UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

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1 UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL UM ESTUDO COMPARATIVO ANALÍTICO E NUMÉRICO DOS EFEITOS DAS VINCULAÇÕES NAS VIBRAÇÕES LIVRES DE PLACAS QUADRADAS FINAS RONALDO BASTOS CESARINO DUTRA ORIENTADOR: LINEU JOSÉ PEDROSO DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS BRASÍLIA / DF: 6/

2 UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL UM ESTUDO COMPARATIVO ANALÍTICO E NUMÉRICO DOS EFEITOS DAS VINCULAÇÕES NAS VIBRAÇÕES LIVRES DE PLACAS QUADRADAS FINAS RONALDO BASTOS CESARINO DUTRA ORIENTADOR: LINEU JOSÉ PEDROSO DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL PUBLICAÇÃO E.DM-8A/ BRASÍLIA/DF: JUNHO

3 UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL UM ESTUDO COMPARATIVO ANALÍTICO E NUMÉRICO DOS EFEITOS DAS VINCULAÇÕES NAS VIBRAÇÕES LIVRES DE PLACAS QUADRADAS FINAS RONALDO BASTOS CESARINO DUTRA DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA FACULDADE DE TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL. APROVADA POR: Prof. Lieu José Pedroso, Dr. Ig. (ENC-UB). (Orietador) Prof. Marcus Viicius Girão de Morais, Dr. Ig. (ENM-UB) (Eaiador Itero) Prof. Paulo Marcelo Vieira Ribeiro, D.Sc. (UFPE) (Eaiador Etero) iii

4 BRASÍLIA/DF, DE JUNHO DE FICHA CATALOGRÁFICA DUTRA, RONALDO BASTOS CESARINO U Estudo Coparativo Aalítico e Nuérico dos Efeitos das Viculações as Vibrações Livres de Placas Quadradas Fias [DISTRITO FEDERAL]., 6p., 97 (ENC/FT/UB, Mestre, Estruturas e Costrução Civil, ). Dissertação de Mestrado Uiversidade de Brasília. Faculdade de Tecologia. Departaeto de Egeharia Civil e Abietal..Placas fias.vibração livre 3.Eleetos fiitos.frequêcias aturais I. ENC/FT/UB II. Título (série) REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA DUTRA, R.B.C. (). U Estudo Coparativo Aalítico e Nuérico dos Efeitos das Viculações as Vibrações Livres de Placas Quadradas Fias. Dissertação de Mestrado e Estruturas e Costrução Civil, Publicação E.DM-8A/, Departaeto de Egeharia Civil e Abietal, Uiversidade de Brasília, Brasília, DF, 6 p. CESSÃO DE DIREITOS AUTOR: Roaldo Bastos Cesario Dutra. TÍTULO: U Estudo Coparativo Aalítico e Nuérico dos Efeitos das Viculações as Vibrações Livres de Placas Quadradas Fias. GRAU: Mestre ANO: É cocedida à Uiversidade de Brasília perissão para reproduzir cópias desta dissertação de estrado e para eprestar ou veder tais cópias soete para propósitos acadêicos e cietíficos. O autor reserva outros direitos de publicação e ehua parte dessa dissertação de estrado pode ser reproduzida se autorização por escrito do autor. Roaldo Bastos Cesario Dutra Codoíio Masões Rurais do Lago Sul Rua D Casa Brasília DF Brasil. e-ail: roceladu@hotail.co / roaldocesario@outlook.co iv

5 A frase ais epolgate de se ouvir e ciêcia, a que preucia ovas descobertas, ão é Eureka!, as si Isto é estraho... Isaac Asiov v

6 AGRADECIMENTOS À Deus pela dádiva da vida, pelas aravilhas criadas este udo e toda a beleza que os cerca. Ao eu orietador, professor Lieu José Pedroso, pela colaboração, dedicação e icetivo à pesquisa, durate os aos de pós-graduação, os quais trabalhou co grade epeho para que eu ativesse o foco e a otivação a dissertação. Aos eus pais pelo aor, copreesão, suporte, esforço, dedicação e sacrifícios realizados e eu favor, tato os bos quato os aus oetos, dado-e a possibilidade de estudar e poder e dedicar a ua foração de qualidade. Ao eu irão Rodrigo, pelos ótios oetos que copartilhaos, pelas bricadeiras, risadas, úsicas e apoio. Que tudo se repita por uitos aos ais. Aos eus aigos e colegas do curso de estrado, pelo icetivo, copreesão, risadas, bricadeiras e estudos, foi u prazer cohecê-los e copartilhar esses aos de pósgraduação. A CAPES pelo fiaciaeto da bolsa de estudos. vi

7 RESUMO UM ESTUDO COMPARATIVO ANALÍTICO E NUMÉRICO DOS EFEITOS DAS VINCULAÇÕES NAS VIBRAÇÕES LIVRES DE PLACAS QUADRADAS FINAS Autor: Roaldo Bastos Cesario Dutra Orietador: Lieu José Pedroso Prograa de Pós-graduação e Estruturas e Costrução Civil Brasília, Juho de. As estruturas e estudo se caracteriza por placas fias, são lâias as quais ua diesão, a espessura, é uito eor que as outras e classifica-se e fia respeitado deteriadas relações. Estas placas se costitue u tipo estrutural de grade utilização a egeharia e a idústria: pavieto de ua pote, uros de coteção, caias d água, lajes de piso ou cobrieto, cascos de avio, partes copoetes de autoóveis, estruturas aeroespaciais e reatores ucleares são algus dos eeplos de seu vasto eprego. Estas estruturas uitas vezes trabalha sobre ação diâica: veto, caihada ou corrida de pessoas, ovietos de veículos e outros ovietos ritados, são eeplos de solicitações diâicas ocasioado o surgieto de esforços que se desevolve ao logo do tepo, podedo tabé causar sérios probleas. Coo u estudo copleto é de eore copleidade e tabé se faz ecessário eteder a placa e o feôeo e sua essêcia, foi estudada a base do cálculo diâico para o bo etedieto. Os resultados fora obtidos de aeira aalítica e uérica, coparado abos etre si, evideciado as frequêcias aturais da estrutura, os odos de vibração e suas deforadas e a eficácia da aálise uérica por eio de tabelas e gráficos que perite ua visualização adequada do feôeo. vii

8 ABSTRACT UM ESTUDO COMPARATIVO ANALÍTICO E NUMÉRICO DOS EFEITOS DAS VINCULAÇÕES NAS VIBRAÇÕES LIVRES DE PLACAS QUADRADAS FINAS Author: Roaldo Bastos Cesario Dutra Supervisor: Lieu José Pedroso Prograa de Pós-graduação e Estruturas e Costrução Civil Brasília, Jue of. The structures studied are characterized b thi plates, a three-diesioal solid i hich oe diesio, the thickess, is uch saller tha the others ad the plate raks as thi respectig certai relatioships. These plates costitute a structure of great use i egieerig ad idustr: a bridge deck, retaiig alls, ater taks, slabs or floor coverigs, ship hulls, autoobile parts copoets, aerospace structures ad uclear reactors are soe eaples of its vast eploet. These structures ofte ork o daic actio: id, people alkig or ruig over it, oveet of vehicles ad other rhthic oveets are eaples of daic loads resultig i stresses that develop over tie ad ca also cause serious probles. As a full stud is highl cople ad it is also ecessar to uderstad the plate ad the pheoeo i its essece, the basis of the daic aalsis as studied for the proper uderstadig. The results ere obtaied fro uerical ad aaltical solutios, copared to each other, shoig the atural frequecies of the structure, the ode shapes ad effectiveess of uerical aalsis i tables ad charts that allo adequate visualizatio of the pheoeo. viii

9 SUMÁRIO Capítulo Págia INTRODUÇÃO. MOTIVAÇAO E JUSTIFICATIVA. OBJETIVOS 3.3 METODOLOGIA 3. ABRANGÊNCIAS E LIMITAÇÕES.5 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA. ESTUDOS RECENTES E RELEVANTES 3 DESENVOLVIMENTO TEÓRICO 9 3. HIPÓTESES GERAIS 3. EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA PLACA 3.. Cálculo das tesões e dos oetos 3.. Codições de equilíbrio de u eleeto de placa SOLUÇÃO DE NAVIER 3 3. EQUAÇÃO DE MOVIMENTO Deforadas odais Placa apoiada as outras duas bordas Placa egastada as outras duas bordas 3.5 ANÁLISE PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 3 RESULTADOS 7. TESTES E QUALIFICAÇÃO DO ELEMENTO UTILIZADO 7.. Placa sob carregaeto estático 7.. Placas e vibração livre 5... Placa egastada as quatro bordas Placa egastada e apeas ua borda 55. RESULTADOS NUMÉRICOS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 56 i

10 .. Caso placa quadrada apoiada as quatro bordas Estudo da covergêcia Ifluêcia dos parâetros característicos a resposta da frequêcia atural Deforadas odais 7.. Aálises subsequetes para a placa, variações das codições de cotoro 73 5 CONCLUSÕES E SUGESTÕES 3 5. CONCLUSÕES 3 5. SUGESTÕES 5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 6 APÊNDICES 9 A DEFORMADAS ADICIONAIS 3 B MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS 33 B. CONDIÇÕES DE CONTORNO 36 B. APLICAÇÃO PARA PLACAS 38 B.3 PROPOSTA DO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS B.3. Discretização B.3. Discretização C MÉTODO DA EXPANSÃO EM CO-FATORES 9 D EQUAÇÕES ANALÍTICAS PARA FREQUÊNCIAS NATURAIS 5 E SCRIPT DO ANSYS PARA ANÁLISE DE VIBRAÇÃO LIVRE DA PLACA 58

11 LISTA DE TABELAS Tabela Págia Tabela. Casos aalisados e suas pricipais características 5 Tabela. Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos do deslocaeto Tabela. Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos dos oetos M e M Tabela.3 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos do oeto M Tabela. Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos para as prieiras frequêcias aturais de ua placa fia Tabela.5 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos para as prieiras frequêcias aturais de ua placa espessa Tabela.6 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos para as prieiras frequêcias aturais de ua placa fia co três bordas livres e ua egastada Tabela.7 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso co h=, Tabela.8 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso co h=, Tabela.9 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso co h=,5 Tabela. Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso co h=, Tabela. Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso co h=, Tabela. Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso Tabela.3 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso (L-L-L-L) Tabela. Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das i

12 frequêcias aturais para o Caso 3 (L-L-L-A) Tabela.5 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso (L-L-L-E) Tabela.6 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso 5 (L-L-A-A) Tabela.7 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso 6 (L-A-L-A) Tabela.8 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso 7 (L-A-L-E) Tabela.9 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso 8 (L-L-A-E) Tabela. Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso 9 (L-E-L-E) Tabela. Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso (L-L-E-E) Tabela. Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso (L-A-A-A) Tabela.3 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso (L-A-E-A) Tabela. Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso 3 (L-E-A-E) Tabela.5 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso (L-A-A-E) Tabela.6 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso 5 (L-A-E-E) Tabela.7 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso 6 (L-E-E-E) Tabela.8 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso 7 (A-A-E-A) Tabela.9 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso 8 (A-A-E-E) Tabela.3 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso 9 (E-A-E-A) ii

13 Tabela.3 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso (A-E-E-E) 93 Tabela.3 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso (E-E-E-E) 9 Tabela.33 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso Tabela.3 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso 3 3 Tabela.35 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso Tabela.36 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso 5 5 Tabela.37 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso 6 6 Tabela.38 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso 7 7 Tabela.39 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso 8 8 Tabela. Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso 9 9 Tabela. Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso Tabela. Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso Tabela.3 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso Tabela. Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso 3 3 Tabela.5 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso Tabela.6 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso 5 5 Tabela.7 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso 6 iii

14 6 Tabela.8 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso 7 7 Tabela.9 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso 8 8 Tabela.5 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso 9 9 Tabela.5 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso Tabela.5 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso Tabela A. Modos de vibração restates e suas respectivas deforadas odais para o Caso (A-A-A-A) 3 Tabela D. Frequêcias aturais para placas quadradas (Blevis, 979) 5 iv

15 LISTA DE FIGURAS Figura Págia Figura. Eeplos de uso de placas. a) Pavieto de ua pote; b) Laje; c) Coporta de barrage; d) Copoete de ua asa; e) Copoete de u avio petroleiro (Vetsel, ) Figura. Placa do eperieto co duas assas de 5 g dispostas sobre a esa (Aabili e Carra, ) Figura. Resposta da aplitude de frequêcia para a placa co ua assa cocetrada de 5 g o cetro (Aabili e Carra, ) 3 Figura.3 Resultados aalíticos (a), eperietais (b) e pelo étodo dos eleetos fiitos (c) para os odos,, 5 e 8 (Li, ) Figura. Seção trasversal da placa co úcleo rígido (Hosseii- Hashei, Rezaee, Atashipour e Girhaar, ) 5 Figura.5 Placas co aueto brusco de espessura aalisadas: (a) apoiada e todas as bordas e (b) egastada e todas as bordas (Wag e 6 Ual, 3) Figura.6 Microplaca perfurada co distribuição uifore dos furos (Li, Fag e Xu, ) 7 Figura.7 Modos de vibração para o caso siplesete apoiado e livre a borda. Os valores de b represeta a distâcia relativa dos 8 apoios iteros (Wag, ) Figura 3. Placa fia co u corte passado por X (Pedroso, 998) Figura 3. Corte o plao z e deforação da placa (Pedroso, 998) Figura 3.3 Distribuição das tesões o eleeto ifiitesial de placa (Szilard, ) Figura 3. Equilíbrio dos esforços o eleeto ifiitesial (Szilard,, odificado) 6 Figura 3.5 Efeitos do oeto torçor as bordas (Szilard, ) 9 Figura 3.6 Modos de vibração para placas egastadas (Szilard, ) 37 Figura 3.7 Geoetria do eleeto SHELL8 (Biblioteca do ANSYS) Figura 3.8 Tesões e oetos o eleeto SHELL8 (Biblioteca do ANSYS) v

16 Figura 3.9 Malha de eleetos fiitos 5 Figura 3. Codições de cotoro aplicadas aos ós eteros 6 Figura. Placa apoiada as quatro bordas 8 Figura. Covergêcia dos resultados do deslocaeto 5 Figura.3 Covergêcia dos resultados dos oetos Figura. Covergêcia dos resultados do oeto M e M 5 M 5 Figura.5 Placa egastada as quatro bordas 5 Figura.6 Placa egastada e apeas ua borda 53 Figura.7 Placa padrão a ser resolvida 57 Figura.8 Covergêcia das frequêcias aturais referetes à Tabela.7 6 Figura.9 Covergêcia das frequêcias aturais referetes à Tabela.8 6 Figura. Covergêcia das frequêcias aturais referetes à Tabela.9 65 Figura. Covergêcia das frequêcias aturais referetes à Tabela. 65 Figura. Covergêcia das frequêcias aturais referetes à Tabela. 66 Figura.3 Caso ilustrativo de ua viga discretizada e eleetos de barra 67 Figura. Erro relativo relacioado co a discretização e e o úero de eia-oda a esa direção 68 Figura.5 Seis prieiras frequêcias aturais do Caso 69 Figura.6 Frequêcias aturais do Caso co h=, 69 Figura.7 Frequêcias aturais do Caso co h=, 7 Figura.8 Evolução da frequêcia de acordo co a relação b a para o Caso Figura.9 Frequêcias aturais aalisadas o Caso 95 Figura. Frequêcias aturais aalisadas o Caso 3 95 Figura. Frequêcias aturais aalisadas o Caso 96 Figura. Frequêcias aturais aalisadas o Caso 5 96 Figura.3 Frequêcias aturais aalisadas o Caso 6 96 Figura. Frequêcias aturais aalisadas o Caso 7 97 Figura.5 Frequêcias aturais aalisadas o Caso 8 97 Figura.6 Frequêcias aturais aalisadas o Caso 9 97 Figura.7 Frequêcias aturais aalisadas o Caso 98 Figura.8 Frequêcias aturais aalisadas o Caso 98 7 vi

17 Figura.9 Frequêcias aturais aalisadas o Caso 98 Figura.3 Frequêcias aturais aalisadas o Caso 3 99 Figura.3 Frequêcias aturais aalisadas o Caso 99 Figura.3 Frequêcias aturais aalisadas o Caso 5 99 Figura.33 Frequêcias aturais aalisadas o Caso 6 Figura.3 Frequêcias aturais aalisadas o Caso 7 Figura.35 Frequêcias aturais aalisadas o Caso 8 Figura.36 Frequêcias aturais aalisadas o Caso 9 Figura.37 Frequêcias aturais aalisadas o Caso Figura.38 Frequêcias aturais aalisadas o Caso Figura 5. Frequêcias aturais para ua casca cilídrica circular vibrado livreete co seus etreos egastado-egastado (Lopez, Dutra e Pedroso, 3) Figura B. Aproiação de Talor por difereça cetrada (Pedroso, ) 33 Figura B. Represetação esqueática dos operadores para difereça fiita cetral (Pedroso, 5) 35 Figura B.3 Etreo egastado co poto virtual e poto itero (Pedroso, 5) 36 Figura B. Etreo apoiado co poto virtual e poto itero (Pedroso, 5) 36 Figura B.5 Etreo livre co potos virtuais e potos iteros (Pedroso, 5) 37 Figura B.6 Malha igualete espaçada (Pedroso, 999) Figura B.7 Operador de difereças fiitas usado e probleas de placas Figura B.8 Malha de potos das difereças fiitas co u poto itero 3 Figura B.9 Malha de potos das difereças fiitas co quatro potos iteros 5 vii

18 LISTA DE SÍMBOLOS, NOMENCLATURA E ABREVIAÇÕES Síbolos a a ij A A b B C C ij d D E f h i I j K L M M - coprieto da placa - eleeto de ua atriz - apoiado; costate - atriz A - largura da placa - costate - costate - co-fator de a ij - distâcia etre os potos - rigidez fleioal das placas; costate - ódulo de elasticidade do aterial ou egastado - frequêcia de vibração e Hz - espessura da placa - liha de ua atriz - atriz idetidade - colua de ua atriz - parâetro evolvedo a frequêcia e características geoétricas da placa - livre - úero de eia-odas a direção ou posição o eio do poto das difereças fiitas - assa por uidade de área - oeto fletor por uidade de coprieto sobre a face e ao redor do eio - oeto fletor por uidade de coprieto sobre a face e ao redor do eio - oeto torçor por uidade de coprieto - oeto fletor sobre a face e ao redor do eio - oeto fletor sobre a face e ao redor do eio viii

