MODELAGEM E CONTROLE DE ESTRUTURAS ESPACIAIS FLEXÍVEIS

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1 INPE-75-PUD/75 MODELAGEM E CONTROLE DE ESTRUTURAS ESPACIAIS FLEXÍVEIS Marco Rcardo Avs da Cosa Trdnnck Eam d Quafcação d Douorado sgundo ma do Curso d Pós-Graduação m Engnhara Tcnooga Espacas ornado po Dr Marco Lops d Ovra Souza aprovado m d mao d 5 INPE São José dos Campos 5

2 AGRADECIMENTOS Agradço aos Profssors Marco Lops d Ovra Souza Dr Luz Caros Gadha d Souza pos nsnamnos a rspo d Modagm Conro d Esruuras Espacas Fívs aos dmas mmbros da banca dss Eam d Quafcação d Douorado pas vaosas obsrvaçõs comnáros fos: Gbro da Cunha Trvao Máro Czar Rcc

3 RESUMO Ns rabaho prnd-s dar uma vsão suprfca das prncpas écncas d modagm conro apcados a sruuras fívs u m parcuar nrss m apcaçõs spacas Os méodos d modagm mamáca m a sua ora aprsnada d forma ncadada o u faca a comprnsão dos msmos dado u podmos vr caramn como surg cada méodo parndo d um anror Os méodos d modagm mamáca aprsnados au são: prncípo do rabaho vrua prncípo D ambr as uaçõs d Eur-Lagrang o méodo dos modos assumdos ou modos admdos o méodo dos mnos fnos Na par u raa d conro srão abordados os sguns méodos: conro moda LQR/LQG H H nf

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5 MODELING AND CONTROL OF SPACE FLEXIBLE STRUCTURES ABSTRACT In hs work w am o gv an ovrvw abou h man chnus n modng and conro appd o fb srucurs ha has parcuar nrs n spac appcaons Th mahmaca modng mhods has s hor prsnd n chand form ha maks as h comprhnson bcaus w can s as arss a mhod from h prvous Th modng mhods prsnd ar: vrua work prncp D Ambr prncp Eur-Lagrang uaons Assumd Mods mhod Fn Emns mhod In h conro par w b pand h foowng mhods: moda conro LQR/LQG H and H nf

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8 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS 5 LISTA DE TABELAS 7 CAPÍTULO INTRODUÇÃO9 CAPÍTULO PRINCÍPIOS: DO TRABALHO VIRTUAL D ALEMBERT ESTENDIDO E GENERALIZADO DE HAMILTON PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL PRINCÍPIO DE D ALEMBERT: PRINCÍPIO DE HAMILTON:6 CAPÍTULO ABORDAGEM LAGRANGEANA DAS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO 5 CAPÍTULO VIGAS DE EULER-BERNOULI E TIMOSHENKO CAPÍTULO 5 O PROBLEMA DIFERENCIAL DO AUTOVALOR5 CAPÍTULO 6 MÉTODO DOS MODOS ASSUMIDOS 5 CAPÍTULO 7 CONCEITO DE MODELAGEM PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS59 7 MOVIMENTO AXIAL59 7 MOVIMENTO TRANSVERSAL6 7 MOVIMENTO DE TORÇÃO 68 7 DINÂMICA ENVOLVENDO TRELIÇAS - MÉTODO DO DESLOCAMENTO 7 CAPÍTULO 8 CONTROLE ANALÓGICO DE ESTRUTURAS FLEXÍVEIS75 8 CONTROLE VIA REPRESENTAÇÃO EM VARIÁVEIS DE ESTADO MODAIS 75 8 CONTROLE LQR76 8 CONTROLE LQG: NORMA MÍNIMA H 78 8 CONTROLE H 8 Pág 85 CONTROLE H 8 86 VANTAGENS E DESVANTAGENS DAS TÉCNICAS DE CONTROLE ABORDADAS8

9 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 85

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12 LISTA DE FIGURAS FIGURA - Movmno d uma parícua sobr uma suprfíc d víncuo FIGURA - Inrpração gráfca d um dsocamno vrua 7 FIGURA - Trajóras ra prurbada 6 FIGURA - Vga d Eur-Brnou FIGURA - Vga d Tmoshnko FIGURA 5 Dvrsos pos d arranjos com uma vga as uaçõs ranscndnas modos d vbração corrspondns 9 FIGURA 7 Um mno unform sujo à dformação ongudna 6 FIGURA 7 Funçõs d forma para o mno ongudna 6 FIGURA 7 Dfão ransvrsa na vga d Eur-Brnou 6 FIGURA 7 funçõs d forma para a dformação ransvrsa 67 FIGURA 7 5 mno d vga sofrndo orção 69 FIGURA 76 ssma d os coordnados d uma rça 7 FIGURA 77 Dcomposção dos dsocamnos ongudnas da vga m componns do o goba 7 FIGURA 8 Dagrama m bocos d ramnação com a prsnça d varávs ógnas 78 FIGURA 8 Esruura m bocos do Conroador H 8 FIGURA 8 Esruura m bocos do Conroador H 8

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14 LISTA DE TABELAS Taba : vanagns dsvanagns das écncas d conro abordadas 8

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16 CAPÍTULO INTRODUÇÃO A modagm d ssmas consdrando a fbdad como mno rvan m aumnado consdravmn nas úmas décadas dvdo prncpamn ao aumno das gêncas da dmanda d srvços d ssmas com sruuras fívs aos probmas assocados à nração sruura & conro CSI Conro Srucur Inracon A modagm d sruuras fívs pod sr consdrado rvan por mpo m projos d: a sgmno arospaca: saés arfcas com grands panés soars saçõs spacas vícuos ançadors d saés ônbus spacas avõs c; b sgmno ndusra: usnagns d aa prcsão manpuadors robócos fívs nanocnooga c Torna-s rvan assm sudarmos aguns méodos mamácos para modagm d ssmas físcos como sss Srão aprsnados ópcos ddácos u nos possbarão comprndr como modar uma sruura fív as como: prncípo nddo gnrazado d Hamon abordagm agrangana probma dfrnca do auovaor orogonadad d modos nauras rsposa compa para o comporamno d uma sruura fív méodos dos modos assumdos o méodo dos mnos fnos Comprnddo como s faz a modagm d sruuras fívs nndrmos posrormn ambém como conroar o su comporamno 9

