Análise no Domínio do Tempo de Sistemas Contínuos

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1 ES 43 Sinais Sismas Anális no omínio do Tmpo d Sismas Conínuos Prof. Aluizio Fauso Ribiro Araújo po. of Sismas d Compuação Cnro d Informáia - UFPE Capíulo Sinais Sismas Eng. da Compuação

2 Conúdo Inrodução Rsposa d Enrada Zro Rsposa ao Impulso Uniário Rsposa d Esado Zro Solução Clássia d Equaçõs ifrniais Esabilidad d Sismas Parâmros Comporamno do Sisma Sinais Sismas Eng. da Compuação -

3 -3 Sinais Sismas Eng. da Compuação Anális no Tmpo d SLCT i Inrodução Srão onsidrados sismas difrniais linars para anális. Srão raados sismas linars invarians onínuos no mpo LTIC, dsrios por: d polinômio : m rmos ou, : rsrvr om o uso d são onsans.pod -s ond P Q b b b b a a a b a b d d b d d b d d b a d d a d d a d d M M M M i i M M M M M M

4 Anális no Tmpo d SLCT ii Inrodução Valors d M, onudo não dv oorrr M> pois: Rsposa A prssão anrior auaria omo difrniador função d ransfrênia d ordm M-. Iso podria lvar o sisma a insabilidad BIBO pois a drivada d uma nrada dgrau uniário srá ilimiada função impulso uniário. Em gral, um sinal d ruído é rápido, grando valors alos d drivadas. Logo o difrniador aumna su fio. Romnda Esa Como hipós o sisma oal -s, porano, uilizar : srá assumida dfinido é linar, sua Rsposa daqui M. para frn. rsposa oal é dada d Enrada Zro Rsposa por d Esado Zro : Sinais Sismas Eng. da Compuação -4

5 -5 Sinais Sismas Eng. da Compuação Rsposa d Enrada Zro i Rsposa para Condiçõs Inrnas do Sisma Es omponn é a rsposa do sisma para nrada nula. qu não m -s, por hipós Como, : forma a o polinômio assum forma, sa : ponnial proridadd função é uma Esa forma. msma são da drivadas ism odas ombinação linar rsular m zro, Para a Q a a a Q a a a Q Q a a a

6 -6 Sinais Sismas Eng. da Compuação Rsposa d Enrada Zro ii Rsposa para Condiçõs Inrnas do Sisma Para raízs disinas: Q Q Q Q Q Q Q por : é dada a solução gral Assim, ] [ m -s : é linar, o sisma Como : o polinômio individualmn Cada solução saisfaz arbirárias são onsans,,,, ond,,,, : por dados, para soluçõs possívis Tm -s

7 Rsposa d Enrada Zro iii Rsposa para Condiçõs Inrnas do Sisma Para raízs disinas: O polinômio Q é rlaionado om as ararísias do sisma. Assim, hama -s Q d polinômio ararísio do sisma Q d quação ararísia do sisma. As raízs dsa quação são hamadas d raízs ararísias, valors ararísios, frqüênias naurais auovalors.? As ponniais i,i,,, no sisma d nrada zro são hamadas d modos ararísios, modos naurais ou modos. Ess influniam na rsposa ompla. A rsposa d nrada zro é uma ombinação linar dos modos ararísios do sisma. Sinais Sismas Eng. da Compuação -7

8 -8 Sinais Sismas Eng. da Compuação Rsposa d Enrada Zro iv Rsposa para Condiçõs Inrnas do Sisma Para raízs rpidas:. solução :,,,,,, ararísios : modos m os om o polinômio ararísio : um sisma Assim para. por : a solução é dada Assim,,,,, ararísios : modos m os, quação difrnal a modo análogo, por subsiuiç ão dira provada, om solução, quação Sja a r r r r r r r r r r r r Q Q