19 M - oeto torçor M ij pˆ P q q qˆ qˆ S t V - eor de a ij - úero de eia-odas a direção ou posição o eio do poto das difereças fiitas - força iercial - carregaeto distribuído - esforço cortate por uidade de coprieto a face - esforço cortate por uidade de coprieto a face - força adicioal de Kirchhoff sobre a face - força adicioal de Kirchhoff sobre a face - superfície édia da placa - tepo - esforço cortate total a face V - esforço cortate total a face - deslocaeto a direção z,, z - eios coordeados X, Y - potos da placa cos se cosh seh β γ δ ε Δ Δ Δ λ μ - fução cosseo - fução seo - fução cosseo hiperbólico - fução seo hiperbólico - parâetro criado evolvedo, Δ e D - deforação específica trasversal - deslocaeto dos potos - deforação específica logitudial - espaçaeto da alha de potos a direção o étodo das difereças fiitas - espaçaeto da alha de potos a direção o étodo das difereças fiitas - espaçaeto geral da alha de potos - parâetro criado represetado o quadrado da frequêcia - relação etre o úero de eleetos fiitos e o úero de eia-odas e i

20 ν ξ ρ ζ η θ ω Ω det ua direção da placa - coeficiete de Poisso - taaho do eleeto a alha - assa específica do aterial - tesão oral - tesão de cisalhaeto - rotação - frequêcia de vibração e rad/s - parâetro fictício de frequêcia - deteriate de ua atriz

21 INTRODUÇÃO Placa é defiida coo ua estrutura laiar a qual ua de suas diesões (espessura) é uito eor que as outras duas. A superfície plaa equidistate das faces se deoia plao édio da placa. Defie-se coo estado de placa a cofiguração de cargas que age paralelaete ao plao da placa: forças orais ao plao édio e oetos cujos eios estão cotidos este plao (Silva, 998). O coportaeto estrutural bidiesioal das placas resulta e estruturas ais leves e ecoôicas. Alguas estruturas requere cobrietos, coo tetos por eeplo, o que pode ser obtido facilete co o uso de placas, podedo até eso ecooizar outros tipos de aterial. Algus eeplos de placas utilizadas e costruções são ostradas a Figura. a seguir: tabuleiro de ua pote, coportas, caias d água, lajes de piso ou cobrieto, cascos de avio, partes copoetes de autoóveis, estruturas aeroespaciais, lajes de edifício, etc. Figura. Eeplos de uso de placas. a) Pavieto de ua pote; b) Laje; c) Coporta de barrage; d) Copoete de ua asa; e) Copoete de u avio petroleiro (Vetsel, )

22 Das teorias desevolvidas a partir do século XIX, duas são as ais usuais a egeharia, difereciado-se as hipóteses sobre o giro das orais ao plao édio: a teoria clássica de placas fias de Kirchhoff-Love, que estabelece que as orais se atê retas e ortogoais à deforada do plao édio (Tiosheko e Woiosk-Krieger, 987), e a teoria de Reisser-Midli que até a codição de deforação reta da oral, as ão eige a sua ortogoalidade co a deforada do plao édio (Reisser, 95 e Midli, 95). Vale ressaltar que a teoria de Kirchhoff-Love é válida para o caso de placas fias equato a teoria de Reisser-Midli pode ser aplicada tato para placas fias quato para espessas. Sob certas codições de geoetria, viculação e carregaeto a placa de Kirchhoff possui solução aalítica, sedo que, por vezes, é bastate trabalhosa. Eeplos para a solução aalítica de probleas diâicos de placas de Kirchhoff (obteção das frequêcias aturais) são apresetadas o trabalho de (Leissa, 973). No caso da placa de Reisser- Midli, soluções aalíticas são quase ieistetes devido ao alto grau de copleidade de suas equações. Portato, a aálise de placas foi ua das prieiras aplicações co sucesso do étodo dos eleetos fiitos a década de 6.. MOTIVAÇÃO E JUSTIFICATIVA As placas são estruturas uito utilizadas a egeharia e idústria, desde ua siples laje até estruturas aeroespaciais, passado por pavieto rodoviário, a placa está presete o dia-a-dia de todas as pessoas e estão sujeitas a todo tipo de carregaeto. Carregaetos diâicos são de etreo iteresse, pois o caihar, ou corrida de pessoas caracterizase coo carregaetos diâicos, be coo o tráfego de veículos, vetos, sisos, etc, que produze ações diâicas. Coeça-se o estudo diâico e vibrações livres da estrutura que se pretede aalisar. Portato é de grade iportâcia essa etapa eteder a teoria diâica básica e saber aalisar corretaete o problea, ecotrar as frequêcias aturais e odos de vibração, para depois proceder a outros cálculos, co diferetes foras de viculação, por eeplo. Os estudos realizados são iportates por se costituíre a prieira etapa da aálise diâica, que se caracteriza pela deteriação das propriedades diâicas da estrutura,

23 e teros das frequêcias aturais e deforadas odais, tão ecessárias os estudos do coportaeto e da resposta diâica.. OBJETIVOS O objetivo geral desse trabalho é ivestigar o coportaeto diâico, e vibração livre, de placas retagulares fias subetidas à várias codições de viculação e tetar estabelecer relações de iteresse que eplicite o grau de iportâcia dos diversos parâetros que itervê o feôeo. Especificaete, pretede-se: Elaborar u aterial didático que perita ua iiciação aos iteressados o capo de aálises diâicas de placas; Obter as frequêcias aturais de placas fias por eio de equações aalíticas (teoria clássica) e étodo uérico, a fi de coparar os resultados etre si; Coprovar a eficácia e precisão da aálise uérica para obter respostas de frequêcias aturais utilizado os resultados obtidos aaliticaete coo base; Mostrar a ão coforidade da teoria de Kirchhoff-Love para resolver casos de placas espessas ou oderadaete espessas; Mostrar a ifluêcia das codições de viculação a deforada dos odos de vibração; Adquirir eperiêcia de uso e odelização o ANSYS para placas..3 METODOLOGIA Propõe-se estudar, e placas retagulares, o problea de vibrações livres, o qual busca-se as frequêcias aturais e deforadas odais, e diferetes codições de cotoro para evideciar a ifluêcia das viculações e outros parâetros as respostas uéricas. O trabalho cosiste e estudo coparativo aalítico e uérico realizado co o prograa ANSYS (étodo dos eleetos fiitos). As aálises serão realizadas sob diversas codições e coparadas co os resultados aalíticos. 3

24 Será tabé efetuada ua aálise, pelo étodo das difereças fiitas, para ua placa já resolvida aaliticaete e por eleetos fiitos, e os resultados coparados etre si.. ABRANGÊNCIAS E LIMITAÇÕES O estudo realizado essa dissertação liita-se a placas fias, ebora a aálise feita pelo étodo dos eleetos fiitos possa ser utilizada para placas espessas, a teoria aalítica utilizada ão é válida para tal. As aálises serão feitas co aterial liear, elástico e isotrópico. Por se tratar de probleas de vibração livre, o aortecieto ão será abordado. As codições de cotoro abordadas fora as codições básicas de apoio, egaste e livre ao logo de toda borda. Eplora-se, os estudos, os seguites parâetros: h a, e, ode h é a espessura da placa, a e b são as diesões da placa e é o a b parâetro de frequêcia. Não fora feitos cortes as deforadas odais devido a aior riqueza da represetação tridiesioal utilizada..5 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO O capítulo efetua ua breve revisão bibliográfica das teorias clássicas e étodos tradicioais a respeito de placas e vibrações livres, que fora publicados por diversos autores, be coo algus trabalhos ais próios do tea e questão. O capítulo 3 apreseta o desevolvieto teórico básico das placas e estudo sob a ótica estática e diâica (vibração livre). São ostradas as pricipais equações que rege os probleas estáticos e odais, be coo o étodo geral de obteção das esas. O étodo das difereças fiitas tabé é apresetado, be coo a parte coputacioal aplicada a dissertação. Aborda-se o eleeto fiito utilizado a aálise uérica, suas características e fucioalidade, as dificuldades a odelage e coetários acerca da alha e codições de cotoro. O capítulo apreseta os resultados obtidos e discute as coparações etre os cálculos aalíticos e uéricos, baseados respectivaete a teoria desevolvida o capítulo 3 e obtidos pelo prograa ANSYS. É feita ua aálise visual da ifluêcia das codições de cotoro a deforada dos odos de vibração (resposta qualitativa das deforadas

25 odais). Alé disso, realiza-se ua aálise pelo étodo das difereças fiitas (para o caso da placa totalete apoiada) coparado co os resultados aalíticos pertietes. A Tabela. a seguir ilustra os casos estudados, ostrado as codições de cotoro aplicadas, a aálise e abordages realizadas e os pricipais objetivos. Tabela. Casos aalisados e suas pricipais características Esquea Aálise Abordage Objetivos Caso (caso de referêcia) Aplicar a etodologia apresetada; Aalítica Vibração Coparar os resultados Eleetos livre aalíticos e uéricos obtidos; fiitos Visualizar a deforada dos odos de vibração. Caso Vibração livre Ide ao Caso Ide ao Caso Caso 3 Vibração livre Ide ao Caso Ide ao Caso. A=Apoiado E=Egastado L=Livre 5

26 Caso Vibração livre Ide ao Caso Ide ao Caso. Caso 5 Vibração livre Ide ao Caso Ide ao Caso. Caso 6 Vibração livre Ide ao Caso Ide ao Caso. Caso 7 Vibração livre Ide ao Caso Ide ao Caso. A=Apoiado E=Egastado L=Livre 6

27 Caso8 Vibração livre Ide ao Caso Ide ao Caso. Caso 9 Vibração livre Ide ao Caso Ide ao Caso. Caso Vibração livre Ide ao Caso Ide ao Caso. Caso Vibração livre Ide ao Caso Ide ao Caso. A=Apoiado E=Egastado L=Livre 7

28 Caso Vibração livre Ide ao Caso Ide ao Caso. Caso 3 Vibração livre Ide ao Caso Ide ao Caso. Caso Vibração livre Ide ao Caso Ide ao Caso. Caso 5 Vibração livre Ide ao Caso Ide ao Caso. A=Apoiado E=Egastado L=Livre 8

29 Caso 6 Vibração livre Ide ao Caso Ide ao Caso. Caso 7 Vibração livre Ide ao Caso Ide ao Caso. Caso 8 Vibração livre Ide ao Caso Ide ao Caso. Caso 9 Vibração livre Ide ao Caso Ide ao Caso. A=Apoiado E=Egastado L=Livre 9

30 Caso Vibração livre Ide ao Caso Ide ao Caso. Caso Vibração livre Ide ao Caso Ide ao Caso. A=Apoiado E=Egastado L=Livre O capítulo 5 forece as coclusões percebidas esta dissertação e sugestões para estudos futuros

31 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Nesta seção serão ostrados os pricipais estudos realizados que evolve a resposta diâica de placas, seja e vibração livre ou forçada. Todos esses estudos fora realizados para ostrar a iportâcia desse cohecieto.. ESTUDOS RECENTES E RELEVANTES Gupta, Lal e Shara (7) realizara estudo sobre a vibração livre de placas circulares ão-hoogêeas co espessura variável. Valera-se da teoria de placas de Midli e obtivera as três prieiras frequêcias aturais e os respectivos odos de vibração ivestigado, assi, a ifluêcia das codições de cotoro e da ão-hoogeeidade a resposta da frequêcia atural. Cocluíra que a frequêcia aueta co o aueto do parâetro que represeta a ão-hoogeeidade e tabé co o aueto da espessura, etretato ela decresce co o aueto do parâetro que represeta a desidade. Mochida e Ilako () estudara a resposta trasiete de ua placa livre e todas as bordas usado o étodo da superposição de Gora. A placa possui coo carregaeto apeas o peso próprio. Verificara que os odos ais baios doia a respostas trasiete (os prieiros odos) e que o étodo da superposição, e coparação co a aplicação do étodo de Raleigh-Ritz, forece respostas ais precisas, co covergêcia ais rápida e, por fi, ais cofiável para esse tipo de aálise e ua placa livre. Xu, Du e Li () estudara a vibração de placas retagulares reforçadas por vigas. Apreseta u étodo aalítico para a resolução desse problea o coparado co u étodo híbrido aalítico-uérico e co a resposta uérica obtida co o ANSYS. As placas fora estudadas co diferetes codições de cotoro e eceletes resultados fora obtidos para todas as aálises feitas, cocluido que u étodo iteiraete aalítico foi desevolvido. Zhou, Wog, Xu e Leug () estudara a resposta da frequêcia atural de placas fias circulares e aulares pela aproiação de Hailto. Diferetes codições de cotoro são estudadas e as respostas obtidas para os prieiros odos de vibração ostrara-se

32 eceletes e coparação co outros étodos de cálculo. Cocluíra que a aplicação ão se restrige apeas ao caso da vibração livre das placas e que o étodo pode ser utilizado para validar a precisão de étodos uéricos. Li, Ta, Ya e Hargreaves () aalisara a vibração de placas e fora de L devida a ecitação por ua força potual ou oeto. Forulara solução aalítica para abos os casos e coparara os resultados co respostas uéricas, pesquisado, tabé, a ifluêcia do local de aplicação da ecitação a resposta de frequêcia. Procedera co a solução de fora fechada o que ão ecessita iversão de atriz a solução. Aabili e Carra () realizara estudos eperietais acerca de vibrações forçadas de grade aplitude e placas retagulares carregado diferetes assas cocetradas. Ecitadores eletrodiâicos fora utilizados para aplicar a ecitação harôica, a placa foi egastada e todas suas bordas e siulações uéricas fora realizadas para coparar os resultados e eteder elhor o problea. A Figura. a seguir ostra o eperieto otado. Os resultados ostrara que a gravidade produz defleões estáticas a placa, que aueta ão liearete co o aueto das assas. O aortecieto aueta de aeira ão liear co a aplitude de vibração. Figura. Placa do eperieto co duas assas de 5 g dispostas sobre a esa (Aabili e Carra, )

33 Figura. Resposta da aplitude de frequêcia para a placa co ua assa cocetrada de 5 g o cetro (Aabili e Carra, ) Li () estudou a resposta de vibração de ua placa egastada reforçada co ua ervura. Resultados aalíticos e eperietais são obtidos para a vibração livre e forçada da placa (a esa é ecitada por ua carga potual), sedo que os resultados eperietais fora obtidos para verificar os resultados aalíticos. Tabé há algus resultados obtidos pelo étodo dos eleetos fiitos para coparação e verificação da boa precisão do eso. Cocluiu que quado o coprieto da eia-oda do odo de vibração é aior que a aior diesão da ervura, a esa se coporta coo u apoio. Ua vez que a frequêcia aueta e, cosequeteete, o coprieto da eia-oda diiui a ervura passa a coportar-se coo u egaste, sedo observado para quado o coprieto da eia-oda é eor que a etade da aior diesão da ervura. A Figura.3 ostra algus resultados observados e o coportaeto de apoio e egaste da ervura situada a,3 da borda. Ki, Cho e Beo () estudara aaliticaete a vibração de ua placa circular co a borda etera elasticaete restrita (apoio elástico). Apreseta as equações aalíticas resolvidas de aeira eata, as fuções odais, as frequêcias aturais e os odos de vibração. Para cofirar a acurácia da proposta, copara os resultados obtidos pelas equações desevolvidas co resultados de placas egastadas e livres da literatura. Isail e Cartell () estudara a vibração forçada de ua placa cotedo ua fissura de orietação variável e sua superfície. Propusera u ovo odelo aalítico para obter as respostas de vibração (baseado a teoria clássica de placas) para essa situação ivestigada. Solucioara a placa para três codições de cotoro, placas retagulares e 3

34 quadradas. Mostrara a ifluêcia da orietação e taaho da fissura, be coo do local de aplicação da força potual ecitatória. A validação dos resultados é coprovada por coparação co resultados eperietais. Figura.3 Resultados aalíticos (a), eperietais (b) e pelo étodo dos eleetos fiitos (c) para os odos,, 5 e 8 (Li, ) Shi e Dog () estudara a vibração e placas aulares, co diferetes tipos de apoio itera e eteraete, subetidas a variação de teperatura o abiete. Estudara o caso de aueto de teperatura de ão liear, coparado os resultados aalíticos e uéricos obtidos para os diferetes casos aalisados, cocluido que as frequêcias aturais diiuía co o aueto da teperatura.