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18 CAPÍTULO PRINCÍPIOS: DO TRABALHO VIRTUAL D ALEMBERT ESTENDIDO E GENERALIZADO DE HAMILTON O prncípo d Hamon é o mas famoso prncípo varacona da Mcânca é concuamn smps d sr apcado mas possu uma ágbra cácuo u na maora dos casos orna-s muo dosa dvdo a uma grand uandad d ngraçõs por pars u surgm nos cácuos As uaçõs d Lagrang u saíram do prncípo d Hamon rsovram sa dfcudad anaíca O prncípo gnrazado d Hamon é dfndo da sgun forma Junkns 99; Mrovch 98: K V d W nc d ond K é a nrga cnéca oa V é a nrga ponca Wnc é o rabaho vrua causado por forças não consrvavas as como o amorcmno ond o u aparc m ndca uma varação das funçõs Para dduzr o prncípo gnrazado d Hamon prcsamos dos prncípos do rabaho vrua d D Ambr PRINCÍPIO DO TRABALHO VIRTUAL Sja o movmno d uma parícua sobr uma suprfíc d víncuo f a como mosrado na Fgura ond d r é a vocdad da parícua sobr a suprfíc d víncuo angnca à d sa suprfíc r f é o gradn da suprfíc d víncuo norma à msma

19 F v f dr / d z r f FIGURA - Movmno d uma parícua sobr uma suprfíc d víncuo dr Pa Fgura pod-s scrvr: Como r f mos d r dr f d r f dr Imagn u sa parícua nraja com a suprfíc d víncuo d forma u uma força norma F força dvda ao víncuo surja ogo v F v // r f r f k F v Subsundo a Euação 5 na Euação mos: 5 k F v dr 6 F v dr 7 Como rabaho dfn-s como força dsânca vm da uação 7 dw F v dr 8 Pod havr o caso m u a suprfíc d víncuo s modfca com o mpo O procdmno anaíco para suprar sa dfcudad vm pa nrodução do prncípo dos dsocamnos vruas ond s dsconsdra a prurbação mpora daí mos a prssão do prncípo do rabaho vrua como sgu na uação 9:

20 W F v r 9 O prncípo do rabaho vrua pod sr nuncado da sgun forma: o rabaho fo pas forças d víncuo ravas a dsocamnos vruas é zro Empo : Mrovch 97 para o ssma dnâmco aprsnado nconr po prncípo do rabaho vrua a uação do movmno cosθ -k Eo Moa C Eásca k θ Eo m m g r Rsposa: W F v r k m g W k mg Como cos θ cos θ sn θ mos os dfrncas:

21 sn θ θ cos θ θ Assm subsundo na uação d W vm: k cos θ sn θ θ mgcos θ θ k cos θ sn θ mgcos θ θ Como θ não: k cos θ cos θ an θ sn θ mgcos θ mg k Qu é uma uação ranscndna do movmno para a coordnada gnrazada θ com o ssma m uíbro & θ & θ PRINCÍPIO DE D ALEMBERT: Da sgunda d Nwon da nérca: F p ond F é a força rsuan d odas as forças prsns no ssma p é a drvada do momno nar Suponha u possamos rscrvr F na forma: F F F v j j ond F são odas as forças apcadas F vj são as forças d víncuo Subsundo a Euação na Euação rmos o prncípo d D Ambr: F F v j p j Para chgar ao prncípo gnrazado d D Ambr mos u procdr como sgu: mupu a uação por um dsocamno vrua rvrsív r um r r j para cada componn: Sndo F Tmos u r F v j r j p r j F v F v j

22 F r F v r j p r 5 Po prncípo do rabaho vrua uação 9 podmos smpfcar a uação 5 da sgun forma: F r p r 6 Como para cada F apcada há um p uvan ond F p é conhcda como força fva rmos o prncípo gnrazado d D Ambr Mrovch 97: F p r 7 É nrssan prcbr u a da consrvação da nrga pod sr obda a parr da uação 7 apromando r para uma varação nfnsma d r : d dr F r m r d d d 8 Do cácuo dfrnca mnar sab-s u dr dr r r ogo: d d d F r m r r d d 9 Sndo o ssma consrvavo sndo K a nrga cnéca U a nrga ponca mos u o rabaho pod sr dado por: fazndo: W U F dr dk d m r r Trmos subsundo as Euaçõs na Euação 9: du dk d U K Ingrando a uação mos: 5

23 E K U Logo podmos concur u a nrga mcânca ou oa E uação é uma consan gua à soma das nrgas cnéca ponca váda para ssmas m u a nrga ponca os víncuos ndpndm do mpo PRINCÍPIO DE HAMILTON: Do prncípo gnrazado d D Ambr Euação 7 mos: F m r r 5 Sndo m r r F r 6 W F r 7 o rabaho vrua razado por odas as forças prsns no ssma consrvavas não consrvavas mbrando-s u d d r r r r r r do cácuo mnar conform vmos dr d r r r rmos: d d d r r r r r r d 8 Daí vm apcando-s as Euaçõs 7 8 na Euação 6 rmos d m r r m r r W d 9 d m r r K W d d K W m r r d Ingrando no mpo a uação no nrvao [ ] rmos 6

24 K W d m d r r K W d m r r O sgundo mmbro da uação dará zro como pod-s vr pa Fgura : m a varação r orna-s nua m ração ao camnho ra nwonano ou dnâmco Camnho varado r Camnho ra FIGURA - Inrpração gráfca d um dsocamno vrua Logo a uação smpfca-s na sgun uação: K W d Como W rprsna o rabaho vrua d forças consrvavas não consrvavas vm u W W C W NC 5 ond W C U é o rabaho razado por forças consrvavas W NC é o rabaho razado por forças não consrvavas daí rmos: W U W NC Apcando a Euação 6 na Euação vm: 6 K U d W NC d 7 K U d W d NC 8 7

