CÁLCULO I 2 o Semestre de 2012 Prof. Maurício Fabbri DIFERENCIABILIDADE

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1 CÁLCULO I o Smsr d Prof. Mauríio Fabbri a Séri d Eríios : Difrniabilidad; énias rgras d drivação; apliaçõs DIFERENCIABILIDADE f() é difrniávl no pono quando is ( ). f (o gráfio d f admi uma angn no pono ) NOTE qu a difrniabilidad implia m oninuidad, mas o onrário não é vrdadiro. f () Na figura ao lado, f() é difrniávl m odos os ponos, o. f() é onínua m, mas não é difrniávl nss pono. f() não é onínua m, muio mnos difrniávl nss pono. LINEARIDADE S f() a.h() + b.g(), ond a b são onsans (não dpndm d ), não f () a.h () + b.g (). Na noação d difrniais, rmos df d dh dg a + b. d d REGRA DO PRODUTO S f() g().h(), não df d dg dh h() + g(). d d Esa rgra é mais failmn lmbrada na forma ( uv) u v + uv A dmonsração é omo sgu: f ( + ) f () g( + )h( + ) g()h() f () lim lim g( + )h( + ) g()h( + ) + g()h( + ) g()h() f () lim g( + ) g() h( + ) h() f () lim h( + ) + lim g() dg d h() + dh d g() NOTE qu a aa d variação d um produo não é igual ao produo das aas d variação!!! MFabbri

2 REGRA DO QUOCIENTE Dmonsra-s ambém qu, s u() u u v uv f (), não f (). v() v v Eríio : A drivada d u() é u (). A drivada d v () é v (). Esrva a drivada das funçõs abaio, uilizando as rgras já visas aima: 4 (a) f () (b) g() ( + 8) () h() + Eríio : O lado A d um rângulo md m d omprimno sá aumnando à aa d 4m/s; o ouro lado dss msmo rângulo (lado B) md m d omprimno sá aumnando à aa d m/s. (a) Calul a aa d aumno do prímro dss rângulo. (b) Calul a aa d aumno da ára dss rângulo. () Qual a aa d aumno da ára no insan iniial? Qual srá a ára ral após um sgundo? Epliqu a difrnça. (d) Calul a aa d variação da razão d aspo A r dss rângulo. B () Esrva a fórmula qu dá o omprimno d ada sgmno m função do mpo. (f) Rsolva novamn os ins (a), (b) (d) uilizando ssas fórmulas. (g) Calul a aa d aumno da hiponusa d um riângulo rângulo d aos A B. Qual a aa d aumno dssa hiponusa no insan iniial? (rsposa om signifiaivos) A DERIVADA DE n S f() n df d n n (válido para odo n R). CASOS PARTICULARES IMPORTANTES: f() K f () f() a+b f () a f() a +b+ f () a + b f () f () f () f () (K, a, b sndo onsans, indpndns d ) Eríio : Esrva a fórmula da drivada das funçõs: (a) f() (b) f() + () f() 4 + (d) 6 f () () f () (f) f () MFabbri

3 Eríio 4: Um objo s mov sobr uma linha ra, d modo qu a sua posição m função do mpo é dada por: s() 4 + s m m sgundos mros (a) Qual sua posição nos insans s, s, min, min mins? s (b) Calul a vloidad média nr os insans: 6s; 6s s; s; s 4s ds () Esrva a fórmula para a vloidad insanâna v () m função do mpo. d (d) Calul a vloidad insanâna nos insans, s, min, min mins. dv () Esrva fórmula para a alração a () m função do mpo. d (f) Qual a posição do orpo quando sua vloidad for d m/s? Eríio : Rpia o ríio anrior quando 7 s() s m m sgundos mros Eríio 6: Esbo o gráfio d ada uma das funçõs abaio, marando a posição das raízs as oordnadas dos ponos d máimo mínimo loais: (a) f() (+)(). (b) f() (+)(+4) () f() ()() +6. A REGRA DA CADEIA (drivação omposa) S f() u[v()], não df du dv d dv d (supondo qu odas as funçõs nvolvidas são difrniávis nos ponos qu inrssam) Eríio 7: Esrva a fórmula da drivada d ada função abaio: 4 + (a) f () ( ) (b) f () (7 ) ( ) () f () 4 + (d) f () 7 ( ) /8 Eríio 8: O raio d um balão sfério, qu sá sndo inflado, é dado por r(), ond sá m sgundos r m nímros. Qual a aa d aumno do volum om o mpo, m liros por minuo, (a) No insan iniial? (b) Após minuo? () Após muio mpo? (rsposas om signifiaivos) Eríio 9: (dsmaamno) S a ára d uma rgião irular aumna km por ano, qual a aa mnsal d aumno no prímro, quando o raio aingir km? (rsposa om signifiaivos, m mros por mês) MFabbri

