Ginnara Mexia Souto. Equações diferenciais funcionais com retardamento e impulsos via equações diferenciais ordinárias generalizadas

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE POS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA (Mestrdo) Ginnr Mexi Souto Equções diferenciis funcionis com retrdmento e impulsos vi equções diferenciis ordináris generlizds Mringá-PR 2013

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3 Ginnr Mexi Souto Equções diferenciis funcionis com retrdmento e impulsos vi equções diferenciis ordináris generlizds Dissertção presentd o Progrm de Pós-Grdução em Mtemátic do Deprtmento de Mtemátic, Centro de Ciêncis Exts d Universidde Estdul de Mringá - UEM-PR, como requisito prcil pr obtenção do título de Mestre em Mtemtic. Orientdor: Prof. Dr. Luciene Prron Gimenes Arntes Mringá-PR 2013

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6 Ginnr Mexi Souto Equções diferenciis funcionis com retrdmento e impulsos vi equções diferenciis ordináris generlizds Dissertção presentd o Progrm de Pós-Grdução em Mtemátic do Deprtmento de Mtemátic, Centro de Ciêncis Exts d Universidde Estdul de Mringá - UEM-PR, como requisito prcil pr obtenção do título de Mestre em Mtemtic pel Comissão Julgdor compost pelos membros: COMISSÃO JULGADORA Dr. Luciene Prron Gimenes Arntes - UEM (Orientdor) Dr. Everldo de Mello Bonotto - USP/ICMC Dr. Doherty Andrde - UEM Mringá-PR 2013

7 A minh mãe Gin (in memorim ).

8 Agrdecimentos Primeirmente grdeço Deus, pois sem ele nd seri possível. A minh fmíli por todo mor e crinho. Aos meus tios, que incentivrm e judrm qundo mis precisei. Gostri de grdecer minh mdrinh, Mri de Fátim Silv, que é fundmentl n minh vid, cuidndo e mndo como se eu fosse um filh. Em especil, dedico este trblho à minh mãe, Gin Heitor Mexi, que me ensinou ser quem sou, que sempre me fez pensr no futuro e em como é importnte lutr, ms que infelizmente não está mis entre nós pr ver est conquist. Aos meus migos de mestrdo por terem poido e juddo em vários momentos. Em especil os migos Evndro, Ttin e José Henrique. Aos professores desde o ensino básico té o mestrdo. Ao prof. Dr. Doherty Andrde, pel inclusão nos projetos de inicição científic durnte grdução. Em gerl, todos os professores do deprtmento de mtemátic d UEM, por prticiprem diretmente ou indiretmente d minh formção. Sou muito grt à minh Orientdor, prof. Dr. Luciene Prron Gimenes Arntes, pel vlios contribuição cdêmic, pelo poio e incentivo desde grdução. Bem como, pel pciênci e dedicção n relizção desde trblho. Muito obrigd! Por fim, grdeço o CNPq, pelo poio finnceiro, sem o qul seri impossível dedicr-se integrlmente os estudos.

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10 Resumo O objetivo deste trblho é investigr resultdos fundmentis e lgums proprieddes qulittivs de soluções de Equções Diferenciis Funcionis com Retrdo e Impulsos (EDFRIs) em tempos pré-fixdos trvés d teori e Equções Diferenciis Ordináris Generlizds (EDOGs). Nossos principis resultdos são sobre dependênci contínu com respeito os ddos iniciis e estbilidde de soluções pr um cert clsse de EDFRIs em tempos pré-fixdos. A fim de obtermos tis resultdos, estudmos correspondênci biunívoc entre EDFRIs e um determind clsse de EDOGs. Plvrs-chve: Equções Diferenciis Impulsivs. Equções Diferenciis Funcionis. Equções Diferenciis Ordináris Generlizds.

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12 Abstrct The purpose of this work is to investigte fundmentl results nd some qulitive properties of solutions of Retrded Functionl Differentil Equtions with pre-ssigned moments of impulsive effects (IRFDEs) using the theory of Generlized Ordinry Differentil Equtions (GODEs). Our min results concern continuous dependence on prmeteres, uniform stbility nd uniform symptotic stbility of the solutions of certin clsss of IRFDEs. In order of obtin such results, we study the equivlence between IRFDEs nd certin clss of GODEs. Keywords: Impulsive Differentil Equtions. Functionl Differentil Equtions. Generlized Ordinry Differentil Equtions

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14 Sumário Introdução 11 1 Preliminres Notções e resultdos básicos Noções básics de EDFRs Equções Diferencis Funcionis com Retrdmento e Impulsos Descrição dos sistems impulsivos EDFRs com impulsos pré-fixdos Existênci e unicidde de soluções Equção Diferencil Ordinári Generlizd Integrl de Kurzweil Definição de integrl Integrl de Henstock-Kurzweil Proprieddes d integrl de Kurzweil Resultdos sobre convergênci Equções Diferenciis Ordináris Generlizds Noções básics de EDOGs Existênci e unicidde de soluções Correspondênci entre EDFRIs e EDOGs 65 9

15 10 SUMÁRIO 4.1 Construção d EDOG Correspondênci entre EDOGs e EDFRIs Dependênci contínu Dependênci contínu de soluçõoes ds EDOGs Dependênci contínu de soluções ds EDFRIs Estbilidde Estbilidde Vricionl em EDOGs Estbilidde de EDFRIs Exemplo Conclusão 111 Referêncis Bibliográfics 113 Índice Remissivo 116

16 Introdução A teori ds Equções Diferenciis Funcionis com Retrdmento (EDFRs) é um rmo ds Equções Diferenciis Funcionis. Um ds rzões do nosso interesse em EDFRs é por els se constituírem de exemplos em sistems dinâmicos de dimensão infinit, presentndo dinâmic complex. Do ponto de vist ds plicções, o interesse em EDFRs surge em muitos sistems físicos, biológicos, químicos, entre outros, os quis envolvem mecnismos que são governdos pelo princípio de cuslidde, ou sej, s cuss do estdo presente do sistem se distribuem o longo de um históri pssd, incorpords em retrdos. Isto pode ser notdo n regulgem de funções fisiológics: o tempo requerido pr um célul mdurecer; o tempo pr um impulso nervoso vijr o longo de um xônio e cruzr sinpse; o tempo pr que os hormônios vijem de seus lugres de produção pr os órgãos que são destindos por difusão e/ou pssgem trvés d circulção; tempo de gestção ou incubção, etc. Há plicções tmbém em sistems n teori de controle, sujeitos os trsos cusdos pelo tempo de processmento, ou por trsos n loclizção, onde há possíveis discrepâncis entre posição esperd de um objeto obtid trvés de rdr, sensores, stélite etc., e posição rel; trnsmissão e comunicção, devido o trso n linh de comunicção e seus possíveis efeitos em mecnismos que dependm de form vitl d estbilidde d comunicção; trnsporte de substâncis, como em motores ou retores, ssim como outros sistems físicos ou químicos. Prlelmente o estudo ds EDFRs, estmos interessdos nos efeitos impulsivos sobre dinâmic de diversos modelos. Os impulsos representm vrições do estdo em lpsos de tempo tão pequenos que podem ser considerdos instntâneos. Ests vrições correspondem às descontinuiddes de primeir espécie ds soluções ou de sus derivds. Problems que envolvem impulsos presentm grnde semelhnç com problems de controle. N investigção de proprieddes de soluções de Equções Diferenciis Funcionis com retrdmento e sujeits à ção impulsiv (EDFRIs), s técnics clássics plicds em equções sem impulsos devem ser dptds fim de levr-se em considerção os efeitos impulsivos. Voltremos noss tenção às EDFRIs, onde os impulsos são considerdos em tempos pré-fixdos, isto é, os instntes de impulsos são conhecidos de ntemão, e cujs plicções se dão, especilmente, ns áres frmcocinétic, tecnologi químic, medicin, entre outrs. Isto posto, devido ests

