Oscilador 1D: um pacote algébrico para o oscilador harmônico unidimensional amortecido e forçado

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1 Oscilador 1D: um pacoe algébrico para o oscilador harmônico unidimensional amorecido e forçado E. S. Bernardes L.I.A. Laboraório de Insrumenação Algébrica Deparameno de Física e Ciência dos Maeriais Insiuo de Física de São Carlos Universidade de São Paulo Av. do Trabalhador São-carlense, 4 CP São Carlos, SP Brasil 2 de Novembro de 24 Resumo Várias roinas em compuação algébrica foram desenvolvidas para auxiliarem nos esudos das principais caracerísicas físicas de um oscilador harmônico amorecido e forçado, com desaque para os fenômenos de ressonância e baimeno. Energias e o espaço de fase desses sisemas ambém são discuidos em dealhes. Esas roinas ambém esão disponíveis para que possam ser uilizadas à disância. Coneúdo 1 Inrodução 2 2 Oscilador harmônico livre 3 3 Oscilador harmônico amorecido Amorecimeno sub-críico Amorecimeno críico Amorecimeno super-críico Oscilador harmônico amorecido e forçado Amorecimeno sub-críico Amorecimeno críico Amorecimeno super-críico Roinas algébricas 9 6 Simulações Oscilador harmônico livre Oscilador harmônico amorecido Oscilador harmônico amorecido e forçado Amorecimeno sub-críico Amorecimenos críico e super-críico sousa@if.sc.usp.br 1

2 7 Exercícios Oscilador livre Oscilador amorecido Oscilador amorecido e forçado Conclusões 14 A Equivalência enre osciladores horizanais e vericais 14 B Figuras 15 1 Inrodução É de conhecimeno geral que o oscilador harmônico em um papel fundamenal em odas as formas das ciências exaas. Todo objeo, seja ele microscópico ou macroscópico, é capaz de oscilar de alguma maneira. Os áomos oscilam em orno de suas posições de equilíbrio numa molécula; para pequenas oscilações, elas são harmônicas. Amorecedores de auomóveis, máquinas de lavar roupas, pones, relógios de pêndulos, para ciar apenas alguns exemplos do nosso coidiano, ambém apresenam oscilações. Em Física, um sisema massa-mola é ideal para inroduzirmos o conceio de energia poencial, bem como o conceio de conservação da energia mecânica, espaço de fase, e ouros igualmene imporanes. Desa forma, esudos dealhados de um oscilador harmônico é indispensável. A forma mais simples, nem por isso menos ilusraiva e insruiva, de iniciar eses esudos é considerando um oscilador harmônico unidimensional livre. Em seguida, podemos adicionar pelo menos duas siuações novas. Primeiro, podemos considerar o efeio de uma força dissipaiva. Esa siuação nos permie, em princípio, a consrução de um amorecedor, por exemplo. Depois, podemos considerar ainda o efeio de uma força exerna não-dissipaiva, como uma força oscilane no empo, por exemplo. Esa força injea energia no sisema. Esa siuação nos permie enender, por exemplo, os cuidados que devem ser omadas durane o projeo de uma pone pênsil, ou de uma máquina de lavar roupas, devido ao aparecimeno do efeio de ressonância que pode esar presene em um oscilador harmônico amorecido e forçado. Nese rabalho, iremos usar um ambiene de compuação algébrica (ou simbólica) para desenvolvermos ferramenas compuacionais que servirão para manipularmos e visualizarmos as equações horárias perinenes numa forma possível apenas em um ambiene compuacional. Esas ferramenas algébricas, em primeiro lugar, encurarão enormemene o empo de esforço manual numa abordagem radicional, além de oferecerem uma oporunidade única de revelar dealhes sobre o comporameno ransiene insananeamene, animações do movimeno compleo, esudos dealhados sobre as diversas formas de energias (cinéica, poencial, dissipada e absorvida), visualização do espaço de fase (posição versus velocidade). Nauralmene, emos nenhuma inenção de subsiuir qualquer livro exo [1, 2, 3] conendo eses ópicos, mas apenas proporcionar uma compreensão dos mesmos de forma mais dealhada e com um esforço manual mínimo, permiindo assim que o esforço inelecual predomine neses esudos. Em segundo lugar, esas roinas algébricas podem servir como base para um aprendizado sobre compuação algébrica, a qual é indispensável ano no ensino quano na pesquisa. Além diso, o manuseio desas roinas servirão como uma oporunidade excelene para a elaboração de novas roinas desinadas a ouros problemas. Em erceiro lugar, ese mesmo ambiene de compuação algébrica nos permiirá criar recursos de mulimídia, os quais possibiliarão que eses esudos ambém sejam feios à disância. Escolhemos, nese rabalho, a plaaforma de compuação algébrica Maple ( por comodidade. No enano, odas as roinas consruídas por nós são simples o suficiene para serem implemenadas em ouras plaaformas, como o Mahemaica ( sem dificuldades. Ese rabalho é pare inegrane do Laboraório de Insrumenação Algébrica LIA, o qual em por finalidade de servir como uma biblioeca virual de ferramenas algébricas desinadas ao ensino e pesquisa em ciência, com exos em poruguês, e que proporcionem oporunidades de ensino à disância. Para maiores informações, consule o poral 2

