UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS. MATEMÁTICA & EDUCAÇÃO: Uma Proposta Pedagógica no Ensino do Cálculo FERNANDA LAUREANO DA SILVA

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS MATEMÁTICA & EDUCAÇÃO: Uma Proposta Pedagógica o Esio do Cálculo FERNANDA LAUREANO DA SILVA

2 FERNANDA LAUREANO DA SILVA MATEMÁTICA & EDUCAÇÃO: Uma Proposta Pedagógica o Esio do Cálculo Trabalho de Coclusão do Curso, apresetado à UFMG - Uiversidade Federal de Mias Gerais como requisito parcial para a obteção do título de Especialização em Matemática com Êfase em Cálculo, sob a orietação do Professor Atôio Zumpao Pereira Satos Belo Horizote, 00

3 Silva, Ferada Laureao MATEMATICA & EDUCAÇÃO: Uma proposta pedagógica o esio do Cálculo 57 págias Moografia (Especialização) - Istituto de Ciêcias Eatas da Uiversidade de Federal de Mias Gerais Departameto de Matemática Cocepções Pedagógicas Geometria 3 Fuções 4 Diâmica I Uiversidade Federal de Mias Gerais Istituto de Ciêcias Eatas Departameto de Matemática

4

5 AGRADECIMENTOS Ao professor Zumpao, que me orietou a buscar pistas para desvedar e eriquecer meus cohecimetos, ispirado-me a efetivar essa pesquisa moográfica Aos meus familiares, pelo apoio e colaboração Ao meu marido Rodrigo, pelo icetivo costate Aos amigos José Idalmo e Betâia, compaheiros fieis esta jorada À Deus, que esteve sempre presete ao meu lado Efim, a todos que cotribuíram de alguma forma, para a realização desta pesquisa

6 A Matemática é a hora do espírito humao (LEIBNIZ)

7 RESUMO O esio matemático de há muito é algo mecâico, fio em um sistema arcaico desestimulate, pois volta o aluo para resultados abstratos em detrimeto do mais importate, a capacitação para a costrução de padrões de correlacioameto com a vida prática Portato, tedo em vista a ecessidade cotemporâea de reestruturação dos modelos pedagógicos a educação Matemática; com o objetivo de eleger efoques e estratégias educativas facilitadoras do esio-apredizagem e capazes de promover maior motivação e autoomia os educados Pretede-se mostrar este trabalho como é possível esiar, de forma prática e diâmica o estudo de Perímetro e Área de polígoos regulares e do círculo; bem como o coceito de Fução itegrada ao Cálculo para otimização de um problema e o Teorema Isoperimétrico Deste modo, apresetamos o estudo uma situação problema que pode ser eplorada o Esio Fudametal, Médio e Superior com aplicação de Perímetro e Área; o estudo de Fução e a disciplia de Cálculo a aplicação de Máimos e Míimos Para tal são ecessárias pequeas mudaças a forma como o Cálculo é tradicioalmete esiado Com estas mudaças, o estudo de Geometria e Fuções pode cumprir o papel de disciplia itegradora, fazedo a trasição etre os ciclos básicos e o Esio Superior Neste ecamihameto percebemos a Modelagem Matemática como uma alterativa pedagógica que permite estabelecer a iterdiscipliaridade ao mesmo tempo em que oportuiza o estudo de problemas do cotidiao dos estudates Através de uma cocepção costrutivista de esio-apredizagem, procurou-se desevolver uma diâmica que faz uso dos recursos computacioais para facilitar e motivar o processo de costrução do cohecimeto matemático Destaca-se, também, a preocupação de evolver o aluo a costrução e mauseio da liguagem matemática, ão só para atestar a validade e adequabilidade das ações propostas; mas também para cotribuir a formação do profissioal crítico, gestor de suas ações e de seus cohecimetos, capaz de utilizar recursos tecológicos Palavras-chave: Cálculo, Esio-apredizagem, Perímetro, Área, Fuções, Máimos e Míimos, Recursos tecológicos

8 ABSTRACT The teachig of mathematics has log bee somethig mechaical, fied o a archaic system discouragig, because the studet retur to abstract results to the detrimet of more importat, traiig for buildig patters correlatig with the practical life Therefore, i view of the cotemporary eed to restructure the pedagogical models i mathematics educatio, with the goal of electig approaches ad educatioal strategies that facilitate the teachig-learig ad able to promote greater autoomy ad motivatio i studets We shall show how this work ca be taught i a practical ad dyamic study of the perimeter ad area of regular polygos ad the circle, ad the cocept of the itegrated calculatio fuctio for optimizatio problem ad a theorem Isoperimétrico Thus, the preset study a problem situatio that ca be eploited i Elemetary Educatio, Middle ad Upper with applicatio of perimeter ad area, a study i fuctio ad i discipliig the use of Calculus Maima ad Miima This requires small chages i the way that calculus is traditioally taught With these chages, the study of Geometry ad Fuctios ca fulfill the role of itegrative disciplie, makig the trasitio betwee the basic cycles ad Higher Educatio I forwardig the otice Mathematical Modelig as a pedagogical alterative that allows for iterdiscipliary at the same time as possible for the study of real-world problems for studets Through a costructivist coceptio of teachig ad learig, we sought to develop a dyamic that makes use of computatioal resources to facilitate ad motivate the costructio of mathematical kowledge Stads out, too, the cocer to ivolve the studet i the costructio ad hadlig of mathematical laguage, ot oly to demostrate the validity ad adequacy of proposed actios, but also to cotribute to the formatio of the professioal critic, maager of their actios ad their kowledge able to use techological resources Keywords: Calculus, Teachig ad Learig, Perimeter, Area, Fuctios, Maima ad Miima, Techology Resources

9 SUMÁRIO - INTRODUÇÃO 0 - CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS-METODOLÓGICAS 03 Referecial Teórico 04 Cocepções Pedagógicas RECURSOS COMPUTACIONAIS 0 3 Um Olhar Histórico Sobre o Uso da Tecologia Educacioal o Brasil 4 - GEOMETRIA 3 4 Cotetualização Histórico Metodológica Coceito de Perímetro e Área Área de Polígoos Regulares Área de Circuferêcias FUNÇÕES 0 5 Coceito de Fução 0 5 Cotetualização Histórica 0 53 O Atual Esio da Fução Quadrática 54 Máimos e Míimos 3 55 Defiição de Máimos e Míimos de uma Fução DINÂMICA 8 6 Problemas de Aplicações de Máimos e Míimos 8 6 Diâmica a ser Estudada 8 63 Uma Nova Abordagem da Diâmica Estudada Estudo da Diâmica Usado Fórmula Geral da Soma das Áreas 5 65 Estudo da Diâmica com Auílio de Recursos Computacioais CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 56