35 Hosseii-Hashei, Rezaee, Atashipour e Girhaar () estudara a vibração livre de placas circulares espessas co u úcleo rígido agregado ao cetro das esas, cofore Figura.. Apreseta solução aalítica e uérica para diferetes codições de cotoro e parâetros que cotrola o problea, coo a relação etre a espessura e o raio, relação etre os raios da placa e do úcleo rígido e assa do úcleo, etre outros. Cocluíra que a solução aalítica apresetada é ecelete pois os resultados obtidos estão e cocordâcia co os resultados uéricos obtidos pelo étodo dos eleetos fiitos. Figura. Seção trasversal da placa co o úcleo rígido (Hosseii-Hashei, Rezaee, Atashipour e Girhaar, ) Sejaovic, Vladiir e Toic (3) apreseta ua teoria avaçada para a resposta de vibração de placas retagulares oderadaete espessas. Buscara reduzir o úero de equações goverates de três para apeas ua equação e fução da defleão. Obtivera resultados uito bos para placas totalete apoiadas e placas apoiadas e duas bordas opostas e egastadas as outras duas. Os esos fora coparados co os resultados retirados da literatura para diferetes relações de espessura. Cocluíra que a vatage do étodo é a siplicidade e trasparêcia do eso, reduzido o recurso coputacioal ecessário para resolver o problea. Askari, Jeog e Aabili (3) ivestigara a vibração de placas circulares iersas e u recipiete cotedo líquido co a superfície livre. Apresetara u étodo teórico para a aálise de vibração livre desse caso e validara os resultados ediate a realização de algus eperietos. As frequêcias aturais são obtidas levado e cosideração a 5

36 iteração fluido-estrutura. Realizara aálises para as codições de cotoro livre e egastada. Cocluíra que os resultados obtidos estão de acordo co os resultados eperietais. Wag e Ual (3) aalisara a vibração livre de placas retagulares, co aueto da espessura ão gradual, ediate o étodo dos eleetos fiitos espectral. O objeto de estudo foi ua placa co u aueto brusco a espessura, cosiderado duas codições de cotoro, apoiada e egastada, cofore Figura.5. Coparara resultados obtidos da literatura e de aálises feitas co o prograa NASTRAN co os resultados obtidos pelo étodo proposto. Cocluíra que a solução proposta costitui u étodo de aálise eficiete e preciso e que apeas ua porção da alha é ecessária para obter resultados seelhates aos obtidos co o étodo dos eleetos fiitos tradicioal. Figura.5 Placas co aueto brusco de espessura aalisadas: (a) apoiada e todas as bordas e (b) egastada e todas as bordas (Wag e Ual, 3) Bose e Mohat (3) estudara o caso de ua placa fia retagular co ua fissura de posição e orietação arbitrárias sobre vibração livre. As frequêcias aturais são obtidas para diferetes codições de apoio as bordas da placa, diferetes coprietos, âgulos e posições da fissura. Algus resultados obtidos, aaliticaete, são coparados co a literatura, ostrado a ifluêcia da fissura os odos de vibração da placa. Cocluíra que os resultados estão e acordâcia co os apresetados a literatura para fissuras logas, as frequêcias aturais diiue co o aueto do coprieto da fissura e co o aueto do âgulo da esa até o liite de 5º. 6

37 Li, Fag e Xu () estudara o efeito do aortecieto devido ao ar presete os furos da icroestrutura aalisada. Realizara estudos aalíticos e coparações co o étodo dos eleetos fiitos para as respostas de vibração. A estrutura trata-se de ua placa circular co furos circulares disposto a esa a fi de forecer o aortecieto para a estrutura. O problea te aplicação e icro sisteas eletroecâicos. A Figura.6 ostra a placa aalisada. Cocluíra que para placas co razão de perfuração pequea e édia o resultado aalítico proposto é etreaete satisfatório, de acordo co os valores uéricos, equato que, para razão de perfuração grade, há discrepâcia etre os resultados uérico e aalítico e odos de vibração ais altos. A razão de perfuração é dada pelo diâetro do furo dividido pela distâcia etre os cetros de dois furos adjacetes. Figura.6 Microplaca perfurada co distribuição uifore dos furos (Li, Fag e Xu, ) Wag () estudou a vibração de placas circulares livres e suas bordas eteras e cocetricaete apoiadas o iterior, variado a distâcia do apoio. O autor aalisou os prieiros odos de vibração variado as codições de apoio itera, jutaete co a distâcia do eso e relação ao cetro da placa. Obteve resultados aalíticos e os coparou co os resutados da literatura, evideciado sigularidades para o caso do raio do apoio ser zero (codição de cotoro apeas o poto cetral da placa). A Figura.7 a seguir ilustra os resultados do caso siplesete apoiado. 7

38 Figura.7 Modos de vibração para o caso siplesete apoiado e livre a borda. Os valores de b represeta a distâcia relativa dos apoios iteros (Wag, ) 8

39 3 DESENVOLVIMENTO TEÓRICO Ua apresetação siplificada das teorias e forulações para o estudo e resolução de probleas diâicos de vibração livre de cascas retagulares será apresetado este capítulo. Será abordado, tabé, a base da teoria de Kirchhoff-Love para casos estáticos. Por fi, ostra-se ua breve forulação do étodo das difereças fiitas para poder aplicá-lo ao problea diâico. A teoria desevolvida esse capítulo baseia-se os seguites autores (Szilard, ), (Vetsel, ), (Soedel, ), (Pedroso, 998, 999, 5, ) e (Tiosheko e Woiosk-Krieger, 987). Ua aálise rigorosa requereria que a placa fosse cosiderada coo u eio tridiesioal cotíuo ao ivés de ua ação estrutural bidiesioal coo idica os autores. Devido a dificuldades ateáticas criadas e a ão praticidade da solução, (Szilard, ), (Vetsel, ) e outros autores forece tipos de placa, itervalos diferetes os quais as placas se ecaia e são categorizadas para proceder às soluções aalíticas apropriadas à cada caso. Usado a relação a h (espessura dividida pelo coprieto, ou diesão goverate) pode-se classificar as placas segudo os autores: (Szilard, ) h Placas fias,, ; a h Placas oderadaete espessas,, ; a h Placas espessas,. a (Vetsel, ) h Placas fias,, ; a h Placas espessas,. a 9

40 Ebora (Vetsel, ) ão cosidere a classificação de placas e oderadaete espessas, os itervalos propostos pelo autor são ais usuais, estão presetes a grade aioria dos trabalhos a área. Portato, prefere-se utilizar sua classificação ao logo desse trabalho. 3. HIPÓTESES GERAIS De acordo co (Pedroso, 998) pode-se iagiar que a fora de ua placa fia é defiida pela geoetria de sua superfície édia. A teoria de placas de Kirchhoff-Love baseia-se as seguites codições: O aterial da placa é elástico, hoogêeo e isotrópico ( E ); A espessura h é pequea e relação as outras diesões (placas fias); As tesões orais a superfície édia são desprezíveis e relação as deais tesões ( ); z Os potos pertecete (ates da deforação) a retas orais a superfície édia ecotra-se, após a deforação, sobre retas perpediculares a superfície édia deforada (deforações devido ao esforço cortate são desprezadas); Os deslocaetos são pequeos se coparados co a espessura da placa, sedo possível desprezar a ifluêcia dos esos o estado das codições de equilíbrio do eleeto de superfície (teoria liear e superposição de efeitos); As defleões são uito eores que (teoria de pequeas deforações). 3. EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA PLACA Na Figura 3. a seguir, ecotra-se ua represetação de ua placa D, de fora qualquer, e sua superfície édia S, be coo os eios coordeados, e z. Os potos X e Y pertece a placa sedo que X é u poto cotido a superfície édia e Y u poto logo abaio de X (distâcia perpedicular a superfície édia). De acordo co as hipóteses da X,, e seção 3., os deslocaetos dos potos X e Y são, respectivaete, Y u, v,.

41 Figura 3. Placa fia co u corte passado por X (Pedroso, 998) Após a deforação, a situação da placa é eplicitada a Figura 3.. Pode-se observar que a distâcia d etre os dois potos cosiderados peraece a esa e os potos X e Y cotiua pertecetes a ua reta oral a superfície édia deforada (eio eutro deforado). Há ua rotação do poto Y (devido a deforação da superfície édia) e u deslocaeto v a direção. Ifere-se que o deslocaeto de u poto é fução apeas da posição (,) do eso, ua vez que o eso deslocaeto é copartilhado por potos co diferetes posições e z e esa posição (,). Figura 3. Corte o plao z e deforação da placa (Pedroso, 998)

42 Etão, evideciado o sial dos deslocaetos de acordo co a disposição dos eios as Figuras 3. e 3. e de acordo co a hipótese de defleões uito pequeas: v dse v d (3.) De fora aáloga para o plao z: u dse u d (3.) Mostrado que todos os deslocaetos de u poto da placa, poto Y por eeplo, são deteriados ediate o cohecieto de, tabé u deslocaeto do poto. As deforações do poto, do eso odo que os deslocaetos, serão perfeitaete deteriadas ao se cohecer : u d (3.3) v d (3.) u v d (3.5) 3.. Cálculo das tesões e dos oetos De posse das deforações, pode-se aplicar a validade da lei de Hooke (fato coteplado por ua hipótese a seção 3.) e deteriar equações para obteção das tesões, lebrado que : z Ed E (3.6)

43 Ed E (3.7) E Ed (3.8) As equações (3.6) a (3.8) ostra que as tesões varia liearete co a distâcia d edida a partir do eio eutro, atedo a posição (,) costate, e aula-se o eio eutro, ou seja, quado d=. A Figura 3.3 ilustra a distribuição de tesões as faces de u eleeto ifiitesial da placa ao logo de ua oral geérica a superfície S. A coveção de siais adotada será: Forças iteras, eteras e deslocaetos são positivos quado estão o setido positivo dos eios; Moetos fletores são positivos quado tracioa as fibras iferiores. Moetos torçores são positivos quado estivere o setido positivo dos eios para as faces priárias; Moetos por uidade de coprieto, produzidos pelas tesões, serão positivos quado tracioare as fibras iferiores (para os oetos fletores) e quado estivere o setido positivo dos eios (para oetos torçores as faces priárias). Para auiliar o etedieto, todas as gradezas apresetadas a Figura 3.3 estão represetadas e suas quatidades positivas. Caso haja udaça dos eios coordeados uda-se coveção do oeto fletor, cofore idica a Figura. e sua represetação das quatidades positivas. De acordo co (Szilard, ) é costue trabalhar e placas co os esforços por uidade de coprieto, portato utiliza-se os esos (represetados por letras iúsculas). 3

44 Figura 3.3 Distribuição das tesões o eleeto ifiitesial de placa (Szilard, ) Procededo ao cálculo dos oetos: dad dfd ou dad (3.9) Coo se trata de ater a posição (,) costate (oral geérica a superfície S), variado apeas o eio z, o diferecial de área da se tora apeas dz. 3 D Eh dz Ed ddz h h h h (3.)

45 5 De aeira aáloga para : 3 D Eh dz Ed ddz h h h h (3.) Para a torção: D Eh dz Ed ddz h h h h 3 (3.) Itroduziu-se a gradeza D defiida coo rigidez fleioal da placa cuja equação é: 3 Eh D. 3.. Codições de equilíbrio de u eleeto de placa A Figura 3. ostra u eleeto ifiitesial de placa (d,d) subetido a u carregaeto P(,) perpedicular a superfície édia co todos os esforços atuates. Utilizado os esforços por uidade de coprieto (represetados pelas letras iúsculas) e aplicado o equilíbrio dos esforços para o eleeto.

46 6 Figura 3. Equilíbrio dos esforços o eleeto ifiitesial (Szilard,, odificado) Equilíbrio de forças verticais F : p q q pdd d q d q d d q q d d q q, (3.3)

47 7 Soatório dos oetos e relação ao cetro de gravidade M : q d d q d d d q q d d d d d d (3.) O tero d dd q foi desprezado por ser ifiitesial e uito eor que os teros restates, torado-se portato irrelevate. Soatório dos oetos e relação ao cetro de gravidade M : q d d q d d d q q d d d d d d (3.5) Cobiado as equações (3.3) a (3.5): p, (3.6) Valedo-se das equações (3.) a (3.), a equação (3.6) é reescrita a seguite fora: p D p D D D,, (3.7)

48 A equação (3.7) é, portato, ua equação diferecial parcial de ª orde que perite obter e fução do carregaeto aplicado a placa. Durate a seção 3. iteira percebeu-se que cohecedo o deslocaeto obté-se todas as gradezas relevates para a placa, fica assi epresso a iportâcia priordial da equação (3.7). Essa equação possui e seu lado esquerdo o operador Laplaciao bi-harôico, podedo ser escrita de fora ais copacta, cofore (Vetsel, ):, p D, (3.8) O problea é cosiderado resolvido se for ecotrada ua epressão da deforada da superfície édia () que satisfaça a equação de Lagrage (3.8) e as codições de cotoro. Ressalta-se que as equações (3.) a (3.) são aplicáveis para as gradezas resultates (letras aiúsculas) e ão só para os esforços por uidade de coprieto. É iteressate represetar os esforços cortates q e q e fução do deslocaeto : q D (3.9) q D (3.) Os esforços cortates resultates são costituídos de duas parcelas, portato ão se pode apeas utilizar a esa equação obtida para os esforços por uidade de coprieto, equações (3.9) e (3.). É ecessário soar ua parcela do efeito do oeto torçor à parcela já obtida por uidade de coprieto, te-se: 3 3 V q D 3 (3.) V 3 3 D (3.) 3 q 8

49 De acordo co (Szilard, ), a seguda parcela das equações (3.) e (3.) represeta esforços cortates adicioais ao logo das bordas. Substitui-se o oeto torçor por ua equivalêcia estática ao logo da borda igual a d e d d de acordo d co a Figura 3.5. As forças se cacela etre os eleetos adjacetes, cofore Figura 3.5, eceto a parte icreetal d e ecotra-se as forças adicioais de Kirchhoff: d. Dividido por d e d, respectivaete, qˆ e qˆ (3.3) Nos catos das placas as forças ão se cacela, as se soa resultado ua força adicioal o cato, fato que eplica a tedêcia de elevação dos catos de ua laje (Clíaco, 8). A Figura 3.5 ostra esse efeito e u dos catos da placa co a preseça da força R. Na prática deoia-se esse efeito coo oeto volvete e é ecessário colocar ua aradura adicioal a região para cobater o surgieto de fissuras diagoais os catos da laje. Figura 3.5 Efeitos do oeto torçor as bordas (Szilard, ) 9

50 Co todas as gradezas defiidas, procede-se a qualquer cálculo ecessário, iclusive cosiderações sobre as codições de cotoro, ua vez que ao ecessitar defiir que o oeto fletor é ulo, por eeplo, recorre-se a equação (3.). 3.3 SOLUÇÃO DE NAVIER (Szilard, ) ifora que a equação diferecial (3.8) é ua equação diferecial parcial liear de quarta orde co coeficietes costates e que há quatro tipos de soluções ateáticas para o problea de placas: Solução eata; Superposição da solução da equação bi-harôica hoogêea co a solução particular iposta; Solução e dupla série trigooétrica (Solução de Navier); Solução e série trigooétrica siples (Solução de Lev). Aborda-se apeas a solução e dupla série trigooétrica, chaada de solução de Navier, que fucioa apeas para o caso de ua placa siplesete apoiada e todas as suas bordas. As codições de cotoro são, lebrado que as equações para utilizá-las já fora defiidas:, a, b e, a, b (3.) O deslocaeto e o carregaeto são epressos por dupla série trigooétrica:, W se se ; a b,,,3, (3.5) p, P se se ; a b,,,3, (3.6) O coeficiete P é obtido utilizado o carregaeto do problea (carga distribuída, carga cocetrada o cetro da placa, etre outros) e procededo à resolução clássica para 3

51 3 epasão e dupla série de Fourier. Para o caso de carregaeto uiforeete distribuído sobre a placa, chaado o p p, : ; ; 6 o P p P,,6,,,3,5,, (3.7) Levado as respostas a equação de Lagrage, equação (3.7) ou (3.8), obté-se a epressão para o coeficiete W e, co isso, a resposta fial para o deslocaeto e fora de série. b se a se a a D p a a D p a a D P W b se a se P D b se a se b b a a W o o 6 6 6, 6 (3.8) Coo foi visto a seção 3., a partir do deslocaeto calcula-se qualquer gradeza pertiete à placa. O problea está resolvido. 3. EQUAÇÃO DE MOVIMENTO (Szilard, ) atesta que ebora o aortecieto esteja presete e qualquer vibração de placas, é itríseco à estrutura, ele ão te efeito para ua aálise iicial de vibração buscado frequêcias aturais da estrutura, portato pode ser igorado se prejuízo. Para obter a equação diferecial de ovieto pode-se recorrer a dois odelos: aplicação do pricípio de equilíbrio diâico de D Alebert ou a forulação baseada a coservação de eergia. Aplica-se o pricípio do equilíbrio diâico, por ser ais siples,

52 para u eleeto de placa coo o da Figura 3.. Sedo h sedo defiido coo a assa por uidade de área, a força iercial pode ser epressa por: pˆ (3.9) t Sabe-se que as respostas de deslocaeto e as forças são depedetes do tepo e ua aálise diâica. Estededo a equação de equilíbrio estática, equação (3.8), ao adicioar a força iercial, te-se a equação diferecial de ovieto ão aortecida sobre a ação de carregaeto diâico etero, vibração forçada. D,, t p,, t (,, t) (3.3) Percebe-se que o deslocaeto ão é ais fução apeas da posição (,) os eios coordeados (idepede de z), as é tabé fução do tepo t, assi coo a força etera agido a estrutura. Para obter a equação de ovieto ão aortecida de ua placa sujeita a vibração livre, basta fazer a força etera igual a zero a equação (3.3). D,, t,, t (3.3) Assuido ua vibração harôica de frequêcia para represetar a depedêcia do tepo, escreve-se jutaete co as suas derivadas ecessárias:,, t, se t,, t, cos t,, t, set (3.3) ode, descreve os odos de vibração, é a fução de fora, e é a frequêcia atural da placa dada e rad/s. Trabalhado co as equações chega-se e, supriido a depedêcia das coordeadas (,) apeas por praticidade a escrita: 3

53 33 D (3.33) Utilizar-se-á a técica da separação de variáveis para proceder aos cálculos e obter a resposta de frequêcia da equação de vibração livre. Seja: F H, (3.3) Lebrado do operador Laplaciao bi-harôico e sua forulação as equações (3.7) e (3.8): '''' '' '' '''' HF D HF F H F H D (3.35) Para a codição de cotoro siplesete apoiada, equação (3.), aplicada as quatro bordas da placa, a fução de fora pode se dar pela dupla série de Fourier. ;, b se a se W F H,,,3, (3.36) As derivadas ecessárias são: ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' b se a se b W HF b se a se b a W F H b se a se a W F H (3.37) Utilizado e cobiado as equações (3.36), (3.37) a equação (3.35):

54 3 b se a se W D b se a se b b a a W (3.38) Resolvedo para obté-se a equação para as frequêcias aturais de ua placa qualquer co diesões a e b siplesete apoiada as quatro bordas. Vale ressaltar que a assa por uidade de área é dada por h. D b a (3.39) Ao utilizar a equação (3.39) calcula-se as frequêcias aturais da placa para qualquer cobiação odal,. O tero represeta o úero de eia-odas o odo de vibração ao logo do eio e o represeta o úero de eia-odas ao logo do eio. (Szilard, ) idica que apesar de eistire cobiações odais co a esa frequêcia (cobiação =; = e =; = por eeplo) os odos de vibração serão diferetes, apresetarão deforadas diferetes. Esse fato será ostrado e figuras dos deslocaetos dos odos apresetadas os resultados. Segudo (Vetsel, ) a prieira frequêcia atural (=; =) é deoiada frequêcia atural fudaetal. Vale ressaltar que a equação (3.39) diz respeito a placa siplesete apoiada apeas e para obter a solução aalítica de outros casos de viculação procede-se co a separação de variáveis e aplicação das codições de cotoro referetes a cada caso: Egaste:,, b a e,, b a (3.)