9 -9 Sinais Sismas Eng. da Compuação Rsposa d Enrada Zro v Rsposa para Condiçõs Inrnas do Sisma Para raízs omplas: O prodimno é o msmo qu aqul para raízs rais. sa aso r-s-á modos ararísios omplos forma d solução ompla. Pod-s opar por não s rabalhar om a forma ompla:? a j j j j j j j j j j β θ β θ β α β α θ β α θ θ θ β α β α os : iso rsula, : são onjugados é rals rsposa ral, a um sisma Para, pars : oorrm aos omplas Raízs

10 Rsposa d Enrada Zro vi Rsposa para Condiçõs Inrnas do Sisma Emplo Calul a rsposa d nrada zro para a quação: 3, para, & 5. A quação ararísia Para o qual os modos ararísios são : & & A rsposa as 5 Sinais Sismas Eng. da Compuação raízs ararísias são d nrada. Para ahar as onsans, alula -s : do sisma, sgu zro é, -s a solução do sisma é 5 3, a solução dada 5. 5, ; por 5, : d quaçõs - 5. :

11 Rsposa d Enrada Zro vii Rsposa para Condiçõs Inrnas do Sisma Emplo: Calul a rsposa d nrada zro para a quação: , para 3, & 7. A quação ararísia Para o qual os modos ararísios são : & & A rsposa as Sinais Sismas Eng. da Compuação raízs ararísias são 3 3 d nrada. Para ahar as onsans, alula - s :.. 3 do sisma 3 zro é , é 6 a solução dada, a solução do sisma , 9 3., 3; por 7 : d quaçõs. - é :

12 Rsposa d Enrada Zro viii Rsposa para Condiçõs Inrnas do Sisma As Emplo: Calul a rsposa d nrada zro para a quação: 4 4 A quação ararísia raízs ararísias são os modos ararísios : & & os 6 os os?, do sisma? j6?. Paraahar as? 6, os? osθ 6sn? para é j6, j 6, & 4? 4.A solução, na osθ 5 snθ j6; forma onsans, alula -s : sn 6?, a solução é dada por : é : 3,463 Sinais Sismas Eng. da Compuação -

13 Rsposa d Enrada Zro i Rsposa para Condiçõs Inrnas do Sisma Calulando as onsans: os? sn? os? ; sn? Somando - s as os? sn? Aha θ an A rsposa - s oângulo Sinais Sismas Eng. da Compuação, 3, 463 duas 3,463 d nrada lvando ambos quaçõs d fas π 3 : zro é os m -s : 3,463 3,463 4 rmos os 6 ao quadrado 6 π

14 Rsposa d Enrada Zro Rsposa para Condiçõs Inrnas do Sisma Condiçõs Iniiais na Práia Em problmas rais, as ondiçõs iniiais dvm sr gradas a parir das siuaçõs físias. As ondiçõs iniiais imdiaamn anriors a, m gral, são difrns das ondiçõs iniiais imdiaamn após a apliação da nrada. oaçõs : Imdiaamn ans da apliação da nrada, m-s a rsposa d nrada zro. Sinais Sismas Eng. da Compuação -4

15 Rsposa d Enrada Zro i Rsposa para Condiçõs Inrnas do Sisma Indpndênia das Rsposa d Enrada Zro Esado Zro: Ess dois omponns do sisma são muuamn indpndns. Iso é, as duas rsposas oism sm havr inrfrênia d uma sobr a oura. Condiçõs Auiliars para Solução d Equaçõs ifrniais: Em gral, para s drminar uniamn a parir d sua -ésima drivada, são nssárias informaçõs rsriçõs sobr. Tais rsriçõs são gralmn hamadas d ondiçõs auiliars rbm dnominação pariular para quando : ondiçõs iniiais. Sinais Sismas Eng. da Compuação -5

16 Rsposa ao Impulso Uniário i Fundamnos S for onhida a rsposa d um sisma a uma nrada impulso, pod-s drminar a rsposa do sisma a uma nrada arbirária. Aprsna-s um méodo para drminar a rsposa ao impulso uniário d um sisma LTIC dsrio pla quação difrnial d ordm : QP. Ond Q P são polinômios, ond M. Para sa rsrição, o aso mais gral é M. a a a b b b b h é a rsposa d um sisma para uma nrada impulso m, om odas as ondiçõs iniiais nulas m. Esa nrada gra armaznamno d nrgia, impliando m ondiçõs iniiais não nulas m. Sinais Sismas Eng. da Compuação -6