4 O NÚMERO, lim + n n n !! 4! é o "númro d Npr", ou a "bas dos logarimos naurais ou nprianos" é um númro ransndnal (não é raiz d nnhum polinômio om ofiins raionais) (um ouro númro ransndnal onhido é o π) Eríio : Obnha om a aluladora os númros sguins, prssando o rsulado om quaro signifiaivos: (a) (b) () (d) () (f) (g) /4 (h) /4 (i) (j) (k) (l) (m) / A FUNÇÃO EXPONENCIAL -4 - f() m as sguins propridads imporans: f() - é smpr rsn - f() > para odo - f() - lim - lim + - f() "rs mais rápido" qu qualqur poênia d, para sufiinmn grand: lim, para qualqur n. + n - A função é a únia uja drivada é la msma (a aa d variação d é!!!) : f() m as sguins propridads imporans: d d f() é smpr drsn - f() > para odo - f() - lim + - lim - "é apaz d maar" qualqur poênia d, para sufiinmn grand: n lim, para qualqur n. + d d MFabbri 4

5 Eríio : Esrva ada uma das sguins funçõs omo uma únia ponnial: (a) f(). (b) g(). / / () h () (d) m() f() n -,4 A figura ao lado mosra omo a ponnial drsn "maa" o rsimno d n, para n,. Eríio : Uiliz a drivada d f() n para drminar prisamn a loalização d ada um dos ponos d máimo nos gráfios ao lado.,,,8,6,4, n n n, A drivada d f() α é α. (α sndo um parâmro qu não dpnd d ) f () α A FUNÇÃO EXPONENCIAL - forma gral τ Uma função ponnial drsn é omumn sria omo f() A, ond a onsan posiiva τ é hamada d onsan d mpo. A é o valor iniial da ponnial (m ). Um riério práio muio uilizado é qu a ponnial "morr" após rês onsans d mpo, ou sja, para > τ. Confira na aluladora a abla abaio: T τ τ τ 4τ τ 6τ 7τ 8τ 9τ τ / τ,68,,497,8,674,48,9,, < -4 Uma ponnial drsn pod prssar um "ransin", iso é, uma grandza qu varia om o mpo a parir d um valor iniial nd a um valor d "rgim", ou d "quilíbrio". S I é o valor iniial, F é o valor final τ é a onsan d mpo, um rgim ransin ponnial pod sr srio omo: f () F + (I F) No qu f()i, f( )F o mpo qu o ransin dura é da ordm d τ. τ Emplos: f() f() τ τ Eríio : (a) Esrva a fórmula d ada um dos dois ransins ilusrados na figura aima. (b) Calul a aa d variação iniial d f() para ada um dos dois ransins ilusrados na figura aima. MFabbri

6 Eríio 4: Um opo d água é rirado da gladira a o C, squna gradualmn aé hgar à mpraura ambin, d aordo om: m minuos T() 8 o T m C (a) Esbo o gráfio T vrsus. (b) Qual o valor da mpraura ambin? () Qual a aa d aquimno, m o C/min, no insan iniial? após vin sgundos? após dois minuos? quando a mpraura da água for 6 o C? Eríio : Um opo d água, rirado do miroondas, sfria gradualmn aé hgar à mpraura ambin, d aordo om: m minuos / 4 T() + 6 o T m C (a) Esbo o gráfio T vrsus. (b) Qual o valor da mpraura iniial? Da mpraura ambin? () Qual a aa d rsfriamno, m o C/min, no insan iniial? após dois minuos? após dz minuos? quando a mpraura da água for d o C? (d) Após quano mpo a mpraura hgará a, o C? () Em qu insan a aa d rsfriamno é d, o C por sgundo? A FUNÇÃO LOG DEFINIÇÃO : Sndo a > a b, não b log a NOTE QUE > smpr. Na ausênia d qualqur oura indiação, log india log ln india log. Eríio 6: Obnha om a aluladora os númros sguins, prssando o rsulado om quaro signifiaivos: (a) log() (b) ln() () *ln() (d) ln( ) () ln( 8) (f) ln()+ln(8) (g) ln(/7) (h) ln()ln(7) (i) log( ) (j) log() Os rsulados aima ilusram as propridads mais onhidas dos logarimos. Em qualqur bas, log(a b) log(a)+log(b) ; log(a/b) log(a) log(b) ; log( n ) n.log() Mudança d bas : loga b log b log a Eríio 7: Uiliz sua aluladora para nonrar um númro al qu (rsposas om rês signifiaivos): (a) (b) π () (d) () É inrssan úil noar qu A log A. Eríio 8: Enonr o valor d m ada uma das quaçõs abaio (rsposas om rês signifiaivos): (a) (b) () (d) 7 / 4 MFabbri 6