55 Livre:, a, b V e V, a, b (3.) As equações (3.), (3.) e (3.) refere-se aos casos de placas co todas as bordas subetidas àquela codição de cotoro. Obviaete que, e casos de cobiações das diferetes codições de viculação, deve-se aplicá-la apeas para as bordas ecessárias (equação (3.) apeas e =a e =, por eeplo). Tedo sido etedido o processo de obteção da resposta, recorre-se à (Blevis, 979), que codesou as soluções aalíticas de diversos casos de viculação e fora de tabelas, para obter as diversas soluções apresetadas ais adiate. Blevis valeu-se do trabalho de (Leissa, 973) para apresetar as equações aalíticas que forece as frequêcias aturais das placas, equações essas que serão apresetadas o apêdice D. A Figura 3.6 apreseta padrões para a deforada dos odos de vibração de placas egastadas. Resgatado a equação (3.39) a fi de realizar alguas operações a esa para evideciar relações e teros iportates, que ifluecia de aeira cotudete a resposta de frequêcia buscada. É válido utilizar de represetações diferetes para a frequêcia, pois auilia e estudos paraétricos, represetações gráficas e visualização dos pricipais parâetros que cotrola as frequêcias aturais. Portato: 3 Eh a h E a b h b a (3.) a E a b h a (3.3) 35

56 a E a b h a (3.) A equação (3.) ostra u parâetro de frequêcia obtido pela ultiplicação da frequêcia atural por alguas costates presetes a equação geral. A equação (3.3) evidecia a relação a h e ostra que a frequêcia é diretaete proporcioal a esa. Outra relação de iteresse represetada é a b ou siplesete b a, equato este apreseta a evolução da frequêcia de acordo co a relação etre as diesões da placa, aquele ostra a ifluêcia que o úero de eia-odas te sobre a frequêcia atural. Pode-se defiir parâetros de frequêcia diferetes, alterado as costates que ultiplica a frequêcia, por eeplo a. 36

57 Figura 3.6 Modos de vibração para placas egastadas (Szilard, ) 3.. Deforadas odais (Soedel, ) apreseta o desevolvieto para as deforadas odais. O processo será descrito de aeira sucita para obter a resposta fial e aplica-la posteriorete a fi de coparar essa deforada obtida aaliticaete co as deforadas odais obtidas uericaete (pelo ANSYS). 37

58 38 Prieiraete, cosidera-se a placa siplesete apoiada ao logo de duas bordas opostas, o eio. Levado e cosideração as codições de cotoro ostradas a equação (3.), elas estarão satisfeitas caso: a se Y ), ( (3.5) Levado a resposta da equação (3.5) a equação de ovieto (3.33) obté-se: Y D h a d Y d a d Y d (3.6) A solução dessa equação diferecial de quarta orde precisa satisfazer as quatro codições de cotoro do apoio (duas codições e cada borda). Substituido, a equação (3.6), a solução apresetada a equação (3.7) desevolve-se a resposta de Y(). i b i i C e Y (3.7) K a b D h a b a b i i i (3.8) ode h D a K co o deoiador sedo a equação para cálculo da frequêcia de ua viga siplesete apoiada. Logo, K > e procede-se co o seguite desevolvieto: r r 3 ir ir (3.9)

59 b b r K r K (3.5) a a A solução estipulada a equação (3.7), escrita co todas as suas parcelas, é: Y r b r b ir b ir b C e Ce C3e Ce (3.5) Trabalhado co as costates: C A B C A B C 3 C D i C C D (3.5) i Utilizado relações trigooétricas e defiições das fuções seo e cosseo hiperbólicos: Acosh r Bseh r C cos r Dse r (3.53) b b b b Y 3... Placa apoiada as outras duas bordas Assuido que as outras duas bordas opostas estão, tabé, siplesete apoiadas, o eio, aplica-se as codições de cotoro do caso apoiado para a equação (3.53), ou seja, a equação de Y() deve satisfazer as codições epressas a equação (3.). C A Ar Cr Acosh( r ) Bseh( r ) C cos( r Ar cosh( r ) Br seh( r ) Cr ) Dse( r cos( r ) Dr ) se( r ) (3.5) Epadido o deteriate do sistea de equações defiido e (3.5) e igualado a, obté-se: r sehr se r r (3.55) Para soluções ão triviais, apeas se r pode ser ulo. Portato: 39

60 a r K (3.56) b Ao substituir a equação (3.56) e K a D h, obté-se a equação (3.39) para calcular as frequêcias aturais de ua placa totalete apoiada. Para obter as deforadas odais resolve-se o sistea de equações descrito e (3.5) para três dos quatro coeficietes. cosh r A sehr cosr B D se r r (3.57) r C Coo resposta obté-se: A D B D C D Y Dse b (3.58) Substituido a equação (3.5):, (3.59) b a Dse se (Szilard, ) afira que o odo de vibração de ua placa totalete apoiada e suas bordas é ua curva seoidal siples as duas direções, e (de acordo co a equação (3.59)). Para o caso de esa frequêcia atural e deforadas diferetes, =; = e =; =, por eeplo, desde que a razão a/b seja racioal, pode-se superpor as deforadas dos dois odos, obtedo:, (3.6) b a a b Dse se Cse se

61 A equação (3.59) forece as deforadas odais evideciado as eia-odas as direções e, as uca forecerá a deforada de aeira alterativa. Ao se utilizar a equação (3.6) é possível verificar as deforadas alterativas paras os odos de vibração. (Szilard, ) atesta que as costates são arbitrárias podedo utilizar a equação (3.6) coo equação geral, obtedo as deforadas alterativas quado D C e D C, e obtedo as deforadas que evidecia as eia-odas quado D ec ou D C Placa egastada as outras duas bordas Assuido que as outras duas bordas opostas estão egastadas, o eio, aplica-se as codições de cotoro do caso egastado para a equação (3.53), ou seja, a equação de Y() deve satisfazer as codições epressas a equação (3.). C A r r B D b b Acosh( r ) Bseh( r ) C cos( r r r r A seh( r ) B cosh( r ) C b b b ) Dse( r se( r ) r ) D cos( r b ) (3.6) Epadido o deteriate do sistea de equações defiido e (3.6) e igualado a, obté-se: coshr cosr r r seh r ser r r (3.6) Resolvedo a equação (3.6) para as raízes K e substituido e K : D a h h K a (3.63) D

62 Os valores de K são os valores de que costa a Tabela D.. As deforadas dos odos de vibração são obtidas resolvedo o sistea (3.6) para três dos quatro coeficietes e defiido as equações epressas e (3.6) K a b r K a b r (3.6) cosh cos r A D C B r r r se r r seh (3.65) Coo resposta obté-se: A r B r r seh r r se r r r r A D r seh r r se r r seh r r se r A C r seh r r se r r r r A B cos cosh cosh cos (3.66) Substituido a equação (3.53) e posteriorete a equação (3.5): a se b r se r r b r seh r seh r r se r r r r b r b r A cosh cos cos cosh, (3.67) A costate A tabé será arbitrária, os valores de r e r depede da cobiação odal para a qual pretede-se achar a deforada e esta será represetada evideciado as eia-odas as direções e.

63 3.5 ANÁLISE PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS A odelage uérica foi feita pelo étodo dos eleetos fiitos por eio do softare ANSYS, sedo possível obter as ais diversas respostas, coo deslocaeto, esforços e tabé ua represetação gráfica dessas gradezas. Escolheu-se, para a odelage, o eleeto SHELL8 e virtude de suas propriedades, rápida covergêcia das respostas e dados de saída pertietes, coo o oeto fletor, por eeplo, que ão é u dado de saída de todos os eleetos cotidos o prograa. O eleeto se utiliza, aida, da teoria de Reisser-Midli, o que idica a validade do eleeto para aálises de placas fias e espessas. O eleetos é adequado para aálises de placas ou cascas fias e espessas. Possui seis graus de liberdade e cada u dos seus oito ós (traslação os eios, e z, e rotação ao redor de, e z). Pode siular coportaeto de ebraa utilizado ua de suas opções, sedo que, este caso, apreseta apeas os graus de liberdade traslacioais. Caracteriza-se u bo eleeto para aálises lieares, ão-lieares ou de grade rotação. A geoetria do eleeto SHELL8 é ostrada a Figura 3.7. Seus oito ós estão represetados por letras e os úeros os círculos idica cada ua das superfícies. A fora triagular tabé pode ser utilizada, cofore represetado a Figura 3.7, poré, esse trabalho, utilizou-se apeas a fora quadrilateral do eleeto, ua vez que até a biblioteca do ANSYS desacoselha o uso da vertete triagular e a divisão de ua placa quadrilateral e eleetos quadrilaterais é, ão só ituitiva, coo tabé o procedieto ais correto. O fato do eleeto apresetar u ó iterediário e cada face, resultado e oito ós, caracteriza-o coo u eleeto de orde ais alta que u eleeto co apeas quatro ós, u e cada vértice, cato do eleeto. Isso perite que o eleeto odele elhor cotoros e codições curvas. O ó iterediário forece ua variação parabólica para os deslocaetos aquela face equato que, se esse ó, o deslocaeto varia de fora liear. 3

64 Figura 3.7 Geoetria do eleeto SHELL8 (Biblioteca do ANSYS) Vários ites são ilustrados os resultados de tesão, a saída de ipressão iclui o oeto sobre a face e ao redor do eio (M= M ), o oeto sobre a face e ao redor do eio (M= M ) e o oeto de torção (M=M= M ). Os oetos são calculados por uidade de coprieto o sistea de coordeadas do eleeto e as direções de tesão são paralelas a esse sistea. A descrição geral está represetada a Figura 3.8. Figura 3.8 Tesões e oetos o eleeto SHELL8 (Biblioteca do ANSYS)

65 Não são peritidos eleetos de área igual à zero, isto acotece frequeteete quado os eleetos ão são uerados corretaete, e ão são peritidos eleetos de espessura ula. A defleão de cisalhaeto está icluída esse eleeto. Ua alha desse eleeto produz boas aproiações para superfícies curvas. De acordo co (Cook, 995) deve-se evitar eleetos uito grades por ão represetare variações iportates das quatidades buscadas e evitar o uso ecessivo de eleetos. Assi, tora-se u eagero refiar a alha idefiidaete, deve-se buscar a covergêcia dos resultados. Outro fator iportate é o tepo de aálise, pois aálises diâicas deada bastate recurso coputacioal. U odelo de aálise ecotra-se represetado a Figura 3.9, pode-se perceber a divisão de ua placa quadrada e vários eleetos quadrados iguais etre si. As cores diferetes é apeas a fora do prograa idicar que trata-se de eleetos distitos, ebora possa ter as esas propriedades. As aálises desse trabalho seguirão essa preissa, divisão de ua placa quadrilateral e eleetos quadrilaterais, buscado a covergêcia dos resultados, ou seja, refiado cada vez ais a alha. Figura 3.9 Malha de eleetos fiitos É iteressate defiir ua relação de eleetos a alha para poder iferir a quatidade de eleetos ecessários e ua estrutura siilar a trabalhada. A relação idicará, ao ivés do úero bruto de eleetos utilizados, a quatidade de eleetos utilizada ou a se utilizar ao logo de u lado. Escolheu-se, para isso, trabalhar co o taaho do eleeto 5

66 represetado a equação (3.68) a qual o úero de eleetos represeta a quatidade de eleetos utilizados ao logo da borda da placa (lado da placa) e a é o coprieto da placa e questão: a (3.68) Nº eleetos As codições de cotoro pertietes serão aplicadas os ós das bordas de acordo co suas especificações. A Figura 3. ostra u eeplo de cobiação das codições de cotoro estudadas. A borda da esquerda está apoiada, a da direita está egastada e as deais estão livres. Ao logo do eio z (setido para fora do plao do papel) tabé há u síbolo da codição aplicada, ão foi ostrado pois a figura está ostrado o plao que coté a placa. Figura 3. Codições de cotoro aplicadas aos ós eteros 6

67 RESULTADOS Neste capítulo, apreseta-se diversos resultados de frequêcias referetes às aálises realizadas pelo étodo dos eleetos fiitos (utilizado o softare ANSYS) e coparações co as respostas aalíticas obtidas co o auílio de (Blevis, 979). Há, tabé, ua aálise coparativa etre o étodo das difereças fiitas e a solução aalítica para u caso estudado.. TESTES E QUALIFICAÇÃO DO ELEMENTO UTILIZADO Prieiraete, realiza-se ua aálise estática a fi de cohecer o eleeto adotado, apreder algus de seus usos e obter ua idéia da acurácia do eso. Ebora ua verificação da aproiação da resposta estática, ediate gráficos e tabelas de erros, ão seja represetativa para o caso diâico, é possível ter oção da quatidade de eleetos a utilizar. A placa estática, oe dado a esta placa aalisada estaticaete, terá as esas diesões e propriedades do aterial que as placas aalisadas diaicaete, co a difereça de u carregaeto uiforeete distribuído sobre a esa. E seguida, realiza-se aálises diâicas de placas co resultados cohecidos, para tal utiliza-se três placas estudadas por (Silva, 998) e sua dissertação de estrado. Silva forece resultados aalíticos e uéricos, os quais serão usados para coparação. Os fatores de iteresse esses resultados são a resolução uérica realizada pelo autor, utilizado u tipo de eleeto fiito diferete do SHELL8 e se utilizar o ANSYS, portato, eplora-se a validade do eleeto escolhido e do prograa utilizado para as aálises coparado co as boas respostas obtidas por Silva, e a resposta apresetada para ua placa espessa, podedo verificar quão eficaz é o eleeto adotado para este caso... Placa sob carregaeto estático O caso a ser resolvido é o de ua placa quadrada siplesete apoiada e suas quatro bordas (os apoios são represetados por lihas tracejadas), cofore Figura.. Nesse caso a e b são iguais, pois a placa é quadrada. Ela possui espessura h, a qual defie e qual grupo será classificada a placa (fia, espessa, ebraa ou oderadaete espessa) de 7

68 acordo co a relação h/a. Ao logo de todo esse trabalho ater-se-á a diesão a a direção e a diesão b a direção. Figura. Placa apoiada as quatro bordas A placa é feita de cocreto co as seguites propriedades do aterial: E=3 GPa, ρ=5 kg/³, ν=,3. Suas diesões são: a=b=6 e h=,. Há, aida, u carregaeto uiforeete distribuído a superfície da placa, etrado o plao da esa (direção z positiva), P=5N/². De acordo co o eposto o capítulo 3 a placa é fia. Realiza-se testes de covergêcia para a resposta uérica, tedo coo valor de referêcia os resultados aalíticos, para três gradezas de iteresse: deslocaeto o cetro da placa (=a/ e =b/), oetos fletores =b/) e oeto M e M a orige do eio cartesiao (= e =). M o cetro da placa (=a/ e Nas tabelas a seguir, ecotra-se os resultados aalíticos e uéricos para as gradezas referidas ateriorete, be coo o erro calculado. Os resultados aalíticos fora obtidos por eio da solução de Navier (seção 3.3) utilizado seis teros da série. Os erros fora f f E. f uérico aalítico calculados ediate a equação: % aalítico 8

69 Tabela. Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos do deslocaeto Nuérico () Aalítico () Erro (%) 3,33,988 5,8,5,985,988,6,75,9737,988 -,96,6,9739,988 -,968,9,9736,988 -,97,3,9738,988 -,969,,9738,988 -,969,,9739,988 -,968 Tabela. Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos dos oetos Nuérico M = M (N/) M Aalítico M = M (N/) Erro (%) 3 39,6 979, -5,93,5 758, 979, -,5,75 8, 979, -3,7,6 858, 979, -,67,9 86,9 979, -,65,3 8663,6 979, -,3, 869,7 979, -,856, 877, 979, -,689 M e 9

70 Tabela.3 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos do oeto Nuérico M (N/) Aalítico M (N/) Erro (%) 3 -,6-59,5 58,,5-5,9-59,5 6,7,75-53,8-59,5,9,6-53,6-59,5 -,35,9-583,8-59,5 -,653,3-58, -59,5 3,53, -5387,6-59,5 -,63, -57,8-59,5-8,86 M E virtude da atureza quadrada da placa (a=b) os valores de M e M fora iguais. Buscara-se os valores áios, e potos ode os valores das gradezas são áios, para efetuar as coparações. Observa-se a ecelete aproiação dos deslocaetos, já esperado e virtude dos bos resultados que o ANSYS apreseta para deslocaetos e pelo fato dos deslocaetos sere dados por ua equação direta que ão evolve derivada. Já para os oetos M e M, a equação evolve duas derivadas, derivada de seguda orde e relação à esa direção ou. Para o caso de M a equação evolve ua derivada cruzada tabé de seguda orde, deriva-se e e e. Coo a fução a ser derivada é a fução que forece o valor do deslocaeto, é de se esperar que os erros para os oetos seja aiores, coo observado as Tabelas. a.3. Apesar dos erros costatados para as respostas dos oetos, os resultados fora satisfatórios, pois há ua clara covergêcia e todos os casos estudados e os oetos covergira para u erro e toro de %, resultado aida aceitável. Logo, verificou-se a boa eficácia do eleeto e rápida covergêcia dos resultados. 5

71 Erro (%) Erro (%) Esses fatos perite criar boas epectativas quato à resposta diâica ao discretizar a placa co esse eleeto. A seguir ecotra-se os gráficos referetes às Tabelas. a.3. 6, 5,, 3,,,, -, -, 3 Nº de eleetos Figura. Covergêcia dos resultados do deslocaeto, -, -, -3, -, -5, -6, 3 Nº de eleetos Figura.3 Covergêcia dos resultados dos oetos M e M 5

72 Erro (%) 7, 6, 5,, 3,,,, -, -, 3 Nº de eleetos Figura. Covergêcia dos resultados do oeto M.. Placas e vibração livre Os casos a sere resolvidos são de placas quadradas, sedo duas placas egastadas e ua placa co ua borda egastada e três bordas livres, cofore Figuras.5 e.6. São defiidas, tabé, por suas propriedades geoétricas, lados a e b e espessura h, e propriedades do aterial. Figura.5 Placa egastada as quatro bordas 5

73 Figura.6 Placa egastada e apeas ua borda... Placa egastada as quatro bordas A placa escolhida foi defiida e resolvida por (Silva, 998), é feita de cocreto co as seguites propriedades do aterial, se qualquer relação co valores físicos usuais: E=365 N/², ρ= kg/³, ν=,3. Suas diesões são: a=b=3 e h=,3. De acordo co o eposto o capítulo 3 a placa é fia. Na Tabela., ecotra-se os resultados aalíticos e uéricos para as frequêcias aturais, be coo o erro calculado. Os erros fora calculados ediate a equação: f uérico f aalítico E %. O parâetro de frequêcia é defiido por: f aalítico a. E 53

74 Tabela. Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos para as prieiras frequêcias aturais de ua placa fia Nuérico Aalítico* Erro (%) f (Hz) ω (rad/s) Ω Ω,6,3,3,76,76 -,3,36,737,358,358,98,36,737,358,358,98,65,5,53,58,,3,3,3,75,76 -,35,3,73,357,358 -,68,3,73,357,358 -,68,6,,57,58 -,8,,3,3,75,76 -,35,3,79,357,358 -,75,3,79,357,358 -,75,6,,56,58 -,9 *Resultados retirados de (Silva, 998) Silva (998) ecotrou erros etre % e 8% e suas aálises, equato o eleeto utilizado o presete trabalho apresetou todos os erros eores que %, ostrado, etão, a eficácia do eleeto, ecelete aproiação co a teoria aalítica e rápida covergêcia dos resultados, be parecido co as respostas de deslocaeto obtidas a aálise estática feita ateriorete. E seguida utiliza-se a esa placa egastada, as aueta-se a espessura para h=,3, fazedo co que a classificação ude de placa fia para placa espessa ou oderadaete espessa (depededo da referêcia utilizada, cofore capítulo 3). De qualquer fora, as equações que rege o coportaeto de ua placa fia ão se aplica esse ovo caso. Verificar-se-á, portato, a validade do eleeto fiito para placas espessas ediate coparação co os resultados aalíticos forecidos por (Silva, 998) baseados a solução coparativa de (Dae & Roufaeil, 98). De acordo, te-se a Tabela.5. 5