10 CAPÍTULO I INTRODUÇÃO Na cotemporaeidade do Esio Superior das Ciêcias Eatas aida se ecotra acetuada predomiâcia do paradigma tradicioal de educação baseado o modelo reducioista e liear, ode a estratégia de esio se desevolve a partir da eposição formal e discursiva dos coteúdos pelo professor Numa tetativa de sítese, pode-se dizer que os educados aida estão limitados ao espaço de suas carteiras, sedo-lhes eigidas apeas as habilidades de memorização e reprodução As demostrações da ão-apredizagem, evideciadas pelos feômeos da desistêcia e reprovação, apotam para a ieficiêcia pedagógica deste paradigma Sob a perspectiva da formação global do educado, a abordagem tradicioal de educação também se apreseta isuficiete, pois ão cotribui para o pleo desevolvimeto das potecialidades eigidas pela sociedade atual em relação aos futuros profissioais: criatividade, raciocíio crítico, caráter itegrador a diâmica das relações, habilidades empreededoras e de auto-gestão, etre outras Os valores da educação tradicioal, fudametados o saber do mestre, se cotrapõem aos valores emergetes da sociedade que começa a legitimar o saber, o saber fazer e o saber ser Por isto, tem-se eigido dos professores de Matemática e dos pedagogos que procurem melhorar o esio desta disciplia Sedo ecessário, portato, um ovo efoque do professor de Matemática em suas aulas Não basta cohecer Matemática para esiar É ecessário criar uma metodologia que desperte o iteresse dos aluos Atualmete, eistem muitos estudos e pesquisas que tem como foco o desevolvimeto de ovas metodologias para o esio de Matemática, buscado tora-lá mais divertidas e iteressates, trabalhado suas aplicações práticas Cotudo, como educadores matemáticos, devemos procurar alterativas para aumetar a motivação para a apredizagem, desevolver a autocofiaça, a orgaização, cocetração, ateção, raciocíio lógico-dedutivo e o seso

11 cooperativo, desevolvedo e aumetado as iterações do idivíduo com outras pessoas Cosiderado esse quadro atual do esio da Matemática, em especial do Cálculo, com iteção de reduzir este descompasso, será desevolvido este estudo um problema de maimização; como estratégia para o esio de coceitos etremamete importate, que pode ser tratado em diversos segmetos do esio e que surge como um Modelo Matemático em diversas áreas de cohecimeto a Geometria o cálculo de perímetro e área e as Fuções com aplicações do Cálculo Por meio de um modelo de aplicação prática, será descrito uma diâmica que trata de estudar os vículos etre as gradezas evolvidas o problema além de possibilitar a formulação de ovas questões teóricas relevates para estudos de ovos problemas Mostrado que mais importate do que a habilidade em fazer cotas, é a habilidade em modelar bem um problema; compreeder e iterpretar os resultados e todas as possibilidades que o problema pode oferecer Modelagem matemática é o processo que evolve a obteção de um modelo [] para se elaborar um modelo, além de cohecimeto de matemática, o modelador precisa ter uma dose sigificate de ituição e criatividade para iterpretar o coteto, saber discerir que coteúdo matemático melhor se adapta e também ter seso lúdico para jogar com as variáveis evolvidas [] A modelagem matemática é, assim, uma arte, ao formular, resolver e elaborar epressões que valham ão apeas para uma solução particular, mas que também sirvam, posteriormete, como suporte para outras aplicações e teorias (BIEMBENGUT, 003, p -3) Pesado isto, esse trabalho visa à costrução de um coceito matemático de suma importâcia ao Cálculo - as Fuções Nele iremos trabalhar com as Fuções Quadráticas bem como Máimos e Míimos da Fução Tudo isso de uma forma bem diâmica procurado propiciar um maior evolvimeto dos educados e, coseqüetemete, estimulado e despertado a curiosidade Matemática para ajudar a compreesão das ideias fudametais destes coceitos Para tal será utilizado como metodologia o computador para a costrução dos gráficos; o que irá auiliar o processo de esio-apredizagem da Matemática e torar as aulas mais iteressates, atraetes, produtivas e de fácil compreesão e, o mais importate, auiliado em uma efetiva apredizagem

12 3 CAPÍTULO II CONSIDERAÇÕES TEORICAS-METODOLÓGICAS Os avaços coquistados pela Educação Matemática idicam que, para que o aluo apreda Matemática com sigificado, é fudametal trabalhar as ideias, os coceitos matemáticos ituitivamete, ates da simbologia, ates da liguagem matemática Sempre que possível deve-se propor atividades para estimular para que o aluo pese, raciocie, crie, relacioe ideias, descubra e teha autoomia de pesameto Desta forma trabalhar a Matemática por meio de situações-problema próprias da vivêcia do aluo e que o façam realmete pesar, aalisar, julgar e decidir pela melhor solução; irá propiciar um trabalho do coteúdo com sigificado, levado o aluo a setir que é importate saber aquilo para sua vida em sociedade ou que o coteúdo trabalhado lhe será útil para eteder o mudo em que vive Deve-se também valorizar a eperiêcia acumulada pelo aluo detro e fora da escola; estimular o aluo para que desevolva o raciocíio matemático Sedo ecessário também cosiderar mais o processo do que o produto de apredizagem apreder e apreder mais do que levar em cota resultados protos e acabados, compreededo a apredizagem da Matemática como um processo ativo Portato, para auiliarmos o aluo a aperfeiçoar o seu raciocíio, é importate proporcioarmos atividades ode o mesmo possa eplorar, criar, recriar, aalisar e elaborar coceitos próprios vidos da observação e ação sobre os objetos e que poderão fazer com que o aluo chegue a geeralizações, coclusões e até regras e coceitos O professor, ao tomar cosciêcia desta realidade, precisa procurar ovas metodologias, recursos, efim, um modo diferete de trasmitir as iformações Matemáticas para que o aluo realmete apreda Diate disso, abordaremos um problema de forma a iteragir aluo/material cocreto, ode esta abordagem ão será eigido dos aluos ecessos de técicas operatórias sem justificativas; bem como a memorização de regras em mometos