3 Ese rabalho esá organizado da seguine maneira: o oscilador harmônico livre é esudo na Seção 2; o oscilador harmônico na presença de uma força dissipaiva (ou amorecedora) é esudado na Seção 3; uma força oscilaória é adicionada na Seção 4. As principais roinas algébricas são apresenadas na Seção 5. A Seção 6 apresena várias simulações feias a parir das equações horárias compleas bem como vários ouros casos de esudos. A Seção 7 coném vários exercícios referenes às passagens que não esão explícias no exo. Finalmene, chamamos a aenção para diversos aspecos que foram explorados em grande pare devido às ferramenas compuacionais desenvolvidas aqui. Recomendamos que a leiura dese exo seja acompanhada, paralelamene, pelas aividades compuacionais conidas no arquivo oscilador.mws, o qual deve ser abero pelo Maple (versão 7 ou superior). 2 Oscilador harmônico livre Na ausência de qualquer força dissipaiva ou exerna, a equação de movimeno de um sisema consiuido por uma mola e uma massa é obida aravés da segunda lei de Newon [1, 2], F R = ma. Duas hipóeses são necessárias: que a mola enha massa desprezível e que obedeça à lei de Hooke, iso é, que a inensidade da força elásica seja linear na posição e que seja resauradora (esa propriedade é caracerizada pelo sinal negaivo na expressão seguine), F = k x, onde k é uma consane caracerísica da mola (consane de mola) e x mede a deformação da mola. Esa deformação deve ser medida a parir de comprimeno naural da mola, se ela esiver na horizonal, ou a parir de sua posição de equilíbrio, se ela esiver na verical (veja a equivalência desas duas siuações no Apêndice A). Apliquemos enão a segunda lei de Newon, F R = k x = m a = mẍ, ẍ = d2 x(). (1) d2 Esa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem e linear em x(). Esa equação diferencial admie uma solução analíica única se duas condições iniciais, por exemplo, x() = x e ẋ() = v, forem conhecidas. Por comodidade, é melhor dividirmos (1) pela massa m, ẍ + ω 2 1x =, x() = x, ẋ() = v, ω 2 1 = k m. (2) Podemos noar imediaamene nesa equação que a consane nova ω 1 em dimensão de inverso do empo (freqüência). Assim, ela será denominada de freqüência naural dese sisema. A equação horária x() que saisfaz a equação diferencial (2) é expressa em ermos de funções harmônicas (senos e cossenos) com a mesma freqüência ω 1, x() = x cos(ω 1 ) + v ω 1 sin(ω 1 ). (3) Embora esa solução seja absoluamene geral, ela pode ser re-escria numa forma mais radicional, mais adequada a ser manuseada, x() = A cos(ω 1 + φ), A 2 = x 2 + ( v ω 1 ) 2, an φ = v ω 1 x. (4) Esas duas consanes novas, A e φ, são conhecidas por ampliude e consane de fase, respecivamene. A fase é θ() = ω 1 + φ. A presença desas funções harmônicas na equação horária dese sisema, confere a ele o adjeivo de oscilador harmônico. Podemos ver claramene em (4) que esa equação horária oscila, com freqüência ω 1, enre os valores consanes ±A. Uma simulação dese movimeno é feia na Seção 6.1. O período T dese movimeno é 2π/ω 1, x( + T ) = x() T = 2π ω 1. (5) Iso significa que ω 1 = 2πf, onde f = 1/T é freqüência. Assim, devemos chamar ω 1 de freqüência angular (expressa em radianos por segundo). No enano, quando não houver possibilidade de confusão, coninuaremos chamando ω 1 simplesmene de freqüência. 3

4 Para complear, precisamos fazer algumas considerações sobre energia nese sisema. Podemos ver facilmene, devido a (4), que a energia mecânica (cinéica + poencial) dese sisema é consane, Porano, a energia mecânica média, E = T + V = 1 2 mẋ kx2 = 1 2 ka2 = 1 2 mω2 1A 2. (6) E = 1 Ed, (7) ambém é consane no empo. Nauralmene, para que esa energia mecânica permaneça consane, deve haver uma roca harmônica enre energia cinéica e poencial. Iso significa que, mesmo embora não haja qualquer roca de energia enre ese sisema (massa mola) e o meio (não há forças exernas e nem dissipações), há uma roca de energia inernamene enre a massa m e a mola k. É muio ineressane ver esa roca de energia na forma de poência cinéica insanânea (variação de energia cinéica no empo), P () = dt d = F ()v() = 1 2 k ω 1A 2 sin(2ω 1 + 2φ). (8) Noe que o período desa expressão é a meade do período da equação horária (4). Nauralmene, a energia cinéica é a inegral da poência insanânea (8), T = P () d = 1 2 mẋ2. (9) Energias e poências, insanâneas inegrais e médias, esão comenadas com mais dealhes na Seção 6.1. Em mecânica, o esado de um sisema é caracerizado pelas suas grandezas cinemáicas, posição, velocidade e aceleração. É muio insruivo desenharmos uma curva ridimensional γ() = (x, ẋ, ẍ), paramerizada pelo empo, endo a posição x(), a velocidade ẋ() e a aceleração ẍ() como eixos caresianos XY Z, respecivamene. Esa curva γ é conhecida como espaço de configuração. Em cada insane de empo, um pono nesa curva represena um possível esado para o sisema. A medida que o empo ranscorre, podemos acompanhar a evolução emporal do sisema observando a forma desa curva γ. Porano, o espaço de configurações é um rerao da dinâmica de um deerminado sisema. Ese espaço de configurações coném muias informações relevanes sobre a dinâmica de um sisema [4, 5, 6]. Muias delas esão comenadas na Seção 6.1. Quando o sisema é unidimensional como o oscilador harmônico que esamos considerando aqui, a projeção do espaço de configurações no plano x v ambém pode ser denominado (informalmene) de espaço de fase. O espaço de fase de um sisema unidimensional, como o oscilador massa-mola que esamos esudando, é uma curva plana paramerizada pelo empo, onde a ordenada é a velocidade ẋ (ou o momenum linear mẋ = p, para ser mais preciso) e a abscissa é a posição x. Em geral, a análise desas curvas produz muias informações relevanes sobre o sisema físico em quesão. Para o caso do oscilador livre, podemos ver que al curva no espaço de fase é uma elipse. Ese resulado decorre da expressão (6) para a energia mecânica. Dividindo aquela expressão pela massa m, emos, após alguns re-arranjos, x 2 A 2 + ẋ2 = 1. (1) (ω 1 A) 2 Esa é uma eípse com o semi-eixo horizonal a = A (ampliude) e o semi-eixo verical b = ω 1 A. Noe que a razão b/a = ω 1 é exaamene a freqüência naural do oscilador livre. Os semi-eixos da rajeória (1) ambém podem ser esxpressos em ermos da energia mecânica por unidade de massa, 2E/m = (ω 1 A) 2, x 2 E/ω ẋ2 E = 1, E = 2E m = (ω 1A) 2. (11) O espaço de fase do oscilador harmônico livre esá comenado ambém na Seção