17 12 Introdução proprieddes ds EDFRIs, considermos muito importnte o desenvolvimento de tl teori e sus plicções. Neste trblho, pr investigrmos s proprieddes ds EDFRIs, estudmos teori ds Equções Diferenciis Ordináris Generlizds (EDOGs). A teori de EDOGs desenvolvid por Š. Schwbik em [35] foi dptd pr funções que ssumem vlores em um espço de Bnch. Utilizmos correspondênci biunívoc que existe entre cert clsse de EDFRIs e um clsse de EDOGs pr o estudo dependênci contínu e estbilidde. Pr isto, utilizmos os resultdos de M. Federson e Š. Schwbik descritos em [10] e [12]. Desenvolvemos este trblho de form que o leitor poss ler est dissertção, com poucs incursões pr literturs dicionis. Apresentremos s teoris básics de EDFRIs e de EDOGs, os pilres do nosso trblho. No primeiro cpítulo, trzemos um breve descrição do mbiente, ou sej, dos espços e sus peculiriddes. Fzemos, tmbém, um breve bordgem d teori ds EDFRs, trzendo definições básics e resultdos essenciis pr este trblho. No cpítulo seguinte, presentmos noção de sistem impulsivo e descrevemos um clsse de EDFRIs pr qul estbelecemos existênci e unicidde de soluções ds EDFRIs. No terceiro cpítulo, fremos um estudo minucioso sobre integrção de Kurzweil, revelndo spectos que deixm evidente importânci dest teori de integrção e s sus vntgens com respeito às outrs integris. Destcmos, principlmente, os Teorems de Convergênci. N sequênci bordmos teori ds EDOGs, grntindo existênci e unicidde de soluções pr cert clsse de EDOGs, como bse em [35]. O qurto cpítulo possui extrem importânci, pois trtrá d correspondênci biunívoc que entre um clsse de EDFRIs e um de EDOGs, tendo como referênci [10]. No próximo cpítulo, estudmos dependênci contínu com respeito os ddos iniciis pr s EDOGs e trnsportmos trvés dest correspondênci pr s EDFRIs, obtid em [10]. No último cpítulo, correspondênci ds equções, permitiu que bordássemos estbilidde de soluções pr EDOGs e, ssim, trnsferir os resultdos pr às EDFRIs. Tendo como bse [5] e, principlmente, [12].

18 CAPÍTULO 1 Preliminres Neste cpítulo, pr fcilitr o desenvolvimento deste trblho, fixmos notções, definições e resultdos básicos. Fzemos um breve descrição sobre s Equções Diferencis Funcionis Retrdds (EDFRs). As principis referêncis são [13, 20, 21, 23] e [33]. 1.1 Notções e resultdos básicos Slvo menção implícit o contrário, s seguintes convenções e notções serão usds o longo deste trblho. Os símbolos R, R + e N denotrão o conjunto dos números reis, dos números reis não-negtivos e dos números inteiros não-negtivos, respectivmente. Qundo não houver mbiguidde, denotremos o espço de Bnch sobre o corpo R por X e su norm por.. Sejm, b números reis distintos e D X. Dd um função ψ : [, b] D, usmos notção ψ(t + ) = lim ψ(s) e ψ(t ) = lim ψ(s) pr indicrmos os limites lteris à direit e à esquerd de s t + s t ψ em t, respectivmente, qundo existirem. Neste trblho, utilizmos frequentemente certos espços vetoriis. A fim de conhecê-los melhor, precismos de lgums definições. Definição Dizemos que ψ : [, b] D é um função regrd, se existem os limites lteris à direit e à esquerd de t em [, b) e (, b], respectivmente. O espço formdo pels funções regrds de [, b] em D é denotdo por G([, b], D). 13

19 14 Cpítulo 1 Preliminres Denotmos por P C([, b], D) o espço formdo pels funções ψ : [, b] D regrds e contínus à esquerd em (, b]. Por P C([, ), D) denotmos o espço ds funções ψ : [, ) D tis que, pr todo c >, restrição ψ [,c] P C([, c], D). O espço P C([, b], D) munido d norm do supremo, donde φ = sup θ b φ(θ), φ P C([, b], D), é um espço de Bnch. Qundo não houver mbiguidde com respeito à norm, simplesmente, usmos. Em P C([, ), D) considermos topologi d convergênci uniforme loclmente, isto é, em cd subconjunto compcto de [, ). Definição Sej f : [, b] D um função. A vrição de f em [, b] é dd pelo vlor { m } V rf b = sup f(s i ) f(s i 1 ); = s 0 < s 1 <... < s m = b, m N. Dizemos que f é de vrição limitd em [, b], se existir lgum constnte C > 0 tl que V r b f < C. Denotmos por BV ([, b], D) o espço formdo pels funções ψ : [, b] D de vrição limitd em [, b]. Considemos nesse espço norm. BV, dd por f BV = f() + V r b f, pr f BV ([, b], D). O espço BV ([, b], D) munido d norm. BV é um espço de Bnch (vej [8]). Definição Dizemos que φ : [, b] X é um função escd finit, se existe um prtição = s 0 < s 1 <... < s k = b de [, b], tl que φ(s) = c j, pr s (s j 1, s j ), onde c j X, pr j = 1, 2,..., k. Definição Sej I um subintervlo de [, b]. A função crcterístic de I é definid por { 1, t I, χ I (t) = 0, t I. Definição Pr cd T (, + ). A função de Heviside contínu à esquerd concentrd em T é definid por { 0, t [, T ], H T (t) = 1, t (T, + ). Evidentemente, função de Heviside e função crcterístic são funções escds. Tmbém, som finit de função escd é um função escd. Os próximos resultdos são básicos e dizem à respeito os espços de funções definidos cim, pr mis detlhes vej [13] e [21]. Primeirmente, veremos que tod função regrd pode ser proximd por um função escd finit. Teorem Tod função em G([, b], D) pode ser uniformemente proximd por um função escd finit.

20 1.1 Notções e resultdos básicos 15 Demonstrção: Sej f : [, b] D um função regrd. Então, ddo ϵ > 0, pr cd s [, b], existe δ s > 0 tl que f(u) f(v) < ϵ 2, sempre que u, v (s δ s, s) [, b] ou u, v (s, s + δ s ) [, b]. Como os intervlos {(t δ t, t + δ t ) : t [, b]} formm um cobertur bert de [, b], podemos extrir um subcobertur finit tl que {(s i δ si, s i + δ si ) : i = 1,..., m} f(u) f(v) < ϵ 2, sempre que u, v (s i δ si, s i ) [, b] ou u, v (s i, s i + δ si ) [, b]. Sej d : = < t 1 <... < t d = b um divisão de [, b], onde t 2i = s i e t 2i 1 (s i δ si, s i 1 + δ i 1 ), pr i = 1, 2,..., d 1, ou sej, (t 2i 1, t 2i ) [s i δ si, s i ] e (t 2i, t 2i+1 ) [s i, s i + δ si ), pr i = 1,..., d 1. Escolhemos τ i (t i 1, t i ), pr i = 1,..., d, e definimos função escd ψ : [, b] D, pondo Logo, d d ψ = f(τ i )χ (ti 1,t i ) + f(t j )χ {tj }. f ψ G([,b],X) = sup {f(s) ψ(s)} = sup {f(s) ψ(τ i ) : s (t i 1, t i )} < ϵ, s [,b],..., d obtendo o desejdo. Teorem Tod função em BV ([, b], D) é regrd. Demonstrção: Sej f BV ([, b], D). É suficiente mostrrmos que existe o limite lterl à direit de f, pr todo t [, b). Tomemos {t m } m N um sequênci não-crescente em (t, b] convergindo pr t. Então, k f(t i ) f(t i 1 ) V rf, b pr todo k N. Então, + j=1 f(t i ) f(t i 1 ) V r b f. Logo, ddo ϵ > 0, existe N 0 N, tl que k f(t k ) f(t m ) f(t i ) f(t i 1 ) < ϵ, k m N 0, i=m ou sej, sequênci {f(t m )} m N é de Cuchy em X. Portnto, existe o lim f(t), pr todo t [, b). s t +