17 Rsposa ao Impulso Uniário ii Fundamnos Como não há nrada após o impulso r sido apliado, o sisma rspondrá à ondição iniial rém-riada. Assim, a rsposa ao impulso h é formada a parir dos modos ararísios do sisma: h rmos dos modos ararísios Em pod havr no máimo um impulso, grando: h Aδ rmos dos modos ararísios Assumindo omo um impulso uniário, m-s qu Subsiuindo - s a h a Sinais Sismas Eng. da Compuação a h prssão b b para h, m - s omo b δ modos ararísios, om b b para δ, rsposa M <. -7 :

18 -8 Sinais Sismas Eng. da Compuação Rsposa ao Impulso Uniário iii Fundamnos Emplo: Calul a rsposa ao impulso para o sisma: ; , ; ; : vido ao impulso ; sjam ; iniiais Condiçõs 6 5 para ara.: modos só ao impulso Rsposa 3;, 6 5 é Equação ararísia, omo, < h h h h h h h h h h h h h u h b M & & & & && & & & & & && δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ

19 Rsposa ao Impulso Uniário iv Rsposa Impulso Uniário Méodo d Casamno d Impulso Simplifiado: Busa rduzir prodimno para drminar h. Sja o sisma LTIC dfinido por : Q a rsposa ond ondiçõs Para a h b n M é ombinação linar dos < Sinais Sismas Eng. da Compuação P a ao impulso d [P iniiais : b n uniário h é : ]u, n, logo b & n b δ modos b ararísios do sisma n b, n -9 d

20 - Sinais Sismas Eng. da Compuação Rsposa ao Impulso Uniário v Rsposa Impulso Uniário Emplo: drmin a rsposa ao impulso h. ] [ Porano,, ond, ] [ Lmbr -s : qu : s m Assim,., iniiais são : ondiçõs As. Logo :, 3 q.ararísia :, ordm d sgunda sisma, 3 u u u P h P u P h???? n n n n n n n n n & & &

21 Inrodução Rsposa d Esado Zro i Rsposa para ondiçõs iniias nulas. Uso do prinípio da suprposição para nonrar a rsposa d um sisma a um sinal d nrada arbirário. Considr Pulso básio p, para largura? iniiando m ; Enrada Assim, ond [ n Assim, um pulso iniiando m lim para Sinais Sismas Eng. da Compuação é somaório d pulsos ] p? n p n n é um pulso om alura [ n [n? rangulars srios; lim? ] om alura n p n. Porano, o sinal d nrada n n é prsso é dado por : n p n, ára prman ]. n. - :

22 Rsposa d Esado Zro ii Inrodução O pulso aproima -s do impulso : n δ Logo,? Enrada δ δ n [n??]d n n δ n? d n? n Enonra -s o par nrada -saída para a nrada : lim lim? n, para Saída h h n [n??]h n lim n? h n? Sinais Sismas Eng. da Compuação -

23 Rsposa d Esado Zro iii Inrodução Porano : h lim? d n? h n? Esa é a rsposa do sisma para uma nrada arbirária m rmos da rsposa ao impulso h. Logo, onhndo-s s úlimo, pod-s drminar para qualqur nrada. o qu a rsposa do sisma para qualqur nrada é drminada pla rsposa ao impulso, qu por sua vz, é onsruída a parir dos modos ararísios do sisma. Sinais Sismas Eng. da Compuação -3

24 Rsposa d Esado Zro iv Inrodução Sinais Sismas Eng. da Compuação -4

25 -5 Sinais Sismas Eng. da Compuação Rsposa d Esado Zro v Ingral d Convolução A ingral d onvolução d duas funçõs é dfinida omo: ] [ ] [ Propridad Assoiaiva : ] [ Propridad isribuiva : variávl a mudando -s prova : Propridad Comuaiva rlvans :,om propridads dz z z dz z z dz d z d

