Equações diferenciais ordinárias generalizadas lineares e aplicações às equações diferenciais funcionais lineares.

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1 Equções diferenciis ordináris generlizds lineres e plicções às equções diferenciis funcionis lineres Rodolfo Collegri

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3 SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP Dt de Depósito:! Assintur: Equções diferenciis ordináris generlizds lineres e plicções às equções diferenciis funcionis lineres Rodolfo Collegri! Orientdor: Prof. Dr. Márci Cristin Anderson Brz Federson! Tese presentd o Instituto de Ciêncis Mtemátics e de Computção - ICMC-USP, como prte dos requisitos pr obtenção do título de Doutor em Ciêncis - Mtemátic. VERSÃO REVISADA USP São Crlos Abril de 2014!

4 Fich ctlográfic elbord pel Bibliotec Prof. Achille Bssi e Seção Técnic de Informátic, ICMC/USP, com os ddos fornecidos pelo() utor() C697e Collegri, Rodolfo Equções diferenciis ordináris generlizds lineres e plicções às equções diferenciis funcionis lineres / Rodolfo Collegri; orientdor Márci Cristin Anderson Brz Federson. -- São Crlos, p. Tese (Doutordo - Progrm de Pós-Grdução em Mtemátic) -- Instituto de Ciêncis Mtemátics e de Computção, Universidde de São Pulo, equções diferenciis ordináris generlizds. 2. equções diferenciis funcionis. 3. fórmul d vrição ds constntes. 4. integrl de Kurzweil. I. Federson, Márci Cristin Anderson Brz, orient. II. Título.

5 Eu credito demis n sorte. E tenho consttdo que, qunto mis duro eu trblho, mis sorte eu tenho. (Thoms Jefferson) Aos meus pis.

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7 Agrdecimentos Primeirmente, quero grdecer Deus por me dr súde pr viver e por me dr forçs pr percorrer est jornd. Agrdeço os meus pis, por todo o esforço e scrifício que fizerm pr me mnter em São Crlos nos meus primeiros nos longe de cs, pelo mor e crinho que sempre me derm e por sempre creditrem em mim. Muito obrigdo, mo vocês. Agrdeço o meu irmão, que se juntou mim em São Crlos pr seus estudos. Foi muito bom tê-lo por perto todo esse tempo, pssmos muitos momentoslegisqui.anossconvivênci sempre muito bo, obrigdo pelo seu compnheirismo. Agrdeço minh fmíli, que sempre esteve junto comigo, me poindo e dndo todo osuportepreurelizrmeusestudos. Muitoobrigdoporsempre me receberem com muito mor e crinho. Agrdeço minh nmord Lucin, um pesso mrvilhos que entrou n minh vid e só me trouxe feliciddes. Muito obrigdo por todo o seu mor, crinho, compreensão, pciênci, confinç e incentivo, você contribuiu muitonessetrblho,sempremepssndo todo seu otimismo e confinç, principlmente qundo s coiss não dvm certo. Seu incentivo sempre me fzi voltr ind mis disposto pr resolverosproblems. Te mo. Agrdeço todos os meus migos que fiz o longo desses nos, pelos momentos que pssmos juntos, sej estudndo ou nos divertindo. Em especil, grdeço os meus migos Mtheus e Henrique (Mineiro), por me ouvirem em diversos momentos e por me judrem em problems o longo deste trblho. Agrdeço todos os meus professores do ICMC, que contribuírmpr minhformção cdêmic e, tmbém, grdeço todos os funcionários do ICMC, que são os principis responsáveis por fzer desse instituto um excelente lugr pr se estudr. Agrdeço minh orientdor Márci Federson, por ter me orientdo todos esses nos, desde inicição científic n grdução. A su contribuição foimuitoimportntepro

8 6 meu crescimento cdêmico, muito obrigdo por sempre creditr em mim. Por fim, grdeço Fpesp pelo suporte finnceiro no decorrer deste trblho.

9 Abstrct In this work, we present vrition-of-constnts formul for liner generlized ordinry differentil equtions in Bnch spces. More specificlly, wereinterestedinestblishing reltionbetweenthesolutionsofthecuchyproblemforliner generlized ordinry differentil eqution dx dτ = D[A(t)x], nd the solutions of the perturbed Cuchy problem x() = x dx = D[A(t)x + F (x, t)], dτ x(t 0) = x, where the functions involved re generlized Perron integrblend, hence, dmit mny discontinuities nd oscilltions. We lso prove tht there exists one-to-one correspondence between the Cuchy problem for liner functionl differentil equtions of the form { ẏ = L (t)yt, y t0 = ϕ, where L is bounded liner opertor nd ϕ is regulted function, nd certin clss of liner generlized ordinry differentil equtions. As consequence, we re ble to obtin vrition-of-constntsformulreltingthesolutionsofthelinerfunctionldifferentil eqution nd the solutions of the perturbed problem { ẏ = L (t)yt + f (y t, t), y t0 = ϕ, where the ppliction t f (y t, t) isperronintegrble,witht in n intervl of R, forech regulted function y.

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11 Resumo Neste trblho, presentmos um fórmul d vrição ds constntes pr EDOs generlizds lineres em espços de Bnch. Mis especificmente, estmos interessdos em estbelecer um relção entre s soluções do problem de Cuchy pr um EDO generlizd liner dx dτ = D[A(t)x], essoluçõesdoproblemdecuchyperturbdo dx = D[A(t)x + F (x, t)], dτ x(t x() = x 0) = x, em que s funções envolvids são Perron integráveis e, portnto,dmitem muits descontinuiddes e oscilções. Tmbém provmos existênci de um correspondênci biunívoc entre o problem de Cuchy pr um EDF liner d form { ẏ = L (t)yt, y t0 = ϕ, em que L éumoperdorlinerelimitdoeϕ éumfunçãoregrd,eumcertclssede EDOs generlizds lineres. Como consequênci, obtemos um fórmul d vrição ds constntes relcionndo s soluções d EDF liner e s soluções do problem perturbdo { ẏ = L (t)yt + f (y t, t), y t0 = ϕ, em que plicção t f (y t, t) éperronintegrável,comt em um intervlo de R, prcd função regrd y.

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13 Sumário Introdução 13 1 AintegrldeKurzweil Funções regrds e funções de vrição limitd A integrl de Kurzweil em espço de Bnch A integrl de Kurzweil-Cuchy em espço de Bnch Teorem de Representção de Riesz EDOsgenerlizds EDOs generlizds EDOs generlizds lineres Operdor fundmentl Fórmul d vrição ds constntes EDFsnocontextodeEDOsgenerlizds 65 4 Aplicções Fórmul d vrição ds constntes pr EDFs Fórmul d vrição ds constntes pr EDFs com impulso Fórmul d vrição ds constntes pr EDFNs em medid

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15 Introdução Sbemos que clsse de funções integráveis segundo Riemnn émuitorestritenão possui bos proprieddes de convergênci. No finl do século XIX, form feits váris tenttivs no sentido de remedir lguns defeitos dess integrle, dentre els, merece destque trblhodehenry Lebesguede Su teorimplioumuito clsse ds funções integráveis e, lém disso, deu condições mis stisftóris de convergênci. No entnto, integrl de Lebesgue não contém sus integris imprópris. Outro inconveniente dess teori diz respeito às condições necessáris pr que derivd de um função sej integrável. Em respost todos esses problems, procurou-se crir um conceito de integrlque generlizsse integrl de Lebesgue. Ess met foi lcnçd por Arnold Denjoy em 1912 e, dois nos mis trde, por Oscr Perron (vej [7] e [32]). Apesr d definição ds integris de Denjoy e Perron serem bstnte diferentes, provou-se que mbs são equivlentes. Ns décds de 50 e 60 do século pssdo, o mtemático tcheco Jroslv Kurzweil e o mtemático inglês Rlph Henstock conseguirm, de modo independente, presentr um definição pr s integris de Denjoy e de Perron bsed em soms de Riemnn. Além de ser equivlente os conceitos de integrl segundo Denjoy e Perron, definição de integrl de Kurzweil-Henstock é notvelmente mis simples. Vej [18]. Hoje, são conhecids outrs possibiliddes de extensão d integrl de Lebesgue que estão contids proprimente no espço de funções Kurzweil-Henstock integráveis. Vej [5] e[28]. Afimdegenerlizrcertosresultdossobredependêncicontínu de soluções de EDOs

