FÍSICA MODERNA I AULA 20 - REVISÃO

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1 Uiversidde de São Pulo Istituto de Físic FÍSICA MODERNA I AULA 0 - REVISÃO Prof. Márci de Almeid Rizzutto Pelletro sl 114 rizzutto@if.us.br 1o. Semestre de 014 Moitor: Gbriel M. de Souz Stos Pági do curso: htt://discilis.sto.us.br/course/view.h?id=905 16/05/014

2 Postuldos do Modelo de Bohr A qutizção do mometo gulr orbitl do elétro imlic qutizção d eergi =1 estdo fudmetl meor eergi Hidrogêio (eergi de ioizção) E Níveis discretos de eergi Os elétros se movem em certs órbits sem irrdir eergi átomo só ode eistir em estdos estcioários com eergis qutizds, E, defiids Átomos irrdim qudo um elétro sofre um trsição de um estdo estcioário r outro. A frequêci d rdição emitid est relciods às eergis ds órbits: h E i E f 13,6 e - =4 =3 = =1 +Ze

3 Correção de mss O vlor d costte de Rydberg obtido or Bohr foi muito róimo do vlor eerimetl R m=m e =9, kg e M = m =1, kg mee c Pr hver o cordo etre os vlores há ecessidde de um eque correção N suosição de Bohr o úcleo estv imóvel (sigific que su mss er cosiderd ifii Ms relidde mbos, o elétro o úcleo orbitm em toro de seu cetro comum de mss, correção de mss, uso mss reduzid o lugr d mss do elétro: 4 3 mm m M L = m e vr = ħ eergi E e 4 m e

4 Eerimeto de Frk Hertz Frck e Hertz em 1914 relizrm um eerimeto que cofirmou hiótese de Bohr que os estdos de eergi iter de um átomo são qutizdos. Amol de vidro com gás bi ressão (gás de átomos r ivestigr). Ctodo quecido que roduz elétros. Elétros são celerdos or um otecil V e trídos el grde olrizd ositiv. Os elétros que ssm el grde só chegm lc P se tiverem eergi suficiete r vecer o otecil retrddor Vr. ev=e -E 1 = 4,9eV (gráfico mostr rimeiro ico). Se ev>=4,9ev, o elétro icidete oderá trsferir 4,9eV o elétro do gás (fzer o elétro ir r o estdo ecitdo), o eslhmeto é ielástico e o elétro erde tod su eergi e ão cosegue vecer o oteci Vr e correte ci.

5 Eerimeto de Frck Hertz O rimeiro estdo ecitdo do Hg (mercúrio) tem eergi 4,9 ev cim do estdo fudmetl hc 4,9 536A 53, 6m Eerimetlmete temos um lih esectrl do mercúrio com este comrimeto de od E Ecitções múltils cusds elo mesmo elétro 4,9=9,8V (metde do cmiho té grde) N cofigurção usul es s ecitções múltils r o rimeiro estdo ecitdo são observds, de modo que s queds de correte =3 cotecem cd 4,9V 4,9eV 6,7eV = =1

6 Hióteses de de Broglie A hiótese de de Broglie em su tese de doutordo de 194, er que o comortmeto dul (od-rtícul) d rdição eletromgétic oderi ser licdo mtéri Vimos que odemos ssocir um fóto um frequêci de um od lumios que gover seu movimeto E h E um mometo do fóto é relciodo o comrimeto de od h Etão segudo de Broglie se ods de luz tem rorieddes de rtículs, rtículs devem ter rorieddes de od. E roôs que mbs s relções cim são vlids tmbém r rtículs. Deste modo, o comrimeto de od (ão reltivístico) ssocido rtícul d emss m e velocidde v é: h h mv

7 Difrção de RX O equeo lrgmeto sofrido or um feie de rios X o ssr or um fed de lgus milésimos de milímetros de lrgur idicv que ~ m 0, 1m Brgg em 191 estudou difrção de rios X em váris fmílis de los rlelos de átomos As ods difrtds com o mesmo âgulo or átomos situdos em los diferetes estrão em fse (iterferêci costrutiv) se difereç etre os dois ercursos foi igul o um umero iteiro de comrimeto de od dse 7