26 -6 Sinais Sismas Eng. da Compuação Rsposa d Esado Zro vi Ingral d Convolução. é duração d é d uração largura Largura : Propridad da : Convolução om um Impulso logo, para Propridad d sloamno : T T T T T T T T T T T δ

27 Rsposa d Esado Zro vii Ingral d Convolução Rsposa d Esado Zro Causalidad : h Para sisma ausal h d om sado zro - A rsposa só é iniiada após o iníio da nrada; h d h d, h, < O limi onsidrado srá o da ingral msmo qu dnoao por. Sinais Sismas Eng. da Compuação -7

28 -8 Sinais Sismas Eng. da Compuação Rsposa d Esado Zro viii Ingral d Convolução Emplo: Considr um sisma LTIC uja rsposa ao impulso h é dada abaio. rmin a rsposa para a nrada. não, para Lmbrando qu,, : orna s assim a ingral,, qu : m -s logo são ausais, os sinais Ambos ; u d d d h u u h <

29 Rsposa d Esado Zro i Ingral d Convolução Sinais Sismas Eng. da Compuação -9

30 Rsposa d Esado Zro Ingral d Convolução Sinais Sismas Eng. da Compuação -3

31 Rsposa d Esado Zro i Ingral d Convolução Sinais Sismas Eng. da Compuação -3

32 Rsposa d Esado Zro ii Ingral d Convolução Rsposa a Enradas Complas: Para um sisma LTIC ral h ral não a par ral da nrada gra uma rsposa ral nquano qu a par imaginária gra uma rsposa imaginária. As duas rsposas são somadas para grar a rsposa ompla. r h *[ r j r i, para h sndo ral, j i j i ] h * m -s h * Rsposa a Enradas Múliplas: Aplia-s o prinípio da suprposição. Cada nrada é onsidrada sparadamn a soma das saídas individuais drmina a saída oal dos sisma. r j i Sinais Sismas Eng. da Compuação -3

33 Rsposa d Esado Zro iii Ingral d Convolução: Solução Gráfia Possibilia inrpração gráfia qu é úil para avaliar a ingral d onvolução d sinais omplos. Prmi a visualização do rsulado da ingral, frqünmn úil para arfas ais omo amosragm ou filragm. Viabiliza o álulo da ingral para sinais qu não possuam dsrição analíia, mas apnas gráfia. o qu a ingral não s faz om rspio a, qu é apnas um parâmro do prosso não a variávl indpndn. A ingral d onvolução só is para o príodo d mpo m qu a moldura móvl ois om o gráfio fio. Pod-s alular grafiamn *g ou g*. Sinais Sismas Eng. da Compuação -33

34 Rsposa d Esado Zro iv Ingral d Convolução: Solução Gráfia Sinais Sismas Eng. da Compuação -34

35 Rsposa d Esado Zro v Ingral d Convolução: Solução Gráfia Sinais Sismas Eng. da Compuação -35

36 problma Rsposa d Esado Zro vi Ingral d Convolução: Solução Gráfia Prodimno Gráfio:. Mannha a função fia.. Visualiz a função g omo uma moldura rígida. Roaion a moldura m orno do io vrial para obr g. 3. sloqu g ao longo do io por para obr g 4. A ára sob o produo d g d onvolução para.. é m unidad d mpo do o valor da ingral 5. Rpia o prodimno, dsloando a moldura sobr o io, para obr para. Sinais Sismas Eng. da Compuação -36

37 -37 Sinais Sismas Eng. da Compuação Rsposa d Esado Zro vii Ingral d Convolução: Solução Gráfia Emplo: rmin grafiamn a *h. Logo,, logo,,, : onvoluir a funçõs As,, : vão s sobrpor para a srm onvoluídas só as funçõs Como, u d d h d h u h u < >