21 16 Cpítulo 1 Preliminres 1.2 Noções básics de EDFRs Em gerl, ssumimos que um sistem é governdo pelo princípio d cuslidde, isto é, o estdo futuro do sistem é governdo somente pelo presente, sendo independente do pssdo. Qundo ssumimos que o sistem é governdo por um equção envolvendo o estdo e tx de vrição deste estdo, estmos considerndo s equções diferenciis ordináris ou prciis. Entretnto, em um exme minucioso deste sistem, torn-se evidente que o princípio d cuslidde é pens um proximção d situção rel e um modelo mis detlhist dependeri, tmbém, de lgum estdo pssdo. Além disso, pel nturez de lguns problems não fz sentido que não se considere o pssdo. Por exemplo, modelos preddor-pres e viscoelsticidde. Isto é conhecido há muitos nos, no entnto teori pr tis sistems tem sido desenvolvid recentemente. Este é o rmo ds Equções Diferenciis Funcionis (EDFs), pr mis detlhes, vej [20]. O tipo mis simples de dependênci do pssdo ns EDFs são s Equções Diferenciis Funcionis Retrdds (EDFRs), por exemplo, equção diferencil funcionl retrdd liner y (t) = Ay(t) + By(t r), (1.1) onde A, B e r > 0 são constntes. A primeir pergunt que podemos fzer é sobre o problem de vlor inicil pr equção (1.1), ou melhor, qul é o mínimo de informções que devemos ter pr que (1.1) defin um função y(t) pr t 0? Refletindo, cheg-se conclusão de que um função deve ser especificd em [ r, 0] e, nturlmente, tommos o estdo em um instnte t como sendo históri d solução em [t r, t]. Somos motivdos investigr equção (1.1) como um sistem dinâmico em um espço de funções definids em [ r, 0]. A seguir, presentremos de form breve teori básic ds EDFRs. Ddos r, A > 0 e R. Pr cd y P C([ r, + A), R n ) e t [, + A), definimos y t P C([ r, 0], R n ) por y t (θ) = y(t + θ), r θ 0. Definição Sejm Ω R P C([ r, 0], R n )) um berto e f : Ω R n ) um função. Dizemos que ( y (t) = f(t, y t ), y = dy ), (1.2) dt é um Equção Diferencil Funcionl Retrdd sobre Ω. A seguir, definiremos o conceito de solução d equção (1.2). Definição Um solução de (1.2) é um função y P C([ r, + A)), onde R e A > 0, tl que (t, y t ) Ω e y(t) stisfz equção (1.2), pr t [, + A). Ddos R e φ P C([ r, 0]), dizemos que y(t;, φ) é um solução d equção (1.2) com vlor inicil φ em, se existe A > 0 tl que y(t;, φ) é um solução d equção (1.2) sobre [ r, + A) e y t0 (t;, φ) = φ.

22 1.2 Noções básics de EDFRs 17 Lem Se R e f : Ω R n é um função contínu, então encontrr um solução de (1.2), com vlor inicil φ em [ r, + α], é equivlente resolver equção integrl ϕ(t ), t [ r, ], y(t) = t ϕ(0) + f(s, y s ) ds, t (, + α]. Observção Podemos observr, nesse tipo de equção, que determinção d solução y de (1.2) depende não pens do conhecimento d mesm em um instnte, como no cso de um EDO, ms sim do conhecimento d solução em um instnte nterior. É preciso conhecer um certo pssdo d solução nterior o instnte, no exemplo seguinte podemos observr tl comportmento. Exemplo Consideremos equção diferencil funcionl com retrdo discreto { y (t) = g(t, y(t 1)), se t > 1 y(t) = ϕ(t), se t [0, 1]. (1.3) Suponhmos que g : Ω R n e ϕ : [0, 1] R n sejm contínus. Pr t [1, 2], solução que denotremos por y 1 (t) stisfz { y 1 (t) = g(t, y 1 (t 1)) = g(t, ϕ(t 1)), se t [1, 2] (1.4) y 1 (1) = ϕ. Assim, pelo Lem 1.2.1, y 1 (t) = ϕ(1) + t 1 g(s, ϕ(s 1))ds pr t [1, 2]. Se conhecemos solução de (1.3) em [n 1, n], qul denotremos por y n 1 (t), solução de (1.3) em [n, n + 1] stisfrá { y n (t) = g(t, y n (t 1)) = g(t, y n 1 (t 1)), se t [n, n + 1] (1.5) y n (n) = y n 1 (n), ou sej, pelo Lem 1.2.1, y n (t) = ϕ(1) + t 1 g(s, y n 1 (s 1))ds, pr t [n, n + 1]. Portnto, solução de (1.3) fic determind pr t 0 e stisfz y(t) = y i (t) se t [i, i + 1]. Pr mis detlhes sobre s EDFRs, por exemplo sobre os resultdos de existênci e unicidde de solução locl de (1.2), vej [20].

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24 CAPÍTULO Equções Diferencis Funcionis com Retrdmento e Impulsos 2 Primeirmente, descrevemos os sistems de Equções Diferencis Funcionis com Retrdmento e Impulsos (EDFRIs) de modo gerl. Nosso objetivo é estbelecer existênci e unicidde de solução pr um clsse de EDFRIs com impulsos em tempos pré-fixdos. As referêncis deste cpítulo serão [14, 18] e [38]. 2.1 Descrição dos sistems impulsivos Sej Ω o espço formdo de todos os estdos de movimentos de lgum processo de evolução, ou sej, um espço de fse. Denotmos por P t o ponto de mpemento do processo de evolução no instnte t. Assumimos que esse processo é determindo por n prâmetros. Então, o ponto de mpemento pode ser interpretdo como sendo um ponto (x, t) no espço R n+1, sendo Ω = R n. Dizemos que o conjunto Ω R é o espço de fse estendido nesse processo de evolução. Um sistem impulsivo pode ser representdo d seguinte mneir. Consider-se (i) um EDFR d form y (t) = f(t, y t ), (2.1) onde R e f : [, ) D R n, com D = {φ : [ r, 0] R n, r > 0}; (ii) subconjuntos N t, M t Ω R, pr cd t R + ; (iii) um operdor A t : M t N t, pr cd t R +. 19

25 20 Cpítulo 2 Equções Diferencis Funcionis com Retrdmento e Impulsos Descreveremos, seguir, o comportmento do processo de evolução do sistem impulsivo (i), (ii) e (iii) cim. Sejm ϕ D, y t0 = ϕ e y( ) = ϕ(0). Consideremos um solução y(t) = y(t;, ϕ) d equção diferencil (2.1) com condição inicil y t0 = ϕ e y t0 ( ) = ϕ(0). O ponto de mpemento P t em R Ω inici o seu movimento em (, y( )) e move-se o longo d curv {(t, y(t)); t > } té o instnte t 1 >, no qul o ponto P t encontr o conjunto M t. Em t 1, o operdor A t1 trnsfere o ponto P t d posição P t1 = (t 1, y(t 1 )) pr P t1 + = (t 1, y 1 + ) (t 1, N t1 ), onde y 1 + = A t1 y(t 1 ) N t +. O ponto 1 P t continurá percorrendo curv {(t, z(t)); t > } descrit pel solução z(t) de (2.1) com condição inicil z(t) = y(t), pr t 1 r t t 1 e z(t 1 ) = y 1 +, té encontrr novmente o conjunto M t2, e o processo continu o longo d solução de (2.1), cso est exist, repetindo o procedimento descrito cim. A curv descrit cim por P t é chmd curv integrl e função que define est curv é um solução d EDFRI. Um solução do sistem diferencil impulsivo pode ser: () um função contínu, se solução d EDFRI for contínu e curv integrl não interceptr o conjunto M t, ou se el tingir M t somente nos pontos fixos do operdor A t ; (b) um função contínu por prtes, tendo um número finito de descontinuiddes de primeir espécie, se solução d EDFRI for contínu por prtes e curv integrl encontrr o conjunto M(t) em um número finito de pontos que não sejm pontos fixos do operdor A t ; (c) um função contínu por prtes, tendo um quntidde enumerável de descontinuiddes de primeir espécie se curv integrl encontrr o conjunto M t em um quntidde enumerável de pontos que não são pontos fixos de A t. Os instntes t = t k, k = 1, 2,..., nos quis curv integrl encontr o conjunto M t, são chmdos de momentos de impulsos. Iremos supor que tod solução y de (2.1) é contínu à esquerd em t k, pr k = 1, 2,..., isto é, y(t k ) = y(t k). Descreveremos detlhdmente o sistem de EDFRIs em tempos pré-fixdos. Abordremos neste trblho resultdos fundmentis e certs proprieddes qulittivs dests EDFRIs. No sistem com impulso em tempo pré-fixdo, M t represent um sequênci de tempos t = t k, onde {t k } k N é um sequênci de números reis. O operdor A tk, pr k = 1, 2,..., é dd por x A(t k )(x) = x + I k (x), onde I k : Ω Ω. Definimos o conjunto N tk = A tk M tk, k = 1, 2,... Assim, podemos crcterizr o modelo mtemático pr o sistem diferencil impulsivo em que cd impulso ocorre em tempos fixdos d seguinte mneir: { y = f(t, y t ), t t k ; (2.2) y = I k (y), t = t k, k = 1, 2,...,