13 estaques que acaba por ão levar em cota os cohecimetos e as eperiêcias acumulados pelo sujeito em sua vida etra-escolar 4 Referecial Teórico É importate observar que o Cálculo é uma das disciplias mais tradicioais do Esio Superior de Ciêcias Eatas e, também, base referecial para a compreesão do desevolvimeto cietífico e tecológico desde que foi proposta por Newto a Iglaterra e Leibitz a Alemaha, há trezetos aos Apesar de sua importâcia e atualidade como cohecimeto, o esio do Cálculo, aida preserva sua estrutura origial, sedo cosiderada uma das disciplias ode se apresetam as maiores dificuldades de apredizado Atualmete faz-se ecessário que o professor busque, cada vez, elemetos motivadores que proporcioem maior etusiasmo os aluos, para as apredizages seja em qual área ou disciplia, mas o caso especifico da Matemática essa ecessidade parece aida maior, visto que há uma certa dificuldade, para o aluo, de assimilar determiados coceitos essa área do cohecimeto Nesse aspecto podermos apotar os trabalhos em equipe, atividades em grupo e o uso dos meios tecológicos, como recurso usado pelo professor, que podem fucioar como elemeto motivador para que o aluo sita-se mais etusiasmos para ovas apredizages Partido do pricípio de que o aluo só aprede se estiver realmete motivado, e com isso a escola gaha qualidade de esio, pode-se relacioar estritamete apredizagem e motivação Podedo, iclusive, afirmar que motivação é tudo aquilo que está itríseco ou etríseco os estímulos que o aluo, ou aida o professor recebe, para que acoteça o processo-apredizagem Assim, as aulas de Cálculo podem se trasformar em mometos estimulates, que eigem estratégias para resolução de diversas situaçõesproblema Por isso, ada de apresetar questões apeas para verificar se os coteúdos foram fiados Além de ão avaliar corretamete se o assuto foi

14 5 assimilado ou ão, é um fator que cotribui para desaimar a turma, já que a aula passa a ser um simples treio de técicas e demostração As ecessidades cotidiaas fazem com que os seres humaos desevolvam uma iteligêcia essecialmete prática, que permite recohecer problemas, buscar e selecioar iformações, tomar decisões, e, desevolver uma ampla capacidade para lidar com situações do dia-a-dia Quado essa capacidade é potecializada pela escola, a apredizagem apreseta melhor resultado Dai ser iteressate citar algumas formas de como trabalhar com Cálculo Observado os aspectos relevates que tem causado dificuldades os aluos o esio apredizagem da Matemática A forma de apresetação de uma resolução de problema ão pode ser apresetada de maeira isolada e sim o cojuto de ideias que possa eriquecer e trasformar essas ideias uma forma de estimular e ajudar a desevolver o aluo o seu raciocíio lógico Cabe ao professor criar um ambiete de traquilidade, em que o aluo ão teha medo de estabelecer e testar hipóteses, mesmo corredo o risco de errar É sua tarefa, também, mostrar as possíveis estratégias de resolução para os problemas iclusive fazedo uso de recursos computacioais e, ao mesmo tempo, abrir espaço para que a classe discuta os vários métodos ecotrados pelos próprios aluos Os problemas de Matemática devem evolver muito mais aspectos do que a simples aplicação de operação A educação como sabemos deve estar voltada para o desevolvimeto itegral do ser humao, torado-o apto a aalisar e criticar o grade volume de iformações que recebe, para que possa selecioar aquelas que serão úteis em sua vida diária Os elemetos motivadores estão diretamete relacioados, ão só aos aparatos pedagógicos, mas a tudo que se relacioa a metodologia desevolvida pelo professor em sala de aula Portato, justifica-se esse estudo, ode busca-se através deste, acrescetar elemetos favoráveis e estímulos ecessários para a efetiva cotribuição dos fatores que repercutem a motivação para melhorar a apredizagem de coceitos Matemáticos importatíssimo para o Cálculo a Geometria e as Fuções Diate da velocidade dos avaços tecológicos e cietíficos, com certeza é mais importate preparar os aluos para apreder coisas ovas do que trasmitir-lhe um grade volume de iformações que em pouco tempo já estarão ultrapassadas

15 6 Sem dúvida, o sucesso de uma apredizagem depede do professor Cabe a ele preparar os aluos para as atividades, estar alerta para situações ovas que possam surgir o dia-a-dia da escola, cohecer os iteresses dos estudates, saber diagosticar o ível de cohecimeto e as habilidades de seus aluos, visado estimular o desevolvimeto da capacidade do raciocíio lógico, através de situações que modelem e istiguem a curiosidade Efim que levem os aluos a pesar chegado as suas próprias respostas, um processo de elaboração do cohecimeto Matemático Seguido essa liha de raciocíio e procurado atigir os objetivos educacioais, este trabalho, questioamos a práticas pedagógicas tradicioal para o esio da disciplia, e desevolvemos a resolução de uma situação-problema modelado-o e apresetado-o de forma diâmica com o objetivo de ser uma sugestão aos professores de Matemática para esio de Fução Quero comprovar, desse modo, que a Matemática pode e deve ser ecarada com leveza, depededo da criatividade e da disposição Ao trabalhar Cálculo detro da Matemática cotetualizada cabe ao professor utilizar de simulações da realidade, materiais cocretos, situações-problema, desafios, competições, efim, tudo que estimule o aluo a raciociar de forma ativa e participate A troca de ideias etre si ajuda os aluos a resolver questões desafiadoras fazedo com que os mesmos cheguem a coclusões ideais Assim, como toda a ossa sociedade, com seus vícios e raços como obstáculos a serem superados Mais precisamete, recohecemos que a diâmica histórica, a qual se alicerça ossa escola, seja o maior obstáculo, pois sabemos que ão é a educação que modela a sociedade, mas, ao cotrário, a sociedade modela a educação segudo os iteresses de quem detém o poder (FREIRE & SHOR, 000, p49) Dessa forma, a mudaça a operar passa por uma trasformação qualitativa da educação, pela costrução de uma sociedade de apredizagem, e particularmete por uma educação permaete que abraja ão só as eceções, mas todos os cidadãos e a sociedade o seu cojuto (VIEIRA, 995, p40) Assim, a figura do professor surge como poto cetral esse processo Por outro lado, o dia-a-dia das salas de aula, os educadores são cobrados de diversas formas, ou aida são cofrotados com uma realidade iadequada ao