7 Taas d variação: A drivada d f() ln() é f (). d Em gral, rmos loga. d lna Eríio 9: Esrva a fórmula da drivada das funçõs: (a) f() ln() (b) f() + ln() () f(). ln() (d) f() ln() ln() () f () (f) f() ln() Eríio : Um objo s mov sobr uma linha ra, d modo qu a sua posição m função do mpo é dada por: s() / m minuos s m mros (a) Qual sua posição nos insans s, s, min, min mins? ds (b) Esrva a fórmula para a vloidad insanâna v () m função do mpo. d () Calul a vloidad insanâna nos insans s, s, min, min mins. dv (d) Esrva fórmula para a alração a () m função do mpo. d () Calul a alração nos insans s, s, min, min mins. (f) Qual a posição do orpo quando sua vloidad for d m/s? (odas as rsposas om rês signifiaivos) Eríio : A mia-vida d um marial radioaivo é o mpo nssário para qu mad dos áomos d uma amosra sofra daimno. Para uma amosra d Polônio, o númro d áomos radioaivos / rmansns após dias é dado por N, ond N é a quanidad iniial d áomos radioaivos na amosra. (a) Qual a mia-vida do Polônio? (b) Quano mpo sria nssário para qu rsass apnas % dos áomos radioaivos da quanidad iniial na amosra? Eríio : A mia-vida do Carbono 4 é d 7 anos. Em uma amosra d madira fossilizada, onsaous a prsnça d apnas % do C 4 nonrado numa árvor viva. Esim a idad da amosra. α RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO a b sn α a s α os α b os α a os α sn α ÂNGULOS COMUNS an α b graus radianos sno osno angn o o π/6 / / / 4 o π/4 / / 6 o π/ / / 9 o π/ sn α an α os α o an α an α MFabbri 7

8 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS sn α + os α sn(α) sn(α)os(α) os(α) os (α) sn (α) an( α) an( α ) an ( α) sn(a+b) snaosb + snbosa os(a+b) osaosb snasnb RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS A b a C A B + C.B.C.os(a) A sn(a) B C sn(b) sn() (li dos ossnos) (li dos snos) B S A.B.sn() (álulo da ára) CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS α y z y sn(α) os(α) z an(α) sn(α) sn(α) os(α) os(α) an(α) an(α) PROPRIEDADES sn(α±π) sn(α) os(α±π) -os(α) sn(α) os(α9 o ) an(α±π) an(α) FORMA GERAL A f () f() Aos(ω + φ) A ampliud ω frqunia angular φ fas T π ω T MFabbri 8

9 d sn() d DERIVADAS d os() os() sn() d an() s () d d OBS.: Dv-s uilizar a unidad naural d ângulo (radianos) para alular o valor das drivadas A UNIDADE NATURAL DE ÂNGULOS R α L A mdida do ângulo α é dfinida omo a razão nr o omprimno do aro subnndido plo ângulo o raio d uma irunfrênia om véri no ângulo: omprimno do aro α raio L R Cosumamos hamar ssa razão d radiano, mas na vrdad é um númro puro. π rd 6 o As funçõs rigonomérias simpls sn() os() m ampliud príodo π. Eríio : Esrva a fórmula da drivada das funçõs sguins: sn() (a) f () sn(8 4) f () f (z) z / o (b) f()..os() () (d) os(πz + 4 ) () f() 7sn 8 () Eríio 4: Calular a aa d aumno d a om o ângulo α, manndo a disânia onsan. Para m, qual a snsibilidad d a om α quando am, m nímros por grau? O " a Eríio : Calul a aa d variação do lado a om o ângulo α, s b da prmanrm onsans. Para m b4m, qual o valor d, dα m m/grau, no insan m qu am? Uiliz a li dos ossnos, a b +.b..os(α). (rsposa om signifiaivos) O " b a Eríio 6: Um pêndulo osila m orno da posição d quilíbrio d aordo om () sn(π), ond é dados m sgundos m nímros. Com qu vloidad, m km/h, l passa pla posição d quilíbrio ()? Eríio 7: Drmin A φ d modo qu: (a) sn() + 4os() Aos(+φ) (b) os(π+ o ) + 4os(π4 o ) Aos(π+φ) () sn(π+4 o ) sn(π+7 o ) Aos(π+φ) (A dv sr posiivo spifiado om rês signifiaivos, o ângulo φ m graus minuos) MFabbri 9