25 A uação 8 é conhcda como prncípo gnrazado d Hamon ond a chamada agrangana do ssma é dada por L K U o u prm rscrvr a uação 8 na forma L d W NC d S não há forças não consrvavas no ssma não a uação 8 smpfca-s para K U d 9 u é conhcda como o prncípo snddo d Hamon podndo sr scro ambém como L d ou L d Empo : Mrovch 97 para o ssma dnâmco aprsnado no Empo nconr po prncípo snddo d Hamon a uação do movmno para a posção d uíbro Rsposa: A agrangana d a ssma é dada por: L K U L θ & k θ m & θ cos θ cos θ m & k m mg g sn θ Usando o prncípo snddo d Hamon com o conco mnar d dfrnca oa L θ & θ L θ & θ θ & θ d θ L θ Chga-s à uação: & θ & θ d k g m & θ sn θ cos d m & θ sn θ cos k m θ cos θ sn θ cos θ θ & θ cos θ θ& g θ cos θ sn θ cos θ θ d & θ cos θ θ Como θ θ Fgura rmos: & θ sn θ cos k m θ cos θ sn θ cos θ θ d O u para sasfazr a uação é prcso u o ngrando sja nuo: g 8

26 & k g θ sn θ cos θ cos θ sn θ cos θ m Para o ssma numa posção d uíbro & θ & θ : k m g cos θ sn θ cos θ cos θ an θ mg k Empo : Junkns 99 Enconrar a uação do movmno para uma vga ngasadavr suja a um carrgamno ransvrsa p p Dados sruuras consans da vga: Móduo d Young móduo d ascdad: E Momno d nérca da sção ransvrsa da vga: I Dnsdad d massa: ρ Comprmno: Rsposa: Condçõs d conorno 9

27 m m m ; Enrga cnéca nrga ponca: d E I U d K ρ Ond EI é a ascdad da vga Vou convnconar chamar a ascdad da vga por EI smpsmn O rabaho vrua dvdo à força rna não consrvava p é: [ ][ ] d p W d W NC NC ransvrsa dsocamno vrua não consrvava força rna Po prncípo gnrazado d Hamon d W d U K NC d d p d d EI d ρ d d p d EI d ρ d d p d EI d ρ E Da uação mos

28 a d d d d d d ρ ρ ρ ρ ρ ρ Fazndo uma ngração por pars ond d du d du d du d du u v d v d d dv Daí d d du v u v Fnamn d d ρ ρ E b

29 d EI d EI d EI d EI v d dv d du d du u d d d Rsovndo apnas a ngra d v d dv d du u Logo junando as souçõs rmos: EI EI d EI d EI E Subsundo as uaçõs na uação rmos: EI EI d d p EI EI EI d d p d EI d ρ ρ Dvdo às arbrardads d a soução da uação acma só podrá sr:

30 R p EI p EI ; ρ ρ

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32 CAPÍTULO ABORDAGEM LAGRANGEANA DAS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO Como vmos podmos compacar o ngrando da uação 9 nsrndo a noção d agrangana do ssma a como abordado por Mrovch L 978 Grnwood 965: L K U Logo a uação 9 fca da sgun forma: S L d Ond o S da uação conhcdo como ação é prsso por: S L d O objvo agora é nconrar o vaor saconáro da ação Para ano rscrvamos a uação consdrando a agrangana L como função do mpo da posção r da vocdad r : S L r r d A ação S da uação é um funcona dado u rprsna um mapamno ou função d um spaço nar vora ond são os vors r r num campo numérco um po spca d campo u no caso é o conjuno dos númros ras Odn 979 S nsrrmos uma prurbação na uação R r εη 5 u é o vaor prurbado da posção r sarmos dscrvndo o funcona S como função d ε ond η η Fgura ogo 5

33 6 d R R L R R S ε 6 εη ε FIGURA - Trajóras ra prurbada Podmos rscrvr 6 com as chamadas coordnadas gnrazadas : N N d L S 7 Insrndo prurbaçõs às coordnadas gnrazadas rmos d uma forma gra: η ε 8 Ond é o vaor prurbado da coordnada Podmos rabahar apnas com ssas coordnadas gnrazadas prurbadas no prossgumno dos cácuos nrano para N coordnadas gnrazadas dvmos r N souçõs Drvando a uação 7 m ração à ε vm: N d L L d d dl d ds ε ε ε ε ε 9 Mas como η ε η ε ε η η ε ε ε

34 7 Daí rmos N d L L d ds η η ε N N d L d L d ds η η ε Ingrando por pars a sgunda parca do sgundo mmbro uação vm u N N N d L d d L d L d ds η η η ε N d L d d L d ds η ε 5 Quando fzrmos ε rmos dε ds ; daí: N d L d d L d ds η ε ε 6 No nrvao o η não é nuo o u prm concur u a soução é dada por: L d d L 7 L L d d 8 u é a uação dfrnca d Eur-Lagrang cacuada para cada Sgundo Junkns 99 D azzo 98 Mrovch 97 a Euação 8 pod sr scra na forma mas gra a como sgu:

35 d d L L I Q Q NC 9 ond m Q λ a k k k rprsna as forças gnrazadas orundas d víncuos podndo sr forças ransaconas ou orus λ são mupcadors d Lagrang a k são cofcns d víncuo Q rprsna as forças não consrvavas assocadas aos k as forças NC consrvavas já são mbudas na agrangana L I é a função d dsspação d Ragh rprsnandopor mpo forças d amorcmno vscoso: I n n j c j j sndo os cofcns c j smércos m j A uação pod sr nconrada m Junkns 99 Empo : Dduza a uação do movmno para o ssma do mpo usando a uação d Eur-Lagrang Rsposa: K m & U k mg L & & K U L L θ & k θ m & θ cos θ cos θ m & m k Esm duas uaçõs d víncuos: g g cos θ sn θ K - U mg g ou mθ : sn θ Tas víncuos são hoônomos ngrávs aém dsso anda são crônomos poru não coném o mpo mosrado pcamn caso vssm sram víncuos rônomos Cacuando os cofcns d víncuo a k : 8