16 7 desevolvimeto das atividades que cofluam em direção ao respeito à diversidade cultural ou sociocultural e a apredizagem Outro fator que se supõe iterferir o redimeto dos aluos e a maeira do professor repassar os cohecimetos Ou seja, essa relação/educação dialógica, vale efatizar, os coteúdos tradicioais terão importâcia secudária, isto é, estarão a serviço, de certo modo, do desvelar da realidade para o desevolvimeto dos educados Dessa forma, serão relevates os coteúdos que, de algum modo, apresetar subsídio a iteção de desvelar a realidade, isto é, que sejam coteúdos críticos, sejam eles parte da Matemática acadêmica ou da etomatemática da comuidade Em outras palavras, Matemática cotetualizada se mostra como mais um recurso para o desevolvimeto do ser humao e sua iserção ao meio social Etretato ao se deparar com um problema, o ser humao se questioa, questioa outros seres humaos, pesquisa, busca respostas possíveis para solucioar o desafio que está a sua frete, testa suas hipóteses, cofirma-as, reformula-as, egaas, abadoa-as, retoma-as, etc Por meio desse movimeto, realiza o esforço da apredizagem para costruir o seu saber, relacioado cohecimetos ateriores aos atuais, ampliado, costruido ovos saberes A cada solução, ovos problemas se impõem Estas respostas, as eperiêcias que vão acumulado ao buscá-las, costituem o cohecimeto de um idivíduo ou de um grupo Nesta cocepção, o cohecimeto asce da ação, da relação etre os seres e destes com o mudo Da sua iterveção o mudo, ovos cohecimetos vão sedo costruídos Desse modo, o aluo está sedo icetivado a pesar com lógica em todos os setidos e em variadas situações Estará descobrido, e de fato etededo, o que está fazedo, dado setido ao apredizado Georges Syders (988, p6) ressalta que é preciso recohecer realmete que a Escola é, de iicio, lugar de divergêcia etre as maeiras de ser: do professor aos aluos corre-se o risco de que o professor esteja voltado para o passado, para um passado que o justifica, equato que os aluos estão voltados para o futuro Sedo assim, a cotetualização ão pode ser etedida como forma de baalizar os coteúdos, mas como recurso pedagógico etededo que se trata, portato, de uma pote etre a teoria e a prática, etre o coceito e a vivêcia A

17 8 compreesão da Matemática é muito importate o dia-a-dia das pessoas, está ligada a quase todas as atividades humaas, pois estamos sempre cotado, medido, eumerado, classificado, seriado, abstraido quatidades, etc Ou seja, fazedo uso da Matemática a todo mometo Cocepções Pedagógicas Tedo em vista que o cohecimeto é algo que deve e precisa ser costruído; sedo resultado da ação do sujeito sobre os diversos objetos, sejam eles cocretos ou abstratos, e ão um efeito da memorização ou da reteção de cohecimetos que já estão protos Este referecial teórico está alicerçado a visão costrutivista, fudametados a teoria do desevolvimeto cogitivo de J Piaget Nesta cocepção, o apredizado é um processo em que os aluos costroem ativamete seu cohecimeto; eperimetado-o e participado do seu processo de sítese Os estudos de Piaget demostram que o desevolvimeto das fuções cogitivas se dá uma cotíua evolução das estruturas metais; resultate de um processo de iteração, o qual o sujeito procura compreeder o mudo que o cerca, e busca resolver as iterrogações que esse mudo provoca Através de suas próprias ações, ele costrói suas categorias de pesameto ao mesmo tempo em que orgaiza seu mudo A estrutura cogitiva mais avaçada é o pesameto formal abstrato, que se cotrapõe ao pesameto cocreto preso ao real e característico das criaças O pesameto do adulto é hipotético-dedutivo, isto é, ele opera logicamete ão somete sobre o mudo real percebido, mas também sobre o mudo possível as hipóteses Isto os leva a compreeder que o pesameto matemático ão difere, em sua essêcia, do pesameto humao mais geral, pois ambos requerem capacidades de ituição, represetação, abstração e geeralização A difereça a ser cosiderada é o uiverso de trabalho, que a Matemática é costituído por objetos de caráter abstrato e são rigorosos os critérios para o estabelecimeto de verdades (Gravia e Satarosa, 999)

18 9 Outro referecial teórico importate se fudameta os trabalhos de Vygotsky, que ispirado pelos pricípios do materialismo dialético, é defesor da idéia que todo o cohecimeto é costruído socialmete, o âmbito das relações humaas Em suas cocepções, o desevolvimeto cogitivo é um processo cotíuo que se dá ao logo da história social do homem, em sua relação com o mudo através de elemetos mediadores: os istrumetos e sigos criados culturalmete Segudo Vygotsky, o processo de mediação é fudametal para o desevolvimeto das fuções psicológicas superiores como, por eemplo, a memória lógica, os pesametos verbal e coceitual, as emoções compleas, etre outras; distiguido o homem dos outros aimais E, cada vez mais aceleradamete, a cultura cria um úmero maior de poderosos elemetos mediadores (istrumetos, aparatos e tecologias) que apóiam as relações homem/meio e também os processos pedagógicos Vê-se, pois, que todo cohecimeto verdadeiro é costruído e que cada ovo cohecimeto só terá setido para o sujeito que o cohece se, de alguma forma, tiver um sigificado próprio para o sujeito ou se ele matém relações com sigificados e cohecimetos relevates

19 0 CAPÍTULO lll RECURSOS COMPUTACIONAIS Os recursos computacioais de esio-apredizagem surgiram através do questioameto sobre as cotribuições e limites dos meios tecológicos o processo de iteração etre idivíduos Pela abordagem sócio-costrutivista de Vygotsky, o desevolvimeto do ser humao é um produto desta iteração já que, segudo ele, a ausêcia do outro, o homem ão se costrói homem Assim, os ambietes iformatizados apresetam-se como ferrametas de grade potecial o auílio aos processos cogitivos e o esio-apredizagem da Matemática vem se costituido um terreo fértil para o uso desses recursos Cosiderado afirmações do tipo: é importate observar ao aluo que, represetações uméricas, algébricas e gráficas se complemetam, que são formas diferetes de aálise de uma mesma situação (Guimarães, 00), cohecer sobre fuções passa a sigificar saber coordear represetações (Borba e Peteado, 00), cosiderado que um mesmo objeto matemático pode receber diferetes represetações, e que estas registram diferetes facetas do mesmo, uma eploração que trasita em diferetes sistemas tora-se sigificativa o processo de costrução do coceito (Gravia, 998), pode se perceber a preocupação de pesquisadores em esio de Matemática o setido de ecotrar formas de trabalhar coceitos de uma maeira ampla, ivestigado as diversas formas de eploração que os mesmos evolvem Esse estudo propõe, etão, o uso dos recursos computacioais como uma alterativa pedagógica para esio de Fução Um modo prático e diâmico Segudo Hebestreit (apud Gravia e Satarosa, 999): O computador permite criar um ovo tipo de objeto os objetos cocreto-abstratos Cocretos porque eistem a tela do computador; abstratos por se tratarem de realizações feitas a partir de costruções metais