10 Eríio 8: Esrva a fórmula das funçõs snoidais abaio na forma gral f() Aos(ω + φ). A ampliud dv sr posiiva spifiada om rês signifiaivos, a fas m graus minuos; di a frqüênia angular sria pliiamn m rmos d π. f () f () (a) 8 (b) -8,, () f () MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS Muios problmas simpls d oimização podm sr rsolvidos lmbrando qu, m um máimo ou mínimo loal, a drivada d uma função difrniávl val zro. Um pono ond f () é hamado d pono ríio da função f(). Em gral, basa uma simpls inspção para sabr s um pono ríio é máimo loal, mínimo loal ou pono d inflão. Quando nssário, a naurza d um pono ríio pod sr drminada omo sgu: n n+ S é um pono ríio d f(), s ( ) mas ( ), não f f n+ - s n é ímpar mos um máimo ou mínimo loal; mínimo s f () > - s n é par mos um pono d inflão n + máimo s ( ) < f Eríio 9: Mosr qu, para s fabriar uma lainha fina ilíndria (fhada nas duas ampas) uilizando a mnor quanidad possívl d hapa mália, a alura dv sr igual ao diâmro. Quais as dimnsõs d uma lainha d ml fabriada d aordo om ssa razão d aspo? Eríio : A onnração d um polun na amosfra, aima d uma ra idad, é dada por C(h) h h / h m C m mros ppm Em qu alura h a onnração do polun é máima? Qual o valor dssa onnração máima? (rsposas om signifiaivos) MFabbri

11 Eríio : A onnração d Arsênio ao longo d uma barra mália d m d omprimno é dada por: - + R (m) P( l) l+ 4 + A B l l m m P m ppm (a) Obnha A B d modo qu a onnração mínima oorra no mio da barra sja d ppm. (b) Nssas ondiçõs, qual srá a onnração d Arsênio m ada uma das rmidads da barra? (rsposas om 4 signifiaivos) Eríio : Em uma barra mália smlhan à do ríio anrior, os valors d A B são A, B,8. (a) Em qual posição da barra a onnração d As é mínima? (b) Qual o valor dssa onnração mínima? () Qual a onnração d As nos rmos da barra? (rsposas om signifiaivos) LIMITES FUNDAMENTAIS Alguns limis imporans podm sr alulados apnas por inspção ou fuando uma faoração simpls. Eríio : Drmin os limis abaio: (a) lim + + (f) lim + + (b) lim () (g) lim (h) lim + + lim (d) lim + sn() () lim (i) lim (j) lim (k) lim + Cros limis podm sr obidos pla rgra d L Hôpial (qu foi, na vrdad, obida por J.Brnoulli m 694): S f() g() são difrniávis m um inrvalo abro (a,b) onndo, s f/g m a forma indrminada / ou / m, não, onano qu sss limis isam. f () lim g() f () lim g () Eríio 4: Drmin os limis abaio: (a) () sn() lim lim (b) (f) os() os() lim () lim (d) lim os() + + lim (g) lim os() Mauríio Fabbri MCT/INPE: hp:// Univrsidad São Franiso USF Iaiba/Campinas hp:// São Paulo - Brazil Prmiido uso livr para fins duaionais, sm ônus, dsd qu sja iada a fon. MFabbri