75 Tabela.5 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos para as prieiras frequêcias aturais de ua placa espessa Nuérico Aalítico* Erro (%) f (Hz) ω (rad/s) Ω Ω,6,99,,587,59 -,9 3,68 3,3 3,9 3,6 -,559 3,68 3,3 3,9 3,6 -,559 5,6 3,,5,85 -,95,3,99,,587,59 -,39 3,68 3, 3,7 3,6 -,63 3,68 3, 3,7 3,6 -,63 5,58 3,6,3,85 -,983,,99,,587,59 -,39 3,68 3, 3,7 3,6 -,66 3,68 3, 3,7 3,6 -,66 5,57 3,,3,85 -,987 *Resultados retirados de (Silva, 998) Silva (998) ecotrou resultados elhores para o caso da placa espessa, co erros de o áio 3,6%, ao passo que os erros ecotrados este trabalho estão todos abaio de %.... Placa egastada e apeas ua borda A placa é feita de aço co as seguites propriedades do aterial: E= GPa, ρ=78 kg/³, ν=,3. Suas diesões são: a=b=3 e h=,3. De acordo co o eposto o capítulo 3 a placa é fia. Na Tabela.6, ecotra-se os resultados aalíticos e uéricos para as frequêcias aturais, be coo o erro calculado. Os erros fora calculados ediate a equação: 55

76 f uérico f aalítico E %. O parâetro de frequêcia é defiido por: f aalítico h a. 3 Eh Tabela.6 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos para as prieiras frequêcias aturais de ua placa fia co três bordas livres e ua egastada Nuérico Aalítico* Erro (%) f (Hz) ω (rad/s) Ω Ω,6,8 7,78 3,7 3,9 -,55 7,9 8,69,7,3 -,7 3,69 38,66 7,7 7,33 -,668,3,8 7,7 3,7 3,9 -,57 7,85 8,65,6,3 -,78 3,65 38,638 7, 7,33 -,686,,8 7,7 3,7 3,9 -,57 7,85 8,65,6,3 -,78 3,65 38,638 7, 7,33 -,686 *Resultados retirados de (Silva,998) Silva ecotrou erros de até 5% e suas aálises, equato o eleeto utilizado este trabalho apresetou todos os erros eores que %, ostrado assi, a eficácia do eleeto, ecelete aproiação co a teoria aalítica e rápida covergêcia dos resultados, eso co a udaça da codição de cotoro. Portato pode-se utilizar o eleeto idiscriiadaete, desde que os passos de ipleetação o prograa esteja corretos, ele fucioará be para qualquer aálise diâica de placas.. RESULTADOS NUMÉRICOS PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS As aálises propostas são de placas quadradas de cocreto, defiidas pela geoetria, propriedades do aterial e codições de cotoro delas. Os casos estudados difere etre si as codições de cotoro, ao todo casos, cada u co ua cobiação diferete 56

77 das codições egastada, apoiada e livre aplicadas às quatro bordas da placa. As propriedades do aterial e a geoetria das placas peraecerão iguais para cada caso, assi, te-se u estudo da ifluêcia das codições de cotoro a resposta de frequêcia (agitude, cobiações odais). As respostas buscadas são as frequêcias aturais, ais precisaete as seis prieiras frequêcias percebidas. Haverá coparação co resultados aalíticos forecidos por (Blevis, 979), equações forecidas o apêdice D, que, por sua vez, adaptou-os de (Leissa, 973). A Figura.7 ostra a placa padrão a ser estudada, cada úero a borda da placa será utilizado para refereciar facilete qual codição de cotoro será aplicada e deteriada borda (A para apoiado, E para egastado e L para livre). Coo as placas serão quadradas as diesões a e b são iguais e te-se a a direção e b a direção. Figura.7 Placa padrão a ser resolvida É iteressate defiir os valores que serão costates para todos os casos aalisados, logo te-se: a=b=6, ρ=5 kg/³, E=3 GPa e ν=,3. A espessura h e as codições as bordas serão ostradas e cada caso... Caso Placa quadrada apoiada as quatro bordas Este caso é caracterizado pelas codições: -A, -A, 3-A e -A, cofore Figura.7. O prieiro caso foi escolhido coo a placa toda apoiada devido à facilidade e sua aipulação e ivestigação, uitas referêcias que dize a seu respeito e a equação 57

78 aalítica copleta. Serão feitos cico casos diferetes o que cocere a espessura da placa: h=,, h=,, h=,5, h=, e h=,. Utilizado (Vetsel, ) percebe-se que para as espessuras de,,, e,5 a placa é cosiderada fia e para as espessuras de, e, a placa é espessa. Realiza-se testes de covergêcia para as aálises uéricas, tedo a resposta aalítica coo referêcia. Já sabedo, da seção., que a resposta uérica será uito boa para todos os casos, pretede-se coprovar a validade das respostas aalíticas de (Blevis, 979), ostrado que realete só vale para placas fias (teoria de Kirchhoff-Love). Coo já visto, as respostas uéricas para placas espessas apreseta poucos erros, as respostas aalíticas para os casos espessos serão obtidas pela teoria de placas fias, evideciado grades difereças etre os valores uéricos e aalíticos. Coo se pode assuir que os valores uéricos estarão corretos, a teoria aalítica ão é válida de acordo co os erros uito grades ecotrados, sedo ecessário obter os resultados aalíticos por outra teoria. Nas Tabelas.7 a. estão os resultados referetes ao aior úero de eleetos utilizados, deiado que as deais aálises, co úero eor de eleetos, seja represetadas os gráficos de covergêcia. Cada tabela é referete a u valor diferete de espessura. Apreseta-se as cobiações odais, as frequêcias associadas a cada ua delas e o erro toado o valor aalítico coo referêcia, sedo calculado por: E f f uérico aalítico % f aalítico. O cálculo das frequêcias, de aeira aalítica, se dará pela equação (3.37) porque pretede-se ostrar ais odos de vibração do que os forecidos por (Blevis, 979) e epostos o Caso da Tabela D.. 58

79 Tabela.7 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso co h=, Nuérico Aalítico Erro (%) f (Hz) f (Hz), 9,7 9,8 -,83,75,87 -,7,75,87 -,7 36,78 36,59 -,3 3 5,39 5,7 -, ,39 5,7 -, ,77 59,6 -,7 3 58,77 59,6 -,7 76,975 77,758 -,7 76,975 77,758 -, ,997 8,33 -,6 9,3 9,8 -,6 9,5 9,8 -,5 3,8,35 -,898 3,8,35 -, ,7 8,9 -,39 5 7,7 8,9 -,39 5 3,3 3,66 -, ,3 3,66 -,769 3, 6,368 -,88 59

80 Tabela.8 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso co h=, Nuérico Aalítico Erro (%) f (Hz) f (Hz), 7,959 8,96 -,8,869 5,7 -,9,869 5,7 -,9 7, 73,8 -, ,6 9,8 -,6 3 89,6 9,8 -, 3,5 8,9-3,687 3,5 8,9-3,687 5, 55,56-3,53 5, 55,56-3, ,8 6,66 -,76 7,6 8,96 -,66 7,53 8,96 -,68 3 5,35 8,7-5, ,35 8,7-5, ,96 37,88 -, ,98 37,88 -,99 5 9,6 65,9-5,95 5 9,6 65,9-5,95 7,6 9,736-7,63 6

81 Tabela.9 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso co h=,5 Nuérico Aalítico Erro (%) f (Hz) f (Hz), 3,3 5,7-5,76 5,65,35-7,68 5,65,35-7,68 6,6 8,96 -,369 3,7 8,7 -,35 3 3, 8,7 -, ,7 97,3 -, ,7 97,3 -,88 35,8 388,79-6,97 35,8 388,79-6, ,8,66-8, ,97 57, -9,5 37,7 57, -8, ,56 57,75 -, 3 3,56 57,75 -, 5 66,7 59,6 -, ,95 59,6 -,7 6

82 Tabela. Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso co h=, Nuérico Aalítico Erro (%) f (Hz) f (Hz), 78,99 9,8-3,7 8,5 8,7 -,8 8,5 8,7 -,8 65,55 365,9-7,3 3 3,95 57, -8, ,3 57, -8, , 59,6-3, 3 39, 59,6-3, 86,76 777,58-37, 86,76 777,58-37, ,8 83,3-39,89 538,6 9,8 -,39 5,93 9,8 -,869 Tabela. Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso co h=, Nuérico Aalítico Erro (%) f (Hz) f (Hz), 8,6 8,96-9,7 65,6 57, -,98 65,6 57, -,98 36,98 73,8-5, 3 6, 9,8-53, ,3 9,8-5, ,8 89, -58,7 3 99,8 89, -58,7 58,99 555,6-6,6 58,99 555,6-6,6 6

83 É possível perceber, as Tabelas.7 a., que os erros são aiores as cobiações odais ais altas, cofore (Blevis, 979), a covergêcia é atigida co o aueto dos úeros de eleetos a discretização. Há u erro itríseco ao uso do prograa, as tê-se bos resultados coo os da Tabela.7 co erros da orde de %. As Tabelas. e. coprova, de acordo co os grades erros, que ão é possível utilizar a teoria de placas fias para obter respostas para placas espessas. Outro fato iteressate é o aueto do erro ao passo que se aueta a espessura, ou seja, os erros aueta cofore a placa caiha para torar-se espessa. De acordo co (Vetsel, ) e a classificação proposta para as placas (capítulo 3), as Tabelas.7 a.9 h h represeta placas fias,666,,333 e a a h a,8333, logo a teoria aalítica te aplicabilidade para esses casos, poré os erros auetara cosideravelete cofore se aproia da relação liite etre placas fias e placas espessas h,. a Isso deve-se ao fato de o liite de placas fias ão ser be defiido (variado de autor para autor) e ser proposto para casos estáticos. Portato, percebe-se que ão se pode usar idiscriiadaete o itervalo de placas fias para classificar as placas e aálises diâicas, sedo que propõe-se o estreitaeto do itervalo para cosiderações diâicas, diiuir o liite áio do itervalo (ebora algus erros da Tabela.9, e especial dos odos ais baios e de aior iteresse prático, apresete erros aceitáveis para projetos).... Estudo da covergêcia A seguir estão os gráficos de covergêcia referetes às Tabelas.7 a., ostrado coo a covergêcia é boa e ocorre rapidaete, co poucos eleetos fiitos a alha. Para elhor visualização, plotou-se apeas os dados referetes às seis prieiras cobiações odais e até se obter a covergêcia (ebora teha sido feitas aálises co alhas ais discretizada, a covergêcia já havia sido atigida co ua alha ais grosseira). Os odos ais baios são de aior iteresse a egeharia, devido a isso apeas as seis prieiras frequêcias de cada placa serão estudadas os próios casos. 63

84 Erro (%) Erro (%) -,55 -,65 -,75 -,85 -,95 f(,) f(,) f(,) f(,),6, ξ, -,5 -,5 f(,3) f(3,) Figura.8 Covergêcia das frequêcias aturais referetes à Tabela.7 -,7 -,9 -, -,3 f(,) f(,),6, ξ, -,5 -,7 -,9-3, f(,) f(,) f(,3) f(3,) Figura.9 Covergêcia das frequêcias aturais referetes à Tabela.8 6

85 Erro (%) Erro (%) -5, -6, -7, -8, f(,) f(,),6, ξ, -9, -, -, -, f(,) f(,) f(,3) f(3,) Figura. Covergêcia das frequêcias aturais referetes à Tabela.9 -, -5, -8, -, -, f(,) f(,) f(,) f(,),6, ξ, -7, -3, f(,3) f(3,) Figura. Covergêcia das frequêcias aturais referetes à Tabela. 65

86 Erro (%) -5, -3, -35, -, -5, f(,) f(,) f(,) f(,),6, ξ, -5, -55, f(,3) f(3,) Figura. Covergêcia das frequêcias aturais referetes à Tabela. Apesar da boa covergêcia e do fato esperado que os odos de vibração ais altos apresete erros aiores, deve-se atetar para a ifluêcia da discretização do objeto e estudo e coparação co as eia-odas desevolvidas os odos de vibração. Pretede-se ivestigar, portato, a ifluêcia da discretização ao seguir ou ão as eiaodas de deteriado odo de vibração. Sabe-se que para o caso de ua viga, a boa discretização da esa está relacioada ão só ao úero de eleetos, as a posição deles e dos seus ós e relação às eia-odas do odo de vibração e estudo. A Figura.3 a seguir ilustra o caso de ua viga co boa discretização para o segudo odo as ua discretização rui para o terceiro odo de vibração. Isso deve-se ao fato dos ós dos eleetos de barra utilizados estare ua posição que ão apeia corretaete a deforada odal procurada (terceiro odo da viga). Percebe-se que ão basta siplesete dividir cada vez ais o objeto e estudo, as si fazer ua aálise correta da resposta que pretede-se obter para otiizar a discretização e eleetos fiitos. 66

87 Figura.3 Caso ilustrativo de ua viga discretizada e eleetos de barra Tedo e ete essas cosiderações, procurou-se traçar u gráfico que evideciasse esse efeito a placa, ao ivés dos siples gráficos que dize respeito apeas ao úero de eleetos utilizados. Utilizado a espessura h=, (placa fia), as esas diesões e propriedades do aterial já defiidas, atedo a codição apoiada-apoiada (A-A) para as bordas opostas o eio e atedo o úero de eia-odas e igual a (=), obteve-se o gráfico do erro relativo das frequêcias aturais f uérico f aalítico E % e fução da relação etre o úero de eleetos f aalítico N º fiitos utilizados a direção e o úero de eia-odas eleetos. A Figura. a seguir ilustra a relação discutida para o caso da placa totalete apoiada para diferetes. É possível otar o aueto dos erros co a aior discretização, especialete para os odos ais altos, isso se deve ao fato de ão ter sido feita ua discretização criteriosa. Não se iportou co a posição do cetro de assa dos eleetos e relação as eia-odas obtidas as respostas, portato, algus cetros de assa ão estarão be localizados para represetar as respostas. Apesar disso, os erros fiais, atigida a covergêcia dos resultados, são uito pequeos, idicado boas respostas para as aálises. Justifica-se, assi, a ão odificação da alha as aálises subsequetes levado e cota os potos abordados. O odo (,) praticaete ão apreseta variação o erro percetual, por isso ão foi ostrado o gráfico. 67

88 Erro (%), -, -, -,7 -, -,3 (,) (,3) (,) (,5) -,6 3 μ Figura. Erro relativo relacioado co a discretização e e o úero de eia-oda a esa direção... Ifluêcia dos parâetros característicos a resposta da frequêcia atural Coo dito ateriorete, pretedia-se ostrar que as equações teóricas utilizadas são válidas apeas para as placas fias, para isso costruiu-se o seguite gráfico, eposto a Figura.5. Pode-se observar a grade difereça etre as respostas aalíticas e uéricas cotidas o doíio das placas espessas. Tabé é possível verificar o afastaeto etre as respostas aalítica e uérica ao passo que o gráfico caiha e direção a liha divisória, caiha para sair do doíio das placas fias, ou seja, as respostas se distacia ao passo que a espessura aueta (atedo-se as deais diesões da placa costates). 68

89 Frequêcia f (Hz) Figura.5 Seis prieiras frequêcias aturais do Caso Nas Figuras.6 e.7 há ua represetação gráfica das cobiações odais obtidas para h=, e h=,, relacioado o úero de eia-odas o odo de vibração ao logo do eio co a frequêcia e Hertz. Pode-se observar o erro, difereça etre os resultados aalíticos e uéricos, aior para o caso de h=, uérico = aalítico = uérico = aalítico = uérico =3 aalítico =3 uérico = aalítico = Figura.6 Frequêcias aturais do Caso co h=, 69

90 Frequêcia f (Hz) uérico = aalítico = uérico = aalítico = uérico =3 aalítico =3 uérico = aalítico = Figura.7 Frequêcias aturais do Caso co h=, A evolução das frequêcias aturais e fução do úero de eia-oda evidecia a preseça apeas do trao ascedete para as placas. A eor eergia, a frequêcia atural ais baia, será sepre referete ao prieiro odo de vibração (,) e para valores aiores de a eor eergia se dá sepre co a preseça de ua eia-oda a outra direção, isto é (,) e (3,) seria os odos de eor eergia (frequêcias ais baias) para os casos = e =3 (ostrados os gráficos). Fica evideciado, assi, a previsibilidade do surgieto dos odos de vibração das placas, be coo a idepedêcia dos esos e relação a espessura h e a relação h/a. Na figura a seguir, apreseta-se as evoluções da frequêcia de acordo co outra relação que cotrola o feôeo. Para tal, ateve-se todas as gradezas costates e variou-se a apeas o que era pertiete à relação estudada para o eio e para o eio utilizou- b se o parâetro de frequêcia a. E Na Figura.8, sepre relacioou-se o parâetro ao prieiro odo de vibração (=; =, co a placa siplesete apoiada as quatro bordas), logo as gradezas atidas costates fora: E,,, a, h, e. Variou-se a largura b fazedo, assi, variar a a relação e o valor da prieira frequêcia atural (frequêcia atural fudaetal b 7

91 segudo (Vetsel, )). Os valores das gradezas costates são aqueles já defiidos a seção.. Posteriorete utilizou-se diferetes valores de h para traçar ovas curvas co diferetes relações de espessura h. Ao observar a tedêcia das curvas, procurou-se auetar o a odo de vibração, para tal utilizou-se de valores de aiores equato o úero foi atido costate. Figura.8 Evolução da frequêcia de acordo co a relação b a para o Caso Ao aalisar as curvas do odo de vibração (,) a Figura.8, percebe-se que para valores uito baios da relação a/b o parâetro de frequêcia Ω apreseta variações íias. Esse fato deve-se ao valor grade da diesão b, coo os valores de h,, e a peraece costates ao logo de cada curva (ebora h seja diferete etre as esas) o valor de b coada o valor do parâetro de frequêcia. Meso co o aueto do valor de h (diretaete proporcioal a Ω), a gradeza b (iversaete proporcioal a Ω) é uito aior e está elevada ao quadrado, cofore as equações (3.39) e (3.). Portato a udaça e h tora-se praticaete irrelevate quado a diesão b é uito grade. 7

92 Ao se diiuir bastate a diesão b, a ifluêcia da udaça de h tora-se ais sesível a resposta de frequêcia....3 Deforadas odais Na Tabela. estão as deforadas dos odos de vibração para as seis prieiras frequêcias aturais co h=,, ostrado as eia-odas as direções e que forece os ídices e, respectivaete. Figuras seelhates são apresetadas para os próios casos, as quais é possível observar as diferetes codições de cotoro, codições das bordas da placa, iflueciado a deforada de cada odo de vibração apresetado, por eeplo, pode-se coparar a deforada para o odo =; = e perceber as difereças apresetadas devido à preseça de ua borda livre. No apêdice A, ecotra-se as represetações dos odos de vibração para as quatorze frequêcias aturais restates do Caso. Tabela. Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso Modo de vibração (,) Frequêcia (Hz) Deforada odal (uérico) Deforada odal (aalítico), 9,7,,75,,75 7