20 3 Um Olhar Histórico Sobre o Uso da Tecologia Educacioal o Brasil Aqui o Brasil, o fial da década de 60, tetou-se plaejar a educação buscado-se uma orgaização racioal e cietífica para a mesma O resultado foi um cojuto de plaejametos educacioais que tiham como meta a formação profissioal técica, o que era eigido pelo coteto sócio-cultural vigete o país crescimeto ecoômico e processo de idustrialização Nesse coteto, procurava-se, por meio do uso de istrumetos tecológicos, adequar a escola ao modelo de desevolvimeto ecoômico: surge, etão, o uso da tecologia educacioal, que foi acompahada de um etusiasmo cosiderável por parte dos educadores Etretato, a despeito do etusiasmo, as escolas, os istrumetos educacioais gaharam demasiada relevâcia, uma relevâcia que traspôs os limites do sesato, rebaiado para um ível iferior os sujeitos que costituem o processo esio-apredizagem Diate disso, algus educadores começaram a repesar a educação Houve um iteresse o setido de se buscar ovas tedêcias para o uso da tecologia educacioal, visado, além de um sistema de esio mais adequado à situação socioecoômica do brasileiro, uma escola mais eficiete Foi assim que os aos 80, ao ivés de recursos como videocassetes, TVs, retroprojetores, etc, o computador passou a se destacar como um dos pricipais istrumetos o processo de esio e apredizagem Em 98, teve iício a PIE Política de Iformática Educativa -, que objetivava iserir o computador o processo de esio e apredizagem, almejado melhorar, dessa forma, a qualidade de esio Já em 983, o Miistério da Educação, também em virtude do crescete desevolvimeto da iformática o Brasil, cria o projeto EDUCON Educação por Computadores -, que visava estimular as pesquisas voltadas para a aplicação das tecologias computacioais o processo educativo Nessa mesma década, o MEC/CNPQ coordearam uma série de ações que coseguiram algus resultados, como a formação de equipes especialistas em educação, ciêcias e tecologia; a itegração de pesquisadores de

21 uiversidades com aluos e professores do sistema público de esio; produção de softwares educacioais e estudos sobre suas possibilidades e limitações Atualmete, é crescete o úmero de computadores a serviço da população; cresce também o úmero de recursos que surgem para o uso o processo de esio-apredizagem Todavia, faz-se ecessário o uso do mesmo como recurso pedagógico facilitador da apredizagem

22 3 CAPÍTULO lv ESTUDO DA GEOMETRIA Os coceitos geométricos costituem parte importate do currículo de Matemática o Esio Fudametal, porque, através deles, o aluo desevolve um tipo especial de pesameto que lhe permite compreeder, descrever e represetar, de forma orgaizada, o mudo em que vive A Geometria é um campo fértil para se trabalhar com situações-problema e é um tema pelo qual os aluos costumam se iteressar aturalmete O trabalho com oções geométricas cotribui para: a apredizagem de úmeros e medidas; a elaboração, orgaização e adequado preechimeto de tabelas; pois estimula o aluo a observar, perceber semelhaças e difereças, idetificar regularidades, descobrir leis que regem seqüêcias obtidas a prática, formular hipóteses, testar as mesmas e cocluir Os Parâmetros Curriculares Nacioais reafirmam esta idéia ao citar que através dos coceitos geométricos, o aluo desevolve um tipo especial de pesameto que lhe permite compreeder, descrever e represetar, de forma orgaizada, o mudo em que vive 4 Cotetualização Histórico Metodológica Se aalisarmos a história, ecotraremos relatos que eplicam como as terras que margeavam os rios (Rio Nilo o Egito Atigo) eram divididas para serem cultivadas, desevolvedo dessa forma a agricultura essa área Este eemplo é uma aplicação da geometria para resolver um problema do cotidiao dos egípcios Havia o Egito a ecessidade de demarcação dos lados de terreos, a idéia da área para que houvesse o pagameto de tributos ao faraó e para divisão etre

23 4 herdeiros; a idéia de volume a irrigação; a costrução de templos, etc Dessa forma, a geometria esta época era tida como ecessidade, aplicada aos problemas diários dessas pessoas O cohecimeto matemático surgiu a partir da obrigação de resolver tal problema Segudo Boyer, o Papiro de Ahmes eistem problemas que utilizam o cálculo da medida de área, com o uso de composição e decomposição de figuras Euclides, geômetra grego, traz em sua obra Os Elemetos a ideia que se duas figuras plaas se coicidem por superposição estas serão iguais (equivaletes) Foram os gregos que trasformaram a geometria empírica dos egípcios e babilôicos a geometria demostrativa Algus professores, ao esiar perímetro defie-o apeas como "soma da medida dos lados" Com esta defiição, o que poderíamos dizer sobre o perímetro de uma circuferêcia ou de uma curva qualquer? Retificado podemos afirmar que perímetro é a medida do cotoro de uma determiada figura Devemos utilizar diferetes estratégias e aplicá-las em circustâcias variadas para fazer com que os aluos compreedam de fato essa defiição O mesmo ocorre com o coceito de área, que, muitas vezes, se restrige ao cálculo da área de um retâgulo, em que mais uma vez é dito que se deve "multiplicar a medida dos lados"; depois o esio da área se estede para outros polígoos, mas a prioridade é o uso de fórmulas Com essas defiições, como calcular a área de um polígoo regular cohecedo apeas o seu lado? Muitos livros didáticos do esio fudametal aida trazem um úmero reduzido de atividades relacioadas ao estudo do coceito de área de figuras plaas, somete itroduzido fórmulas para o cálculo de área, ão favorecedo aos professores e aluos para apropriação dos coceitos e das habilidades geométricas para o apredizado desses coteúdos Portato, abordaremos de forma prática estes coceitos e desevolveremos a fórmula para cálculo da área de qualquer polígoo regular Posteriormete iremos geeralizar esta fórmula para cálculo de máimos e míimos de uma fução O que será descrito o próimo tópico 4 Coceito de Perímetro e Área Se aalisarmos o deseho a págia seguite, o triâgulo ABC é a reuião

24 5 dos segmetos de reta AB, BC e AC A medida da distâcia que circuda esse e outros objetos bidimesioais é o perímetro Portato, um polígoo tem perímetro igual a soma do comprimeto de suas arestas Já a reuião de todos os potos localizados o triâgulo e também detro do triâgulo é chamada uma região triagular ou seja: área do triâgulo A região triagular ABC é limitada pelo triâgulo ABC Os potos dos lados do triâgulo ABC bem como os potos do iterior do triâgulo ABC são potos da região triagular Triâgulo ABC Região triagular ABC Duas ou mais regiões triagulares ão são sobrepostas, se a iterseção é vazia, é um poto ou é um segmeto de reta Cada uma das regiões plaas abaio é a reuião de três regiões triagulares ão sobrepostas Uma região poligoal é a reuião de um úmero fiito de regiões triagulares ão-sobrepostas e coplaares (estão o mesmo plao) Uma região poligoal pode ser decomposta em várias regiões triagulares e isto pode ser feito de várias maeiras