26 2.1 Descrição dos sistems impulsivos 21 onde y(t k ) = y(t + k ) y(t k), k = 1, 2,... Assumimos < t 1 < t 2 <... < t k < t k+1 <... e t k +, qundo k +. Sej ϕ D, denotmos por y(t) = y(t;, ϕ) solução do sistem (2.2), stisfzendo condição inicil: { y(t; t0, ϕ) = ϕ(t ), t [ r, ]; y(t + 0 ;, ϕ) = ϕ(0). (2.3) Um solução y(t) = y(t;, ϕ) de (2.2) stisfzendo (2.3) é crcterizd d seguinte form: (i) qundo t [ r, ], solução y(t) stisfz condição inicil (2.3); (ii) pr t (, t 1 ], solução y(t) coincide com solução do problem { y = f(t, y t ), t > y t0 = ϕ(s) r s 0. (2.4) No instnte t = t 1, o ponto de mpemento (t, y(t;, ϕ)) slt do ponto (t 1, y(t 1 ;, ϕ)) pr (t 1, y(t 1 ;, ϕ) + I 1 (y(t 1 ;, ϕ))); (iii) pr t (t 1, t 2 ], solução y(t) coincide com solução de { z = f(t, z t ), t > t 1 ; z t1 = ϕ 1, ϕ 1 D, (2.5) onde ϕ(t t 0 ), t [ r, ] [t 1 r, t 1 ]; ϕ 1 (t 1) = y(t;, ϕ), t (, t 1 ) [t 1 r, t 1 ]; y(t 1 ;, ϕ) + I 1 (y(t 1 ;, ϕ 0 )) t = t 1. (2.6) No instnte t = t 2 o ponto de mpemento (t, y(t; t 1, ϕ 1 )) slt novmente. O processo continu o longo d solução de (2.1), cso est exist, repetindo o procedimento descrito cim. Os efeitos impulsivos plicdos, té mesmo em EDOs, fetm o comportmento ds soluções ds mesms. Os exemplos seguir mostrm que continução e continuidde ds soluções de EDOs podem ser fetds pel ção impulsiv. Exemplo Consideremos equção diferencil impulsiv x = 0, t k, x = 1 (2.7) x 1, t = k, k = 1, 2,.... A solução x(t) d equção diferencil ordinári x = 0 existe pr todo t. Ms solução do sistem (2.7), com condição inicil x(0) = 1, está definid pens pr 0 t 1, já que função I k (x) = 1 não está definid pr x = 1. x 1

27 22 Cpítulo 2 Equções Diferencis Funcionis com Retrdmento e Impulsos Exemplo Consideremos equção diferencil impulsiv x = 1 + x 2, t kπ 4, x = 1, t = kπ 4, k = 1, 2,.... (2.8) Neste cso, solução x(t) d[ equção diferencil ordinári x = 1 + x 2 com condição inicil x(0) = 0 é contínu no intervlo 0, π ). No entnto, solução do problem impulsivo (2.8) com 2 mesm condição inicil é dd por x(t) = tg ( t kπ 4 ) ( ] kπ (k + 1)π, t,. 4 4 Est solução é periódic de período π 4 e tem descontinuiddes de primeir espécie em t = kπ 4, k = 1, 2,.... A figur bixo ilustr este fto. x(t) 1 0 π 4 π 2 3π 4 t Figur 2.1: Curv integrl do sistem impulsivo (2.8), com condição inicil x(0) = EDFRs com impulsos pré-fixdos Sejm J R + um intervlo d form [, b), com 0 < b, e D R n um conjunto berto. Consideremos o sistem impulsivo y (t) = f(t, y t ), t, t t k ; y(t) = I k (y(t k )), k = 1, 2,...; (2.9) y t0 = ϕ, onde J, ϕ P C([ r, 0], R n ), f : J P C([ r, 0], D) R n e I k : R n R n, k = 1, 2,... Vmos considerr, tmbém, sequênci 0 < t 1 < t 2 <... < t k <... com lim k + t k = + e os operdores de impulsos stisfzendo ψ(0) + I k (ψ(t k )) D, pr todo (t k, ψ) J P C([ r, 0], D) com ψ(0 ) = ψ(0) e k N.

28 2.2 EDFRs com impulsos pré-fixdos 23 Definição Sej [, + α] J, com α > 0. Um solução do problem impulsivo (2.9) em [ r, + α] é um função y P C([ r, + α], D) que stisfz s seguintes proprieddes: () y(t) é contínu quse sempre em [, + α] e os limites lteris y(t k ) e y(t+ k ) existem e y(t) é contínu à esquerd em t k [, + α], k = 1, 2,... ; (b) y(t) stisfz primeir equção de (2.9), pr todo t [, + α]; (c) y(t k ), com t k + α, stisfz segund equção de (2.9), pr k N. Denotmos por y(t) = y(t;, ϕ), ou simplesmente y = y(, ϕ), um solução de (2.9). Observemos que solução y(t) coincide com ϕ(t ), pr r t. Assim, um solução y(t) de (2.9) existindo em [ r, + α] e sofrendo efeitos de impulsos nos instntes {t k } m k=1, onde < t 1 < t 2 <... < t m + α, pode ser descrit por y(t;, ϕ), t [ r, t 1 ]; y(t) = y(t; t k, y tk ), t (t k, t k+1 ], k = 1, 2,..., m 1; (2.10) y(t; t m, y tm ), t (t m, + α]. Agor, se um solução y(t) existe sobre o intervlo [ r, ), então y(t) sofre infinitos impulsos nos instntes {t k } k=1, onde < t 1 < t 2 <... < t k <... e lim t k =, isto é, os instntes de k impulsos não se cumulm. Neste cso, podemos expressr solução de (2.9) d seguinte mneir { y(t; t0, ϕ), t [ r, t 1 ]; y(t) = y(t; t k, y tk ), t (t k, t k+1 ], k = 1, 2,..., isto é, pr cd k N, y(t; t k, y tk ) represent um solução de (2.9) com t [t k, t k+1 ), onde t k denot o instnte inicil e y tk represent função inicil. O lem seguir nos fornece um formulção integrl de um solução de (2.9) utilizndo função de Heviside dd n Definição Lem Suponhmos que função t f (y t, t) é loclmente Lebesgue integrável em t [, + ). Então y P C([ r, + α], D), onde α > 0 e [ r, + α] J, é um solução de (2.9) se e, somente se, ϕ(t ), t [ r, ]; y(t) = ϕ(0) + t f(s, y s ) ds, t (, t 1 ]; y(t k ) + I(t k, y t ) + k y(t m) + I(t m, y t m ) + t t k f(s, y s ) ds, t (t k, t k+1 ], k = 1, 2,, m 1; t t m f(s, y s ) ds, t (t m, + α]

29 24 Cpítulo 2 Equções Diferencis Funcionis com Retrdmento e Impulsos ou equivlentemente, ϕ(t ), t [ r, ]; t y(t) = m ϕ(0) + f(s, y s ) ds + I k (t k, y tk )H tk (t), t (, + α]. t 0 k=1 Demonstrção: Pr demonstrção bst substituir equção em (2.10) n equção integrl presente no Lem Existênci e unicidde de soluções Reconhecendo impossibilidde de resolver mior prte ds EDFRIs explicitmente, põe-se em questão sber se o problem estuddo dmite solução únic, chegndo, ssim os teorems de existênci e unicidde de solução. Com este intuito, considerremos EDFRI em tempos pré-fixdos ẏ (t) = f(t, y t ), t t k, t ; y (t) = I k (y (t)), t = t k, k = 0, 1, 2,... ; y t0 = ϕ, (2.11) onde ϕ P C([ r, 0], R n ) e f : [, + ) P C([ r, 0], R n R n, I k : R n R n ), k = 0, 1, 2,..., e pr quisquer y P C([ r, 0], R n ) e t. y(t) = y(t+) y(t ) = y(t+) y(t), Vmos supor que f : P C([ r, 0], R n ) [, + ) R n stisfz s condições do tipo Crthéodory: (A) pr cd ψ P C([ r, 0], R n ), função t f (t, ψ) é loclmente Lebesgue integrável em t [, + ); (B) existe um função positiv loclmente Lebesgue integrável M : [, + ) R tl que, pr todo ψ P C([ r, 0], R n ) e quisquer u 1, u 2 [, + ), u2 u2 f (s, ψ) ds M (s) ds; u 1 (C) existe um função positiv loclmente Lebesgue integrável L : [, + ) R tl que, pr quisquer ψ, φ P C([ r, 0], R n ) e quisquer u 1, u 2 [, + ), u2 u2 [f (s, ψ) f (s, φ)] ds L (s) ψ φ ds. u 1 Os operdores de impulso I k : R n R n, k = 0, 1, 2,..., stisfzem s condições do tipo Lipschitz, isto é: u 1 u 1