93 , 36,78 3, 5,39,3 5,39.. Aálises subsequetes para a placa, variações das codições de cotoro Serão aalisados dois casos diferetes o que cocere a espessura da placa: h=,, h=,. Abadoou-se as espessuras que caracterizava a placa coo espessa devido à ão validade da teoria de Kirchhoff-Love e tabé deiou-se de lado a espessura de,5 h porque a relação está uito alta, produzido erros uito grades. Realiza-se testes de a covergêcia para as aálises uéricas, tedo a resposta aalítica coo referêcia. De acordo co o eposto o capítulo 3, as placas estudadas e todas as aálises subsequetes são fias. A cada ovo caso, toado a placa padrão eibida a Figura.7, variou-se apeas as codições de cotoro as bordas das placas, cobiado as situações livre, apoiada e egastada até se esgotar as possibilidades. Solucioa-se as placas de odo aalítico e uérico para coparação dos resultados de frequêcia atural. Represeta-se, tabé, as deforadas odais por eio de figuras tridiesioais obtidas das aálises uéricas. 73

94 Procura-se ostrar as difereças causadas pelas codições de cotoro, tato o aspecto visual das deforadas odais, peritido a fácil idetificação e relação etre as características visuais da deforada e as codições de cotoro adotadas, coo os valores uéricos das frequêcias aturais, idicado ua cobiação de codições de cotoro ais rígida que as outras, por eeplo. Nas tabelas a seguir, estão os resultados referetes aos diferetes úeros de eleetos fiitos utilizados a alha, às seis prieiras frequêcias aturais e às duas espessuras adotadas, para todos os vite casos. Apreseta-se as cobiações odais, as frequêcias associadas a cada ua delas e o erro toado o valor aalítico coo referêcia, sedo f uérico aalítico calculado por: E % f f aalítico. O cálculo das frequêcias, de aeira aalítica, se dará pela equação forecida por (Blevis, 979) e eposta os casos a da Tabela D.. É possível perceber, e todas as tabelas costruídas, os erros aiores as cobiações odais ais altas, cofore (Blevis, 979), a covergêcia é atigida co o aueto dos úeros de eleetos a discretização. Há u erro itríseco ao uso do prograa, as tê-se bos resultados coo os referetes a espessura h=, co os aiores erros da orde de % e os referetes a espessura h=, da orde de %. Observa-se, aida, o aueto dos erros co o aueto da espessura. Devido as codições de cotoro adotadas, o Caso apreseta três cobiações odais coo ovieto de corpo rígido, são os três prieiros odos de vibração: =; =, =; = e =; =. Pelo eso otivo o Caso 3 apreseta o prieiro odo de vibração coo ovieto de corpo rígido, é a cobiação odal =; =. 7

95 Tabela.3 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso (L-L-L-L) h =, h =, Nuérico Aalítico Nuérico Aalítico Erro (%) f (Hz) f (Hz) f (Hz) f (Hz) Erro (%) 6,98 6,5 -,863,95,5 -, ,73 9,7 -,75 8,9 8,33 -,369,6 3,3,3 -,777,388,6 -,3 3 6,8 6,3 -,367 3,675 3,6 -,7 3 6,8 6,3 -,367 3,675 3,6 -,7 8,6 8,56 -,96 55,96 57,3 -,87,,3,, 6,98 6,5 -,866,95,5 -, ,7 9,7 -,83 8,9 8,33 -,38 3,33,3 -,785,385,6 -,3 3 6,6 6,3 -,379 3,67 3,6 -,9 3 6,6 6,3 -,379 3,67 3,6 -,9 8, 8,56 -,3 55,99 57,3 -,95 6,98 6,5 -,866,95,5 -, ,7 9,7 -,85 8,9 8,33 -,38 3,33,3 -,785,38,6 -,8 3 6,5 6,3 -,385 3,67 3,6 -,9 3 6,5 6,3 -,385 3,67 3,6 -,9 8,8 8,56 -, 55,9 57,3 -,96 6,98 6,5 -,866,95,5 -, ,7 9,7 -,85 8,9 8,33 -,38 3,3,3 -,79,38,6 -,8 3 6,5 6,3 -,385 3,67 3,6 -,33 3 6,5 6,3 -,385 3,67 3,6 -,33 8,7 8,56 -,7 55,98 57,3 -,97 6,98 6,5 -,866,95,5 -, ,7 9,7 -,85 8,9 8,33 -,38 3,3,3 -,79,38,6 -,8 3 6,5 6,3 -,385 3,67 3,6 -,33 3 6,5 6,3 -,385 3,67 3,6 -,33 8,7 8,56 -,7 55,97 57,3 -,97 75

96 Tabela. Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso 3 (L-L-L-A) h =, h =, Nuérico Aalítico Nuérico Aalítico Erro (%) f (Hz) f (Hz) f (Hz) f (Hz) Erro (%) 3,8 3,8 -,6 6,3 6,6 -, 6,897 6,96 -,96 3,75 3,9 -,,6,66,83 -,63 3,83 3,66 -,3 3,993, -,96 3,83, -,679 3,86,57 -,77 3,989 5,9 -, ,33 3,566 -,6 6, 7,3 -,39,,3,, 3,8 3,8 -,6 6,3 6,6 -,5 6,896 6,96 -,93 3,75 3,9 -,,663,83 -,7 3,8 3,66 -,38 3,99, -,98 3,8, -,69 3,79,57 -,38 3,975 5,9 -,6 3 3,9 3,566 -,55 6,5 7,3 -,79 3,8 3,8 -,6 6,3 6,6 -,7 6,896 6,96 -,933 3,75 3,9 -,,663,83 -,7 3,8 3,66 -,3 3,99, -,98 3,89, -,695 3,77,57 -,37 3,973 5,9 -,6 3 3,93 3,566 -,59 6, 7,3 -,88 3,8 3,8 -,6 6,3 6,6 -,8 6,896 6,96 -,933 3,75 3,9 -,7,663,83 -,7 3,8 3,66 -,3 3,99, -,98 3,89, -,695 3,77,57 -,37 3,97 5,9 -,68 3 3,9 3,566 -,63 6, 7,3 -,9 3,8 3,8 -,67 6,3 6,6 -,3 6,896 6,96 -,933 3,75 3,9 -,7,663,83 -,7 3,8 3,66 -,3 3,99, -,98 3,89, -,695 3,76,57 -,3 3,97 5,9 -,6 3 3,9 3,566 -,63 6, 7,3 -,9 76

97 Tabela.5 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso (L-L-L-E) h =, h =, Nuérico Aalítico Nuérico Aalítico Erro (%) f (Hz) f (Hz) f (Hz) f (Hz) Erro (%),68,68 -,65 3, 3,37 -,775 3,9 3,95 -,73 7,789 7,9 -,8,6 9,8 9,93 -,879 9,58 9,863 -,6 3,556,666 -,868,936 5,33 -,563,58,8 -,8 8,6 8,835 -,8 3,89 5,3 -,33 9,8 5,6 -,837,,3,,,68,68 -,65 3, 3,37 -,78 3,9 3,95 -,73 7,788 7,9 -,3 9,8 9,93 -,879 9,575 9,863 -,5 3,556,666 -,868,933 5,33 -,57,58,8 -,8 8,9 8,835 -,73 3,89 5,3 -,33 9, 5,6 -,869,68,68 -,65 3, 3,37 -,78 3,9 3,95 -,73 7,787 7,9 -,8 9,8 9,93 -,879 9,57 9,863 -,56 3,556,666 -,868,93 5,33 -,578,58,8 -,8 8,6 8,835 -,83 3,89 5,3 -,33 9,8 5,6 -,877,68,68 -,65 3, 3,37 -,788 3,9 3,95 -,73 7,787 7,9 -,5 9,8 9,93 -,879 9,573 9,863 -,6 3,556,666 -,868,93 5,33 -,578,58,8 -,8 8,5 8,835 -,86 3,89 5,3 -,33 9,5 5,6 -,883,68,68 -,65 3, 3,37 -,788 3,9 3,95 -,73 7,787 7,9 -,5 9,8 9,93 -,879 9,573 9,863 -,6 3,556,666 -,868,93 5,33 -,578,58,8 -,8 8,5 8,835 -,86 3,89 5,3 -,33 9, 5,6 -,885 77

98 Tabela.6 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso 5 (L-L-A-A) h =, h =, Nuérico Aalítico Nuérico Aalítico Erro (%) f (Hz) f (Hz) f (Hz) f (Hz) Erro (%),55,56 -,66 3,57 3,3 -,3 7,973 8,69 -,86 5,85 6,37 -,996,6 8,95 8,977 -,8 7,75 7,95 -,386 7,5 7,75 -,6 3,55 35,9 -,66 3 3,558 3,78 -,95 6,665 7,568 -,898 3,688,95 -,873 8,89 9,8 -,89,,3,,,55,56 -,66 3,57 3,3 -,7 7,97 8,69 -,9 5,83 6,37 -,8 8,95 8,977 -,87 7,7 7,95 -,39 7,5 7,75 -,69 3,5 35,9 -, ,56 3,78 -, 6,6 7,568 -,96 3,67,95 -,99 8,86 9,8 -,95,55,56 -,66 3,57 3,3 -,7 7,97 8,69 -,93 5,83 6,37 -,8 8,9 8,977 -,88 7,7 7,95 -,39 7,59 7,75 -,75 3,5 35,9 -, ,5 3,78 -,9 6,638 7,568 -,955 3,67,95 -,937 8,857 9,8 -,95,55,56 -,66 3,57 3,3 -, 7,97 8,69 -,9 5,83 6,37 -,8 8,9 8,977 -,89 7,7 7,95 -,39 7,59 7,75 -,75 3,539 35,9 -,68 3 3,53 3,78 -,3 6,637 7,568 -,957 3,67,95 -,9 8,855 9,8 -,99,55,56 -,7 3,57 3,3 -, 7,97 8,69 -,9 5,83 6,37 -,8 8,9 8,977 -,89 7,7 7,95 -,39 7,59 7,75 -,75 3,538 35,9 -,68 3 3,53 3,78 -,3 6,636 7,568 -,959 3,67,95 -,95 8,855 9,8 -,99 78

99 Tabela.7 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso 6 (L-A-L-A) h =, h =, Nuérico Aalítico Nuérico Aalítico Erro (%) f (Hz) f (Hz) f (Hz) f (Hz) Erro (%),58,63 -,3 8,898 8,97 -,38 7,396 7,8 -,,66,96 -,366,6 3 6,83 7, -, 33,73 3,5 -,56 8,7 8,5 -, 35,776 36, -,9,53,66 -,73,8 3,33 -,93 3 3,375 3,78 -,8 63,9 65,568-3,69,,3,,,58,63 -,5 8,897 8,97 -,33 7,396 7,8 -,,65,96 -, ,83 7, -,3 33,68 3,5 -,575 8, 8,5 -,78 35,763 36, -,9,96,66 -,763,67 3,33 -, ,36 3,78 -,8 63,68 65,568-3,3,58,63 -,5 8,897 8,97 -,33 7,396 7,8 -,5,65,96 -, ,89 7, -,35 33,66 3,5 -,58 8, 8,5 -,83 35,76 36, -,95,95,66 -,768,65 3,33 -,98 3 3,36 3,78 -,87 63,63 65,568-3,,58,63 -,5 8,897 8,97 -,33 7,396 7,8 -,7,65,96 -, ,89 7, -,35 33,65 3,5 -,58 7,999 8,5 -,89 35,76 36, -,98,9,66 -,773,63 3,33 -,98 3 3,36 3,78 -,9 63,6 65,568-3,3,58,63 -,5 8,897 8,97 -,33 7,396 7,8 -,8,6,96 -, ,89 7, -,35 33,6 3,5 -,587 7,999 8,5 -,89 35,76 36, -,98,9,66 -,773,63 3,33 -,98 3 3,36 3,78 -,93 63,59 65,568-3,7 79

100 Tabela.8 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso 7 (L-A-L-E) h =, h =, Nuérico Aalítico Nuérico Aalítico Erro (%) f (Hz) f (Hz) f (Hz) f (Hz) Erro (%) 7,3 7,86 -,798,,7 -, 9,7 9,579 -,3 8,7 9,59 -,8,6 3 8,6 8,36 -,9 35,97 36,87 -,,86 3,7 -,87 5, 6,9 -,89 5,9 6, -,5 5, 5,8 -,585 35,563 35,857 -,89 69,9 7,73 -,7,,3,, 7,8 7,86 -,85 3,998,7 -,9 9,68 9,579 -,59 8,736 9,59 -,7 3 8, 8,36 -,57 35,96 36,87 -,6,83 3,7 -,9 5,9 6,9 -,957 5,95 6, -,77 5,89 5,8 -,65 35,58 35,857 -,97 69,883 7,73 -,55 7,8 7,86 -,8 3,997,7 -,36 9,68 9,579 -,67 8,735 9,59 -, 3 8, 8,36 -,6 35,96 36,87 -,7,87 3,7 -,955 5,86 6,9 -,97 5,9 6, -,93 5,8 5,8 -,666 35,53 35,857 -,93 69,873 7,73 -,566 7,8 7,86 -,83 3,997,7 -,36 9,67 9,579 -,7 8,73 9,59 -,7 3 8,39 8,36 -,67 35,96 36,87 -,7,86 3,7 -,959 5,83 6,9 -,977 5,899 6, -,3 5,77 5,8 -,67 35,5 35,857 -,939 69,868 7,73 -,573 7,8 7,86 -,85 3,996,7 -,3 9,67 9,579 -,75 8,733 9,59 -, 3 8,38 8,36 -,73 35,958 36,87 -,78,85 3,7 -,963 5,8 6,9 -,979 5,898 6, -,3 5,75 5,8 -,678 35,59 35,857 -,9 69,866 7,73 -,576 8

101 Tabela.9 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso 8 (L-L-A-E) h =, h =, Nuérico Aalítico Nuérico Aalítico Erro (%) f (Hz) f (Hz) f (Hz) f (Hz) Erro (%),67,86 -,75,95,97 -,35 8,798 8,88 -,975 7,68 7,768 -,69,6,389,79 -,788,65,959 -,5 9,793,6 -,5 39,6,3 -,5 3,333,563 -,93 8,86 9,5 -,9 3 9,3 9,68 -,878 58,73 59,367 -,8,,3,,,67,86 -,757,9,97 -,36 8,797 8,88 -,987 7,66 7,768 -,7,386,79 -,8,6,959 -,559 9,788,6 -, 39,7,3 -,536 3,39,563 -,99 8,6 9,5 -,96 3 9,395 9,68 -,97 58, 59,367 -,69,67,86 -,757,9,97 -,36 8,796 8,88 -,99 7,65 7,768 -,78,386,79 -,8,6,959 -,56 9,787,6 -,5 39,5,3 -,5 3,37,563 -, 8,56 9,5 -, ,39 9,68 -,989 58,9 59,367 -,88,67,86 -,76,9,97 -,36 8,796 8,88 -,99 7,65 7,768 -,78,385,79 -,83,599,959 -,568 9,787,6 -,5 39,,3 -,5 3,36,563 -, 8,5 9,5 -, ,387 9,68 -,999 58,5 59,367 -,9,67,86 -,76,9,97 -,366 8,796 8,88 -,995 7,6 7,768 -,73,385,79 -,83,599,959 -,568 9,786,6 -,5 39,3,3 -,56 3,36,563 -, 8,5 9,5 -, ,386 9,68 -, 58,3 59,367 -,98 8

102 Tabela. Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso 9 (L-E-L-E) h =, h =, Nuérico Aalítico Nuérico Aalítico Erro (%) f (Hz) f (Hz) f (Hz) f (Hz) Erro (%),5,3 -,677,36,6 -,36,87,95 -,88,33,59 -,86,6 3,7,3 -,8 39,59,68 -,69 8,38 8,88 -,877 55,65 56,976 -,33 3,96 3,36 -,9 6,885 6,6 -,757 36,755 37,9 -,7 7,55 7,58 -,35,,3,,,7,3 -,76,357,6 -,38,8,95 -,937,,59 -,9 3,6,3 -,855 39,575,68 -,6 8,7 8,88 -,986 55,593 56,976 -,7 3,96 3,36 -,3 6,87 6,6 -,866 36,7 37,9 -,86 7,9 7,58 -,5,6,3 -,76,355,6 -,389,78,95 -,953,8,59 -,9 3,58,3 -,87 39,57,68 -,6 8, 8,88 -, 55,58 56,976 -,8 3,97 3,36 -, 6,8 6,6 -,89 36,73 37,9 -,88 7,79 7,58 -,538,6,3 -,76,35,6 -,39,77,95 -,96,6,59 -,99 3,57,3 -,875 39,569,68 -, 8,97 8,88 -, 55,575 56,976 -,59 3,9 3,36 -,57 6,793 6,6 -,9 36,7 37,9 -,889 7,7 7,58 -,5,5,3 -,735,353,6 -,399,76,95 -,969,5,59 -,933 3,56,3 -,879 39,568,68 -, 8,96 8,88 -,5 55,573 56,976 -,6 3,9 3,36 -,6 6,789 6,6 -,9 36,699 37,9 -,89 7,73 7,58 -,56 8

103 Tabela. Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso (L-L-E-E) h =, h =, Nuérico Aalítico Nuérico Aalítico Erro (%) f (Hz) f (Hz) f (Hz) f (Hz) Erro (%) 3,97 3,7 -,69 6,366 6,3 -,68,3,37 -,9,886,73 -,738,6,8,365 -,685,379,79 -,7,97,3 -,977 3,35,87 -, ,933 9,5 -,967 57,9 58,3 -,88 3 3,55 3,58 -,83 59,7 6,7 -,39,,3,, 3,97 3,7 -,6 6,365 6,3 -,86,9,37 -,966,879,73 -,769,77,365 -,79,375,79 -,33,97,3 -, 3,,87 -,6 3 8,97 9,5 -,56 57,5 58,3 -,37 3 3, 3,58 -,939 59,65 6,7 -,3 3,96 3,7 -,67 6,36 6,3 -,9,8,37 -,975,877,73 -,778,77,365 -,79,37,79 -,37,95,3 -,3 3,7,87 -,5 3 8,9 9,5 -,73 57,36 58,3 -, ,6 3,58 -,959 59,6 6,7 -,53 3,96 3,7 -,65 6,36 6,3 -,95,7,37 -,98,875,73 -,787,77,365 -,79,37,79 -,37,9,3 -,36 3,5,87 -, 3 8,9 9,5 -,8 57,3 58,3 -,39 3 3,3 3,58 -,969 59,637 6,7 -,6 3,96 3,7 -,65 6,36 6,3 -,96,7,37 -,98,875,73 -,787,77,365 -,79,37,79 -,37,93,3 -, 3,,87 -, 3 8,899 9,5 -,83 57,3 58,3 -, , 3,58 -,97 59,635 6,7 -,65 83