25 6 O estudo de área de regiões poligoais depede de algus coceitos primitivos: A cada região poligoal correspode um úico úmero real positivo chamado área Se dois triâgulos são cogruetes etão as regiões limitadas por eles possuem a mesma área 3 Se uma região poligoal é a reuião de regiões poligoais ãosobrepostas etão sua área é a soma das áreas das -regiões Eemplo: A área da figura poligoal ABCDEFX pode ser obtida pela decomposição da região poligoal em regiões triagulares Após isto, realizamos as somas dessas áreas triagulares Área(ABCDEFX)= área triâgulo(xab)+área triâgulo(xbc)++área triâgulo(xef) 43 Área de Polígoos Regulares Um polígoo regular é aquele que possui todos os lados cogruetes e todos os âgulos cogruetes Traçado segmetos de reta ligado o cetro do polígoo regular a cada um dos vértices desse polígoo de -lados, iremos decompor este polígoo em triâgulos cogruetes l

26 7 Seja o úmero de lados do polígoo e l a medida do lado desse polígoo Se o polígoo de lados é formado por triâgulos de base l, logo o âgulo oposto a base desse triâgulo terá a medida de Como descrito o deseho abaio: 360 Assim, a fórmula geral da área do polígoo de lados é dado pela área de um dos triâgulos multiplicada por Cálculo da área de um triâgulo: h Primeiro vamos determiar a altura desse triâgulo h h Cohecedo a altura do triâgulo e sabedo que sua área é dada por: base altura

27 8 Temos: A por: Logo, a fórmula para o cálculo da área da região poligoal regular será dada A 4 44 Área de Circuferêcias Para compreedermos a fórmula utilizada o cálculo da área de um círculo temos que imagiar uma circuferêcia: E detro dela circuscrito um polígoo regular: Os seguimetos de reta que partem do cetro da circuferêcia e que vão até o vértice do polígoo regular são os raios do círculo Assim, formado triâgulos o polígoo regular, com base o cálculo da área de um heágoo regular Com base o cálculo desevolvido ateriormete, a área de um polígoo regular de lados seria:

28 9 l A 4 Ou seja: A h Sedo l o valor do perímetro do polígoo regular Logo h A perímetro do políogoo regular Agora imagie se aumetarmos o úmero de lados do polígoo regular, a tedêcia é do seu perímetro ficar cada vez mais parecido com o comprimeto da circuferêcia, e a altura de cada triâgulo formado o polígoo regular ficar igual ao raio do círculo Assim, podemos cocluir que a fórmula do cálculo da área de um círculo poderá ser idicada da mesma forma que a área de um polígoo regular de lados, veja a relação abaio: A comprimet o da circuferê cia raio r A r A = π r

29 0 CAPÍTULO V FUNÇÕES Outro coceito da Matemática muito importate é o de Fução e o seu processo de esio e apredizagem também possui grade relevâcia, pois tem sido motivo de muitas pesquisas o âmbito da Educação Matemática Buscado eriquecer o trabalho deste coteúdo e destacado as potecialidades didáticopedagógicas através de um modelo matemático, o estudo apreseta de forma diâmica, cotetualizada do esio do coceito de Fução 5 Coceito de Fução Uma Fução é uma maeira de associar a cada valor do argumeto um úico valor da fução f() Isto pode ser feito especificado através de uma fórmula um relacioameto gráfico etre diagramas represetado os dois cojutos, e/ou uma regra de associação, mesmo uma tabela de correspodêcia pode ser costruída; etre cojutos uméricos É comum represetarmos Fuções por seus gráficos, cada par de elemetos relacioados pela Fução determia um poto esta represetação, a restrição de uicidade da imagem implica em um úico poto da Fução em cada liha de chamada do valor idepedete 5 Cotetualização Histórica O coceito de fução foi se desevolvedo ao logo da história, isto é,

30 precisou-se de vários séculos para que desde as primeiras oções ituitivas chegássemos ao compleo estudo das fuções, presete em ossos dias Como diz Eves (004): O coceito de fução passou por evoluções acetuadas O estudate de matemática perceberá bem esse fato ao atetar para os vários refiametos desse processo evolutivo que acompaham seus progressos escolares Possivelmete, os babilôios tiham uma ideia, ão pouco vaga, de fução; sabe-se de tábuas de quadrados, de cubos e de raízes quadradas utilizadas por eles a Atiguidade, pricipalmete o campo astroômico Os Pitágoricos, por vez, estabeleceram relações etre gradezas físicas, como etre as alturas de sos e comprimetos das cordas vibrates Nesta época o coceito de fução ão estava claramete defiido: as relações etre as variáveis surgiam de forma implícita e eram descritas verbalmete A utilização de eios cartesiaos para a represetação de uma fução, todavia, só veio aparecer o século XVII, com o filósofo e matemático fracês Reé Descartes Assim se torou possível trasformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar aaliticamete fuções A Matemática recebe assim um grade impulso, omeadamete a sua aplicabilidade a outras ciêcias - os cietistas passam, a partir de observações ou eperiêcias realizadas, a procurar determiar a formula ou fução que relacioa as variáveis em estudo A partir daqui todo o estudo se desevolve em toro das propriedades de tais fuções Por outro lado, a itrodução de coordeadas, além de facilitar o estudo de curvas já cohecidas permitiu a "criação" de ovas curvas, images geométricas de fuções defiidas por relações etre variáveis Neste mesmo século, outras importates cotribuições foram dadas para o desevolvimeto do coceito de fução, com destaques para Kepler, com a descoberta das leis sobre as trajetórias plaetárias, e Galileu, com o estudo da queda dos corpos e a relação etre espaço e tempo E a Pierre Fermat que, equato se dedicava ao estudo de algumas destas fuções, deu cota das limitações do coceito clássico de reta tagete a uma curva como sedo aquela que ecotrava a curva um úico poto Torou-se assim importate reformular tal coceito e ecotrar um processo de traçar uma tagete a um gráfico um dado poto - esta dificuldade ficou cohecida a Historia da Matemática como o Problema da Tagete" Fermat resolveu esta dificuldade de uma maeira muito simples: para determiar uma tagete a uma curva um poto P cosiderou outro