8 Temos que : Difrção de elétros Elétro r este cso odemos ssocir um comrimeto de od (or eemlo r eergi ciétic de 100 ev) De Broglie h h hc 1,4keVm 10 1, 10 m 5 me mc E ( ev) Testes eerimetis d hiótese de de Broglie 197 Dvisso e Germer (USA) e G. Thomso (Escóci): Estudrm qutidde de elétros que erm eslhdos em um suerfície de Ni em fução do âgulo de eslhmeto Potecil fz com que os e - sejm emitidos com E (ev)

9 Difrção de elétros E e = 54 ev E eergi que tem correte máim o detector A eistêci deste ico em 50º mostr qulittivmete o ostuldo de de Broglie ois só ode ser elicdo com um iterferêci costrutiv de ods eslhds

10 d Difrção de elétros dse d cos Máimo gulo. deeslhmeto. d é distâci etre os los de Brgg est relciod distâci itertômic D trvés d relção: d Dse Dse cos Dse Dse Medids de difrção de RX revelrm que D=0,15m r o Ni. O comrimeto de od etão clculdo r =1 0,15se50 0, 165m

11 Ou usdo distâci Iterlr: Medids com rios-x d = 0,091 m Máimo em = 50 o = dcos/ = 0,0910,906 = 0,165 m Clculdo or De Broglie r elétros de 54eV e : h h hc 1,4keVm 5 mk mc E ( ev) G.P. Thomso Nobel em ,168m Difrção de feie de elétros Semelhtes eerimetos com feies de rótos, êutros e mesmo átomos resetm o mesmo feômeo de difrção mostrdo que s relções de de Broglie são uiversis. O i G. Thomso ghou o Nobel or ter descoberto e - e ter crcterizdo-o como rtícul. E o filho ghou o Nobel or mostrr que o e - é um od

12 Cso reltivístico Pr se determir um eressão equivlete que se lique tto s rtículs reltivístics como ão-reltivístics: E E E 0 mc E0 c mc E K 1 Eergi de reouso d rtícul E Eergi totl 0 EK c E0 h hc E E 1/ K E 0 K E E 0 K c E K 1/ Alicável qulquer rtícul com qulquer eergi

13 Regrs de qutizção de Wilso e Sommerfeld Em 1916, Wilso e Sommerfeld eucirm um cojuto de regr de qutizção: Pr qulquer sistem físico o qul s coordeds são fuções eriódic do temo eiste um codição quâtic r cd coorded dq q é um coorded, q é o mometo ssocido est coorded e, q é o úmero quâtico que tom es vlores iteiros. P q q h 13 sigific que itegrção é tomd sobre um eríodo d coorded q. Eemlo: No cso do átomo de H o elétro se movedo em um órbit de rio r tem mometo gulr costte L=mvr. A coorded é um fução eriódic do temo (0 ) L Ld 0 d L h h h L

14 Regrs de qutizção de Wilso e Sommerfeld Um iterretção físic d regr de qutizção de Bohr foi dd em 194 or de Broglie L r mvr h Mometo do elétro em um órbit ossível de rio r, h h r r h As órbits ossíveis são quels s quis s circuferêcis odem coter etmete um úmero iteiro de comrimetos de od de de Broglie Sommerfield trblhou com órbits elítics r o átomo de H e tmbém levou em cot s correções reltivístics r eergi do elétro. Usou isto como tettiv de elicr estrutur fi do hidrogêio (Estrutur fi é um serção ds lihs esectris em váris comoetes diferetes). 14