36 a a g ; g ; a a Y Y g ; g ; a a θ θ g sn θ g cos θ θ θ O ssma é consrvavo Q d d L L λ a λ NC a não possu forças dsspavas I assm rmos: Trmos rês varávs gnrazadas θ como mos dos víncuos sso rsua m u o ssma srá dscro m - grau d brdad varáv θ Assm rsovndo as rês uaçõs d Eur-Lagrang: d d L L λ k λ λ λ k d d a λ L L λ a a λ d m& mg λ λ d λ m && mg d d m L L λ a θ λ a θ θ a θ [&& k g θ cos θ ] m & θcos θ sn θ cos θ sn θ cos θ λ sn θ λ cos θ m Subsundo os vaors para os λ como funçõs d θ λ cos k θ cos θ mg m sn θ & θ cos θ & mg d λ m θ consdrando o rsuado d para a suação d uíbro & θ & θ fnamn chgamos à prssão: cos θ an θ mg k 9

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38 CAPÍTULO VIGAS DE EULER-BERNOULI E TIMOSHENKO Nsa sção srão abordados dos pos d modos d vgas Junkns 99; Crag 98 Na vga d Eur-Brnou a ascdad EI a ára ransvrsa A dpndm somn da posção Fgura M S A FIGURA - Vga d Eur-Brnou O momno for sá raconado com a curvaura da vga da sgun forma: M EIcurvaura Para uma vga d Eur-Brnou mos para o momno for: M EI µ a nsão csahan é dada por: S M Em muos casos m u a fão da vga é puna o momno for da vga pod sr apromado por:

39 M ~ EI ond rprsna o movmno ransvrsa d um pono sobr a nha-nura da vga rgão a ua não sofr dformaçõs uando a vga é suja a dformaçõs O cácuo da nsão d csahamno é dado por subsução d m : S EI 5 As nrgas cnéca ponca são dadas a sgur rspcvamn pas uaçõs: K L ρ d 6 V L EI d ond ρ é a dnsdad d massa da vga L é o comprmno da vga 7 Na vga d Tmoshnko EI A dpndm das roaçõs da sruura provocadas por forças d csahamno Fgura α A Fg FIGURA - Vga d Tmoshnko Au α é a roação da sção ransvrsa dada por: α 8 ond é o chamado ânguo d csahamno O Momno for para a vga d Tmoshnko é dado por:

40 α M EI a nsão d csahamno: 9 α S EI as nrgas cnéca ponca: K ρ A d ρ I α d V L α EI d

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42 5 CAPÍTULO 5 O PROBLEMA DIFERENCIAL DO AUTOVALOR Consdr a uação dfrnca nar do movmno ransvrsa d uma vga ngasadavr d Eur-Brnou uando não há rmos forçans Junkns 99: EI ρ 5 Emprgando o méodo d sparação d varávs: F Y 5 apcando 5 m 5: F Y F Y EI ρ 5 F F Y Y EI ρ 5 O fao mosrado na Euação 5 d u os rmos dpndns d cancam-s com os rmos dpndns d mpca u são guas a um rmo consan possum snas oposos: λ ρ - F F Y Y EI 55 Nomos u λ pod sr um vaor sramn posvo ou ngavo Para o caso sramn ngavo assuma u λ - ω ond ω é uma consan uaur não nua Anasmos o u ocorr parndo d 55: λ ρ Y Y EI 56 λ - F F 57 Parndo agora d 57 sndo λ - ω

43 6 - ω F F 58 F F ω 59 cuja soução é: C C F ω ω 5 u é caramn dvrgn não possundo nrss físco práco Por s movo λ m u sr sramn posvo Assm sndo façamos λ ω para r a parr d 57: - ω F F 5 rmos a sgun soução: j j C C F ω ω 5 ω C F cos 5 Podmos agora uzar λ ω para obr uma soução para a uação 56: ω ρ Y Y EI 5 Y EI Y ρ ω 55 fazndo EI ρ ω vm: Y Y 56 A uação 56 possu as sguns raízs: - j -j Porano Y srá da forma: j j k k k k Y 57

44 7 Para obr uma forma rgonomérca da Euação 57 mos u procdr da sgun forma: j j k k k k k k k k Y 58 [ ] [ ] cos sn C C k k k k Y 59 ond k k j C k k C Connuando o dsnvovmno a parr da Euação 59 fazndo ' C k C k : cos ' sn C C k k C C Y 5 k k k C C C sn C Y ' cos 5 Da Euação 5 obém-s facmn a sgun uação: cosh cos C snh C C sn C Y 5 ond k C C ' Das condçõs gomércas d conorno mos: C C Y 5 C C d dy 5 L cosh L L cos L sn - C C snh C C d L Y d 55 L cosh L L cos L sn - C C snh C C d L Y d 56 Coocando as Euaçõs 5 a 56 na forma marca vm: L L cosh L sn L cos - L cosh L L cos L sn - C C C C snh snh 57

45 Para a Euação 57 forncr uma soução não-rva para C C C C é prcso u o drmnan da marz d cofcns d C C C C sja gua à zro: d - sn L - cos L cos L sn L snh L cosh L 58 cosh L snh L Da Euação 58 rmos fnamn: cos Lcosh L 59 u é conhcda como a uação caracrísca ncu uma função ranscndna Rcorrndo à méodos numércos obmos nfnas raízs L como souçõs da Euação 59 Agumas dssas souçõs são aprsnadas m Junkns 99 Ouros mpos d arranjos d uma vga podm sr nconrados m Inman 996 a como mosrado na Fgura 5 As früêncas d vbração da sruura ou modos d vbração podm sr dadas pa sgun prssão m Hrz: f L EI π ρ L 5 ond L são as souçõs d 59 A früênca dos modos d vbração va aumnando à mdda u o índc aumna Não fo consdrado nsss cácuos mas s consdrássmos o amorcmno sruura ζ prcbríamos u aumnara à mdda u a früênca aumna conform vrfcado prmnamn m ouros rabahos D acordo com Brson 99 não há uma ora uanava sasfaóra para prdzr o amorcmno sruura 8