5 3 Oscilador harmônico amorecido Suponha que a massa m do sisema massa mola anerior eseja imersa em um deerminado líquido, como água ou algum ipo de óleo. Nese caso, haverá ambém uma força dissipaiva nese sisema, pois o líquido proporcionará um amorecimeno ao movimeno da massa m. Numa aproximação de primeira ordem, esa força dissipaiva pode ser feia proporcional à velocidade, bẋ, onde b é a consane de amorecimeno. Desa forma, a segunda lei de Newon para ese oscilador com amorecimeno é F R = k x bẋ = mẍ. (12) Dividindo esa equação pela massa m, inroduzindo as consanes apropriadas, eremos de resolver a equação diferencial ẍ + 2ω 2 ẋ + ω 2 1x =, x() = x, ẋ() = v, ω 2 1 = k m, ω 2 = b 2m, (13) para deerminarmos a equação horária x() dese sisema. Noe que a consane b/m em dimensão de freqüência. O faor dois foi inroduzido por comodidade. A solução geral da equação diferencial (13) é x() = e ω 2 ( C + e +Ω 12 + C e Ω 12 ), Ω 12 = ω2 2 ω2 1, (14) onde C ± são as duas consanes arbirárias, as quais devem ser deerminadas aravés das condições iniciais x() = x e ẋ() = v, C ± = 1 2Ω 12 [ (Ω12 ± ω 2 )x ± v ]. (15) Devido à forma de Ω 12 em (14), devemos considerar rês casos separadamene: (1) Ω 12 < (amorecimeno sub-críico), (2) Ω 12 = (amorecimeno críico) e (3) Ω 12 > (amorecimeno super-críico). 3.1 Amorecimeno sub-críico Nese caso, ω 1 > ω 2. Assim é melhor redefinirmos a consane Ω 12 Ω 2 12 = ω 2 1 ω 2 2. (16) Após um pouco de simplificações na expressão (14), levando em consideração que Ω 12 >, a equação horária dese caso pode ser escria numa forma esendida, [ x() = e ω2 x cos(ω 12 ) + ω ] 2x + v sin(ω 12 ), (17) Ω 12 ou numa forma compaca, x() = A sin(ω 12 + φ), A = ω 2 1 x 2 + 2ω 2x v + v 2 Ω 12 e ω2, an φ = x Ω 12 ω 2 x + v. (18) Porano, esa solução é harmônica, com freqüência angular Ω 12, e ampliude exponencialmene decrescene no empo. Graças ao limie fundamenal, podemos ver que a equação horária (17) é conínua em ω 2 = ω 1, sin( Ω 12 ) lim =, (19) Ω 12 Ω12 lim x() = lim x() = e ω 1 [ x + (ω 1 x + v ) ]. (2) ω 2 ω 1 ω 2 ω + 1 É imporane observarmos que energia poencial elásica é definida aravés do rabalho da força elásica, a qual é conservaiva. No presene caso, emos ambém uma força dissipaiva. Assim, 5

6 coninuaremos calculando a energia mecânica como sendo a soma das energias cinéica e poencial elásica, como no caso do oscilador livre, (6). No enano, aqui a ampliude depende do empo e há dois ermos adicionais, ambém dependenes do empo, E = T + V = 1 2 mẋ kx2 = 1 2 ma2[ ω 2 1 ω 2 2 cos 2 (Ω 12 + φ) ω 2 Ω 12 sin 2 (Ω 12, + φ) ]. (21) Podemos ver claramene que esa energia mecânica não em uma média, definida em (7), consane, mas exponencialmene decrescene no empo. A poência dissipada pela força amorecedora bẋ, insananeamene, é dada pelo produo desa força pela velocidade ẋ, P d = bẋ 2 = 2mω 2 ẋ 2. (22) Nauralmene, a poência dissipada inegral é a energia dissipada pela força amorecedora, E d = P d d. (23) Energias e poências, insanâneas inegrais e médias, esão comenadas com mais dealhes na Seção 6.2, bem como o espaço de fase dese sisema. 3.2 Amorecimeno críico O amorecimeno é críico quando ω 2 = ω 1. Tomando o cuidado de calcular o limie ω 2 ω 1 na (14), como indicado em (24), podemos ver que desa vez a massa m não oscila, lim x() = e ω 1 [ x + (ω 1 x + v ) ]. (24) ω 2 ω 1 Simulações da equação de movimeno dese caso, bem como o espaço de fase, mais energias e poências, insanâneas inegrais e médias, esão comenadas com mais dealhes na Seção Amorecimeno super-críico O amorecimeno é super-críico quando ω 2 > ω 1. Levando esa condição na equação horária geral (14), podemos ver que nese caso a massa m ambém não oscila. A expressão (14), a qual é a equação horária dese caso, ambém fornece o mesmo limie enconrado nas duas siuações aneriores para ω 2 ω 1. Simulações da equação de movimeno dese caso, bem como o espaço de fase, mais energias e poências, insanâneas inegrais e médias, esão comenadas com mais dealhes na Seção Oscilador harmônico amorecido e forçado Em muias siuações reais, além da força de amorecimeno, há a presença de uma força exerna. Fenômenos ineressanes surgem quando a inensidade desa força exerna varia no empo. Vejamos agora o efeio de uma força exerna cuja inensidade F e cos ω 3 varia harmonicamene no empo, com freqüência ω 3. Nese caso, a equação do oscilador amorecido (13) é alerada para ẍ + 2ω 2 ẋ + ω 2 1x = α cos ω 3, ω 2 1 = k m, ω 2 = b 2m, α = F e m. (25) Esa equação diferencial não-homogênea admie uma solução da forma x() = e ω 2 ( C + e +Ω 12 + C e Ω 12 ) + Ω2 cos ω 3 + 2ω 2 ω 3 sin ω 3 Ω 4 + (2ω 2 ω 3 ) 2 α, (26) onde fizemos Ω 2 12 = (ω 2 1 ω 2 2), Ω 2 ± = +(ω 2 1 ± ω 2 3). (27) 6

7 Como no caso anerior (sem a força exerna), as consanes C ± são deerminadas aravés das condições iniciais x() = x e ẋ() = v. No enano, nese caso, devido à presença da força exerna, esas consanes exibem uma forma ligeiramene mais complicada que aquela exibida em (15). Assim, é melhor escrevê-las expliciamene para cada um dos rês casos possíveis considerados a seguir. O primeiro ermo na solução (26), conendo a exponencial decrescene no empo, é denominado de pare ransiene. Ele é a solução da equação diferencial homogênea (13), como viso na seção anerior. O segundo ermo em (26) é denominado de pare esacionária da solução. Noe que esa pare esacionária é harmônica, com uma freqüência angular igual à freqüência angular da força exerna. 4.1 Amorecimeno sub-críico Nese caso, é melhor redefinirmos a consane Ω 12, Ω 2 12 = +(ω 2 1 ω 2 2), (28) pois ω 1 > ω 2. É conveniene dividirmos a solução geral (26) em duas pares: uma pare ransiene e uma pare esacionária. A pare ransiene da solução (26), a qual saisfaz a equação diferencial homogênea (13), pode ser escria na forma explícia x T () = e ω2 {[x αω 2 Ω 4 + (2ω 2 ω 3 ) 2 ] cos Ω 12 + [ x ω 2 + v αω 2 Ω 2 + Ω 4 + (2ω 2 ω 3 ) 2 ] sin Ω12 Ω 12 }, (29) após a condição Ω 12 > er sido usada. As consanes Ω ± são as mesmas definidas em (27). Como esperado, esa solução ransiene oscila no empo com a freqüência Ω 12, definida em (28), mas com uma ampliude decrescene no empo, com um empo de meia vida inversamene proporcional à inensidade do amorecimeno, ω 2. Noe que se fizermos α = (força exerna nula) em (29), recuperaremos a solução (17). Esa solução é conínua em ω 2 = ω 1. Como a ampliude da solução ransiene decai exponencialmene no empo, enão a solução geral (26) é dominada rapidamene pela pare esacionária, x O () = α Ω2 cos ω 3 + 2ω 2 ω 3 sin ω 3 Ω 4 + (2ω 2 ω 3 ) 2, (3) a qual é oscilaória, com freqüência igual à freqüência ω 3 da força exerna e com ampliude consane, x O () = A cos(ω 3 + φ). (31) A freqüência Ω esá definida em (27). No enano devemos omar muio cuidado com a forma compaca (31), pois a forma esendida (3) em um limie bem definido em ω 3 = ω 1 lim x O () = ω 3 ω 1 lim x O () = ω 3 ω + 1 α 2ω 1 ω 2 sin ω 1. (32) Para que a pare esacionária (31) seja conínua em ω 3 = ω 1, devemos escolher a fase φ e a ampliude A, respecivamene, como: ϕ se ω 3 < ω 1 φ = π 2 se ω 2ω 2 ω 3 3 = ω 1, an ϕ = ω1 2 ϕ + π se ω 3 > ω (33) ω2 3 1 e A = α (ω 2 1 ω 2 3 )2 + (2ω 2 ω 3 ) 2. (34) Tomando eses cuidados, a forma compaca (31) apresena os mesmos limies enconrados em (32). Caso eses cuidados não fossem omados, a fase φ em (33) apresenaria uma desconinuidade em ω 3 = ω 1. 7