15 Órbits elítics de Sommerfeld 15 Número quâtico zimutl Usou coordeds olres Ld P dr r r h h b As váris órbits crcterizds or um mesmo vlor de são dits degeerds 1) A rimeir codição dá mesm restrição r o mometo gulr orbitl L 1,,3... Que er obtid r teori d órbit circulr ) A segud codição (que ão er licável órbit urmete circulr) L( / b 1) r r 0,1,,3... Que er obtid r teori d órbit circulr

16 Órbits elítics de Sommerfeld Sommerfeld clculou os vlores dos semi-eios mior () e meor (b) que dão form e o tmho ds órbits elítics e eergi totl E do elétro ess órbit b E 4o Ze 1 4 o Z e 4 16 é mss reduzid é o úmero quâtico: 1,,3... r 0,1,,3... 1,,3... r As eergi são degeerds =1 =3, =3 =3, = =3, =1 =, = =, =1 E E E E E 3 E 1 E E 4 =1, =1

17 Órbits elítics de Sommerfeld trtds reltivisticmete O tmho rel d correção deede d velocidde médi do elétro que or su vez deede d ecetricidde d órbit, correções d ordem de v /c, er rovável que mior correção fosse órbit muito ecêtric, orque v umet à medid que o elétro se roim do úcleo v ( mr mr 4o r1 0 me v mr mke 1 m( ) 1) ke mke As lihs trcejds ão form observds os esectros e ests trsições ão ocorrem (regrs de seleção): 1 v c i ke c f k Z e Z 1 3 E 1 ( ) 4o 4 é chmd de costte de estrutur fi 1,44evm. 197,3evm. =3, =3 =3, = =3, =1 =, = =, =1 =1, =1 ke c 1 137

18 (, 1 Suerosição de dus Ods mlitude (eveloe) Acos k k tcosk t k t k t k v t velocidde de gruo Em cotrste com o ulso combição de ods ão é loclizd o esço 16/05/014 FNC Fisic V 18 1 Podemos iterretr od som como sedo um eveloe que modul letmete um od com k e w médios é lrgur do evoltório e é iversmete roorciol o úmero de od A velocidde de rogção ds ods idividuis v f =w/k g A velocidde de rogção do gruo (que é velocidde do evoltório) v g d dk

19 Ods hrmôics que comõem um cote de ods. A velocidde é dd or: 19 v f f Velocidde de fse dk dv k v kv dk d dk d v f f f g ) ( k f k v k v k v f f f. A velocidde de gruo est relciod velocidde de fse or: A velocidde v g ode ser > ou < que v f

20 Pr o ostuldo de de Broglie 0 E h h k E m v f v g k d dk E d d m k m A velocidde de fse ão corresode velocidde d rtícul de d O cote de od se rog com velocidde do elétro v m v

21 O ricíio d icertez 1 Pricíio de icertez de Heiseberg, diz: que é imossível determir (fzer medids) simultemete d osição e mometo de um rtícul) ( e, or eemlo) resetm um relção etre sus icertezs dd or 1 k k h Quto mis bem defiid osição de um rtícul (cote de od mis estreito), meos defiido será o mometo dess rtícul (um combição mior de comrimetos de od, e ortto de mometos será ecessário) O ricíio de icertez tmbém ode ser eucido em termos d eergi e do temo: Ds rorieddes do cote de od, tem-se que: E h h. t E. t 1

22 Probbilidde Em M Bor roôs como relcior (fução de od) com o comortmeto ds rtículs que el descreve: A robbilidde que rtícul sej ecotrd o istte t em um coorded etre e +d é : P( ) d P( ) d (, * d (, (, d ão é um qutidde mesurável, ms o seu módulo o qudrdo é mesurável e é justmete robbilidde or uidde de comrimeto ou desidde de robbilidde P() r ecotrr rtícul o oto o temo t.