16 14 com respeito os ddos iniciis, J. Kurzweil introduziu, em 1957, noção de equções diferenciis ordináris generlizds pr funções vlores emespçoseuclidenosedebnch. Est generlizção d noção de EDO inclui noção de integrl de Perron generlizd ou integrlde Kurzweil como é chmd hojeem di. Nós nos referimos ests novs equções como EDOs generlizds. Vej s referêncis [3], [23] [27] e, tmbém,[33]. AcorrespondêncientreEDOsgenerlizdseEDOsclássics é bem simples. Sbe-se que o sistem ordinário ẋ = f (x, t), (0.1) onde ẋ = dx/dt, Ω R n ébertoef : Ω R R,éequivlenteàequçãointegrl x(t) = x( ) + f (x(τ),τ)dτ, t, (0.2) qundo integrl existe em lgum sentido. Sbe-se, tmbém, que se integrl em (0.2) for no sentido de Riemnn, Lebesgue (com definição equivlente de McShne) ou Kurzweil- Henstock, por exemplo, então el pode ser proximd por um som d form m f (x(τ i ),τ i )[s i s i 1 ] i=1 onde = s 0 s 1... s m = t éumprtiçãofindointervlo[, t] e,prcdi = 1,2,...,m, τ i está suficientemente perto do intervlo [s i 1, s i ]. Alterntivmente, se definirmos F (x, t) = f (x, s)ds, (x, t) Ω R, então integrl em (0.2) poderá ser proximd por m i=1 si s i 1 f (x(τ i ),σ)dσ = m [F (x(τ i ), s i ) F (x(τ i ), s i 1 )]. (0.3) i=1 Neste cso, o ldo direito de (0.3) proxim-se d integrl não-bsolut de Kurzweil qul,

17 Introdução 15 qundo considerd em (0.2), dá origem um equção diferencil do tipo (0.1), porém numsentidomismplo. Tlequção diferencilé conhecidcomo equção diferencil ordinári generlizd. Escreveremos EDOs generlizds por simplicidde.vej[33].assim como pr EDOs clássics (vej [3]), um ds construções básics n plicção d teori de dinâmic topológic EDOs não-utônoms do tipo ẋ = f (x, t) éddconsiderndo-seospontoslimites(qundo s )dstrnslddsf s,onde f s (x, t) = f (x, t + s). Entretnto, um fenômeno interessnte pode ocorrer, se f ou su integrl indefinid stisfizerem condições do tipo Crthéodory e Lipschitz mis geris doquesusuis:sequções limites podem não ser EDOs. Um exemplo pr este fto é presentdo em [3]. Nests condições, identificndo-se est clsse de EDOs com um clsse de EDOsgenerlizdsproprid, é possível construir um fluxo locl pr um problem de vlorinicilprestclsse de EDOs generlizds e diverss plicções podem ser obtids e trduzids pr o contexto de EDOs clássics. Vej [1] e [16]. Em [16], foi provdo que EDFRs podem ser identificds com EDOs generlizdselgu- ms plicções provenientes dest relção form investigds. Em [14], com colborção do professor Štefn Schwbik, foi provdo que EDFRs sujeitsefeitosimpulsivostmbém podem ser relcionds com cert clsse de EDOs generlizds numcorrespondênci biunívoc. A prtir destes trblhos, ficou evidente importânci de desenvolvermos teori de EDOs generlizds pr utilizr os resultdos obtidos em investigçõesnsteorisde EDOs, EDFRs, Equções Diferenciis em Medid e, mis recentemente, Equções Dinâmics em Escls Temporis (vej s referêncis [4], [9], [10] e[11]) eequçõesdiferenciisdo tipo neutro (vej [8]).

18 16 AteoridsEquçõesDiferenciisFuncionisRetrdds(EDFRs) é um rmo ds Equções Diferenciis Funcionis (EDFs). Um ds rzões do nosso interesseemedfrséporels se constituírem em exemplos de sistems dinâmicos de dimensão infinit, presentndo dinâmic complex. Do ponto de vist ds plicções, o interesse em EDFRs está em que, pr muitos fenômenos nturis, notdmente físicos e biológicos, plicção do princípio de cuslidde envolve um lpso de tempo entre cus e efeito. Dest form, os modelos determinísticos mis relists são frequentemente descritos por equções que envolvem retrdos. Como mencionmos cim, um ds ferrments principis n investigção e resolução de problems d teori de EDFs será utilizção ds EDOsgenerlizds. AcorrespondêncientreEDOsgenerlizdseEDFRsimpulsivs foi estbelecid no rtigo [14] pr o cso de impulsos pré-fixdos e no rtigo [2] pr o cso de impulsos em tempo vriável. Neste trblho, considermos o seguinte problem de vlor inicil pr um equção diferencil funcionl liner ẏ = L (t)y t, y t0 = φ, etmbémocorrespondenteproblemperturbdo ẏ = L (t)y t + f (y t, t), y t0 = φ, (0.4) em que φ G([ r,0],r n )el(t): G([ r,0],r n ) R n élinerelimitdprtodot [, + σ], isto é, L (t) L(G([ r,0],r n ),R n )prtodot [, +σ]ef : G([ r,0],r n ) [, +σ] R n esfunçõesenvolvidssãointegráveisnosentidodekurzweil. Nosso objetivo nesse trblho é encontrr um fórmul d vrição ds constntes pr EDFperturbd(0.4). IstoseráfeitousndoteoridsEDOs generlizds pr qul, tmbém provmos um fórmul d vrição ds constntes mis gerl que s encontrds n litertur.

19 Introdução 17 Este trblho está dividido em 4 cpítulos. Iniciremos vendo definição e proprieddes básics d integrl de Kurzweil. Como mencionmos cim, essintegrlémuitoimportnte pr o desenvolvimento desse trblho, pois é trvés del que iremos definir s equções diferenciis ordináris generlizds no Cpítulo 2. Aind no primeiro cpítulo, introduzimosumnov integrlque chmremosde integrlde Kurzweil-Cuchy. Veremos que proprieddes equivlentes às proprieddes básics d integrl de Kurzweil vlem pr ess nov integrl. No finl do cpítulo, usndo integrl de Kurzweil-Cuchy, presentremos um nov versão pr o Teorem de Representção de Riesz pr funções regrds. No Cpítulo 2, presentremos s equções diferencis ordináris generlizds e um pouco d teori básic dess clsse de equções. Além d teoribásic gerl de EDOs generlizds, estudremos o cso prticulr ds EDOs generlizds lineres, presentremos ooperdorfundmentlssocidoumedogenerlizdliner e veremos lgums de sus proprieddes. N sequênci, presentremos lguns resultdos uxilires, tis como um versão d fórmul de Dirichilet pr integrl de Kurzweil, encerrndo o cpítulocom um fórmul d vrição ds constntes pr um EDO generlizd liner perturbd. Esses últimos resultdos são novos e podem ser encontrdos em [6]. OterceirocpítulorelcionsEDFslinerescomEDOsgenerlizds lineres. Ess correspondênci é fundmentl pr o obtenção d fórmul d vrição ds constntes pr EDFs lineres perturbds. Iniciremos vendo construção dos operdores envolvidos n EDO generlizd liner ssocid à EDF liner e, no fim do cpítulo,presentmostl correspondênci. Oúltimocpítulotrtdfórmuldvriçãodsconstntesprequçõescomretrdmento. Nele, plicremos fórmul d vrição ds constntes pr EDOs generlizds obtid no Cpítulo 2 em outros tipos de equção, tis como EDFs, EDFs com impulso e EDFNs em medid. Esses resultdos reforçm importânci ds EDOsgenerlizds, que têm sido um grnde ferrment pr generlizção de diversos resultdos em equções diferencis, tis como existênci e unicidde de soluções, dependênci contínu ds soluções

20 18 com relção os ddos iniciis, estbilidde de soluções, entre outros.

21 AintegrldeKurzweil Cpítulo 1 Oprimeirocpítulodestetrblhoestádivididoemqutroprtes. Começremos definindo s clsses ds funções regrds e tmbém ds funções de vrição limitds de intervlo compcto [,b] R em um espço de Bnch X. Esss dus clsses de funções são muito importntes no contexto d integrl de Kurzweil queserádefinidnsequênci, juntmente com lgums proprieddes básics de integrção. N seção seguinte, vmos introduzir um nov integrl que chmremos de integrl de Kurzweil-Cuchy. Tmbém pr est integrl, veremos lgums proprieddes básics. Por fim, trvés d integrl de Kurzweil-Cuchy, presentremos um versão do Teorem de Representção de Riesz pr funções regrds. 1.1 Funções regrds e funções de vrição limitd Nest primeir seção, vmos definir dus clsses de funções que serão muito importntes o longo do trblho, principlmente por estrem relcions com integrl de Kurzweil que veremos n sequênci. Sejm X um espço de Bnch com norm e, b números reis tis que < < b <.