31 poto Q sobre a curva; cosiderou a reta PQ secate a curva Seguidamete fez deslizar Q ao logo da curva em direção a P, obtedo deste modo a reta PQ que se aproimavam duma reta t a que Fermat chamou de reta tagete a curva o poto P Fermat otou que para certas fuções, os potos ode a curva assumia valores etremos, a tagete ao gráfico devia ser uma reta horizotal, já que ao comparar o valor assumido pela fução um desses potos P(, f()) com o valor assumido o outro poto Q(+, f(+ )) próimo de P, a difereça etre f(+ ) e f() era muito pequea, quase ula, quado comparada com o valor de, difereça das abscissas de Q e P Assim, o problema de determiar etremos e de determiar tagetes a curvas passam a estar itimamete relacioados Estas ideias costituiram o embrião do coceito de DERIVADA e levou Laplace a cosiderar Fermat "o verdadeiro ivetor do Calculo Diferecial" Cotudo, Fermat ão dispuha de otação apropriada e o coceito de limite ão estava aida claramete defiido No século XVIII, o filósofo e matemático alemão Leibiz criou vários termos e símbolos para o uso da Matemática Foi ele quem primeiro utilizou o termo Fução o desevolvimeto da Aálise Matemática para descrever quatidades relacioadas a uma curva; tais como a icliação da curva ou um poto específico da dita curva Um pouco mais tarde, a defiição de Fução surge com o matemático suíço Leoard Euler para descrever uma epressão evolvedo vários argumetos, o qual utilizou pela primeira vez a otação f() e escreveu: Se é uma quatidade variável, etão toda a quatidade que depede de de qualquer maeira, ou seja, determiada por aquela, chama-se Fução da dita variável Ampliado a defiição de Fuções, os matemáticos foram capazes de estudar estrahos objetos matemáticos tais como Fuções que ão são difereciáveis em qualquer de seus potos Tais Fuções, iicialmete tidas como puramete imagiárias e chamadas geericamete de mostros, foram já o fial do século XX, idetificadas como importates para a costrução de modelos físicos de feômeos tais como o movimeto Browiao 53 O Atual Esio da Fução Quadrática Poucos assutos a Matemática têm tata aplicação como as Fuções,

32 3 detre as quais, primordialmete, e já os referido as aplicações corriqueiras, podemos destacar as Fuções Afim e Quadrática Não de hoje, mas faz muito tempo que o esio da Fução Quadrática ocorre, em geral, da seguite maeira: primeiro, mesmo ates de se eplorar qualquer situação-problema, defie-se Fução Quadrática; depois, dá-se algus eemplos soltos aos aluos; posteriormete começa-se a falar em gráficos, potos otáveis da parábola e raízes; ecerra-se o assuto com iequações Algumas de suas características iteressates, por eemplo, a variação de seu sial, geralmete é dado de forma técica, através da eibição de uma espécie de tabela que gira em toro dos possíveis valores de delta e do coeficiete a Dessa forma, prioriza-se a eibição formalizada de todo o coteúdo, em detrimeto mesmo do sigificado abarcado pelo estudo das fuções O etedimeto por parte dos aluos é muitas vezes cofuso, sedo a iterpretação algo pouco trabalhado as salas de aula Um iício de solução para tais problemas seria, sem dúvida, uma eploração mais aprofudada do coteúdo por parte dos aluos, ou melhor, em outros termos; os aluos precisam eplorar e buscar os seus próprios sigificados Cosequetemete, para um melhor etedimeto o estudo da fução quadrática, será apresetado uma situação eploratória, que eige iterpretação gráfica Neste caso, o uso da tecologia possibilitará a apresetação por um meio etremamete diâmico facilitado assim a apredizagem 54 Máimos e Míimos de fuções Quado o tema fuções é desevolvido o Esio Médio geralmete ele é feito com êfase predomiatemete algébrica e quado se pretede apresetar aos aluos, eemplos de aplicação, pricipalmete, ao se estudar a fução do º grau, geralmete são propostos problemas que evolvem coceitos relacioados aos valores máimos ou míimos de uma fução No etato, quado da apresetação desses problemas, muitas vezes as fuções são dadas a priori, devedo o aluo, apeas aplicar as fórmulas estudadas, para realizar as

33 atividades de modo satisfatório Porém, se for apresetada, por eemplo, uma situação do tipo: De todos os retâgulos de perímetro igual a 0 cm, qual possui a maior área?, provavelmete os aluos ecotrarão dificuldades para resolvê-la Etre as dificuldades ecotradas, podemos citar: a represetação geométrica adequada, para a aálise do problema e a cosequete determiação da fução que modelará o problema No etato, embora a costrução da figura possa facilitar a visualização da situação, ão se pode egar que essa costrução se apreseta de maeira estática e, se o aluo quiser aalisar mais de uma possibilidade, deverá fazer vários desehos ou etão imagiálos Em relação a determiação da fução, espera-se que os aluos eerguem as variáveis depedetes e idepedetes evolvidas o problema e pricipalmete a relação eistete etre elas [] Como pode ele eergar as variáveis, se até agora estas eram apeas letras ( e y, de modo geral) que represetavam úmeros que se relacioavam segudo uma lei de correspodêcia eplicitada a priori? Idetificar o que varia, e em fução de que varia é, sem dúvida, o primeiro passo para a resolução da questão (REZENDE, 003, p8) Detro deste espírito é possível, já em Cálculo, tratar da modelagem de problemas, ao ivés de chamá-los simplesmete de problemas de otimização ou, pior aida, problemas de máimos e míimos Teta-se, o eercício desta modelagem, idetificar sempre o objetivo, determiar a fução objetivo, apresetar as restrições e iserí-las o problema Mostra-se claramete, que um modelo é uma represetação da realidade, em algus casos, admitido que se comete erros, ão colocado o precoceito de que as equações são dogmas aos quais a realidade deve se submeter O referido problema da área do retâgulo pode ser assim formulado: "Um criador de galihas deseja fazer um cercado a forma de um retâgulo para seus aimais, de maeira que eles teham a maior possibilidade de movimetação Ele deseja utilizar toda uma cerca que dispõe, medido m metros, e precisa defiir quais as dimesões deste cercado" Pode-se defiir o objetivo (costruir o galiheiro, a forma retagular, com a maior área possível); a fução objetivo (sedo l e h as dimesões - largura e comprimeto do cercado - maimizar S = hl); e as restrições (p sedo o perímetro, 4