104 Tabela. Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso (L-A-A-A) h =, h =, Nuérico Aalítico Nuérico Aalítico Erro (%) f (Hz) f (Hz) f (Hz) f (Hz) Erro (%) 5,38 5,3 -,536,69,86 -,,733,865 -,8 5, 5,73 -,9,6 9,9 9,9 -,39 37,79 38,88 -,8 7, 7,376 -,7 53,336 5,75 -, ,5 8,669 -,78 56,8 57,337 -,89 3,68,8 -,393 8,8 83,689 -,865,,3,, 5,38 5,3 -,538,693,86 -,9,733,865 -,8 5,39 5,73 -,98 9, 9,9 -,9 37,77 38,88 -,59 7,9 7,376 -,36 53,3 5,75 -,6 3 8,3 8,669 -,89 56,5 57,337 -,38 3,6,8 -,558 8,99 83,689 -,5 5,38 5,3 -,538,693,86 -,9,733,865 -,8 5,38 5,73 -,3 9, 9,9 -,3 37,7 38,88 -,67 7,9 7,376 -, 53,37 5,75 -,6 3 8,8 8,669 -,839 56,8 57,337 -,9 3,599,8 -,586 8,97 83,689 -,5 5,38 5,3 -,5,693,86 -,9,73,865 -,35 5,38 5,73 -,3 9, 9,9 -,39 37,7 38,88 -,67 7,9 7,376 -,3 53,36 5,75 -,6 3 8,7 8,669 -,83 56,6 57,337 -,5 3,59,8 -,598 8,96 83,689 -,63 5,38 5,3 -,5,693,86 -,9,73,865 -,35 5,37 5,73 -,36 9, 9,9 -,39 37,73 38,88 -,69 7,9 7,376 -,3 53,35 5,75 -,63 3 8,7 8,669 -,83 56,5 57,337 -,5 3,593,8 -,6 8,96 83,689 -,66 8

105 Tabela.3 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso (L-A-E-A) h =, h =, Nuérico Aalítico Nuérico Aalítico Erro (%) f (Hz) f (Hz) f (Hz) f (Hz) Erro (%) 5,86 5,88 -,59,68,76 -,3 5,93 5,36 -,868 9,996 3,65 -,,6 9,5 9,36 -,38 38,7 38,65 -,35 8,938 9, -,93 56,9 58,3 -, ,39 33,553 -,78 65,5 67,7 -,376 3,88,993 -,39 8,6 83,985 -,88,,3,, 5,86 5,88 -,59,67,76 -,39 5,9 5,36 -,88 9,993 3,65 -,5 9,5 9,36 -,7 38,6 38,65 -,68 8,9 9, -,95 56,893 58,3 -, ,8 33,553 -,83 65,6 67,7 -,8 3,757,993 -,56 8,7 83,985 -, 5,86 5,88 -,59,67,76 -,39 5,9 5,36 -,88 9,99 3,65 -,5 9, 9,36 -, 38,58 38,65 -,76 8,9 9, -,957 56,89 58,3 -, ,8 33,553 -,85 65,55 67,7 -,6 3,75,993 -,59 8,8 83,985 -,69 5,86 5,88 -,593,67,76 -,39 5,9 5,36 -,88 9,99 3,65 -,57 9,3 9,36 -,7 38,57 38,65 -,79 8,9 9, -,96 56,888 58,3 -, ,78 33,553 -,8 65,5 67,7 -,66 3,7,993 -,6 8,39 83,985 -,79 5,86 5,88 -,593,67,76 -,39 5,9 5,36 -,88 9,99 3,65 -,57 9,3 9,36 -,7 38,57 38,65 -,79 8,9 9, -,96 56,887 58,3 -, ,78 33,553 -,8 65,5 67,7 -,69 3,739,993 -,6 8,37 83,985 -,8 85

106 Tabela. Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso 3 (L-E-A-E) h =, h =, Nuérico Aalítico Nuérico Aalítico Erro (%) f (Hz) f (Hz) f (Hz) f (Hz) Erro (%),8,87 -,666,3,75 -,9 6,39 6,53 -,67 3,399 33,6 -,8,6 9, 9,57 -,85 57,38 58,5 -,35 3 3,759 3,963 -,658 6,598 6,95 -,3 35,67 35,97 -,863 69,856 7,83 -, , 5,55 -, 97,53,3-3,5,,3,,,796,87 -,73,7,75 -,6 6,387 6,53 -,7 3,39 33,6 -,865 8,979 9,57 -,95 57,79 58,5 -,53 3 3,733 3,963 -,7 6,56 6,95 -, 35,57 35,97 -,955 69,8 7,83 -,88 3 9,93 5,55 -,73 97,5,3-3,53,795,87 -,7,5,75 -,7 6,386 6,53 -,7 3,388 33,6 -,87 8,97 9,57 -,975 57,67 58,5 -,7 3 3,79 3,963 -,755 6,556 6,95 -, 35,568 35,97 -,97 69,79 7,83 -,85 3 9,9 5,55 -,9 97,36,3-3,558,79,87 -,7,3,75 -,8 6,385 6,53 -,76 3,387 33,6 -,877 8,969 9,57 -,985 57,6 58,5 -,8 3 3,77 3,963 -,76 6,553 6,95 -,6 35,56 35,97 -,98 69,785 7,83 -,85 3 9,98 5,55 -, 97,9,3-3,565,79,87 -,7,3,75 -,8 6,38 6,53 -,7 3,386 33,6 -,88 8,967 9,57 -,99 57,59 58,5 -,87 3 3,76 3,963 -,76 6,553 6,95 -,6 35,563 35,97 -,985 69,783 7,83 -, ,96 5,55 -,6 97,7,3-3,567 86

107 Tabela.5 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso (L-A-A-E) h =, h =, Nuérico Aalítico Nuérico Aalítico Erro (%) f (Hz) f (Hz) f (Hz) f (Hz) Erro (%) 7,753 7,88 -,835 5, 5,637 -,87,3,3 -,898 8,53 8,863 -,,6 3,75 3,98 -,87 6,9 7,855 -, ,6 9,679 -,73 58,63 59,358 -,8 3, 3,35 -,995 6,3 6,7 -,68 3 6,356 6,9 -,6 9,57 93,8-3,,,3,, 7,75 7,88 -,85 5, 5,637 -,57,3,3 -,9 8,9 8,863 -,8 3,79 3,98 -,9 6,88 7,855 -,38 3 9, 9,679 -,798 58,3 59,358 -,3 3,3 3,35 -,9 6,993 6,7 -,79 3 6,36 6,9 -,68 9,56 93,8-3,53 7,75 7,88 -,859 5, 5,637 -,57,99,3 -,99 8,8 8,863 -,3 3,75 3,98 -,93 6,87 7,855 -,5 3 9,39 9,679 -,88 58,7 59,358 -, 3,9 3,35 -,6 6,986 6,7 -,7 3 6,99 6,9 -,8 9,95 93,8-3,5 7,75 7,88 -,863 5, 5,637 -,53,98,3 -,96 8,7 8,863 -,35 3,7 3,98 -,93 6,87 7,855 -,57 3 9,38 9,679 -,8 58, 59,358 -,7 3,8 3,35 -,65 6,983 6,7 -,75 3 6,96 6,9 -,89 9,9 93,8-3,53 7,75 7,88 -,865 5, 5,637 -,53,98,3 -,96 8,6 8,863 -,39 3,73 3,98 -,939 6,87 7,855 -,59 3 9,37 9,679 -,85 58,3 59,358 -,9 3,7 3,35 -,68 6,98 6,7 -,76 3 6,95 6,9 -,9 9,88 93,8-3,53 87

108 Tabela.6 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso 5 (L-A-E-E) h =, h =, Nuérico Aalítico Nuérico Aalítico Erro (%) f (Hz) f (Hz) f (Hz) f (Hz) Erro (%) 8,97 8,66 -,85 6,83 6,33 -,53 6,577 6,77 -,779 3,738 33, -,,6 3,98,3 -,885 7,86 8,63 -, 3,69 3,993 -,95 6,36 65,985 -,65 3 3,8 3,57 -,69 67,7 68,9 -,38 3 8,86 9,6 -,93 95,675 98,58 -,896,,3,, 8,95 8,66 -,867 6,8 6,33 -,5 6,573 6,77 -,83 3,73 33, -, 3,9,3 -,955 7,5 8,63 -,9 3,667 3,993 -,987 6, 65,985 -,7 3 3,85 3,57 -,789 67, 68,9 -,55 3 8,687 9,6 -,7 95,53 98,58-3, 8,95 8,66 -,873 6,79 6,33 -,58 6,57 6,77 -,89 3,73 33, -,8 3,897,3 -,97 7,8 8,63 -,3 3,663 3,993 -,999 6,9 65,985 -,7 3 3,8 3,57 -,8 67,3 68,9 -,68 3 8,665 9,6 -,6 95,3 98,58-3,6 8,9 8,66 -,877 6,79 6,33 -,58 6,57 6,77 -,85 3,79 33, -,5 3,896,3 -,976 7,5 8,63 -,9 3,66 3,993 -,5 6,9 65,985 -,79 3 3,78 3,57 -,8 67, 68,9 -,73 3 8,656 9,6 -,3 95,397 98,58-3,78 8,9 8,66 -,878 6,78 6,33 -,55 6,57 6,77 -,85 3,79 33, -,5 3,895,3 -,98 7, 8,63 -, 3,66 3,993 -,8 6,89 65,985 -,7 3 3,78 3,57 -,8 67,9 68,9 -,7 3 8,65 9,6 -,38 95,39 98,58-3,83 88

109 Tabela.7 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso 6 (L-E-E-E) h =, h =, Nuérico Aalítico Nuérico Aalítico Erro (%) f (Hz) f (Hz) f (Hz) f (Hz) Erro (%),56,3 -,68,939,6 -,59 8, 8,556 -,65 36,38 37,3 -,88,6 9,73 9, -,853 57,5 58,88 -, ,356 35,57 -,63 69,89 7,8 -,33 37,8 37,5 -,793 7,76 7,89 -, ,67 5,3 -,893,5 8,6-3,5,,3,,,5,3 -,77,93,6 -,95 8,36 8,556 -,68 36,8 37,3 -,85 9, 9, -,965 57,39 58,88 -,7 3 35,3 35,57 -,736 69,3 7,8 -, 37,6 37,5 -,96 7,7 7,89 -, ,58 5,3 -,3,33 8,6-3,63,9,3 -,75,98,6 -,58 8,3 8,556 -,659 36,5 37,3 -,853 9,33 9, -,989 57,38 58,88 -,9 3 35,36 35,57 -,753 69,3 7,8 -, 37,5 37,5 -,937 7,69 7,89 -, ,5 5,3 -,57,3 8,6-3,69,9,3 -,75,97,6 -,53 8,33 8,556 -,66 36, 37,3 -,855 9,9 9, -,3 57,376 58,88 -,5 3 35,3 35,57 -,759 69,9 7,8 -,3 37,5 37,5 -,95 7,685 7,89 -, ,99 5,3 -,66,3 8,6-3,69,8,3 -,75,96,6 -,57 8,33 8,556 -,66 36,3 37,3 -,858 9,8 9, -,6 57,373 58,88 -, ,33 35,57 -,76 69,8 7,8 -,3 37,9 37,5 -,95 7,683 7,89 -,8 3 53,97 5,3 -,7,3 8,6-3,658 89

110 Tabela.8 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso 7 (A-A-E-A) h =, h =, Nuérico Aalítico Nuérico Aalítico Erro (%) f (Hz) f (Hz) f (Hz) f (Hz) Erro (%),888,96 -,66,568,9 -,6 3,799 3,96 -,6 7, 7,89 -,8,6 7,5 7,8 -,6 53,83 5,36 -,985 39,53 39,96 -,935 77,5 79,833 -,9 3 6, 6,83 -,56 9,89 9,967 -,3 3 5,65 5,6 -,566,,9 -,69,,3,,,888,96 -,66,567,9 -,6 3,789 3,96 -,656 6,996 7,89 -,87 7, 7,8 -,658 53,59 5,36 -,9 39,5 39,96 -,3 77,6 79,833 -,97 3 6, 6,83 -,73 9,683 9,967 -,57 3 5,56 5,6 -,77,9,9 -,88,888,96 -,66,566,9 -,69 3,788 3,96 -,66 6,99 7,89 -,876 7, 7,8 -,666 53,55 5,36 -,36 39,58 39,96 -,3 77,56 79,833 -, ,9 6,83 -,76 9,66 9,967 -,8 3 5,38 5,6 -,88,86,9 -,9,888,96 -,66,566,9 -,69 3,787 3,96 -,665 6,993 7,89 -,878 6,999 7,8 -,669 53,5 5,36 -,38 39,57 39,96 -,6 77,5 79,833 -,98 3 6,5 6,83 -,77 9,65 9,967 -,9 3 5,3 5,6 -,8,85,9 -,99,888,96 -,66,566,9 -,69 3,787 3,96 -,665 6,993 7,89 -,878 6,999 7,8 -,669 53,53 5,36 -, 39,56 39,96 -,8 77,53 79,833 -,98 3 6, 6,83 -,773 9,69 9,967 -,93 3 5,9 5,6 -,85,85,9 -,99 9

111 Tabela.9 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso 8 (A-A-E-E) h =, h =, Nuérico Aalítico Nuérico Aalítico Erro (%) f (Hz) f (Hz) f (Hz) f (Hz) Erro (%),7,5 -,58,78 5,8 -,89 7,93 8,57 -,58 55, 56, -,99,6 8,3 8,73 -,567 55,3 56,35 -,978,675 3,35 -,837 83,53 86,7 -,97 3 5,793 53, -,598 3,7 6, -, ,876 53,57 -,59 3,6 6,3 -,68,,3,,,7,5 -,56,77 5,8 -,93 7,887 8,57 -,65 5,99 56, -,996 7,995 8,73 -,63 55,5 56,35 -,,6 3,35 -,963 83,79 86,7-3, 3 5,67 53, -,86 3,6 6, -, ,75 53,57 -,766 3,5 6,3 -,88,7,5 -,56,76 5,8 -,97 7,88 8,57 -,66 5,99 56, -,3 7,99 8,73 -,6 55, 56,35 -,33,66 3,35 -,97 83,7 86,7-3,9 3 5,65 53, -,86 3,3 6, -3, 3 5,73 53,57 -,83 3, 6,3 -,9,7,5 -,56,76 5,8 -,97 7,883 8,57 -,6 5,989 56, -, 7,99 8,73 -,6 55,99 56,35 -,35,6 3,35 -,979 83,69 86,7-3,3 3 5,65 53, -,877 3, 6, -3, 3 5,73 53,57 -,86 3, 6,3 -,99,7,5 -,56,76 5,8 -,97 7,883 8,57 -,6 5,988 56, -,6 7,99 8,73 -,65 55,99 56,35 -,35,6 3,35 -,979 83,69 86,7-3,3 3 5,6 53, -,879 3, 6, -3,3 3 5,7 53,57 -,88 3, 6,3 -,99 9

112 Tabela.3 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso 9 (E-A-E-A) h =, h =, Nuérico Aalítico Nuérico Aalítico Erro (%) f (Hz) f (Hz) f (Hz) f (Hz) Erro (%) 3,356 3,7 -,5 6,56 6,833 -,6 5,39 5,369 -,5 9,83 5,738 -,78,6 3,93 3,6 -,569 6,85 6,5 -,36 3,83 3,837 -,88 85,58 87,67 -,98 3 7,5 7,36 -,5 9,589 9,78 -, ,5 59,83 -,63 5,76 9,66-3,6,,3,, 3,355 3,7 -,6 6,5 6,833 -, 5,5 5,369 -,567 9,87 5,738 -,85 3,9 3,6 -,6 6,773 6,5 -,3 3,9 3,837 -,93 8,998 87,67-3,53 3 7,55 7,36 -,65 9,6 9,78 -,9 3 59,85 59,83 -,9 5,6 9,66-3,5 3,355 3,7 -,6 6,53 6,833 -,8 5,3 5,369 -,575 9,85 5,738 -,89 3,96 3,6 -,653 6,766 6,5 -,33 3, 3,837 -,9 8,989 87,67-3,63 3 7, 7,36 -,68 9,3 9,78 -, ,56 59,83 -,96 5, 9,66-3,56 3,355 3,7 -,6 6,53 6,833 -,8 5,3 5,369 -,575 9,8 5,738 -,8 3,95 3,6 -,657 6,763 6,5 -,37 3, 3,837 -,97 8,986 87,67-3,66 3 7,37 7,36 -,69 9, 9,78 -,3 3 59,5 59,83 -,979 5,38 9,66-3,578 3,355 3,7 -,6 6,53 6,833 -,8 5,3 5,369 -,575 9,8 5,738 -,8 3,9 3,6 -,66 6,76 6,5 -,39 3, 3,837 -,97 8,985 87,67-3,67 3 7,36 7,36 -,69 9, 9,78 -,5 3 59,3 59,83 -,98 5,38 9,66-3,578 9

113 Tabela.3 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso (A-E-E-E) h =, h =, Nuérico Aalítico Nuérico Aalítico Erro (%) f (Hz) f (Hz) f (Hz) f (Hz) Erro (%),693,75 -,396 9,3 9,53 -,355 9,6 9,359 -,88 57,583 58,78 -,933,6 3,766 3,9 -,533 6,8 65,883 -, 6,398 6,75 -,679 9,66 93,3 -, ,669 53,95 -,5,9 7,89 -,73 3 6,59 6,33 -,69 6,9,866-3,8,,3,,,689,75 -,3 9, 9,53 -,365 9,9 9,359 -,576 57,55 58,78 -,983 3,736 3,9 -,6 6,373 65,883 -,9 6,3 6,75 -,867 9,569 93,3-3,6 3 53,53 53,95 -,78,7 7,89 -, ,873 6,33 -,97 6,59,866-3,538,689,75 -,3 9, 9,53 -,365 9,87 9,359 -,586 57,55 58,78 -,99 3,73 3,9 -,636 6,366 65,883 -,33 6,3 6,75 -,88 9,559 93,3-3, ,53 53,95 -,89,69 7,89 -, ,83 6,33 -,976 6,5,866-3,579,689,75 -,3 9,99 9,53 -,369 9,87 9,359 -,586 57,58 58,78 -,993 3,73 3,9 -,6 6,363 65,883 -,37 6,3 6,75 -,889 9,555 93,3-3, ,95 53,95 -,83,68 7,89 -, ,833 6,33 -,993 6,5,866-3,596,689,75 -,3 9,99 9,53 -,369 9,86 9,359 -,59 57,58 58,78 -,993 3,73 3,9 -,6 6,363 65,883 -,37 6,3 6,75 -,889 9,55 93,3-3, ,9 53,95 -,836,67 7,89 -, ,83 6,33 -,998 6,5,866-3,6 93