46 FIGURA 5 Dvrsos pos d arranjos com uma vga as uaçõs ranscndnas modos d vbração corrspondns FONTE: Inman 996 p 5 9

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48 CAPÍTULO 6 MÉTODO DOS MODOS ASSUMIDOS Uma apcação basan conhcda das uaçõs d Eur-Lagrang para modos conínuos é o chamado méodo dos modos assumdos Crag 98 Para grar um modo d uma pana fív u nha uação dfrnca d apromadamn N graus d brdad DOF Dgrs Of Frdom o dsocamno ásco ransvrsa pod sr panddo como uma combnação nar nr N funçõs d forma mod-shaps ou auofunçõs u são consruídas d forma a sasfazr as condçõs d conorno do probma m usão Porano a dformação ransvrsa ou ongudna dscra como uma combnação nar dssas funçõs d forma: υ d uma vga pod sr N υ 6 Os são as funçõs d forma mod-shaps assumdas são as coordnadas gnrazadas N dnoa o númro d rmos rdos na apromação caso d um modo d N graus d brdad ou N-DOF dgrs of frdom O méodo dos modos assumdos conss m subsur 6 nas prssõs corrspondns à nrga cnéca K nrga ponca U do rabaho vrua W d Eur-Lagrang para nconrar as uaçõs do movmno Para não apcar a Euação υ sndo consdrado como uma dsocamno ongudna ou aa d um mno d massa numa vga d Eur-Brnou a nrga ponca ásca da vga pod sr dada por Crag 98: U υ E A d 6 Ond E é o móduo d Young móduo d ascdad A é a ára da sção ransvrsa da vga Assm subsundo a uação 6 na 6 rmos ond N N U κ j j 6 j 5

49 j κ j E A d 6 sndo cada κ j um mno da marz ascdad Em ouras paavras a nrga ponca ásca U é uma função uadráca das coordnadas gnrazadas como mosrado abao: U T κ 65 ond κ κ κn [ ] κ κ κ N κ κ j 66 κ N κ N κ NN N Ond cada κ j é dado pa uação 6 A nrga cnéca da vga dvdo ao dsocamno ongudna υ é: K υ ρ d ρ & υ d 67 Subsundo 6 na 67 rmos: K N N j m & & 68 j j ond m j ρ d 69 j Rscrvndo 68 numa forma uadráca: T K & M & 6 ond M [ m ] j m m mn m m m N m N m N mnn N 6 5

50 5 Quando a vga sá suja a forças rnas as forças gnrazadas podm sr cacuadas apcando os conhcmnos d rabaho vrua Assm s p for uma força rna ongudnamn apcada na vga υ o dsocamno corrspondn N p d p W υ υ 6 Emprgando a prssão 6 para υ m 6 rmos N d p W 6 N d p W 6 N d p W 65 N Q W 66 ond as forças gnrazadas são dadas por d p Q 67 Fazndo-s uso da uação d Eur-Lagrang pod-s chgar à uação do movmno: Q L L d d ou Q L L d d & Q U K U K d d & Q M M d d T T T T κ κ & & & & &

51 d d d d T & M & & M & κ Q T κ Q M && κ Q 68 u é a uação do movmno dsconsdrando-s fos dsspavos na sruura ond Q é o vor das forças gnrazadas forças ou orus Para υ sndo consdrado como uma dsocamno ransvrsa d um mno d massa numa vga d Eur-Brnou a nrga ponca ásca da vga pod sr dada por: U υ E I d Ond I é o momno d nérca da vga E é o móduo d Young A nrga cnéca é dada por uma prssão dênca a 67: 69 K Sndo υ ρ A & d 6 υ d acordo com 6 mos u j κ j E I d 6 m Q j ρ A d 6 p j d 6 A parr daí o procdmno para chgar à uação do movmno 68 é smar ao mosrado anrormn O méodo dos modos assumdos sgu o sgun roro rsumdo Crag 98: Scon o númro d funçõs d forma consrua as funçõs; Cacu os cofcns κ j da marz ascdad; Cacu os cofcns m j da marz massa; 5

52 Cacu as forças gnrazadas Q p d ond p é um carrgamno ransvrsa sobr uma vga d comprmno 5 Formar as uaçõs do movmno usando a uação 68 caso não hajam forças dsspavas Obsrvação: s o for uma função d comparação so é uma função u sasfaz condçõs d conorno físcas gomércas d uma vga d Eur-Brnou ngasada-vr d comprmno a pod sr prssa por: r π r π r cos 6 sasfazndo as sguns condçõs d conorno: r r r r ond normamn consdra-s o cofcn r por razõs d smpcdad A uação 5 fo sugrda m Junkns 99 Empo : Crag 98 Us o méodo dos modos assumdos para obr o modo d -DOF d uma vga ngasadavr u sofr dsocamno ásco ongudnamn υ sujo a ação d força rna P υ u P Rsposa: Sconando as funçõs d forma 55

53 56 A únca condção d conorno é: υ Assm as funçõs d forma dvrão sasfazr às sguns condçõs d conorno: υ Os sugrdos assumdos vsando sasfazr às condçõs d conorno foram: Cácuo dos mnos da marz d ascdad: L j j d A E κ

54 57 EA EA EA EA Assm EA EA EA d A E κ κ κ κ κ Agora para a monagm da marz M j m j d ρ 5 5 A A A A M Assm A m A m m A d m ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ Forças gnrazadas: pp somn s m ogo L P Q L L p d p Q P L P Q P L P Q 5 Agora monmos as uaçõs do movmno:

55 58 P P EA A P P EA EA EA EA A A A A Q M 5 5 && && && ρ ρ ρ ρ ρ κ

56 CAPÍTULO 7 CONCEITO DE MODELAGEM PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS O Méodo dos Emnos Fnos Fn Emns Mhod FEM fo crado para rsovr dos prncpas probmas nconrados no Méodo dos Modos Assumdos Crag 98: No méodo dos modos assumdos é rmamn dfíc scohr um conjuno d funçõs d forma para uma sruura u nha uma gomra compa; As uaçõs rsuans do méodo dos modos assumdos são m gra aamn acopadas o u g mas mpo d procssamno numérco mas spaço na mmóra do compuador; Para cada nova gomra dvmos aborar uas smpr um novo conjuno d funçõs d forma O Méodo dos Emnos Fnos FEM pod sr consdrado uma apcação do méodo dos modos assumdos ond rprsnam formas d dfão sobr uma porção da sruura mno fno com os mnos sndo monados para formar o ssma sruura com sua gomra compa Vamos vr au os casos d movmno ongudna ransvrsa orsona para o movmno m duas dmnsõs combnaçõs nr ss para o caso m rês dmnsõs 7 MOVIMENTO AXIAL Sja uma barra d comprmno unform dnsdad d massa ρ móduo d Young E ára da sção ransvrsa A Fgura 7 59