8 A ampliude exibe um efeio muio ineressane na região em orno de ω 3 = ω 1 : para um deerminado valor do amorecimeno ω 2, ela passa por um máximo, o qual pode ser várias vezes o valor da ampliude nas demais regiões. Ese efeio é denominado de ressonância. Ele é um reforço da ampliude que ocorre quando a freqüência ω 3 da força exerna iguala à freqüência naural ω 1. Ese reforço pode ornar-se realmene muio grande para amorecimenos pequenos. Ese efeio foi o responsável pelo desabameno de uma pone pênsil nos Esados Unidos, bem como algumas oscilações realmene preocupanes na pone Rio-Nierói. No enano, ese efeio de ressonância desaparece para um amorecimeno ω 2 ω 1 / 2. Esa condição pode ser inferida do denominador da ampliude em (31), o qual em de ser o menos posiivo possível no pono de máximo (pico da ampliude). Sumariando: para haver o efeio de ressonância, as duas condições seguines devem ser saisfeias, ω 2 ω 1, ω 3 = ω 1. (35) 2 O balanço de energia dese caso leva em consideração ambém a energia que esá sendo injeada no sisema massa-mola pela força exerna, E i = P i d, P i = F e ẋ cos ω 3. (36) O efeio de ressonância, energias e poências, insanâneas, inegrais e médias, esão comenadas com mais dealhes na Seção 6.3. Nesa mesma Seção 6.3 apresenamos ambém um ouro efeio muio ineressane, conhecido como baimenos. Há ambém dealhes sobre o espaço de fase dese sisema. 4.2 Amorecimeno críico Nese caso, emos ω 2 = ω 1. A equação horária complea dese caso pode ser obida direamene da equação horária geral (26) ou da equação horária com amorecimeno sub-críico (29) (3). Procedendo como aneriormene, vamos separar a equação horária dese caso ambém numa pare ransiene, [ x T () = e ω 1 x (1 + ω 1 ) + v α Ω2 +ω 1 + Ω 2 ] Ω 4, Ω 2 ± = ω1 2 ± ω3, 2 (37) + e uma pare esacionária (oscilaória), x O () = α Ω2 cos ω 3 + 2ω 1 ω 3 sin ω 3 Ω 4. (38) + Esa pare oscilaória é conínua em ω 3 = ω 1 para qualquer valor do empo, lim x O () = lim x O () = ω 3 ω 1 ω 3 ω + 1 α 2ω 2 1 sin ω 1. (39) Porano, devemos omar os mesmos cuidados aneriores quando quisermos re-escrever a pare oscilaória numa forma compaca, x O () = A cos(ω 3 + φ), (4) onde ϕ se ω 3 < ω 1 φ = π 2 se ω 2ω 1 ω 3 α 3 = ω 1, an ϕ = ω1 2 ϕ + π se ω 3 > ω, A = ω2 3 ω (41) ω2 3 1 Tomando eses cuidados, a forma compaca (4) apresena os mesmos limies enconrados em (39). Como a segunda condição em (35) não é saisfeia nese caso, pois ω 2 = ω 1, enão não há ressonância. Pelo mesmo moivo, ambém não haverá baimenos. Esudos sobre energias e poências, bem como o espaço de fase, esão feios na Seção

9 4.3 Amorecimeno super-críico Nese caso, emos ω 2 > ω 1. A equação horária complea dese caso deve ser obida direamene da equação horária geral (26). Vejamos primeiro a pare ransiene, x T () = ( C + e +Ω12 + C e Ω12 ) e ω2, (42) onde C ± = 1 [ ] Ω 12 ω 2 (Ω 12 ± ω 2 )x ± v + α 2Ω 12 Ω Ω2 12 2ω, 2Ω 12 Ω 2 12 = ω2 2 ω1, 2 Ω 2 23 = ω2 2 + ω3. 2 (43) Observe que podemos ober (15) fazendo α = em (43), como era esperado. Também podemos ver claramene que esa solução ransiene não é oscilaória. A pare esacionária é oscilaória e é idênica à pare esacionária (3) do caso com amorecimeno sub-críico. A diferença esá na condição ω 2 > ω 1, a qual impede o surgimeno de ressonância e baimenos. Simulações da equação de movimeno dese caso, bem como o espaço de fase, mais energias e poências, insanâneas inegrais e médias, esão comenadas com mais dealhes na Seção Roinas algébricas 6 Simulações Em odas as simulações e casos de esudos apresenados a seguir, usaremos sempre unidades MKS: mero (m) para comprimenos, kilograma (Kg) para massas e segundo (s) para empos. Energias esarão expressas em Joules (J) e poências em Was (W). Todas as figuras esão no final do exo, disposas pela ordem com que foram referenciadas. 6.1 Oscilador harmônico livre Como vimos na Seção 2, a equação horária de um oscilador livre, consiuído por uma massa m e uma mola ideal de consane k, é escria puramene em ermos de funções harmônicas, (3) ou (4). A Figura 1 mosra um gráfico desa equação horária correspondene a uma posição inicial x = 1 m, a uma velocidade inicial v = m/s (repouso) e a uma freqüência angular ω 1 = k/m = 2π rad/s. Noe que não esamos usando valores específicos para a massa m e a consane de mola k. Iso significa que há uma quanidade inifinia de possíveis massas e molas com esa freqüência. Podemos ver claramene na Figura 1 que a disância (emporal) enre dois máximos (mínimos) é exaamene um período T = 1 s, como previso em (5). O gráfico na Figura 2 mosra a anergia mecânica por unidade de massa, a qual é consane para o oscilador livre, conforme podemos ver de (6), E m = 1 2 (ω 1A) 2 (44) Nesa mesma figura, podemos ver ambém a energia cinéica (9) por unidade massa, calculada expliciamene como a inegral da poência insanânea (8). Podemos ver claramene que a energia cinéica é igual à energia mecânica sempre que a equação horária passa pelo eixo emporal, correspondendo a uma deformação nula da mola, implicando numa energia poencial elásica nula. Os ponos de máximos e de mínimos são os ponos de reorno, onde a deformação da mola é máxima e velocidade é nula, implicando numa energia cinéica nula. Desa forma, a energia mecánica (cinéica + poencial) é conservada. A Figura 3 mosra o espaço de fase para duas condições iniciais disinas. A primeira observação é sobre a unicidade da equação horária (3) para uma deerminada condição inicial. Esa unicidade é evidenciada pelo não-cruzameno das duas curvas mosradas na Figura 3. Esas curvas são as elipses (1) (11), conforme podemos verificar facilmene com uma régua e com a ampliude calculada em 9