38 Rsposa d Esado Zro viii Ingral d Convolução: Solução Gráfia Emplo: Sinais Sismas Eng. da Compuação -38

39 Rsposa d Esado Zro i Ingral d Convolução: Solução Gráfia Emplo: Sinais Sismas Eng. da Compuação -39

40 -4 Sinais Sismas Eng. da Compuação Rsposa d Esado Zro Ingral d Convolução: Solução Gráfia Emplo: rmin grafiamn a *h. d d d g d d g d g u u g u u g u <. : a suprposição oorr para, Cálulo para : a suprposição oorr para, Cálulo para,

41 Rsposa d Esado Zro i Ingral d Convolução: Solução Gráfia Emplo: Sinais Sismas Eng. da Compuação -4

42 Rsposa d Esado Zro ii Ingral d Convolução: Solução Gráfia Emplo: Sinais Sismas Eng. da Compuação -4

43 -43 Sinais Sismas Eng. da Compuação Rsposa d Esado Zro iii Ingral d Convolução: Solução Gráfia Emplo: Enonr a ingral d onvolução da figura: { { { A onvolução é 3. são : aima figura da funçõs As d d d d d d d g g g

44 Rsposa d Esado Zro iv Ingral d Convolução: Solução Gráfia Sinais Sismas Eng. da Compuação -44

45 Rsposa d Esado Zro v Ingral d Convolução: Solução Gráfia Largura da função onvoluída: O mpo largura qu um sinal d duração T lva para passar omplamn por um ouro sinal d duração T, mpo m qu ss sinais nham alguma suprposição, é dado por T T. Papl d funçõs sm isênia físia: Esas, analiiamn raávis omo a função impulso ou a função ponnial inssan, produzm onhimno sobr o omporamno do sisma sua rsposa a nradas arbirárias. Sinais Sismas Eng. da Compuação -45

46 Rsposa d Esado Zro vi Ingral d Convolução: Sismas Inronados Sisma omplo omposo por subsismas mais simpls porano mais failmn ararizados. Vai-s onsidrar dois ipos d inronõs: asaa paralla. Sinais Sismas Eng. da Compuação -46

47 Rsposa d Esado Zro vii Ingral d Convolução: Sismas Inronados Comuaividad da onvolução usada om ingrador idal. ifrniador idal ingrador idal para produzir um sisma invrsor, ruprando um dado sinal d nrada. Sinais Sismas Eng. da Compuação -47

48 Rsposa d Esado Zro viii Ingral d Convolução: Função Eponnial Inssan Para s é uma ond Função ararísia: Enrada para qual um sisma rspond da msma forma, a ponnial é o únio aso. um sisma, variávl ompla h H s H s s s sa Sinais Sismas Eng. da Compuação h H s é uma onsan, sjam sua rsposa h s s não a d Função d ransfrênia : H s rsposa s h d, válido paraingral para um dado valor d s. s sinal d saída sinal d nrada do sisma finia. é : s ao impulso h sua nrada d é uma propridad fundamnal d odo sisma nrada inssan p s -48 s LTI

49 Ingral d Convolução: Função Eponnial Inssan A função d ransfrênia, m gral, só m snido para sisma LTIC. Tal função pod sr prssa m rmos d polinômio: Considran do - s na Rsposa d Esado Zro i Como forma Conlui d r - s polinômio s qu r d d a a ponnia l inssan r s : s função r H s[ Q s d s P Q ] s s ransfrê nia sua P P s é H s rsposa, s s Q s s P s Q s s Sinais Sismas Eng. da Compuação -49

50 Rsposa d Esado Zro Ingral d Convolução: Rsposa Toal Rsposa oal Rsposa nrada-zro Rsposa sado-zro R k k k k k k A disussão a sguir onsidra o aso d auovalor s disinos. Emplo : iruio RLC : nrada é fon d nsão, saída é a orrn, L H, R 3Ω, C.5F, orrn oal k k k R k h, para auovalor s rpidos disinos h, para auovalor s disinos u , nrada zro 3 sado zro Sinais Sismas Eng. da Compuação -5