57 FIGURA 7 Um mno unform sujo à dformação ongudna FONTE: Crag 98 p 8 A apromação mas smps u s pod r para o dsocamno nas duas rmdads υ 7 / / FIGURA 7 Funçõs d forma para o mno ongudna Tndo m vsa u υ υ as condçõs d conorno das funçõs d forma u dvm sr sasfas são; 7 Da uação dfrnca u rg a dnâmca da dformação ongudna d uma vga Crag 98 cap9 nconramos a prssão para a dformação υ ond a dnsdad d massa ρ é 6

58 consan para uma condção nca υ consan a força rna p υ υ a ascdad EI é υ EI υ p ρ 7 Daí υ EI 7 υ c c 75 Normazando m ração ao comprmno da vga υ c c 76 A parr d uma smps comparação nr 76 7 chgamos às funçõs d forma modos assumdos: D uaçõs anrormn mosradas: 77 j κ j E I d 78 m j ρ A d 79 j Q p d 7 Após subsurmos 77 m rmos AE κ 7 ρa M 6 Fnamn as uaçõs do movmno: 6 7

59 M & κ Q 7 ρa AE Q && 7 6 Q Como nss caso aprsnado a vga com dformação ásca ongudna sá vr d forças rnas mos Q ρa 6 && AE 7 MOVIMENTO TRANSVERSAL 75 Para o caso do movmno ransvrsa d uma vga d Eur-Brnou d comprmno dvmos consdrar uaro pos d dformaçõs: o movmno ransvrsa na rmdad nca υ υ a dcvdad na rmdad nca o movmno ransvrsa na rmdad fna υ a dcvdad na υ rmdad fna Assm sndo a dformação υ pod sr scra como: υ 76 FIGURA 7 Dfão ransvrsa na vga d Eur-Brnou Da Fgura 7 mos: υ 77 u sgnfca dzr u a vga m não sofr a nfuênca d ϕ nm ϕ Iso é: 6

60 78 υ 79 u sgnfca dzr u a vga m não sofr a nfuênca d ϕ nm ϕ Iso é: 7 Smarmn υ 7 υ A anás da fgura 8 prm prcbr u: 7 υ 7 O u uando comparando 77 com 7 m-s u: A anás da fgura 8 prcb-s u: υ O u uando comparando 75 com 7 m-s u: A anás da Fgura 7 prm prcbr u: υ 77 O u uando comparando 77 com 79 m-s u: 6

61 6 78 A anás da Fgura 7 prcb-s u: υ 79 O u uando comparando 79 com 7 m-s u: 7 Assm as condçõs d conorno obdas nas uaçõs podm sr agrupadas no sgun conjuno Crag 98: 7 Da uação dfrnca u rg a dnâmca da dformação ransvrsa d uma vga Crag 98 cap9 nconramos a prssão para a dformação υ ond a dnsdad d massa ρ é consan para uma condção nca υ υ υ a ascdad EI é consan a força rna p p EI υ ρ υ 7 EI υ c c c c υ 7

62 65 Normazando uano ao comprmno da vga rmos c c c c υ 7 Fazndo a sgun consdração d normazação para as varávs normazadas m uma condção nca : 75 Daí fazndo uma anaoga nr 7 75 usando a consdração 75 rmos υ 76 c c c c 77 anaogamn c c c 78 D 77 para vando m consdração 7: c c c c c 79 D 78 para vando m consdração 7: c c c 7 c 7 Das uaçõs para vando m consdração 7: c c c c 7 c c c 7 Crando um ssma com 7 7 mos:

63 66 c c c c c c c 7 Apcando os rsuados nconrados para c c no ssma 7 chgamos ao ssma c c c c 75 O u rsua m c 76 c 77 Voando à 77 com as consans dfndas rmos: 78 Caramn 78 sasfaz às condçõs 7 A drvada d 78 m ambém sasfaz à 7 Para nconrar cada função d forma ndvduamn dvmos dsmmbrar 78 cudadosamn smpr ndo m consdração 7: 79 Dond as funçõs d forma são:

64 67 75 A Fgura 7 mosra as formas dssas funçõs d forma FIGURA 7 funçõs d forma para a dformação ransvrsa Fnamn podmos usar as uaçõs j j d E I κ j j d A m ρ para cacuar os mnos das marzs d ascdad d massa para obr as sguns marzs smércas: ϕ ϕ ϕ ϕ

65 6 6 EI 6 κ 6 75 sm 56 ρa M sm 5 56 As uaçõs do movmno são não monadas 75 M & κ ρ A EI 6 && sm sm 7 MOVIMENTO DE TORÇÃO Sja I p o momno d nérca ao rdor do o cnroda d uma vga o da Fgura 75 GJ a chamada ascdad orcona as nrgas ponca ásca cnéca provocadas com ss fo d orção são dadas por U θ GJ d 755 K θ ρ I p & d 756 Sndo o comprmno da vga θ a posção anguar d um mno d massa da vga dvdo à orção m função da posção do mpo Convém mbrar u m um grand númro d casos prácos o o orcona não concd com o o d nérca Isso ocorr uando mos uma sção não crcuar o u gra um acopamno nr fão orção é s um fo u ocorr nas asas d avõs 68

66 θ z θ θ FIGURA 7 5 mno d vga sofrndo orção A dformação roacona ao ongo do mno d vga é dado pos modos assumdos θ D Crag 98 sção 9 mos a sgun uação dfrnca 757 θ GJ 758 Vso u ssa uação possu a msma forma da uação d uíbro para a dformação ongudna dado u as funçõs d forma dvm sasfazr as msmas condçõs d conorno u no caso ongudna sgnfca u podmos usar como funçõs d forma para o caso da orção as msmas uaçõs d forma usadas no caso ongudna 759 Smarmn mos com adapaçõs para o caso da orção j κ j GJ d 76 m Q j ρ I d 76 p j τ d 76 69