23 Já que rtícul deve ser ecotrd em lgum lugr o logo do eio, som ds robbilidde sobre todos os vlores de deve ser 1. (, d 1 3 Qulquer fução que stisfz est equção é dit ormlizd A robbilidde de um rtícul estr o itervlo =<<=b est relciodo áre embio d curv de té b de um fução desidde de robbilidde (, P b (, d b o áre embio d curv etre e b

24 OBSERVÁVEIS: ão é um qutidde mesurável MAS como odemos relcior fução de od com grdezs observáveis???? COMO odemos obter osição, o mometo ou eergi de um rtícul rtir d fução de od (de meir et o mudo quâtico)????? VALORES ESPERADOS: USANDO iterretção robbilístic de Bohr, odemos obter es os vlores médios ou vlores eserdos ds grdezs P(, d * 4 (, (, d

25 5 OPERADORES OBSERVÁVEIS RESUMIDAMENTE 1- o cso d osição o oerdor é o rório vlor d osição: ˆ * ˆ - o cso do mometo, oerdor é ddo or: i (, i 3 - o cso d eergi, oerdor é ddo or: E E Eˆ * i t (, i t (, d (, d

26 OBSERVÁVEIS - VALOR ESPERADO Temos etão que o vlor eserdo de qulquer grdez que deede d osição, do mometo, d eergi ode ser determido trvés de: 6 f (,, E) * (, fˆ, i, i t (, d O vlor médio de um grdez em mecâic quâtic é ormlmete chmdo de vlor eserdo, que é o vlor que se eser obter de um medid dquel grdez. Observe que ão esermos ecessrimete que o vlor de um medid que teh um lt robbilidde sej igul o vlor eserdo.

27 7 Elétro em um ci Podemos ssocir robbilidde de loclizr rtícul em um estdo com meor eergi usdo um fução de od r o elétro (ssocir o elétro um od cosseoidl) Fução de od 1,,3..., cos ) ( A A robbilidde que rtícul sej ecotrd em um oto coorded etre / e / é : d P d P ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( * A cos ) ( / / cos ) ( d A P Od fi s ot serd or um distâci, terá / comrimetos de od:

28 Elétro em um ci ( ) A cos, 1,,3... = 1 = / (m) / -/ / (m) = 15 = / / (m) -/ / (m)

29 9 Qulquer fução que stisfz est equção é dit ormlizd 1 ) ( d Mudç de vriável No osso cso: 1 cos ) ( / / d A P Já que rtícul deve ser ecotrd em lgum lugr o logo do eio, som ds robbilidde sobre todos os vlores de deve ser 1. 1 cos ) ( / / d A P (m) = 1 d d A A 1 -/ / Costte de ormlizção

30 Qul o vlor médio do mometo r fução de od do estdo fudmetl d rtícul detro dest ci: / / = 1 P(, d / / / / cos 30 ( ) Acos, 1,,3... * (, (, d d (m) -/ / Fução ímr Fução r Como itegrl é sobre um vlor ímr em um região simétric itegrl é ul 0 O vlor médio d osição do elétro ci o estdo =1 é em =0 O vlor mis rovável de, é ddo elo vlor de ode P() é máim: m L

31 Elétro em um ci ( ) A cos, 1,,3... = A / / cos d / (m) / Fução ímr Como itegrl é sobre um vlor ímr em um região simétric itegrl é ul 0 Fução r O vlor médio d osição do elétro ci o estdo = é em =0 Observe que ão esermos ecessrimete que o vlor de um medid que teh um lt robbilidde sej igul o vlor eserdo. m 4 e 4

32 3 Qul o vlor médio do mometo o qudrdo d osição d rtícul detro dest ci:... 1,,3, cos ) ( A d / / i ˆ Sbemos que: i i i i ˆ vle 1 O mometo médio qudrático: Que é um medid ds flutuções em toro d médi, ois rtícul ode ser ecotrd com mometo me ou me

33 Eercício: Um rtícul detro d ci De tmho L = (m) 0 L A desidde de robbilidde é ddo or: L L 33 ( ) se,0 L, L L P( ) ( ) Qul robbilidde de ecotrr rtícul em um equeo itervlo ete e +X P(0.50L se P(0.75L se L 3 0,01L L) 0,01L 0.76L) P( etre. e ) ( ) % (0.50L) %