22 20 A integrl de Kurzweil Um função f :[,b] X será dit regrd,seoslimiteslteris lim f (s), t (,b], e lim f (s), s t s t + t [,b) existirem. Neste cso, denotmos f (t ) = lim s t f (s)ef (t + ) = lim s t + f (s). Oespçodsfunçõesregrdsf :[,b] X será um espço de Bnch, se considerrmos norm do supremo f = sup t [,b] f (t) e vmos denotr esse espço por G([,b], X ). O espço ds funções contínus f :[,b] X será denotdo por C([,b], X ) eéclroquec([,b], X ) G([,b], X )qundoconsidermosnorminduzid.denotremos por G ([,b], X )osubespçodsfunçõesregrdsf :[,b] X que são contínus à esquerd e, nlogmente, G + ([,b], X )osubespçodsfunçõesregrdsf :[,b] X que são contínus à direit. Todo conjunto finito D = {, t 1,...,t D } [,b] tlque, = < t 1 <... < t D = b, será dito um divisão de [,b], onde D denot o número de subintervlos d form [t i 1, t i ]de [,b]. O conjunto ds divisões de [,b]serádenotdopord[,b]. Um função f :[, b] X será dit um função escd, se existir um divisão D = {, t 1,...,t D } de [,b] tl que f é constnte em todo intervlo berto (t i 1, t i ), i = 1,..., D. O primeiro resultdo desse cpítulo nos dá um importnte crterizção do espço ds funções regrds e será muito útil pr demostrção de vários resultdos o longo do trblho. A prov desseresultdoé bsednoteorem3.1 de [21]. Vej tmbém [17]. Teorem 1.1. Sej f um função de [,b] em X. Então s seguintes proprieddes são equivlentes: (i) f :[,b] Xélimiteuniformedefunçõesescds, (ii) f :[,b] Xéregrd,

23 1.1 Funções regrds e funções de vrição limitd 21 (iii) Ddo ɛ > 0,existeumdivisãoD= {, t 1,...,t D } de [,b] tl que sup{ f (t) f (s), t, s (t i 1, t i ), i = 1,..., D } < ɛ. Demonstrção. (i) (ii) Sej t [,b). Mostremos que lim s t + f (s) existe. Ooutrocsoé nálogo. Sejm {t n }umsequênciem[,b] tlquet n t, istoé,t n t pr todo n N e t n converge pr t, e{f n }umsequêncidefunçõesescdsde[,b] emx tl que f n f uniformemente. Então, ddo ɛ > 0, existe k N tl que f (t) f k (t) < ɛ/4, pr todo t [,b]. Além disso, como f k éumfunçãoescd,existen 0 N tl que f k (t n ) f k (t + ) < ɛ/4, pr todo n N 0.Portnto,sen,m N 0 f (t n ) f (t m ) f (t n ) f k (t n ) + f k (t n ) f k (t + ) + f k (t + ) f k (t m ) + f k (t m ) f (t m ) < ɛ. Como X é um espço de Bnch, lim s t + f (s)existe. (ii) (iii) Sej ɛ > 0ddo.Comof :[,b] X éumfunçãoregrd,prtodot (,b), existe δ t > 0tlque sup f (w) f (s) < ɛ e sup f (w) f (s) < ɛ. w,s (t δ t,t) w,s (t,t+δ t ) Anlogmente, existem δ,δ b > 0tisque sup f (w) f (s) < ɛ e sup f (w) f (s) < ɛ. w,s (,+δ ) w,s (b δ b,b) Oconjuntodeintervlos{[, + δ ),(t δ t, t + δ t ),(b δ b,b]; t (,b)} form um cobertur do intervlo [,b] e,portnto,existeumdivisãod = {, t 1,...,t D }de[,b] tlque

24 22 A integrl de Kurzweil {[, + δ ),(t 1 δ t1, t 1 + δ t1 ),...,(b δ b,b]} é um cobertur finit de [,b]e sup{ f (t) f (s), t, s (t i 1, t i ), i = 1,..., D } < ɛ. (iii) (i) Ddo n N, sejm D n = {, t 1,...,t Dn }umdivisãode[,b]tlque sup{ f (t) f (s), t, s (t i 1, t i ), i = 1,..., D n } < 1 n e τ i (t i 1, t i ), i = 1,..., D n. Defin D n D n f n (t) = f (τ i )χ (ti 1,t i )(t) + f (t i )χ ti (t). i=1 i=0 É clro que {f n } é um sequênci de funções escds que converge uniformemente pr f. Ocorolárioseguiréumconsequênciimeditdoteoremque cbmos de provr. Corolário 1.2. Sej f :[,b] Xumfunçãoregrd.Então,prtodoɛ > 0,osconjuntos {t [,b), f (t + ) f (t) ɛ} e {t (,b], f (t) f (t ) ɛ} são finitos. Além disso, o conjunto dos pontos de descontinuidde d função f é enumerável. Outr clsse de funções importnte pr o trblho é ds funções de vrição limitd, que definiremos seguir. Sejm f :[,b] X e D = {, t 1,...,t D }umdivisãode[,b]. Considere D S(f,D) = f (t i ) f (t i 1 ) i=1 e vr [,b] f = vr b f = sup D D[,b] S(f,D),

25 1.2 A integrl de Kurzweil em espço de Bnch 23 em que vr b f éditvrição de f em [,b]. Um função f :[,b] X será dit de vrição limitd em [,b], se vr b f <. Oconjunto ds funções de vrição limitd de [,b] emx denotremos por BV ([,b], X ). Este conjunto será um espço de Bnch qundo munido d norm f BV = f () X + vr b f. ÉfácilverqueBV ([,b], X ) G([,b], X ). [21]. Um estudo completo sobre funções regrds pode ser encontrdo em [17]. Vej tmbém 1.2 A integrl de Kurzweil em espço de Bnch Nest seção, presentremos definição d integrl de Kurzweil e tmbém lgums de sus proprieddes. Est integrl será usd pr definir equções diferenciis ordináris generlizds que serão introduzids no próximo cpítulo. Aprinciplreferênciprest seção é o Cpítulo 1 de [33]. Vej tmbém [23] e [24]. Iniciremos presentndo os conceitos de divisão mrcd e clibre. Um divisão mrcd do intervlo [,b]seráumcoleçãofinitdepontos = τ 1 t 1 τ 2 t 2... t D 1 τ D t D = b em que D = {, t 1,...,t D }éumdivisãode[,b] eτ i [t i 1, t i ]seráditomrc de [t i 1, t i ], i = 1,..., D. Denotremos por D = (τ i, t i )outmbémd = (τ i,[t i 1, t i ]) um tl divisão mrcd. Um clibre do intervlo [,b] seráumfunçãoδ: [,b] (0, ). Ddo um clibre δ de [,b], diremos que um divisão mrcd D = (τ i, t i )éδ-fin, se [t i 1, t i ] (τ i δ(τ i ),τ i + δ(τ i )), i = 1,..., D. Atrvés desses conceitos, podemos definir integrl de Kurzweil.

26 24 A integrl de Kurzweil Definição 1.3. Um função U :[,b] [,b] XseráditKurzweilintegrávelem[,b], se existir I Xtlqueddoɛ > 0,existeumclibreδ de [,b] tl que pr tod divisão mrcd δ-fin D = (τ i, t i ) de [,b] S(U,D) I < ɛ, em que S(U,D) = D i=1 [U(τ i,t i ) U(τ i, t i 1 )]. Nestecso,IseráditointegrldeKurzweilde Uem[,b] edenotremospori= DU(τ, t). Observe que se f :[,b] R n e g :[,b] R forem funções tis que U :[,b] [,b] R n édefinidporu(τ, t) = f (τ)g (t), então D S(U,D) = [U(τ i, t i ) U(τ i, t i 1 )] = i=1 D i=1 f (τ i )[g (t i ) g (t i 1 )], em que S(U,D)representumsomdotipoRiemnn-Stieltjes.Portnto,integrldefinid cim é um generlizção d conhecid integrl de Riemnn-Stieltjes, isto é, se f :[,b] R n for um função Riemnn-Stieltjes integrável com respeito g,entãofunção U definid por U(τ, t) = f (τ)g (t)serákurzweilintegrávele f (t)dg(t) = DU(τ, t). Antes de presentrmos lgums proprieddes dess integrl, vmos ver um resultdo que grnte existênci de um divisão δ-fin pr um clibre δ ddo. Esse resultdo é conhecido como Lem de Cousin e su prov pode ser encontr em[19],teorem4.1,por exemplo. Lem 1.4 (Lem de Cousin). Ddo um clibre δ de [,b],existeumdivisãomrcdδ-fin de [,b]. Observção 1.5. Suponh que integrl DU(τ, t) exist. Então definimos b DU(τ, t) = DU(τ, t).