67 ond τ é o oru dsrbuído por undad d comprmno Insrndo 76 nas uaçõs mos: GJ κ 76 ρi p M 76 6 Fnamn as uaçõs do movmno dsconsdrando a prsnça d orus rnos: M & κ 765 ρi p GJ & Sgundo Crag 98 um raamno compo sobr o dsocamno rdmnsona d vgas da dnâmca sruuras compas é dado por JS Przmnck m Thor of Mar Srucura Anass McGraw H Nw York DINÂMICA ENVOLVENDO TRELIÇAS - MÉTODO DO DESLOCAMENTO Nas sçõs anrors vmos u as marzs d massa ascdad foram cacuadas a parr d mnos d massa numa msma bas z No caso d uma rça frünmn sm mmbros u não são anhados com um o comum chamado bas d rfrênca goba XYZ como no caso aprsnado na Fgura 76 Y X FIGURA 76 ssma d os coordnados d uma rça 7

68 Na Fgura 76 mos o mno d vga sndo submdo a um dsocamno u numa rmdad a ouro dsocamno u m oura rmdad A déa au é ransformar sss vors d dsocamnos para a bas goba rscrvndo-os no ssma d coordnadas da bas goba como farmos a sgur Na fgura 77 o ssma goba é XY com vrsors X ˆ Y ˆ o ssma da vga é Y u Y u Y Yˆ θ X Xˆ u X u Y u Yˆ θ Xˆ u X X FIGURA 77 Dcomposção dos dsocamnos ongudnas da vga m componns do o goba Assm podmos rscrvr o dsocamno u nas coordnadas do ssma goba θ Xˆ u sn Y ˆ uxy u cos θ 767 Sndo o scaar u o vaor do móduo do vor dsocamno u u orgnamn sava na bas Para smpfcar a noação d 767 façamos u u X Y u u Xˆ Yˆ 768 Logo voando à 767 θ ux sn θ u Y u XY cos 769 Anaogamn para u : 7

69 θ u X sn θ u Y u XY cos 77 Essas uaçõs podm sr combnadas na sgun ransformação nar u u u u XY XY XY XY cos cos cos θ ux sn θ u Y θ u X sn θ u Y u 77 θ sn θ u Y 77 cos θ sn θ u u X X Y ou u u XY XY ux u Y T 77 u X u Y u T u 77 Assm a marz d ransformação é dada por: cos θ sn θ T 775 cos θ sn θ Empo 5: Crag 98 Sja rça pana u coném apnas rês barras Cacu a marz d ransformação para o mno Y 6 X Rsposa: θ θ cos 5 sn 5 T 5 Qu é a marz procurada 7

70 Os cácuos das nrgas ponca ásca cnéca podm sr dados por: U T u κ u 776 u 777 T T U u T κ T θ cos θ sn θ cos θ cos θ sn θ sn θ cos θ sn θ sn θ cos θ cos θ sn θ sn θ cos AE T T κ T 778 sm Anaogamn para a nrga cnéca K T u& M& u 779 K T T u& T M T u& 78 Ond T T M T é a marz d massa ransformada para o ssma goba XY 7

71 7

72 CAPÍTULO 8 CONTROLE ANALÓGICO DE ESTRUTURAS FLEXÍVEIS 8 CONTROLE VIA REPRESENTAÇÃO EM VARIÁVEIS DE ESTADO MODAIS Fa a modagm mamáca d uma sruura físca o prómo passo é dsnvovr um a d conro para rguar o su comporamno Um vor d sados u ncua a dnâmca d aud do corpo rígdo bm como a dnâmca da par sruura fív rsua na sgun uação Sva 997 T J M θ Q B u T M M & 8 κ θ ~ M & ~ κ B u 8 Sndo J uma marz d nérca d dmnsão M a marz d massa κ a marz d ascdad M θ uma marz d acopamnos rígdo-fívs u o vor d snas d conro Por dcomposção spcra os auovaors à dra à surda são rspcvamn ~ ~ κ λ M 8 ~ T κ λ M ~ T ψ 8 Conform sá sabcdo na raura mprga-s a marz dos auovaors à dra Φ [ M M M K M ] como marz d ransformação d um spaço moda d sados n para um spaço ra físco a como sá mosrado abao: X Φ η Assm sndo podmos monar a sgun prssão: 85 T ω ω K ω η b u I η dag n Φ c Ond b c é a marz nfuênca no conro u é o vor d conro S forças dsspavas form nroduzdas na sruura rmos: 86 75

73 T ω ω ω η dag ω ω K ω η b u I η ζ dag K n n Φ c 87 ond ζ é a razão d amorcmno Fnamn a uação dfrnca nar d sados é dada por: X A X B u ond o vor d sados é dado por: 88 η X 89 η ond η rprsna as roaçõs os dsocamnos áscos; as marzs A B são dadas por: A dag I K 8 ω ω ωn ζ dag ω ω K ωn B Φ T b c Sndo a uação das saídas dada por: Y C X 8 8 Y CΦη 8 8 CONTROLE LQR O rguador nar uadráco gaussano LQR fornc ao projo d conro m mahafchada cns margns d sabdad No orma sgun s nconra nuncado o méodo do LQR Torma Rguador Lnar Quadráco LQR: dado o ssma dnâmco X & A X B u 8 76

74 z H X 85 Esabçamos o sgun funcona uadráco como índc d dsmpnho: T T z Qz u Ru J LQR d 86 no ua a nrga dos sados d nrss z é pondrada d forma rava à uandad d nrga d conro u aravés das marzs d pso ou pondração Q R S podmos consdrar: A B é sabzáv H A é obsrváv R R T > Q Q T Enão O conroador LQR é o únco conroador ómo u mnmza o funcona J LQRH sujo à rsrção dnâmca mposa pa 8 A LEI DE CONTROLE por ramnação é dada não por ond u F X LQR 87 F LQR R B T S LQR 88 S LQR é a únca marz smérca posva-dfnda u rsua da uação agébrca d Rcca ARE : S LQR A A T S LQR H T Q H S LQR B R B A dnâmca do ssma m maha-fchada é [ A B F ] X X& LQR O mínmo vaor para o funcona J LQR é T S LQR 89 8 mn J LQR T S LQR ond A prova do orma s nconra m Var