10 (4). O fao ser uma elipse indica que ese movimeno é periódico. Oura observação muio imporane é que esas curvas são fechadas. Iso é uma caracerísica de um sisema exibindo conservação de energia e um movimeno periódico o qual esá confinado em uma região fechada. Podemos ver na Figura 3 que o oscilador livre esá confinado no inervalo [ 1, +1], onde os exremos ±1 são os ponos de reorno (velocidade nula). Conforme indicado em (11), cada curva corresponde a uma energia mecânica. A Figura 4 mosra o respecivo espaço de configurações. Noe que podemos exrair dele as mesmas informações que obivemos do espaço de fase na Figura Oscilador harmônico amorecido A Figura 5 exibe uma equação horária ípica para cada uma das rês siuações possíveis. Para o amorecimeno sub-críico (ω 1 > ω 2 ), com a equação horária (17), escolhemos ω 1 = 65 π/4 e ω 2 = π/4 (ambas em rad/s). Esa escolha faz com que a freqüência de oscilação (16) seja exaamene 2π, como pode ser viso na Figura 5. Para o amorecimeno críico, com a equação horária (24), manivemos ω 1 = ω 2 = 65 π/4 e para o amorecimeno super-críico, com a equação horária (14), manivemos ω 1 = 65 π/4 e escolhemos ω 2 = 3π. As condições iniciais foram as mesmas para os rês casos, conforme indicado na Figura 5. As linhas racejadas na Figura 5 correspondem aos valores posiivos e negaivos da ampliude enconrada em (18). Também esá indicado na mesma figura a posição relaiva dos empos de meia vida (empo τ que a ampliude leva para diminuir por um faor igual 1/e =.36788), os quais são τ =.3389 s para o amorecimeno críico e τ =.4751 s para o amorecimeno super-críico. Noe que o empo de meia vida do caso críico é sempre menor que o empo de meia vida do caso super-críico. O empo de meia vida para o caso sub-críico pode ser calculado de duas formas. O empo de meia vida para a ampliude A em (18) é τ = 1/ω 2 = s. Levando em consideração a equação horária complea em (17), o empo de meia vida é τ =.1996 s. A Figura 6 mosra a energia mecânica, a energia cinéica e a energia dissipada (23), com a poência de dissipação (22), odas por unidade de massa, para o amorecimeno sub-críico. Podemos ver que nese caso não há ponos de reorno e que o movimeno erminará após um rápido inervalo de empo, evidenciado pela inversão de papéis enre a energia mecânica e a energia dissipada. A Figura 7 mosra as mesmas energias para os ouros casos: com amorecimeno críico e super-críico. Em odos os casos, uilizamos as mesmas freqüências usadas para a consrução das equações horárias apresenadas na Figura 5. As Figuras 8 9 mosram, respecivamene, o espaço de fase e o espaço de configurações na presença dos rês ipos de amorecimeno. A primeira observação que podemos fazer imediaamene é que, ao conrário do oscilador livre (Figuras 3 4), a presença de uma dissipação faz com que as rajeórias no espaço de fase e no espaço de configurações sejam aberas, erminando, necessariamene, no repouso. Noe a diferença enre o caso sub-críico, o qual em uma aparência espiralada, e os ouros dois casos, críico e super-críico. Oura conclusão imporane que podemos irar, após alguns experimenos onde as condições iniciais são modificadas, é que ambém não há o cruzameno desas rajeórias no espaço de fase (ou de configurações) quando manemos as freqüências fixas. 6.3 Oscilador harmônico amorecido e forçado Amorecimeno sub-críico Aponamos na Seção 4 que a presença de uma força exerna com uma inensidade oscilando harmonicamene no empo produz efeios novos na dinâmica de um oscilador amorecido. Talvez o mais marcane enre eles seja o efeio de ressonância apresenado na Figura 1, exibido pela ampliude (34) para o caso com amorecimeno sub-críico. Podemos ver niidamene na Figura 1 que as condições (35) devem ser saisfeias para que haja ressonância. A Figura 11 mosra duas siuações ípicas de um oscilador forçado com amorecimeno subcríico, ω 2 π e ω 2 = π/1. Para ese caso, a equação horária é a soma da pare ransiene (29) com a pare esacionária (3). Escolhemos na Figura 11 uma equação horária sem o efeio de ressonância, ω 3 = π e oura com o efeio de ressonância ω 3 = 2π. Nauralmene, o reforço na ampliude para o caso com ressonância é visível após erminado a predominácia inicial da pare ransiene (a parir de seis segundos, aproximadamene). Noe que usamos ω 3 < ω 1 para a equação horária sem ressonância 1