27 1.2 A integrl de Kurzweil em espço de Bnch 25 AintegrldeKurzweilpossuisproprieddesusuisdelineridde e ditividde com respeito intervlos djcentes. Um importnte resultdo que será usdo posteriormente é integrbiliddeemsubintervlos(vej[33],teorem1.10). Teorem 1.6. Se U :[,b] [,b] XforKurzweilintegrávelem[,b],entãoUseráKurzweil integrável em todo intervlo [c,d] [,b]. OpróximoresultdoéconhecidocomoLemdeSks-Henstock. Um prov pode ser encontrd em [33], Lem 1.13, pr o cso em que dim X <. NocsoemquedimX =, provseguedemodonálogo. Lem 1.7 (Lem de Sks-Henstock). Sej U :[,b] [,b] X. Ddoɛ > 0,sejδum clibre de [,b] tl que pr tod divisão mrcd δ-fin D = (τ i, t i ) de [,b] S(U,D) DU(τ, t) < ɛ. Se c 1 η 1 d 1 c 2 η 2 d 2... c m η m d m bfortlque η j [c j,d j ] (η j δ(η j ),η j + δ(η j )), j = 1,...,m, então [ m U(η j,d j ) U(η j,c j ) j =1 ] DU(τ, t) c j < ɛ. d j A seguir, veremos um importnte resultdo do tipo Hke (vej [33],Teorem 1.14 e Observção 1.15). Teorem 1.8. Sej U :[,b] [,b] X. (i) Se U for Kurzweil integrável em todo intervlo [,c],c [,b) eolimite [ c ] lim DU(τ, t) U(b,c) +U(b,b) = I X c b

28 26 A integrl de Kurzweil existir, então função U será Kurzweil integrável em [,b] e DU(τ, t) = I, (ii) Se U for Kurzweil integrável em todo intervlo [c,b],c (,b] eolimite [ ] lim DU(τ, t) +U(,c) U(, ) = I X c + c existir, então função U será Kurzweil integrável em [,b] e DU(τ, t) = I. Esse resultdo nos lev o seguinte teorem (vej [33], Teorem 1.16). Teorem 1.9. Se U :[,b] [,b] XforKurzweilintegrávelem[,b],então [ s ] lim s c DU(τ, t) U(c, s) +U(c,c) = c DU(τ, t), pr todo c [,b]. Observção Oteoremnteriornosmostrquefunçãodefinidpor s [,b] s DU(τ, t) X, isto é, integrl indefinid de U não é contínu em gerl. A integrl indefinid será contínu em um ponto c [,b] se, e somente se, função U(c, ): [,b] Xforcontínuemc. OúltimoresultdodestseçãoéumimportntedesigulddedotipoGrownwllpr integrldekurzweil.esteresultdopodeservistoem[33],corolário1.43. Teorem Sejm h :[,b] [0, ) um função não decrescente e contínu à esquerd,

29 1.2 A integrl de Kurzweil em espço de Bnch 27 k > 0 el 0. Seψ: [,b] [0, ) for um função que stisfz desiguldde ψ(ξ) k + l ξ ψ(τ)dh(τ), ξ [,b], então ψ(ξ) ke l(h(ξ) h()) pr todo ξ [,b]. Vejmos, gor, um importnte cso prticulr d integrl de Kurzweil: integrlde Perron-Stieltjes. Sej U :[,b] [,b] X ddo por U(τ, t) = F (t)g (τ) comf :[,b] L(X )eg:[,b] X,emqueL(X)éoespçodeBnchdosoperdoreslinereselimitdosemX com norm usul de operdores. Então integrl DU(τ, t) = D[F (t)g (τ)] édefinidàprtirdesomsderiemnndform [F (ti ) F (t i 1 )]g (τ i ) e, portnto, pode ser reescrit n form mis convencionl d[f (s)]g (s), qulchmremosdeintegrldeperron-stieltjes. Aseguir,veremoslgunsresultdosprintegrldePerron-Stieltjes envolvendo operdores lineres. Começmos vendo um importnteestimtiv pr ess integrl (vej [34], Proposição 10). Proposição Sejm g :[,b] XumfunçãoregrdeF:[,b] L(X ) um função de

30 28 A integrl de Kurzweil vrição limitd em [,b]. Seintegrl d[f (s)]g (s) existir, então d[f (s)]g (s) g (s) d[vr s F ] vrb F g. Em gerl, temos o seguinte resultdo que grnte existênci d integrl de Perron- Stieltjes em espços de Bnch (vej [34], Proposição 15). Teorem Se g :[,b] XforumfunçãoregrdeF:[,b] L(X ) for um função de vrição limitd em [, b],então integrl d[f (s)]g (s) existirá, pr todo t [,b]. Aseguir,veremosumteoremdeconvergênciuniformeprintegrl de Perron-Stieltjes. Este resultdo é um cso prticulr do Teorem 11 de [34]. Teorem 1.14 (Teorem d Convergênci Uniforme). Sejm F :[,b] L(X ) um função de vrição limitd em [,b] e {g n } um sequênci em G([,b], X ) que converge uniformemente pr um função g G([,b], X ) em [,b]. Entãointegrl d[f (s)]g (s) existe e lim n d[f (s)]g n (s) = d[f (s)]g (s). Observção No teorem nterior, podemos considerr {F n } n N um sequênci de funções de vrição limitd tl que F n converge uniformemente pr um função F, tmbém de vrição limitd, que o teorem continu válido, isto é, lim n d[f n (s)]g n (s) = d[f (s)]g (s). OpróximoresultdoéumcsoprticulrdosLems12e13de[34]. Ele trt d existênci d integrl de Perron-Stieltjes de funções crcterístics.

31 1.3 A integrl de Kurzweil-Cuchy em espço de Bnch 29 Lem Sej F :[,b] L(X ) um função de vrição limitd em [,b]. () Se x 0 Xec [,b],então d[f (s)]χ {c} (s)x 0 = lim F (s)x s + 0 F ()x 0, c =, F (b)x 0 lim s b F (s)x 0, c = b, lim F (s)x s c + 0 lim F (s)x s c 0, c (,b). (b) Se x 1 Xe(c,d) [,b],então d[f (s)]χ (c,d) (s)x 1 = lim s d F (s)x 1 lim s c + F (s)x A integrl de Kurzweil-Cuchy em espço de Bnch Com finlidde de obter lguns resultdos novos e mis geris queosencontrdosn litertur, tis como um versão do Teorem de Representção derieszprfunçõesregrds e um fórmul de vrição ds constntes pr equções diferenciisfuncionisno contexto de funções regrds, presentmos um integrl, que chmremos de integrl de Kurzweil-Cuchy, com bos proprieddes pr esses fins. A grosso modo, ess integrl pode ser vist como integrl de Cuchy-Stieltjes no sentido d integrl de Kurzweil. Iniciremos presentndosu definição e veremos que ess integrlstisfz s mesms proprieddes d integrl de Kurzweil presentd n seção nterior. Definição Um função U :[,b] [,b] XseráditKurzweil-Cuchyintegrávelem [,b] se existir I Xtlqueddoɛ > 0, existeumclibrecontínuoàesquerdδ de [,b] tl que, pr tod divisão mrcd δ-fin D de [, b], vle S(U,D) I < ɛ. Neste cso, I será dito integrl de Kurzweil-Cuchy de U em [,b], quedenotremospor