12 RESPOSTAS Eríio : (a) f () 6 + (b) g () ( + ) + ( + + 8) () h () ( + ) Eríio : (a) 4 m/s (b) 8m /s () S () 8m /s ; S() 79m ; S() 6 m ; variação d 9 m a difrnça d m foi dvido ao uso do valor da aa no insan. Em ouras palavras, a aa média d variação foi d 9m /s, nquano qu a aa no inan é d 8m /s. A + 4 (d),667 por sgundo () B + A B m m m sgundos (f) 7 + (g) h () ; h () 4,7m/s A + B Eríio : (a) (b) () f () f () f () 8 + (d) f () () (f) f () 6 4 f () 6 + Eríio 4: (a) m;,7m; m; m;,7m (b),m/s ;,67m/s; ;,8m/s S () () v() S m m / s m s r () m sgundos v m m/s (d),m/s;,m/s; ;,m/s;,667m/s () a m / s (f) 4m Eríio : (a) 4,7m; 9,7m; 4,7m; 46,m; 66,m (b) ; 6,m/s;,7m/s;,m/s () v() (d),7m/s;,m/s;,7m/s;,m/s;,7m/s () a m / s (f) 84m 8 Eríio 6: (a) (b) (),, (-,869 ; 6,6) ( + ) m s r m s - m sgundos v m m/s (,8 ;,8), (-,77 ;,8), 4 -, -, -,,,, -, (,77 ; -,8) -, -, -, (-,46 ; -,879) (,47 ; -,8) 4 Eríio 7: (a) f 4( ) () ( ) (b) f () ( 7)(7 ) ( ) () f () (d) f () 4 + ( ) Eríio 8: (a), liros/minuo (b) 6, l/min () Eríio 9: mros por mês Eríio : (a),78 (b),679 () 7,89 (d), (),9 (f),4979 (g),84 (h),7788 (i), (j) 4,8 8 (k),6-9 (l) 4, (m),76 Eríio : (a) f() (b) g() / () h() - (d) m() 7/ Eríio : f() n m máimo m n, om valor f(n) n n n. m máimo m ( ;,7); m máimo m ( ;,4); m máimo m ( ;,4) Eríio : (a) f() + f() / (b) Eríio 4: Eríio : T [o C] 8 6 [min] (b) T ambin T( ) 8 o C () T () o C/min T (s) 6, o C/min T (min), o C/min T 8-T o C/min 9 T [ O C] 8 Eríio 6: (a), (b),69 (),97 (d),97 (),689 (f),689 (g),9 (h),9 (i), (j), Eríio 7: (a), (b),6 (),8 (d),96 (),44 Eríio 8: (a),98 (b),98 (),897 (d),866 Eríio 9: (a) f () / (b) f () 4 + / () f () 6 + / (d) f () + ln() () f () { ln()}/ (f) f () +.ln() / m minuos Eríio : (a) m ;,97m ; 7,7m ; 8,m ; 9,m (b) v() (), ;,8 ;,46 ;,46 ;, (m/min) v m m/min m minuos / (d) a() () -,6 ; -,6 ; -,49 ; -,8 ; -,79 (m/min ) (f) m a m m/min Eríio : (a) 4 dias (b) anos 6 mss Eríio : aproimadamn quinz mil snos anos. os() sn() Eríio : (a) f () 4os(8-4) (b) f () os() - 6..sn() () f () z / o o 7 (d) f (z) [os(πz + 4 ) + πsn(πz + 4 )] () f () 68 os()sn () Eríio 4: 4, m/grau Eríio : 6,6m/grau Eríio 6: 4,km/h MFabbri [min] (b) T iniial T() 8 o C T ambin T( ) o C () T () -, o C/min T (min) -9,4 o C/min T (min) -, o C/min T 4T ; T o C T -, o C/min (d) T, o C min7s () T, o C/s min48s

13 Eríio 7: (a) A φ 6 o ; (b) A,6 φ o 7 ; () A 7,98 φ 7 o 49 ; Eríio 8: (a) f() os(π 66º ) (b) f() os(π + 4º8 ) () π o f () os + 66 Eríio 9: 7,64m d diâmro 7,64m d alura Eríio : m; 9ppm Eríio : (a) A,76 B,78 (b),9ppm 4,ppm Eríio : (a),m (b),9ppm () ppm ppm Eríio : (a) (b), () (d) () (f) (g) (h) / (i) (j) (k) Eríio 4: (a) (b) () (d) () (f), (g) 8/9 Mauríio Fabbri MCT/INPE: hp:// Univrsidad São Franiso USF Iaiba/Campinas hp:// São Paulo - Brazil Prmiido uso livr para fins duaionais, sm ônus, dsd qu sja iada a fon. MFabbri