11 na Figura 11. Caso ivéssemos usado ω 3 > ω 1, eríamos uma siuação semelhane à Figura 11, com uma equação horária inermediária às ouras duas. É muio ineressane vermos nas Figuras 12 como as energias correspondenes se comporam. Noe a diferença griane enre os casos sem e com ressonância. Podemos ver claramene na Figura 12(b) que as energias dissipadas e absorvidas possuem a mesma axa de variação no empo (poência) quando há o efeio de ressonância. No enano, esas poências ornam-se praicamene consanes apenas após o sisema er absorvido uma quanidade de energia mecânica suficiene para maner o movimeno harmônico no regime esacionário. A Figura 13(a) mosra o espaço de fase, no inervalo 2 s, correspondene ao caso sem ressonância, discuido aneriormene. Podemos observar dois comporamenos nesa rajeória da Figura 13: (1) uma rajeória abera na forma de espiral no inervalo 12 s, ípica de um movimeno com dissipação de energia; (2) uma rajeória enando ser fechada a parir dos 12 s, como podemos ver na Figura 13(b). Ese úlimo comporameno esá de acordo com o balanço de energia mosrado na Figura 12(a). No enano, há vários cruzamenos nesa úlima pare da rajeória, os quais não haviámos viso aé enão. Ainda mais, eses cruzamenos não são admissíveis, pois a equação horária foi deerminada de uma equação diferencial de segunda ordem e duas condições iniciais (x e v ). Iso significa que esa solução é única. De fao, ese espaço de fase, posição versus velocidade, não passa de uma projeção do espaço de configurações no plano x v, como podemos ver na Figura 14. Apesar de coninuarmos com a sensação de esarmos vendo cruzamenos nesa figura, eles não exisem. A Figura 15(a) exibe a rajeória no espaço de configurações no inervalo s, a qual nos mosra claramene que esa rajeória não é uma curva plana. Esa observação é reforçada pela Figura 15(b), exibindo a rajeória no inervalo s. Iso significa que, sendo a rajeória no espaço de configurações uma curva não-plana, a sua projeção no plano x v pode apresenar cruzamenos. A Figura 16 mosra o espaço de fase correspondene ao caso com ressonância. O espaço de configurações esá exibido na Figura 17. Semelhanemene as rajeórias exibidas nas Figuras 4 e 9, esa rajeória no espaço de configurações ambém é plana. Podemos ver claramene que a rajeória mosrada na Figura 16 é uma soma de um movimeno oscilaório amorecido, evidenciado pela pare espiralada, como na Figura 8, e um movimeno oscilaório puramene harmónico, evidenciado pela pare elipsoidal em orno da origem, como na Figura 3. Esa pare elipsoidal (rajeórias fechadas) inicia após 8 s, aproximadamene. É nese insane em que o balanço energéico é esabilizado, conforme podemos ver na Figura 12(b). Assim, na ressonância, as rajeórias no espaço de configurações são muio mais simples que nos demais casos sem ressonância. Ouro efeio imporane que surge em um oscilador forçado é conhecido por baimenos. As Figuras 18 ilusram ese efeio em duas siuações: uma sem a presença de dissipação (ω 2 = ) e oura na presença de dissipação (ω 2 ). Quando não há dissipação, o efeio de baimenos permanece inalerado no empo, como evidenciado na Figura 18(a). No enano, na presença de dissipação, por menor que seja, o efeio de baimenos desaparece após um cero empo. Ese úlimo caso esá mosrado na Figura 18(b). Podemos enender o efeio de baimenos numa forma quaniaiva considerando a siuação mais simples onde a força dissipaiva é nula, ω 2 =. Também vamos simplificar as condições iniciais, deixando o sisema massa-mola no repouso no inane inicial, x = v =. Nesas condições, a equação horária para o caso sub-críico, a qual é a soma da pare ransiene (29) com a pare esacionária (3), se reduz a α ( x() = cos ω1 2 ω3 cos ω 1 ). (45) ω2 1 Esa equação horária é a soma de duas funções harmônicas, porano dois osciladores livres, com freqüências diferenes. Ela pode ser re-escria na forma de uma única função harmônica com uma ampliude dependene do empo, ambém harmonicamene, x() = A() sin Ω +, A() = 2α ω 2 1 ω2 1 sin Ω, Ω ± = ω 1 ± ω 3. (46) 2 A freqüência Ω é conhecida como freqüência de baimeno. Usamos ω 1 = 2π e ω 3 = 1.6π nas Figuras 18. Enão a freqüência de baimeno é Ω = 2π/1, a qual implica em um período igual a 11

12 1 s, como podemos verificar na Figura 18(a), observando a curva que envolve a equação horária. Ese efeio de baimenos é muio uilizado para a afinação de insrumenos musicais. Quando a freqüência exerna iguala à freqüência naural, ω 3 = ω 1, enão o efeio de baimenos desaparece, cedendo lugar a uma onda harmônica com uma ampliude crescene no empo, lim x() = α sin ω 1. (47) ω 3 ω 1 2ω 1 Ese reforço na ampliude da freqüência ω 1 é o sinal de que dois insrumenos esão afinados. Iso ambém explique como algumas louças e crisais podem ser danificados por ondas sonoras. Nauralmene, há amorecimeno em um insrumeno musical real. Ese amorecimeno faz com que o comporameno linear no empo da ampliude em (47) se alere para uma forma de uma raiz de um polinômio no empo. As energias correspondenes aos dois ipos de baimenos apresenados na Figura 18 esão na mosradas na Figura 19. Na Figura 19(a), a energia mecânica é exaamene igual à energia absorvida, pois não há dissipação. Podemos observar na Figura 19(b) que o efeio de baimeno cessará após algum empo, permanecendo o sisema em um movimeno harmônico forçado, caracerizado pelo valor nulo da poência mecânica média (a energia mecânica média será uma rea horizonal). A Figura 2 mosra o espaço de configurações correspondene aos baimenos exibidos na Figura 18(a) para meio período (5 s, nese caso). Como não há dissipação, a rajeória é fechada, períodica, mas ela não é plana. Observe ambém a forma simérica, harmoniosa, desa rajeória. Quando há dissipação, esa rajeória é disorcida e não mais fechada Amorecimenos críico e super-críico A Figura 21 mosra as equações horárias para osciladores forçados com amorecimenos críico e super-críico. Em ambos os casos a freqüência da força exerna é menor que a freqüência naural. As respecivas energias e poencias podem ser visas nas Figuras 22 e 23, respecivamene. Podemos ver que energia mecânica (ou energia armazenada) é ligeiramene maior no caso críico. Também podemos ver que o período ransiene é menor para o caso críico (5 s). A figura 24 mosra os respecivos espaços de configurações. 7 Exercícios Muios exercícios desa seção podem ser resolvidos facilmene mesmo sem o auxílio de um compuador. No enano, é muio insruivo resolvê-los ambém via compuação algébrica, quando possível. Exisem alguns que poderão omar um empo muio grande quando efeuados manualmene. Nese caso, o uso de compuação algébrica é indispensável. Muios deses exercícios esão resolvido, embora iso não eseja de forma explícia, na seção Simulações Passo a passo do arquivo oscilador.mws, o qual deve ser abero pelo Maple (versão 7 ou superior). 7.1 Oscilador livre Exercício 1 Prove que as consanes ω 1 e ω 2, definidas em (2) e (13), respecivamene, possuem, de fao, dimensões de freqüência (inverso do empo). Exercício 2 Mosre, por subsiuição direa, que as equações horárias (3) e (4) são de fao soluções da equação diferencial (2) para o oscilador harmônico livre. Exercício 3 Deermine expliciamene a ampliude A e a consane de fase φ apresenadas em (4). Exercício 4 Deermine expliciamene a relação enre o período T e a freqüência angular ω 1 apresenada em (5). 12