32 30 A integrl de Kurzweil I = DU(τ, t). Observção Segue direto d definição que, se um função U :[,b] [,b] X for Kurzweil-Cuchy integrável em [, b], então U será Kurzweil integrável em[, b] e sus integris coincidirão. OLemdeCousin(Lem1.4),vistonseçãonterior,grnteexistêncideumdivisão mrcd δ-fin de [,b]prumclibreδ ddo. Veremos, gor, um nov versão do Lem de Cousin que grnte existênci de um divisão mrcd à esquerd (isto é, mrc de cd subintervlo d divisão é o extremo esquerdo desse intervlo ) δ-fin de [, b], qundo δ for um função contínu à esquerd. Esse resultdo será muito importntenodecorrer do trblho, pois ele permite que integrl de Kurzweil-Cuchy poss ser proximd por um som com mrcs específics, neste cso o extremo esquerdodossubintervlosddivisão. Isso permitirá que provemos um versão do Teorem de Representção de Riesz pr funções regrds e, tmbém, que obtenhmos um fórmul de vrição ds constntes pr equções diferenciis funcionis lineres perturbds, trvés de um teorem de correspondênci. AversãodoLemdeCousinquepresentmosseguirénovesudemonstrçãosegue os mesmos pssos d demonstrção do Teorem 4.1 em [19]. Lem 1.19 (Lem de Cousin). Ddo um clibre contínuo à esquerd δ de [,b], existeum divisão mrcd à esquerd δ-fin de [,b]. Demonstrção. Suponh que o resultdo sej flso. Então, se c for o centro do intervlo [,b], o resultdo tmbém será flso pr pelo menos um dos intervlos [,c]ou[c,b]. Repetindo esse processo, podemos encontrmos um sequênci de intervlos fechdos I 1 I 2 I 3... tl que I j não possui um divisão mrcd à esquerd δ-fin, pr todo j = 1,2,... Sejm I j = [x j, y j ], com j = 1,2,..., e x 0 = j I j. Como δ(x 0 ) > 0, existe k N tl que

33 1.3 A integrl de Kurzweil-Cuchy em espço de Bnch 31 I j (x 0 δ(x 0 ), x 0 + δ(x 0 )), pr todo j k, isto é x 0 δ(x 0 ) < x j < y j < x 0 + δ(x 0 ), j k. Como x j x 0, y j x 0,istoé,x j x 0 e y j x 0 pr todo j N, x j e y j convergem pr x 0,eδ écontínuàesquerd,existek 1 N tl que x j δ(x j ) < x j < y j < x j + δ(x j ), j k 1 oqueéumbsurdo,poiscontrdizoftodei j não possuir um divisão mrcd à esquerd δ-fin. Os resultdos seguintes são novos e decorrentes d definição presentd cim. As demonstrções seguem os pssos ds demonstrção do Cpítulo 1 de [33]. Fremos lgums dels nest seção. O primeiro resultdo é um critério de Cuchy pr funções Kurzweil- Cuchy integráveis. Teorem Um função U :[,b] [,b] X será Kurzweil-Cuchy integrável se, e somente se, ddo ɛ > 0,existirumclibrecontínuoàesquerdδ de [,b] tl que S(U,D 1 ) S(U,D 2 ) < ɛ pr quisquer divisões mrcds δ-fins D 1,D 2 de [,b]. Demonstrção. Suponh que ddo n N, existeumclibrecontínuoàesquerdδ de [,b] tl que S(U,D 1 ) S(U,D 2 ) < 1/n (1.1) pr quisquer divisões mrcds δ-fins D 1,D 2 de [,b] en N. Prtodon N, denote por M(n) o conjuntos de tods s soms S(U,D)questisfzem(1.1).Noteque,peloLem de Cousin, M(n)énãovzio,prtodon N.

34 32 A integrl de Kurzweil Sej I = n N M(n) X. Portnto, S(U,D) I < 1/n pr tod divisão mrcd δ-fin D de [,b]eprtodon N. Dí,pelDefinição1.17,U é Kurzweil-Cuchy integrável e DU(τ, t) = I. Por outro ldo, se U :[,b] [,b] X for Kurzweil-Cuchy integrável, então ddo ɛ > 0, existirá um clibre contínuo à esquerd δ de [,b] tl que, pr tod divisão mrcd D de [,b], vle S(U,D) DU(τ, t) < ɛ 2. Portnto, se D 1,D 2 forem dus divisões mrcds δ-fin de [,b], então S(U,D 1 ) S(U,D 2 ) S(U,D 1) DU(τ, t) + S(U,D 2 ) DU(τ, t) < ɛ eterminmosprov. É clro que integrl de Kurzweil-Cuchy é liner pois, ddos c 1,c 2 R, U,V :[,b] [,b] X eumdivisãomrcdd de [,b], é fácil ver que S(c 1 U + c 2 V,D) = c 1 S(U,D) + c 2 S(V,D). Vejmos mis lguns resultdos, começndo pel integrbiliddeem subintervlos. Teorem Se U :[,b] [,b] XforKurzweil-Cuchyintegrávelem[,b],entãoUserá Kurzweil-Cuchy integrável em todo intervlo [c, d] [, b]. Demonstrção. Sej ɛ > 0ddo. Peloteoremnterior,existeumclibrecontínuoàes-

35 1.3 A integrl de Kurzweil-Cuchy em espço de Bnch 33 querd δ de [,b]tlque S(U,D 1 ) S(U,D 2 ) < ɛ pr quisquer divisões mrcds δ-fins D 1,D 2 de [,b]. Suponh que < c < d < b esejm D 1, D 2 divisões mrcds δ-fins de [c,d]. Sejm, tmbém, D e D b divisões mrcds δ-fins de [,c] e[c,d] respectivmente. Sejm D 1 = D D 1 D b e D 2 = D D 2 D b.éclroqued 1 e D 2 são divisões mrcds δ-fins de [,b]e S(U, D 1 ) S(U, D 2 ) = S(U,D 1 ) S(U,D 2 ) < ɛ, oqueconcluiprov. Teorem Sejm c [,b] eu:[,b] [,b] X. SeU forkurzweil-cuchyintegrável em [,c] eem[c,b],entãouserákurzweil-cuchyintegrávelem[,b] e c DU(τ, t) + c DU(τ, t) = DU(τ, t). Demonstrção. Como U é Kurzweil-Cuchy integrável em[, c] e em[c, b], existem clibres contínuos à esquerd δ 1 e δ 2 tis que, pr tod divisão mrcd D 1 δ 1 -fin de [,c] epr tod divisão mrcd D 2 δ 2 -fin de [c,b] S(U,D 1) c DU(τ, t) < ɛ 2 e S(U,D 2) c DU(τ, t) < ɛ 2. Sej δ: [,b] (0, ) umclibrecontínuoàesquerdtlque δ(τ) < δ 1 (τ), se τ [,c] e δ(τ) < δ 2 (τ), se τ [c,b]. Defin min{ δ(τ), τ c }, τ c, δ(τ) = δ(c), τ = c. Observe que δ: [,b] (0, )éumclibrecontínuoàesquerdde[,b]. Sej D = (τ i, t i ) um divisão mrcd de [,b]. Pel construção do clibre δ, existem {1,..., D } tlque

36 34 A integrl de Kurzweil c = τ m.portnto, m 1 S(U,D) = [U(τ i, t i ) U(τ i, t i 1 )] +U(c, t m ) U(c, t m 1 ) + i=1 m 1 = i=1 [U(τ i, t i ) U(τ i, t i 1 )] +U(c,c) U(c, t m 1 ) +U(c, t m ) U(c,c) + = S(U,D 1 ) + S(U,D 2 ) D i=m+1 [U(τ i, t i ) U(τ i, t i 1 )] D i=m+1 [U(τ i, t i ) U(τ i, t i 1 )] em que D 1 = {,τ 1, t 1,...,t m 1,τ m = c} ed 2 = {c = τ m, t m...,t D 1,τ D, t D = b}sãodivisões mrcds δ 1 -fin e δ 2 -fin de [,c]e[c,b]respectivmente.assim, ( c S(U,D) DU(τ, t) + DU(τ, t)) = S(U,D 1) + S(U,D 2 ) c c S(U,D b 1) DU(τ, t) + S(U,D 2 ) DU(τ, t) < ɛ. c c DU(τ, t) c DU(τ, t) Pel definição d integrl de Kurzweil-Cuchy, DU(τ, t)existeevle c DU(τ, t) + c DU(τ, t) = DU(τ, t) oquecompletdemonstrção. OpróximoresultdoéumversãodoLemdeSks-HenstockprintergrldeKurzweil- Cuchy. A prov segue os pssos de [33], Lem Lem 1.23 (Lem de Sks-Henstock). Sej U :[,b] [,b] X.Ddoɛ > 0,sejδ um clibre contínuo à esquerd de [,b] tl que, pr tod divisão mrcd δ-fin D = (τ i, t i ) de [,b], temos S(U,D) DU(τ, t) < ɛ.