34 5 p= (l + h) = m; l, h0) Este problema simples é aproveitável para apresetar coceitos que serão etremamete relevates posteriormete: basta formular o problema em que a movimetação é dada e quer-se utilizar a meor quatidade de cerca A solução deste problema coduz ao mesmo quadrado obtido ateriormete Ou seja, dois problemas aparetemete diferetes, um de maimizar, outro de miimizar mostram ter semelhaças estruturais e coduzem ao mesmo resultado Sempre que utilizamos palavras como o maior, o meor, o máimo, o míimo, o melhor e assim por diate, é razoável cojecturar que alguma espécie de problema de máimo ou míimo está por perto Quado esse problema puder ser epresso em termos de variáveis e fuções o que em sempre é possível -, os métodos do Cálculo estarão dispoíveis para os ajudar a compreedê-lo e resolvêlo Portato, o objetivo deste trabalho é dar codições para usarmos a derivada como ferrameta com fim de descobrir rapidamete os aspectos mais importates de uma fução e esboçar seu gráfico 55 Defiição de Máimos e Míimos Absoluto de uma Fução Seja f uma fução defiida o itervalo fechado a,b Um poto c pertecete ao itervalo a,bé chamado poto de máimo absoluto de f ou simplesmete de poto de máimo, se f () f (c) para todo em a,b O valor f (c) é chamado de valor máimo absoluto de f este itervalo ou simplesmete de valor máimo de f Um poto d de a,bé chamado poto de míimo absoluto de f ou simplesmete poto de míimo de f, se f () f (c) para todo em a,b O valor f (d) é chamado de valor míimo absoluto de f este itervalo ou simplesmete valor míimo de f Assim, se f (c) é o máimo e f (d) é o míimo de f em a,b, teremos f (d) f () f (c) para todo em a,b Os valores máimo e míimo de f são chamados de valores etremos de f Para obter potos de máimo ou de míimo de uma fução, basta costruir o

35 6 gráfico da fução e idetificar tais potos O problema é a dificuldade em costruir os gráficos de muitas fuções, razão pela qual, utilizamos as derivadas das fuções para facilitar a ossa vida Eiste um critério que faz uso da primeira derivada para idetificar se um poto localizado o iterior do domíio da fução é poto de etremo (máimo ou míimo) local para f Este critério se baseia as seguites idéias: Se a fução é crescete as retas tagetes em cada poto de seu gráfico possuem coeficietes agulares positivos Se a fução é decrescete as retas tagetes em cada poto de seu gráfico possuem coeficietes agulares egativos 3 Se eiste algum poto de etremo local a reta tagete ao gráfico este poto tem coeficiete agular zero Critério da primeira derivada Seja f uma fução derivável sobre um cojuto S, possuido um poto crítico =c o iterior de S, isto é, f '(c)=0 Se a derivada de f é positiva à esquerda de =c e é egativa à direita de =c, etão =c é um poto de máimo para f Se a derivada de f é egativa à esquerda de =c e é positiva à direita de =c, etão =c é um poto de míimo para f A derivada de seguda ordem de uma fução, ou seguda derivada, represeta a derivada da derivada desta fução Matematicamete, d f d d df d d

36 7 A cocavidade de uma fução é obtida através da derivada seguda Se o sial obtido for positivo a cocavidade é voltada para cima; se for egativo a cocavidade é voltada para baio A primeira derivada de uma fução é o coeficiete agular da reta tagete ao gráfico em cada poto ode a deriva eiste, sedo assim, se a derivada seguda também eistir esses potos, temos que: () Se os coeficietes agulares das retas tagetes ao gráfico da fução y=f() crescem à medida que cresce, f"()>0 e a cocavidade da fução é voltada para cima () Se os coeficietes agulares das retas tagetes ao gráfico da fução y=f() decrescem à medida que cresce, f"()<0 e a cocavidade da fução é voltada para baio Critério da derivada seguda Se f é uma fução que possui as duas primeiras derivadas cotíuas sobre um cojuto S, teremos as situações abaio: Se f"()>0 em algum poto de S, etão o gráfico de f tem a cocavidade voltada para cima as vizihaças de Se f"()<0 em algum poto de S, etão o gráfico de f tem a cocavidade voltada para baio as vizihaças de No estudo de caso proposto o próimo capítulo, serão aplicados os critérios da primeira derivada e da seguda derivada pois o teorema assegura a eistêcia de ambos os valores de máimo e míimo absolutos de uma fução cotíua o itervalo fechado

37 8 CAPÍTULO VI DINÂMICA 6 Problemas de Aplicações de Máimos e Míimos Nesta seção, será resolvido um problema que cosiste o cálculo de máimos e míimos de fuções usado o recuso computacioal como ferrameta para modelar a situação Detre as aplicações mais otáveis do Cálculo estão aquelas em que se buscam os valores máimos ou míimos de fuções O dia-a-dia está cheio de tais problemas e é atural que os matemáticos e outras pessoas os cosiderem iteressates e importates Um homem de egócios procura maimizar lucros e miimizar custos Um egeheiro ao projetar um ovo automóvel deseja maimizar a eficiêcia Um piloto de liha aérea teta miimizar o tempo de vôo e o cosumo de combustível 6 Diâmica a ser Estudada Com o objetivo de miimizar essas dificuldades e apresetar sugestões aos professores, a proposta desse trabalho será descrever o seguite problema retirado do livro: Matemática Elemetar (Uma proposta pedagógica) do autor Atôio Zumpao Pereira Satos Um fio de arame com metro de comprimeto é dividido em duas partes Com uma delas se faz um círculo e com a outra um quadrado Ode se deve cortar o arame para que a soma das duas áreas seja míima? Ode se deve cortar o arame para que a soma das duas áreas seja máima?

38 9 Deotamos por o comprimeto de uma parte Portato, a outra parte será como ilustrado a figura m Com a parte será costruído um quadrado e com a outra parte, um círculo Assim, 4 será o lado do quadrado e o raio do círculo será 4 r Podemos observar esta situação que o úmero está etre 0 e, sedo que, se =, sigifica que todo o arame foi utilizado para fazer o quadrado, ou seja, ão eiste o círculo; o mesmo tem área zero E se = 0, sigifica que ão eiste o quadrado portato, todo o arame foi usado para fazer o círculo Para resolver a questão, vamos determiar como S a soma das áreas do quadrado e do círculo Etão qual deverá ser o tamaho de cada parte para se obter o maior valor possível para S? E qual tamaho deverá ter cada parte para se obter o meor valor possível para S? A soma das áreas será: 4 S Ou melhor, 4 S 4 4 S r

39 30 S 4 4 Agora, cohecedo a fução S() devemos procurar compreeder muito bem o comportameto dessa fução o itervalo 0 Seus valores em = 0 e = são, e, e o primeiro desses valores é o maior Isto está idicado a figura 4 6 juto com três formas possíveis do gráfico Essa represetação figural da situação-problema pode facilitar o processo de modelagem da fução a ser miimizada ou maimizada Determiada essa fução, o aluo pode utilizar os seus cohecimetos em Cálculo para resolver o problema Dado sequecia ao problema, iremos decidir qual forma do gráfico é correta eamiado as derivadas da fução S() ds d ds d 8