13 Exercício 5 Deermine expliciamene a energia mecânica apresenada em (6). Exercício 6 (1) Prove que a poência cinéica insanânea é igual ao produo da força pela velocidade, como apresenado em (8); (2) Deermine expliciamene a poência cinéica insanânea apresenada em (8); (3) Deermine o período desa poência cinéica insanânea. Exercício 7 Deduza as expressões (1) e (11). (6). Exercício 8 Experimene a vonade modificando as condições iniciais e a freqüência angular na simulação da equação horária exibida na Figura 1. Veja as mudanças correspondenes nas energias na Figura 2. Refaça ambém o espaço de fase exibido na Figura 3. Tire suas conclusões. Exercício 9 Use uma régua para mosrar que os semi-eixos das elipses na Figura 3 são iguais às respecivas quanidade mencionadas nas equações (1) (11). A ampliude esá dada em (4). 7.2 Oscilador amorecido Exercício 1 Verifique que a equação horária geral (14) é solução da equação diferencial (13). Exercício 11 Deduza as equações horárias (17) e (18). Exercício 12 Efeue os limies (2) expliciamene. Exercício 13 Calcule a energia mecânica (21) expliciamene. Calcule ambém o valor média dela em um período (medido como se o oscilador esivesse livre). Exercício 14 (1) Calcule o limie (24) direamene da equação horária geral (17). (2) Calcule a energia mecânica e a energia dissipada para equação horária (24). fig:amorecidoec Exercício 15 Modifique as condições iniciais para um mesmo oscilador amorecido, iso é, manenha os mesmos valores para as freqüências, e verifique que o espaço de fase (Figura 8), bem como o espaço de configurações (Figura 9), não admie cruzameno enre suas rajeórias. 7.3 Oscilador amorecido e forçado Exercício 16 (1) Verifique que o primeiro ermo (ransiene) da solução (26) saisfaz apenas a pare homogênea da equação diferencial (25). (2) Verifique que o segundo ermo da solução (26) é uma solução paricular da equação diferencial (25) complea. Exercício 17 Mosre que a solução ransiene (29) é conínua em ω 2 = ω 1. 13

14 Exercício 18 Efeue os limies (32) expliciamene. Exercício 19 Prove que as condições (35) são necessárias para haver o efeio de ressonância. Exercício 2 Efeue o limie ω 2 ω 1 nas equações horárias (29) (3), com amorecimeno sub-críico, para ober a equações horárias (37) (38), com amorecimeno críico. Exercício 21 Refaça a Figura 11 acrescenando ambém uma equação horária sem ressonância mas com a freqüência exerna ω 3 acima da freqüência naural ω 1. Faça o gráfico das energias dese caso e compare-o com as Figuras 12. Refaça ambém os gráficos do espaço de fase e do espaço de configurações para incluir o caso ω 3 > ω 1. 8 Conclusões A Equivalência enre osciladores horizanais e vericais 14

15 B Figuras 1 T = 1 ω 1 = 2π, x = 1, v =.5 x() Figura 1: Equação horária (3) para um oscilador livre. Todas as quanidades esão em unidades MKS ω 1 = 2π, x = 1, v = 1 x() T/m E/m Figura 2: Energia mecânica (cinéica + poencial) por unidade de massa, E/m, (44) e energia cinéica por unidade de massa, T/m, (9) para um oscilador livre. A equação horária x() esá com a ampliude muliplicada por um faor 1. Todas as quanidades esão em unidades MKS. 15

16 8 6 ω 1 = 2π, v = x = 1 x = 1/2 4 2 v x Figura 3: Espaço de fase de um oscilador livre para duas condições iniciais disinas. As curvas são elipses, cujos semi-eixos esão dados em (1) (11). Todas as quanidades esão em unidades MKS. a x v 4 Figura 4: Espaço de configurações de um oscilador livre para a condição inicial x = 1 e v = durane um período T = 1 com a freqüência angular ω 1 = 2π. Todas as quanidades esão em unidades MKS. 16

17 x = 1, v = Sub-críico Críico Super-críico Meia vida Figura 5: Três equações horárias ípicas para um oscilador amorecido com as condição iniciais x = 1 e v =. Nos rês casos, a freqüência naural foi manida em ω 1 = 65 π/4. No caso super-críico, a freqüência do amorecimeno foi ω 2 = 3π. Todas as quanidades esão em unidades MKS x = 1, v = x() E d /m T/m E/m Figura 6: Energia mecânica (cinéica + poencial) por unidade de massa, E/m, energia cinéica por unidade de massa, T/m, e energia dissipada por unidade de massa, E d /m, para um oscilador com amorecimeno sub-críico (ω 1 = 65 π/4 e ω 2 = π/4). A equação horária x() esá com a ampliude muliplicada por um faor 1. Todas as quanidades esão em unidades MKS. 17

18 25 x = 1, v = Críico: Super-críico: { { 1 x() E d /m T/m E/m 1 x() E d /m T/m E/m Figura 7: Energia mecânica (cinéica + poencial) por unidade de massa, E/m, energia cinéica por unidade de massa, T/m, e energia dissipada por unidade de massa, E d /m, para um oscilador com amorecimenos críico (linha cheia, ω 1 = 65 π/4) e super-críico (linha racejada, ω 1 = 65 π/4 e ω 2 = 3π). A equação horária x() esá com a ampliude muliplicada por um faor 1. Todas as quanidades esão em unidades MKS. v Sub-críico (1) Sub-críico (2) Super-críico Críico x Figura 8: Espaço de fase (posição x velocidade v) de um oscilador amorecido. As freqüencias uilizadas foram: ω 1 = 65 π/4 e ω 2 = π/4 para o amorecimeno sub-críico, ω 1 = 65 π/4 para o amorecimeno críico e ω 1 = 65 π/4 e ω 2 = 3π para o amorecimeno super-críico. O caso sub-críico (2) em x =.95 e v =.1 como condições iniciais; os demais casos êm x = 1 e v =. O inervalo de empo foi de 6 s. Todas as quanidades esão em unidades MKS. 18

19 Sub-críico Críico Super-críico 2 a x v Figura 9: Espaço de configurações (posição x velocidade v aceleração a) para um oscilador amorecido. As freqüencias uilizadas foram: ω 1 = 65 π/4 e ω 2 = π/4 para o amorecimeno subcríico, ω 1 = 65 π/4 para o amorecimeno críico e ω 1 = 65 π/4 e ω 2 = 3π para o amorecimeno super-críico. Os rês casos êm x = 1 e v = como condições iniciais. O inervalo de empo foi de 6 s. As projeções desas curvas no plano x v esão na Figura 8. Todas as quanidades esão em unidades MKS..6.5 ω 2 = π/2 ω 2 = π/1 ω 2 = π/5 ω 2 = π 2.4 A.3 ω 1 = 2π, α = ω 3 Figura 1: Efeio de ressonância para um oscilador forçado com amorecimenos sub-críicos. Nas quaro siuações usamos ω 1 = 2π e α = 1. Todas as quanidades esão em unidades MKS. 19

20 x() x = 1, v = ω 3 = π ω 3 = 2π ω 1 = 2π, ω 2 = π/1, α = Figura 11: Equações horárias para um oscilador forçado com amorecimenos sub-críicos. Em uma delas há o efeio de ressonância. Todas as quanidades esão em unidades MKS. 2