75 Infzmn sss rsuados são vádos apnas para o caso da ramnação oa d sados o u não ocorr m casos ras 8 CONTROLE LQG: NORMA MÍNIMA H Nos casos prácos nunca s consgu conroar odas as varávs d sado nvovdas no procsso Assm o dagrama mosrado na Fgura 8 usra o caso m u varávs ógnas d nrada u saída scapam do conro C u u P C FIGURA 8 Dagrama m bocos d ramnação com a prsnça d varávs ógnas FONTE: Var 999 O objvo au é nconrar um conroador anaógco Cs u mnmz a norma amanho da função d ransfrênca nr as varávs ógnas ond as raçõs nr as varávs ógnas varávs conroávs são dadas por s T u s u u s C s Sndo u a função d ransfrênca do ssma é dada por G s C Φ s B ond Φ s si A O ssma compo do probma padrão LQR é dado por

76 X z & A X B u Lξ C µ I η H 86 ond z é o vor d sados u é d fao rguado ξ η são ruídos brancos gaussanos não corraconados com nnsdad unára s ρ ξ u s η Assm mos u T u s z u HΦL ρc Dado o funcona LQG HΦBC I GC CΦL µ HΦBC I GC CΦL I GC CΦL µ ρc I GC T T z Qz u Ru J LQG d 89 Usando QI R ρ I rmos após uma apcação do orma d Parsva T H dω T u u T J LQG u u dω π π 8 Sab-s u u u I por s raar d um ruído branco Assm concu-s u o probma H do LQG s rsum m nconrar o conroador C u mnmz a norma T T u u dω T u π 8 J LQG O probma é não LQG mn T u mn J Ond a norma ao uadrado dscrv a nrga do ssma 8 79

77 8 CONTROLE H O Conro H é uma gnrazação do LQG sabcdo po orma dsa sção Ans vamos vr a hpós da pana aumnada Dada a pana A Ρ : C C B D D B D D As hpóss da pana aumnada são as sguns: D [ A B ] é sabzáv [ A C ] é dcáv 8 B V V B D & T V com D V T a marz [ ] V V > T C R R T 5 a marz R [ C D ] & com R T T uu > D R uu Ruu A hpós garan u dsúrbos não nrfram nas varávs d dsmpnho condção ncssára para conro H mas dsncssára para H As hpóss são ncssáras para garanr a sênca d um conroador sabzan as hpóss 5 são ncssáras para prmr a sênca d uma soução posva-dfnda na uação d Rcca assocada aos conroadors ómos Torma Conro H : sob as hpóss anrors o únco conroador ómo sabzan u mnmza a norma H é A BF C F ond F K K C T T Ruu Ru B X T Y C V V K D F K sndo X Y as úncas souçõs posvas-dfndas das sguns uaçõs d Rcca

78 X A A Y Y A A r T X T R V V R V u R uu V T R T u X T B Y C V R C uu T B Y T X 86 ond A A r A B A V R V uu R C T u 87 Uma caracrísca do conroador H é a sua smpcdad dado u a sua síns s rduz à soução d duas uaçõs dsacopadas d Rcca Na fgura podmos vr como é a sruura do conro H Conroador H B - K - -F u A C D FIGURA 8 Esruura m bocos do Conroador H 85 CONTROLE H Sob as hpóss anrors: Torma Conro H : sob as hpóss anrors u u possu norma L u d < um conroador sabzan u sasfaz u T T u jω < 88 é dado por: 8

79 C A F Z L 89 ond B L D W BF Z L C Z L D A A F 8 F T T R B X Ruu u 8 T W B X γ 8 L T Y C V V 8 Z I Y X γ 8 Sndo Y souçõs das sguns uaçõs d Rcca X X A Y A r A Y T r A X T R V V R V u R uu V T R T u Y u sasfazm as condçõs adconas X A B W B F é assnocamn sáv Y T T X BRuu B BB X γ T T T C V C CC Y T A L C Y C C é assnocamn sáv γ 5 ρ X Y < γ ond ρ ma λ é o RAIO ESPECTRAL Na Fgura 8 mos a sruura m bocos do conro γ H 85 8

80 Conroador Z H L - B W B - Z L - A - F u C D FIGURA 8 Esruura m bocos do Conroador H 8

81 86 VANTAGENS E DESVANTAGENS DAS TÉCNICAS DE CONTROLE ABORDADAS Taba : vanagns dsvanagns das écncas d conro abordadas Conro LQR Vanagns margns d sabdad garandas ganho do conroador é consan Conro LQG ruídos são parâmros vrs no projo Conro LQR/LTR margns d sabdad garandas procdmno ssmáco smps Conro H va m cona robusz na sabdad snsbdad prm dar forma d manra apromada às funçõs d ransfrênca do ssma Conro H nfno va m cona robusz na sabdad na snsbdad prm dar forma d manra aa às funçõs d ransfrênca do ssma procdmno d um passo Dsvanagns prcsa obsrvar d odas as varávs d sado projo do conroador pod rsuar ravo margns d sabdad não são garandas projo do conroador pod rsuar ravo ao ganho do compnsador para ssmas d fas mínma mado m ssmas d fas não mínma focazado nas cásscas margns d sabdad projo do conroador pod rsuar ravo projo do conroador pod rsuar ravo rur spca anção para a robusz frn as ncrzas sruuradas 8

82 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Brson AE Conro of Spaccraf and Arcraf Prncon Unvrs Prss 99 Crag RR Srucura Dnamcs: An Inroducon o Compur Mhods John W & Sons 98 D azzo JJ; Houps CH Lnar Conro Ssm Anass and Dsgn McGraw-H 98 Grnwood DT Prncps of Dnamcs Prnc-Ha 965 Inman DJ Engnrng Vbraon Prnc Ha 996 Junkns JL; Km Y Dnamcs and Conro of Fb Srucurs AIAA 99 L RCC; Casro ARB Físca do Esado Sódo Edgard Buchr Lda 978 Mrovch L Mhos of Anaca Dnamcs McGraw-H 97 Mrovch L Compuaona Mhods n Srucura Dnamcs Sjhoff & Noordhoff 98 Odn JT Appd Funcona Anass: a Frs Cours for Sudns of Mchancs and Engnrng Scnc Prnc-Ha 979 Sva AR Esudo do Ssma d Conro d um Saé Arfca Duran a Fas d Transfrênca Orba Aponamno Dssração d Msrado INPE São José dos Campos 997 Var CEI Uma Inrodução ao Conro Robuso com Apcaçõs a Esruuras Fívs Dssração d Msrado PUC Ro d Janro