51 Rsposa d Esado Zro i Ingral d Convolução: Rsposa Toal orrn oal orrn oal orrn oal 5 rsposa 5 naural n rspoa forçada φ , Sinais Sismas Eng. da Compuação -5

52 -5 Sinais Sismas Eng. da Compuação Solução Clássia d Equaçõs ifrniais i Inrodução Soluiona-s om omponn naural omponn forçado. Para anális síns d sismas s méodo possui prdas. A rsposa naural do sisma solução homogêna ou solução omplmnar é formada por odos os rmos nvolvndo os modos ararísios do sisma. A rsposa forçada do sisma solução pariular ompõ-s dos rmos qu não nvolvm os modos ararísios. ] [ oal rsposa P Q Q P Q n n n φ φ φ

53 Solução Clássia d Equaçõs ifrniais ii Rsposa Forçada Méodo dos ofiins indrminados Méodo simpls d sr alulada para nradas qu produzm númro finio d drivadas indpndns. Casos imporans são: Função ponnial: As drivadas são da msma ipo. Polinômio m : As drivadas são polinômios m. A rsposa forçada é porano uma ombinação linar da função d nrada suas drivadas. Q P, φ alulados igualando - s os ofiin rmos dos s dois não lados drminad os da são igualdad. Sinais Sismas Eng. da Compuação -53

54 Solução Clássia d Equaçõs ifrniais iii Rsposa Forçada Méodo dos ofiins indrminados A abla mosra algumas funçõs d nrada a saída forçada: Enrada Saída?? r,?,?? i? i i,,, i,,, β k um valor onsan β os ω θ β os ω θ α r? r r r α α β r β r β β? β?? Sinais Sismas Eng. da Compuação -54

55 -55 Sinais Sismas Eng. da Compuação Solução Clássia d Equaçõs ifrniais iv Rsposa Forçada m - s : aima polinômio o Para é forçada rsposa a aima, Para, assim :, 3 ararísio : Polinômio 3., 3, 5 nrada uma para 3 : difrnia l quação a Rsolva : Emplo - β β β β β β β β β β β β β β β β β β φ n &

56 -56 Sinais Sismas Eng. da Compuação Solução Clássia d Equaçõs ifrniais v Solução Clássia d Equaçõs ifrniais: Rsposa Forçada Es rqur ondiçõs para imdiaamn após o insan, porqu no insan imdiaamn anrior a, apnas o omponn d nrada zro is. 3 4 qu m - s Finalmn Para são : drivada sua ompla A solução, é forçada A solução n & φ φ

57 -57 Sinais Sismas Eng. da Compuação Solução Clássia d Equaçõs ifrniais v Rsposa Forçada Sinal ponnial é do msmo ipo. auiliars. ondiçõs plas aluladas são onsans as ond, é : para do sisma oal Rsposa por é dada forçada rsposa a, nrada a Para : mn Consqun qu lmbr - s, ] [ j j j r r H H u H Q P P Q P P Q Q P Q j ζ ζ φ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ ζ β ζ ζ β ζ ζ ζ β

58 Solução Clássia d Equaçõs ifrniais vi Rsposa Forçada O méodo lássio, por vzs, é rlaivamn simpls quando omparado om o méodo para nonrar os omponns om nrada sado zro. Conudo, o méodo lássio aprsna os sguins problmas: Gração d rsposa ompla, não prmiindo a idnifiação d ada omponn da rsposa. Impossibilidad d sr apliado a qualqur lass d nradas lmbr-s da rsrição om rspio às drivadas d. As ondiçõs auiliars são dfinidas para o insan imdiaamn após o zro. Sinais Sismas Eng. da Compuação -58

59 Esabilidad d Sismas i Esabilidad BIBO Emplo ilusraivo: Um on aomodado m um d sus sados d quilíbrio sados m qu o on pod prmanr para smpr: oloado sobr sua bas irular i, sobr su véri no um ii sobr sua laral iii. S lvmn prurbado m su sado aual, o on: O on no sado i rorna à sua posição original após a prurbação: Equilíbrio sávl. O on no sado ii mov-s ada vz para mais disan d su sado original: Equilíbrio insávl. O on no sado iii nm mov-s para mais disan d su sado original nm vola a su sado d quilíbrio: Equilíbrio nuro. Pqunas prurbaçõs ausam rsposa pquna quilíbrio sávl ou rsposas ilimiadas quilíbrio insávl. Sinais Sismas Eng. da Compuação -59