21 ω 1 = 2π, ω 2 = π/1, ω 3 = π, α = 1 x = 1, v = x() E d /m E a /m E/m (a) Sem ressonância ω 1 = 2π, ω 2 = π/1, ω 3 = π, α = 1 x = 1, v = 2 x() E d /m E a /m E/m (b) Com ressonância. Figura 12: Energias por unidade de massa (mecânica, E/m, dissipada, E d /m, e absorvida, E a /m) para um oscilador forçado com amorecimeno sub-críico, sem o efeio de ressonância, Figura 12(a), e com o efeio de ressonância, Figura 12(b). Todas as quanidades esão em unidades MKS. 21

22 6 4 ω 1 = 2π, ω 2 = π/1, ω 3 = π, x = 1, v = 2 v x (a) Inervalo 2 s ω 1 = 2π, ω 2 = π/1, ω 3 = π, x = 1, v =.1.5 v x (b) Inervalo 12 3 s. Figura 13: Espaço de fase (posição x velocidade v) para um oscilador forçado com amorecimeno sub-críico e sem ressonância. O espaço de configurações correspondene esá na Figura 14. Todas as quanidades esão em unidades MKS. 22

23 4 2 a x v 4 6 Figura 14: Espaço de configurações (posição x velocidade v aceleração a) para um oscilador forçado com amorecimeno sub-críico e sem ressonância no inervalo 2 s. Os parâmeros uilizados são ω 1 = 2π, ω 2 = π/1, ω 3 = π, x = 1, e v =. A projeção desa curva no plano x v esá na Figura 13(a). Ouros dealhes desa curva esão na Figura 15. Todas as quanidades esão em unidades MKS. 23

24 a v x -.4 (a) Inervalo s. a x v.4 (b) Inervalo s. Figura 15: Dealhes mosrando que a rajeória no espaço de configurações exibido na Figura 14 não é uma curva plana. Os parâmeros uilizados são ω 1 = 2π, ω 2 = π/1 e ω 3 = π. Todas as quanidades esão em unidades MKS. 24

25 6 ω 1 = 2π, ω 2 = π/1, ω 3 = 2π, x = 1, v = 4 2 v x Figura 16: Espaço de fase (posição x velocidade v) para um oscilador forçado com amorecimeno sub-críico e com ressonância no inervalo 2 s. Todas as quanidades esão em unidades MKS. a x v 4 8 Figura 17: Espaço de configurações (posição x velocidade v aceleração a) para um oscilador forçado com amorecimeno sub-críico e com ressonância no inervalo 2 s. Os parâmeros uilizados são ω 1 = ω 3 = 2π, ω 2 = π/1, x = 1, e v =. A projeção desa curva no plano x v esá na Figura 16. Todas as quanidades esão em unidades MKS. 25

26 x = v =, ω 1 = 2π, ω 2 =, ω 3 = 1.6π x() A() (a) Baimenos sem dissipação x = v =, ω 1 = 2π, ω 2 =.1, ω 3 = 1.6π x() A() (b) Baimenos com dissipação. Figura 18: Efeios de baimenos sem e com dissipação. Sem dissipação, os baimenos coninuam indefinidamene sem qualquer aleração. A curva racejada é a ampliude A() definida em (46). Em ambos os casos, a freqüência de baimeno é 2π/1. Todas as quanidades esão em unidades MKS. 26

27 x() E/m x = v =, ω 1 = 2π, ω 2 =, ω 3 = 1.6π (a) Energias para os baimenos sem dissipação..6.5 x = v =, ω 1 = 2π, ω 2 =.1, ω 3 = 1.6π x() E d /m E a /m E/m (b) Energias para os baimenos com dissipação. Figura 19: Energias para os efeios de baimenos sem e com dissipação. Sem dissipação, os baimenos coninuam indefinidamene sem qualquer aleração. Nese caso, a energia absorvida é exaamene igual à energia mecânica. Em ambos os casos, a freqüência de baimeno é 2π/1. Todas as quanidades esão em unidades MKS. 27

28 a x v.4.8 Figura 2: Espaço de configurações para o efeios de baimeno sem dissipação. Sem dissipação, os baimenos coninuam indefinidamene sem qualquer aleração, produzindo uma rajeória fechada, períodica, a qual não é plana. Os parâmeros uilizados foram ω 1 = 2π, ω 2 =, ω 3 = 1.6π e x = v =. Todas as quanidades esão em unidades MKS ω 1 = π/2, ω 3 = π/4, x = 1, v = ω 2 = π/2 ω 2 = π x() Figura 21: Equações horárias de um oscilador forçado com amorecimenos críico e sub-críico. Todas as quanidades esão em unidades MKS. 28

29 x() E d /m E a /m E/m ω 1 = ω 2 = π/2, ω 3 = π/4 x = 1, v = (a) Energias para o caso críico ω 1 = ω 2 = π/2, ω 3 = π/4 x = 1, v =.5 x() E d /m E a /m E/m (b) Poências para o caso críico. Figura 22: Energias e poências para um oscilador forçado com amorecimeno críico. Todas as quanidades esão em unidades MKS. 29

30 x() E d /m E a /m E/m ω 1 = π/2, ω 2 = π, ω 3 = π/4 x = 1, v = (a) Energias para o caso super-críico ω 1 = π/2, ω 2 = π, ω 3 = π/4 x = 1, v =.5 x() E d /m E a /m E/m (b) Poências para o caso super-críico. Figura 23: Energias e poências para um oscilador forçado com amorecimeno super-críico. Todas as quanidades esão em unidades MKS. 3

31 super-críico críico a x v Figura 24: Espaços de configurações para um oscilador forçado com amorecimenos críico e supercríico. Os parâmeros uilizados foram ω 1 = ω 2 = π/2 e ω 3 = π/4 para o caso críico e ω 1 = π/2, ω 2 = π e ω 3 = π/4 para o caso super-críico. Em ambos os casos, x = 1, e v =. Todas as quanidades esão em unidades MKS. (a) (b) (c) k ȳ = m ȳ = y ȳ = y() + y Figura 25: Oscilador harmônico livre na verical. A mola em consane de mola k e a massa em massa m. Em (a), a mola esá livre; em (b), o sisema massa-mola esá em equilíbrio e em (c), a mola esá em movimeno e disendida pela quanidade posiiva y() + y no insane. 31

32 Referências [1] Herch Moysés Nussenzveig. Curso de Física Básica. Edgard Blücher, 22. 2, 3 [2] Alaor Silvério Chaves. Física. Reichmann e Affonso, 21. 2, 3 [3] F. S. Crawford Jr. Waves, volume 3 of Berkeley Physics Course. McGraw-Hill, [4] Nivaldo A. Lemos. Mecânica Analíica. Livraria da Física, [5] H. Goldsein. Classical Mechanics. Addson-Wesley, [6] J. V. José and E. J. Salean. Classical Dynamics A Conemporary Approach. Cambridge,