37 1.3 A integrl de Kurzweil-Cuchy em espço de Bnch 35 Se c 1 ξ 1 d 1 c 2 ξ 2 d 2... c m ξ m d m bfortlque [c j,d j ] (ξ j δ(ξ j ),ξ j + δ(ξ j )), j = 1,...,m, então [ m U(ξ j,d j ) U(ξ j,c j ) j =1 ] DU(τ, t) c j < ɛ. d j Demonstrção. Sem perd de generlidde, podemos ssumir que c j < d j, j = 1,...,m. Denote d 0 = e c m+1 = b. Se d j < c j +1 pr lgum j = 0,...,m, então c j +1 DU(τ, t) existirá d j e, pr todo η > 0ddo,existiráumclibrecontínuoàesquerdδ j de [d j,c j +1 ]tlque δ j (τ) < δ(τ), τ [d j,c j +1 ]e,prtoddivisãomrcdd j de [d j,c j +1 ], S(U,D j ) DU(τ, t) d j < η m + 1. c j +1 Se d j = c j +1,entãotommosS(U,D j ) = 0. Observe que expressão m m [U(ξ j,d j ) U(ξ j,c j )] + S(U,D j ) j =1 j =1 represent som de um cert divisão mrcd δ-fin de [,b]e,consequentente, m m [U(ξ j,d j ) U(ξ j,c j )] + S(U,D j ) j =1 j =1 DU(τ, t) < ɛ. Portnto, [ m ] d j U(ξ j,d j ) U(ξ j,c j ) DU(τ, t) j =1 c j m m [U(ξ j,d j ) U(ξ j,c j )] + S(U,D j ) j =1 < ɛ + η. j =1 m DU(τ, t) + S(U,D j ) j =1 DU(τ, t) d j c j +1

38 36 A integrl de Kurzweil Como desiguldde vle pr todo η > 0oresultdosegue. Aseguir,veremosdoisresultdosdotipoHkeprintegrldeKurzweil-Cuchy. As demonstrções são nálogs às demonstrções dos Teorems 1.14 e 1.16 em [33]. Teorem Sej U :[,b] [,b] X. (i) Se U for Kurzweil-Cuchy integrável em todo intervlo [, c],c [, b) e o limite [ c ] lim DU(τ, t) U(b,c) +U(b,b) = I X c b existir, então função U será Kurzweil-Cuchy integrável em [, b] e DU(τ, t) = I, (ii) Se U for Kurzweil-Cuchy integrável em todo intervlo [c, b],c (, b] e o limite [ ] lim DU(τ, t) +U(,c) U(, ) = I X c + c existir, então função U será Kurzweil-Cuchy integrável em [, b] e DU(τ, t) = I. Teorem Se U :[,b] [,b] XforKurzweil-Cuchyintegrávelem[,b],então [ s ] lim s c DU(τ, t) U(c, s) +U(c,c) = c DU(τ, t), pr todo c [,b]. Observção Novmente, o teorem nterior nos diz que integrl indefinid dekurzweil- Cuchy de um função U será contínu em um ponto c [,b] se, e somente se, função U(c, ): [,b] Xforcontínuemc.

39 1.4 Teorem de Representção de Riesz 37 Pr finlizr est seção, vmos presentr o exemplo clássico de um função que possui muit oscilção e que é Kurzweil integrável. Vmos ver que, de fto,tlfunçãoékurzweil- Cuchy integrável. Exemplo Sej f :[0,1] R um função definid por ( ) ( ) 2t sen 2 2 t f (t) = 2 t cos 2, t (0,1], t 2 0, t = 0. Observe que f não é Lebesgue integrável em [0,1], poisf émuitooscilntepróximode0 e, portnto, não é bsolutmente integrável em [0, 1]. ComointegrldeRiemnnimprópri de f existe, usndo um teorem do tipo Hke pr integrl de Kurzweil-Cuchy, o qul nos diz que integrl de Kurzweil-Cuchy é invrinte por extensões de Cuchy (ou sej, integrl de Kurzweil-Cuchy contém sus integris imprópris), integrl de Kurzweil-Cuchy de f tmbém existe e tem o mesmo vlor d integrl de Riemnn d função f. 1.4 Teorem de Representção de Riesz Pr enuncir um versão do Teorem de Representção Riesz pr funções regrds, precismos encontrr o espço dul desss funções. Pr isto, vejmos o conceito de semivrição limitd. Um referênci pr esse ssunto é [34]. Sej L(X )oespçobnchdosoperdoreslinereselimitdosemx com norm usul F L(X ) = sup{ F (x), x X, x 1}. Sejm F :[,b] L(X )ed = {, t 1,...,t D }umdivisãode[,b]. Considere } D SV (F,D) = sup{ [F (t i ) F (t i 1 )]x i, x i X, x i 1 i=1 e (s)vr [,b] F = (s)vr b F = sup D D[,b] SV (F,D)

40 38 A integrl de Kurzweil em que (s)vr b F éditsemivrição de F em [,b]. Diremos que um função F :[,b] L(X )édesemivrição limitd em [,b], se (s)vr [,b] F < edenotremosoconjuntodsfunçõesdesemivriçãolimitd de [,b]em L(X ) por SV ([, b], L(X )). Similrmente o cso ds funções de vrição limitd, SV ([,b],l(x )) será um espço de Bnch qundo munido d norm F SV = F () L(X ) + (s)vr b F. Mis ind, podemos definir F SV = F (c) L(X ) + (s)vr b F,prtodoc [,b] eteremos um norm em SV ([, b], L(X )), tornndo-o um espço de Bnch. Clrmente BV ([,b],l(x )) SV ([,b],l(x )). Sej SV b ([,b],l(x )) o conjunto ds funções F :[,b] L(X )quesãodesemivrição limitd em [,b] ef (b) = 0. Então SV b ([,b],l(x )) será um espço de Bnch, se considerrmos norm F SV = F (b) L(X ) + (s)vr b F = (s)vrb F. Considere, tmbém, G + ([,b], X )oespçodsfunçõesregrdsf :[,b] X que são contínus à direit e L(G + ([,b], X ), X )oespçodosoperdoreslinereselimitdosdeg + ([,b], X ) em X. Nest seção, vmos considerr integrl de Kurzweil-Cuchy escrit n form d[α(t)]f (t) em que α: [,b] L(X )ef :[,b] X. Observe que, se U :[,b] [,b] X for tl que U(τ, t) = α(t)f (τ), então dd um divisão mrcd D = (τ i, t i )de[,b], som S(U,D) represent um som do tipo Riemnn-Stieltjes D D S(U,D) = [U(τ i, t i ) U(τ i, t i 1 )] = [α(t i ) α(t i 1 )]f (τ i ) i=1 i=1

41 1.4 Teorem de Representção de Riesz 39 oquenosmotivusressnotçãomisconvencionl. OresultdoseguinteéumcsoprticulrdProposição10edoTeorem11mbosdemonstrdos em [34]. Proposição Sejm α: [,b] L(X ) ef:[,b] X. (i) Se α SV b ([,b],l(x )) ef G + ([,b], X ),então d[α(t)]f (t) (s)vrb α f. (ii) Sejm α SV b ([,b],l(x )), f G + ([,b], X ) ef n um sequênci de funções em G + ([,b], X ) que converge uniformemente pr f. Então d[α(t)]f (t) = lim n d[α(t)]f n (t). OpróximoleméumconsequêncidosLems12e13em[34]procsodintegrl de Kurzweil-Cuchy. Lem Sejm α SV b ([,b],l(x )), τ [,b) ex X. Então d[α(t)]χ [τ,b) (t)x = α(τ)x, em que integrl é no sentido de Kurzweil-Cuchy. Demonstrção. Sejm α SV b ([,b],l(x )), τ [,b)ex X.Ddoɛ > 0, sejm δ um clibre contínuo à esquerd de [,b] tlqueδ(t) < t τ, set τ e D = (t i 1,[t i 1, t i ]) um divisão mrcd δ-fin de [,b]tisque D [α(t i ) α(t i 1 )]χ [τ,b) (t i 1 )x i=1 d[α(t)]χ [τ,b) (t)x < ɛ.