30 2.3 Existênci e unicidde de soluções 25 (A ) existe um constnte K 1 > 0 tl que, pr todo k = 0, 1, 2,..., e todo x R n, I k (x) K 1 ; (B ) existe um constnte K 2 > 0 tl que, pr todo k = 0, 1, 2,..., e pr quisquer x, y R n, I k (x) I k (y) K 2 x y. O próximo lem grnte que tod solução de (2.11) é de vrição limitd em [, + σ], com σ > 0. Lem Suponhmos que s condições (A), (B), (C), (A ) e (B ) estejm stisfeits. Se y : [ r, + σ] R n, σ > 0, é um solução de (2.11), então função y : [, + σ] R n tl que, y(t) = y(t) pr t [, + σ], pertence BV ([, + σ], R n ). Isto é, restrição de y em [, + σ] é de vrição limitd. Demonstrção: Queremos mostrr que V r +σ y < +. De (B), (C), (A ) e (B ), definimos h(t) = t [M(s) + L(s)]ds + mx{k 1, K 2 } + k=0 H tk (t), pr t [, + σ]. (2.12) Clrmente, h é um função não-decrescente e contínu à esquerd, logo h BV ([, + σ], R). Pelo Lem e por (B) e (A ), pr tod divisão D := { = s 1 < s 2 <... < s l = + σ} de [, + σ], temos si + y(s i ) y(s i 1) = f(s, y s )ds + I k (y(t k ))[H tk (s i ) H tk (s i 1 )] s i 1 pr todo i = 1, 2,..., l. Assim, si s i 1 M(s)ds + K 1 si k=1 + k=1 [H tk (s i ) H tk (s i 1 )] s i 1 [M(s) + L(s)]ds + mx{k 1, K 2 } = h(s i ) h(s i 1 ), + k=0 H tk (s i ) H tk (s i 1 ) l y(s i ) y(s i 1 ) l [h(s i ) h(s i 1 )] = h( + σ) h( ) = V r +σ h. Consequentemente, obtemos V r +σ y V r +σ h < +. O próximo resultdo grnte existênci e unicidde de soluções pr EDFRI em (2.11). Pr tnto, usmos o Teorem do Ponto Fixo de Bnch (vej, por exemplo, [22]) no decorrer d demonstrção.

31 26 Cpítulo 2 Equções Diferencis Funcionis com Retrdmento e Impulsos Teorem Consideremos o problem de vlor inicil (2.11). Suponhmos que s condições (A), (B), (C), (A ) e (B ) estejm stisfeits. Então, existe > 0 tl que, y : [ r, + ] R n é únic solução de (2.11) stisfzendo y t0 = ϕ. Demonstrção: Pelo Lem 2.2.1, encontrr um solução de (2.11) definid em [ r, + α], pr lgum α > 0, é equivlente resolver equção integrl ϕ(t ), t [ r, ], y(t) = t + (2.13) ϕ(0) + f(s, y s ) ds + I k (t k, y tk )H tk (t), t (, + α]. k=1 Além disso, como ϕ P C([ r, 0], R n ) foi dd, rest resolvermos (2.13) pr t. Consideremos função h definid em (2.12). Sbendo que h é não-decrescente e contínu à esquerd, então dividiremos est demonstrção em dus: qundo for ponto de continuidde de h e qundo não for. Suponhmos que h é contínu em, então existe > 0, tl que h( + ) h( ) < 1 4 e, tmbém, temos I 0 (y( )) = 0. Observemos que, se y for solução de (2.11) em [ r, + ], pelo Lem 2.3.1, restrição de y o intervlo [, + ] é de vrição limitd. Consequentemente é nturl considerrmos o conjunto A = {z BV([, + ], R n ); z(t) ϕ(0) h(t) h( ), t [, + ]}. Mostrremos que A é um espço de Bnch, ou melhor, que A é fechdo em BV([, + ], R n ). Sej {z n } n N um sequênci em A tl que, z n z em BV([, + ], R n ). Como z n z BV = z n ( ) z ( ) + vr + (z n z ) e z n (t) z (t) z n z BV, pr qulquer t [, + ], segue que z n z uniformemente. Portnto, ddo η > 0, existe n 0 N, tl que z (t) ϕ(0) z (t) z n (t) + z n (t) ϕ(0) < η + h(t) h( ), n n 0. Assim, z (t) x h(t) h( ), pr todo t [, + ], donde x A. Logo, A é fechdo. Pr s [, + ] e z A, definimos T z(s) = ϕ(0) + s f(τ, z τ )dτ + + k=1 I k (z(t k )H tk (s). (2.14) Pel condição (A), o operdor T está bem definido. A seguir, mostrremos que T (A) A. Pr z A, temos T z(s) ϕ(0) = s f(τ, z τ )dτ + h(s) h( ), + k=1 I k (z(t k ))H tk (s)

32 2.3 Existênci e unicidde de soluções 27 pr todo s [, + ]. Além disso, pr z A e s 1, s 2 [, + ] com s 1 s 2, temos T z(s 2 ) T z(s 1 ) = T z(s 2 ) ϕ(0) + T z(s 1 ) ϕ(0) ou sej, V r + T z V r + h. Implicndo em T z A. h(s 2 ) h( ) [h(s 1 ) h( )] = h(s 2 ) h(s 1 ), Pr concluirmos, devemos mostrr que T é um contrção. Sejm s 1 s 2 + e z 1, z 2 A. Usndo (B), (C), (A ) e (B ), temos Logo, = (T z 2 T z 1 )(s 2 ) (T z 2 T z 1 )(s 1 ) = s2 + [f(τ, (z 2 ) τ ) f(τ, (z 1 ) τ )]dτ + [I k (z 2 (t k )) I k (z 2 (t k ))][H tk (s 2 ) H tk (s 1 )] s 1 s2 s 1 L(s) (z 2 ) τ (z 1 ) τ dτ + K 2 z 2 z 1 BV [h(s 2 ) h(s 1 )]. k=1 + k=1 z 2 (t k ) z 2 (t k ) H tk (s 2 ) H tk (s 1 ) V r + (T z 2 T z 1 ) z 2 z 2 BV V r + h = z 2 z 2 BV [h( + ) h( )] < 1 4 z 2 z 2 BV. Então, T z 2 T z 1 BV 2V r + (T z 2 T z 1 ) 1 2 z 2 z 2 BV. Portnto, T é um contrção. Pelo Teorem do Ponto Fixo de Bnch, existe um único z A tl que T z = z. Consequentemente, função y(t) = { ϕ(t t0 ), t [ r, ]; z(t), t [, + ] (2.15) é únic solução de (2.11). Agor, suponhmos que h não é contínu em. Definimos h(t) = { h(t), t = t0 ; h(t) [h(t + 0 ) h( )], t >. (2.16) Então, h é contínu em e, ssim, existe > 0, tl que [h( + ) h( )] < 1 4. Consideremos o operdor I 0 : R n R n, tl que I 0 (x(t)) = { I0 (x(t)), t = ; I 0 (x(t)) [I 0 (x(t + 0 )) I 0 (x( ))], t >, (2.17)

33 28 Cpítulo 2 Equções Diferencis Funcionis com Retrdmento e Impulsos pr tod função x : [, + ] R n. Consideremos, tmbém, o sistem ẏ (t) = f(t, y t ), t t k, t, y (t) = I k (y (t)), t = t k, k = 1, 2,..., y (t) = I 0 (y (t)), t =, y t0 = ϕ, (2.18) onde Definimos, ϕ(t) = { ϕ(θ), θ [ r, 0); ϕ(0) + I 0 (ϕ(0)), θ = 0. (2.19) A = {z BV([, + ], R n ); z(t) ϕ(0) h(t) h( ), t [, + ]}. Como fizemos nteriormente, provmos que A é um espço de Bnch. Consideremos o operdor T z(s) = ϕ(0) + I 0 (ϕ(0)) + s f(τ, z τ )dτ + + k=1 I k (z(t k ))H tk (s). (2.20) Como no cso nterior, T possui um único ponto fixo z A. Portnto, y : [ r, + ] R n, dd por { ϕ(t t0 ), t [ r, ]; y(t) = (2.21) z(t), t [, + ] é únic solução de (2.11) que stisfz y t0 = ϕ.