60 Esabilidad d Sismas ii Esabilidad BIBO Para S oda nrada limiada produzir saída limiada no sisma, s é dio sávl BIBO. Em onras, s alguma nrada limiada rsular m rsposa ilimiada o sisma é dfinido om insávl BIBO. Como Logo a um sisma h é limiada, logo h d ondição nssária <. S a h for absoluam n ingrávl, não o sisma Sinais Sismas Eng. da Compuação LTIC h d < sufiian < h d, para sabilidad BIBO é h d, é BIBO sávl. -6

61 Esabilidad d Sismas iii Esabilidad BIBO A ondição M é nssária mas não sufiin, pois s M> não o sisma é insávl drivação d função impulso. Es é um riério d sabilidad rna pois pod sr vrifiada a parir d mdidas nos rminais rnos. A sabilidad rna BIBO pod não indiar orramn a sabilidad inrna. m smpr o omporamno inrno d um sisma pod sr vrifiado a parir dos rminais rnos. Eis quivalênia nr sabilidad inrna rna para sisma qu é onrolávl pod-s onrolar su sado a parir d nradas rnas obsrvávl sab-s o sado a parir do monioramno da saída. A sabilidad inrna implia na sabilidad rna. Sinais Sismas Eng. da Compuação -6

62 Esabilidad d Sismas iv Esabilidad Inrna Assinóia Um sisma LTI ausal é inrnamn sávl s l prmanr m um dado sado sado d quilíbrio indfinidamn, na ausênia d nrada rna. Todo modo ararísio d um sisma sávl surgido omo rsulado d ondiçõs iniiais difrns d zro, dv ndr a zro quando o mpo nd a infinio. S ao mnos um dos modos, rsr om o passar do mpo, o sisma é roulado omo insávl. S alguns modos nm drsm a zro nm rsm indfinidamn, nquano ouros modos drsm a zro, s é um sisma marginalmn sávl. A sabilidad inrna é ambém hamada d sabilidad assinóia ou sabilidad no snido d Lapunov. Sinais Sismas Eng. da Compuação -6

63 Esabilidad d Sismas v Esabilidad Inrna Assinóia Sja um sisma LTIC dfinido plo polinômio : Q P, a loalização das raízs ararísias drminam a sabilidad inrna. Para modos arrísios da forma - Assinoi amn sávl s modos quando para R - Insávl s modos quando - Marginalm n sávl s, / R modos gram snoids quando, m -s qu o sisma é : >. para R Cab obsrvar qu raízs imaginárias rpidas ornam o sisma insávl. k k k <, k k. k, k. Sinais Sismas Eng. da Compuação -63

64 Esabilidad d Sismas vi Esabilidad Inrna Assinóia Sinais Sismas Eng. da Compuação -64

65 Esabilidad d Sismas vii Esabilidad Inrna Assinóia Sinais Sismas Eng. da Compuação -65

66 Esabilidad d Sismas viii Esabilidad Inrna Assinóia Sumário: Um sisma LTIC é assinoiamn sávl, s só s, odas suas raízs ararísias auovalors, disinas ou om rpição, são no smiplano squrdo. Um sisma LTIC é insávl, s só s, uma ou ambas ondiçõs form vrdadiras: i ao mnos uma das raízs ararísias são no smiplano dirio; ii ism raízs rpidas sobr o io imaginário. Um sisma LTIC é marginalmn sávl, s só s, não isirm raízs ararísias no smiplano dirio isirm raízs não rpidas sobr o io imaginário. Sinais Sismas Eng. da Compuação -66

