dependem de ω e ω. Vamos designar ( u e ( u os valores correspondenes a ω e ( u e ( u os valores correspondenes a ω. Como já se referiu arás, dado que o sisema é homogéneo apenas poderemos calcular ( ( relações u / u e ( u / u (. Temos assim ( u ω M r ( u ω M (60 ( u ω M r ( u ω M (6 Página 8

29 Os pares de consanes ( u, ( u e ( ( u, u deerminam a forma que o sisema assume quando execua movimeno harmónico síncrono às frequências naurais do sisema ω e ω, respecivamene e são designados por modos naurais de vibração. Podemos escrever sob a forma maricial { } ( ( u ( u u ( (6 u r { } ( ( u ( u u ( (63 u r em que { u ( } e { ( } A frequência naural sisema e a frequência naural u são designados por vecores modais. ω e o vecor modal { ( } ω e o vecor modal { ( } modo de vibração do sisema. Os índices superiores u definem o primeiro modo de vibração do u definem o segundo primeiro (i idenificam o modo de vibração. Como se verifica, o número de modos de vibração disinos coincide com o número de graus de liberdade do sisema. O movimeno ao longo do empo, para cada modo de vibração, é dado por ( ( x ( { } ( { u ( } p ( C cos ( ω φ x ( (64 ( ( x r ( ( x ( { } ( { u ( } p ( C cos( ω φ x ( (65 ( ( x r Noe-se que p ( e p ( represenam a solução (56 para o primeiro e segundo modos de vibração, respecivamene. Página 9

30 Página 30 Aplicando o principio da sobreposição, a solução ( x do sisema será dada por { } cos( cos( ( ( ( ( ( ( ( φ ω φ ω r C r C x x x x x (66 As consanes C e C, assim como os ângulos de fase φ e φ são calculados a parir das condições iniciais do problema. A equação (66 pode ainda ser escria sob a forma maricial φ ω φ ω ( ( cos( cos( ( ( p p r r C C r r x x (67 ou seja { } [ ] { } ( ( p u x (68 em que [ ] r r u (69 é a mariz modal.

31 MODELO SIMPLIFICADO DA SUSPENSÃO DE UM VEÍCULO A suspensão de um veículo auomóvel é um sisema complexo, mas considere-se o modelo muio simplificado represenado na figura abaixo, em que apenas consideramos os seguines movimenos: ranslação verical do corpo, roação angular do corpo, ranslação verical das rodas. M será a massa do corpo, I c o seu momeno de inércia em orno do cenro de gravidade C e e são os valores da rigidez das molas dianeiras e raseiras da suspensão. Noe-se que não vamos considerar a exisência de amorecedores. O sisema será descrio aravés das coordenadas: x ( e θ (. Admiindo pequenas oscilações, as equações do movimeno podem ser facilmene obidas M & x ( x ( a b θ 0 I & θ c ( a b x ( a b θ 0 (70 Página 3

32 Página 3 ou na forma maricial θ θ 0 0 ( ( 0 0 x b a b a b a x I M c && && (7 Na mariz de rigidez aparece um ermo responsável pelo acoplameno: ( b a, e assim o sisema diz-se elasicamene acoplado. Obviamene, as equações aneriores serão desacopladas quando: b a. A equação caracerísica ou deerminane caracerísico será dado por 0 ω ω I c b a a b a b M (7 e porano ω c c c I M b a I b a M I b a M, ( 4 m (73 em que ω e ω são as frequências naurais do sisema. As relações de ampliudes para os dois modos naurais de vibração são dadas por, / ( / ( ω Θ M M b a X

33 Vamos agora considerar o pono O, como indicado na figura seguine (a, al que se uma força verical for aplicada nesse pono O o sisema sofra apenas uma ranslação, i.e. não se verifique roação. Consideremos que o pono O se enconra à disância a da mola e à disância a da mola. Designando por x a ranslação verical do pono O, conclui-se que a parir da condição de equilíbrio de momenos em orno de O, emos x a x b ou a b (74 Posição de equilíbrio Posição de equilíbrio Usando as coordenadas x ( e θ (, o diagrama de corpo livre é como indicado na figura (b e as equações do movimeno são dadas por M M & x M e& θ ( x 0 e & x IO & θ ( a b θ 0 (75 Página 33

34 em que e represena a disância OC (figura anerior. O sisema de equações (75 sob a forma maricial, será M M e M e IO && x 0 x 0 && θ 0 a b θ 0 (76 Assim, verificámos que usando como coordenadas, a ranslação x ( do cenro de gravidade do sisema C e a roação θ ( em orno de C, as equações do movimeno equação (7, são acopladas aravés dos ermos da mariz de rigidez acoplameno elásico. Por ouro lado as equações do movimeno descrias pela equação (76 são acopladas aravés dos ermos da mariz de massas acoplameno inercial. Assim verifica-se que, a naureza do acoplameno depende apenas da escolha de coordenadas, i.e. da forma como se descreve maemaicamene o sisema, e não do sisema em si. Tem-se desa forma a liberdade de descrever o movimeno do sisema em ermos de qualquer conjuno de coordenadas que conduzam a uma maior simplificação. Em paricular, o sisema de coordenadas mais desejável é aquele para o qual as equações do movimeno são desacopladas, ano nos ermos da mariz de rigidez como nos ermos da mariz de massas, i.e. para o qual as marizes de rigidez e de massas são ambas marizes diagonais. Esse sisema de coordenadas exise e é designado por sisema de coordenadas principais ou coordenadas naurais. O movimeno geral de um sisema não amorecido, pode ser represenado como uma combinação linear dos modos naurais do sisema muliplicados por esas coordenadas principais. Página 34

35 BIBLIOGRAFIA [] Aponamenos de Vibrações Mecânicas, J. Monalvão e Silva I.S.T. [] Elemens of Vibraion Analysis, Leonard Meirovich, nd Ediion, McGraw-Hill, 986. [3] Fundamenals of Vibraions, Leonard Meirovich, nd Ediion, Mc Graw-Hill, 00 Página 35