34 CAPÍTULO 3 Equção Diferencil Ordinári Generlizd Dividiremos o estudo ds Equções Diferenciis Ordináris Generlizds (EDOGs), em dus seções. Abordremos, primeirmente, integrção de Kurzweil e n sequênci teori fundmentl ds EDOGs. N primeir seção, vmos presentr definição originl d integrl de Kurzweil que é essencil pr definição d EDO em um sentido mis mplo e que generliz s equções diferenciis no sentido de Crthéodory. Dividiremos o nosso estudo em qutro subseções. N primeir subseção, presentremos definição de integrl de Kurzweil. N seguinte, comentremos sobre integrl de Henstock-Kurzweil e provremos o Teorem Fundmentl do Cálculo. N terceir subseção, destcremos s proprieddes fundmentis ds integris de Kurzweil e lguns resultdos que serão importntes no decorrer deste trblho. Por fim, investigremos resultdos de convergênci. A principl referênci dest seção é [35]. N segund seção, introduziremos lgums definições e presentremos resultdos importntes sobre s EDOGs que serão de grnde vli o longo do trblho. Dividiremos em dus subseções. N primeir dels, s EDOGs são definids prtir d integrl de Kurzweil. N seguinte, nlisremos existênci e unicidde de soluções pr um clsse de EDOGs. As principis referêncis serão [2, 10, 18] e [35]. Neste cpítulo, trblhremos com funções ssumindo vlores em um espço de Bnch, por isso dptmos, de modo à generlizr, os resultdos em [35]. A principl dptção será formulção de um Teorem de Convergênci pr integrl de Kuzweil. Ess bordgem é necessári pr obtermos 29

35 30 Cpítulo 3 Equção Diferencil Ordinári Generlizd correspondênci entre um clsse de EDOGs e um clsse de EDFRIs cujs funções ssumem vlores em R n. 3.1 Integrl de Kurzweil A integrl de Riemnn ou R-integrl, definid em 1854 por Bernhrd Riemnn, é um ferrment clássic usd n resolução de muitos problems mtemáticos té hoje. No finl do século XIX, mtemáticos consttrm lgums desvntgens o se trblhr com integrl de Riemnn ou, simplesmente, R-integrl. Por exemplo, um função não-limitd em [, b] não é R-integrável, ou ind, no Teorem Fundmentl do Cálculo fz-se necessário continuidde de um função pr que su derivd sej R-integrável. Em 1902, Henri Léon Lebesgue generlizou o conceito de integrl de Riemnn de modo que integrl de Lebesgue ou, simplesmente, L-integrl, presentsse diverss vntgens em relção à integrl de Riemnn, sobretudo em relção os cálculos envolvendo limites. Não existem versões dos Teorems d Convergênci Monóton e Domind e do Lem de Ftou usndo integrl de Riemnn. Por outro ldo, o Teorem Fundmentl do Cálculo pr integrl de Lebesgue, grnte que derivd de um função é L-integrável se el for bsolutmente contínu. Portnto, é nturl nos perguntrmos se é possível construir um conceito de integrl onde tod derivd de um função é integrável. Arnud Denjoy, em 1912, obteve um processo de integrção chmdo de integrl de Denjoy ou D-integrl, generlizndo, ssim, o conceito de integrbilidde de Lebesgue e resolvendo o problem de reconstrução de tl função por meio de su derivd. Simultnemente, Oskr Perron, em 1914, explorou um método diferente pr o mesmo problem e o usou no estudo de equções diferenciis. Surpreendentemente o processo de Perron é equivlente o de Denjoy e mis simples (vej [19]). Por outro ldo, s definições de Riemnn, Lebesgue, Denjoy e Perron possuem pouco em comum. Em 1957, Jroslv Kurzweil investigou um processo de integrção bsedo ns ideis de Riemnn e obteve integrl de Kurzweil ou integrl de Riemnnn Generlizd que consiste n definição de integrl pr funções de dus vriáveis. O processo ddo por Kurzweil, em [25] e nos rtigos subsequentes [26, 27, 28], mostr que o novo trtmento ds integris surgiu prtir ds dificulddes presentes n teori ds equções diferenciis ordináris. Em prticulr, o principl motivo de se introduzir integris deste tipo à teori ds EDOs no lugr ds integris de Riemnn e de Lebesgue foi presenç de forçs externs que oscilm bstnte, por exemplo, EDOs que envolvem funções descontínus ou s que não são de vrição limitd. Independentemente, Rlph Henstock, em 1961, tmbém trblhou com definição de integrl como de Kurzweil pr funções de um vriável (ver [19, 24, 30, 39]). A integrl de Kurzweil, englob este conceito e, por este motivo, lguns utores chmm de integrl de Henstock-Kurzweil ou HK-integrl. A idei presente n definição de integrl de Kurzweil de um função U : [, b] [, b] X é prticionrmos o intervlo [, b] de form que s peculiriddes d função sejm levds em considerção. A integrl, por su vez, é proximd por soms de Riemnn e os subintervlos d prtição

36 3.1 Integrl de Kurzweil 31 de [, b] devem se dptr pr diminuir influênci ds prcels n som de Riemnn que sejm desproporcionis Definição de integrl Relembrmos que X represent um espço de Bnch com norm.. Definição Sej [, b] R. (i) Um divisão D = {J 1, J 2,..., J k } de [, b] é um coleção finit de subintervlos compctos J i de k [, b], i = 1, 2,..., k, k N, tis que [, b] = J i e int(j i ) int(j j ) = sempre que i j; (ii) Um intervlo mrcdo é um pr (τ, J) que consiste de um ponto τ R e um intervlo J em R. Dizemos que τ é um mrc de J; (iii) Um divisão mrcd ou um prtição de [, b] é um coleção finit D = {(τ i, J i ), i = 1, 2,...k}, onde D = {J 1, J 2,..., J k } é um divisão de [, b] e τ i J i pr cd i = 1, 2,..., k; (iv) Um clibre em [, b] é qulquer função δ : [, b] (0, + ); (v) Sej δ um clibre em [, b]. Um divisão mrcd ou prtição D é dit δ-fin se, pr todo i = 1, 2,..., k, tem-se J i [τ i δ(τ i ), τ i + δ(τ i )]. No exemplo seguinte, ddo um clibre δ e um divisão de [0, 1], consttmos que nem tod mrc tornrá divisão mrcd δ-fin. Exemplo Consideremos função clibre δ : [0, 1] (0, + ) dd por Sej D = {[0, 1], [ 1, 1], [ 1, 1]} um divisão de [0, 1] { t, se 0 < t 1 δ(t) = 1, se t = 0. (3.1) 2 A divisão mrcd D 1 = {(0, [0, 1]), ( 1, [ 1, 1]), (1, [ 1, 1])} é δ-fin. Ms nem tod divisão mrcd será δ-fin, por exemplo, divisão mrcd D 2 = {( 1, [0, 1]), ( 1, [ 1, 1]), (1, [ 1, 1])} não é δ fin, pois [0, 1] [ 1 δ( 1 ), 1 + δ( 1 )] = [0, 1] Destcmos que pens n divisão mrcd D os intervlos J i são os elementos fundmentis e mrc é qulquer ponto de J i, ms em um divisão mrcd δ-fin D os elementos fundmentis são s mrcs e os intervlos que devem-se "dptr" pr stisfzer Definição Agor nos perguntmos se ddo qulquer clibre δ de [, b], é sempre possível obter um divisão mrcd δ-fin de [, b]? A respost é firmtiv e segue do próximo resultdo conhecido como Lem de Cousin. Lem [Cousin] Se δ é um clibre em [, b], então existe um divisão mrcd δ-fin em [, b].