67 Esabilidad d Sismas i Rlação nr Esabilidad Inrna Erna Esabilidad inrna d nrada zro é drminada para ondiçõs iniiais não nulas nrada nula, nquano qu a sabilidad rna d sado zro é drminada om ondiçõs iniiais nulas nrada difrn d zro. Esabilidad inrna assgura sabilidad rna mas o invrso não é vrdadiro. Sinais Sismas Eng. da Compuação -67

68 Parâmros Comporamno d Sismas i Comporamno pnd dos Modos Cararísios O omporamno do sisma dpnd dos modos ararísios m rmos d módulo, mpo prisão. Tmpo d Rsposa d um Sisma: A sua Consan d Tmpo Uma nrada é rspondida após algum mpo d sua apliação. Tal inrvalo d mpo é hamado onsan d mpo do sisma. Sinais Sismas Eng. da Compuação Th é o mpo para rspondr plnamn a um impulso. A rapidz d um sisma é indiada por sua onsan d mpo: quano maior for a onsan d mpo, mais lno é sua rsposa -68

69 Parâmros Comporamno d Sismas ii Tmpo d Rsposa d um Sisma: A sua Consan d Tmpo ão is uma uma dfinição únia d duração fiva d um sinal para qualqur sisma. o mplo anrior, a duração é dfinida pla largura d um pulso rangular hˆ m um insan d mpo adquado, no aso, o máimo valor d h.assim, T h Para um sisma T h h A A h d T d h h d h om um só modo : h A u, para ngaivo ral. Sinais Sismas Eng. da Compuação -69

70 Parâmros Comporamno d Sismas iii Consan d Tmpo Tmpo d Subida Tmpo nssário, m um sisma, para a rsposa ao dgrau uniário subir d % a 9% d su valor d sado prmann. A rsposa ao dgrau d um sisma é a onvolução d u om h. S sa for um pulso rangular d largura Th. Tm-s qu o mpo d subida TrTh. Sinais Sismas Eng. da Compuação -7

71 Parâmros Comporamno d Sismas iv Consan d Tmpo Filragm Um sisma om uma onsan d mpo Th aua omo um filro passa-baia om frqüênia d or f/th. Iso é, sinais d nrada om frqüênia suprior a f Hrz são suprimidos. Vja rsulado das onvoluçõs om ala baia frqüênias. Sinais Sismas Eng. da Compuação -7

72 Parâmros Comporamno d Sismas v Consan d Tmpo isprsão do Pulso Espalhamno A ransmissão d um pulso por um sisma ausa disprsão ou spalhamno d pulso. Iso é, o pulso d saída é mais largo qu o pulso d nrada. Esa ararísia é imporan m sismas d omuniaçõs nos quais as informaçõs são ransmiidas por ampliuds d pulso. sja-s viar qu a disprsão aus inrfrênia ou suprposição d sinais. Para uma nrada om largura d pulso T m-s uma saída uja saída m largura T. Logo, TTTh O mpo d spalhamno é igual à onsan d mpo ou ao mpo d subida do sisma. Sinais Sismas Eng. da Compuação -7

73 Parâmros Comporamno d Sismas vi Consan d Tmpo Taa d Transmissão d Informação Em sisma d omuniaçõs por pulso, qu ransmim informação por ampliud d pulso, a aa d ransmissão d informação é proporional a aa d ransmissão d pulso. Para viar dsruição da informação dvido a disprsão dos pulsos duran sua ransmissão aravés do anal, a aa d informação não dv dr a largura d banda do anal d omuniação. Como o pulso spalha-s por Th sgundos, não dois pulsos onsuivos dvm disar Th sgundos para viar inrfrênia. Assim, a aa d ransmissão d pulsos não pod ulrapassar /Th pulsos/sgundo. Sinais Sismas Eng. da Compuação -73

74 Eríios Romndados Proposos para o MATLAB ou SCILAB Todos Problmas.- aé aé aé.4-,.4-,.4-4 aé.4-8,.4- aé.4-5, ,.4-3, aé aé.6-3, aé.7-. Sinais Sismas Eng. da Compuação -74