42 40 A integrl de Kurzweil Pel definição de δ, existe m {1,..., D 1} tl que τ = t m.assim, D [α(t i ) α(t i 1 )]χ [τ,b) (t i 1 )x = i=1 D i=m+1 [α(t i ) α(t i 1 )]χ [τ,b) (t i 1 )x = α(τ)x e, portnto, d[α(t)]χ [τ,b)(t)x = α(τ)x. Agor, vmos presentr um versão do Teorem de Representção de Riesz no subespço ds funções regrds contínus à direit vlores num espço de Bnch. Teorem 1.30 (Teorem de Representção de Riesz). Um operdor F : G + ([,b], X ) Xserá um operdor liner e limitdo se, e somente se, existir α SV b ([,b],l(x )) tl que, pr tod f G + ([,b], X ), F (f ) = d[α(t)]f (t), em que integrl é no sentido de Kurzweil-Cuchy. Demonstrção. Primeirmente, suponh que α SV b ([,b],l(x )) e que F (f ) = d[α(t)]f (t) pr tod f G + ([,b], X ). Segue direto d definição d integrl que F éumoperdorliner e, pelo item (i) d Proposição 1.28, F (f ) = d[α(t)]f (t) (s)vrb α f pr tod f G + ([,b], X ), isto é, F éumoperdorlinerlimitdo. Suponh, gor, que F L(G + ([,b], X ), X ). Sej α SV b ([,b],l(x )) definid por F (χ [t,b) x), t [,b), α(t)x = 0, t = b

43 1.4 Teorem de Representção de Riesz 41 pr quisquer t [,b]ex X.Notequeα SV b ([,b],l(x )), pois } D SV (α,d) = sup{ [α(t i ) α(t i 1 )]x i, x i X, x i 1 i=1 ( ) } D = sup{ F χ [ti 1,t i )x i, x i X, x i 1 F i=1 pr tod divisão D = (t i )de[,b]e,portnto,(s)vr b α <. Pr provr que F (f ) = d[α(t)]f (t) prtodf G+ ([,b], X ), bst provr iguldde pr funções d form χ [τ,b) x, τ [,b) ex X,poistodfunçãoemG + ([,b], X )é limite uniforme de funções dess form (Teorem 1.1). Sejm τ [,b) ex X.Logo,pelo Lem 1.29, temos d[α(t)]χ [τ,b) (t)x = α(τ)x = F (χ [τ,b) x). O resultdo segue pelo Teorem d Convergênci Uniforme(item (ii) d Proposição 1.28). Em [29] (Teorem 4.1.1), podemos encontrr um versão do Teorem de Representção de Riesz pr o G ([,b], X )emesclstemporisusndointegrldecuchy-stieltjes.um outr referênci pr esse ssunto é [38] (Teorem 2.4.8).

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45 EDOs generlizds Cpítulo 2 Neste segundo cpítulo, presentremos s Equções Diferencis Ordináris Generlizds (EDOs generlizds) em um espço de Bnch. Iniciremos relembrndo teori básic de EDOs generlizds e, tmbém, um clsse prticulr desss equções, s EDOs generlizds lineres. N sequênci, veremos definição e lgums proprieddes do operdor fundmentl de um EDO generlizd liner e, finlizndoocpítulo,presentremos lguns resultdos novos, tis como um versão d fórmul de Dirichilet pr integrl de Kurzweil em espço de Bnch e um fórmul d vrição ds constntes misgerl que s encontrds n litertur (vej [33], por exemplo). 2.1 EDOs generlizds Nest seção, presentremos definição de um equção diferencil ordinári generlizd (vmos escrever EDO generlizd ou ind EDOG) e lgums proprieddes de sus soluções. Além disso, veremos um teorem de existênci locleuniciddedesoluçõespr um cert clsse de EDOs generlizds. As principis referêncis pr est seção são [23], [24] e [33]. Sejm Ω X R um berto e G : Ω X um função, onde X éumespçodebnch.

46 44 EDOs generlizds Definição 2.1. Um função x :[α,β] Xseráditumsoluçãodequçãoordinárigenerlizd dx = DG(x, t) (2.1) dτ no intervlo [α,β] R,se(x(t), t) Ω pr todo t [α,β] eseiguldde v x(v) x(γ) = DG(x(τ), t) (2.2) γ vler pr quisquer γ, v [α,β]. A integrl do ldo direito de (2.2) é no sentido d integrl de Kurzweil introduzid no primeiro cpítulo, Definição 1.3. A notção (2.1) é pens simbólic. O símbolo dx não signific que solução possui derivd. Vejmos um simples exemplo extrído de [33], págin dτ 100. Exemplo 2.2. Se r :[0,1] R for um função contínu que não tem derivd em nenhum ponto do intervlo [0,1],entãopodemostomrG(x, t) = r (t) e, neste cso, s2 s2 DG(x(τ), t) = Dr(t) = r (s 2 ) r (s 1 ). s 1 s 1 Pel Definição 2.1, x :[0,1] R definid por x(s) = r (s), s [0,1] ésoluçãodedogenerlizd dx = DG(x, t) = Dr(t) dτ enãopossuiderivdemnenhumpontodointervlo[0,1]. Sejm < < b < e Ω = O [,b], em que O X éumconjuntoberto(porexemplo,o = B c = {x X ; x < c} prlgum c > 0).

47 2.1 EDOs generlizds 45 Definição 2.3. Diremos que um função G : Ω XpertenceàclsseF (Ω,h), seexistirum função não decrescente h :[,b] R tl que G(x, s 2 ) G(x, s 1 ) h(s 2 ) h(s 1 ) (2.3) pr quisquer pres (x, s 2 ), (x, s 1 ) Ω e G(x, s 2 ) G(x, s 1 ) G(y, s 2 ) +G(y, s 1 ) x y h(s 2 ) h(s 1 ) pr quisquer pres (x, s 2 ), (x, s 1 ), (y, s 2 ), (y, s 1 ) Ω. Aseguir,veremosquessoluçõesdEDOgenerlizd(2.1)serão funções de vrição limitd, qundo G : Ω X pertencer à clsse F (Ω,h), pr lgum função h :[,b] R não decrescente. Mis gerlmente, bst que G : Ω X stisfç (2.3). Um prov desse fto pr X com dimensão finit pode ser encontrd em [33]. A prov pr o cso em que X é um espço de Bnch qulquer segue de modo nálogo. Proposição 2.4. Suponh que G : Ω X stisfç condição (2.3). Se [α,β] (,b) e x :[α,β] XforumsoluçãodEDOgenerlizd(2.1),entãoprquisquers 1, s 2 [α,β] x(s 2 ) x(s 1 ) h(s 2 ) h(s 1 ) (2.4) e, consequentemente, vr β αx h(β) h(α) < isto é, x será de vrição limitd em [α,β]. Alémdisso,sehforcontínunumpontoc [α,β], então x tmbém será contínu em c. Aseguir,veremosumresultdoquedescrevesdescontinuiddes ds soluções d EDO generlizd (2.1), qundo função G pertence à clsse F (Ω,h). Este resultdo pode ser encontrdo em [33], Lem 3.12 pr o cso em que dimensão de X éfinit. Ocsogerl

48 46 EDOs generlizds tem demonstrção nálog. Lem 2.5. Se x :[α,β] XforumsoluçãodEDOgenerlizd(2.1) eg: Ω Xstisfizer condição(2.3),então x(σ+) x(σ) = lim s σ+ x(s) x(σ) = G(x(σ),σ+) G(x(σ),σ) pr σ [α,β) e x(σ) x(σ ) = x(σ) lim s σ x(s) = G(x(σ),σ) G(x(σ),σ ) pr σ (α,β],emque G(x,σ+) = lim s σ+ G(x, s), σ [α,β) e G(x,σ ) = lim s σ G(x, s), σ (α,β]. Observe que os limites lteris G(x, σ+), G(x, σ ), x(σ+) ex(σ ) existememx, poish é um função não descrescente. Agor presentremos um resultdo que grnte existênci d integrl de Kurzweil envolvid n definição de solução d EDO generlizd (2.1). Este resultdo pode ser encontrdo em [1], Lem 2.7. Lem 2.6. Sejm G : Ω XumfunçãoquepertenceàclsseF (Ω,h) ex:[α,β] Xum função regrd em [α,β] [0,+ ) esuponhque(x(s), s) Ω pr todo s [α,β]. Então integrl β α DG(x(τ), t) existe e função s s α DG(x(τ), t) Xédevriçãolimitdem [α, β] (e, portnto, regrd). Opróximoresultdogrnteexistêncieuniciddedesolução pr EDO generlizd (2.1) (vej [14], Teorem 2.15).