114 Tabela.3 Coparação etre os resultados aalíticos e uéricos das frequêcias aturais para o Caso (E-E-E-E) h =, h =, Nuérico Aalítico Nuérico Aalítico Erro (%) f (Hz) f (Hz) f (Hz) f (Hz) Erro (%) 6,63 6,679 -,96 3,93 33,359 -,79 33,865 3, -,6 66,559 68,3 -,8,6 33,865 3, -,6 66,559 68,3 -,8 9,89 5,9 -,6 97,87,38-3,83 3 6,65 6,989 -,55 7,99,978-3,7 3 6,976 6,67 -,75 8,6,535-3,78,,3,, 6,63 6,679 -,338 3,97 33,359 -,9 33,83 3, -,583 66,5 68,3 -,53 33,83 3, -,583 66,5 68,3 -,53 9,755 5,9 -,869 97,85,38-3,85 3 6,5 6,989 -,88 7,67,978-3,53 3 6,75 6,67 -,83 8,3,535-3,39 6,6 6,679 -,3 3,97 33,359 -,9 33,88 3, -,598 66,53 68,3 -,63 33,88 3, -,598 66,53 68,3 -,63 9,73 5,9 -,89 97,7,38-3,98 3 6, 6,989 -,933 7,6,978-3, ,79 6,67 -,895 8,6,535-3,88 6,6 6,679 -,3 3,97 33,359 -,9 33,86 3, -,6 66,5 68,3 -,67 33,86 3, -,6 66,5 68,3 -,67 9,7 5,9 -,898 97,68,38-3, 3 6,9 6,989 -,95 7,6,978-3, ,77 6,67 -,9 8,,535-3,55 6,6 6,679 -,3 3,97 33,359 -,9 33,86 3, -,6 66,5 68,3 -,67 33,86 3, -,6 66,5 68,3 -,67 9,739 5,9 -,9 97,67,38-3,3 3 6,7 6,989 -,955 7,59,978-3, ,75 6,67 -,98 8,,535-3,55 Apreseta-se, a seguir, gráficos coparativos etre os casos e estudo e o Caso (placa siplesete apoiada as quatro bordas). Verifica-se a coparação etre os desevolvietos das frequêcias aturais para os seis prieiros odos de vibração observados. Plotou-se a frequêcia atural correspodete a cada odo de vibração, sedo 9

115 ω (rad/s) ω (rad/s) que os odos fora ordeados e orde crescete de frequêcia (cofore são apresetados as tabelas desse trabalho). 5 3 A-A-A-A L-L-L-L 6 8 Orde dos odos de vibração Figura.9 Frequêcias aturais aalisadas o Caso 5 3 A-A-A-A L-L-L-A 6 8 Orde dos odos de vibração Figura. Frequêcias aturais aalisadas o Caso 3 95

116 ω (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) 5 3 A-A-A-A L-L-L-E 6 Orde dos odos de vibração Figura. Frequêcias aturais aalisadas o Caso 5 3 A-A-A-A L-L-A-A 6 Orde dos odos de vibração Figura. Frequêcias aturais aalisadas o Caso A-A-A-A L-A-L-A 6 Orde dos odos de vibração Figura.3 Frequêcias aturais aalisadas o Caso 6 96

117 ω (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) 5 3 A-A-A-A L-A-L-E 6 Orde dos odos de vibração Figura. Frequêcias aturais aalisadas o Caso A-A-A-A L-L-A-E 6 Orde dos odos de vibração Figura.5 Frequêcias aturais aalisadas o Caso A-A-A-A L-E-L-E 6 Orde dos odos de vibração Figura.6 Frequêcias aturais aalisadas o Caso 9 97

118 ω (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) 5 3 A-A-A-A L-L-E-E 6 Orde dos odos de vibração Figura.7 Frequêcias aturais aalisadas o Caso 5 3 A-A-A-A L-A-A-A 6 Orde dos odos de vibração Figura.8 Frequêcias aturais aalisadas o Caso 5 3 A-A-A-A L-A-E-A 6 Orde dos odos de vibração Figura.9 Frequêcias aturais aalisadas o Caso 98

119 ω (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) Orde dos odos de vibração A-A-A-A L-E-A-E Figura.3 Frequêcias aturais aalisadas o Caso A-A-A-A L-A-A-E 6 Orde dos odos de vibração Figura.3 Frequêcias aturais aalisadas o Caso Orde dos odos de vibração A-A-A-A L-A-E-E Figura.3 Frequêcias aturais aalisadas o Caso 5 99

120 ω (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) Orde dos odos de vibração A-A-A-A L-E-E-E Figura.33 Frequêcias aturais aalisadas o Caso Orde dos odos de vibração A-A-A-A A-A-E-A Figura.3 Frequêcias aturais aalisadas o Caso Orde dos odos de vibração A-A-A-A A-A-E-E Figura.35 Frequêcias aturais aalisadas o Caso 8

121 ω (rad/s) ω (rad/s) ω (rad/s) Orde dos odos de vibração A-A-A-A E-A-E-A Figura.36 Frequêcias aturais aalisadas o Caso Orde dos odos de vibração A-A-A-A A-E-E-E Figura.37 Frequêcias aturais aalisadas o Caso Orde dos odos de vibração A-A-A-A E-E-E-E Figura.38 Frequêcias aturais aalisadas o Caso

122 Nas tabelas a seguir estão os odos de vibração para as seis prieiras frequêcias aturais para h=,, ostrado as eia-odas as direções e que forece os ídices e, respectivaete. É iteressate otar ua correlação etre as deforadas obtidas o Caso e as outras deforadas, ebora a codição de cotoro livre ão perita o desevolvieto copleto das eia-odas, é fácil fazer a correlação pra idetificar os odos de vibração observados e todos os casos. Tabela.33 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso Modo de vibração (,) Frequêcia (Hz) Deforada odal, 6,98,3 9,7 3,,3 3, 6,5,3 6,5

123 , 8,7 Tabela.3 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso 3 Modo de vibração (,) Frequêcia (Hz) Deforada odal, 3,8, 6,896,,663,3,99 3,,76,3 3,9 3

124 Tabela.35 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso Modo de vibração (,) Frequêcia (Hz) Deforada odal,,68, 3,9, 9,8,3,556,,58,3,89

125 Tabela.36 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso 5 Modo de vibração (,) Frequêcia (Hz) Deforada odal,,55, 7,97, 8,9, 7,59,3 3,53 3,,67 5

126 Tabela.37 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso 6 Modo de vibração (,) Frequêcia (Hz) Deforada odal,,58, 7,396,3 6,89, 7,999,,9,3 3,36 6

127 Tabela.38 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso 7 Modo de vibração (,) Frequêcia (Hz) Deforada odal, 7,8, 9,67,3 8,38,,85, 5,898, 35,59 7

128 Tabela.39 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso 8 Modo de vibração (,) Frequêcia (Hz) Deforada odal,,67, 8,796,,385, 9,786,3,36 3, 9,386 8

129 Tabela. Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso 9 Modo de vibração (,) Frequêcia (Hz) Deforada odal,,5,,76,3,56, 8,96, 3,9, 36,699 9

130 Tabela. Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso Modo de vibração (,) Frequêcia (Hz) Deforada odal, 3,96,,7,,77,,93,3 8,899 3, 3,

131 Tabela. Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso Modo de vibração (,) Frequêcia (Hz) Deforada odal, 5,38,,73, 9,, 7,9,3 8,7 3,,593

132 Tabela.3 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso Modo de vibração (,) Frequêcia (Hz) Deforada odal, 5,86, 5,9, 9,3, 8,9,3 33,78 3,,739

133 Tabela. Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso 3 Modo de vibração (,) Frequêcia (Hz) Deforada odal,,79, 6,38, 8,967,3 3,76, 35,563,3 9,96 3

134 Tabela.5 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso Modo de vibração (,) Frequêcia (Hz) Deforada odal, 7,75,,98, 3,73,3 9,37, 3,7,3 6,95

135 Tabela.6 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso 5 Modo de vibração (,) Frequêcia (Hz) Deforada odal, 8,9, 6,57, 3,895, 3,66,3 3,78 3, 8,65 5

136 Tabela.7 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso 6 Modo de vibração (,) Frequêcia (Hz) Deforada odal,,8, 8,33, 9,8,3 35,33, 37,9,3 53,97 6

137 Tabela.8 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso 7 Modo de vibração (,) Frequêcia (Hz) Deforada odal,,888, 3,787, 6,999, 39,56 3, 6,,3 5,9 7

138 Tabela.9 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso 8 Modo de vibração (,) Frequêcia (Hz) Deforada odal,,7, 7,883, 7,99,,6,3 5,6 3, 5,7 8

139 Tabela.5 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso 9 Modo de vibração (,) Frequêcia (Hz) Deforada odal (uérico) Deforada odal (aalítico), 3,355, 5,3, 3,9, 3, 3, 7,36 9

140 ,3 59,3 Tabela.5 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso Modo de vibração (,) Frequêcia (Hz) Deforada odal,,689, 9,86, 3,73, 6,3,3 53,9

141 3, 59,83 Tabela.5 Deforadas dos seis prieiros odos de vibração para o Caso Modo de vibração (,) Frequêcia (Hz) Deforada odal, 6,6, 33,86, 33,86, 9,739 3, 6,7

142 ,3 6,75

143 5 CONCLUSÕES E SUGESTÕES Este capítulo divide-se e coclusões observadas durate os estudos, realizações das aálises e refleões sobre os resultados, e sugestões para trabalhos futuros. 5. CONCLUSÕES Neste trabalho foi ostrado u procedieto para estudo da vibração livre e placas retagulares fias, aplicado ais especificaete e placas quadradas. Mostrou-se a variação e ifluêcia de algus parâetros e das codições de viculação as respostas de frequêcias aturais e deforadas odais. A partir das equações aalíticas e tabelas desevolvidas por autores cosagrados foi possível obter as soluções de frequêcias aturais para diversos casos. Obteve-se as soluções aalíticas para a deforada odal de apeas dois casos, (A-A-A-A) e (E-A-E-A), pois eige a utilização e resolução de epressões coplicadas. Surge coo u artifício para a validação e iterpretação dos resultados obtidos uericaete. A siulação uérica, realizada e eleetos fiitos por eio do prograa ANSYS, proporcioou resultados que fora coparados co os aalíticos e represetações tridiesioais das deforadas odais. Foi realizada ua rápida aálise pelo étodo das difereças fiitas, ostrado a sua eficácia, siplicidade e rapidez, evideciado ão ser preciso cohecietos profudos e avaçados para utilizá-lo e u problea de difícil solução coo o de vibração e placas. Para a aálise uérica foi utilizado o eleeto SHELL8 da biblioteca do ANSYS, o qual foi testado e validado co resultados ecotrados e (Silva, 998). Fora feitos testes de covergêcia e aálises de duas placas, ua fia e ua espessa. Das aálises, é possível perceber que as respostas obtidas por eleetos fiitos são etreaete precisas, iclusive sedo eficazes para aálises de placas espessas. A aálise 3

144 Frequêcia (F) (Hz) uérica é, portato, u processo iteressate que apreseta resultados rápidos e satisfatórios, podedo ser aplicados e estruturas de geoetrias copleas se soluções aalíticas. A evolução das frequêcias aturais e fução do úero de eia-oda e deteriada direção evideciou a preseça apeas do trao ascedete para as placas. Coclui-se que a eor eergia será sepre referete ao prieiro odo (,) e para valores aiores de ou a eor eergia se dá co a preseça de ua eia-oda a outra direção, isto é (,), (,3), (6,) e (7,) seria os odos de eor eergia (frequêcias ais baias) para os casos costates =, =3, =6 e =7. Evidecia-se esse fato as Figuras.6 e.7. A coparação iediata co as cascas é atural, esta apreseta rao descedete e ascedete, ão sedo previsíveis os odos de eor eergia (são, aida, iflueciados pelos parâetros geoétricos da casca), e cotrapartida coclui-se a previsibilidade dos odos da placa. A Figura 5. a seguir ostra o desevolvieto das frequêcias de ua casca de odo aálogo às Figuras.6 e Núero de odas circufereciais () = Aalítico = Aalítico = Nuérico = Nuérico = Eperietal = Eperietal Figura 5. Frequêcias aturais para ua casca cilídrica circular vibrado livreete co seus etreos egastado-egastado (Lopez, Dutra e Pedroso, 3) E cada caso de viculação estudado evideciou-se o desevolvieto das frequêcias aturais e orde de surgieto (orde crescete de eergia e de frequêcia) coparado co o caso da placa totalete apoiada (Caso ) esclarecedo se a cofiguração de apoios e questão é ais ou eos rígida. Quado é eos rígido a curva

145 valores eores de frequêcia e está abaio da curva de coparação (placa A-A-A-A), para casos ais rígidos é observado o cotrário. As represetações tridiesioais das deforadas odais são ua adição iteressate pelo fácil etedieto visual proporcioado e pela dificuldade e ecotra-las a literatura. São represetações qualitativas que evidecia as difereças que as codições de viculação causa a deforada e perite a visualização clara das eia-odas. A preseça de deforadas alterativas para os odos de vibração atrapalha a visualização das eia-odas, as são facilete idetificados pois se repete etre casos. Deste odo, este trabalho te coo cotribuição, a elaboração de u aterial didático que perita ua iiciação o capo de aálises diâicas de placas, ivestigação e represetação de tedêcias das respostas e fução de parâetros que cotrola o feôeo e a represetação das deforadas odais para vários casos de viculação, sedo este últio escasso a literatura. 5. SUGESTÕES Epadir o estudo para placas espessas, utilizar a teoria de Reisser-Midli e coparar as respostas aalíticas e uéricas para vários casos; Estudar codições de viculação especiais, coo ua placa apoiada e apeas algus potos por eeplo; Realizar o estudo co placas de diferetes geoetrias, circular ou triagular por eeplo; Realizar o estudo co carregaeto diâico; Epadir a aálise feita co o étodo das difereças fiitas para alhas ais refiadas, utilizado u coputador para auiliar os cálculos; Realizar aálises para outras codições de cotoro por eio do étodo das difereças fiitas. 5

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149 APÊNDICES 9

150 APÊNDICE A DEFORMADAS ADICIONAIS A tabela a seguir cotê os quatorze odos de vibração do Caso que ão fora ostrados a seção... Refere-se ao caso de h=,, ostrado as eia-odas as direções e que forece os ídices e, respectivaete. E algus odos percebese a distorção a deforada por ser se tratar de ua represetação alterativa, torado, assi, difícil de saber qual o úero de eia-oda correspodete a cada direção. Tabela A. Modos de vibração restates e suas respectivas deforadas odais para o Caso (A-A-A-A) Modo de vibração Frequêcia Deforada odal (,) (Hz) 3, 58,77,3 58,77, 76,975, 76,975 3,3 8,997 3

151 , 9,3, 9,5,3,8 3,,8 5, 7,7,5 7,7 5, 3,3 3

152 ,5 3,3, 3, 3

153 APÊNDICE B MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS A idéia do étodo das difereças fiitas é trasforar a resolução de ua equação diferecial a resolução de u sistea de equações algébricas, usado para isto aproiações das derivadas que aparece as equações e difereças fiitas. É u étodo uérico que pode ser usado e uitos probleas de egeharia, coo resolução de placas, trasferêcia de calor, deforações e vigas e outros, especialete quado resoluções aalíticas são de difícil deteriação. Esse trataeto uérico das equações difereciais rede resultados aproiados, aceitáveis a aioria dos casos (Szilard, 97). O étodo cosiste e cosiderar ua fução geral =f() co o eio sedo dividido e itervalos regulares, ão sedo ecessariaete iguais. Caracteriza-se os potos criados por ídices para represetar o ordeaeto dos esos, te-se etão potos -,, +, etc, co os respectivos valores da fução esses potos, e (Pedroso, ). Figura B. Aproiação de Talor por difereça cetrada (Pedroso, ) Por série de Talor: f f f f df d df d 3 d f d f 3 d f d f d 33 d!! d d 3 3 3! 3! 3 3 (B.)

154 Por eio das equações (B.) forula-se as aproiações de difereças fiitas cetrais das derivadas de qualquer orde, poré ostra-se apeas até a quarta orde por ser as ais usuais os probleas de egeharia: Derivada de prieira orde f df : d f f df d f f df d f df d df d (B.) Derivada de seguda orde d f d : f f f f d f d df d d f d df d d f f f f! f d d f d!! (B.3) Derivada de terceira orde 3 d f d 3 : 3 d f d f f 3 d d d f d d d f f d f f f f f f f f 3 3 d (B.) Derivada de quarta orde d f d : 3

155 d f d f f f f f f f f f f f f f f d f d d f d d f d d f d d d d f d (B.5) A Figura B. a seguir ostra o resuo dos operadores para a utilização do étodo das difereças fiitas. É ecessário ua aipulação etra para chegar ao operador que se utiliza a aálise de placas (defiido a seção B.), as é de etrea iportâcia defiir esses operadores básicos que serão ecessários. Figura B. Represetação esqueática dos operadores para difereça fiita cetral (Pedroso, 5)

156 B. CONDIÇÕES DE CONTORNO As codições de cotoro, o étodo das difereças fiitas, tê a fução de diiuir o úero de variáveis do sistea por eio de valores cohecidos dos potos que estão sobre o cotoro e/ou relações etre potos fora da viga ou placa, (potos virtuais que copleeta a alha) e potos o iterior. Chega-se, etão, a sisteas possíveis e deteriados para probleas estáticos e probleas de autovalores e autovetores para probleas diâicos (Pedroso, 5). Egaste: Figura B.3 Etreo egastado co poto virtual e poto itero (Pedroso, 5) Deslocaeto (flecha) o egaste é zero: d Rotação o egaste é zero: d Apoio: Figura B. Etreo apoiado co poto virtual e poto itero (Pedroso, 5) Deslocaeto (flecha) o apoio é zero: d Moeto fletor o apoio é zero: d 36

157 37 Livre: Figura B.5 Etreo livre co potos virtuais e potos iteros (Pedroso, 5) Moeto a etreidade é zero: d d Cortate a etreidade é zero: d d Apesar dos esqueas represetados e das equações tere utilizados a viga coo eeplo, pode-se facilete etrapolar os resultados para o caso de placas. O iteresse está a orde da derivada, relação etre o poto virtual e o poto itero e valor do poto o cotoro, basta utilizar o que foi apresetado para ua borda e ecotrar-se-á o que é ecessário, claro que aplicado para e para cofore ecessário. Portato, se faz a substituição das derivadas pelas equações já apresetadas para difereças fiitas cetrais (equações (B.) a (B.5)) as equações pertietes para o cotoro da placa, hora para ua liha paralela ao eio, hora para ua paralela ao eio. Eeplo para o egaste tedo e vista as equações e (3.):,,,,,,,,,, b a b a (B.6)