37 32 Cpítulo 3 Equção Diferencil Ordinári Generlizd Demonstrção: Suponhmos, por bsurdo, que não exist um divisão mrcd δ-fin em [, b]. Sej {[, +b +b ], [, b]} um divisão de [, b], implicndo em um desses subintervlos não possuir um 2 2 divisão mrcd δ-fin, o qul denotremos por [ 1, b 1 ]. Fzendo este processo, por indução, construímos um sequênci de subintervlos [ 1, b 1 ], [ 2, b 2 ], [ 3, b 3 ],... de [, b] em R, stisfzendo, pr todo n N, s seguintes condições: (i) [ n, b n ] [ n+1, b n+1 ]; (ii) não há um divisão mrcd em [ n, b n ]; (iii) b n n = b 2 n, n N. Pelo Teorem dos Intervlos Encixdos (vej, por exemplo, [31]), segue lgum c [, b]. Porém, do item (iii), existe n 0 N, tl que [ n, b n ] = {c}, pr n=1 [ n0, b n0 ] [c δ(c), c + δ(c)]. Isto implic que {(c, [ n0, b n0 ])} é um divisão mrcd δ-fin de [ n0, b n0 ], contrdizendo o item (ii), concluindo prov deste lem. Sej U : [, b] [, b] X um função. Usremos seguinte notção S(U, D) = k [U(τ j, α j ) U(τ j, α j 1 )] j=1 pr som de Riemmn correspondente à função U e à divisão mrcd D de [, b]. Noss propost, neste trblho, será considerr um situção específic que surgiu prtir ds equções diferenciis ordináris pontd pelo mtemático tcheco Jroslv Kurzweil em seu rtigo em 1957 ([25]). A seguir, formlizmos definição de integrl no sentido de Kurzweil. Definição Um função U : [, b] [, b] X é Kurzweil integrável, ou simplismente K- integrável, se existe um elemento I X e, pr todo ϵ > 0, existe um clibre δ em [, b], tl que k S(U, D) I = [U(τ j, α j ) U(τ j, α j 1 )] I < ϵ, pr tod divisão mrcd δ-fin D = {(τ i, [α i 1, α i ]), i = 1,..., k} de [, b]. j=1 N Definição 3.1.2, em virtude do Lem de Cousin (Lem 3.1.1), ddo um clibre δ em [, b], sempre grntimos existênci de um divisão mrcd δ-fin deste intervlo. Chmremos I X de integrl de Kurzweil ou K-integrl de U sobre o intervlo [, b] e denotremos est integrl por relção nenhum com diferencil de U. DU(τ, t). Est é pens um notção simbólic e letr D não possui

38 3.1 Integrl de Kurzweil 33 Sej K([, b], X) o conjunto de tods s funções U : [, b] [, b] X que são integráveis em [, b], no sentido de Kurzweil. Pr consttrmos que Definição está bem post, mostrremos unicidde d integrl. Teorem Se U K([, b], X), então DU(τ, t) é únic. Demonstrção: Sejm I 1 e I 2 vlores d integrl de Kurzweil de U em [, b]. Ddo ϵ > 0, existem clibres δ 1 e δ 2 em [, b], tis que S(U, D 1 ) I 1 < ϵ 2 e S(U, D 2 ) I 2 < ϵ 2, pr tods divisões mrcds δ 1 -fin D 1 e δ 2 -fin D 2, respectivmente. Definimos o clibre δ em [, b], por δ(x) = min{δ 1 (x), δ 2 (x)}, pr todo x [, b]. Pelo Lem de Cousin (Lem 3.1.1), existe um divisão mrcd δ-fin D, que pel escolh de δ, é tmbém δ 1 e δ 2 fins. Consequentemente, I 1 I 2 S(U, D) I 1 + S(U, D) I 2 < ϵ. Como ϵ > 0 é rbitrário, concluímos que I 1 = I 2. Como no cso ds integris de Riemnn, s integris de Kurzweil tmbém são crcterizds pelo Critério de Cuchy. Este critério será fundmentl n demonstrção dos resultdos seguintes. Teorem [Critério de Cuchy] Um função U : [, b] [, b] X é Kurzweil integrável em [, b] se, e somente se, ddo ϵ > 0, existe um clibre δ em [, b], tl que pr quisquer divisões mrcds δ-fins D 1 e D 2. S(U, D 1 ) S(U, D 2 ) < ϵ, (3.2) Demonstrção: Se supormos que U K([, b], X) o resultdo será imedido. Reciprocmente, pr cd clibre δ em [, b], definimos o conjunto = {S(U, D); D é um divisão mrcd δ fin de [, b]}. δ Pel definição cim, é evidente que se δ 1 δ 2, temos que um divisão mrcd δ 1 -fin será δ 2 -fin, o que implic em. Além disso, de (3.2), escolhendo δ um clibre correspondente δ 1 δ 2 este ϵ > 0, temos dim δ ϵ. (3.3) Agor, sejm (ϵ n ) n N um sequênci, com ϵ n 0 e os clibres correspondentes δ n stisfzendo δ n+1 δ n. Portnto, os conjuntos, n N, formm um sequênci decrescente de subconjuntos δ n de X com dim δ n 0, sempre que n +. Como X é um espço de Bnch, existe um único

39 34 Cpítulo 3 Equção Diferencil Ordinári Generlizd I X que é derente todos os subconjuntos. Dest form, rest provr que DU(τ, t) = I. δ n De fto, ddo ϵ > 0 cim, tommos um sequênci (ϵ n ) n N com ϵ n < ϵ e cd clibre δ correspondente. Então, pr tod divisão mrcd δ-fin D de [, b], temos S(U, D). Portnto, δ por (3.3), temos o desejdo Integrl de Henstock-Kurzweil A definição usul de integrl de Henstock-Kurzweil e os principis resultdos podem ser encontrdos em [19, 24, 39]. Sejm f : [, b] R um função e D = {(τ i, [α i 1, α i ]), i = 1,..., k} um divisão de [, b]. Se U : [, b] [, b] R é dd por U(τ, t) = f(τ) t, com τ, t [, b], então S(U, D) = k [U(τ i, α i ) U(τ i, α i 1 )] = k f(τ i )[α i α i 1 ] represent clássic som Rimnnin pr função f e prtição D de [, b]. Podemos n Definição d integrl de Kurzweil usr função U cim. Dest form, obteremos o conceito conhecido n litertur como integrl de Henstock-Kurzweil ou HK-integrl pr um função f definid em [, b] e denotd por (HK) Henstock-Kurzweil. f(s)ds, (vej [39]), ou sej, teori d integrl de Kurzweil englob Observmos que pr s integris de Riemnn, s prtições são escolhids independentemente d função f. Assim, est definição não lev em considerção s prticulriddes d função envolvid. Observemos que tod função Riemnn integrável é Henstock-Kurzweil integrável, bst tomrmos n Definição função clibre como sendo um constnte δ proveniente do ϵ > 0 ddo. Porém, recíproc não é verddeir, vejmos o exemplo seguir. Exemplo Sej f : [0, 1] R função de Dirichlet, i.e., f(x) = { 1, se x [0, 1] Q 0, se x [0, 1] \ Q. (3.4) Sbemos que função de Dirichlet não é Riemnn integrável (vej [31]). Mostrremos que (KH) f(s)ds = 0. Sejm ϵ > 0 e (r n ) n N um enumerção dos números rcionis em Q [0, 1]. Definimos o clibre δ em [, b] por ϵ δ(t) = 2, se t = r n, n N; n+1 (3.5) 1, se t [0, 1] \ Q.