49 2.2 EDOs generlizds lineres 47 Teorem 2.7. Suponh que G : Ω X pertenç à clsse F (Ω,h), ondefunçãohécontínu à esquerd. Então pr todo ( x, ) Ω tl que x + = x + G( x, +) G( x, ) stisfz ( x +, ) Ω, existem > 0 eumúnicsoluçãox:[, + ] XdEDOgenerlizd(2.1) no intervlo [, + ] stisfzendo x( ) = x. Observção 2.8. A hipótese de h serum função contínu à esquerdno Teorem2.7 implic que s soluções d EDO generlizd (2.1) tmbém são contínus à esquerd (vej equção (2.4)). 2.2 EDOs generlizds lineres Nest seção, vmos presentr clsse ds EDOs generlizds lineres. Veremos que, sob certs condições, podemos grntir existênci globl e unicidde de solução. As principis referêncis pr est seção são [6] e [35]. Sejm ( x, ) X [,b], onde X éumespçodebnch,el(x )oespçodebnch dos operdores lineres e limitdos em X com norm usul de operdores. Suponh que F : X [,b] X sej dd por F (x, t) = A(t)x,comA :[,b] L(X )devriçãolimitdem [,b]. Além disso, vmos supor que A stisfç s seguintes condições: (I + [A(t+) A(t)]) 1 = [I + + A(t)] 1 L(X ), t [,b) (I [A(t) A(t )]) 1 = [I A(t)] 1 L(X ), t (,b] (2.5) em que I L(X )éooperdoridentidde,a(t+) = lim s t+ A(s)eA(t ) = lim s t A(s). Observção 2.9. Como A :[,b] L(X ) édevriçãolimitdem[,b],oslimiteslteris A(t + ) = lim A(r ) L(X ), t r t + [,b)

50 48 EDOs generlizds e A(t ) = lim A(r ) L(X ), t r t (,b] existem, pois A BV ([,b],l(x )) G([,b],L(X )). Então,peloitem(iii) doteorem 1.1, ddo ɛ > 0,osconjuntos {t [,b); A(t + ) A(t)) ɛ} e {t (,b]; A(t) A(t )) ɛ} são finitos. Portnto, tomndo ɛ = 1, existeumconjuntofinito{t 1, t 2,...,t m } [,b] tl que A(t + ) A(t)) < 1 pr todo t [,b), t t i,i= 1,...,m, e A(t) A(t )) < 1 pr todo t (,b], t t i,i= 1,...,m. Logo, os operdores I + + A(t) L(X ) e I A(t) L(X ) são invertíveis, isto é, [I + + A(t)] 1 L(X ), t [,b), t t i, i = 1,...,m, e [I A(t)] 1 L(X ), t (,b], t t i, i = 1,...,m. Aobservçãocimnosdizque,seA :[,b] L(X )forumoperdordevriçãolimitd em [,b], então s condições em (2.5) são válids menos de um quntidde finit de pontos em [,b]. Agor, considere o seguinte problem de vlor inicil pr EDO generlizd liner dx = DF(x, t) = D[A(t)x], dτ x( ) = x. (2.6) Pel Definição 2.1, um função x :[,b] X será um solução d EDO generlizd liner

51 2.2 EDOs generlizds lineres 49 (2.6) no intervlo [, b], se s2 x(s 2 ) = x(s 1 ) + D[A(t)x(τ)], (2.7) s 1 pr quisquer s 1, s 2 [,b]. Em prticulr, um função x :[,b] X será um solução do problem de vlor inicil (2.6) em [,b]se s x(s) = x + D[A(t)x(τ)], (2.8) pr todo s [,b]. Observe que, pels proprieddes d integrl de Kurzweil, integrl do ldo direito de (2.7) é formd por soms de tipo Riemnn-Stieltjes, isto é, s soms de Riemnn pr integrl s D[A(t)x(τ)] têm form [A(ti ) A(t i 1 )]x(τ i ), oquenoslevumnotçãomisconvencionlnform s d[a(t)]x(t). Neste cso, integrl será chmd de integrl de Perron-Stieltjes. Então(2.7)setorn s2 x(s 2 ) x(s 1 ) = d[a(s)]x(s), s 1, s 2 [,b] s 1 e, similrmente, equção (2.8) pode ser reescrit n form s x(s) = x + d[a(r )]x(r ), s [,b], com s integris cim são no sentido de Perron-Stieltjes. Observção Qundo função F : X [,b] XtemformF(x, t) = A(t)x, com A(t) L(X ) pr todo t [,b],integrldekurzweil DF(x(τ), t) = D[A(t)x(τ)]

52 50 EDOs generlizds coincide com integrl de Perron-Stieltjes, isto é, DF(x(τ), t) = D[A(t)x(τ)] = d[a(t)]x(t). Um referênci pr integrl de Perron-Stieltjes, onde est integrl foi bstnte estudd, é [35]. AprovdolemseguintesegueospssosdprovdoLem6.1em[33]. Lem Se x :[,b] Xforumsoluçãode(2.6) em [,b],entãox BV ([,b], X ). Opróximoresultdogrnteexistêncieuniciddedesolução pr o problem de vlor inicil (2.6) no intervlo [,b] inteiro.esteresultdoéconsequêncidoteorem2.10 edúltimobservçãodortigo[35]. Teorem Se A BV ([,b],l(x )) stisfizer (2.5), entãooproblemdevlorinicil(2.6) terá um únic solução em [,b]. Alémdisso,esssoluçãoserádevriçãolimitdem[,b]. Observção Se considerrmos A : R L(X ) loclmente de vrição limitd, isto é, A édevriçãolimitdemtodointervlofechdoder, juntmentecomhipótese(2.5), o teorem nterior grnte existênci globl e unicidde de solução pr EDOs generlizds lineres. 2.3 Operdor fundmentl A fim de obter um fórmul d vrição ds constntes pr EDOs generlizds, vmos definir e enuncir lgums proprieddes do operdor fundmentl pr s EDOs generlizds lineres. Do mesmo modo que equção dx dτ = D[A(t)x]

53 2.3 Operdor fundmentl 51 em (2.6), podemos considerer equção dφ dτ = D[A(t)Φ], em que Φ L(X ). Um solução dess equção no intervlo [, b] é um operdor Φ: [,b] L(X )tlque s2 Φ(s 2 ) = Φ(s 1 ) + D[A(t)Φ(τ)] = Φ(s 1 ) + s 1 s2 s 1 d[a(s)]φ(s) pr quisquer s 1, s 2 [,b]. Sej Φ: [,b] L(X )ddopor Φ(t) = Φ( ) + d[a(s)]φ(s), t [,b]. (2.9) Pelo Teorem 2.12, se o operdor Φ definido por (2.9) for de vrição limitd em [,b] e stisfizer (2.5), então Φ será unicmente determindo. Além disso, se (2.9) for stisfeit pr todo t [,b], então Φ: [,b] L(X )seráumsoluçãodedogenerlizd dφ dτ = D[A(t)Φ]. Agor, vmos definir o operdor fundmentl pr EDOs generlizds lineres. Vej Teorem 6.13 em [33]. Reproduzimos prov qui, gor pr o cso de X ter dimensão infinit. Teorem Suponh que A BV ([, b], L(X )) stisfç (2.5). Então existe um único operdor U :[,b] [,b] L(X ),chmdooperdorfundmentl,tlque U(t, s) = I + d[a(r )]U(r, s) (2.10) s pr quisquer t, s [,b], ondeidenotooperdoridentiddeeml(x ). Alémdisso,pr

54 52 EDOs generlizds todo s [,b] fixdo, U(, s) será um operdor de vrição limitd em [,b]. Demonstrção. AdemonstrçãodesseresultdosegueospssosdprovdoTeorem 6.13 em [33]. Ddo s [,b], U(, s)éumsoluçãode Φ(t) = I + d[a(r )]Φ(r ) s e, pelo Teorem 2.12, est solução existe e é de vrição limitd em [,b], pr todo s [,b] fixdo. OpróximoresultdorelcionooperdorfundmentldEDOgenerlizd com solução do problem de vlor inicil correspondente. O cso em que dim X < pode ser encontrdo em [33], Teorem Teorem Suponh que A BV ([,b],l(x )) stisfç (2.5). Então,prtodos [,b], únic solução x :[,b] Xdoproblemdevlorinicil dx dτ = D[A(t)x], x(s) = x X, (2.11) éddpelrelção x(t) = U(t, s) x, t [,b], (2.12) em que U :[,b] [,b] L(X ) éooperdorfundmentlddopeloteorem2.14. Demonstrção. Pelo Teorem 2.14, função x :[,b] X dd por (2.12) é de vrição limitd em [,b]. Portnto, pr todo t [,b], integrl s d[a(r )]x(r )existe(teorem1.13)e vle s d[a(r )]x(r ) = d[a(r )]U(r, s) x = [U(t, s) I ] x = x(t) x. s Isto signific que x é umsolução do problemde vlor inicil(2.11)e est solução é unicmente determind pelo Teorem 2.12.