40 3.1 Integrl de Kurzweil 35 Sej D = {(τ i, [α i 1, α i ]), i = 1, 2,..., k} um divisão mrcd δ-fin de [0, 1]. Então, k S(f, D) 0 = S(f, D) = f(τ i )[α i α i 1 ] k f(τ i )[α i α i 1 ] + k f(τ i )[α i α i 1 ] = τ i Q [0,1] k τ i Q [0,1], τ i [0,1]\Q f(τ i )[α i α i 1 ] < k=1 ϵ 2 k = ϵ. Como ϵ > 0 é rbitrário, temos que função f é HK-integrável e (HK) 1 0 f(s)ds = 0. Vejmos no próximo exemplo, extrído de [1], que s funções ilimitds, tmbém, podem ser HK-integráveis. Exemplo Sej f : [0, 1] R dd por f(x) = { ( 1) n n, se x [ 1 n+1, 1 n ] 0, se x = 0. (3.6) Mostrremos que f é KH-integrável e (KH) 1 0 f(s)ds = + ( 1) i 1 i + 1. De fto, sej ϵ > 0 ddo, pr k > 0 suficientemente grnde, definimos o clibre δ de [0, 1], pondo min{ 1 t, t 1 1 }, se t (, 1 ), n N; n n+1 n+1 n δ(t) = k n, se t = 1 [0, 1], n N; n (3.7) ϵ, se t = 0. Sej D = {(τ i, [α i 1, α i ]), i = 1, 2,..., k} um divisão mrcd δ-fin de [0, 1]. Então, + S(f, D) ( 1) i 1 k + = f(τ i )[α i α i 1 ] ( 1) i 1 i + 1 i + 1 2ϵ k 2ϵ + 2 i k 1. Como ϵ > 0 é ddo rbitrrimente e k > 0 é escolhido suficientemente grnde, obtemos o desejdo. Um dos objetivos, segundo Henstock, er construir um teori de integrção, fim de que fosse possível grntir reconstrução de um função por meio de sus derivds, ou sej, um versão do Teorem Fundmentl do Cálculo que não exigisse mis hipóteses sobre primitiv de um função. No próximo teorem temos o desejdo.

41 36 Cpítulo 3 Equção Diferencil Ordinári Generlizd Teorem [Teorem fundmentl do Cálculo] Sej F : [, b] R um primitiv de f, isto é, existe um função f : [, b] R tl que f(x) = F (x), pr todo x [, b]. Então, f é KH-integrável e (KH) f(s)ds = F (b) F (). Demonstrção: Sej ϵ > 0 ddo. A idei é construir um clibre δ em [, b], tl que, pr tod divisão mrcd δ-fin D = {(τ i, [t i 1, t i ]), i = 1, 2,..., k}, tenhmos k f(τ i )[t i t i 1 ] (F (b) F ()) < ϵ(b ). Por hipótese, F (τ) = f(τ), pr todo τ [, b]. Logo, pr cd τ [, b], existe um constnte δ(τ) = δ(τ, ϵ) > 0 tl que F (r) F (τ) f(τ)(r τ) < ϵ r τ ; F (τ) F (s) f(τ)(τ s) < ϵ s τ, sempre que τ δ(τ) < s < τ < r < τ + δ(τ). Portnto, supondo τ δ(τ) < s τ r < τ + δ(τ). F (r) F (s) f(τ)(r s) < ϵ r s, A função cim δ : τ [, b] δ(τ) R é o clibre que procurmos. De fto, sej D um divisão mrcd δ-fin, então k k f(τ i )[t i t i 1 ] (F (b) F ()) = [f(τ i )(t i t i 1 ) (F (t i ) F (t i 1 ))] Portnto, função f é HK-integrável. < k ϵ(t i t i 1 ) = ϵ(b ). É nturl questionrmos relção entre integrl de Henstock-Kurzweil e de Lebesgue. Sbemos que integrl de Lebesgue é um integrl bsolut, enqunto que de Henstock-Kurzweil é um integrl condicionl, ou sej, possui funções integráveis que não são bsolutmente integráveis. Por isso, dremos um exemplo de um função que não é L-integrável ms, pelo Teorem 3.1.3, será HK-integrável. Exemplo Consideremos função f : [0, 1] R, dd por ( π ) x 2 cos, pr 0 < x 1; f(x) = x 2 0, se x = 0. (3.8) A função f é diferenciável com ( π ) 2x cos + 2π ( π ) f (x) = x 2 x sen, pr 0 < x 1; x 2 0, pr x = 0. (3.9)

42 3.1 Integrl de Kurzweil 37 É imedito do Teorem que derivd f é HK-integrável em [0, 1]. Vmos mostrr que f não é Lebesgue integrável em [0, 1]. Pr, b R com 0 < < b < 1, função f é contínu em [, b]. Pelo Teorem Fundmentl do Cálculo, f é R-integrável e stisfz (R) ( π ) ( π ) f (x)dx = b 2 cos 2 cos. b 2 2 Consideremos k = 2 4k + 1 e b k = 1 2k, k N. Então k ( ) ( ) π π (R) f (x)dx = b 2 k cos 2 k b 2 k cos = 1 k 2 k 2k. Observemos que {[ i, b i ] i N } form um fmíli de intervlos dois à dois disjuntos e [0, 1] e + k=1 (R) k k f (x) dx + k=1 Assim, função f não é L-integrável, pois, cso contrário, 1 2k = +. [ k, b k ] k=1 (L) 1 0 f (x) dx + (R) k k=1 k f (x) dx. Portnto, f não é bsolutmente integrável em [0, 1], o que implic que f não é Lebesgue integrável Proprieddes d integrl de Kurzweil Até o fim deste cpítulo, diremos que um função é integrável nos referindo integrl no sentido de Kurzweil, menos que sej necessário fremos distinção. A seguir, vmos presentr teorems que trtm de lgums proprieddes fundmentis dest integrl e que serão utilizds o longo do nosso trblho. O primeiro teorem que presentmos é sobre lineridde d integrl de Kurzweil. Teorem Sejm U, V K([, b], X) e c 1, c 2 R. Então c 1 U + c 2 V K([, b], X) e D[c 1 U(τ, t) + c 2 V (τ, t)] = c 1 DU(τ, t) + c 2 DV (τ, t).

43 38 Cpítulo 3 Equção Diferencil Ordinári Generlizd Demonstrção: Sejm D = {(τ i, [α i 1, α i ]), i = 1,..., k} um divisão mrcd rbitrári de [, b] e S(U, D) e S(V, D) s soms de Riemnn ds funções U e V, respectivmente. Então, S(c 1 U + c 2 V, D) = = k [(c 1 U + c 2 V )(τ i, α i ) (c 1 U + c 2 V )(τ i, α i 1 )] k [c 1 U(τ i, α i ) + c 2 V (τ i, α i ) c 1 U(τ i, α i 1 ) + c 2 V (τ i, α i 1 )] k = c 1 [U(τ i, α i ) U(τ i, α i 1 )] + c 2 donde segue imeditmente o resultdo. = c 1 S(U, D) + c 2 S(V, D), k [V (τ i, α i ) V (τ i, α i 1 )] A seguir, estbelecemos um teorem que é um consequênci do Teorem e trt d integrbilidde de um função em subintervlos de [, b]. Teorem Sej U K([, b], X). Então, pr todo subintervlo [c, d] [, b], temos U K([c, d], X). Demonstrção: Ddo ϵ > 0, pelo Teorem 3.1.2, existe um clibre δ em [, b] tl que pr quisquer prtições δ-fins D 1 e D 2 de [, b]. S(U, D 1 ) S(U, D 2 ) < ϵ, Sejm D 1 e D 2 quisquer prtições δ-fin de [c, d] e, suponhmos < c < d < b. Pelo Lem existem prtições δ-fins de [, c] e [d, b] denotds por D L e D R, respectivmente. Unindo s prtições D L, D 1 e D R obtemos um prtição δ-fin D 1 de [, b]. Anlogmente, união de D L, D 2 e D R nos fornece um outr prtição δ-fin D 2 de [, b]. Assim, S(U, D 1 ) S(U, D 2 ) = S(U, D 1 ) ± S(U, D L ) ± S(U, D R ) S(U, D 2 ) Portnto, pelo Teorem 3.1.2, U K([c, d], X). = S(U, D 1 ) S(U, D 2 ) < ϵ. Teorem Se c (, b) e U : [, b] [, b] X é tl que U K([, c], X) K([c, b], X), então U K([, b], X) e DU(τ, t) = c DU(τ, t) + c DU(τ, t). (3.10) Demonstrção: Sej ϵ > 0 ddo. Escolhemos clibres δ 1 e δ 2 de [, c] e [c, b], respectivmente, correspondentes ϵ ns definições de I 1 = c DU(τ, t) e I 2 = DU(τ, t). Definimos função clibre c uxilir δ por δ 1 (τ), pr τ [, c) δ(τ) = min{δ 1 (τ), δ 2 (τ)}, pr τ = c (3.11) δ 2 (τ), pr τ (c, b].